MATEMÁTICA MMC & MDC Professor Marcelo Gonzalez Badin
Múltiplo e Divisor Dados dois inteiros a e b, dizemos que a é múltiplo de b se existe um inteiro m tal que: a = mb Nessas condições, também se diz que b é um fator (ou divisor) de a. MMC Mínimo Múltiplo Comum O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números dados. O MMC dos números a e b é representado por MMC(a, b). Acompanhe o exemplo: Múltiplos positivos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,... Múltiplos positivos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,... Assim, os múltiplos comuns de 2 e 3 são: 6, 12, 18, 24,... Logo, o MMC(2,3) = 6
MDC Máximo Divisor Comum O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais números naturais é o maior número positivo que é divisor comum de todos os números dados. O MDC dos números a e b é representado por MDC(a, b). Acompanhe o exemplo: Divisores positivos de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Divisores positivos de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Assim, os divisores comuns de 18 e 24 são: 1, 2, 3, 6 Logo, o MDC(18,24) = 6
Divisores positivos de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Decompondo 60 em fatores primos: 60 2 30 2 15 3 5 5 1 1 2 4 3, 6, 12 5, 10, 20, 15, 30, 60 1 NÃO É PRIMO! Um número natural é chamado primo se tiver exatamente dois divisores naturais. 2 é o único primo par! 60 = 2 2 3 5
1.Calcule: a) MMC(54, 180) = 2 2.3 3.5 = 540 MDC(54, 180) = 2.3 2 = 18 54, 180 2 * 27, 90 2 27, 45 3 * 9, 15 3 * 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 b) MMC(8, 9) = 2 3.3 2 = 72 = 1 MDC(8, 9) 8, 9 2 4, 9 2 2, 9 2 1, 9 3 1, 3 3 1, 1 8 e 9 são primos entre si Quando não houver fator primo comum, o MDC é igual a 1 e os números são chamados primos entre si Obs.: 54, 180 2 27, 90 2 27, 45 3 9, 15 3 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 1) Todo múltiplo comum de a e b é múltiplo do MMC(a,b) Mult. pos. de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,... Mult. pos. de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... Mult. pos. de 6: 6, 12, 18,... 2) Todo divisor comum de a e b é divisor do MDC(a,b) Div. pos. de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Div. pos. de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Div. pos. de 6: 1, 2, 3, 6 3) MMC(2000, 5000) = 1000.MMC(2, 5) MDC(2000, 5000) = 1000.MDC(2, 5) 4) MMC(a,b).MDC(a,b) = a.b Só vale para 2 números!
2. As cidades de Porto Seguro, Blumenau e Dourados realizam grandes festas periódicas, sendo a Porto Seguro de de 9 em 9 meses, a de Blumenau de 12 em 12 meses e a de Dourados de 20 em 20 meses. Se em janeiro de 2011 as festas coincidiram, quando será a próxima vez que irão coincidir? Porto Seguro: 9 em 9 meses; Janeiro de 2011 180 12 Blumenau: 12 em 12 meses; Dourados: 20 em 20 meses. 0 15 O número de meses decorridos para que haja uma nova coincidência deve ser múltiplo de 9, 12 e 20. 9, 12, 20 2 9, 6, 10 2 9, 3, 5 3 3, 1, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 MMC(9, 12, 20) = 2 2.3 2.5 = 180 180 meses = 15 anos As festas ocorrerão juntas novamente em janeiro de 2025. Obs.: MDC(9, 12, 20) = 1
3.(Vunesp-2004) Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é: a) 144 b) 240 c) 360 d) 480 e) 720 Para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A, o número de dias transcorridos a partir do último encontro deve ser múltiplo de 30, 48 e 72. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é o mínimo múltiplo comum entre 30, 48 e 72, isto é, 720. 30, 48, 72 2 15, 24, 36 2 15, 12, 18 2 15, 6, 9 2 15, 3, 9 3 5, 1, 3 3 5, 1, 1 5 1, 1, 1 * * MMC(30, 48, 72) = 2 4.3 2.5 = 720 Obs.: MDC(30, 48, 72) = 2.3 = 6
4. (PUC-RJ) A editora do livro Como ser aprovado no vestibular recebeu os seguintes pedidos, de três livrarias: Livraria Número de exemplares A 1300 B 1950 C 3900 A editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais de tal forma que n seja o menor possível. Calcule o número n. Seja x o número de livros colocados em cada pacote Para que os pacotes sejam iguais, x deve ser divisor de 1300, 1950 e 3900 Para n ser o menor possível, x deve ser o maior possível 1300 1950 3900 x = MDC(1300, 1950, 3900) = 10.MDC(130, 195, 390) n = + + x = 10.5.13 = 650 650 650 650 130, 195, 390 2 x = 650 n = 2 + 3 + 6 65, 195, 195 3 MMC(ka, kb) = k.mmc(a,b) n = 11 65, 65, 65 5 * MDC(ka, kb) = k.mdc(a,b) 13, 13, 13 13 * 1, 1, 1
(Vunesp-2002) Uma concessionária vendeu no mês de outubro n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC(n, m) = 18, os valores de n e m são, respectivamente: a) 18, 198. b) 36, 180. c) 90, 126. d) 126, 90. e) 162, 54. É um teste! Somente interpretando o texto podemos excluir algumas alternativas Ficamos entre as alternativas b e c MDC(36, 180) = 36 MDC(90, 126) = 18 E se fosse prova dissertativa?
(Vunesp-2002) Uma concessionária vendeu no mês de outubro n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC(n, m) = 18, os valores de n e m são, respectivamente: a) 18, 198. b) 36, 180. c) 90, 126. d) 126, 90. e) 162, 54. 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7 n + m = 216 Como MDC(n, m) = 18, n e m são múltiplos de 18. Assim: n = 18a m = 18b com a < b (não convém) (não convém) (não convém) (não convém) Logo, 18a + 18b = 216 (Divide por 18) a + b = 12 (com a e b primos entre si) Como a e b são inteiros positivos e a < b, temos as seguintes possibilidades: a b Se a = 1, n = 18 Se a = 2 e b = 10, temos n = 2.18 e m = 10.18 Sendo assim, MDC(m, n) = 36 Sendo a = 5 e b = 7, temos n = 5.18 e m = 7.18 n = 90 e m = 126
(Fuvest-2002) Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados 2 m e 5 m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das lajotas? x x = medida do lado da lajota quadrada (em cm) x 2 m = 200 cm 5 m = 500 cm 200 cm 500 cm E se a pergunta fosse qual a maior medida da lajota? 100 cm Para serem utilizadas lajotas inteiras x é divisor de 200 e 500 MDC(200, 500) = 100.MDC(2, 5) = 100 x é divisor do MDC(200, 500) 1 x é divisor de 100 100 2 2 Os possíveis valores da medida do lado da lajota (em cm) são: 50 2 4 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100 25 5 5, 10, 20 E se a pergunta fosse qual o menor número de lajotas? 5 5 25, 50, 100 1 10 lajotas
(UFSCar-2002) Considere as seguintes informações: o máximo divisor comum entre dois números também é um divisor da diferença entre esses números; se o máximo divisor comum entre dois números a e b é igual a 1, mdc(a,b) = 1, o mínimo múltiplo comum desses números será igual ao seu produto, mmc(a,b) = ab a) prove que o máximo divisor comum entre dois números consecutivos é igual a 1; b) determine dois números consecutivos, sabendo que são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 156. I. MDC(a,b) é divisor de a b II. Se MDC(a,b) = 1 Então MMC(a,b) = ab a) Consideremos os números consecutivos x+1 e x Usando I temos: MDC(x+1, x) é divisor de x+1 x MDC(x+1, x) é divisor de 1 MDC(x+1, x) = 1 b) Sejam os números positivos consecutivos x+1 e x Como MDC(x+1, x) = 1 (item a), vamos usar II: MMC(x+1, x) = (x+1).x 156 = (x+1).x 156 = x 2 + x x 2 + x 156 = 0 Os números são 12 e 13 x = 13(não convém) x = 12
(Fuvest) O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois números é: a) 1 b) 3 c) 5 d) 11 e) 15 Sejam os inteiros positivos a e b a b = 825 e MDC(a,b) ¹ 1 825 3 275 5 55 5 11 11 1 a b = 3 5 2 11 Sendo a < b, temos as seguintes possibilidades: a b Outro modo: 1 3 5 2 11 3 5 2 11 não convém, primos entre si a b = 3 5 2 11 não convém, primos entre si 5 3 5 11 MDC(a,b) = 5 11 3 5 2 não convém, primos entre si 3 5 5 11 MDC(a,b) = 5 5 2 3 11 não convém, primos entre si Como 5 é o único fator primo repetido, para a e b não serem primos entre si necessariamente temos: a = 5? e b = 5?? (um 5 vem de a e o outro de b) o único fator primo comum é 5, logo MDC(a,b) = 5
(Pouso Alegre-2007) Um negociante tentou colocar n camisas em caixas com 4 unidades, mas ficaram sobrando 3. Ao tentar colocá-las em caixas com 7, acabaram sobrando 6. Ao tentar colocá-las em caixas com 11, acabaram sobrando 10. Qual o número mínimo de camisas que esse comerciante tinha? a) 164 b) 175 c) 206 d)307 e) 314 n 4 3 a n 7 6 b n 11 10 c n + 1 é múltiplo de 4, 7 e 11 n + 1 é múltiplo do MMC(4,7,11) n + 1 é múltiplo de 308 \ n + 1 = 308k (k inteiro positivo) O menor n ocorre para k = 1 n + 1 = 308 n = 307 O segundo menor n ocorre para k = 2 Como é um teste, você poderia chegar a resposta por eliminação n 4 3 a n = 4a + 3 (+1) n + 1 = 4a + 4 n + 1 = 4(a + 1)
Qual o menor número natural maior que 3 que dividido por 12, por 18 e por 20 deixa resto igual a 3? Seja x o número procurado x 12 x 3 é múltiplo de 12, 18 e 20 3 a x 3 é múltiplo do MMC(12,18,20) x 18 x 3 é múltiplo de 180 \ x 3 = 180k (k inteiro positivo) 3 b O menor x ocorre para k = 1 x 20 x 3 = 180 x = 183 3 c O segundo menor x ocorre para k = 2 x 3 = 180.2 x = 363 x 12 3 a x = 12a + 3 ( 3) x 3 = 12a
(Fuvest) No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscarem simultaneamente, após quanto segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30 A 1ª pisca uma vez a cada 60 = 4s 15 A 2ª pisca uma vez a cada 60 = 6s 10 O número de segundos decorridos para que as duas pisquem simultaneamente juntas é múltiplo de 4 e 6. MMC(4,6) = 12
(UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de: a) 150 b) 160 c) 190 d) 200 A 1º fecha a cada 10 + 40 = 50 segundos A 2º fecha a cada 10 + 30 = 40 segundos O número de segundos decorridos para que os dois fechem simultaneamente juntos é múltiplo de 50 e 40. MMC(50,40) = 200