Resistência dos Materiais Eng. Mecânica, Produção UNIME 2016.1 Lauro de Freitas, Março, 2016.
2 Tensão e deformação: Carregamento axial
Conteúdo Tensão e Deformação: Carregamento Axial Deformação Normal Teste de Tensão-Deformação Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcte is Diagrama de tensão-deformação: materiais fráge is Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Comportamento Elástico versus Plástico Fadiga Deformações sob Carregamento Axial Exemplo 2.01 Problema Resolvido 2.1 Indeterminação Estática Exemplo 2.04 Tensão Térmica Coeficiente de Poisson Lei de Hooke Generalizada Dilatação: Módulo de Compressibilidade Volumétrica Deformação de Cisalhamento Exemplo 2.10 Relação entre E, e G Problema Resolvido 2.5 Materiais Compósitos Princípio de Saint-Venant Concentração de Tensão: Furos Concentração de Tensão: Arredondamentos Exemplo 2.12 Materiais Elastoplásticos Deformações Plásticas Tensões Residuais Exemplos 2.14, 2.15, 2.16
Tensão e Deformação: Carregamento Axial Adequação de uma estrutura ou máquina pode depender das deformações produzidas pelas cargas aplicadas a uma estrutura, bem como as tensões induzidas por estas cargas. A análise estática por si só não é suficiente. Considerando as estruturas como deformáveis e analisando as deformações em seus vários componentes, poderemos calcular as forças estaticamente indeterminadas. A determinação da distribuição de tensões dentro de um componente também exige a consideração das deformações que ocorrem neste componente. O Capítulo 2 está preocupado com a deformação de um componente estrutural sob carregamento axial. Nos outros capítulos trataremos de torção e flexão pura.
Deformação Normal δ δ Fig. 2.1 Fig. 2.3 δ σ = P A =tensão ε= δ =deformação normal L σ = 2 P 2 A =P A ε= δ L Fig. 2.4 σ = P A ε= 2 δ 2 L =δ L
Teste de Tensão-Deformação Fig 2.7 Esta máquina é utilizada para ensaios de corpos de prova a tração, tais como aqueles mostrados neste capítulo. Fig 2.8 Corpo de prova com carga de tração.
Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcteis
Diagrama de tensão-deformação: materiais frágeis Fig 2.1 Diagrama tensão-deformação para um material frágil típico.
Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Abaixo da tensão de proporcionalidade σ =Eε E=Módulo de Young ou Módulo de Elasticidade Fig 2.16 Diagramas tensão-deformação para o ferro e diferentes tipos de aço. Algumas das propriedades físicas dos metais estruturais, como resistência, ductilidade, podem ser afetadas pela inclusão de elementos de liga, tratamento térmico e processos de fabricação, mas a rigidez (módulo de elasticidade) não pode ser afetada.
Comportamento Elástico versus Plástico Se a deformação desaparece quando a tensão é removida, dizemos que o material se comporta elasticamente. O maior valor de tensão para o qual isso ocorre é chamado de limite elástico do material. Fig. 2.18 Quando a deformação não retorna a zero após a tensão ser removida, dizemos que o material se comporta plasticamente.
Fadiga Propriedades de fadiga são mostrados no diagrama de σ-n Um componente estrutural pode falhar devido à fadiga em níveis de tensão significativamente abaixo da resistência última quando sujeitos a muitos ciclos de carga. Fig. 2.21 A medida que a tensão é reduzida, o número de ciclos para provocar a ruptura aumenta até alcançar o limite de resistência à fadiga, que é a tensão para a qual não ocorre falhas.
Deformações sob Carregamento Axial Para a Lei de Hooke: σ =Eε ε= σ E = P AE A definição de deformação específica: ε= δ L Transformando e substituindo a equação anterior na equação acima, temos δ= PL AE Para barras com carregamentos em outros pontos, diversas seções transversais e diferentes materiais, Fig. 2.22 δ= i P i L i A i E i
Exemplo 2.01 SOLUÇÃO: Divida a barra em componentes de acordo com a aplicação das forças. Aplique uma análise de corpo livre de cada componente para determinar a força interna. E=200 GPa Determine a deformação da barra de aço mostrada submetida às forças dadas. Avaliar a deformação total da barra.
SOLUÇÃO: Divida a barra em três componentes: Aplicar a análise de corpo livre em cada componente para determinar as forças internas, P 1 =300 kn = 300 10 3 N P 2 = 50 kn = 50 10 3 N P 3 = 150 kn = 150 10 3 N Deformação total L 1 =L 2 =300 mm. L 3 =400 mm. A 1 = A 2 =580 mm 2 A 3 =200 mm 2 δ= i P i L i A i E i = 1 E ( P 1 L 1 A 1 + P 2 L 2 A 2 + P 3 L 3 A 3 ) δ= 1 [ (300 300) + ( 50 300 ) 200 580 580 429,31 δ= = 2,15 mm. 200 + (150 400 ) 200 ]
Problema Resolvido 2.1 SOLUÇÃO: A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área transversal de 500 mm 2 ; A barra CD é feita de aço (E = 200 GPa) e tem uma área transversal de 600 mm 2. Para a força de 30 kn mostrada, determinar os deslocamentos dos pontos a) B, b) D e c) E. Realizar uma análise do corpo livre para a barra BDE para encontrar as forças exercidas pelas barras AB e DC. Avaliar a deformação das barras AB e DC para encontrar os deslocamentos de B e D. Realize uma análise geométrica para encontrar o deslocamento do ponto E dado os deslocamentos em B e D.
SOLUÇÃO: Problema Resolvido 2.1 Corpo Livre: Barra BDE M B =0 0= (30 kn 0.6 m )+F CD 0. 2 m F CD =+ 90 kn tração M D =0 0= (30 kn 0.4 m ) F AB 0.2 m F AB = 60 kn compressão Deslocamento do ponto B: B PL AE 3 60 10 N 0.3m -6 2 9 500 10 m 70 10 Pa 514 10 Deslocamento do ponto D: δ D = PL AE 6 m δ B =0.514 mm δ D = ( 90 10 3 N ) (0. 4 m ) (600 10-6 m 2 ) (200 10 9 Pa ) δ D =300 10 6 m δ D =0.300 mm
Problema Resolvido 2.1 Deslocamento do ponto E: B B ' D D =BH ' HD 0.514 mm mm ) x =(200 0.300 mm x x=73.7 mm E E ' D D =HE ' HD δ E (400+73.7 ) mm = 0.300 mm 73.7 mm δ E =1. 928 mm δ E =1. 928 mm
Indeterminação Estática Estruturas onde as forças internas e as reações não podem ser determinadas apenas por meio da estática, são chamadas de estruturas estaticamente indeterminadas. A estrutura será estaticamente indeterminada sempre que ela for vinculada a mais apoios do que aqueles necessários para manter seu equilíbrio. Reações redundantes são substituídas por forças desconhecidas que, juntamente com as demais forças, deve produzir deformações compatíveis com as restrições originais. Deformações devido as forças reais e pela reações redundantes são determinadas separadamente e, em seguida, adicionadas ou superpostas. δ=δ L +δ R =0
Exemplo 2.04 Determine o valor das reações em A e B para a barra de aço com os carregamentos mostrado, assumindo que não existe folgas entre os apoios e a barra. SOLUÇÃO: Consideramos a reação em B como redundante e liberamos a barra daquele apoio. A reação R b é considerada desconhecida. Resolver o deslocamento em B devido à reação redundante em B. Exigir que os deslocamentos devido às forças e devido à reação redundante sejam compatíveis, ou seja, exigir que sua soma seja zero. Resolver a reação em A pelo diagrama de corpo livre da barra, uma vez que se conhece a reação em B.
Exemplo 2.04 SOLUÇÃO: Resolvendo o deslocamento em B devido às forças aplicadas, P 1 =0 P 2 =P 3 =600 10 3 N δ L = i P 4 =900 10 3 N A 1 = A 2 =400 10 6 m 2 A 3 = A 4 =250 10 6 m 2 L 1 =L 2 =L 3 =L 4 =0.150 m P i L i = 1.125 109 A i E i E Resolvendo o deslocamento em B devido à reação redundante, P 1 =P 2 = R B A 1 =400 10 6 m 2 A 2 =250 10 6 m 2 L 1 =L 2 =0.300 m δ R = i P i L ( i 1. 95 10 3 )R B = A i E i E
Exemplo 2.04 Os deslocamentos devido às forças e devido à reação redundante devem ser compatíveis, δ=δ L +δ R =0 δ= 1.125 109 ( 1. 95 10 3 )R B E E R B =577 10 3 N =577 kn =0 Encontrar a reação em A, devido às cargas e a reação em B F y =0=R A 300 kn 600 kn+577 kn R A =323 kn R A =323 kn R B =577 kn
Tensão Térmica A mudança de temperatura numa barra resulta uma mudança no comprimento da mesma chamada de deformação térmica. Não há tensão associada com a deformação térmica, a menos que o alongamento seja contido pelo apoio. Trate o apoio adicional como redundantes e aplicar o princípio da superposição. δ T =α ( ΔT ) L δ P = PL AE α= coeficiente de dilatação térmica A deformação térmica e a deformação do apoio redundante devem ser compatíveis. α ( ΔT ) L+ PL δ=δ T +δ P =0 AE =0 P= AE α ( ΔT ) σ = P A = Eα ( ΔT )