Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 5 Tópico 5 1 ER No instante t, uma pera é abanonaa (elociae inicial nula) e um ponto situao nas proimiaes a superfície a Terra a uma altura h t Suestão: Quano o corpo é abanonao ou lançao erticalmente para baio, orientar a trajetória para baio Quano o corpo é lançao erticalmente para cima, orientar a trajetória para cima a) h t q 45 1 7 s b) h 1 45 4 9 7 m/s h ou: t 1 7 7 m/s Respostas: a) 7 s; b) 7 m/s Superfície a Terra Desprezano a inf luência o ar e seno o móulo o etor campo raitacional, etermine: a) o interalo e tempo ecorrio ese o abanono a pera até seu impacto com o solo, ou seja, o tempo e quea ( ); b) o móulo a elociae com que a pera atine o solo, isto é, sua elociae e impacto ( i ) otano a oriem os espaços na posição e abanono a pera e orientano a trajetória para baio, temos α Em t : s e Em t : s h e i O t t a) função horária o espaço é aequaa para resoler este item, pois ela relaciona espaço com tempo: h s s s + t + α t h + + Obsere que o tempo e quea não epene a massa o corpo abanonao, o que está e acoro com a 1 a proprieae o estuo o moimento ertical b) De acoro com a equação e Torricelli, temos: + α (s s ) i + (h ) i h Obsere que a elociae i com que a pera chea ao chão também não epene e sua massa h 3 Uma pera abanonaa na Lua, e um ponto situao a 8 m e altura, emora 1 s para atinir a superfície esse satélite Determine: a) o móulo o etor campo raitacional nas proimiaes a superfície lunar; b) o interalo e tempo que uma pera, com o obro a massa a primeira, emoraria para cair a mesma altura t q a) h 8 1 1,6 m/s b) 1 s, pois, na quea lire, a aceleração inepene a massa o corpo que cai Respostas: a) 1,6 m/s ; b) 1 s 4 Um objeto cai erticalmente, passano por um níel horizontal a 1, m/s e epois por outro níel horizontal a 9, m/s Qual a istância entre os ois níeis citaos? ote 1 m/s 1 + Δs 9, 1, + 1 Δs Δs 4, m Resposta: 4, m 5 (USF-SP) Um objeto, abanonao o repouso em quea lire, e uma altura h, num local one a aceleração a raiae tem móulo iual a, atine o ponto méio a trajetória com elociae e móulo iual a: a) h c) h e) h b) h ) h h h Resposta: c Um corpo cai e uma altura iual a 45 m em relação ao solo Consierano 1 m/s e supono ausente a atmosfera, etermine: a) o tempo e uração a quea; b) o móulo a elociae o corpo imeiatamente antes e se chocar com o solo 6 (Vunesp-SP) Um eperimento simples, realizao com a participação e uas pessoas, permite meir o tempo e reação e um iniíuo Para isso, uma elas seura uma réua e maeira, e 1 m e comprimento, por uma e suas etremiaes, manteno-a penente na ireção ertical Em seuia, pee que o colea coloque os eos
6 PRTE II DINÂMIC em torno a réua, sem tocá-la, próimos a marca corresponente a 5 cm, e o instrui para aarrá-la tão loo perceba que foi solta Determine, a partir a aceleração a raiae () e a istância () percorria pela réua na quea, o tempo e reação essa pessoa O tempo e reação é iual ao tempo que a réua lea para percorrer a istância Seno Δs, e α, temos: Δs t + α t t t Resposta: 7 Consiere um tubo isposto erticalmente, no qual se realizou o ácuo Um ispositio faz uma bolinha metálica ser abanonaa entro o tubo, em sua etremiae superior Sabeno que esse eperimento é realizao na superfície a Terra, poemos af irmar que a bolinha: a) não cai, porque não eiste raiae no ácuo; b) cai em moimento retilíneo e uniforme; c) cai com uma aceleração tanto maior quanto mais intenso for o seu peso; ) cai com a mesma aceleração com que cairia nas izinhanças a Lua; e) cai com aceleração e móulo aproimaamente iual a 9,8 m/s, inepenentemente a intensiae e seu peso Resposta: e 8 ER Um corpo é arremessao erticalmente para cima a partir a superfície a Terra, com elociae em t Desprezano a inf luência o ar e seno o móulo a aceleração a raiae, etermine: a) o interalo e tempo ecorrio ese t até a pera atinir sua altura máima, isto é, o tempo e subia (t s ); b) o interalo e tempo urante o qual a pera olta o ponto e altura máima até a superfície a Terra, ou seja, o tempo e quea ( ); c) a altura máima (h má ) atinia pela pera em relação ao ponto e lançamento Nesse caso, aotano a oriem os espaços no ponto e lançamento e orientano a trajetória para cima, temos α a) Usano a função horária a elociae escalar, temos: + α t t s t s b) O tempo e quea ( ) é iual ao tempo e subia ssim: c) Usano a equação e Torricelli, temos: + α (s s ) + ( ) (h ) má h má Obsere que o tempo e subia, o tempo e quea e a altura máima são inepenentes a massa o corpo 9 Um parafuso é joao erticalmente para cima com elociae e móulo m/s Desprezano a inf luência o ar e seno 1 m/s, etermine: a) o interalo e tempo ecorrio até o parafuso retornar ao ponto e lançamento; b) a altura máima atinia pelo parafuso em relação ao ponto e lançamento a) t 1 t s t s t s; T t s + t T 4 s b) Δs h má h má m Respostas: a) 4 s; b) m 1 Um astronauta em solo lunar lança uma pera erticalmente para cima no instante t, com elociae inicial e móulo 3 m/s ( 1,6 m/s ) a) Em que instante a pera atine o ponto e altura máima? b) Qual a altura máima atinia? a) t 3 1,6 t s T s s t t s s h má b) Δs 3 3, h má h má 3 m Respostas: a) s; b) 3 m t 11 De um mesmo local a superfície a Lua, são lançaas erticalmente para cima, com a mesma elociae inicial, uas peras e B, e massas respectiamente iuais a 1 e 5 Compare: a) as alturas máimas atinias pelas peras e B; b) os tempos que elas emoram para retornar ao local o lançamento Em t : s e Em t t s : s h má e Respostas: a) Iuais; b) Iuais
Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 7 1 Uma esfera e chumbo é lançaa erticalmente para cima e retorna ao ponto e partia 8, s após o lançamento Consierano esprezíeis as inf luências o ar e usano iual a 1 m/s, calcule: a) o móulo a elociae e lançamento; b) a altura máima atinia pela esfera em relação ao ponto e partia a) t 1 4, 4 m/s b) Δs 4 1 h má h má 8 m Respostas: a) 4 m/s; b) 8 m 13 (UFPE) partir a altura e 7, m, atira-se uma pequena bola e chumbo erticalmente para baio, com elociae e móulo, m/s Despreze a resistência o ar e calcule o alor, em m/s, a elociae a bola ao atinir o solo ( 1 m/s ) + Δs, + 1 7, Resposta: 1 1 m/s 14 Um senhor, leano uma maleta em uma as mãos, entra em um eleaor no último anar e um eifício Durante a escia, ele solta a maleta e erif ica que ela não cai em relação ao seu corpo Nessa situação, o que se poe concluir sobre o moimento o eleaor em relação ao solo? Em relação ao solo, a maleta cai com aceleração e móulo Como o corpo a pessoa e a maleta permanecem lao a lao, concluímos que, em relação ao solo, a pessoa e o eleaor também têm aceleração e móulo (quea lire) Resposta: O eleaor está em quea lire 15 Uma partícula é abanonaa a partir o repouso, e um ponto situao a 7 m acima o solo Diia essa altura em três partes tais que sejam percorrias em interalos e tempo iuais Usano o ráf ico t: V Portanto: 1 3 m 3 1 9 m 3 5 1 15 m Eientemente, a questão também poe ser resolia pelas equações o moimento Respostas: 3 m, 9 m e 15 m 16 ER Um corpo com elociae inicial nula cai no ácuo urante 1 s Seno 1 m/s, etermine a istância percorria pelo corpo: a) urante os últimos 4 seunos e quea; b) urante o 5 o seuno e quea 1 3 4 5 6 7 8 9 1 5º - seuno Últimos 4 seunos t (s) a) Os últimos 4 seunos iniciam-se em t 1 6 s e terminam em t 1 s Calculemos as elociaes escalares em t 1 6 s e em t 1 s, consierano a trajetória o corpo orientaa para baio (α ): + α t 1t Em t 1 6 s, temos: 1 1 6 1 6 m/s Em t 1 s, temos: 1 1 1 m/s plicano a equação e Torricelli entre t 1 e t, em: + α Δs 1 1 6 + 1 Δs Δs 3 m b) O 5 o seuno inicia-se em t 1 4 s e termina em t 5 s Em t 1 4 s, temos: 1 1 t 1 1 4 1 4 m/s Em t 5 s, temos: 1 t 1 5 5 m/s plicano a equação e Torricelli, em: + α Δs 1 5 4 + 1 Δs Δs 45 m 17 Suponha que um corpo caia liremente e um ponto a 49 m acima o solo Determine seu eslocamento urante o último seuno e sua quea, consierano 9,8 m/s 3 1 Δt Δt Δt 1 + + 3 7 1 + 3 1 + 5 1 7 9 1 7 1 3 m t h t 49 9,8 t q 1 s 9,8 t 9,8 9 1 9,8 1 1 + Δs
8 PRTE II DINÂMIC 9,8 1 9,8 81 + 9,8 Δs 9,8 1 9,8 81 + Δs 9,8 (1 81) Δs Δs 93 m Resposta: 93 m 18 Em um ia chuoso, suriu uma oteira no teto e uma fábrica Gotas e áua começaram a cair perioicamente, com elociae inicial nula Seno a altura o teto e sabeno que a primeira ota formaa toca o solo no instante em que a terceira está se espreneno, esenhe as otas nesse instante, inicano as istâncias entre elas Se a seuna ota percorreu uma istância urante um tempo t, a primeira percorreu + 3 urante um tempo t: + 3 3ª ª Resposta: 4 3 4 4 Um corpo é arremessao erticalmente para cima com elociae inicial e móulo 1 m/s Desprezano a inf luência o ar e supono 1 m/s, etermine: a) a altura máima atinia pelo corpo em relação ao ponto e lançamento; b) a elociae escalar o corpo ao passar pelo ponto situao a 55 m acima o ponto e lançamento a) Δs 1 h má h má 5 m b) 1 55 ± 7 m/s Respostas: a) 5 m; b) 7m/s ou 7 m/s 1 Uma bolinha e chumbo é lançaa erticalmente para cima, realizano uma ascensão praticamente lire, e uração maior que s Consierano 9,8 m/s : a) Qual é a istância percorria pela bolinha urante o último seuno a subia? b) resposta o item a epene o móulo a elociae e lançamento? c) istância percorria no último seuno e quea, no retorno ao ponto e partia, epene o móulo a elociae e lançamento? a) Durante a subia, o móulo a elociae iminui 9,8 m/s em caa seuno Então, como a elociae é iual a zero no f inal a subia, 1 s antes e parar ela ale 9,8 m/s, inepenentemente o móulo a elociae e lançamento: (m/s) 1ª 19 (UFSCar-SP) Uma pera cai e uma altura h e os últimos 196 m são percorrios em 4, s Desprezano a resistência o ar e fazeno 1 m/s, calcule h 9,8 área Δs (m/s) 1 T 1 (T 4) 1t Δs 1 9,8 Δs 4,9 m b) Não c) Sim istância percorria no último seuno e quea é iual à percorria no primeiro seuno e ascensão, que será tanto maior quanto maior for o móulo a elociae e lançamento 1 s t (s) Δs Respostas: a) 4,9 m; b) Não; c) Sim T 4 T t (s) (1 T) + [1 (T 4)] Δs área 196 T 6,9 s h área e a T T 1 T 6,9 69 h 38 m últimos 4 s 4 Da superfície e um astro, uma pera foi lançaa erticalmente para cima Sua posição em relação à superfície ariou com o tempo, e acoro com o ráf ico seuinte, que é praticamente um arco e parábola: s (m) 4 Resposta: 38 m, t (s)
Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 9 Calcule: a) o móulo a elociae e lançamento a pera; b) a intensiae o campo raitacional na superfície esse astro De t a t, s, temos: a) m Δs Δt + 4, + 4 m/s b) + αt 4 + α, α 1 m/s 1 m/s Respostas: a) 4 m/s; b) 1 m/s 3 Um objeto é atirao erticalmente para baio com elociae iual a m/s, e um ponto situao a 3 m o solo Desprezano qualquer inf luência o ar e supono 1 m/s, etermine, ao f inal o 5 o seuno e moimento: a) a elociae escalar o objeto; b) a sua altura relatia ao solo a) + t 5 + 1 5 5 7 m/s b) Δs t + t 5 + 5 5 Δs 5m h 3 5 h 75 m Respostas: a) 7 m/s; b) 75 m 4 (Mack-SP) Os pontos e B, a mesma ertical, estão respectiamente a 3 cm e 18 cm e altura e uma esteira rolante No mesmo instante, e caa um esses pontos, abanona-se o repouso uma pera Essas peras atinem pontos a esteira que istam 16 cm entre si elociae escalar a esteira é constante iual a: a) 9 cm/s b) 85 cm/s c) 8 cm/s ) 6 cm/s e) 4 cm/s 5 (Olimpíaa Brasleira e Física) Uma pessoa está na sacaa e um préio e joa uma pera erticalmente para cima com elociae inicial e móulo Depois, ela joa uma seuna pera, só que aora erticalmente para baio, com o mesmo móulo e elociae Desprezano-se a resistência o ar, poemos af irmar que, em relação à situação em que elas estão cheano ao chão, a pera joaa para cima terá: a) a mesma aceleração que a joaa para baio, mas elociae maior em móulo b) a mesma aceleração que a joaa para baio, mas elociae menor em móulo c) a mesma aceleração e elociae que a joaa para baio ) a mesma elociae que a joaa para baio, mas uma aceleração maior em móulo e) a mesma elociae que a joaa para baio, mas aceleração menor em móulo aceleração é iual a para as uas peras o retornar à sacaa, a primeira pera terá elociae e móulo Resposta: c 6 De uma janela e um eifício, a 6, m e altura, uma pera é lançaa erticalmente para cima com elociae escalar e 19,6 m/s, no instante t em que se inicia a contaem o tempo Decorrios 3, s, uma outra pera B é abanonaa o mesmo local Desprezano a inf luência o ar e consierano 9,8 m/s, etermine: a) o instante em que a pera passa pela pera B; b) a que altura, relatia ao solo, passa por B s s + t + α t s 6 + 19,6 t 4,9 t s B 6 4,9 (t 3) s (m) t B 6 m B 3 cm 18 cm Esteira ote 1 m/s e espreze o efeito o ar h Tempo e quea: Interalo e tempo entre as uas queas: 3, 1,8 Δt,8,6 Δt, s 1 1 Para a esteira: Δs Δt Resposta: c 16, 8 cm/s a) s s B : 6 + 19,6 t 4,9 t 6 4,9 (t 3) t 4,5 s b) s B 6 4,9 (4,5 3) s B s 49 m Respostas: a) 4,5 s; b) 49 m
1 PRTE II DINÂMIC 7 ER Um balão sobe erticalmente com elociae escalar constante e móulo 5, m/s Quano sua altura em relação ao solo é e 3 m, um aroto abanona o balão um pequeno pacote, que f ica sob a ação eclusia o campo raitacional terrestre, cuja intensiae é e 1 m/s Determine: a) a altura máima que o pacote alcança em relação ao solo; b) o interalo e tempo asto pelo pacote para chear ao solo, a contar o instante em que foi abanonao; c) o móulo a elociae escalar e impacto o pacote contra o solo a) Quano o aroto abanona o pacote, este está subino erticalmente a 5, m/s em relação ao solo Por isso, em relação ao solo, o pacote aina sobe um pouco, antes e escer 5, m/s t s 8 (IME-RJ) Uma pera cai e um balão, que sobe com elociae constante e 1 m/s Se a pera emora 1 s para atinir o solo, a que altura estaa o balão no instante em que se iniciou a quea a pera? ( 1 m/s ) t 1 m/s s 3 m O Solo otano a oriem os espaços no solo e orientano a trajetória para cima, temos, para o pacote: s 3 m, 5, m/s e α 1 m/s Usano a equação e Torricelli: + α (s s ) 5 (s 3) (I) Quano o pacote atine a altura máima, temos: e s h má Substituino em (I), em: 5 (h má 3) h má 31,5 m b) Usano a função horária o espaço, temos: s s + t + α t s 3 + 5t 5t o chear ao solo: s e t t c Substituino em (II), em: 3 + 5t c 5t c t c 3, s c) Usano a função horária a elociae, temos: + α t 5 1t (III) o chear ao solo: c e t t c 3, s Substituino em (III), em: c 5 1 3 c 5 m/s c 5 m/s (II) s s + t t + 1 1 1 1 4 m Resposta: 4 m t 1 s 9 De um helicóptero esceno erticalmente a 6 m/s é abanonaa uma esfera e aço, que e mora s para chear ao solo Consierano lire a quea a esfera, calcule a altura e one ela foi abanonaa ( 1 m/s ) Δs t + t h 6 + 1 Resposta: 3 m h 3 m 3 Do teto e um eleaor e,45 m e altura interna, subino em moimento uniforme, esprene-se um parafuso Consierano 1 m/s, calcule: a) o interalo e tempo ecorrio ese o instante em que o parafuso se espreneu até o instante em que atine o piso o eleaor; b) o eslocamento o eleaor urante o interalo e tempo a que se refere o item anterior, supono que sua elociae escalar seja iual a m/s a) s s + t s piso t s s + t + α t s par,45 + t 5 t s par s piso,45 + t 5 t t t,7 s
Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 11 s (m) Dê como resposta a soma os números associaos às af irmações corretas t Parafuso,45 Estão corretas as af irmações 1,, 4 e 3 b) s piso t,7 s piso 1,4 m,45 m t V Piso Nota: O eleaor é um referencial inercial, já que está em moimento retilíneo e uniforme em relação ao solo Consierano um referencial no eleaor, o parafuso realiza uma quea lire a partir o repouso, e uma altura h,45 m Então: h,45 t 1 q,7 s que é a resposta o item a Respostas: a),7 s; b) 1,4 m 31 Uma laranja foi lançaa obliquamente nas proimiaes o solo, moeno-se a esquera para a ireita Desprezano inf luências o ar, inique a alternatia em que estão corretamente representaas a elociae a laranja ( ) e a força resultante (F ) que nela atua na posição assinalaa, após o lançamento: a) c) e) F F F b) F ) única força atuante após o lançamento é o peso tem ireção tanente à trajetória e o sentio o moimento Resposta: e F 3 Uma esfera e chumbo é lançaa obliquamente com elociae, inclinaa e em relação à horizontal Desprezano a inf luência o ar e consierano o moimento a esfera, após o lançamento e antes e coliir com o solo, analise as seuintes af irmações: (1) única força atuante na esfera é o seu peso () Na horizontal, o moimento é uniforme, com elociae e móulo cos (4) Na ertical, o moimento é uniformemente ariao, com elociae inicial e aceleração e móulos respectiamente iuais a sen e (aceleração a raiae) (8) No ponto e altura máima, a elociae a esfera é nula (16) trajetória a esfera é um arco e circunferência (3) No ponto e altura máima, a elociae a esfera tem móulo mínimo, iual a cos (64) No ponto e altura máima, a aceleração a esfera é nula Resposta: 39 33 (UFV-MG) Um telejornal reprouziu o ol e um famoso joaor e futebol, assinalano, ao lao a trajetória, a elociae instantânea a bola 4 km/h km/h 15 km/h 75 km/h s elociaes atribuías à bola estão: a) erraas, pois somente é possíel atribuir à bola uma única elociae, corresponente ao percurso total e não a caa ponto a trajetória b) erraas, pois a elociae nula a bola ocorre no ponto mais alto e sua trajetória c) erraas, pois sua elociae máima ocorre no instante em que ela abanona o pé o joaor ) corretas, ese que a raação a partia e futebol não seja analisaa em câmera lenta, o que compromete as meias e tempo e) corretas, pois a bola parte o repouso e ee percorrer certa istância até alcançar a elociae máima Resposta: c 34 ER Um corpo é lançao obliquamente com elociae e móulo 5 m/s, sob um ânulo e lançamento (sen,6; cos,8), conforme inica a f iura: h má Calcule, consierano 1 m/s e esprezano a inf luência o ar: a) a intensiae a elociae o corpo ao passar pelo értice o arco e parábola; b) o tempo e subia; c) a altura máima (h má ); ) o alcance horizontal () a) elociae no ponto mais alto a trajetória é iual à componente horizontal a elociae inicial: cos 5,8 b) O tempo e subia é ao por: t s sen 5,6 1 4 m/s t s 3 s
1 PRTE II DINÂMIC c) altura máima é aa por: h má sen 5,6 h má 45 m ) O alcance horizontal é calculao pela epressão: sen cos 5 1,6,8 4 m 35 Em um campo e futebol, uma bola foi chutaa no instante t, aquirino uma elociae inicial s componentes essa elociae na horizontal e na ertical alem 4 m/s e 18 m/s respectiamente t Desprezano a resistência o ar e consierano 1 m/s, calcule: a) a elociae a bola no ponto mais alto e sua trajetória; b) o instante t s em que a bola passa pelo ponto mais alto e sua trajetória; c) a altura máima ; ) o alcance horizontal a) 4 m/s b) t 18 1 t s t s 1,8 s c) Δ 18 16, m ) Δ t t s 4 3,6 86,4 m Respostas: a) 4 m/s; b) 1,8 s; c) 16, m; ) 86,4 m 36 Um canhão ispara projéteis com elociae e móulo 3 m/s, estano situao em amplo terreno plano e horizontal Seno 1 m/s e esprezano inf luências o ar no moimento os projéteis, etermine a reião esse terreno one, certamente, eles não cairão má 1 3 1 9 m 9 km má Resposta: Fora o círculo e 9 km e raio e centro no ponto e lançamento a) Correta b) Correta sen : menor maior c) Correta h má sen : sen maior h má maior ) Correta componente é iual nas uas posições e a componente tem o móulo nas uas posições e) Incorreta Resposta: e 38 Um sapo, colocao em cima e um muro, salta no instante t e chea ao ponto P o solo, como representa a f iura,4 m t 3, m 3,6 m Desprezano a inf luência o ar e consierano iual a 1 m/s, calcule: a) o móulo a componente ertical a elociae inicial o sapo; b) o instante t em que ele atine o solo; c) o móulo a componente horizontal a elociae o sapo a) No ponto e altura máima: 3, m e : ( ) (3,,4) b) No solo, : + t t,4 + 4 t 5 t t 1, s c) Na horizontal: + t 3,6 1, 3, m/s Respostas: a) 4, m/s; b) 1, s; c) 3, m/s P 4, m/s 39 (Puccamp-SP) Um projétil é lançao seuno um ânulo e 3 com a horizontal, com uma elociae e m/s Supono a aceleração a raiae iual a 1 m/s e esprezano a resistência o ar, calcule o interalo e tempo entre as passaens o projétil pelos pontos e altura 48 m acima o ponto e lançamento (Daos: sen 3,5; cos 3,87) 37 Da superfície a Terra, á-se um tiro e canhão com ânulo e tiro (ascenente) e elociae (na boca o canhão) Despreze os efeitos o ar É incorreto af irmar que: a) a elociae o projétil aria e ponto a ponto a trajetória, mas tem componente horizontal inariáel b) na Lua, com o mesmo e a mesma, o alcance horizontal seria maior c) aumentano-se (e a 9 ), a f lecha a trajetória (altura máima) aumenta ) entre a boca o canhão e o értice a trajetória, qualquer plano horizontal é atraessao uas ezes com elociaes e móulos iuais e) o alcance horizontal epene a massa o projétil (m) 48 t 3º t 1 t
Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 13 sen 3º 1 1 m/s + t t 48 1 t 5 t t 1 8 s e t 1 s Δt t t 1 Δt 4 s Resposta: 4 s 4 Um trem e brinqueo, moeno-se com elociae constante sobre trilhos retilíneos e horizontais, ai passar pelo túnel B B a) Δs t 8 5 t t 4 s b) Δ B t 3 4 1 m c) t 1 4 4 m/s ) B 3 m/s 4 m/s Respostas: a) 4 s; b) 1 m; c) 4 m/s; ) 3 m/s e 4 m/s, respectiamente Uma mola comprimia e isposta erticalmente lança para cima uma bola e aço, que sai pela chaminé o trem quano esta está prestes a entrar no túnel Sabeno que a inf luência o ar nesse eperimento é esprezíel e que o alcance horizontal a bola é lieiramente maior que o comprimento B o túnel (a bola não colie com o túnel), analise as seuintes af irmações: 1 trajetória a bola em relação aos trilhos é parabólica trajetória a bola em relação ao trem é retilínea e ertical 4 elociae etorial inicial a bola, em relação aos trilhos, é ertical 8 No ponto e altura máima, a elociae a bola é nula em relação aos trilhos 16 No ponto e altura máima, a elociae a bola é nula em relação ao trem, mas, em relação aos trilhos, é iual à o trem 3 Quano o trem está saino o túnel, a bola cai em sua chaminé 64 O alor aproimao o comprimento B o túnel poe ser calculao multiplicano-se a elociae o trem pelo tempo T urante o qual a bola estee em moimento lire Dê como resposta a soma os números associaos às af irmações corretas São corretas as af irmações 1,, 16, 3 e 64 Resposta: 115 41 No instante t, uma pera, e massa M, foi abanonaa a partir o repouso, e uma altura h 8 m Nesse mesmo instante, uma pera B, e massa M, foi lançaa horizontalmente com elociae B 3 m/s, a partir a mesma altura h 8 m h 8 m t B h 8 m t Chão plano e horizontal B 3 m/s t Desprezano inf luências o ar e consierano 1 m/s : a) calcule o instante t em que a pera chea ao chão; b) calcule a istância percorria pela pera B, na horizontal, até chear ao chão; c) calcule o móulo a elociae a pera imeiatamente antes e tocar o chão; ) etermine os móulos as componentes horizontal ( ) e ertical ( ) a elociae a pera B imeiatamente antes e ela tocar o chão 4 De uma mesma altura h e no mesmo instante t, uma bola é abanonaa a partir o repouso e outra bola, B, é lançaa horizontalmente h B h Solo s bolas e B atinem o solo nos instantes t e t B, com elociaes e móulos e B respectiamente Desprezano inf luências o ar, é correto af irmar que: a) t t B e B ) t t B e B > b) t B > t e B > e) t t B e B < c) t B > t e B Resposta: 43 (Vunesp-SP) Duas pequenas esferas iênticas, 1 e, são lançaas o parapeito e uma janela, perpenicularmente à paree, com elociaes horizontais 1 e, com > 1, como mostra a f iura, e caem sob a ação a raiae Parapeito ( > 1 ) 1 1 Solo Paree esfera 1 atine o solo num ponto situao à istância 1 a paree, t 1 seunos epois e abanonar o parapeito, e a esfera, num ponto situao à istância a paree, t seunos epois e abanonar o parapeito Desprezano a resistência oferecia pelo ar e consierano o solo plano e horizontal, poemos af irmar que: a) 1 e t 1 t ) 1 > e t 1 < t b) 1 < e t 1 < t e) 1 < e t 1 t c) 1 e t 1 > t Resposta: e
14 PRTE II DINÂMIC 44 (Cesranrio-RJ) f iura mostra as fotoraf ias estroboscópicas os moimentos e uas bolas elociae inicial a primeira é nula (no ponto P) e a seuna tem elociae inicial paralela ao eio (no ponto Q) frequência o estroboscópio é esconhecia P Q 46 Um aião que oa em linha reta, paralelamente ao solo, suposto plano e horizontal, tem elociae constante e móulo 8 m/s Em eterminao instante, uma escotilha é aberta e lara-se uma bomba, que esce ao solo Despreze a resistência o ar Consierano 1 m/s e assumino para a altura o aião o alor, 1 3 m, etermine: a) a istância percorria pela bomba, na horizontal, ese o instante em que foi solta até o instante em que cheou ao solo; b) a istância entre o aião e a bomba no instante em que esta toca o solo; c) as formas as trajetórias a bomba em relação ao aião e em relação ao solo t 8 m/s Qual (quais) as seuintes af irmações poe(m) ser erif icaa(s) por uma simples análise as fotoraf ias? I aceleração e caa bola é paralela ao eio II s uas bolas caem com acelerações iuais III s bolas têm massas iuais a) I somente b) I e III somente c) II e III somente ) I, II e III e) I e II somente Pela análise as fotoraf ias: percebemos que as elociaes as uas bolas só ariam na ireção o eio ; portanto, a aceleração etorial e caa bola é paralela a esse eio (como sabemos, a aceleração é ) percebemos que os moimentos as bolas são iênticos na ireção o eio ; portanto, suas acelerações são iuais naa poemos concluir a respeito as massas as bolas (como sabemos, as massas as bolas não inf luem nas características esses moimentos, ese que lires), 1 3 (m) t a) Δ t, 13 5 t t s q q 8 1,6 1 3 m b) Como o aião e a bomba estão na mesma ertical, a istância entre eles é iual a, 1 3 m c) Semento e reta ertical e arco e parábola, respectiamente Respostas: a) 1,6 1 3 m; b), 1 3 m; c) Em relação ao aião, semento e reta ertical Em relação ao solo, arco e parábola 47 Uma pequena esfera e chumbo rola sobre uma mesa e 8 cm e altura, caino ela como inica a f iura mita que o móulo a aceleração a raiae no local seja e 1 m/s e espreze a resistência o ar Resposta: e 45 f iura representa a fotoraf ia estroboscópica e uma bola lançaa horizontalmente nas proimiaes a Terra: Seno a 1 m e c 4 m, calcule b e a b Moimento uniforme na horizontal: c c 4 m 1, m Calcule a elociae a esfera: a) ao abanonar a mesa; b) ao se chocar com o chão a) h,8 m h,8 5 t t,4 s q q Δ t 1,,4 3, m/s b) 3, m/s 1,4 4, m/s Quea lire na ertical: b 3 a b 3 m + 5, m/s Respostas: b 3 m; 4 m Respostas: a) 3, m/s; b) 5, m/s
Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 15 48 Um projétil é lançao obliquamente na conição e máimo alcance horizontal Compare esse alcance com a máima altura atinia em relação ao níel o ponto e lançamento Despreze a inf luência o ar má 1 h má sen 4 h má : como h é iual nas três situações, então também é má t s : como é iual nas três situações, então os tempos e subia e os tempos totais também são Quanto maior for o eslocamento horizontal no mesmo interalo e tempo, maior será a intensiae a componente horizontal a elociae Resposta: c Portanto: má 4 h má Resposta: O alcance horizontal é o quáruplo a altura máima 49 (UFPE) Dois bocais e manueiras e jarim, e B, estão f ios ao solo O bocal é perpenicular ao solo e o outro está inclinao e 6 em relação à ireção e Correntes e áua jorram os ois bocais com elociaes e móulos iênticos Qual a razão entre as alturas máimas e eleação a áua? 51 ER No instante t, um projétil é atirao para cima com ânulo e 45 em relação à horizontal, com elociae e móulo 8 m/s Desprezano a inf luência o ar e consierano 1 m/s, etermine: a) o(s) instante(s) em que o projétil encontra-se a 14 metros acima o plano horizontal e lançamento; b) o móulo a elociae o projétil no instante t s otemos o sistema e eios representao na f iura a seuir: : h má 1 B: h máb sen h má h máb 4 Resposta: h má h máb 4 B 6º 3º 1 4 h má 5 (UFV-MG) f iura abaio mostra três trajetórias e uma bola e futebol que é chutaa e um mesmo ponto Temos: 8 m/s, 45 1 m/s cos 8 8 m/s sen 8 8 m/s a) No eio, poemos escreer: + t t 8t 5t a b c Sejam t o tempo e permanência a bola no ar, V a componente ertical a elociae inicial a bola e V h a componente horizontal a elociae inicial Em relação a essas três ranezas físicas e consierano as três trajetórias a, b e c anteriores, lires a resistência o ar, poe-se concluir que: a) t a < t b < t c, V a V b V c, V ha V hb V hc b) t a t b t c, V a < V b < V c, V ha < V hb V hc c) t a t b t c, V a V b V c, V ha < V hb < V hc ) t a t b t c, V a V b V c, V ha > V hb > V hc e) t a < t b < t c, V a < V b < V c, V ha V hb > V hc Queremos saber quano ale 14 m: 14 8t 5t t 16t + 8 ssim, obtemos: t 1 s e t 14 s (urante a subia) (urante a escia) b) Em qualquer instante o moimento, a elociae seuno o eio é iual a : 8 m/s
16 PRTE II DINÂMIC Seuno o eio, a elociae aria com o tempo, e acoro com a função: t 8 1t Para t s: 8 1 6 m/s t s plicano o Teorema e Pitáoras, em: + 8 + 6 1 1 m/s 53 (Uf la-mg) Uma pessoa caminha numa trajetória retilínea e horizontal a uma elociae constante e móulo,8 m/s Ela arremessa para cima, reularmente, uma bolinha e torna a peá-la na mesma altura o lançamento anterior caa arremesso, a bolinha atine a altura e 1,5 m (consiere 1, m/s ) Quantos metros a pessoa caminhou até concluir 1 arremessos? a) 7, m c) 8, m e) 8,5 m b) 7,5 m ) 8,3 m Em caa arremesso, temos, em relação ao solo: t t s 5 Um joaor e futebol, após riblar o oleiro, encontra-se no ponto J inicao na f iura e chuta em ireção ao meio o ol, como suere a linha tracejaa, com a meta completamente esuarnecia Use 1 m/s ; sen 3,5; cos 3,87 8,7 m J h má 1,5 m t,8 m/s Δ, 1,5 5, m/s t 5, 1, t s t s,5 s T 1, s Δ t T,8 1,,8 m Em 1 arremessos: Δ 1 1,8 Δ 8, m Resposta: c t T Sabeno que a bola, ao ser chutaa, sai com elociae e m/s, formano 3 com o ramao, e que a altura a trae é e,44 m, ia, justif icano com cálculos, se o ol aconteceu ou não Despreze a inf luência o ar 54 O canhão a f iura ispara um projétil com elociae inicial e móulo iual a, atinino um alo estacionário situao em P: P (m) m 45 3º 8,7 (m) cos 3º,87 17,4 m/s sen 3º,5 1 m/s Calculemos o instante em que a bola passa por 8,7 m: + t 8,7 + 17,4 t t,5 s Calculemos a orenaa a bola nesse mesmo instante: + t t + 1,5 1,5 3,75 m Como 3,75 m é maior que a altura a trae, o ol não aconteceu Resposta: Não aconteceu 4 m Desprezano a inf luência o ar e supono 1 m/s : a) calcule ; b) ia se, ao atinir o alo, o projétil está em moimento ascenente ou escenente a) Temos: cos 45 t t + t t sen 45 t 5 t t 5 t (II) o atinir o alo, temos, no mesmo instante, 4 m e m (I)
Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 17 Em (I): 4 t t 48 Em (II): 48 5 48 4 5 48 5 48 48 16 48 4 4 1 m/s b) o atinir o alo: t 48 48 t 4 1 s t 1 t 1 1 4 4 m/s Como >, o moimento é ascenente Respostas: a) 1 m/s; b) scenente 55 ER Um aião em moimento retilíneo e uniforme, com elociae e móulo, mantém-se a uma altura em relação ao solo, plano e horizontal: 56 (FEI-SP) Um objeto oa numa trajetória retilínea, com elociae m/s, numa altura 1 5 m em relação ao solo Quano o objeto passa eatamente na ertical e uma peça e artilharia, essa ispara um projétil, num ânulo e 6 com a horizontal O projétil atine o objeto ecorrio o interalo e tempo Δt ote 1 m/s e calcule: a) a elociae e lançamento o projétil; b) o menor interalo e tempo Δt em que o projétil atine o objeto (m) 15 t t 6º a) cos 6º 1 4 m/s b) + Y t t 1 5 4 3 t e 5 t e t e menor 4,6 s Δt menor 4,6 s Respostas: a) 4 m/s; b) 4,6 s t e p Solo No solo, eiste um canhão que ispara com a f inaliae e atinir o aião eatamente quano ambos se situam na mesma ertical elociae e lançamento o projétil tem móulo P e o ânulo e lançamento é Desprezano inf luências o ar e as imensões o canhão e o aião, estabeleça as conições para que o projétil atinja o alo Consiere o móulo a aceleração a raiae no local primeira conição que eemos impor é a iualae entre os móulos a elociae o aião e a componente horizontal a elociae o projétil: p cos Isso sinif ica que, para o projétil atinir o aião nas conições o problema, é necessário que ambos se moam com a mesma rapiez seuno a horizontal Isso, entretanto, não basta, pois é possíel que o projétil f ique sempre abaio o aião Por isso, eemos impor também que a altura máima o projétil ( P ) seja maior que a altura o oo () ou iual a ela: P P sen Como < < 9 : p sen 57 (Unicamp-SP) Um carro, a uma elociae constante e 18 km/h, está percorreno um trecho e rua retilíneo Deio a um problema mecânico, pina óleo o motor à razão e 6 otas por minuto Qual a istância entre os pinos e óleo que o carro eia na rua? 18 km/h 5 m/s 6 otas 1 ota a caa 1 s 6 s Δ t 5 1 Δ 5 m Resposta: 5 m 58 ER Uma esteira transportaora lança minério horizontalmente com elociae Consiere esprezíel a inf luência o ar e aote 1 m/s 3, m, m 18 m a) Determine o interalo as intensiaes e para que o minério caia entro a carroceria o caminhão b) Se o esníel fosse maior, o interalo citao no item anterior aumentaria, iminuiria ou permaneceria o mesmo?
18 PRTE II DINÂMIC a) O tempo e quea o minério é ao por: 3, t 1 q,8 s istância percorria pelo minério, na horizontal, urante a quea, é iual a : Deemos ter:,8, m < < m, <,8 < Diiino por,8 toos os termos a última epressão, obtemos: b) Temos que:,5 m/s < < 5 m/s, < < Tempo para uma caia cair 3, m, na ertical: h 3, t 1 q,8 s Decorrio esse tempo, o eslocamento horizontal a caia ee ser menor que 4,8 m e maior que,4 m: Δ,8,4 <,8 < 4,8 3, m/s < < 6, m/s Resposta: 3, m/s < < 6, m/s 6 (UFV-MG) Um aião e cara oa a uma altitue h iual a 3 m, à elociae e 1 m/s Ele eia cair um pacote que ee atinir um barco se eslocano a m/s na mesma ireção e sentio o aião que istância horizontal, atrás o barco, o aião eerá abanonar o pacote? Consiere 1 m/s e espreze inf luências o ar no moimento o pacote em que Então:, < < h Multiplicano toos os termos por, < <, em: Então, a larura o interalo é iual a 18 Portanto, se fosse maior, o interalo iminuiria 59 Na situação esquematizaa, a esteira lança horizontalmente as caias, que eem ir iretamente para a ala Tempo e quea o pacote: h 3 t 1 q 8 s Consierano-se os moimentos na horizontal e tomano-se um referencial no barco, a elociae o pacote é constante, e móulo iual a 8 m/s (1 m/s m/s): Pacote Δt 8 m/s 8 8 64 m Resposta: 64 m Barco 3, m Vala 61 (Olimpíaa Brasileira e Física) Dois rapazes brincam e tênis na praia Um eles á uma raquetaa na bola a,45 m e altura e esta sai horizontalmente com elociae e 7 km/h Qual ee ser a elociae mínima o outro rapaz, situao inicialmente,3 m à frente o primeiro, para que consia aparar a bola antes que ela bata na areia? (ote 1 m/s ) m/s (m),4 m 4,8 m Consierano 1 m/s e esprezano inf luências o ar, etermine o interalo os alores as elociaes com que as caias eem ser lançaas,45 (m),3
Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 19 t,45 5,7 s Δ t,7 14 m,3 14,7 Resposta: 9, m/s 9, m/s 6 De uma nae estacionária, a 4 m e altura em relação ao solo plano e horizontal e um planeta K, uma esfera metálica é lançaa horizontalmente com elociae Sabe-se que (m) a atmosfera o planeta t praticamente não inf lui no 4 moimento a esfera s coorenaas e a esfera são lias no sistema e referência representao na f iura ao lao e ariam com o tempo t conforme os ráf icos: (m) (m) 4 (m) 4 rco e parábola 63 (Fuest-SP) f iura abaio representa as elociaes em função o tempo e ois corpos que eecutam moimentos erticais O o corpo, e massa M, é escrito por uma linha azul; o o corpo B, e massa 3M, por uma linha ermelha Em um os interalos e tempo listaos abaio, ambos estão sob a ação eclusia e um campo raitacional constante Tal interalo é: a) e a T 1 ) e T 3 a T 4 b) e T 1 a T e) e T 4 a T 5 c) e T a T 3 T 1 T T 3 T 4 Sob a ação eclusia o campo raitacional, os ois corpos têm a mesma aceleração e móulo, inepenentemente e suas massas Então, o interalo e tempo peio é aquele em que ois ráf icos são sementos e reta inclinaos, paralelos entre si B T 5 T Resposta: b t (s) t (s) a) Calcule os móulos a elociae inicial a esfera e a aceleração a raiae na superfície o planeta K b) Represente a trajetória a esfera no sistema e referência ao a) Do ráf ico t: Δ Δt 4 m/s Do ráf ico t: h 4 b) t s 4 m 1 m/s 64 Um bloco e chumbo cai o topo e uma torre Consierano esprezíel a inf luência o ar e seno a intensiae o campo raitacional, calcule a istância percorria pelo bloco urante o enésimo seuno e quea lire + t t n 1 (n 1) n n t (m) 4 rco e parábola t n 1 t n s Respostas: a) m/s e 1 m/s 4 (m) n + n 1 n (n 1) + n n n + + b) (m) 4 rco e parábola ( n 1) 4 (m) ( n 1) Resposta:
PRTE II DINÂMIC 65 De um telhao caem otas e chua separaas por interalos e tempo iuais entre si No instante em que a quinta ota se esprene, a primeira toca o solo Qual a istância que separa as uas últimas otas consecutias, nesse instante, se a altura o telhao é e 16 m? Não consiere a resistência o ar e aote 1 m/s Tempo e quea a primeira ota: h 16 1 3, s 16 m 5ª 4ª Seja T o interalo e tempo ecorrio entre os esprenimentos e otas consecutias Temos, então: 4 T T 3, 4 T 1 3, 16 1 m Resposta: 1 m 66 (UFC-CE) Um chueiro, situao a uma altura e 1,8 m o solo, ineiamente fechao, eia cair pinos e áua a uma razão constante e 4 pinos/seuno No instante em que um ao pino toca o solo, o número e pinos, atrás ele, que já estão a caminho é (alor a aceleração a raiae: 1 m/s ): a) b) 1 c) ) 3 e) 4 Tempo e quea e um pino: h 1,8 1 3ª ª 1ª,6 s Entre as saías e ois pinos sucessios, o tempo ecorrio é e 1 4 s, ou,5 s Então, em,6 s apenas ois outros pinos já se espreneram o chueiro Resposta: c 68 No instante t, uma esfera e aço () é abanonaa o topo e uma torre muito alta pós um interalo e tempo T, uma outra esfera e aço (B) é abanonaa o mesmo ponto Seno a intensiae o campo raitacional e supono esprezíel a inf luência o ar, represente raf icamente a istância entre as esferas em função o tempo enquanto estierem em quea lire De t a t T: s t e s B s s B t partir e t T: s t e s B (t T) T s s B t t t T + T T t T Resposta: T T T t 69 Um balão B sobe erticalmente em moimento uniforme a m/s No instante (t ) em que ele se encontra a m o solo, um projétil P é lançao também erticalmente para cima, partino o solo com elociae, como mostra a f iura Desprezano inf luências o ar no moimento o projétil, etermine para que ele alcance o balão Consiere 1 m/s t O s t 67 (FGV-SP) Uma pera cai em um poço e o obseraor oue o som a pera no funo após 9 s mitino uma aceleração e raiae iual a 1 m/s e a elociae o som e 3 m/s, qual a profuniae o poço? Despreze a resistência o ar s (m) t B Seja a profuniae o poço Tempo e quea a pera: 1 5 Tempo para o som propaar-se o funo o poço até o obseraor: Δs t 3 t s t s 3 + t s 9 + 5 3 9 3 m Resposta: 3 m O t P Solo
Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 1 s B + t s p t 5 t s p s B : Δ + t e t e 5 t e 5 t + ( ) t + e e Δ ( ) 4 ( ) 4 Como m/s Resposta: m/s m/s 7 No instante t, uas bolinhas e chumbo, e B, são lançaas erticalmente e um mesmo local situao a uma certa altura o solo, com elociaes iniciais e mesmo móulo : é lançaa para cima e B, para baio Desprezano a inf luência o ar e seno a intensiae o campo raitacional, etermine a istância entre as bolinhas em função o tempo t, antes que aluma elas toque o solo Lembremos que a componente horizontal e é iual a Resposta: c 7 (UFMG) Um cano e irriação, enterrao no solo, ejeta áua a uma taa e 15 litros por minuto com uma elociae e 1 m/s saía o cano é apontaa para cima fazeno um ânulo e 3 com o solo, como mostra a f iura Despreze a resistência o ar e consiere 1 m/s, sen 3,5 e cos 3,87 3 Δ B Calcule quantos litros e áua estarão no ar na situação em que o jato áua é contínuo o cano ao solo O interalo e tempo ecorrio ese quano a áua sai o cano até o instante em que retorna ao solo é ao por: s s + t + α s t t t B Solo s O T sen 15 litros 6 s 1 s,5 litro Resposta:,5 litro 1 1 1 T 1 s s B t t s s B t Resposta: t 71 Um projétil é lançao obliquamente com elociae e passa pelo ponto e altura máima com elociae Desprezano a inf luência o ar, inique a alternatia em que está mais bem representao o etor ( ): a) ) b) c) e) 73 No instante t 1, uma pessoa paraa na plataforma e uma estação ferroiária joa uma maçã erticalmente para cima, com elociae inicial e móulo iual a 1 m/s, aarrano-a em seuia, no instante t, na mesma altura a qual foi lançaa Enquanto a maçã realizou esse moimento e sobe-e-esce, um trem passou pela estação em moimento retilíneo e uniforme, a 3 m/s Consierano iual a 1 m/s e esprezano inf luências o ar, etermine, em relação a um passaeiro sentao no trem, o móulo o eslocamento etorial a maçã entre os instantes t 1 e t Tempo e uração o sobe-e-esce: T t s T 1 1 T s Em relação ao passaeiro, a maçã realizou um lançamento oblíquo, em que 3 m/s e: T 3 6 m Resposta: 6 m
PRTE II DINÂMIC 74 (UFRN) O eperimento ilustrao na f iura a seuir é realizao na superfície a Terra Nesse eperimento, uma pessoa lança uma pequena esfera no mesmo instante em que um objeto que estaa preso no teto é liberao e cai liremente esfera, lançaa com elociae, atine o objeto após um tempo t Se repetirmos, aora, esse mesmo eperimento num ambiente hipotético, one a aceleração local a raiae é nula, o tempo e colisão entre a esfera e o objeto será t Esfera seno lançaa Objeto h Ilustração o moimento e uma esfera lançaa por um instrumento ruimentar (zarabatana) Consierano esprezíel a resistência o ar nesses eperimentos, poe-se af irmar que: a) t t b) t t h c) t > t ) t > t h t a) Determine a razão M / T entre os alores a aceleração a raiae em MRTE e na TERR b) Determine o alor aproimao L M, em metros, o comprimento o campo em MRTE c) Determine o alor aproimao o tempo t M, em seunos, asto pela bola, em um chute e máimo alcance, para atraessar o campo em MRTE (ote T 1 m/s ) a) M T b) L T L M G M M R M G M T R T M T,4 T M L M 5 m M M M T R T R M,1 1,5 sen ( má sen sen 9 1) L M L T T M L M 1 1,4 Primeiro eperimento: Δ t D cos t D t t c) O tempo total no lançamento oblíquo é ao por: T sen L T 1 T 1 1 1 m/s t M sen 45 sen 45 1 1 M,4 T,4 1 t M 5 5 s t M 11 s cos cos t t Seuno eperimento: t t Resposta: a Respostas: a),4; b) 5 m; c) 11 s 76 (Mack-SP) Da aresta superior o tampo retanular e uma mesa e 8 cm e altura, um pequeno corpo é isparao obliquamente, com elociae inicial e móulo 5, m/s, conforme mostra a f iura abaio O tampo a mesa é paralelo ao solo e o plano a trajetória escrita, perpenicular a ele 75 (Fuest-SP) Estamos no ano e 95 e a interplanetariamente famosa F if (Feeração Interplanetária e Futebol maor) está oranizano o Campeonato Interplanetário e Futebol, a se realizar em MRTE no ano 1 F icou estabelecio que o comprimento o campo ee corresponer à istância o chute e máimo alcance conseuio por um bom joaor Na TERR, essa istância ale L T 1 m Suponha que o joo seja realizao em uma atmosfera semelhante à a TERR e que, como na TERR, possamos esprezar os efeitos o ar e aina que a máima elociae que um bom joaor conseue imprimir à bola seja iual à na TERR Suponha que M M /M T,1 e R M /R T,5, em que M M e R M são a massa e o raio e MR- TE e M T e R T são a massa e o raio a TERR α Fiura sem escala 8 cm
Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 3 Sabeno que o corpo tanencia a aresta oposta, poemos af irmar que a istância é e: a),6 m b),8 m c) 1, m ) 1,6 m e) 3, m Despreze a resistência o ar e consiere: sen α,6; cos α,8; 1 m/s Nota: Outra opção seria testar as alternatias b, c,, e e, buscano aquela para a qual 1m e 4 m Resposta: b V 78 (Unicamp-SP) Uma bola e tênis rebatia numa as etremiaes a quara escree a trajetória representaa na f iura abaio, atinino o chão na outra etremiae a quara O comprimento a quara é e 4 m (ote 1 m/s ) t α,8 m t T V X V cos α 5,,8 V Y V sen α 5,,6 V sen α cos α 5, 1 V X 4, m/s V Y 3, m/s,6,8,4 m + V Y t t,8 + 3, T 5, T T,8 s + V X t + V X T,4 + 4,,8,8 m Resposta: b 77 (Faap-SP) s trajetórias os animais saltaores são, normalmente, parabólicas f iura mostra o salto e uma rã representao em um sistema e coorenaas cartesianas O alcance o salto é e 4 metros e a altura máima atinia é e 1 metro (ote 1 m/s ) 1 4 partir esses aos, poe-se concluir que a trajetória a rã tem equação: a),5 + c),5 e) + 8 b),5 + ) + 4 V X V Y V Y 4 V X V Y h má 1 V Y V X t t V t 5 t V X V Y V X 5 V X Como V Y V X e V X :,5 (SI) V Y V X e V X ltura (cm) 15, 6,5 ree, 4 8 1 16 4 Distância (m) a) Calcule o tempo e oo a bola, antes e atinir o chão Desconsiere a resistência o ar nesse caso b) Qual é a elociae horizontal a bola no caso acima? c) Quano a bola é rebatia com efeito, aparece uma força F E, ertical, e cima para baio e iual a 3 ezes o peso a bola Qual será a elociae horizontal a bola, rebatia com efeito, para uma trajetória iêntica à a f iura? a) De 8 m a 4 m, temos: Como V X é constante, seu alor é o mesmo e a 8 m e e 8 m a 4 m: 8 t S 4 8 t S t oo + t S + 3 t t 3 q oo t oo 3 1,5 1 t oo,75 s b) De a 4 m, por eemplo, temos: V X Δ t oo 4 m 3 4 s V X 3 m/s c) Passamos a ter uma raiae aparente ap 4 De (I): t oo 3 4 1 t 1 oo 3 4 t 3 oo 8 s De a 4 m: V X Δ t oo 4 3 8 V X 64 m/s Respostas: a),75 s; b) 3 m/s; c) 64 m/s (I)
4 PRTE II DINÂMIC 79 Um aião e bombareio oa horizontalmente em linha reta, à altura, com elociae Para atinir o alo inicao na f iura, uma bomba é solta a partir o repouso em relação ao aião Desprezano a inf luência o ar no moimento a bomba, etermine o ânulo, seno a intensiae o campo raitacional Linha e isaa Trajetória parabólica lo a) Consiere o caso em que o saque é efetuao na ireção horizontal e e uma altura maior que a altura o joaor bola e massa M seue por uma trajetória retilínea e horizontal com uma elociae constante, atraessano toa a etensão a quara Quais eem ser o sentio e a elociae anular e rotação ω a serem impressos na bola no momento o saque? b) Consiere o caso em que o saque é efetuao na ireção horizontal, e uma altura h, com a mesma elociae inicial, mas sem imprimir rotação na bola Calcule o alcance horizontal D a bola a) F Manus Solo ω MRU P F Manus P k ω M ω M k (sentio inicao na f iura: anti-horário) t t b) t Resposta: t h 8 (Unifesp-SP) É comum ermos, urante uma partia e oleibol, a bola tomar repentinamente trajetórias inesperaas loo epois que o joaor efetua um saque bola poe cair antes o esperao, assim como poe ter sua trajetória prolonaa, um efeito inesperao para a baia elociae com que a bola se locomoe Quano uma bola se esloca no ar com uma elociae, irano com elociae anular ω em torno e um eio que passa pelo seu centro, ela f ica sujeita a uma força F Manus k ω Essa força é perpenicular à trajetória e ao eio e rotação a bola, e o seu sentio epene o sentio a rotação a bola, como ilustrao na f iura O parâmetro k é uma constante que epene as características a bola e a ensiae o ar F Manus h D D h h D t Respostas: a) M k no sentio anti-horário; b) h ω ω 81 Uma bola rola o alto e uma escaa com elociae horizontal e móulo 4 m/s Caa erau tem 5 cm e larura e 5 cm e altura Desprezano a inf luência o ar, etermine que erau a bola tocará primeiro 1º erau r r F Manus 1 m/s 5 cm 5 cm Esse fenômeno é conhecio como efeito Manus Represente a aceleração a raiae por e espreze a força e resistência o ar ao moimento e translação a bola 45
Tópico 5 Moimentos em campo raitacional uniforme 5 45 rco e parábola 83 (man-rj) Um pequeno bale conteno áua é preso a um lee e inetensíel f io e comprimento L, tal que L,5 m, seno af iao a uma altura () e 1, m o solo (S), como mostra a f iura À meia que o bale ira numa circunferência horizontal com elociae constante, otas e áua que ele azam atinem o solo formano um círculo e raio R Consierano 1 m/s o móulo a aceleração eia à raiae e 6, o alor e R será, em metros: Equação a parábola: 4 t t 4 5 t 5 16 Interseção a parábola com a reta : 5 e 3, m 16 Portanto, a bola tocará primeiro o sétimo erau Resposta: o sétimo erau 8 (FCC) Se um pequeno furo for feito na paree ertical e um reseratório que contenha um líquio ieal (sem iscosiae), um f ilete e líquio escoará pelo furo e sua elociae inicial terá intensiae h h Consiere o moimento o f luio como o e um projétil lançao no ácuo, ese o furo, com elociae Se esejarmos que o f ilete incia em um ponto G o mais afastao possíel e F, a que profuniae h o furo eerá ser feito? F G S L R a) 17 5 b) 11 4 c) 1 3 ) 1 4 e) 4 5 P r L sen (I) t F m cp t r P m r t L sen t T F cp r L (II) V Gota h h ( h) h ( h) h h Precisamos o alor e h que torna máima a função h h : h b a ( 1) Resposta: h h h L cos h ( L cos ) ( L cos ) (III) Substituino (II) em (III), temos: L sen t ( L cos ) L sen t ( L cos ) (IV)
6 PRTE II DINÂMIC Olhano e cima: o solo De que altura ee-se abanonar, simultaneamente com a primeira, uma seuna bolinha para que a sua terceira colisão com o solo coincia com a quinta colisão a primeira bolinha? (ote 1 m/s ) r R Colisões a seuna bolinha: Colisões a primeira bolinha: R r + De (I) e (IV): R L sen + L sen t ( L cos ) h 1 h R R 1 1 4 m 3 4 + 1 3 3 1, 1 1 1ª ª 3ª 4ª 5ª Como o tempo e quea h 1ª ª 3ª é iual ao e subia: Resposta: 84 Uma bolinha encontra-se em moimento circular e uniforme e frequência iual a 3 rpm, num plano horizontal Uma outra bolinha B é abanonaa a partir o repouso, e uma altura, num instante em que e B estão na mesma ertical B Desprezano a inf luência o ar e consierano 1 m/s, etermine os alores e para que a bolinha B acerte a bolinha frequência e é f 3 rpm,5 z Para que B acerte, o tempo e quea e B,, ee ser iual a n T, em que T é o períoo e e n 1,, 3, n T n T n T T 1 f,5 1 T s n 1 n ( m) (n 1,, 3, ) Resposta: n ( m), em que n 1,, 3, 85 (Olimpíaa Brasileira e Física) Uma bolinha e aço, abanonaa a 1, m e altura e um piso muito uro, realiza um moimento perióico e subia e escia, por tempo ineterminao, se esconsierarmos as peras e eneria mecânica na resistência o ar e nas colisões com Δt primeira bolinha 9 h 1 Δt primeira bolinha 5 h Resposta: 3,4 m 9 1, 5 h h 3,4 m 86 O que se poe af irmar a respeito a trajetória e um ponto material, sabeno-se que a resultante as forças que atuam nele é constante? a) Se a força resultante é constante e nula, o ponto material está em repouso ou em moimento retilíneo e uniforme Nesse caso, a trajetória é puntiforme ou retilínea b) Se a força resultante é constante e não-nula: a trajetória é retilínea se o ponto material partiu o repouso ou já se moia na ireção a força resultante quano ela passou a eistir É o que ocorre, por eemplo, nos moimentos erticais lires, próimos ao solo a trajetória é parabólica se o ponto material já se moia em uma ireção iferente a ireção a força resultante quano ela passou a eistir É o que ocorre, por eemplo, nos moimentos lires não- -erticais, próimos ao solo Resposta: trajetória é um ponto, um semento e reta ou um arco e parábola 87 Um projétil é lançao obliquamente e um terreno plano e horizontal, com elociae inicial e móulo iual a 3 m/s, atinino uma altura máima e 5 m Despreze as inf luências o ar e consiere 1 m/s a) Calcule o móulo a mínima elociae atinia pelo projétil urante seu moimento lire b) Uma circunferência tem o mesmo raio e curatura em qualquer um e seus pontos Uma parábola, entretanto, tem raio e curatura ariáel Calcule o raio e curatura a trajetória o projétil, no ponto e altura máima