PÓRTICO, QUADROS E ESTRUTURAS MISTAS MODELO 01 Para a viga poligonal contínua, indicada na Figura 1, determinar por Análise Matricial de Estruturas as rotações e as reações verticais nos apoios e. Dados: módulo de elasticidade do aço E = 205x10 6 kn/m 2, perfil tubular quadrado de lado a.= 140 mm e espessura da parede t.= 20 mm. Barra AB Figura 1 Viga poligonal de aço estrutural Dados: E=205x10 6 kn/m 2 ; A=9,6x10 m 2 ; I=2,368x10-5 m 4 ;L= ; 0º (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) K AB 492000,0000 0,0000 0,0000-492000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 910,2000 1820,4000 0,0000-910,2000 1820,4000 0,0000 1820,4000 4854,4000 0,0000-1820,4000 2427,2000-492000,0000 0,0000 0,0000 492000,0000 0,0000 0,0000 0,0000-910,2000-1820,4000 0,0000 910,2000-1820,4000 0,0000 1820,4000 2427,2000 0,0000-1820,4000 4854,4000 Barra BC Dados: E=205x10 6 kn/m 2 ; A=9,6x10 m 2 ; I=2,368x10-5 m 4 ;L= 6 m; 0º (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) K BC 328000,0000 0,0000 0,0000 28000,0000 0,0000 0,0000 0,0000 269,6889 809,0667 0,0000-269,6889 809,0667 0,0000 809,0667 3236,2667 0,0000-809,0667 1618,1333 28000,0000 0,0000 0,0000 328000,0000 0,0000 0,0000 0,0000-269,6889-809,0667 0,0000 269,6889-809,0667 0,0000 809,0667 1618,1333 0,0000-809,0667 3236,2667 Barra CD Dados:E=205x10 6 kn/m 2 ; A=9,6x10 m 2 ; I=2,368x10-5 m 4 ;L= 3 m; 90º (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) K CD 2157,5111 0,0000 236,2667-2157,5111 0,0000 236,2667 0,0000 656000,0000 0,0000 0,0000-656000,0000 0,0000 236,2667 0,0000 6472,5333 3236,2667 0,0000 3236,2667-2157,5111 0,0000 3236,2667 2157,5111 0,0000 3236,2667 0,0000-656000,0000 0,0000 0,0000 656000,0000 0,0000 236,2667 0,0000 3236,2667 3236,2667 0,0000 6472,5333
MODELO 02 Para o pórtico apresentado na Figura 2a, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) os deslocamentos nodais; b) o momento reativo no engaste A; c) o diagrama de momentos fletores. TRECHO BC 20x140cm 8 m TRECHO AB Figura 2a Pórtico plano de concreto e características da seção transversal K BC = 1050000 0 0-1050000 0 0 0 32156 128625 0 2156 128625 0 128625 686000 0-128625 343000-1050000 0 0 1050000 0 0 0 2156-128625 0 32156-128625 0 128625 343000 0-128625 686000 K AB = 20250 0-40500 -20250 0-40500 0 900000 0 0-900000 0-40500 0 108000 40500 0 54000-20250 0 40500 20250 0 40500 0-900000 0 0 900000 0-40500 0 54000 40500 0 108000 Unidades: kn; m; kn/m2 Figura 2b Matrizes de rigidez dos elementos de pórtico plano no sistema global
MODELO 03 Para o pórtico apresentado na Figura 3a, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) os deslocamentos nodais; b) o momento reativo no engaste A; c) o diagrama de momentos fletores. TRECHO BC 8 m TRECHO AB Figura 3a Pórtico plano de concreto e características da seção transversal K BC = 450000 0 0-450000 0 0 0 2531 10125 0-2531 10125 0 10125 54000 0-10125 27000-450000 0 0 450000 0 0 0-2531 -10125 0 2531-10125 0 10125 27000 0-10125 54000 K AB = 20250 0-40500 -20250 0-40500 0 900000 0 0-900000 0-40500 0 108000 40500 0 54000-20250 0 40500 20250 0 40500 0-900000 0 0 900000 0-40500 0 54000 40500 0 108000 Unidades: kn; m; kn/m2 Figura 3b Matrizes de rigidez dos elementos de pórtico plano no sistema global
MODELO 04 Para o pórtico apresentado na Figura 4a, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) os deslocamentos nodais; b) o momento reativo no engaste A; c) o diagrama de momentos fletores. TRECHO BC 8 m TRECHO AB 10 kn Figura 4a Pórtico plano de concreto e características da seção transversal K BC = 450000 0 0-450000 0 0 0 2531 10125 0-2531 10125 0 10125 54000 0-10125 27000-450000 0 0 450000 0 0 0-2531 -10125 0 2531-10125 0 10125 27000 0-10125 54000 K AB = 20250 0-40500 -20250 0-40500 0 900000 0 0-900000 0-40500 0 108000 40500 0 54000-20250 0 40500 20250 0 40500 0-900000 0 0 900000 0-40500 0 54000 40500 0 108000 Unidades: kn; m; kn/m2 Figura 4b Matrizes de rigidez dos elementos de pórtico plano no sistema global
MODELO 05 Para o pórtico apresentado na Figura 5a, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) os deslocamentos nodais; b) o momento reativo no engaste A; c) o diagrama de momentos fletores. TRECHO BD 80x40cm TRECHO BC TRECHO AB 80x40cm 10 kn Figura 5a Pórtico plano de concreto e características da seção transversal K BD = 192000 0-192000 -192000 0-192000 0 4800000 0 0-4800000 0-192000 0 256000 192000 0 128000-192000 0 192000 192000 0 192000 0-4800000 0 0 4800000 0-192000 0 128000 192000 0 256000 K BC = 900000 0 0-900000 0 0 0 20250 40500 0-20250 40500 0 40500 108000 0-40500 54000-900000 0 0 900000 0 0 0-20250 -40500 0 20250-40500 0 40500 54000 0-40500 108000 K AB = 10 kn 192000 0-192000 -192000 0-192000 0 4800000 0 0-4800000 0-192000 0 256000 192000 0 128000-192000 0 192000 192000 0 192000 0-4800000 0 0 4800000 0-192000 0 128000 192000 0 256000 Unidades: kn; m; kn/m2 Figura 5b Matrizes de rigidez dos elementos de pórtico plano no sistema global
MODELO 06 Para o pórtico apresentado na Figura 6a, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) os deslocamentos nodais; b) o momento reativo no engaste A; c) o diagrama de momentos fletores. TRECHO BD 40x80cm TRECHO BC TRECHO AB 40x80cm 10 kn Figura 6a Pórtico plano de concreto e características da seção transversal K BD = 768000 0-768000 -768000 0-768000 0 4800000 0 0-4800000 0-768000 0 1024000 768000 0 512000-768000 0 768000 768000 0 768000 0-4800000 0 0 4800000 0-768000 0 512000 768000 0 1024000 K BC = 900000 0 0-900000 0 0 0 20250 40500 0-20250 40500 0 40500 108000 0-40500 54000-900000 0 0 900000 0 0 0-20250 -40500 0 20250-40500 0 40500 54000 0-40500 108000 K AB = 10 kn 768000 0-768000 -768000 0-768000 0 4800000 0 0-4800000 0-768000 0 1024000 768000 0 512000-768000 0 768000 768000 0 768000 0-4800000 0 0 4800000 0-768000 0 512000 768000 0 1024000 Unidades: kn; m; kn/m2 Figura 6b Matrizes de rigidez dos elementos de pórtico plano no sistema global
MODELO 07 Para o pórtico apresentado na Figura 7a, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) os deslocamentos nodais; b) o momento reativo no engaste A; c) o diagrama de momentos fletores. TRECHO BD 40x80cm 40 knm TRECHO BC 60 kn TRECHO AB 40x80cm Figura 7a Pórtico plano de concreto e características da seção transversal K BD = 768000 0-768000 -768000 0-768000 0 4800000 0 0-4800000 0-768000 0 1024000 768000 0 512000-768000 0 768000 768000 0 768000 0-4800000 0 0 4800000 0-768000 0 512000 768000 0 1024000 40 knm K BC = 900000 0 0-900000 0 0 0 20250 40500 0-20250 40500 0 40500 108000 0-40500 54000-900000 0 0 900000 0 0 0-20250 -40500 0 20250-40500 0 40500 54000 0-40500 108000 K AB = 60 kn 768000 0-768000 -768000 0-768000 0 4800000 0 0-4800000 0-768000 0 1024000 768000 0 512000-768000 0 768000 768000 0 768000 0-4800000 0 0 4800000 0-768000 0 512000 768000 0 1024000 Unidades: kn; m; kn/m2 Figura 7b Matrizes de rigidez dos elementos de pórtico plano no sistema global
MODELO 08 Para o pórtico apresentado na Figura 8a, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) os deslocamentos nodais; b) o momento reativo no engaste A; c) o diagrama de momentos fletores. TRECHO BD 40x80cm TRECHO BC 30 kn/m TRECHO AB 40x80cm Figura 8a Pórtico plano de concreto e características da seção transversal K BD = 768000 0-768000 -768000 0-768000 0 4800000 0 0-4800000 0-768000 0 1024000 768000 0 512000-768000 0 768000 768000 0 768000 0-4800000 0 0 4800000 0-768000 0 512000 768000 0 1024000 30 kn/m K BC = 900000 0 0-900000 0 0 0 20250 40500 0-20250 40500 0 40500 108000 0-40500 54000-900000 0 0 900000 0 0 0-20250 -40500 0 20250-40500 0 40500 54000 0-40500 108000 K AB = 768000 0-768000 -768000 0-768000 0 4800000 0 0-4800000 0-768000 0 1024000 768000 0 512000-768000 0 768000 768000 0 768000 0-4800000 0 0 4800000 0-768000 0 512000 768000 0 1024000 Unidades: kn; m; kn/m2 Figura 8b Matrizes de rigidez dos elementos de pórtico plano no sistema global
MODELO 09 Para as vigas hiperestáticas, esquematizadas abaixo, calcular por Análise Matricial de Estruturas: a) o deslocamento vertical no ponto B, para as duas situações (Figuras 9a e 9b); b) o momento fletor no ponto B, para as duas situações (Figuras 9a e 9b); c) a reação vertical no apoio elástico D (Figura 9b). Dados: módulo de elasticidade E=200x10 6 kn/m 2, A=6300x10-6 m 2 e I=67,7725x10-6 m 4. Figura 9a Viga hiperestática Figura 9b Viga hiperestática sobre apoio elástico Matriz de rigidez das barras AB e BC (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) Matriz de rigidez da mola BD (Unidades: kn, m) 4000-4000 -4000 4000
MODELO 10 Para a viga vagão, esquematizada na Figura 10, calcular por Análise Matricial de Estruturas: a) o deslocamento vertical no PONTO B; b) a força normal no CABO AD; c) o momento fletor no PONTO B; d) reação horizontal no PONTO A. 80 kn VIGA (C ) ESCORA CABO Figura 10 Viga vagão hiperestática Matriz de rigidez do cabo AD (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) 18128,5180-9064,2590-18128,5180 9064,2590-9064,2590 4532,1295 9064,2590-4532,1295-18128,5180 9064,2590 18128,5180-9064,2590 9064,2590-4532,1295-9064,2590 4532,1295 Matriz de rigidez do cabo DC (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) 18128,5180 9064,2590-18128,5180-9064,2590 9064,2590 4532,1295-9064,2590-4532,1295-18128,5180-9064,2590 18128,5180 9064,2590-9064,2590-4532,1295 9064,2590 4532,1295 Matriz de rigidez da escora DB (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 50670,7483 0,0000-50670,7483 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-50670,7483 0,0000 50670,7483 Matriz de rigidez da viga nos trechos AB e BC (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa)
MODELO 11 Para a viga atirantada esquematizada na Figura 11. A viga é formada por um perfil I de aço laminado bitola W150x13,0 ( I viga = 6,35x10 6 mm 4, A viga = 1660 mm 2 ) e o cabo de aço tem diâmetro igual a 10 mm (A cabo =78,5m 2 ). Pede-se determinar: a) o deslocamento vertical no ponto do meio do vão COM TIRANTE; b) o momento fletor no ponto do meio do vão COM TIRANTE; c) o deslocamento vertical no ponto do meio do vão SEM TIRANTE; d) o momento fletor no ponto do meio do vão SEM TIRANTE; Dado: módulo de elasticidade do aço estrutural E 200000 N/mm 2. Operar com 3 casas decimais. Adotar as Unidades Consistentes: N, mm, MPa (=N/mm 2 ). CABO K i j 2 cos EA cos sen L 2 - cos - cos sen cos sen 2 sen - cos sen 2 - sen 2 - cos - cos sen 2 cos cos sen - cos sen 2 - sen cos sen 2 sen Figura 11 Viga atirantada VIGA
MODELO 12 Para a viga atirantada, esquematizada na Figura 12, calcular por Análise Matricial de Estruturas: a) os deslocamentos verticais nos pontos B e C; b) o momento fletor no ponto A; c) a força normal no cabo BD. Sabe-se que o deslocamento horizontal nos pontos B e C são iguais a 0,01155mm e as rotações nos pontos B e C valem, respectivamente, -2,919x10 rad e -4,919x10 rad. Dados: módulo de elasticidade do aço estrutural E=200x10 6 kn/m 2, seção transversal da viga retangular 10x30 cm e diâmetro do cabo = 2 cm. CABO 2 cm 5m 3m 3m VIGA 30cm 10 cm Figura 12 Viga atirantada Matriz de rigidez das barras AB e BC (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) 2000000 0 0-2000000 0 0 0 20000 30000 0-20000 30000 0 30000 60000 0 0000 30000-2000000 0 0 2000000 0 0 0-20000 0000 0 20000 0000 0 30000 30000 0 0000 60000 Matriz de rigidez da barra BD (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) 4523,8934 6031,8579-4523,8934-6031,8579 6031,8579 8042,4772-6031,8579-8042,4772-4523,8934-6031,8579 4523,8934 6031,8579-6031,8579-8042,4772 6031,8579 8042,4772 Matriz de transformação da barra BD 0,6 0,8 0 0-0,8 0,6 0 0 0 0 0,6 0,8 0 0-0,8 0,6
MODELO 13 Para o quadro hiperestático esquematizado na Figura 13a, cujas barras são formadas por perfis tipo I de aço laminado W460x52,0, a partir dos deslocamentos nodais apresentados na Figura 13d determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) o vetor carregamento representado pelos esforços nodais equivalentes; b) os esforços (momento fletor, força normal e força cortante) na barra BD. Dados: módulo de elasticidade do aço estrutural E205 GPa, área da seção transversal A 6660 mm 2, momento de inércia à flexão I = 21370 cm 4, os esforços nodais equivalentes (Figura 13b), as matrizes de rigidez das barras no sistema global de coordenadas (Figura 13c) e os deslocamentos nodais (Figura 13d). Figura 13a Quadro hiperestático Figura 13b Esforços nodais equivalentes
Figura 13c Matrizes de Rigidez no Sistema Global para os elementos do quadro 2D hiperestático U3 U4 U5 R1 R2 U1 U6 U7 U8 R3 R4 U2 Figura 13d Deslocamentos nodais do quadro hiperestático U U U U R - - - - 3,43110 0,36010 12,377mm - 0,112mm 1,37610 12,157mm - 0,181mm 0,93810 0 0 0 0
MODELO 14 Para o pórtico hiperestático esquematizado na Figura 14a, cujas barras são formadas por perfis tipo I de aço laminado W200x15,0, determinar por Análise Matricial de Estruturas: a) a rotação no ponto E; b) a reação vertical no ponto E; c) os esforços internos solicitantes na barra AB. Dados: módulo de elasticidade do aço estrutural E 205 GPa, área da seção transversal A 1940 mm 2, momento de inércia à flexão I = 1305 cm 4, os esforços nodais equivalentes (Figura 14b), as matrizes de rigidez das barras no sistema global de coordenadas (Figura 14c) e os deslocamentos nodais (Figura 14d). (E) Figura 14a Quadro hiperestático Figura 14b Esforços nodais equivalentes
Figura 14c Matrizes de Rigidez no Sistema Global para os elementos do quadro 2D hiperestático U1 U2 U3 R1 R2 U7 U4 U5 U6 U8 U9 U10 R3 R4 U11 U U U U R 4,02410 m - 0,36010 m - 8,32810 3,81610 m -1,10410 m 7,52310-7,43710 0,17510 m - 0,73910 m 4,40810 U11 0 0 0 0 Figura 14d Deslocamentos nodais do quadro hiperestático
MODELO 15 Determine, para a viga contínua indicada na Figura 15a, as reações verticais nos apoios, e e os diagramas de momentos fletores e forças cortantes. Dados: A = 4,77x10-4 rad; B = -12,14x10-4 rad e C = 26,88x10-4 rad. São fornecidos os esforços nodais equivalentes (Figura 15b) e as matrizes de rigidez dos elementos de viga no sistema global (Figura 15c). Figura 15a Viga contínua Figura 15b Esforços nodais equvalentes Barra AB EI=10250 knm 2 ; L= 4m; 0º (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) 30750,0000 0,0000 0,0000 0750,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1921,8750 3843,7500 0,0000-1921,8750 3843,7500 0,0000 3843,7500 10250,0000 0,0000 843,7500 5125,0000 0750,0000 0,0000 0,0000 30750,0000 0,0000 0,0000 0,0000-1921,8750 843,7500 0,0000 1921,8750 843,7500 0,0000 3843,7500 5125,0000 0,0000 843,7500 10250,0000 Barra BC EI=10250 knm 2 ; L= 8m; 0º (Unidades: kn, m, kn/m 2 =kpa) 15375,0000 0,0000 0,0000-15375,0000 0,0000 0,0000 0,0000 240,2344 960,9375 0,0000-240,2344 960,9375 0,0000 960,9375 5125,0000 0,0000-960,9375 2562,5000-15375,0000 0,0000 0,0000 15375,0000 0,0000 0,0000 0,0000-240,2344-960,9375 0,0000 240,2344-960,9375 0,0000 960,9375 2562,5000 0,0000-960,9375 5125,0000 Figura 15c Matrizes de Rigidez no Sistema Global para os elementos de viga