FLEXIBILIDADE E SUPORTAÇÃO AULA DEFLEXÕES

FLEXIBILIDADE E SUPORTAÇÃO AULA 10-11 DEFLEXÕES PROF.: KAIO DUTRA

Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica Deflexões de estruturas podem ocorrer de várias fontes, como cargas, temperatura, erros de fabricação, ou recalques. No projeto, deflexões têm de ser limitadas a fim de proporcionar integridade e estabilidade às coberturas, e evitar fissuras em materiais frágeis anexados como concreto, reboco ou vidro.

Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica A deflexão de uma estrutura é causada por seu carregamento interno como a força normal, força cortante, ou momento fletor. Muitas vezes é interessante fazer um esboço da forma defletida da estrutura quando ela está carregada a fim de conferir parcialmente os resultados. Esse diagrama de deflexão representa a curva elástica ou lugar geométrico dos pontos que define a posição deslocada do centroide da seção transversal ao longo dos membros.

Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica Normalmente é necessário, para facilitar a análise, que o diagrama de momento para a viga ou estrutura seja traçado primeiro. Para isto, relembramos que: Um momento positivo tende a flexionar uma viga ou membro horizontal côncavo para cima: Um momento negativo tende a flexionar a viga ou membro côncavo para baixo:

Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica Na figura ao lado podemos observar algumas curvas de deflexão para duas situações.

Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica É importante observar que a interação dos apoios com a curva elástica, conforme apresentado na tabela abaixo.

Teoria da Viga Elástica Quando o momento interno M deforma o elemento da viga, cada seção transversal permanece plana e o ângulo entre elas torna-se dθ.

Teoria da Viga Elástica Desta forma a deformação pode ser: Porem:

Teoria da Viga Elástica Relacionando a deformação pontual com a deformação máxima temos:

Teoria da Viga Elástica Para o regime elástico temos que a Lei de Hooke. Usando a Lei de Hooke na relação de deformação, temos:

Teoria da Viga Elástica Por definição, a força relaciona-se com a tensão da forma apresentada abaixo:

Teoria da Viga Elástica Por definição, a força relaciona-se com a tensão da forma apresentada abaixo: Por definição, o momento relaciona-se com a força da forma apresentada abaixo:

Teoria da Viga Elástica Aplicando a relação de tensões da definição de momento, temos:

Teoria da Viga Elástica Voltando para a relação de deformações, aplicando a Lei de Hooke e a tensão de flexão, temos: Na maioria dos livros de calculo é mostrado que a relação de curvatura pode ser dado por:

Teoria da Viga Elástica Desta forma para verificação da curva elástica é necessário resolver a equação diferencial de segunda ordem não linear ao lado: Porém esta equação pode ser simplificada tendo em vista que a inclinação da curva elástica é muito pequena, desta forma: dυ/dx 0

Método da Integração Dupla Convenção de sinais. Ao aplicar a equação anterior, é importante usar o sinal apropriado para M como estabelecido pela convenção de sinais que foi usada na derivação dessa equação. Também, tendo em vista que o ângulo de inclinação será muito pequeno, o seu valor em radianos pode ser determinado diretamente:

Método da Integração Dupla Além disso, lembre-se que a deflexão positiva, υ, é para cima, e como resultado, o ângulo de inclinação positivo θ será medido no sentido anti-horário do eixo x.

Método da Integração Dupla Conforme apresentado na teoria da viga elástica e usando outros resultados previamente estudados nos diagramas de momento fletor e força cortante, temos:

Método da Integração Dupla Condições de continuidade e contorno. As constantes de integração são determinadas avaliando as funções para inclinação ou deslocamento em um ponto em particular na viga onde o valor da função é conhecido. Por exemplo, se a viga é suportada por um rolo ou pino, então é necessário que o deslocamento seja zero nesses pontos. Também, em um apoio fixo a inclinação e o deslocamento são, ambos, zero.

Método da Integração Dupla Exemplo 8.3

Teorema de Momentos das Áreas Teorema 1: a mudança na inclinação entre quaisquer dois pontos na curva elástica é igual à área do diagrama M/EI entre estes dois pontos.

Teorema de Momentos das Áreas Teorema 2: o desvio vertical da tangente em um ponto (A) na curva elástica, com relação à tangente que se estende a partir de outro ponto (B), é igual ao momento da área sob o diagrama M/EI entre os dois pontos (A e B).

Teorema de Momentos das Áreas Exemplo 8.6

Método da Viga Conjugada A base para o método vem da similaridade de algumas equações: Ou integrando:

Método da Viga Conjugada A viga conjugada é carregada com o diagrama M/EI derivado da carga w sobre a viga real. Das comparações anteriores, podemos declarar dois teoremas relacionados à viga conjugada, a saber, Teorema 1: A inclinação em um ponto na viga real é numericamente igual ao cortante no ponto correspondente na viga conjugada. Teorema 2: O deslocamento de um ponto na viga real é numericamente igual ao momento no ponto correspondente na viga conjugada.

Método da Viga Conjugada Apoios da viga conjugada: Conforme mostrado na tabela ao lado, um apoio de pino ou rolo na extremidade da viga real proporciona deslocamento zero, mas a viga tem uma inclinação que não é zero.

Método da Viga Conjugada Apoios da viga conjugada: Abaixo estão apresentadas algumas transformações de vigas reais em vigas conjugadas.

Método da Viga Conjugada Exemplo 8.13

Método da Viga Conjugada Exemplo 8.14