TEM 2010 Lista de Problemas 5 As equações de Maxwell. Vetor de Poynting. Ondas eletromagnéticas. Polarização A C Tort 27 de Outubro de 2010 Problema 1 Densidade de corrente de deslocamento Eis um modo formal de obter a densidade de corrente de deslocamento J d. (a) Escreva a lei de Ampère na forma diferencial e mostre que ela conduz ao resultado: J = 0, que é válida se ρ t = 0. Isto significa que a lei de Ampére para a magnetostática não se aplica quando a densidade de carga ρ depende explicitamente do tempo. (b) Faça a substituição: J J + J d e imponha a condição de que a nova corrente deve satisfazer a condição: (J + J d ) = 0. O termo J representa a corrente física e portanto deve satisfazer à equação da continuidade: J + ρ t = 0. Deste ponto em diante é com você. Mostre que com o exposto acima mais a lei de Gauss na forma diferencial obtém-se a forma explícita da densidade de corrente de deslocamento: J d = ǫ 0 E t. Problema 2 Escreva as equações de Maxwell completas, isto é: incluindo a densidade de corrente de deslocamento, na forma local e na forma integral. email: tort@if.ufrj.br 1
Problema 3 Corrente de deslocamento Considere um capacitor de placas paralelas formado por dois discos de raio a separados por uma distância d a, no vácuo. A carga em uma das placas varia no tempo de acordo com q(t) = q 0 sen(ωt). Suponha que o campo elétrico entre as placas seja uniforme e despreze os efeitos de borda. Considere o eixo z ao longo do eixo principal do capacitor. (a) Determine a corrente de deslocamento. (b) Determine o campo magnético entre as placas. Problema 4 Corrente de deslocamento, vetor de Poynting Um capacitor de placas circulares paralelas de raio a separadas por uma distância d 2a é conectado em série com uma resistência R e um fonte de voltagem V 0 que também estão conectados em série, veja a Figura 1. Durante a fase de descarga do capacitor a voltagem entre as placas varia de acordo com V (t) = V 0 e t/rc, onde C é a capacitância do capacitor. (a) Calcule o campo elétrico entre as placas do capacitor. (b) Calcule a corrente de deslocamento. (c) Calcule o campo de indução magnética B entre as placas do capacitor. (d) Calcule o vetor de Poynting instantâneo entre as placas. S C R Figura 1: Descarregando um capacitor: quando a chave S é aberta, o capacitor começa a descarregar-se. V 0 Problema 5 Verifique que: A solução de d Alembert Considere a equação da corda vibrante: 2 y(x, t) x 2 1 v 2 2 y(x, t) t 2 = 0. y(x, t) = F(x vt) + G(x + vt), é a solução geral dessa equação. Sugestão: faça u(x, t) := x ± vt. 2
Problema 6 Verifique que a grandeza física: c = 1 ǫ0 µ 0, tem dimensões de velocidade. Calcule o valor numérico de c. Problema 7 Ondas eletromagnéticas planas Suponha uma onda eletromagnética propagando-se no vácuo com componentes restritos a funções da forma (z ct), isto é: E (z, t) = E x (z ct)ˆx + E y (z ct)ŷ + E z (z ct)ẑ B (x, t) = B x (z ct)ˆx + B y (z ct)ŷ + B z (z ct)ẑ Use as equações de Maxwell (completas) na forma diferencial para mostrar que apenas duas dessas seis funções, a saber: E x (z vt) e E y (z vt), são linearmente independentes. Estas duas funções, como veremos mais tarde, correspondem aos dois estados de polarização possíveis da onda eletromagnética plana que estamos discutindo. Problema 8 Mostre que para uma onda plana que se propga ao longo do eixo z no sentido positivo do eixo podemos escrever: B = 1 c ẑ E. Problema 9 Discuta a afirmação: Uma onda harmˆonica é uma onda plana, mas uma onda plana não é necessariamente harmˆonica. Dê exemplos. Problema 10 Resultados úteis O valor médio temporal de uma função do tempo é definido por: f := 1 τ t+τ t f(t)dt, onde τ é um intervalo de tempo fixo, fisicamente, associado com o tempo característico do detector. Calcule o valor médio no tempo das seguintes funções harmônicas: (a) cos(kz ωt + δ), sen (kz ωt + δ). (b) cos 2 (kz ωt + δ), sen 2 (kz ωt + δ). Respostas.: zero, zero, 1/2, 1/2.. 3
Problema 11 por: Determine: O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana e harmônica que propaga-se no vácuo é dado E x = 0 ( ) 2π E y = 50 cos 3 x 2π 1015 t E z = 0 (a) a freqüência linear associada; (b) o comprimento de onda; (c) a direção e sentido de propagação da onda; (d) o campo magnético associado; (e) o vetor de Poynting instantâneo; (f) o valor médio no tempo do vetor de Poynting. Problema 12 Duro de matar I Mostre que se definirmos a velocidade v de propagação da energia eletromagnética associada com campos eétrico E e magnético B arbitrários por meio da relação: S = u em v, onde S é o vetor de Poynting e u em é a densidade de energia eletromagnética, então: ) (1 v2 c 2 u 2 em = (u e u m ) 2 + ǫ 0 (E B) 2, µ 0 onde u e é a densidade de energia elétrica e u m é a densidade de energia magnética. Analise cuidadosamente este resultado. Sugestão: use a identidade vetorial (a b) 2 + (a b) 2 = a 2 b 2. Problema 13 é dado por: Em um guia de ondas de seção reta quadrada um dos modos de propagação da onda eletromagnética E(x, y, z, t) = E 0 sen ( πx ) cos(ωt kz) ŷ, a k ( πx ) B(x, y, z, t) = E 0 ω sen π ( πx ) cos(ωt kz) ˆx E 0 a ωa cos sen (ωt kz) ẑ. a (a) Calcule o vetor de Poyinting S. (b) Calcule a média temporal do fluxo de energia através de um plano perpendicular ao eixo z. Problema 14 Na sabedoria pragmática do homem do interior consta que a cobra é um bicho danado, se a bota do infeliz tiver um rasgão ou um furo, a bicha vai direto no mesmo. Você acha isto plausível? Explique. Problema 15 Vetor de Poynting Um fio condutor retilíneo cilíndrico muito longo, de condutividade σ e raio a transporta uma corrente constante. O fio é ôhmico, i.e.: J = σe, e a corrente I está uniformemente distribuída pela seção reta do fio. Considere o eixo principal do cilindro como o eixo z. 4
(a) Calcule o campo magnético B na superfície do fio. (b) Calcule o vetor de Poynting S na superfície do fio. (c) Mostre que o fluxo de S através da superfície de um trecho de comprimento l do fio é igual à energia por unidade de tempo dissipada pelo calor (no trecho) por meio do efeito Joule. Problema 16 Pressão de radiação I Mostre que para uma superfície perfeitamente refletora a pressão de radiação será dada por: p rad = 2 S c onde S é a intensidade média da radiação e a incidência é normal. Problema 17 Pressão de radiação II Uma onda eletromagnética de intensidade igual a 200 W/m 2 incide perpendicularmente sobre um pedaço retangular de cartolina preta de 20 cm por 30 cm. (a) Calcule a força exercida pela radiação sobre o retângulo de cartolina. (b) Troque a cartolina preta por uma cartolna branca de mesmas dimensões e repita o cálculo. (c) Refaça os cálculos supondo que a radiação incidente forma um ângulo de 30 graus com a normal. Problema 18 Pressão de radiação III Mostre que se uma onda plana incidir sobre uma superfície perfeitamente refletora obliquamente então p rad (θ) = 2 S c cos2 θ onde θ é o ângulo de incidência. Problema 19 de raio R. Duro de matar II Uma onda eletromagnética plana incide sobre uma esfera perfeitamente refletora (a) Mostre que a força exercida pela radiação sobre esfera é dada por: F = πr2 S c na direção e sentido da onda plana incidente. Sugestão: use o resultado do problema anterior. (b) Mostre que se a esfera for perfeitamente absorvedora o resultado é o mesmo! (c) Como explicar fisicamente este resultado? Problema 20 O escritor inglês Arthur Clarke em um de seus contos de ficção científica ( Vento Solar ) sugere que uma espaçonave poderia ser propelida pela radiação solar tal qual um veleiro pelo vento. Qual deve ser a densidade superficial de massa de uma vela perfeitamente refletora para que a força da radiação solar seja o dobro da força de atração gravitacional do Sol sobre a vela? Suponha incidência normal do vento solar sobre a vela. Os dados que você precisa podem ser obtidos no seu livro texto. Compare o seu resultado com a densidade do papel A4 que apresenta uma gramatura de 75 gramas por metro quadrado. Resposta: o papel A4 é cem vezes mais denso. 5
Problema 21 Construindo uma onda com polarização elíptica. (a) Escreva as equações para uma onda plana monocromática (ou harmônica) e mostre que podemos escrever E x = AcosΦ(z, t) E y = B cos[φ (z, t) + δ] onde A e B são as amplitudes reais e positivas das componentes E x e E y, Φ (z, t) := kz ωt e δ a diferença de fase entre essas duas componentes. (b) Agora use os resultados obtidos e mostre que E x, E y, A, B e δ estão relacionados por ( ) 2 Ey 2 B ( Ex A ) ( ) Ey + B ( ) 2 Ex = sin 2 δ A Esta relação mostra que a ponta da flecha que representa o vetor campo elétrico E descreve uma elipse sobre um plano fixo perpendicular à direção de propagação da onda monocromática. Neste caso, dizemos que a onda monocromática está elipticamente polarizada. E y E δ E x Figura 2: Elipse de polarização. O vetor campo elétrico descreve uma elipse cujo eixo maior forma um ângulo δ com o eixo x. Problema 22 Construindo uma onda plana polarizada II: polarização linear. Mostre que se δ = nπ com n {0, ±1, ±2, ±3,...} a onda monocromática é linearmente polarizada. Observe que para a polarização linear há duas possibilidades, a saber: uma para δ {0, 2π... } e outra para δ {±π, ±3π,... }. Problema 23 Construindo uma onda plana polarizada III: polarização circular. Mostre que se δ = nπ + π/2 com n {0, ±1, ±2, ±3,...} e A = B, a onda monocromática é circularmente polarizada. Observe que para a polarização circular também há duas possibilidades, a saber: a ponta do vetor campo elétrico pode girar no sentido anti-horário ou horário. Você pode verificar isto facilmente calculando de/dt em z = 0. Problema 24 Embora na maior parte das vezes em uma onda eletromagnética os campos E e B sejam perpendiculares um ao outro (e à direção de propagação), há casos especialíssimos em que E e B são paralelos. Considere, por exemplo, o caso em que E = E 0 senωt (sen kz ˆx + cos kz ŷ) B = E 0 cos ωt (sen kz ˆx + cos kz ŷ) 6
(a) (b) (c) Figura 3: Estados de polarização de uma onda plana. (Prof. V. Soares facit) (a) Mostre que estes campos satisfazem as equações de Maxwell sem fontes, i.e.: ρ = 0 e J = 0. (b) Mostre que estes campos satisfazem as equações de onda para E e B no vácuo. (c) Faça um esboço gráfico destes campos. Observe que a onda EM em questão é estacionária e não progressiva! Problema 25 Polarização por reflexão: o ˆangulo de Brewster Considere um raio de luz não-polarizada que propaga-se em um meio com índice de refração n 1. O raio incide sobre um meio de índice de refração n 2. Mostre que se a soma dos ângulos de reflexão e refração for igual a 90 graus, então tan θ 1 = n 2 n 1 Quando isto acontece o raio refletido é totalmente polarizado e o raio refratado é parcialmente polarizado. O ângulo θ 1 para o qual isto acontece é chamado ângulo de polarização ou ângulo de Brewster. 7
Luz não-polarizada 1 2 θ 1 Luz polarizada 90 graus θ 2 Figura 4: Geometria para a determinação do ângulo de Brewster. O raio refratado é parcialmente polarizado. O campo elétrico associado ao raio refletido vibra perpendicularmente ao plano da folha. Problema 26 Lei de Malus I. Um feixe de luz linearmente polarizada incide sobre um analisador de forma tal que apenas 25% da luz incidente é transmitida. Determine o ângulo entre o eixo do analisador e o plano de vibração do campo elétrico. Problema 27 Lei de Malus II. Considere dois analisadores com seus eixos respectivos perpendiculares entre si. Um terceiro analisador é colocado entre os dois de modo tal que seu eixo forma um ângulo θ com o eixo do primeiro analisador. Suponha que um feixe de luz de intensidade I 0 incida sobre o conjunto. Determine a intensidade da luz transmitida. Resposta: I = (I 0 /2)cos 2 θ sen 2 θ. 8