JURO SIMPLES - Introdução O estudo que vamos iniciar agora Matemática Financeira, com todas as suas fórmulas e fatores, é feito em função do crescimento de uma certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo, isto é, dos juros. Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital (que também pode ser chamado de principal). Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo à remuneração desse capital durante um intervalo de tempo que denominamos período financeiro ou período de capitalização. - Regimes de capitalização Entendemos por regime de capitalização o processo de formação do juro. Há dois regimes de capitalização: a juro simples e a juro composto. No regime de capitalização a juro composto, o juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando esse montante a render juro no período seguinte; dizemos, então, que os juros são capitalizados. Já no regime de capitalização a juro simples, por convenção, apenas o capital inicial rende juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital para, também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são capitalizados. - Juro simples Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. - Cálculo do juro simples Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade.
Assim, sendo: C o capital inicial ou principal j o juro simples n o tempo de aplicação i a taxa de juro unitária podemos escrever: j = C x i x n que é a fórmula de cálculo do juro simples. É importante observar que essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada. Exemplos 1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago? 2) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber? - Taxas proporcionais Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. Dadas duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i, relativas, respectivamente, aos tempos n e n, referidos à mesma unidade, temos: i = i' n n'
Obs.: As taxas i e i devem ser ambas percentuais ou ambas unitárias. Vamos, então, determinar uma fórmula que nos permita obter, rapidamente, uma taxa proporcional a outra taxa dada. Sendo i a taxa de juro relativa a um período e i k a taxa proporcional que queremos determinar, relativa à fração k 1 do período, temos: i i 1 i = k k =, isto é: 1 i k k 1 i K = k i Observe que i é sempre a taxa relativa ao maior período. Exemplos 1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. 2) Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. 3) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre. - Taxas equivalentes Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro. Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$ 2000:
À taxa de 4% ao mês, durante 6 meses; À taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres; Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% a.m. e 12% a.t. são taxas equivalentes. Dadas as taxas de juros i, relativa a 1 período, e i k, relativa a 1 período, temos: k Em regime de juro simples, duas taxas proporcionais são equivalentes. Exemplos 1) Um capital de R$ 2400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. 2) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. - Juro comercial e juro exato A técnica que estamos empregando no cálculo do juro simples (1 ano = 360 dias) nos dá o que denominamos juro simples comercial. Entretanto, podemos obter o juro fazendo uso do
número exato de dias do ano (365 d, ou 366 d, se o ano for bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juro simples exato. Além disso, temos que levar em consideração o modo de obtenção do número de dias. Admitindo que cada mês tenha 30 dias, obtemos o tempo aproximado; fazendo a contagem no calendário, obtemos o tempo exato (no Brasil contamos apenas uma das datas extremas). Assim, tanto no juro simples exato como no juro simples comercial o tempo pode ser exato ou aproximado. Nota: A técnica mais comumente usada é a do cálculo do juro simples comercial para o número exato de dias; é a que proporciona o juro máximo em qualquer transação. - Determinação do número exato de dias entre duas datas Podemos obter o número exato de dias entre duas datas de três maneiras diferentes: 1ª) Pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que apenas um dos dias extremos deve ser incluído. 2ª) Considerando o número exato de dias de cada mês. Podemos, por exemplo, determinar o número exato de dias de 11 de março a 18 de maio do mesmo ano do seguinte modo: 3ª) Pelo uso da tabela para contagem de dias. A título de exemplificação, vamos determinar o número exato de dias de 20 de outubro a 15 de março do ano seguinte. Obs.: Se o ano é bissexto, somamos 1 ao número de dias.
Exemplo Um empréstimo de R$ 8500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago? Exercícios resolvidos 1) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$ 441,00 de juro? 2) A que taxa foi empregado o capital de R$ 12.000,00 que, no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8.400,00 de juro? 3) Qual o valor do principal que, aplicado durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$ 19.008,00? 4) Uma aplicação de R$ 8.000,00, pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$1680,00. Qual a taxa anual correspondente?
5) A que taxa mensal deve ser aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3 meses e 10 dias, renda um juro de R$ 11.000,00? 6) Um capital de R$ 10.500,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro. Sabendo que a taxa de juro contratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88, qual a data do vencimento? - Montante O montante (ou valor nominal) é igual à soma do capital inicial (ou valor atual) com o juro relativo ao período de aplicação, isto é: Montante = capital inicial + juro Exemplos 1) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês?
2) Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples? 3) Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada. 4) Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00, à taxa de juro de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$8.320,00? 5) Uma concessionária vende um automóvel por R$ 15000,00 à vista. A prazo, vende por R$ 16.540,00, sendo R$ 4.000,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juro mensal cobrada?