1 ESTATÍSTICA Setembro/2015
ESTATÍSTICA Ementa Estatística descritiva; Estatística Indutiva; População; Amostragem; Variáveis dos resultados; Coleta de dados; Análise e Interpretação dos resultados; Técnicas de descrição gráfica; Media; Moda; Mediana; Desvio padrão; Coeficiente de variação; Correlação; Regressão linear. 3
A ESTATÍSTICA É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. A coleta, a organização,a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA, enquanto a análise e a interpretação dos dados, associado a uma margem de incerteza, ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL, também chamada como a medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na teoria da probabilidade. 4
MÉDIA ARITMÉTICA A média aritmética é uma medida de locação usada para resumir dados quantitativos aproximadamente simétricos. Para se obter a média aritmética de uma categoria basta somar suas frequências e dividi-las pelo total de contagens. Análise Estatística Preço do Saco Cimento CP 2 por Loja Prob. E Estatística Loja Preço R$ Loja 1 19,90 Loja 2 19,98 Loja 3 20,06 Loja 4 20,14 Loja 5 19,54 Loja 6 18,94 Loja 7 18,97 Loja 8 19,00 Loja 9 19,03 Loja 10 19,06 Loja 11 19,16 Loja 12 19,26 Loja 13 19,36 Loja 14 18,97 Loja 15 19,00 Loja 16 19,03 Loja 17 19,06 Loja 18 18,97 Média 19,30 5
MEDIANA É uma medida de tendência central que indica exatamente o valor central de uma amostra de dados. Exemplos: O preço de um determinado produto da loja no semestre se comportou da seguinte forma, colocados em ordem crescente, foram: R$ 4,00; R$ 4,00; R$ 5,00 ; R$ 7,00; R$ 7,00. São cinco preços. A mediana é o valor que está no centro da amostra, ou seja, R$ 5,00. Podemos afirmar que 40% do preço ficaram acima de R$ 5,00 e 40% ficaram abaixo de R$ 5,00. A quantidade de lojas de materiais de construção de uma determinada rede espalhados pelas cidades do litoral de um determinado Estado é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10. Como a amostra possui dez valores e, portanto, não há um valor central, calculamos a mediana tirando a média dos dois valores centrais: 6
MODA É a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência em um conjunto de dados. Um determinado setor da loja fez, em dez horas, a seguinte quantidade de venda do item portas: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 1, 3, 1; a moda desse conjunto é de 3 portas. Se uma setor da loja registra, em quinze dias, a quantidade de clientes: 52, 50, 55, 53, 61, 52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a moda desse conjunto é de 52 clientes. As alturas das prateleira do estoque são 1,82 m; 1,75 m; 1,65 m; 1,58 m; 1,70 m. Nesse caso, não há moda, porque nenhum valor se repete. 7
COLETA DE DADOS Fase operacional. É o registro sistemático de dados, com um objetivo determinado. Dados primários: quando são publicados pela própria pessoa ou organização que os haja recolhido. Ex: tabelas do censo demográfico do IBGE. Dados secundários: quando são publicados por outra organização. Ex: quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE. 8
COLETA Coleta Direta: quando é obtida diretamente da fonte. Ex: Empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores pela sua marca. Coleta Contínua: registros de nascimento, óbitos, casamentos; Coleta Periódica: recenseamento demográfico, censo industrial; Coleta Ocasional: registro de casos de dengue. Coleta Indireta: É feita por deduções a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, por analogia, por avaliação,indícios ou proporcionalização. 9
APRESENTAÇÃO DOS DADOS Há duas formas de apresentação, que não se excluem mutuamente. A apresentação tabular, ou seja é uma apresentação numérica dos dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística. A apresentação gráfica dos dados numéricos constitui uma apresentação geométrica permitindo uma visão rápida e clara do fenômeno. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno (estatística descritiva). 10
DEFINIÇÕES DA ESTATÍSTICA DADO ESTATÍSTICO: é um dado numérico e é considerado a matéria-prima sobre a qual iremos aplicar os métodos estatísticos. POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum. AMOSTRA: é uma parcela representativa da população que É EXAMINADA com o propósito de tirarmos conclusões sobre a essa população. PARÂMETROS: São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la. Para definirmos um parâmetro devemos examinar toda a população. Ex: Os alunos do 2º ano da FACEV têm em média 1,70 metros de estatura. 11
DEFINIÇÕES DA ESTATÍSTICA ESTIMATIVA: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra. ATRIBUTO: quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de estatística de atributo. VARIÁVEL: é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno VARIÁVEL QUALITATIVA: Quando seu valores são expressos por atributos: marca, fabricante, modelo, etc. VARIÁVEL QUANTITATIVA: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica, trata-se portanto da estatística de variável e se dividem em: 12
DEFINIÇÕES DA ESTATÍSTICA VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA: Seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: Nº de funcionários do setor de um determinado setor da loja no 1º semestre de 2015: mar = 18, abr = 30, mai = 35, jun = 36. VARIÁVEL CONTÍNUA: Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Exemplos: Cor de tinta para parede interna: qualitativa Índice de liquidez nas Lojas: quantitativa contínua Produção de cimento no Brasil: quantitativa contínua Número de defeitos em produtos vendidos: quantitativa discreta Comprimento dos pregos vendidos: quantitativa contínua O ponto obtido em cada jogada de um dado: quantitativa discreta 13
AMOSTRAGEM MÉTODOS PROBABILÍSTICOS Exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade de ser selecionado. Normalmente possuem a mesma probabilidade. Assim, se N for o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N. Trata-se do método que garante cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de inferências. Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções sobre a população a partir do conhecimento da amostra. É uma técnica especial para recolher amostras, que garantem, tanto quanto possível, o acaso na escolha. 14
AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. É equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. Ex: Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa para a pesquisa do preço de uma determinada marca de tinta de 90 lojas concorrentes: 1º - numeramos as lojas de 1 a 90. 2º - escrevemos os números das lojas, de 1 a 90, em pedaços iguais de papel, colocamos na urna e após mistura retiramos, um a um, nove números que formarão a amostra. OBS: quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. Neste caso utiliza-se uma Tabela de números aleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas. 15
AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA: Quando a população se divide em estratos (subpopulações), convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos Ex: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, do exemplo anterior, supondo, que, das 90 lojas, 54 sejam lojas de bairro e 36 sejam lojas grandes. São portanto dois estratos (lojas de bairro e lojas grandes ). Logo, temos: Lojas População 10% Amostra Bairro 54 5,4 5 Grandes 36 3,6 4 Somatoria 90 9,0 9 Numeramos então as lojas de 01 a 90, sendo 01 a 54 bairro e 55 a 90 grande e procedemos o sorteio casual com urna ou tabela de números aleatórios. 16
TABELA É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática. De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar : um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; três pontos (... ) quando não temos os dados; zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; um ponto de interrogação (? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor. Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto.. SÉRIE ESTATÍSTICA: É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie. 17
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas estatísticas. Características: Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e veracidade. Gráficos de informação: São gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadas estejam presentes. Gráficos de análise: São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Os gráficos de análise frequentemente vêm acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo gráfico. Uso indevido de Gráficos: Podem trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de construção de escalas. 18
DESVIO PADRÃO Em Probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística (representado pelo símbolo sigma, σ ou s). Ele mostra o quanto de variação ou "dispersão" existe em relação à média (ou valor esperado). Um baixo desvio padrão indica que os dados tendem a estar próximos da média; um desvio padrão alto indica que os dados estão espalhados por uma gama de valores. O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que: seja um número não-negativo; use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos inicialmente. Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) ou s, do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão de um subconjunto em amostra. 19
EXEMPLO DE QUESTÕES Qual é a porcentagem de homens da sua amostra? Qual o salário médio dos funcionários da sua amostra? O que o cliente procura: Preço ou Qualidade? DESVIO PADRÃO Desvio padrão: margem de erro S = desvio padrão S = x - ( x ) n - 1 20
DESVIO PADRÃO Calcular o desvio padrão previsional de horas extras de um setor de 9 funcionários. Horas extras (x) 2 (x). 20 400 22 484 24 576 25 625 26 676 27 729 28 784 29 841 30 900 n = 9 x = 231 2 x = 6.015 21
DESVIO PADRÃO S = S = S = 6015 - (231) 2 9 8 6015-53361 9 8 6015-5929 8 S = 86 8 = 10,75 = S = 3,28 Coeficiente de Variância 22
DESVIO PADRÃO Coeficiente de Variância Algumas regras empíricas para interpretação do coeficiente de variância. Se: cv < 15% há baixa dispersão Se: 15% c.v. 30% há média dispersão Se: cv 30% há elevada dispersão Em uma loja, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00; com desvio padrão de R$ 1.500,00 e o salário médio das mulheres é de R$ 3.000,00; com desvio padrão de R$ 1.200,00. A dispersão relativa dos salários é maior para os homens? Homens x H = 4.000,00 x M = 3.000,00 cv Homens = cv = S. 100 x S = 1.500,00 H S = 1.200,00 M = cv = 1.500. 100 = cv = 37,5% H H 4.000 cv Mulheres = cv = S. 100 = cv = 1.200. 100 = cv = 40% M x 3.000 M 23
DESVIO PADRÃO Os salários das mulheres tem dispersão relativa maior do que os salários dos Homens. As duas distribuições apresentam elevada dispersão. (cv 30%) EXERCÍCIO - I Calcular o desvio padrão e o coeficiente de variância do orçamento realizado em 20 lojas diferentes em milhões: Orçamento (X) x 2 1,1 1,21 1,2 1,44 1,1 1,21 1,3 1,69 1,2 1,44 1,3 1,69 1,4 1,96 1,5 2,25 1,1 1,21 1,1 1,21 1,2 1,44 1,3 1,69 1,4 1,96 1,5 2,25 1,3 1,69 1,6 2,56 1,4 1,96 1,3 1,69 1,4 1,96 1,6 2,56 24
SOLUÇÃO 25
SOLUÇÃO 26
EXERCÍCIO - II Em uma empresa, o salário médio dos homens é de R$ 8.500,00; com desvio padrão de R$ 2.700,00 e o salário médio das mulheres é de R$ 9.000,00; com desvio padrão de R$ 3.200,00. A dispersão relativa dos salários é maior para os homens? SOLUÇÃO 27
SOLUÇÃO 28
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA a) ROL Consiste em colocar os dados em ordem crescente. b) Amplitude Total é a diferença entre o maior e o menor valor. c) Cada Classe é um intervalo do tipo onde li = limite inferior e ls = limite superior. li ls d) O limite inferior pertence a classe e o limite superior não pertence a classe. e) amplitude de classe (h) é obtida dividindo-se a amplitude total pelo número de classes. f) Frequencia da classe (F) é o número de elementos que pertencem a classe. g) Frequencia total ( 0 0 0F) é a soma das frequencias de todas as classes. 29
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA h) Ponto médio da classe: Pm = li + ls ou li + h 2 2 i) Frequência relativa (FR): é o quociente da frequência da classe pela frequência total FR = F obs. 0 0 0FR = 1,00 0 0F 0 j) Frequencia Percentual F% = 100 x FR k) Frequencia acumulada (FA) [e a soma da frequencia de cada classe com todas as anteriores 30
A tabela abaixo representa o peso (em ton) de 40 carretas de entrega de um determinado produto. a) Tabela primitiva 160 163 165 151 152 156 180 158 155 162 152 166 154 161 157 169 161 161 167 170 162 171 160 158 162 160 170 160 161 156 156 168 150 155 164 164 160 153 155 163 b) ROL colocar em ordem crescente 150 154 156 160 161 162 164 169 151 155 156 160 161 162 165 170 152 155 157 160 161 163 166 170 152 155 158 160 161 163 167 171 153 156 158 160 162 164 168 180 31
c) Calcular Amplitude Total diferença entre o maior e o menor. At = R = 180 150 = 30cm d) Organizar 6 classes de frequência Classe li h ls h = amplitude classes 32
e) Montar uma tabela com os seguintes dados e efetuar a tabulacao, indicando a frequencia de cada classe, frequencia total, calcular os pontos medios das classes, calcular frequencia relativas, percentuais, acumulados e acumuladas percentuais classe ponto médio F F.R. F% FA FA% 150-155 152,5 6 0,15 15% 6 15% 155-160 157,5 9 0,22 22% 15 37% 160-165 162,5 16 0,4 40% 31 77% 165-170 167,5 5 0,13 13% 36 90% 170-175 172,5 3 0,08 8% 39 98% 175-180 177,5 1 0,02 2% 40 100% 40 1 100% 33
EXERCÍCIO - III A) Montar uma tabela com 5 classes, com os seguintes dados e efetuar a tabulacao, indicando a frequência relativa de cada classe, frequência percentual, calcular os pontos medios das classes, e acumulados e acumuladas percentuais B) Calcule a média, moda e mediana da tabela abaixo. 34
SOLUÇÃO A B 35
Correlação e Regressão Linear Simples O comportamento conjunto de duas váriaveis pode ser observado através de um gráfico, denominado diagrama de dispersão. O diagrama de dispersão da idéia do comportamento conjunto de duas variáveis. Se quando uma das variáveis cresce e a outra em média também cresce, nesse caso dizse que entre as duas váriaveis existe correlação positiva. Se quando uma das váriaveis cresce e a outra em média diminui, nesse caso diz-se que entre as duas variáveis existe correlação negativa. Coeficiente de Correlação Existe uma medida para o grau de correlação entre duas váriaveis. Essa medida é o coeficiente de correlação de Pearson, que se representa por r e é definido pela fórmula: xy - x. y n ( 2 2 x - ( x) )( 2 2 y - ( y)) r = n n 36
Diagrama de Dispersão Salário X Tempo de Serviço 12 tempo de serviço 10 8 6 tempo de serviço 4 2 0-500,00 1.000,00 1.500,00 2.000,00 2.500,00 Observação O coeficiente de corelação varia entre -1 e +1 se r assume o valor 1, diz-se que as duas variaveis tem correlação perfeita possitiva; e se r assume o valor -1, diz-se que as duas variavies tem corelação perfeita negativa; Se r assume o valor ZERO, não existe correlação entre as duas variaveis (a correlação é nula). 37
Cálculo do Coeficiente de Corelação. n. fun(x) n. itens(y) 2 x 2 y x. Y Jan 200 109 40.000 11.881 21.800 Fev 190 100 36.100 10.000 19.000 Mar 170 98 28.900 9.604 16.660 Abr 150 90 22.500 8.100 13.500 Mai 138 85 19.044 7.225 11.730 Jun 100 72 10.000 5.184 7.200 Jul 90 61 8.100 3.721 5.490 Ago 80 58 6.400 3.364 4.640 Set 70 50 4.900 2.500 3.500 Out 60 49 3.600 2.401 2.940 Nov 70 56 4.900 3.136 3.920 1.318 828 184.444 67.116 110.380 38
Cálculo do coeficiente de corelação. x = 1.318 y = 828 2 x = 184.444 2 y = 67.116 xy = 110.380 r = r = xy - x. y n ( ) ( 2 2 2 x - ( x) ) 2 y - ( y) n n 110.380 1318. 828 11 ( 2 )( 2 ) 184444 -(1318) 67116 - (828) 1 1 1 1 r = 0,99 39
EXERCÍCIO - IV Calcule o coeficiente de corelação, desvio padrão e coeficiente de variancia dos salários. salário (x) tempo de serviço (y) 800 1 890 2 1.100 3 1.300 4 1.400 5 1.520 6 1.640 7 1.800 8 1.930 9 2.100 10 40
Cálculo do Coeficiente de Corelação. 41
Equação da Reta 42
Calcule a Equação da Reta Faturamento mensal(x) Nº de funcionários(y) 5 400 5,6 415 6 417 6,6 430 7 437 8 442 8,4 460 8,8 465 9 470 9,5 472 10 475 10,2 480 43
SOLUÇÃO b = 42575-94,1. 5363 12 2 772,21 -( 94,1) 12 b = 42575-42054,8 772,21-737,90 b = 520,2 = b = 15,16 34,31 a = y - b. x a = 446,92-15,16. 7,84 a = 446,92-118,85 a = 328,07 y = a + bx y = 328,07 + 15,16x equação reta x = 94,1 = 7,84 12 y = 5363 = 446,92 12 44
EXERCÍCIO - V Os dados a seguir correspondem à variável renda familiar e gasto com construção (em unidades monetárias) para uma amostra de 25 famílias. Calcule o coeficiente de correlação e a equação da Reta de regressão. Renda Familiar (X) Gasto com Construção (Y) 3 1,5 5 2,0 10 6,0 10 7,0 20 10,0 20 12,0 20 15,0 30 8,0 40 10,0 50 20,0 60 20,0 70 25,0 70 30,0 80 25,0 100 40,0 100 35,0 100 40,0 120 30,0 120 40,0 140 40,0 150 50,0 180 40,0 180 50,0 200 60,0 200 50,0 45
Calcular o coeficiente de correlação entre essas variáveis. Denotamos as variáveis: Y = Gasto com Alimentação; e X = Renda familiar 46
Obtenha a equação de regressão do gasto com alimentação em função da renda familiar. 47
A reta de regressão estimada da variável Gasto de alimentação (Y) em função da Renda familiar (X) é Qual o significado prático do valor da inclinação da reta de regressão do item (c)? O valor =0,256 significa que estima-se que para cada aumento de uma unidade monetária da renda familiar ocorre um acréscimo em média de 0,256 unidades no gasto com alimentação. 48