Ondas Estacionárias, Batimentos e Efeito Doppler

of 10 Ondas Estacionárias, Batimentos e Efeito Doppler Guia de Estudo: Após o estudo deste tópico você deve ser capaz de: Entender a formaçao de uma Onda Estacionária Transversal e Longitudinal; Reconhecer o significado dos Modos Normais; Entender a origem do fenômeno do Batimento; Distinguir os efeitos do movimento da fonte e do observador no Efeito Doppler; GE5.1) Leia a seção sobre Ondas Estacionárias, Batimentos e Efeito Doppler nas referências de sua escolha. GE5.2) Ondas Estacionárias. Observe a seqüência abaixo, que apresenta em vários instantes de tempo duas ondas harmônicas de mesma amplitude, freqüência angular e número de onda, mas que se deslocam em sentidos contrários. FIG. 5.2a) GE5.2.1) Supondo que as duas ondas estejam propagando no mesmo meio, faça um esboço da onda resultante y r (x,t) em cada instante de tempo. GE5.2.2) Escreva uma expressão para a função de onda de cada uma das ondas. No que elas diferem? GE5.2.3) Escreva a função de onda para a onda estacionária resultante. GE5.2.4) Verifique se a onda estacionária resultante obedece à Equação de Onda. GE5.2.5) Existe transferência de energia de uma extremidade para a outra? Calcule a taxa média de transferência de energia usando a expressão para a potência P(x,t) = - F [ y/ x] [ y/ t]. GE5.3) Propagação da Energia. Uma onda estacionária é mostrada em vários instantes diferentes de tempo na Figura 5.3. FIG. 5.3

of 10 GE5.3.1) Represente, em cada um dos instantes de tempo, os vetores aceleração e velocidade transversal para as posições indicadas (pelas setas) na figura 5.3b. GE5.3.2) Indique, qualitativamente, os valores da energia cinética (K) e potencial elástica (U), para cada um dos intervalos de tempo mostrados na figura. GE5.3.3) Obtenha uma expressão para a posição dos nós e dos antinós. GE5.3.4) Expresse, em termos do comprimento de onda, a separação entre os nós e a separação entre os antinós. Consequentemente, qual é a separação entre nós e antinós? GE5.3.5) Qual é a diferença entre a amplitude da onda estacionária e a amplitude de uma onda progressiva. GE5.4) Modos Normais de Vibração. Veja as figuras 5.4 abaixo, que mostram uma corda e um tubo sujeitos à várias condições de contorno. FIG. 5.4a) FIG. 5.4b) FIG. 5.4c) FIG. 5.4d)

of 10 FIG. 5.4e) GE5.4.1) Identifique os nós e antinós. Para as ondas longitudinais indique se os nós e antinós são de deslocamento ou de variação de pressão. GE5.4.2) Em cada caso, obtenha uma expressão para o comprimento de onda da freqüência fundamental, em função do comprimento L. GE5.4.2) Em cada caso, faça um esboço da configuração dos quatro primeiros modos normais, e expresse suas freqüencias e comprimentos de onda associados em função do comprimento L e da velocidade da onda v. GE5.4.2) Explique porque na extremidade aberta de um tubo temos um nó de variação de pressão. GE5.5) Som. GE5.5.1) Como podemos variar a altura do som produzido por um instrumento de corda? E por um instrumento de sopro? GE5.5.2) Porque as cordas de um instrumento musical têm diâmetros diferentes? Que cordas produzem as notas mais graves? GE5.5.3) O "som das ondas do mar" que você ouve quando encosta seu ouvido em uma concha do mar é produzido por ressonância. Explique! GE5.5.4) Retire a tampa de uma garrafa de sua bebida favorita e sopre através da extremidade superior aberta Beba agora um pouco da bebida e repita a experiência. Compare a altura dos dois sons. Explique! GE5.5.5) Uma corda de uma guitarra vibra numa freqüência fundamental f 1. Qual é a freqüência do som no ar? Explique! GE5.5.6) Explique como um instrumento de corda pode ser afinado. GE5.5.7) Como uma onda sonora pode propagar-se ao longo de um tubo de órgão e ser

of 10 refletida na extremidade aberta? Aparentemente não há nada lá para refletir a onda. GE5.5.8) Como a altura do som de um tubo de órgão fechado é afetada por um aumento de temperatura no ambiente? GE5.5.9) Por que razão sua voz soa diferente quando você está resfriado? GE5.6) Batimentos. Dois alto-falantes emitem sons de freqüências f 1 e f 2 bem próximas, que interferem ao longo do tempo num dado ponto do espaço, conforme é mostrado na Fig. 5.6a. O resultado que você escuta é um som contínuo, cuja freqüência é uma média das freqüências originais, ou seja f m = (f 1 +f 2 )/2, mas modulado em amplitude, conforme mostrado na Fig. 5.6b. T bat é o período dos batimentos e T env é o período da modulação da amplitude (envoltória). FIG. 5.6a) FIG. 5.6b) GE5.6.1) Se a onda de deslocamento emitida pelos alto-falantes for dada por s 1 (x,t) = s m cos (ω 1 t - kx) e s 2 (x,t) = s m cos(ω 2 t - kx), respectivamente, obtenha uma expressão para a onda de deslocamento resultante s r (0,t) em função da freqüência angular média ω m e da diferença de freqüências angulares ω. GE5.6.2) Observando a modulação da amplitude na Fig. 5.6b, determine a freqüência dos batimentos f bat. GE5.7) Efeito Doppler para o Som. As Figuras 5.7 mostram um aeroplano que possui uma fonte S que emite onda sonoras com um período T = 1/f. O comprimento de onda λ = v/f, onde v é a velocidade da onda sonora em um sistema de referência inercial no qual o meio está em repouso. No caso particular em que as velocidade da fonte v s e do ouvinte v o, em relação ao meio através do qual a onda sonora se propaga, possuem direções ao longo da linha reta que os une, a freqüência percebida pelo ouvinte O será dada por f '.

of 10 FIG. 5.7a)Fonte parada, Ouvinte movendo FIG. 5.7b)Ouvinte parado, Fonte movendo GE5.7.1) Observando a Fig. 5.7a : (a) Identifique o comprimento de onda λ; (b) Qual é a distância percorrida pelo observador durante um intervalo de tempo correspondente a um período T? (c) Qual é a distância percorrida pela onda durante esse mesmo intervalo de tempo? (d) Obtenha uma expressão para o comprimento de onda, em função destas distâncias, para os casos em que o ouvinte se aproxima e se afasta da fonte; (e) Mostre que, nesses casos, a freqüência percebida pelo ouvinte é dada por f ';= f (v ± v o )/v. GE5.7.2) Observando agora a Fig. 5.7b: (a) Identifique o comprimento de onda nas posições à frente e atrás da fonte; (b) Qual é a distância percorrida pela fonte durante um intervalo de tempo correspondente a um período T? (c) Qual é a distância percorrida pela onda durante esse mesmo intervalo de tempo? (d) Obtenha uma expressão para o comprimento de onda, em função destas distâncias, para os casos em que a fonte se aproxima e se afasta do ouvinte; (e) Mostre que, nesses casos, a freqüência percebida pelo ouvinte é dada por f ' = f [v/ (v ± v s )]. GE5.7.3) Responda: (a) Mostre que nos casos em que ouvinte e fonte se movimentam a freqüência percebida pelo ouvinte é dada por f ' = f [(v ± v o ) / (v ± v s )]; (b) Indique quais sinais devem ser usados para os casos de afastamento e aproximaçao da fonte e do ouvinte; (c) Os resultados obtidos acima estão de acordo com sua experiência? Dê exemplos. GE5.7.4) Suponha que a fonte no avião emita um sinal com f = 300 Hz. A velocidade do som é 340 m/s. Responda: (a) Quando o avião se move a 30 m/s, determine o comprimento de onda das ondas situadas na frente e atrás da fonte. (b) Quando o ouvinte O está em repouso e a fonte S se afasta de O com velocidade de 30 m/s, qual a freqüência percebida pelo ouvinte? (c) Quando a fonte S esta em repouso e o ouvinte O se afasta de S com velocidade de 30 m/s, qual a freqüência percebida pelo ouvinte? (d) Quando a fonte S se afasta do ouvinte com velocidade de 45 m/s em relação ao ar e o ouvinte O se aproxima da fonte S com velocidade de 15 m/s em relação ao ar, que freqüência o ouvinte escuta?

of 10 (e) Embora a velocidade relativa da fonte e ouvinte seja a mesma nos três casos anteriores, porque os valores obtidos para as freqüências não são os mesmos? Explique! GE5.8) Ondas de Choque. Observe as Figuras 5.8 que mostram um aeroplano que possui uma fonte S que emite onda sonoras com um período T = 1/f viajando com velocidade v s igual à velocidade v do som no meio. A forma da onda que o ouvinte escuta é mostrada na caixa no canto inferior direito de cada figura. FIG. 5.8a) FIG. 5.8b) FIG. 5.8c) (a) Descreva, qualitativamente, o que está acontecendo com o comprimento de onda. (b) Ocorre algum tipo de interferência das ondas ao longo da envoltória? (c) Em qual instante o ouvinte escutará um "estrondo sônico"? Explique! (d) As equações obtidas no exercício 5.7 podem ser usadas para velocidades supersônicas? (e) O que aconteceria se o módulo de v s fosse maior que o módulo de v? GE5.9) Resolva estes Exercícios de Fixação. GE 5.9.1) Duas ondas 1 e 2 estão presentes em uma corda: y 1 = (35 mm) sen [(8,4 rad/m)x - (15,7 rad/s)t] y 2 = (35 mm) sen [(8,4 rad/m)x +(15,7 rad/s)t] (a) Obtenha uma expressão de uma onda y 2, de mesma amplitude de y 1, que interferindo com y 1, resulte numa onda estacionária; (b) Escreva a expressão da onda resultante y = y 1 + y 2 sob forma de uma função de onda para uma onda estacionária; (c) Dê as coordenadas x dos dois primeiros antinós, partindo da origem e seguindo na direção +x; (d) Qual é a coordenada x do nó que está entre os antinós do item anterior? (e) Qual é a distância entre esses antinós? GE 5.9.2) Uma corda de comprimento L e massa por unidade de comprimento µ, presa em ambas as extremidades, está esticada sob uma tensão F. Mostre que a freqüência f n de

of 10 uma onda estacionária na corda, com n antinós, é dada por f n = n/2l (F/µ) ½. Qual será a expressão para f n se uma das extremidades estiver solta? GE 5.9.3) As extremidades de uma corda estão fixas e a corda é mantida a uma tensão de 122N. A corda tem 2,4 m de comprimento e 0,19kg de massa. Qual é a freqüência de uma onda estacionária com três antinós? GE 5.9.4) A freqüência fundamental de uma onda estacionária no cabo da figura ao lado é 16Hz e a densidade de massa linear do cabo é de 0,18 kg/m. Qual é a massa do bloco suspenso? GE 5.9.5) Determine as freqüências das ondas sonoras estacionárias que podem ser obtidas em um tubo de órgão de 2,97m aberto em uma extremidade e fechado na outra. GE 5.9.6) Um tubo de órgão aberto em ambas as extremidades e "afinado" para ter um harmônico fundamental de 440 Hz tem seu segundo harmônico (n=2) com a mesma freqüência que o terceiro harmônico (n =3) de outro tubo de órgão fechado em uma extremidade e aberto na outra. Qual é o comprimento de cada tubo? GE 5.9.7) Tocam-se dois diapasões e se constata que o som provindo dos dois tem seis batimentos por segundo. O primeiro diapasão traz a indicação 880Hz. A freqüência de batimento diminui quando se põe massa de modelar em uma de suas lâminas. Qual é a freqüência do segundo diapasão (sem a massa)? GE 5.9.8) Se uma corda de violino é afinada para uma certa nota, de que fator deve-se aumentar a tração nela atuante, para que emita uma nota com o dobro da freqüência original (uma nota uma oitava acima)? GE 5.9.9) Para afinar um piano, um músico estica os fios de aço do piano com uma tensão igual a 800N. O comprimento do fio de aço é igual a 0,400m e sua massa é igual a 3,00g. a) Qual a velocidade das ondas na corda? (b) Qual é o comprimento de onda da maior onda estacionária possível? (c) Qual é a freqüência do modo fundamental de vibração do fio? (d) Qual é o número de harmônicos superiores que podem ser ouvidos por uma pessoa capaz de ouvir freqüências até 10.000 Hz?

of 10 GE 5.9.10) (a) Uma corda horizontal amarrada nas duas extremidades vibra com o seu modo fundamental. Uma onda estacionária possui velocidade v, freqüência f, amplitude A e comprimento de onda igual a λ. Calcule a velocidade transversal máxima e a aceleração máxima nos pontos localizados em i) x = λ/2, ii) x = λ/4, e iii) x = λ/8, a partir da extremidade esquerda da corda. (b) Em cada um dos pontos calculados no item anterior, qual é a amplitude do movimento? (c) Em cada um dos pontos calculados no item (a), quanto tempo a corda leva para ir do seu deslocamento máximo para cima até seu deslocamento máximo para baixo? GE 5.9.11) Em uma onda sonora com intensidade moderada a variação máxima da pressão é da ordem de 3,0 x 10-2 Pa acima e abaixo da pressão atmosférica (normalmente igual a 1,013 x 10-5 Pa no nível do mar). Calcule o deslocamento máximo correspondente para uma frequência de 1000Hz e velocidade de 344m/s. GE 5.9.12) A intensidade devida a diversas fontes sonoras independentes é igual à soma das intensidades individuais. (a) Quando quatro bebês choram simultaneamente com a mesma intensidade, de quantos decibéis é o nível da intensidade sonora maior do que o nível da intensidade quando apenas um bebê chora? (b) Para aumentar novamente o nível da intensidade sonora pelo mesmo número de decibéis calculado no item anterior, quantos bebês chorando serão necessários? GE 5.9.13) Dois trens, A e B, apitam simultaneamente com a mesma freqüência de 392Hz. O trem A está em repouso e o trem B se desloca para a direita (se afastando de A) com velocidade igual a 35,0 m/s. Um ouvinte está entre os dois apitos e se desloca para a direita com velocidade de 15,0 m/s. Não existe vento. (a) Qual a freqüência que o ouvinte escuta do apito A? (b) Qual a freqüência que ele escuta do apito B? (c) Qual a freqüência dos batimentos que o ouvinte escuta? GE5.10) Faça os Problemas.

of 10 GE 5.10.1) Duas ondas harmônicas y 1 = A sen [kx - ωt + φ 1 ] e y 2 = A sen [kx + ωt + φ 2 ] combinam-se para formar uma onda estacionária. Mostre que, ajustando-se a origem das coordenadas e o início do tempo, a onda estacionária resultante pode ser escrita como y = 2A sen (kx )cos(ωt ) Determine os valores de x e t. GE 5.10.2) Um poço com paredes verticais e com água no fundo entra em ressonância a 7,20 Hz e em nenhuma outra freqüência inferior. O ar no poço tem uma massa específica de 1,21kg/m 3 e um módulo de compressibilidade de 1,41 x 10 5 Pa. Qual a profundidade do poço? GE 5.10.3) A largura dos degraus em um anfiteatro em Los Angeles indicada na figura é 36 in ( = 0,914m). Em que tom e freqüência uma única palma, batida no centro do palco, será refletida retornando a ele? GE 5.10.4) Um túnel reto passando através de uma colina amplifica grandemente tons de 135 a 138Hz. Determine o menor comprimento possível para o túnel. GE 5.10.5) Em uma experiência com ondas estacionárias, uma corda com 92,4 cm é amarrada ao dente de um garfo eletrificado que vibra perpendicularmente ao comprimento da corda com uma freqüência de 60,0 Hz. A massa da corda é de 44,2g. Que força deve ser aplicada à corda (com pesos dependurados à outra extremidade) se desejamos que ela vibre com quatro nós? GE 5.10.6) Podemos produzir ondas estacionárias longitudinais em um sólido segurando um ponto de uma barra sólida entre os dedos e golpeando-a com a outra mão. A barra oscila formando ventres nas duas extremidades. (a) Por que as extremidades são ventres e não nós? (b) A freqüência fundamental pode ser obtida golpeando-se a barra quando ela é mantida fixa no seu centro. Explique a razão pela qual este é o único local para se fixar a barra de modo a se obter o harmônico fundamental. GE 5.10.7) Uma estatueta pesada de alumínio está pendurada em um fio de aço. A freqüência fundamental das ondas estacionárias transversais no fio é igual a 200 Hz. A seguir a estatueta é imersa na água de tal modo que um terço de seu volume fica submerso. (a) Qual é a nova freqüência fundamental? (b) Por que é uma boa aproximação considerar o fio como se estivesse fixo nas duas

of 10 extremidades? GE 5.10.8) Muitos aeroportos possuem normas para ruídos restringindo a intensidade máxima de uma onda sonora que um avião pode produzir quando ele levanta vôo. Em um aeroporto da Califórnia a intensidade máxima permitida é igual a 98,5dB medida por um microfone no final de uma pista com 1740m de comprimento. Um certo avião produz uma intensidade sonora de 100,0 db medida no solo quando ele está voando a uma altura de 1000m. Na decolagem este avião percorre 1200m da pista antes de abandonar o solo, a partir deste ponto ele sobe com ângulo de 15. Este avião viola a norma que limita o ruído? Despreze os efeitos produzidos pela reflexão das ondas sonoras no solo. GE 5.10.9) A fonte sonora do sistema de sonar de um navio opera com uma freqüência igual a 22,0 khz. A velocidade do som na água (suposta uniforme a 20 C) é igual a 1482m/s. (a) Qual é o comprimento de onda das ondas emitidas pela fonte? (b) Qual é a diferença entre a freqüência das ondas irradiadas diretamente e a freqüência das ondas refletidas por uma baleia que se aproxima diretamente do navio com velocidade de 4,95m/s? O navio está em repouso na água. GE 5.10.10) Mostre que o semi-ângulo do cone de uma onda de choque é dado por sen θ = v/v s. Atividades Recomendadas: GE5.11) Tente, então, fazer os Exercícios Extras. GE5.12) Existem alguns aplicativos que podem ajudá-lo na compreensão da matéria. Tente executá-los. Todos os diretos reservados. Departamento de Física da UFMG