Cap. 24 Potencial Elétrico Prof. Oscar Rodrigues dos Santos oscarsantos@utfpr.edu.br Potencial elétrico 1
Energia Potencial Elétrica... O U x x f i F( x) dx F(x) x i x x f x Na Mecânica, nós definimos que a mudança na energia potencial ΔU está associada a um trabalho realizado (Força gravitacional) sobre a partícula que desloca de x i a x f. U U f U i W Considere uma carga q 0 se movendo de uma posição inicial i para uma posição final f sobre a influência de um campo elétrico E. O trabalho da força elétrica sobre q 0 é: f W F. ds i ds: deslocamento infinitesimal ao longo do deslocamento. Potencial Elétrico 2
Energia Potencial Elétrica U x x f i F( x) dx O trabalho realizado pela força eletrostática: f W F. ds i O trabalho realizado sobre a carga teste q 0 pelo campo elétrico: f W q0e.ds i ds: deslocamento infinitesimal ao longo do deslocamento. Potencial Elétrico 3
Energia Potencial Elétrica Potencial Elétrico em Campo Elétrico uniforme Carga teste se movendo em um campo elétrico uniforme, independente da posição, criado entre duas placas paralelas carregadas: W W F d i f. q i f 0 Ed O trabalho realizado pela força eletrostática é independente da trajetória. Potencial Elétrico 4
Potencial Elétrico Potencial elétrico: Energia potencial elétrica por unidade de carga associada a uma carga teste q 0 neste ponto. É uma propriedade do espaço onde existe campo elétrico e não depende da presença de carga teste q 0. V é uma grandeza ESCALAR. Unidade de Potencial Elétrico no SI é Volt (1V = 1J/1C) Potencial Elétrico V U q 0 Diferença de potencial (voltagem ou ddp): capacidade do campo elétrico realizar trabalho sobre uma carga teste q 0 entre dois pontos do espaço. V W q 0 Diferença Potencial Elétrico Elétron-volt: energia igual ao trabalho necessário para deslocar uma carga de prova q 0 e através de uma diferença de potencial de um volt. 1 ev (eletron-volt) = e (1V) = 1,6 x 10-19 J. Potencial Elétrico 5
A Potencial Elétrico Cálculo do potencial a partir do campo Elétrico. V V E. ds f i f i B Como calcular o potencial elétrico em um ponto apenas? Se V i = 0, i está no infinito, temos o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial no infinito, tomado como sendo zero: Nova unidade de campo elétrico: volt por metro (V/m) f i V E. ds Campo Elétrico 6
Superfícies Equipontenciais Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma SUPERFÍCIE EQUIPOTENCIAL (prefixo equi exprime ideia de igualdade ) Linhas de campo elétrico e superfícies equipotenciais são mutuamente perpendiculares. O trabalho realizado quando uma partícula se desloca em uma mesma superfície equipotencial é zero. Superfícies quipotenciais esféricas para carga pontual. Potencial Elétrico 7
Superfícies Equipontenciais Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície potencial. Linhas de campo elétrico e seções retas de superfícies equipotenciais para (a) campo elétrico uniforme; (b) carga pontual; (c) para dipolo elétrico. Potencial Elétrico 8
Potencial Elétrico Potencial Produzido por uma Carga Pontual. Calculamos o potencial criado por q, a uma distância r (ponto P), deslocando uma carga de prova q 0 do ponto P ao infinito. V 1 4 0 q r Partícula de carga positiva potencial elétrico positivo. Partícula de carga negativa potencial elétrico negativo. Gráfico gerado em computador do potencial elétrico V(r) produzido por uma carga positiva situada na origem do plano xy. Potencial Elétrico 9
Potencial Elétrico Potencial Produzido por uma Carga Pontual. V 1 4 0 q r Também pode ser usada pra calcular o potencial elétrico fora ou na superfície de uma distribuição de cargas com simetria esférica. Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais. V n V i i1 4 1 0 n i1 q r i i n cargas pontuais Potencial Elétrico 10
Potencial Elétrico Exemplo 1. Qual o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do quadrado de cargas pontuais que aparece na figura abaixo? A distância d = 1,3 m e as cargas são: q 1 = +12 nc q 2 = -24 nc q 3 = +31 nc q 4 = +17 nc Potencial Elétrico 11
Exercício: Potencial Elétrico 1. Um próton (carga positiva do elétron) se move ao longo de uma linha reta de um ponto a até um ponto b no interior de um acelerador linear, sendo d = 0,50 m a distância percorrida. O campo elétrico é uniforme ao longo dessa linha e possui módulo E = 1,5 x10 7 V/m no sentido de a para b. Determine (a) a força sobre o próton; (b) o trabalho realizado sobre ele pelo campo elétrico; (c) a diferença de potencia V a V b. (2,4 x 10-12 N; 1,2 x 10-12 J; 7,5 MV) 2. Duas cargas puntiformes q 1 = +12 nc e q 2 = -12 nc separadas por uma distância de 10 cm. Com V=0 no infinito, calcule os potenciais nos pontos a, b e c. (-900V; 1930V; 0) Potencial Elétrico 12
Exercício: Potencial Elétrico 3. A figura abaixo mostra um arranjo de partículas carregadas mantidas fixas, com a = 39 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,4 pc e q2 = 6 pc. Com V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do retângulo? (2,21 V) Potencial Elétrico 13
Potencial Elétrico Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico. V produzido por um dipolo elétrico a uma distância r do seu centro. V 1 4 0 p cos 2 r Dipolo Elétrico Potencial Elétrico 14
Potencial Elétrico Potencial Produzido por distribuição contínua de cargas. V 1 4 0 dq r Distribuição contínua de cargas Potencial Produzido por Linha de cargas. V 4 0 L ln 2 L d d 2 1 2 Linha de cargas Potencial Elétrico 15
Potencial Elétrico Potencial Produzido por um Disco carregado. V 2 0 z 2 R 2 z Disco carregado Potencial Elétrico 16
Exercício: Potencial Elétrico 4. Na figura abaixo, uma barra de plástico com uma carga uniformemente distribuída Q = -25,6 pc tem a forma de um arco de circunferência R = 3,71 cm e um ângulo centra de 120º. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P, o centro da curvatura da barra? (-6.20 V) 5. O rosto sorridente da figura abaixo é formada por três elementos: i. Uma barra fina com uma carga de -3 µc e a forma de uma circunferência completa de 6 cm de raio; ii. Uma segunda barra fina com uma carga de 2 µc e a forma de um arco de circunferência com 4 cm de raio, concêntrico com o primeiro elemento; iii. Um dipolo com um momento dipolar na direção perpendicular ao diâmetro do primeiro elemento que passa pelo centro do segundo elemento, cujo módulo é 1,28 x 10-21 C.m. Determine o potencial elétrico no centro da circunferência. (0) Potencial Elétrico 17
Potencial de um condutor carregado. Uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui na superfície do condutor de tal forma que o potencial é o mesmo em todos os pontos do condutor (tanto na superfície como no interior). Isso acontece mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna e mesmo que essa cavidade interna contenha um carga elétrica. i. Interior: E 0 V i V f 1 4 0 q R ii. Exterior (casca esférica condutora): E 1 4 0 q r 2 V 1 4 0 q r Potencial Elétrico 18
Potencial de um condutor carregado. Condutores não-esféricos possuem em seus vértices e arestas uma densidade de carga superficial mais alta que nas demais regiões do condutor, podendo ionizar o ar ao seu redor, vencendo a regidez dielétrica do ar. Poder das Pontas: o excesso de cargas tende a se acumular nas regioões mais pontiagudas. Nos caminhões tanque, extremidades são arredondadas para que as cargas não se acumulem em uma ponta, e assim não haja uma descarga elétrica? Potencial Elétrico 19
Potencial de um condutor carregado. Durantes tempestades, o excesso de cargas nas nuvens provoca o acúmulo de cargas de sinal oposto no condutores. Por conseguinte, as descargas produzidas por raios tendem a ser direcionadas para a extremidade de um pára-raio, e não para outras estruturas vizinhas. Ionizando o ar: Sendo o campo aplicado suficientemente intenso, os elétrons do ar serão arrancados e tornar-se-ão elétrons livres. Criando-se assim um grande número de íons no ar (alguns positivos e outros negativos) o ar se torna condutor de eletricidade. Potencial Elétrico 20
Potencial de um condutor carregado. Lugar mais segura para se proteger dos raios durante uma tempestade? Em tempestades, por exemplo, o melhor lugar pra se abrigar de uma descarga elétrica é dentro de um carro (E = 0, V = constante) Potencial Elétrico 21
Gradiente de Potencial A componente do campo elétrico em qualquer direção do espaço é o negativo da taxa de variação do potencial elétrico com a distância nesta direção. E s V s E s é a componente do campo elétrico na direção de ds. Se tomarmos o eixo s como sendo sucessivamente, os eixos x, y e z, as componentes do campo elétrico são: E x V x E y Quando o campo elétrico é uniforme: E V s V y Onde s é perpendicular às superfícies equipotenciais E z V z Potencial Elétrico 22
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais Exercício: 6. O potencial elétrico é dado por V = 2x 2 3y 2. Qual é o módulo do campo elétrico no ponto (3m; 2m; 0)? (16,97 V/m) 7. Qual o módulo do campo elétrico no ponto (3î - 2j + 4k) m se o potencial é dado por V = 2xyz 2? (150,1 V/m) Potencial Elétrico 23
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais Se duas cargas de mesmo sinal são aproximadas, o trabalho para realizar esta aproximação fica armazenado na forma de energia potencial (K = constante). Se mais tarde as cargas são liberadas, essa energia é recuperada como energia cinética. A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é igual ao trabalho que deve ser executado por um agente externo para montar o sistema, começando com as cargas a uma distância infinita umas das outras. 1 q1q2 U W 4 r 0 Energia potencial elétrica de um par de cargas W = trabalho realizado contra o campo e não pelo campo (força externa). W > 0 se as cargas tiverem o mesmo sinal; W < 0 se as cargas tiverem sinais opostos. Potencial Elétrico 24
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais Exemplo 2. A figura mostra três carga pontuais mantidas fixas no lugar por forças não especificadas. Qual é a energia potencial elétrica U desse sistema de cargas? Suponha d = 12 cm e que q 1 = +q, q 2 = -4q e q 3 = +2q, onde q = 150 nc. (-17 mj) Potencial Elétrico 25
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais Exercício: 8. Determine o trabalho necessário para deslocar uma partícula de carga Q = +16e, inicialmente em repouso, ao longo da reta tracejada, do infinito até o ponto indicado, nas proximidades de duas partículas fixas de cargas q 1 = +4e e q 2 = -q 1 /2. Suponha d = 1,4 cm, θ 1 = 43º e θ 2 = 60º. (0) 9. Na figura, sete partículas carregadas são mantidas fixas no lugar para formar um quadrado com 4 cm de lado. Qual é o trabalho necessário para deslocar para o centro do quadrado uma partícula de carga +6e inicialmente em repouso a uma distância infinita? (2,1 x 10-25 J) Potencial Elétrico 26
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais Exercício: 10. Uma partícula de carga +7,5 µc é liberada a partir do repouso sobre o eixo x, no ponto x = 60 cm. A partícula começa a se mover devido à presença de uma carga Q que é mantida fixa na origem. Qual é a energia cinética da partícula após deslocar 40 cm (a) se Q = + 20 µc e (b) se Q = - 20 µc? (0,899J; 4,5 J) 11. Uma carga de -9 nc está distribuída uniformemente em um anel fino de plástico situado no plano yz, com o centro do anel na origem. Uma carga pontual de -6pC está situada sobre o eixo x, no ponto x = 3m. Se o raio do anel é 1,5 m, qual deve ser o trabalho executado por uma força externa sobre a carga pontual para deslocá-la até a origem? (1,8 x 10-10 J Potencial Elétrico 27