Física IV Relatividade Prof. Helena Malbouisson Sala 3018A uerj-fisica-ivquimica@googlegroups.com 1
Relatividade A teoria da relatividade Restrita (ou Especial) foi proposta por Albert Einstein em 1905. Medida de eventos (acontecimentos): Onde ocorrem no espaço tempo? A que distânica ocorrem no espaço tempo? É a Teoria que estabelece a relação entre os valores medidos em referenciais inerciais em movimento, um em relação ao outro è daí o nome Relatividade. Relatividade Restrita: se aplica apenas a referenciais inerciais (referenciais em que as leis de Newton são válidas). Teoria da Relatividade Geral: teoria mais complexa na qual os referenciais podem sofrer aceleração gravitacional. Neste curso, trataremos apenas da Relatividade Restrita. Mecânica Clássica è velocidades muito pequenas. Relatividade Especial: todas as velocidades, incluindo as próximas à da luz; teoria nova (em 1905); Espaço e tempo interligados; A relação entre espaço e tempo é diferente para observadores em movimento um em relação ao outro. 2
Os postulados da Relatividade Postulado da Relatividade: As leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não existe um referencial absoluto. Postulado da Velocidade da Luz: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor, c, em todas as direções e em todos os referenciais inerciais. A luz se propaga a uma velocidade c e nada pode exceder esse limite. Na natureza, não há possibilidade de transporte de informação a uma velocidade maior que a da luz è velocidade limite: c = 299792458 m/s Evento: Em relatividade restrita, um evento é algo que acontece em um determinado instante de tempo e uma determinada posição do espaço. Observadores em diferentes referenciais inerciais podem observar o mesmo evento, porém as coordenadas atibuídas a esse evento são diferentes. A a relatividade especial determina as relações entre as coordenadas atribuídas a um mesmo evento por dois 3 observadores em referenciais inerciais distintos.
A relatividade da simultaneidade Dois observadores em movimento relativo não concordam, em geral, quanto à simultaneidade de dois eventos. Se um dos observadores os considera simultâneos, o outro em geral conclui que não são simultâneos. Isso não quer dizer que um está certo e o outro errado. Ambas observações são válidas. Logo, A simultaneidade não é um conceito absoluto e sim um conceito relativo, que depende do movimento do observador. Na nossa vida cotidiana, não somos afetados por isso pois as velocidades envolvidas são muito menores que a da luz. 4
A relatividade do tempo O intervalo de tempo entre dois eventos depende da separação entre eles, tanto no espaço quanto no tempo, ou seja, as separações espaciais e temporais são interdependentes. Em relatividade, nos referimos ao espaço-tempo como uma forma de evidenciar essa interdependência. Exemplo da interdependência do espaço-tempo: Considere dois eventos e dois observadores, João e Maria. Para um dos observadores, Maria, os dois eventos ocorrem no mesmo local. Maria se encontra em um trem em movimento, com velocidade v em relação a uma estação de trem. Maria faz o seguinte experimento: 1) Um pulso de luz é em B è evento 1 2) O pulso viaja em direção ao espelho e é refletido; 3) O pulso é detectado no ponto de origem è evento 2; 4) Maria mede um intervalo de tempo Δt 0 entre os dois eventos, que está relacionado à distância D entre a fonte e o espelho, pela equação: t 0 = 2D c No referencial de Maria, os dois eventos ocorrem no mesmo ponto. 5
A relatividade do tempo Os mesmo dois eventos são também medidos por João, que se encontra na estação de trem quando o trem passa. Como o equipamento está se movendo com o trem enquanto a luz está se propagando, João não vê os dois eventos no mesmo ponto do referencial: Intervalo de tempo, medido por João, entre os dois eventos, é: Onde Logo, L = L = t = 2L c Obtemos então: (Joao) v! u 2 t 1 2 v t + D 2 v u t 1 2 v t t =! 2 + 1 2 c t 0! 2 Movimento t 0 p 1 (v2 /c 2 ) 6
A relatividade do tempo t = t 0 p 1 (v2 /c 2 ) Essa equação mostra a relação entre o intervalo Δt medido por João e o intervalo Δt 0 medido por Maria. Como v é necessariamente menor que c, p 1 (v2 /c 2 ) < 1 ) t> t 0 è O intervalo entre os dois eventos, do ponto de vista de João, é MAIOR que do ponto de vista de Maria. Então, o movimento relativo pode mudar a medida de tempo entre dois referenciais. O que se mantém constante é a velocidade da luz. Formulação Quando dois eventos ocorrem no mesmo ponto de um referencial inercial, o intervalo de tempo entre os dois eventos, medido nesse referencial, é chamado de intervalo de tempo próprio. Quando esse intervalo de tempo é medido em outro referencial, o resultado é sempre maior que o intervalo de tempo próprio è DILATAÇÃO TEMPORAL 7
A relatividade do tempo No nosso exemplo, Δt 0 (medido por Maria) é o tempo próprio e o tempo medido por João sofre uma dilatação temporal.! 2 v Em geral, na teoria da relatividade, escrevemos: c = ) v = 2 c β: parâmetro de velocidade 1 γ: fator de Lorentz p 1 v2 /c = 1 p = 2 1 2 O Intervalo de tempo observado por João pode ser então expresso como: Δt = γδt 0 β < 1, sempre; γ >= 1, sempre. Quanto maior v (velocidade entre os referenciais), maior γ. Logo, para v < 0,1c è γ próximo de 1 è mecânica newtoniana é válida; Para v > 0,1c è somente a relatividade restrita é válida. 8
Exemplo 1 Uma espaçonave com um astronauta dentro, passa pela Terra com uma velocidade relativa de 0,9990c. Depois de viajar durante 10,0 anos (tempo do astronauta), pára em uma estação espacial, faz meia-volta e se dirige para a Terra com a mesma velocidade relativa. A viagem de volta também leva 10,0 anos. Quanto tempo leva a viagem de acordo com um observador terrestre? (Despreze os efeitos da aceleração). Dados: ü Dois referenciais inerciais: um na Terra, o outro na espaçonave; ü O percurso de ida envolve 2 eventos: ü O início da viagem na Terra; ü O fim da viagem de ida, na estação espacial ü O tempo de 10,0 anos medido pelo astronauta para o percurso de ida é o tempo próprio Δt 0, já que os dois eventos ocorrem no mesmo local no referencial do astronauta, que é a espaçonave; ü De acordo com a dilatação temporal, o tempo da viagem de ida medido por um observador no referencial da Terra, é maior que o tempo próprio: Δt = γδt 0 Logo, para a viagem de ida, temos que o tempo medido por um observador no referencial terrestre é dado por: t = 1 p 1 v2 /c = 10.0 anos p = 2 1 (0.9990c/c) 2 (22.37)(10.0 anos) = 224 anos Na viagem de volta, temos a mesma situação, logo a viagem de ida e volta, leva 20,0 anos para o astronauta e Δt total = 2. 224 = 448 anos para o observador terrestre. Ou seja, enquanto o astronauta envelheceu 20 anos, o observador terrestre envelheceu 448 anos. Sendo assim, ao voltar à Terra, o astronauta terá viajado no futuro. A viagem ao futuro é possível na 9 Relatividade Restrita. J
A relatividade das distâncias A distância também fica alterada quando é medida em relação a um referencial inercial com velocidade v, grande o suficiente para que a teoria da relatividade restrita seja válida. p L = L 0 1 2 = L 0 Contração das distâncias γ >= 1 è L < L 0, sempre. Ou seja, o movimento relativo causa contração das distâncias O movimento L 0 de um corpo, medido no referencial em que o corpo se encontra estacionário, é chamado de comprimento próprio ou comprimento de repouso. O comprimento medido em outro referencial em relação ao qual o corpo está se movendo (na direção da dimensão que está sendo medida) é sempre menor que o comprimento próprio. Importante: a contração espacial só ocorre na direção do movimento relativo. 10
A relatividade das distâncias Demonstração da contração espacial Voltemos ao nosso exemplo de João na plataforma de trem e Maria no trem. Eles querem medir o comprimento da plataforma da estação. João, que está em repouso em relação à plataforma, mede o comprimento próprio, L 0. Maria, que está no trem, percorre a plataforma em um intervalo de tempo Δt = L 0 /v, onde v é a velocidade do trem. Assim, L 0 = vδt, no referencial de João. O intervalo de tempo em que Maria observa a sua passagem pela plataforma, é o tempo próprio, pois sua passagem pelo início e fim da plataforma ocorrem no mesmo local (dentro do trem). Logo, para Maria: L = vδt 0 (Maria) Logo, L = v t 0 L 0 v t = 1 ) L = L 0 Contração das distâncias 11
Exemplo 2 Maria e João estão cada um a bordo de uma espaçonave e passam um pelo outro com velocidade relativa v. O comprimento próprio da espaçonave de João é L 0 = 230 m. Segundo Maria, a nave leva 3,57 μs para passar (intervalo de tempo entre a passagem do ponto B e a passagem do ponto C). Em termos de c, velocidade da luz, qual é a velocidade relativa v, entre Maria e a Nave? Dados: ü Suponhamos que a velocidade v é da mesma ordem que c è teoria de relatividade. ü Temos 2 referenciais inerciais: o de Maria e o de João e sua nave. ü O problema envolve dois eventos: o primeiro é a passagem do ponto B e o segundo é a passagem do ponto C. ü A distância e o intervalo de tempo do problema, deve, ser medidos no mesmo referencial. Escolhemos o referencial de Maria pois temos o dados da medida de tempo Δt entre os dois eventos nesse referencial: v = L t L = L 0 v = L t = L 0t = p 1 (v2 /c 2 )L 0 t 12
Exemplo 2 13
A transformação de Lorentz Consideremos dois referenciais S e S : S (x, y, z, t ) se move com velocidade v em relação a S(x, y, z, t) O eixo x coincide com o eixo x Queremos determinar a relação entre os dois conjuntos de números (x, y, z, t) e (x, y, z, t ). As equações que determinam as relações entre as coordenadas espaço-tempo de S e S são as equações de trnasformação de Lorentz. Que podem ser deduzidas a partir dos postulados da relatividade: As equações inversas são: (Equações de transformação de Lorentz, válidas para qualquer velocidade fisicamente possível.) Em termos de diferenças de coordenadas as equações inversas são: 14
Relatividade Vídeos Sugeridos (em inglês) h-ps://www.youtube.com/watch?v=4yyb_rnjwum h-ps://www.youtube.com/watch?v=tgh9kxeq0yu h-ps://www.youtube.com/watch?v=-zckampcao h-ps://www.youtube.com/watch?v=mty1kje0ylg Relatividade Geral https://www.youtube.com/watch?v=awhkz3fd9ja&t=218s https://www.youtube.com/watch?v=6xsavqm0xbi Documentário sobre albert Einstein: https://www.youtube.com/watch?v=nyk5sg9rwwi 15