Cinemática Escalar Conceitos Básicos Espaço (S) O espaço de um móvel num dado instante t é dado pelo valor da medida algébrica da sua distância até a origem dos espaços O. Retardado: quando o módulo da velocidade diminui no decorrer do tempo. Nesse caso teremos: v e a têm sinais contrários. Movimento Uniforme (M.U.) É todo o movimento no qual a velocidade escalar permanece constante no decorrer do tempo. Variação do espaço (ΔS) ΔS = S S 0 Velocidade Escalar (v) Média Instantânea Característica: Se v = cte v = v m Aceleração Escalar (a) Média Instantânea Característica: Se a = cte a = a m Classificação dos Movimentos Progressivo: quando o sentido do movimento coincidir com a orientação da trajetória. Nesse caso teremos: v > 0 e ΔS > 0.0 Retrógrado: quando o sentido do movimento for contrário à orientação da trajetória. Nesse caso teremos: v < 0 e ΔS < 0. Acelerado: quando o módulo da velocidade aumenta no decorrer do tempo. Nesse caso teremos: v e a têm o mesmo sinal. Função Horária dos Espaços S = S 0 + v.t Onde: S 0 : espaço inicial e v: velocidade escalar. Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) É todo o movimento no qual a aceleração escalar permanece constante no decorrer do tempo. Função Horária dos Espaços S = S 0 + v 0.t + a.t 2 /2 Onde: S 0 : espaço inicial, v 0 : velocidade inicial e a: aceleração escalar. Função Horária da Velocidade v = v 0 + a.t Equação de Torricelli Gráfico em Cinemática Na análise destes gráficos você deve saber que: Espaço X Tempo: O valor da velocidade escalar instantânea é numericamente igual à tangente do ângulo determinado pela curva com o eixo dos tempos. N v = tg Função crescente v > 0 Ponto de Máximo/Mínimo v = 0 Função decrescente v < 0 Caso o movimento seja uniforme, teremos: Caso o movimento seja uniformemente variado, teremos: Velocidade x tempo: - O valor da velocidade escalar instantânea é numericamente igual à tangente do ângulo determinado pela curva com o eixo dos tempos. N a = tg - O valor da variação do espaço móvel num determinado intervalo de tempo é numericamente igual a ao valor da área delimitada pela curva com o eixo dos tempos. N ΔS = área A. Valem para essas propriedades as seguintes dicas:
Função crescente a > 0 Função decrescente a < 0 Área acima do eixo dos tempos ΔS > 0 Área abaixo do eixo dos tempos ΔS < 0 Aceleração X Tempo: O valor da área delimitada pela curva com o eixo dos tempos é numericamente igual à variação da velocidade do móvel no intervalo de tempo considerado. Vale lembrar que: Área acima do eixo dos tempos Δv > 0 Área abaixo do eixo dos tempos Δv < 0 Lançamento Vertical e Queda Livre Todos os corpos que se movimentam nas proximidades da superfície da Terra, na ausência de resistência do ar, adquirem uma mesma aceleração constante, independentemente da sua massa; essa aceleração será denominada aceleração da gravidade g e seu valor aproximado é 9,8 m/s 2. Na resolução dos exercícios usaremos g = 10 m/s 2. Como nessas situações os corpos se deslocam com aceleração constante, esse movimento vertical é um caso particular de movimento uniformemente variado. Assim sendo, você deverá se utilizar das funções anteriormente apresentadas no estudo e equacionamento dos problemas, lembrando que: Você deverá tomar um cuidado muito especial no momento de atribuir um sinal para o valor da aceleração. Ele dependerá apenas da orientação que você atribuir à trajetória. i a ai o Cinemática Vetorial Vetores Um vetor é definido a partir de um conjunto de três características: *Módulo * direção *sentido. É representado graficamente por ser uma seta: Quando quisermos nos referir a seu módulo (intensidade), usaremos as notações: ou Adição de Vetores: Dados dois vetores e, o vetor soma (ou resultante) pode ser obtido graficamente a partir do seguinte processo. Regra da Poligonal Temos que: O módulo s do vetor soma é dado pela lei dos co-senos: Vale relembrar três casos particulares: 1 o e têm a mesma direção e sentido: 2 o e têm direção e sentidos opostos: 3 o e têm direções perpendiculares: Subtração de Vetores O vetor diferença é obtido graficamente como se mostra a figura a seguir O módulo do vetor diferença d é dado pela lei dos co-senos: Produto de um vetor por um número real. Ao multiplicarmos um vetor por um número k, obteremos um outro vetor, tal que: *módulo de : p =.a * direção de do vetor * sentido de : Decomposição de um vetor em um par de eixos Velocidade Vetorial Movimento Circular e Uniformemente Variado (M.C.U.V.)
acp = V²/R a t - cte, diferente de 0 ar² = at² + acp² Movimento Circular e Uniforme (M.C.U) Movimento Circular DINÃMICA Leis de Newton 1 a Lei de Newton (Princípio da Inércia) Se a resultante das forças que atuam sobre um ponto material, então este corpo permanece em repouso ou em MRU. F R = 0 2 a Lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica) A resultante das forças que atuam sobre um ponto material, é igual ao produto da sua massa pela sua aceleração. F R = m.a se equilibram, uma vez que atuam sempre em corpos diferentes. Observação 2: Dinamômetros são aparelhos calibrados de tal forma a registrar a intensidade da força aplicada a uma de suas extremidades; são constituídos por uma mola que se deforma à medida que se aplica a ela uma determinada força; seu funcionamento se baseia na proporcionalidade existente entre a intensidade da força aplicada e a deformação sofrida pela mola, que se relacionam através da lei de Hooke: F el = k. x Onde k é a deformação da mola. Plano Inclinado e Força de Atrito. Plano Inclinado. Para analisarmos o deslocamento de um corpo ao longo de um plano inclinado, projetamos as forças que atuam sobre o mesmo em duas direções perpendiculares entre si; uma delas será paralela ao plano e a outra perpendicular ao mesmo. Projetando-se o peso do corpo, por exemplo, obtemos as seguintes componentes. P T = P. sen θ P N = P. cos θ Na seqüência desta análise procuramos aplicar as leis de Newton, analogamente ao que foi feito nos tópicos anteriores. Força de Atrito. É a força de contato, cuja direção é tangente à superfície de contato entre os corpos que interagem e de sentido contrário ao movimento ou à tendência de movimento. atrito estática e seu módulo será igual ao da força solicitante. f at = F * iminência de movimento: quando o corpo se prepara para iniciar o movimento, a força de atrito será máxima e seu módulo é dado por: Fat est = Onde: : coeficiente de atrito dinâmico (cinético) e N: reação normal. Eventualmente pode ocorrer que =. Movimento de trajetória curvilínea. Para um melhor entendimento das situações a serem analisadas, decompomos a força resultante em duas componentes. t: componente tangencial: F t = m.a CP: componente centrípeta: F CP = m. Trabalho de uma Força e Energia Mecânica Trabalho realizado por uma força constante. O trabalho realizado por uma força constante num deslocamento AB é calculado por: 3 a Lei de Newton (Princípio da ação e reação) Quando dois corpos interagem, se o primeiro aplica sobre o segundo uma determinada força, este irá aplicar ao primeiro uma outra força de mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário. Na análise do comportamento da força de atrito, consideramos três fases distintas: Observe que: Se 0 < θ < 90 0 t r. tr b lh Observação 1: Estas forças, chamadas de ação-reação, nunca * repouso: nesta fase a força de atrito é denominada força de
Se 90 0 < θ < 180 0 tr b lh r t t. Se θ 90 0 tr b lh ul (forças não realizam trabalho). Propriedade Gráfica: No gráfico da componente tangencial da força em função do deslocamento, o valor da área entre a curva e o eixo dos deslocamentos é numericamente igual ao trabalho realizado pela força, seja ela constante ou não. Trabalho realizado pela força peso. Para um corpo de massa m que se desloca de um ponto A para outro ponto B, o trabalho realizado pela força peso não depende da trajetória executada pelo corpo de A até B e seu valor é dado por: Se h A > h B T = m. g.( h A - h B ) Trabalho motor v, definimos sua energia cinética através da expressão: E C = Teorema da Energia Cinética. O trabalho realizado pela resultante das forças que atuam sobre um ponto material é igual ao valor da variação da energia cinética desse ponto material. Energia Potencial Gravitacional. Para um corpo de massa m que se encontra a uma altura h em relação a um dado nível de referência, o valor da sua energia potencial gravitacional é dado por: E P = m.g.h : Corpo acima do referencial : Corpo abaixo do referencial Energia Potencial Gravitacional. Considere uma mola de constante elástica k e que sofreu uma deformação x; nestas condições a energia potencial elástica da mola será: Potência de uma Força. É definida como sendo o quociente entre o trabalho realizado por esta força e o tempo necessário para isto. ou Também pode ser obtida pelo produto da força pela velocidade escalar do corpo num dado instante: P ot = F. v Impulso e Quantidade de Movimento Impulso de uma força constante Seja uma força constante que atua sobre um ponto material durante um intervalo de tempo t, definimos impulso de nesse intervalo de tempo como: O impulso de é uma grandeza vetorial de mesma direção e sentido da força. Se tivermos o gráfico da intensidade da força em função do tempo, vale a seguinte propriedade: Se h A < h B Trabalho resistente Trabalho realizado pela força elástica. Consideremos uma mola ideal sujeita à ação de uma força, indicada na figura abaixo, e seja x a deformação sofrida pela mola. O trabalho realizado pela mola é dado por: (k: constante elástica da mola) Energia cinética de um corpo. Para um corpo de massa m e que se desloca com velocidade Princípio da Conservação de Energia Mecânica. Em um sistema conservativo, a energia mecânica do mesmo permanece constante. Entenda-se por sistema conservativo, todo sistema no qual atuam forças dissipativas, tais como atrito e força de resistência do ar. Chamamos de energia mecânica de um sistema a soma das energias potencial e cinética em cada instante. Então, para um sistema conservativo que evolui de um ponto A para um ponto B, podemos escrever: O valor da área entre a curva e o eixo dos tempos é numericamente igual ao valor do impulso no intervalo de tempo considerado. Quantidade de movimento de um corpo Seja a velocidade de um corpo de massa m; a quantidade de movimento deste corpo é definida como: A quantidade de movimento de um corpo é igualmente uma grandeza vetorial de mesma direção e sentido da velocidade vetorial (será também tangente à trajetória em cada ponto).
Teorema do Impulso O impulso comunicado a um corpo pela resultante das forças que atuam sobre ele é igual à variação da quantidade de movimento desse corpo no intervalo de tempo considerado. ou Princípio da conservação da quantidade de movimento. Num sistema isolado, a quantidade de movimento permanece constante no decorrer do tempo. Sistema isolado de corpos é aquele no qual a resultante das forças externas que atuam sobre ele é nula. Choque Mecânico Choque Unidimensional ou Frontal Não há mudança na direção dos movimentos corpos após o choque. Para qualquer tipo de choque vale o princípio da conservação da quantidade de movimento, já que as forças que atuam durante a interação são internas ao sistema. Tipos de Choques Choque Elástico: a energia cinética do sistema se conserva antes e depois do choque. O coeficiente de restituição será: e = 1 Choque Parcialmente Elástico: Ocorre com perda de parte energia cinética do sistema. O coeficiente de restituição será: 0 < e < 1 Choque Inelástico: Ocorre com perda máxima de energia cinética. Como os corpos não se separam o coeficiente de restituição será: e = 0 2 a Lei ou Lei das áreas: O raio vetor de um planeta varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Se o tempo gasto pelo planeta para se deslocar de P 1 a P 2 for igual for ao que ele gosta de P 3 a P 4, então as áreas A 1 e A 2 são iguais. 3 a Lei ou Lei dos Períodos: Para corpos que orbitam em torno de um mesmo corpo, é constante a relação: Onde: R= Raio médio da órbita e T = Período de revolução. Lei de Gravitação Universal Consideremos dois corpos de massas m 1 e m 2, separados de tal forma que a distância entre seus centros de massa seja d. Entre eles agirá uma força de atração, cuja intensidade é dada por: Choque Bidimensional ou Oblíquo Ocorre com mudança na direção dos movimentos. Coeficiente de restituição Consideremos um choque qualquer; definimos coeficiente de restituição através do quociente: Conservação da Quantidade de Movimento Gravitação Gravitação Universal * Leis de Kepler 1 a Lei ou Lei das Órbitas: Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos. G= Constante de gravitação Universal = 6,67.10-11 N.m 2 /kg 2. Variação da Aceleração da Gravidade com a altura O valor da aceleração da gravidade num ponto A situado a uma altura h da superfície da Terra é dado por: Onde: M = massa da Terra e R = raio da Terra. Energia Potencial Gravitacional Dados dois corpos de massa M e m separados por uma distância d, a energia potencial desse sistema, em relação a um referencial no infinito, é igual a:
Estática Equilíbrio do Ponto Material Para que um ponto material sujeito à ação de um sistema de forças permaneça em equilíbrio é necessário que a resultante das forças que atuam sobre ele seja nula. Equilíbrio de corpos extensos Dada uma força e um ponto 0, definimos momento de força em relação ao ponto 0 como: d = braço de ponto 0. em relação ao Para que um corpo extenso permaneça em equilíbrio é necessário que duas condições sejam simultaneamente satisfeitas: * A resultante das forças que atuam sobre o corpo deve ser nula. * A soma de todos os momentos em relação a um mesmo ponto deve ser igual a zero. Seja um ponto A situado a uma profundidade h, no interior de um líquido de densidade d, em equilíbrio. A pressão no ponto A pode ser obtida a partir de: É importante lembrar que pontos situados à mesma profundidade, no interior de um líquido em equilíbrio, estarão submetidos à mesma pressão. Princípio de Pascal: todo acréscimo de pressão experimentado por um fluido é transmitido integralmente a todos os seus pontos. Princípio de Arquimedes: Um corpo em contato com um fluido fica sujeito à ação de uma força de direção vertical, cuja intensidade é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo. Chamamos essa força de empuxo. Ou Onde V ld = volume do líquido deslocado = volume imerso. Hidrostática Pressão Dada uma força que atua perpendicularmente a uma superfície de área A, definimos a pressão exercida pela força sobre essa superfície como: Densidade Considere um corpo de massa m e seja V o volume ocupado por ele; o valor de sua densidade será dado pela expressão: Teorema de Stevin