ANÁLISE TEÓRICA E NUMÉRICA DE MEMBRANAS FLEXÍVEIS APLICÁVEIS A SENSORES DE PRESSÃO. Ricardo Schleder Tozetto 1

ANÁLISE TEÓRICA E NUMÉRICA DE MEMBRANAS FLEXÍVEIS APLICÁVEIS A SENSORES DE PRESSÃO Ricardo Schleder Tozetto 1 1 Programa de Pós-Graduação em Engenharia, Universidade de Passo Fundo, Campus I, Bairro São José, BR-285. Passo Fundo/RS, CEP: 99052-900. E-mail: ricardo@fancontrol.com.br Resumo: O trabalho aborda o tema relacionado ao levantamento de informações para o desenvolvimento de sensores utilizando o efeito piezoelétrico, ou seja, a variação da resistência elétrica de um material conforme a variação da tensão mecânica sofrida pelo material. Dessa forma, uma das aplicações mais comuns desse efeito é o emprego de sistemas micro-eletromecânicos para a medição de pressão. Para isso, é feita uma pesquisa de revisão bibliográfica acerca da construção de sensores de pressão com essa tecnologia além do levantamento de material técnico sobre os conceitos de teoria da elasticidade, simulação pela tecnologia dos elementos finitos e considerações acerca da anisotropia dos materiais comumente utilizados. Finalmente, conclui-se sobre os formatos ideais de membranas para a utilização em sensores de pressão piezoelétricos. Palavras-chave: Sensor de pressão. Efeito piezoelétrico. Teoria da Elasticidade. Método dos Elementos Finitos. MEMS. Abstract: This work treats the theme related with the information mining for the development of sensors using piezoelectric effect, in other words, the material electric resistance change according to the variation of the mechanical stress applied to the material. Thus, one of the most common applications of this effect is the employment on micro-electromechanical systems for pressure measurement. For this, a bibliographic review research is performed about pressure sensor construction with this technology, in addition the lifting of technical material about the concepts of elasticity theory, finite elements simulation and anisotropy considerations on commonly used materials. Finally, concludes about ideal membrane formats for piezoelectric pressure sensor usage. Keywords: Pressure sensor. Piezoelectric effect. Elasticity theory. Finite elements method. MEMS. 1 Introdução A crescente demanda por tecnologia vivenciada pela ciência atualmente, além da necessidade de equipamentos cada vez menores, desencadeou a criação de novas técnicas de integração de circuitos. Assim, os dispositivos com tecnologia microelectromechanical systems (MEMS), possuem elevada importância em diversos segmentos de pesquisa e desenvolvimento de sensores e circuitos integrados nos últimos anos. Por outro lado, a existência dessa tecnologia que conta com componentes mecânicos flexíveis que podem mover algum tipo de carga ou mesmo sustentá-la está diretamente relacionada com o avanço nos conhecimentos de Teoria da Elasticidade e também com os Métodos de Simulação por Elementos Finitos (FEM). Além disso, esses pequenos componentes mecânicos

podem ser microvigas, micropontes ou micromembranas com formatos geométricos variados e diferentes configurações (PUSTAN, et al., 2010). As aplicações possíveis para esse tipo de dispositivos são muitas, nos mais variados campos da Eletrônica e da Instrumentação. Um bom exemplo disso é a utilização dessas microestruturas para o desenvolvimento de componentes ativos e passivos em pequena escala, aplicados em dispositivos wireless RF como telefone celulares e dispositivos de acesso a internet com tecnologia 3G ou 4G. Para esse tipo de dispositivos as considerações sobre tamanho tornaram-se primárias atualmente e os componentes em escala normal - como diodos, capacitores, indutores, filtros e chaves são complicadores para essa questão (BURG, et al., 2006). Além disso, componentes integrados trazem diversos benefícios com relação aos em escala normal, como a melhora das perdas de inserção, diminuição do consumo de potência, melhoria na isolação e facilitação do projeto das placas de circuito impresso. Na Figura 1, pode-se ver um exemplo de capacitor variável com tecnologia MEMS. Figura 1: Capacitor variável com tecnologia MEMS. Fonte: Burg et al (2006).

Por sua vez, os sensores baseados em tecnologia MEMS tem ganhado grande popularidade nos últimos anos e são baseados no efeito piezoresistivo. Tal efeito pode ser descrito como a mudança da resistência elétrica do material quando esse é submetido a uma certa tensão mecânica e foi descoberto por Smith nos anos 50. Os semicondutores e especificamente o Silício possuem um elevado coeficiente piezoresistivo se comparado aos metais e aproveitando isso, Smith desenvolveu em ensaio para medir os coeficientes piezoresistivos transversais e longitudinais tornando conhecidos seus valores (GHOSH; ROY; SARKAR, 2013). Assim, o projeto de diversos tipos de sensores tornou-se possível com essa tecnologia. Uma das variáveis físicas mais recorrentes no campo de medição é a pressão, que pode ser medida utilizando-se sensores desenvolvidos com tecnologia MEMS. Tipicamente a pressão é mensurada monitorando as variações de resistência elétrica em estruturas mecânicas especificamente projetadas, chamadas de elementos de medição. A aplicação de pressão nessas estruturas causa uma mudança na forma devido a flexão, causando modificações nas características elétricas dessas estruturas devido ao efeito piezoelétrico. Assim, a pressão pode ser medida através da resistência elétrica do componente (GHOSH; ROY; SARKAR, 2013). O princípio de operação desses sensores de pressão pode ser visualizado no diagrama da Figura 2. A busca das especificações perfeitas para a melhoria da performance do sensor, depende dos parâmetros de projeto do sensor, como o formato e o tamanho do diafragma e sua localização. Finalmente, a Teoria da Elasticidade e o Método dos Elementos Finitos mostram-se como bons caminhos no estudo dessas condições. Figura 2: Princípio de operação do sensor de pressão piezoresistivo. Adaptado de Ghosh (2013).

Nesse trabalho, serão revisados alguns princípios básicos acerca da Teoria da Elasticidade e do Método dos Elementos Finitos aplicados ao projeto de sensores integrados com tecnologia MEMS. Após isso, serão descritos os procedimentos de análise teórica e simulação desse tipo de microestruturas encontrados na bibliografia relacionada, além de considerações acerca da anisotropia dos materiais utilizados. Finalmente, serão discutidos os resultados práticos e teóricos encontrados para o problema. 2 Análise teórica do projeto de um sensor de pressão MEMS Conforme visto anteriormente, baseando-se no efeito piezoresistivo e nas características elásticas do silício é possível desenvolver um sensor de pressão com pequeno tamanho, alta sensibilidade, alta exatidão e boas condições dinâmicas, além da resistência a corrosão desse material (SHEN; SUN; LIU, 2010, p. 563). A estrutura desse sensor pode ser feita com uma membrana circular, quadrada ou retangular, sendo que a relação entre tensão e deformação da membrana quadrada é mais complexa do que as outras. Logo, é necessário deduzir as distribuições de tensão nas membranas através da Teoria Clássica de Placas e da Teoria da Elasticidade antes de desenvolver o chip do sensor. 2.1 Análise de membranas retangulares e quadradas Uma solução aproximada simples para a tensão máxima e deformação máxima de uma lâmina retangular com as bordas fixas pode ser vista nas equações 1 e 2 (SHEN; SUN; LIU, 2010). σ!!!"# = βpb! h! (1) Em que β é um coeficiente dado pela tabela 1,p é a pressão aplicada, b é largura da lâmina e h a espessura da lâmina. w!"# = αpb! Eh! (2)

Em que α é um coeficiente dado pela tabela 1, p é a pressão aplicada, b é largura da lâmina, E é o módulo de Young do material e h a espessura da lâmina. Tabela 1: Coeficientes para tensão e deformação máximas. a/b 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 α 0.0138 0.0188 0.0226 0.0251 0.0267 0.0277 0.0284 β 0.3078 0.3824 0.4356 0.468 0.4872 0.4974 0.5 Adaptado de Shen (2010). O desenho da lâmina retangular pode ser visto na Figura 3. Figura 3: Lâmina Retangular. Adaptado de Shen (2010). Quando a é igual a b, pelo uso das expressões 1 e 2, pode-se achar a formula para a tensão máxima e a deformação máxima da lâmina quadrada, sendo que a tensão máxima se dá no ponto médio de cada lado. Pode-se expressar a tensão máxima da lâmina quadrada conforme a equação 3 (SHEN; SUN; LIU, 2010). σ!"# = 0.308pa! h! Já a deformação máxima se dá no centro da lâmina, conforme a equação 4. (3) w!"# = 0.318pa! Eh! (4)

2.2 Análise de membranas redondas O modelo mecânico de membranas redondas pode ser simplificado como uma lâmina redonda com as bordas fixas. O desenho da lâmina redonda pode ser visto na Figura 4, sendo que o sistema de coordenadas é definido sobre o plano da lâmina redonda. O raio do círculo é chamado de a. De acordo com a teoria da elasticidade, sob um carregamento uniforme p, a deformação do diafragma circular pode ser expresso pela equação 5 (SHEN; SUN; LIU, 2010). w!"# = pa! 64D 1 r! a!! (5) Figura 4: Lâmina redonda. Adaptado de Shen (2010). Em que D é definido pela equação 6. E representa o módulo elástico do material, h é a espessura da lâmina e u o coeficiente de Poisson do material. D = Eh! 12(1 u! ) (6) As distribuições de tensão da lâmina redonda são dadas pelas equações 7 e 8, sendo que r representa a distância do ponto analisado até o centro da membrana. σ! = 3pa! 8h! 1 + u (3 + u) r! a! (7)

σ! = 3pa! 8h! 1 + u (3u + 1) r! a! (8) 2.3 Conclusões acerca da análise teórica da membrana Observando as equações apresentadas, pode-se concluir que as distribuições de tensão atingem seu máximo no centro e nas bordas do diafragma, sendo que na borda atinge valor máximo. Nos pontos de aresta da lâmina quadrada, a tensão é zero. Além disso, sob a mesma carga a tensão na lâmina quadrada atinge valores maiores do que na redonda (SHEN; SUN; LIU, 2010). 3 Método dos elementos finitos e simulação Dependendo da pressão de fundo de escala projetada para o sensor, bem como a sensibilidade do mesmo, define-se a espessura da membrana interna do dispositivo. Como visto no item anterior, as tensões na membrana são inversamente proporcionais a espessura da lâmina, ou seja, quanto mais sensível o sensor menor deverá ser a espessura da membrana. Além disso, os efeitos térmicos dos diversos materiais utilizados na construção do sensor podem ser conhecidos em ambientes de simulação multifísica (CHIOU; CHEN, 2005).Assim, pode-se realizar simulações utilizando o método dos Elementos Finitos para verificar os resultados encontrados na análise teórica do problema. Para a simulação, utiliza-se o software ANSYS, analisando estruturas retangulares, quadradas e redondas desenhadas como modelo para a membrana do sensor. Após isso, aplica-se forças externas ao modelo, gerando efeitos de tensão na estrutura sendo que o carregamento utilizado na simulação buscou reproduzir as condições encontradas no trabalho prático do sensor. Assim, como o dispositivo estudado foi desenvolvido para uma pressão de fundo de escala de 300Pa, a simulação utilizou valores abaixo deste como carregamento (SHEN; SUN; LIU, 2010). 3.1 Comparação da deformação entre os formatos de diafragma A simulação por elementos finitos demonstrou que as deformações dos diafragmas redondo, quadrado e retangular são diferentes como a análise teórica

conclui. No gráfico apresentado na Figura 5, mostra-se a resposta de deformação versus a pressão aplicada a membrana. Figura 5: Gráfico de deformação conforme carregamento. Adaptado de Shen (2010). Visualiza-se no gráfico que as variações de deformação das membranas são aproximadamente lineares, sendo que o diafragma retangular possui uma taxa de variação da deformação com relação a pressão maior do que os outros modelos. Por outro lado, o diafragma retangular possui algumas não linearidades mais pronunciadas que nos outros casos. Outra constatação importante é de que a membrana quadrada possui uma variação de deformação maior com relação a pressão, entretanto a sua linearidade é visivelmente pior do que a apresentada pela curva do diafragma redondo. Assim, dependendo do span desejado pelo sensor, assim como sua linearidade, pode-se definir a melhor configuração para o sensor a ser desenvolvido. Na Figura 6, pode-se visualizar também o gráfico de tensão com relação ao carregamento de pressão aplicada ao diafragma.

Figura 6: Gráfico de tensão conforme carregamento. Adaptado de Shen (2010). A tabela 2 traz ainda os valores de simulação encontrados para tensões e deformações. Tabela 2: Tensão máxima e deformação conforme carregamento. Pressão de trabalho (Pa) 0 50 100 150 200 250 300 Tensão máxima do diafragma quadrado (MPa) 0 1,023 1,976 2,818 4,072 4,785 5,754 Tensão máxima do diafragma redondo (MPa) 0 0,564 1,227 2,013 2,607 3,346 4,039 Máxima deformação do diafragma quadrado (10!! μm) 0 1,67 3,54 5,63 7,54 10,15 13,87 Máxima deformação do diafragma redondo (10!! μm) 0 1,12 2,56 3,96 5,41 6,75 8,13 Máxima deformação do diafragma retangular (10!! μm) 0 4,13 7,68 10,24 13,15 17,37 20,46 Adaptado de Shen (2010). Outros trabalhos sobre o mesmo tema tratam também a distribuição de deformação do diafragma conforme a posição sobre a membrana, como pode-se visualizar nas figuras 7 e 8. Figura 7: Diafragma redondo. Adaptado de Feng (2009).

Figura 8: Distribuição de deformação. Adaptado de Feng (2009). 4 Observações quanto a natureza do material O projeto de dispositivos MEMS conta com diversos detalhes importantes relacionados com as características mecânicas dos materiais utilizados para a sua construção. Entretanto, o avanço de novas tecnologias faz com que a quantidade de materiais passíveis de compor esses dispositivos cresça a cada dia, como por exemplo polímeros baseados em cristal líquido (PALASAGARAM; RAMADOSS, 2006). Assim, a correta aplicação do Método dos Elementos Finitos torna-se uma necessidade para os projetistas de estruturas desse tipo. O cristal simples de silício (SCS) é um dos materiais estruturais mais utilizados para a montagem de sistemas com tecnologia MEMS (IKEHARA; TSUCHIYA, 2009, p. 1). Porém, a maioria dos projetistas desse tipo de sistema não consideram esse material corretamente com relação a sua natureza anisotrópica. Isso, por sua vez, causa que importantes diferenças possam ser encontradas nos efeitos piezoresistivos e efeitos de superfície. Logo, resta classificar corretamente as características físicas do material para que seja feita a exata análise e simulação dos sistemas.

Sabidamente o SCS é um material elástico anisotrópico e o tensor de rigidez c!", que pode ser visualizado na equação 9, é expresso como um cristal de tipo cúbico e a relação entre tensão e deformação é expressada pela Lei de Hooke generalizada (IKEHARA; TSUCHIYA, 2009, p. 1). σ! σ! σ! τ!" τ!" τ!" = c!! c!" c!" 0 0 0 c!" c!! c!" 0 0 0 c!" c!" c!! 0 0 0 0 0 0 c!! 0 0 0 0 0 0 c!! 0 0 0 0 0 0 c!! ε! ε! ε! γ!" γ!" γ!" (9) No tensor acima, σ, τ, ε, e γ são as componentes de tensão normal, tensão de cisalhamento, deformação normal e deformação de cisalhamento, respectivamente. As constantes elásticas do SCS são conhecidas de ensaios experimentais e são c!! = 167.4GPa, c!" = 65.23GPa e c!! = 79.57GPa. Como resultado disso o módulo de Young e o coeficiente de Poisson na direção específica são anisotrópicos. A anisotropia é classificada dentro dos materiais ortotrópicos de maneira que a simetria do cristal não pode ser expressa por constantes de elasticidade isotrópica. O valor do módulo de Young em uma direção específica pode ser expresso pela equação 10 (IKEHARA; TSUCHIYA, 2009, p. 2). E!! = s!! 2S(l!! l! + l! l!! + l!! l!! ) (10) Em que l são os cossenos diretores, s!" são componentes do tensor de observância (inverso do tensor de rigidez) e S = s!! s!" s!! /2. Assim o valor do módulo de Young pode ser plotado conforme a direção, como na Figura 9.

Figura 9: Módulo de Young em função da direção do cristal. Adaptado de Ikehara (2009). A natureza anisotrópica do módulo de Young do SCS é considerada usualmente no projeto e análise de deformação uniaxial e estruturas como balanços e vigas. Todavia, é raramente considerada em casos de estruturas com estados planos de tensão ou outros casos. Assim, erros nas aproximações isotrópicas têm causado imprecisões no comportamento esperado de estruturas MEMS. Além disso, vários materiais anisotrópicos têm sido utilizados em outros campos. Um exemplo são os cristais de quartzo utilizados em ressonadores e substratos ópticos. Porém, a análise anisotrópica do material não foi necessária, já que esses materiais não foram utilizados sob alta carga de tensão (IKEHARA; TSUCHIYA, 2009, p. 2). A necessidade dessa análise anisotrópica é confirmada ainda pelos resultados encontrados por Ikehara (1995), em que confirma-se que essas variações causam perdas na sensibilidade de um sensor piezoresistivo de pressão com diafragma quadrado. 5 Conclusão O trabalho realizou uma pesquisa de revisão bibliográfica com o objetivo de reunir conhecimentos necessários para realizar o projeto de um sensor de pressão baseado no efeito piezoresistivo utilizando tecnologia MEMS. Para isso foram revisados alguns conceitos teóricos de Teoria da Elasticidade para o desenvolvimento analítico do sensor. Após isso, foram revisadas algumas simulações realizadas por pesquisadores utilizando o Método dos Elementos

Finitos para reforçar as conclusões encontradas no desenvolvimento analítico do sensor. Finalmente, observam-se características importantes acerca dos materiais utilizados para o projeto de dispositivos MEMS, reunindo conhecimentos para a análise de compostos anisotrópicos. A análise teórica demonstrou os fundamentos matemáticos básicos para projeto do sensor através das equações apresentadas. Com elas, pode-se concluir que as distribuições de tensão atingem seu máximo no centro e nas bordas do diafragma, sendo que na borda atinge valor máximo. Nos pontos de aresta da lâmina quadrada, a tensão é zero. Além disso, sob a mesma carga a tensão na lâmina quadrada atinge valores maiores do que na redonda. Já pela simulação, encontram-se algumas diferenças de linearidade entre os diferentes formatos de diafragma encontrados no texto, chegando-se a conclusão que as membranas quadradas e redondas são mais lineares do que as retangulares. Adicionalmente, analisando-se os gráficos de simulação conclui-se que o diafragma quadrado oferece uma sensibilidade maior com relação a medição de pressão, uma vez que possui uma taxa de variação de tensão conforme carregamento maior do que o redondo. Outro assunto estudado foi com relação aos materiais utilizados comumente para a construção de dispositivos MEMS. Logo, o texto comprova a necessidade de que a análise feita conte com as considerações sobre materiais anisotrópicos sob pena de ocorrência de imperfeições e não-linearidades relacionadas às aproximações isotrópicas. 6 Bibliografia BURG, V. et al. Characterization Method for Mechanical Properties of Thin Freestanding Metal Films for RF-MEMS. EuroSime 2006. 7th International Conference on Thermal, Mechanical and Multiphysics Simulation and Experiments in Micro-Electronics and Micro-Systems, 2006.. [S.l.]: IEEE. 2006. p. 1-7. CHIOU, J. A.; CHEN, S. Thermal Hysteresis Analysis of MEMS Pressure Sensors. Journal of Microelectromechanical Systems. v. 14, n. 4, p. 782-787, 2005.

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