Derivada exterior T. Pracano-Pereira 23 de março de 2010 Dedução da derivada exterior Vou partir de um resultado conhecido para concluir pelo uso de uma fórmula que é uma definição do século 19. Para isto vou construir um sistema de codificações entre as quais calcular áreas será uma delas e um caso particular, a área do disco de raio r é πr 2 será o meu objetivo final. Se você quiser vou montar um sistema de complicações cujo resultado final será uma forma simplificada de calcular uma integral! Complicar significa montar uma teoria! o caso particular aparece como um exemplo da teoria...vale a pena se a teoria produzida tiver múltiplas aplicações. Complico um caso mas ganho um algoritmo. Considere a função F(x, y) 1 a função constante. 1. Sobre o domínio {(x, y) ; x 2 + y 2 r} a integral dupla F(x, y)dxdy dxdy tem que ser igual a πr 2. Porque é simplesmente o volume de cilindro de altura 1 cuja base é então o volume do cílindro é numericamente igual à área da base. Observe que é um disco cuja fronteira é um múltiplo do círculo trigonométrico, é este o significado do parâmetro r que está indexando os elementos da família de discos - o raio. 2. A transformação T : R 2 R 2 (1) (r, θ) (x, y) (r cos(θ), r sin(θ)) (2) recodifica o círculo usando um retângulo. A imagem do retângulo Q r [0, r] x [0, 2π] por T é o disco, T (Q r ) Evoluimos do caso particular, agora temos uma família de casos! 1
3. Posso agora falar de uma família de retângulos associada a uma família de discos, definindo Q ρ [0, ρ] x [0, 2π] um retângulo com um lado variável ρ [0, ρ] posso ver a codificação T como uma transformação do plano: Se ρ 0 o resultado é um disco de raio zero, um ponto. Se ρ for igual a 1, o resultado é o círculo trigonométrico. Se ρ < 1 resulta num círculo de raio menor do que 1, contido no círculo trigonométrico. Retângulos são mais simples do círculos... e você pode ver que temos uma codificação poderosa se mexermos nos dois lados dos retângulos podem surgir novas figuras: setores de disco por exemplo... experimente! Não há riscos de explosões e você pode obter gráficos interessantes usando gnuplot que tem a capacidade de fazer gráficos de curvas parametrizadas. Enfim, de um lado uma família de retângulos, do outro lado uma família de discos centrados na origem. A imagem por T de um retângulo de lado 1 ρ é o disco de raio ρ: a imagem de Q ρ por T é o disco de raio ρ com centro em (0, 0) C ρ 4. De maneira análoga, posso interpretar a integral como uma codificação: dado um domínio {(x, y) ; x 2 + y 2 r} a integral dupla F(x, y)dxdy dxdy é um número, depende do processo F. No caso acima, F 1 resultando no número πr 2. F é a matriz 2 deste processo, a matriz desta transformação. Nesta forma de ver tenho: Q ρ T Cρ F 2πρ e obviamente posso considerar uma infinidade de domínios nesta cadeia de transformações. Vou continuar com os domínios Q ρ pelos objetivos que tenho em vista mas você está vendo que há muita coisa com que posso tranformar ou codificar. Infelizmente o retorno, a decodificação pode não ser muito padronizada e n algum momento temos que nos preocupar com isto porque sempre precisamos de pares 3 : codificação, decodificação. Não vou me preocupar com esta questão, codificação, decodificação, neste momento (neste texto). Mas fica lançada a questão. 1 Curiosa? curioso? por que eu não mexo no outro lado? 2 Mudando a função F mudam os resultados... 3 Que signfica modem? vem de modular/demodular codificar/decofificar 2
5. Vou agora usar este sistema de codificações para re-interpretar (reparametrizar) a integral F(x, y)dxdy C no retângulo Q usando a transformação T - considerando que integral é também uma transformação F F(rC) F(x, y)dxdy πr 2 C transformando um disco de raio r em sua área πr 2, ou qualquer região limitada do plano em sua área. Então para que F(T (Q r )) πr 2 Mas deixe que eu faça a pergunta que você deve estar se fazendo: e qual é objetivo? Olhe de onde parti: F(x, y)dxdy dxdy 2πr e eu não sei calcular esta integral, embora eu consiga facilmente escrever um programa semelhante a exer05 00.calc para calcular aproximadamente esta integral. Vou mostrar-lhe que esta sucessão de idéias nos levam a um algoritmo para o cálculo desta integral mas vai nos forçar a passar por uma invenção que os matemáticos do século 19 fizeram para que as contas funcionassem. É isto mesmo! Eles torceram as contas para que os cálculos funcionassem! Este método se repete monotonamente na história das ciências apenas procuramos torná-lo mais respeitável, como estou fazendo aqui, montando uma teoria, complicando aquilo que foi um tour de force. Vamos ver os cálculos que nossos antepassados fizeram, colocados dentro 3
da complicada codificação que montei acima: F( ) (3) F(x, y)dxdy F(T(ρ, θ))dxdy (4) Q r F(T (Q r )) Q r 1dxdy (5) { dx cos(θ)dρ + ρsin(θ)dθ dy sin(θ)dρ + ρcos(θ)dθ dρdρ 0 dθdθ 0 dρdθ dθdρ (6) um produto anti-comutativo (7) dxdy (8) cos(θ)sin(θ)dρdρ + ρcos 2 (θ)dρdθ + (9) ρsin 2 (θ)dθdρ ρ 2 sin(θ)cos(θ)dθdθ (10) 2π 0 ρcos 2 (θ)dρdθ + ρsin 2 (θ)dρdθ (11) dxdy ρdρdθ (12) 1ρθdρ (13) Q r ( r ) 0 ρdθdρ 2π ( r ( ρ 2 2 r 0 dθ 0 0 ρdρ) (14) ) (2π) πr 2 (15) Os matemáticos do século 19 precisaram de inventar o produto anticomutativo expresso na equação (7) para dar significado ao produto de diferenciais que não tinha um sentido mas que eles sentiam que precasaria ter para construir a teoria das integrais múltiplas. Isto não foi uma invenção isolada, surgiu das contas que todos estavam fazendo numa mesma época, mas foi preciso quase um século se passasse para que uma teoria coerente colocasse estas contas de um conjunto organizado de idéias (a teoria das formas diferenciáveis). O nome inicial foi produto exterior. Consequentemente dxdy ρdθdρ tornando verdadeiros os cálculos e criando uma forma simples para a integral F(x, y)dxdy dxdy 2πr que eu não sabia calcular. Eu interrompi a construção para lhe mostrar onde eu queria chegar, mas preciso dar um término coerente à pequena teoria que eu estava montando para deixá-lo no ponto para ser usada posteriormente. 4
A equação (6) é um sistema de equações que pode ser interpretado como um produto de matrizes: ( ) ( ) ( ) dx cos(θ)dρ ρsin(θ) dρ (16) dy sin(θ)dρ ρcos(θ) dθ ( ) ( ) dx dρ J(T ) (17) dy dθ 6. A Jacobiana de T é a derivada de T 4 é ( ) x x ( ρ θ cos(θ) ρsin(θ) sin(θ) ρcos(θ) y ρ y θ e o determinante da Jacobiana de T é det(j(t)) ρ ) (18) e você pode ver que a invenção dos matemáticos do século 19 foi bem feita, uma vez que aparece ρ na equação (12) com o objetivo de corrigir o produto de diferenciais - de dxdy para dρdθ. O produto de diferenciais representa nas integrais bivariadas o que o diferencia representa nas integrais univariadas - a unidade de medida. No caso das bivariadas, unidade de área. Ora quando passamos por uma transformação, como T se produz uma distorção nas unidades de área de um espaço para o outro que fica memorizado no determinante da Jacobiana. No cálculo univariado isto aparece na derivada da função composta: (ToF) T (F(x))F (x) comparando, aqui T é a jacobiana da função univariada, agora temos uma matriz, então este número é um determiante. Os determinantes são o fator de distorção que uma matriz produz no espaço. Os matemáticos do século 19 estavam descobrindo isto! Este produto de diferenciais se chama produto exterior e foi inventado no século 19 para tornar possível a mudança de parâmetros nas integrais. No século 20 ele foi explicado melhor numa teoria chamada teoria das formas diferenciais que foi o núcleo da produção científica de Henri Cartan. 4 Um nome que os matemáticos do século 19 inventaram porque não entendiam que uma matriz de derivadas parciais era uma derivada. 5