FAENS FAULDADE DE ENGENHARIA DE SOROABA TEORIA DAS ESTRUTURAS Deslocamentos em Estruturas Lineares O Princípio os Trabalhos Virtuais Prof. JOSÉ LUIZ F. e ARRUDA SERRA
SUÁRIO 01. O Princípio os trabalhos virtuais aplicao aos corpos rígios...01 1.1. Introução...01 1.2. - Roteiro para aplicação o PTV (estruturas isostáticas):...02 1.3 - Exemplo número 1...02 1.4 Exemplo número 2...03 02. O Princípio os trabalhos virtuais aplicao aos corpos eformáveis...05 2.1 Introução...05 2.2 Enunciao o PTV para corpos eformáveis...06 2.3 O Processo a arga Unitária Para álculo e Deslocamentos...07 03. Aplicação o PTV às treliças...08 3.1 Exemplo número 1...09 3.2 Exemplo número 2...11 04. O PTV aplicao às estruturas e nós rígios...12 4.1 Avaliação a integral o prouto e uas funções...13 4.2 Exemplo número 3...14 4.3 Observação sobre o uso as tabelas...16 4.4 Exemplo número 4...17 05. Deformações por variação e temperatura...18 5.1 Exemplo número 5...19 06. Exercícios propostos...21 07. Respostas os exercícios propostos...26
DESLOAENTOS E ESTRUTURAS LINEARES 1. O Princípio os trabalhos virtuais aplicao aos corpos rígios 1.1. Introução Os conceitos relativos a eslocamentos virtuais e trabalho virtual são usualmente introuzios urante o estuo a ecânica Geral quano são usaos para resolver problemas sobre equilíbrio estático. A palavra virtual significa que as quantiaes são puramente imaginárias e que não precisam existir no sentio real ou físico. Assim, um eslocamento virtual é um pequeno eslocamento imaginário, arbitrariamente imposto sobre um sistema estrutural. Não há necessiae e se tratar e um eslocamento real, como por exemplo os eslocamentos e flexão causaa por cargas atuantes na estrutura. O trabalho realizao por forças reais urante um eslocamento virtual é chamao trabalho virtual. O Princípio os Trabalhos Virtuais (PTV) afirma: A conição necessária e suficiente para o equilíbrio e um ponto ou sistema e pontos materiais qualquer é ser nula a soma os trabalhos virtuais em qualquer eslocamento virtual compatível com as ligações o sistema, ou seja: S T virtual externo = zero...(1.1) omo se mostrou no estuo a ecânica Geral, este princípio poe ser usao no lugar as três equações e equilíbrio ΣX = 0, ΣY = 0 e Σ = 0 com o propósito e resolver problemas e equilíbrio estático. O eslocamento virtual eve ser suposto infinitesimal, e moo a não alterar a configuração estática e geométrica o sistema as forças que nele agem, não violano as conições e equilíbrio que tais forças obeecem. O eslocamento virtual é causao por uma ação externa qualquer, cuja origem não é objeto e iscussão, seno completamente inepenente as forças externas que mantém a estrutura em equilíbrio. O PTV aplicao às estruturas isostáticas em equilíbrio resolve o problema estático através o geométrico. omo o PTV consiste e apenas uma equação, ele se torna seletivo, ou seja, sua aplicação etermina apenas uma incógnita, haveno necessiae e se repetir o proceimento para caa incógnita procuraa. Não obstante este fato e inclusive por isto - é muito útil quano se eseja eterminar apenas um esforço, como é o caso e eterminação e linhas e influência. A aplicação o PTV às estruturas isostáticas para a eterminação e um eterminao esforço requer que seja aplicao um eslocamento virtual, que só poe ser realizao se o sistema for móvel, o que é obtio retirano-se o vínculo corresponente à incógnita e substituino-o pelo esforço corresponente. omo os eslocamentos virtuais são supostos infinitesimais, estes eslocamentos seguem as leis os pequenos eslocamentos, mais simples que as os eslocamentos finitos. No caso os pequenos eslocamentos a tangente os ângulos formaos urante os eslocamentos se confune com o próprio ângulo, ou seja: tg q = q (em raianos)...(1.2) 1
1.2. - Roteiro para aplicação o PTV (estruturas isostáticas): 01) retira-se o vínculo corresponente à incógnita, substituino-o pela incógnita para manter o equilíbrio. A incógnita passa a ser consieraa como carga externa; 02) aplica-se um eslocamento virtual compatível com as ligações remanescentes a estrutura; 03) calcula-se o trabalho virtual e toos os esforços externos igualano-o a zero. omo estamos trabalhano com estruturas isostáticas, a retiraa e um vínculo conforme item 01) o roteiro transformará a estrutura em uma caeia cinemática (ou mecanismo ou sistema móvel) com um grau e liberae, poeno então ser aplicao o eslocamento conforme item 02), sem que nesta fase ocorra eformações aicionais nas barras o sistema. O fato a caeia cinemática ter apenas um grau e liberae significa que conhecio um eslocamento (linear ou angular), toos os outros eslocamentos poem ser eterminaos em função este, o que em geral é bastante simples em se tratano e pequenos eslocamentos para os quais os ângulos e suas tangentes se confunem. É conveniente no primeiro passo introuzir a incógnita com o sentio positivo as convenções usuais assim como o eslocamento virtual poe preferencialmente ser ao no sentio contrário ao sentio a incógnita e suposto unitário para facilitar os cálculos. No cálculo os trabalhos virtuais, poe-se usar as resultantes os carregamentos istribuíos em caa chapa a estrutura. Não poe ser usaa uma resultante para mais e uma chapa. 1.3 - Exemplo número 1: Determinar a reação em A, R A, a viga simples a figura 1.1 a): Figura 1.1 Exemplo número 1 A aplicação o roteiro é ilustraa na figura 1.1 b), na qual a carga istribuía foi substituía pela sua resultante. hamano e δ o eslocamento virtual infinitesimal arbitrário a incógnita R A, a rotação θ a viga assim como os valores e δ 1 e δ 2 necessários para o cálculo o trabalho a força concentraa (2t) e a resultante a carga istribuía (10t) poem ser eterminaos em função e δ: 2
δ δ θ = = l 10 δ δ1 = 6 θ = 6 10 δ δ 2 = 5 θ = 5 10...(1.3) Aplicano-se a equação (1.1) o PTV aplicao aos corpos rígios, obtém-se: R R R A A A δ + 2 δ δ = 1,2 δ + 5δ = 6,2 t 1 + 10 δ 2 = 0...(1.4) Nota-se que o parâmetro δ aparece em toos os termos a equação, poeno ser eliminao, ou seja, não influi no resultao justificano aotá-lo unitário. Aplicano-se o eslocamento virtual unitário contrário ao sentio positivo a incógnita, o trabalho esta será negativo e numericamente igual ao seu valor (pois R A x δ = R A x 1 = R A ) e aparecerá sozinha quano for isolaa no outro membro a equação. 1.4 Exemplo número 2 Para a Viga Gerber a figura 1.2 a), eterminar os valores as reações R A, R B e os momentos fletores B e que ocorrem na seção sobre o apoio B e no engastamento, respectivamente. As figuras 1.2 b), c), ) e e) mostram as caeias cinemáticas formaas após a retiraa o vínculo corresponente à incógnita respectiva e aplicação o eslocamento unitário. Nos casos e) e ) para o cálculo os momentos fletores sobre os apoios B e respectivamente, os apoios não poem ser retiraos, pois corresponem às reações R B e R. No caso o engastamento, a retiraa o vínculo corresponente ao momento o transforma em um apoio fixo. omo B é um esforço interno, o vínculo corresponente retirao eve ser substituío pelo par e esforços que foi eliminao, ou seja, eve ser inicao tanto a ação que a parte à esquera a seção exerce na parte a ireita, como a ação que a ireita exerce na parte a esquera (ação e reação). No caso e momentos fletores em vigas horizontais, a convenção usual prescreve que eles são positivos quano tracionam as fibras inferiores. Seria conveniente lembrar que mesmo nos casos as reações e apoio (R A, R B e c ), como as forças existem sempre aos pares (ação e reação), também poeria ser inicao as ações (inverso as reações nos apoios) que a viga exerce na terra. Isto não é necessário pois a terra é suposta um referencial absoluto, portanto não apresenta eslocamentos, gerano sempre trabalho nulo e não influino nos resultaos. Inicaas as cargas externas aplicaas no sistema as istribuías através e suas resultantes em caa chapa e calculaos através e simples proporcionaliae os eslocamentos ao longo as suas linhas e ação, cujos resultaos estão assinalaos nas figuras, fica bastante simples o cálculo os trabalhos realizaos e a aplicação o PTV. A incógnita por ter substituío um vínculo a estrutura eve ser consieraa esforço externo, junto com as ações aplicaas. 3
α β α α β Figura 1.2 Exemplo número 2 4
No caso os momentos, o eslocamento virtual corresponente é um eslocamento angular, que aotamos unitário. omo se trata e pequenos eslocamentos, para o ângulo ser unitário, o triângulo obtio urante a varreura o eslocamento eve ter a base e a altura iguais. onsierano o eslocamento corresponente a incógnita amensional, as orenaas a forma eslocaa a caeia cinemática no caso e incógnita força também resulta amensional, e no caso os momentos, as orenaas têm imensão e comprimento, pois neste caso o valor o eslocamento angular é sempre a razão (cociente) entre ois comprimentos, e como um eles correspone à istâncias na viga (em metros, por exemplo), o outro eve ter a mesma imensão para se anularem na operação e ivisão. A aplicação a equação T ext =0 fornece para a reação em A conforme figura 1.2 b): R A = 4 x 0,5 + 2 x 0,25 R A = 2,5 t Para a reação em B figura 1.2 c): R B = 4 x 0,75 + 2 x 1,125 + 6 x 0,75 R B = 9,75 t Para o momento fletor em B - figura 1.2.): B = 4 x 1 2 x 1,5 2 x 1 B = 9 tm Para a reação momento em figura 1.2 e): = 4 x 0,5 +2 x 0,75 + 2 x 0,5 4 x 1 3 x 2 2 x 1 = 7,5 tm Os sinais negativos os valores e B e inicam que estas incógnitas têm sentio oposto ao aotao nas figuras, ou seja tracionam as fibras superiores a viga. No cálculo e poeria ter sio usaa a resultante total o trecho α β: 6t eslocano 0,5m no sentio oposto, resultano o trabalho e 3 tm. aiores etalhes sobre as caeias cinemáticas serão vistos no estuo as Linhas e Influência, inclusive com um capítulo eicao ao estuo as leis e eslocamento as caeias cinemáticas. 2. O Princípio os trabalhos virtuais aplicao aos corpos eformáveis 2.1 Introução No estuo a análise estrutural eve-se estener o Princípio os Trabalhos Virtuais para o caso e estruturas eformáveis. Neste caso eve-se levar em consieração não apenas o trabalho realizao pelas ações externas mas também o trabalho associao aos esforços internos na eformação os elementos a estrutura. Este princípio é extremamente valioso e tem muitas aplicações na análise estrutural. Durante o esenvolvimento o princípio nota-se que as proprieaes o material não entram em iscussão, e consequentemente o PTV aplica-se a toas as estruturas inepenente o material se comportar linearmente ou não. 5
2.2 Enunciao o PTV para corpos eformáveis: Em uma estrutura eformável em equilíbrio, a soma os trabalhos virtuais as ações externas, em um eslocamento compatível com as ligações, é igual ao trabalho virtual interno, realizao pelos esforços internos na eformação os elementos a estrutura, ou seja: T externo = T interno na eformação...(2.1) Seja a viga a figura 2.1 a), em equilíbrio sob a ação e um carregamento genérico qualquer que enominaremos estao e carregamento ínice c. Nestas conições um elemento iferencial genérico (c) e comprimento x, apresenta os esforços solicitantes, Q e N na face esquera e na face ireita poem ter alterao e quantiaes iferenciais, seno apresentaas como + c, Q +Q e N +N, conforme ilustra a figura 2.1 c). Amita-se que nesta estrutura seja aa uma eformação virtual que prouza uma pequena alteração em sua forma fletia. Esta eformação virtual é imposta sobre a estrutura e alguma maneira não especificaa e é completamente inepenente o fato a estrutura já ter sio submetia a eflexões reais causaas pelas cargas o estao e carregamento. A eformação virtual representa uma eformação aicional imposta à estrutura. A única restrição é que ela eve ter uma forma que poeria ocorrer fisicamente, ou em outras palavras, a eformação virtual no estao e eslocamento ínice, ilustrao na figura 2.1 b), eve ser compatível com as conições e apoio a estrutura e eve manter a continuiae entre os elementos a estrutura. Durante a eformação virtual, o elemento genérico (c) se esloca para a posição () conforme mostra a figura 2.1 b) eformano até atingir a forma final ilustraa na figura 2.1 ). Nesta figura estão inicaas as eformações que o elemento iferencial sofre nas ireções os esforços solicitantes N, Q e, enominaas respectivamente u, v e φ. O ínice é usao para salientar que se trata e eformação o estao e eslocamento. φ Figura 2.1 Estaos e carregamento e eslocamento 6
O Princípio os Trabalhos Virtuais afirma que o trabalho externo realizao pelas ações aplicaas no estao e carregamento urante os eslocamentos ocorrios no estao e eslocamentos é igual ao trabalho interno realizao pelos esforços solicitantes o estao e carregamento urante as eformações que os respectivos elementos sofrem no estao e eslocamento. O Trabalho interno realizao pelos esforços solicitantes o estao e carregamento (c) figura 2.1 c) - nas eformações o estao e eslocamentos () figura 2.1 ) vale para o elemento iferencial: T int. = N u + Q v + φ...(2.2) c c Integrano ao longo e toa a estrutura, obtém-se a expressão para o trabalho virtual interno realizao na eformação os elementos a estrutura: c T = N u + Q v + φ...(2.3) int. Aplicano (2.3) em (2.1), aqui repetia, obtém-se a expressão geral para o caso e estruturas planas com carregamento no próprio plano o Princípio o Trabalho Virtual PTV: T externo = T interno os esforços solicitantes na eformação os elementos a estrutura T = N u + Q v + φ...(2.4) ext. Nesta expressão, o ínice c refere-se aos esforços solicitantes causaos pelas ações o estao e carregamento, e o ínice refere-se aos eslocamentos sofrios no estao e eslocamentos. Reforça-se aqui que o estao e eslocamentos foi obtio e maneira inepenente as cargas que atuam no estao e carregamento; poe ter sio causao por outro carregamento, variações e temperatura ou outro motivo qualquer, ese que seja compatível com as conições e apoio a estrutura. 2.3 O Processo a arga Unitária Para álculo e Deslocamentos O proceimento prático a aplicação o PTV para o cálculo e eslocamentos é conhecio como processo a carga unitária ou processo a carga substituta. Também é encontrao com o nome e processo ou métoo e axwell-ohr, por ter sio esenvolvio inepenentemente por James lerk axwell (1831-1879) e Otto hristian ohr (1835-1918) em torno o ano e 1870. O proceimento prático a carga unitária é aequao para o cálculo e qualquer eslocamento linear ou angular, absoluto ou relativo. Poe ser usao tanto para estruturas isostáticas como para estruturas hiperestáticas, ese que se conheça os iagramas e estao em toa a estrutura. Para a aplicação este proceimento eve-se consierar ois sistemas: o primeiro consiste na estrutura com cargas reais, muanças e temperatura ou outras causas responsáveis pela proução o eslocamento a ser calculao, configurano então um estao e eslocamento. O seguno sistema é um estao e carregamento que consiste na aplicação e uma carga unitária que age sozinha na estrutura. Esta carga unitária é uma carga fictícia ou substituta, introuzia apenas para se calcular o eslocamento prouzio pelas ações reais. 7
A carga unitária eve corresponer ao eslocamento procurao, ou seja, para se calcular um eslocamento linear absoluto, aplica-se uma força unitária na ireção e sentio o eslocamento linear procurao. aso o eslocamento procurao seja uma rotação, a carga unitária corresponente eve ser um momento. Se o eslocamento procurao for a translação relativa entre ois pontos ao longo a linha que os une, o carregamento unitário eve ser constituío e uas forças colineares e opostas agino nos ois pontos consieraos. aso o eslocamento seja a rotação relativa entre uas tangentes, o carregamento constituirá e ois momentos iguais e opostos. O cálculo prático para a eterminação e um eslocamento qualquer é aplicar na estrutura uma carga (força ou momento) unitária na ireção e sentio o eslocamento real procurao e eterminar os iagramas e esforços solicitantes N, Q e prouzios por este carregamento unitário, ou seja o estao e carregamento (c) é o sistema com a carga unitária. Tomano-se os eslocamentos e eformações causaos pelas ações que agem na estrutura como estao e eslocamento, o único trabalho externo é o realizao pela carga unitária e é igual ao prouto a carga unitária pelo eslocamento procurao. O trabalho interno, como foi visto, será igual a integral estenia a toa estrutura o prouto os esforços solicitantes causaos pela carga unitária pelos respectivas eformações causaas pelas ações que agem na estrutura, ou seja: 1 δ = N u + Q v + φ...(2.5) procurao o ínice c refere-se ao carregamento unitário; o ínice refere-se à estrutura com as ações aplicaas. Poe parecer estranho que neste proceimento o estao e eslocamentos que na concepção o PTV é um estao virtual, seja o os eslocamentos reais. Isto é possível, e até conveniente pois os eslocamentos reais são certamente compatíveis com as conições e apoio a estrutura, bastano serem pequenos o suficiente para não alterarem as conições e equilíbrio as forças reais envolvias para poerem ser consieraos como eslocamentos virtuais. 3. Aplicação o PTV às treliças No caso as treliças com as hipóteses usuais e cálculo, articulações perfeitas e cargas apenas nos nós, o único esforço que resulta nas barras a treliça é o esforço normal e tem valor constante para caa barra. Assim, como = Q = zero, apenas a integral que calcula o trabalho interno relacionaa com o esforço normal a equação 2.5 é iferente e zero. Temos então: 1 δprocurao = N u...(3.1) treliça omo as normais são constantes para caa barra e a integral poe ser calculaa como uma somatória as integrais em caa barra, temos tirano os valores constantes e N fora as integrais: δ procurao = barrasi ci N u...(3.2) barrai omo barrai u = l nabarrai = l i, obtém-se: 8
δ...(3.3) procurao = Nci l i barrasi Os eslocamentos l poem ser causaos por cargas aplicaas que prouzem normais N i nas barras i ou variação e temperatura e para caa um estes casos vale: aso força normal (conforme Lei e Hooke): N l i i l i =...(3.4) Ei Ai aso variação e temperatura: l = l α t...(3.5) i i nas quais E é o móulo e elasticiae, A é a área a seção transversal e α é o coeficiente e ilatação térmica. 3.1 Exemplo número 1 Para a treliça a figura 3.1 a) e EA = 10.000 t, submetia ao carregamento mostrao, eterminar: a) as componentes horizontal e vertical o eslocamento o nó 6; b) o eslocamento relativo entre os nos 3 e 6. 9
Figura 3.1 Exemplo número 1 omo os eslocamentos procuraos são causaos por um carregamento, as eformações nas barras a treliça são calculaas seguno a Lei e Hooke, conforme a equação (3.4). Aplicano na expressão (3.3), obtém-se: N N ci i δ procurao = l i...(3.6) barrasi E iai A figura 3.1 b) mostra os resultaos as normais nas barras a treliça evio o carregamento ao, ou seja, as normais o estao e eslocamentos. As figuras 3.1 c) e ) mostram as normais eterminaas os estaos e carregamento unitário para o cálculo as componentes horizontal e vertical o eslocamento o nó 6, respectivamente. A figura 3.1 e) apresenta as normais o estao e carregamento unitário para o cálculo o eslocamento relativo entre os nós 3 e 6. omo EA é constante e usano a notação (0) para os esforços o estao e eslocamento (treliça aa) e (1), (2) e (3) para os estaos e carregamento unitário respectivos aos eslocamentos procuraos conforme mostra a figura 3.1, a expressão (3.6) fica: ou, δ procurao = 1 EA barras barras N 0 N i l...(3.7) EA δ = N N l...(3.8) procurao 0 i Os cálculos relativos a expressão (3.8) são facilitaos organizano os aos e calculano os proutos através a tabela : Barra l N 0 N 1 N 2 N 3 N 0 N 1 l N 0 N 2 l N 0 N 3 l 1-2 2,0 +4,0 +1,00 0 0 +8,00 3-4 2,0 +4,0 +1,00 0 +0,8 +8,00 +6,40 5-6 2,0 +2,0 +1,00 0 +0,8 +4,00 +3,20 1-3 1,5 +4,5 +1,50 0 0 +10,125 3-5 1,5 +1,5 +0,75 0 +0,6 1,6875 +1,35 2-4 1,5-2,5-0.75 +1,0 0 2,8125-3,75 4-6 1,5-1,0 0 +1,0 +0,6 0-1,50-0,90 2-3 2,5-5,0-1,25 0 0 15,625 4-5 2,5-2,5-1,25 0-1,0 7,8125 +6,25 Σ = 58,0625-5,25 +16,3 om os resultaos os somatórios obtios na tabela, temos as respostas: 10000 x H 6 = 58,0625 tm ou H 6 = 5,80625 x 10-4 m para a ireita. 10000 x V 6 = -5,25 tm ou V 6 = 5,25 x 10-5 m para baixo. 10
10000 x 3-6 = 16,3 tm ou 3-6 = 1,63 m x 10-4 m afastano os nós 3 e 6. 3.2 Exemplo número 2 Para a mesma treliça o exemplo anterior, eterminar novamente a componente horizontal o eslocamento o nó 6, H 6, com a treliça sem as forças aplicaas mas com uma variação e temperatura igual a + 30 o centígraos apenas nas barras verticais a esquera (barras 1-3 e 3-5). oeficiente e ilatação térmica o material α = 1,2 x 10-5 o -1. Figura 3.2 Exemplo número 3 A figura 3.2 a) sugere o estao e eslocamento evio a variação e temperatura nas barras 1-3 e 3-5. O estao e carregamento unitário para o cálculo e H 6 é a aplicação e uma força unitária na ireção e sentio suposto positivo o eslocamento horizontal o nó 6, que já foi resolvio no exercício anterior e para facilitar repetio na figura 3.2 b). A aplicação o PTV fornece: T ext. = T int 1 x H 6 = Σ N 1 l T...(3.9) omo só ocorre l T nas barras 1-3 e 3-5, temos: l T = l α T = 1,5 x 1,2 x 10-5 x 30 = 5,4 x 10-4 m H 6 = (+1,5 +0,75) x 5,4 x 10-4 = 1,215 x 10-3 m para a ireita. onvém ressaltar que as ireções os eslocamentos peios são efinias, horizontal, vertical, relativos, etc., mas os móulos e sentios por serem incógnitas não são conhecios a priori, seno então o sentio suposto através o sentio o carregamento unitário. aso o resultao o trabalho total interno seja positivo, o sentio o eslocamento é concorante com o sentio a carga unitária, caso contrário, tem sentio oposto. Em relação ao trabalho 11
interno, as parcelas o somatório serão positivas quano a eformação a barra for concorante com sentio o esforço solicitante corresponente no estao e carregamento unitário. 4. O PTV aplicao às estruturas e nós rígios A equação funamental o processo a carga unitária (2.5) acrescia a eformação relativa ao momento torçor T, vale: δ procurao = 12 N u + Q v + φ + T θ...(4.1) one T é o momento torçor no estao e eslocamento unitário e θ é a corresponente rotação a seção no estao e eslocamento que ocorre na estrutura com as ações aplicaas. aso as eformações na estrutura analisaa sejam evias à cargas aplicaas, as eformações iferenciais a equação (4.1) valem, conforme euzias na Resistência os ateriais: nas quais: N u = s...(4.2) E A c Q v = s...(4.3) G A φ = s...(4.4) E I T θ = s...(4.5) G J t E = móulo e elasticiae longituinal (móulo e Young); G = móulo e elasticiae transversal; A = Área a seção transversal; I = omento e inércia a seção transversal; J t = omento e Inércia à torção a seção transversal; c = fator e forma para reução a área a seção transversal. Para seções retangulares com base b e altura h: A = bh I = bh 3 /12 c = 1,2 J t = k at 3 [imensão a>t não importano ser a base (b) ou a altura(h)] relação a/t valor e k 1,0 0,141 1,2 0,166 1,5 0,196 2,0 0,229 2,5 0,249 3,0 0,263 4,0 0,281 5,0 0,291
10,0 0,312 0,333 Para seções circulares vazaas e iâmetro externo D e interno : A = π (D 2-2 ) / 4 I = π (D 4-4 ) / 64 c = 1,1 (seção circular cheia, = 0) J t = π (D 4-4 ) / 32 Na expressão (4.1) o trabalho virtual, só em casos excepcionais há necessiae e se consierar as quatro parcelas o trabalho interno. omo se viu, no caso as treliças apenas a primeira parcela corresponente à força normal é iferente e zero, seno portanto a única a ser consieraa. A quarta parcela só será iferente e zero se houver momento torçor, isto é, só se ocorrer carregamento fora o plano a estrutura. Nas estruturas aporticaas, a flexão as peças - causaas pelos momentos fletores - são preponerantes nos eslocamentos e eformações a estrutura. A eformação por força cortante e força normal é em geral esprezível nas estruturas usuais em face a eformação causaa pelo momento fletor. Assim, nos casos planos em geral, nas barras fletias consierase apenas a terceira parcela o seguno membro a equação (4.1), ou seja a parcela corresponente ao trabalho interno realizao pelos momentos fletores. Neste caso a expressão (4.1), combinaa com a (4.4) fica: δ procurao = E I s...(4.6) omo normalmente a rigiez à flexão EI é constante para caa barra, poe ser colocaa fora a integral que eve ser transformaa em um somatório as integrais nos iversos trechos e EI constante a estrutura, ou seja: δ procurao = barras i 1 E I i i barra i s...(4.7) Em benefício a simpliciae, a notação esta expressão poe ser simplificaa, subenteneno-se o ínice i e que a integral é estenia a toa a estrutura, calculaa barra a barra. 1 δ = EI s...(4.8) Nota-se então que nos cálculos práticos as estruturas aporticaas, o trabalho interno se resume a eterminação a integral o prouto e uas funções. 4.1 Avaliação a integral o prouto e uas funções A avaliação a integral o prouto e uas funções como aparece na equação (4.8) é feita através e tabelas como a apresentaa no quaro 4.1. Quano o iagrama o esforço consierao não se encontra iretamente na tabela, ele eve ser separao em gráficos que estejam contemplaos na tabela. 13
Os iagramas e referentes ao estao e carregamento com a carga unitária é sempre formao e trechos retos, portanto em geral não apresentam ificulae. Os igramas e que são evios ao carregamento real a estrutura poe necessitar ser separao na soma e ois ou mais iagramas mais simples conforme o esquema: A integral fica: = 1 + 2 +... s = ( 1 + 2 +...) = 1 s + s +... 2 na qual as integrais os proutos c 1, c 2, etc. poem ser encontraas na tabela. Ilustrações a técnica o uso as tabelas serão apresentaas nos exercícios. Quaro 4.1 4.2 Exemplo número 3 Seja a viga em balanço a figura 4.1 para a qual calcularemos a flecha na extremiae livre B. om o propósito e mostrar que nas estruturas usuais o efeito a força cortante nos eslocamentos é esprezível em face o efeito o momento fletor, consieraremos neste primeiro exemplo estes ois efeitos. Aplicano a técnica a carga unitária, temos: 14
f f f B B B 1 c = s Q Q s EI 0 1 + GA 0 1 2 1 1 pl c 1 = l l + l pl 1 EI 4 2 GA 2 4 2 pl cpl = + 8 EI 2GA...(4.9) A primeira parcela correspone ao efeito o momento fletor (flexão) na eformação a viga e a seguna correspone ao efeito a força cortante na eformação. Substituino-se os valores numéricos, obtém-se: f B = (0,1 + 0,001) m omparano-se o efeito o momento fletor com o efeito a força cortante: Efeito e Q 0,001 = = 0,01 Efeito e 0,1 Ou seja, o efeito a força cortante é 1% o efeito o momento fletor, justificano não consierar, na grane maioria os casos práticos os efeitos o esforço cortante nas eformações. Figura 4.1 Exercício número 3 15
4.3 Observação sobre o uso as tabelas. Na combinação e 0 1, como a tangente à parábola no iagrama e 0 é paralela à linha e referência, este ponto é vértice a parábola. omo este iagrama é encontrao na tabela, não houve necessiae e separá-lo em uma soma e iagramas mais simples. aso houvesse uma carga concentraa na extremiae livre B, a tangente à parábola não seria mais horizontal e o iagrama e 0 não estaria previsto na tabela. Neste caso haveria necessiae e separá-lo em uma soma e iagramas mais simples que estivessem previstos na tabela. aso haja úvia se as parábolas estão nas conições prescritas na tabela, é aconselhável separá-las. Para ilustrar este fato, vamos recalcular a integral o prouto 0 1, separano o iagrama e 0 na soma e uas parcelas, naturalmente ambos previstos na tabela. A técnica para separar os iagramas com parábolas o seguno grau poe mneumonicamente ser chamaa e retas + pl 2 /8. Figura 4.2 Decomposição e iagramas 1 0 s 1 ( 01 + 02) s = 1 01 s = ou, 1 02 1 = s 0 2 2 4 1 pl 1 pl pl pl s = l pl l pl = l (4 1) = 3 2 3 8 24 8 Ou seja, o resultao coincie com a parcela obtia em (4.9) corresponente a eformação por momento fletor. Nesta última integral calculaa, o sinal negativo que aparece no cálculo a integral e 1 02 é porque neste caso os iagramas e 1 e 02 têm sinais opostos. 4 16
4.4 Exemplo número 4 A figura 4.3 mostra uma viga com balanço, com rigiez à flexão constante, EI = 3000 tm 2, submetia ao carregamento inicao. Deseja-se eterminar o giro na extremiae livre. ϕ Figura 4.3 Exercício número 4 17
O estao e eslocamento, que chamaremos e estao (zero), é a viga com o carregamento real que consiste e três cargas: uma istribuía e uas concentraas. O igrama e momentos fletores corresponente 0, está inicao na figura e nota-se que na sua forma final não se encontra iretamente na tabela. A alternativa mais conveniente neste caso é usar o Princípio a Superposição e Efeitos, separano o carregamento múltiplo em uma soma os carregamentos obtios pela aplicação e caa carga atuano isolaamente como ilustra a figura, obteno-se os iagramas mais simples, 01, 02 e 03. O estao e carregamento unitário para o cálculo o giro na extremiae, ϕ c, chamao e estao e carregamento (1), consiste em um momento unitário aplicao na posição o eslocamento procurao, conforme mostra a figura 4.3. A aplicação o PTV - técnica a carga unitária, equação (4.8) resulta: 0 1 s = 01 1 s + 02 1 s + EI ϕc = 03 1 s 1 1 6 1 1 EI ϕ c = 9 10,125 1 9 (1 + ) 6 1 + 9 4,5 1 + 3 4,5 1 3 6 9 3 2 EI ϕ = 25,125 c tm 25,125 3 ou, ϕ c = = 8,375 10 raianos. 3000 2 O sinal (-) significa que a rotação ocorre no sentio contrário ao suposto no estao e carregamento unitário, ou seja, ocorre no sentio anti-horário. Para não haver úvias em relação ao sentio, os eslocamentos poem ser expressos em móulo explicitano-se o sentio. No caso os giros, é também conveniente expressá-los em graus (1 ra = 180/π graus). Assim, ϕ c = 8,375 10 3 ra = 0,48 o no sen tio anti horário. No cálculo a integral e 03 1, usou-se a proprieae: 1 s = 03 1 s + A B 03 03 1 s A B 5. Deformações por variação e temperatura. aso o estao e eslocamentos () seja causao por uma variação não uniforme e temperatura, a expressão geral o PTV (4.1), usano a técnica a carga unitária fica: δ procurao = N u + φ...(5.1) na qual as eformações u e φ valem os valores mostraos na figura 5.1. Notar que neste caso a eformação u é relativo ao eixo méio e v é nulo. Substituino os valores e u e φ, obtém-se: δ procurao t sup t inf = α t méio N x + α x...(5.2) h 18
φ α α α φ α Figura 5.1 Variação e temperatura Neste caso, cuiao especial eve ser tomao em relação ao sinal o trabalho interno na eformação, ou seja, com o sinal os resultaos as integrais. aso as eformações por temperatura sejam concorantes com o sentio os esforços o estao e eslocamento, o sinal será positivo, caso contrário, negativo. Assim, A primeira integral será positiva para esforços normais e tração e a seguna será positiva quano o momento fletor c tracionar a fibra que se encontra mais istenia o trecho, ou aquela com a temperatura mais elevaa. 5.1 Exemplo número 5 A estrutura a figura 5.2 apresenta uma variação e temperatura nas fibras externas e ambas as barras e + 50 o centígraos. Deseja-se eterminar a flecha (componente vertical o eslocamento) na extremiae livre. O coeficiente e ilatação térmica o material vale: α = 1,2 x 10-5 o -1 e a seção transversal as barras tem altura h = 0,40m. Figura 5.2 Exemplo número 5 19
Determinaos os esforços solicitantes N e o estao e carregamento conforme figura 5.2, a expressão 5.2 fica: f f t sup t inf = α t méio N x + α x h = 1,2 10 5 50 + 0 3 1 + 1,2 10 2 f = 0,0009 + 0,02025 = 0,01935 m para 5 50 0 1 3 3 + 3 3 0,40 2 baixo 20
6. Exercícios propostos (respostas no final a lista) 01) Para a treliça a figura, e EA = 10000 e coeficiente e ilatação térmica α = 1,2 x 10-5, eterminar: a) a flecha no nó 4 (f 4 ); b) a flecha no nó 4 (f 4 ), caso ao invés o carregamento ocorra uma variação e temperatura t = +50 o nas barras o banzo superior (5-6, 6-7 e 7-8). 02) Para a treliça a figura, cujas barras possuem EA = cte = 10000 t, eterminar: a) a flecha no nó 4; b) qual o efeito e fabricação constante que eve ter as barras o banzo superior (1-3, 3-5, 5-7 e 7-8), para que o nó 4 tenha uma contra flecha igual a flecha calculaa no item a). 03) Para a treliça e EA = cte = 10000 t, eterminar através e suas componentes o eslocamento o nó 5, 5. 21
04) Para a treliça a figura, e aço (E=2100 t/cm 2 ), cujas áreas as seções transversais estão inicaas na convenção ao lao a figura, eterminar: a) a flecha o nó 3, f 3 ; b) o eslocamento o apoio móvel 5, 5 ; c) qual o efeito e fabricação que ser ao na barra 6-7 para que o apoio 5 retorne para a posição a treliça escarregaa. 05) Para a treliça a figura, e EA = 10000 t, eterminar: a) a componente vertical o eslocamento o nó 8, V 8 ; b) a componente horizontal o eslocamento o nó 8, H 8. 22
06) Para a viga em balanço a figura, e EI = constante, calcular: a) a flecha na extremiae B, f B ; b) a rotação na extremiae B, ϕ B ; c) a flecha no meio o vão, f ; ) a rotação no meio o vão, ϕ. 07) Para a viga simplesmente apoiaa a figura, e EI = 5000 tm 2, eterminar: a) a flecha no meio o vão, f ; b) o giro na extremiae A, ϕ A ; c) o giro no meio o vão, ϕ. 08) Para a viga a figura, e EI = 10000 tm 2, eterminar: a) o giro em A, ϕ A ; b) a flecha em, f. 09) Para a viga articulaa (Gerber) a figura, e EI=10000 tm 2, eterminar: a) a flecha na articulação B, f B ; b) a flecha na extremiae livre D, f D ; c) o giro na extremiae livre D, ϕ D. 23
10) Para o pórtico a figura e EI=10000 tm 2, eterminar: a) o eslocamento o apoio móvel, ; b) o giro no apoio fixo A, ϕ A ; c) o giro o nó B, ϕ B ; ) o giro no apoio, ϕ. 11) Para o pórtico a figura e EI = 19200 tm 2, eterminar: a) o eslocamento horizontal o apoio D, D ; b) a flecha no meio o vão B, f. 12) Para o pórtico a figura, e EI = 10000 tm 2, eterminar: a) o eslocamento horizontal o apoio D, D ; b) o giro o nó, ϕ. 13) Para o pórtico o exemplo anterior, eterminar os mesmos eslocamentos caso esteja submetio ao carregamento a figura abaixo. 24
14) Para a estrutura a figura, e EI = 50000 tm 2, eterminar: a) o eslocamento translação o apoio, ; b) o giro o nó B, ϕ B. 15) Para o pórtico tri-articulao a figura, E = 210 t/cm 2, I = 300.000 cm 4, eterminar o eslocamento (horizontal) a articulação,. 16) Para o pórtico tri-articulao a figura, e EI = 50.000 tm 2, eterminar: a) a flecha na articulação, f. b) o giro no apoio E, ϕ E. 25
7. Respostas os exercícios propostos 01) a) f 4 = 1,566 cm para baixo b) f 4 = 0,9 cm para baixo 02) a) f 4 = 1,241 cm para baixo b) l = 0,3723 cm (alongamento) 03) V 5 = 1,7517 cm para baixo H 5 = 0,7184 cm para a ireita 5 = 1,893 cm formano um ângulo e 67,7 o horário com o eixo horizontal. 04) a) f 3 = 0,8586 cm para baixo b) 5 = 1,7937 cm para a ireita c) l = 0,897 cm (encurtamento) 05) a) 0,993 cm para baixo b) 0,399 cm para a ireita 06) a) f B = PL 3 /3EI b) ϕ B = PL 2 /2EI c) f = 5PL 3 /48EI ) ϕ = 3PL 2 /8EI 07) a) f = 6,975 mm para baixo b) ϕ A = 3,6 x 10-3 raianos no sentio horário c) ϕ = zero 08) a) ϕ A = 3,5625 x 10-3 raianos no sentio horário b) f = 8,55 mm para cima 09) a) f B = 4,8375 mm para baixo b) f D = 1,40625 mm para cima c) ϕ D = 3,5625 x 10-4 raianos no sentio anti-horário 10) a) = 1,067 cm para a ireita b) ϕ A = 3,467 x 10-3 raianos no sentio horário c) ϕ B = 1,333 x 10-3 raianos no sentio horário ) ϕ = 6,667 x 10-4 raianos no sentio anti-horário 11) D = 1 cm para a ireita f = 0,222 cm para baixo 12) D = 1,973 cm para a ireita ϕ = 1,467 x 10-3 raianos no sentio anti-horário 13) D = 4,325 cm para a ireita ϕ = 2,907 x 10-3 raianos no sentio anti-horário 14) a) = 0,08 cm para a ireita b) ϕ B = zero 15) = 1,822 cm para a esquera 16) a) f = 1,92 mm para baixo b) ϕ E = 1,333 x 10-4 raianos no sentio horário 26