Hewlett-Packard PFC Aulas 01 a Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ano 2017
Sumário FATORIAL... 2 FATORIAL... 2... 2 PFC... 3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM (PFC)... 3 PRELIMINAR 1... 3 PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO... 3 PRINCÍPIO ADITIVO... 3... 4 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM PFC... 4... 4 MÉTODO DESTRUTIVO... 5 MÉTODO DESTRUTIVO... 5... 5
AULA 01 FATORIAL FATORIAL Seja n N. Define-se o fatorial de n, denotado por n!, como n! = n (n 1) (n 2) 2 1 para n 2 e define-se, também, que v 1! = 1 e 0! = 1. Exemplo 1.1: Tem-se os seguintes resultados de fatorais 2! = 2 1 = 2 3! = 3 2 1 = 6 4! = 4 3 2 1 = 24 5! = 5 4 3 2 1 = 120 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 Observe que para o fatorial de 6 tem-se a relação Ou mais ainda, 6! = 6 5 4 3 2 1 6! = 6 5! 6! = 6 5! = 6 5 4! = 6 5 4 3! Pode-se agrupar os n 1 fatores em um único fatorial. Assim, n! = n (n 1)! ; n 2 Entendendo o fatorial v Entenda o fatorial de um número n como o produto dos números naturais não nulos até n (considerando o próprio n). O fato de podermos agrupar uma subparte do fatorial em um outro fatorial é muito importante em questões de simplificação, para assim evitarmos contas exaustivas 1.1. Calcule a. 3! 2! b. 7! c. 3! 2! d. 7! 6! e. f. g. h. i. 5! 6! 9! 10! 3! + 4! 4! 5! 8! 6! 7! 7! 11!+9! 10! 21! 3 20! j. 19! Obs.1: Em questões que envolvem divisão de fatorial com soma no numerador ou denominador, desenvolva todos os fatorais envolvidos até o menor entre eles, para então cancelar. 1.2. Satisfeitas as condições de existência, simplifique as expressões: a. b. (n+3)! (n+1)! (n+1)! n! n! (n+1)! n! c. n! (n 1)! 1.3. Determine o conjunto-solução das equações: a. n! = 24 b. (x 5)! = 1 n! c. = 4 (n 1)! d. (n!) 2 100(n!) = 2400 1.4. (UEL) Se o número natural n é tal que n!+2 (n 1)! (n 2)! = 18, então n é um número: a. Menor que 3. b. Maior que 10. c. Divisível por 5. d. Divisível por 2. e. Múltiplo de 7. Obs.2: Nas equações que envolvem fatoriais, lembrese de verificar as condições de existência. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
AULA 02 PFC PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM (PFC) PRELIMINAR 1 Na montagem de um combo em uma determinada lanchonete, um cliente possui três opções de sanduíche (frango, presunto e atum) e duas opções de suco (laranja e uva). De quantas maneiras distintas o combo pode ser montado? PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO O princípio multiplicativo para duas decisões pode ser descrito como segue: Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de y maneiras, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 é x y. Este princípio pode ser estendido para n decisões. Como resolver um problema de PFC? 1º - Se coloque no lugar de quem monta a sequência 2- Determine o número de decisões a se tomar para que a sequência seja montada 3º- Determine quantas possiblidades existem em cada decisão levando em conta as decisões já tomadas. PRINCÍPIO ADITIVO Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos disjuntos (𝐴 𝐵 = ). Tem-se que 𝑛(𝐴 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) Obs.3: A organização acima é chamada de diagrama de flechas. Perceba que pode-se montar 6 combos distintos. Por outro lado 3 2 = 6, onde 3 é o número de escolhas de sanduíche e 2 de sucos. Se fosse dado mais uma opção de sanduíche, seria possível formar 4 2 = 8 combos distintos. Se fosse dado, além de mais uma opção de sanduíche, duas opções de sobremesa, seria possível formar 4 2 2 = 16 combos distintos. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Entendendo o princípio aditivo O princípio aditivo garante, basicamente, que para calcular o número de elementos de um conjunto podemos o particionar em dois subconjuntos disjuntos e fazer a contagem separadamente, ou seja, em um problema de contagem, se necessário, é possível fazer a contagem em subcasos. Por exemplo, se é desejado contar quantos são os números pares, podemos calcular separadamente o número de casos que terminam em 𝟎, depois em 𝟐, em 𝟒, em 𝟔, em 𝟖 e finalmente, somar os valores obtidos. Obs.4: O conectivo ou geralmente indica método aditivo. Página 3
2.1 Utilizando os algarismos do sistema decimal determine: a) Quantos números de quatro algarismos podem ser formados? b) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados? c) Quantos números pares de quatro algarismos podem ser formados? d) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados? e) Quantos números divisíveis por 5 de quatro algarismos podem ser formados? f) Quantos números divisíveis por 5 de quatro algarismos distintos podem ser formados? g) Quantos números de quatro algarismos tem pelo menos dois algarismos repetidos? h) Quantos números de quatro algarismos distintos são maiores que 4326? 2.2 Uma senha bancária é composta de duas letras distintas seguidas por quatro algarismos. a) Quantas senhas podem ser formadas? b) Quantas senhas contém apenas algarismos ímpares? AULA 03 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM PFC 3.1 Um encontro anual de pecuaristas será realizado durante 5 anos consecutivos. A sede do encontro, em cada ano, deverá ser escolhida entre 7 cidades. a) De quantas formas distintas podem ser escolhidas as sedes se a organização não pretende realizar o encontro em uma mesma sede mais de uma vez? b) De quantas formas distintas pode ser feita a escolha se a sede de um ano não pode ser igual a do ano anterior? 3.2 (UnB) Para ir de um acampamento A para um acampamento B, um escoteiro dispõe de 4 trilhas diferentes, enquanto para ir de B para C existem 6 trilhas distintas (qualquer trajeto de A a C, ou viceversa, deve passar por B. Com base nisso, julgue os itens. (A) Se um escoteiro pretende ir de A até C e voltar a A sem utilizar, no percurso de volta, qualquer trecho do trajeto utilizado na ida, então ele dispõe de 360 maneiras distintas de fazer o percurso. (B) Se o escoteiro deseja fazer o percurso de ida e volta de A a C, podendo repetir na volta a mesma trilha entre B e C utilizada na ida, mas não a trilha para ir de A a B, então o número de possíveis trajetos é 576. (C) Admitindo que as trilhas de B a C estejam numeradas de 1 a 6 e que o escoteiro deseja fazer o percurso de A até C e voltar até B, sem repetir na volta a paridade da trilha de B a C usada na ida, então o número de trajetos é igual a 48. 3.3 De quantas maneiras podemos classificar os quatro empregados de uma microempresa nas categorias A e/ou B, se cada empregado pode pertencer às duas categorias? 3.4. (UnB) Num determinado experimento, o pesquisador atribui valor A ou B se o resultado cai acima ou abaixo de um determinado nível. Após 5 experimentos, determine quantas sequências (de A e B) diferentes podem ocorrer. 3.5. Esmeralda possui 8 livros de matemática, 6 de física e 3 de química. De quantas formas ela pode escolher dois deles com matérias distintas para estudar? 3.6. Considere três acampamentos A, B e C. Existem 5 trilhas de A para B, 3 trilhas de B para C e 2 trilhas de A para C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A até C, passando ou não por B. 3.7. A senha de um cadeado é formada por uma sequência de quatro letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto. a) Quantas senhas podemos formar? b) Quantas senhas com quatro letras distintas podemos formar? c) Quantas senhas começando por vogal podem ser formadas? Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4
d) Quantas senhas de letras distintas podem ser formadas começando e terminando por vogal? AULA 04 MÉTODO DESTRUTIVO MÉTODO DESTRUTIVO Pelo princípio aditivo, temos que n(ω) = n(a) + n(a c ). O termo n(ω) simboliza o total de elementos do nosso problema e A c é o complementar de A. Isolando qualquer um dos termos do 2º membro, temos que n(a) = n(ω) n(a c ). Assim, o número de elementos do conjunto A pode ser obtido pegando o total de elementos e retirando tudo que não está em A. 4.1 (PUC) Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar a sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é a) 63. b) 79. c) 127. d) 182. e) 201. Obs.5: Os termos pelo menos, no máximo e no mínimo costumam indicar questões de método destrutivo. 4.2 Ana, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo vão a uma montanha russa, onde devem se sentar formando uma fila. De quantos modos podemos formar essa fila, sendo que Ana e Bernardo não podem ficar lado a lado, pois acabaram de ter uma briga feia. QUESTÕES EXTRAS 1. Calcule a expressão 4 31! 6 30! 118 29! 2. Satisfeitas as condições de existência, simplifique as expressões a) b) n! (n+1)! n! n! (n 1)! (n+1)!+(n+2)! 3. Resolva a equação GABARITO (n 1)! (n + 1)! (n!) 2 1.1. QUESTÕES EXTRAS 1. 30 2. a) n b) (n 1)2 n 3. {4} TAREFA 1 No capítulo Análise combinatória 1, no 2º período, fazer as questões do Praticando em Sala de Aula (PSA) de 1 a 10. EXTRA Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5