UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA - UNIPAMPA CURSO DE ENGENHARIA DE AGRIMENSURA DISCIPLINA: CARTOGRAFIA II ÂNGULO, AZIMUTE E DISTÂNCIA SOBRE O PLANO DE PROJEÇÃO CARTOGRÁFICA Prof. Leonard Niero da Silveira ITAQUI RIO GRANDE DO SUL - BRASIL 017
SUMÁRIO 1 - Introdução...3 - Determinação dos elementos...3.1 - Redução Angular...3. - Convergência meridiana...6.3 - Coeficiente de deformação linear ou fator de escala...9 3 - Bibliografia...15
3 1 - Introdução Todo levantamento de dados efetuado em campo por métodos clássicos (poligonação, triangulação e trilateração) obtém medições efetuadas sobre a superfície física da Terra, tendo o plano topográfico como referência. Portanto os ângulos horizontais medidos são locais e o norte de referência é o geográfico (verdadeiro). As distância tomadas serão inclinadas a partir do centro óptico do distanciômetro até o centro do refletor (prisma) acoplado a um bastão. Todos os elementos descritos devem ser reduzidos da superfície topográfica à superfície do plano de projeção cartográfica, passando pelas superfícies do geoide e do elipsoide. Em cartografia aplicada, o ângulo horizontal tomado no plano local é coincidente com o ângulo projetado sobre as superfícies do geoide e do elipsoide, no entanto deverá ser reduzido para o transporte de coordenadas sobre o plano cartográfico. Os azimutes também deverão ser convertidos de azimutes geográficos ou verdadeiros para azimutes de quadrícula a partir da convergência meridiana (ângulo formado entre o norte geodésico e o norte de quadrícula). Para a cartografia aplicada pode-se considerar coincidentes o norte geográfico e o norte geodésico. Para as plicações científicas o azimute geográfico deve ser convertido em azimute geodésico a partir da componente do primeiro vertical do desvio da vertical. As distância é que sofrerão as maiores transformações. A distância inclinada deve ser reduzida ao nível do solo e posteriormente à distância horizontal, reduzida ao geoide, reduzida ao elipsoide e finalmente reduzida ao plano de projeção cartográfica. Neste material será demonstrada a determinação da redução angular (Y), convergência meridiana (C), distância inclinada (DI), distância horizontal (DH), distância geoidal (Sn), distância elipsoidal (Se) e distância plana (Sp), que dependerão do coeficiente de deformação linear (K) e do coeficiente de deformação linear associado à altitude média do terreno (Kr). - Determinação dos elementos.1 - Redução Angular Sempre que se trabalha sobre o plano do horizonte (topográfico) os ângulos horizontais medidos estarão referenciados a este plano, que para a cartografia aplicada,
4 estarão associados à superfície do geoide e à superfície do elipsoide (ângulos elipsóidicos). Para se trabalhar em um plano de projeção cartográfica os ângulos devem ser reduzidos da superfície curva para a superfície plana por meio de um coeficiente denominado de coeficiente de redução à corda ou de redução angular (Y). Figura 1 Redução angular. O cálculo da redução angular se dá seguindo os procedimentos a seguir: A) Determinação do termo XVIII: 1 XVIII= 10 M m N m K 0 ϕm= ϕ A +ϕ B Mm = a (1 e ) (1 e sen ϕ m )1,5 Nm= Para: UTM => K0 = 0,9996 RTM => K0 = 0,999995 a 1 e sen ϕ m
5 LTM => K0 = 0,999995 Gauss-Krüger => K0 = 1 B) Determinação da redução angular à vante e à ré (supondo dois vértices A e B respectivamente: Ψ ' 'A-B =6,8755 10 8 Δ NB-A ( E 'A + E 'B ) XVIII 8 Ψ ' 'B-A=6,8755 10 Δ NA-B ( E 'B + E 'A ) XVIII Δ N B-A = Δ N A-B=N B N A E ' A=EA Const E ' B=EB Const Para: UTM => Const = 500.000,000 m RTM => Const = 400.000,000 m LTM => Const = 00.000,000 m Gauss-Krüger => Const = 00.000,000 m Desta forma o ângulo horizontal plano pode ser calculado por: Hz p=hze + Ψ Ré Ψ Vante Onde: Hzp = ângulo horizontal plano; Hze = ângulo horizontal elipsóidico (ou local para aplicações práticas); Y = Redução angular. O ângulo elipsóidico também pode ser obtido a partir do azimute plano fazendo: Hz e=hz p ΨRé + Ψ Vante
6. - Convergência meridiana A convergência meridiana é o ângulo entre o azimute geodésico e o azimute de quadrícula (azimute plano da projeção cartográfica). Para aplicações práticas pode-se considerar azimute verdadeiro e geodésico coincidentes. O sinal da convergência meridiana poderá ser positivo ou negativo dependendo do hemisfério em que se encontra o ponto e sua posição em relação ao meridiano central do fuso. Figura Convergência meridiana. A convergência meridiana pode ser determina a partir das coordenadas geodésicas elipsoidais (latitude e longitude) ou a partir das coordenadas planas do sistema de projeção cartográfica utilizado. Para a determinação da convergência meridiana a partir das coordenadas geodésicas elipsoidais segue-se o seguinte procedimento: A) Determinação do termo P: P=0,001 Δ λ ' ' Δ λ ' '=(λ MC λ) 3600
7 Onde: lmc = longitude do meridiano central do fuso; l = longitude do vértice. B) Determinação do termo XII: XII=sen ϕ 10 4 C) Determinação do termo XIII: XIII = sen 1 '' sen ϕ cos ϕ 4 4 1 (1+3 e ' cos ϕ+ e cos ϕ) 10 3 e '= a b b Onde: e = segunda excentricidade do elipsoide. D) Determinação do termo C 5: C '5 = sen 4 1 ' ' sen ϕ cos 4 ϕ ( tan ϕ) 100 15 E) A convergência meridiana é dada por: C=XII P+ XIII P 3+ C'5 P5 Para a determinação da convergência meridiana a partir das coordenadas planas no sistema de projeção cartográfica segue-se o seguinte procedimento: A) Determinação do termo q: q=0,000001 E '
8 E '=E Const Para: UTM => Const = 500.000,000 m RTM => Const = 400.000,000 m LTM => Const = 00.000,000 m Gauss-Krüger => Const = 00.000,000 m B) Determinação do termo XV: XV= tan ϕ 1 6 10 N sen 1 '' K 0 N= a 1 e sen ϕ e= a b a C) Determinação do termo XVI: XVI = tan ϕ 1 (1+ tan ϕ e ' cos ϕ e ' 4 cos 4 ϕ) 3 1018 3 3 N sen 1 ' ' K0 D) Determinação do termo F 5: F '5 = tan ϕ 1 (+5 tan 5 ϕ+ 3 tan 4 ϕ) 5 1030 5 15 N sen 1' ' K0 E) A convergência meridiana é dada por: 3 C=XV q XVI q + F '5 q 5
9 A figura 3 mostra a relação entre a convergência meridiana, os azimutes e a redução angular. Figura 3 Convergência meridiana, azimutes e redução angular Então, o azimute plano a partir do azimute verdadeiro/elipsóidico será dado por: Az p=aze C Ψ Onde: Azp = Azimute do plano de projeção cartográfica; Aze = Azimute elipsóidico/verdadeiro; Y = Redução angular. O azimute plano também pode ser convertido para o azimute elipsóidico fazendo: Az e=az p +C+ Ψ.3 - Coeficiente de deformação linear ou fator de escala As distâncias medidas em campo (sobre o plano topográfico) também devem ser reduzidas ao plano de projeção cartográfica.
10 As distâncias medidas são inclinadas, entre o centro de referência do equipamento ao refletor/prisma (para medidas efetuadas eletronicamente a laser) e, devido ao não paralelismo das linhas verticais, as medidas deverão ser recíprocas com as distâncias zenitais reduzidas ao solo. A partir das distâncias inclinadas medidas reciprocamente e das distâncias zenitais reduzidas, calculam-se a distância horizontal, a distância sobre o geoide, a distância sobre o elipsoide e finalmente a distância sobre o plano de projeção cartográfica. Para estas reduções é necessária a determinação do coeficiente de deformação linear K, além do conhecimento da altitude ortométrica média da área ou região em que se está trabalhando. A figura 4 mostra a situação das medidas quanto às distâncias. Figura 4 Superfícies e distâncias
11 Onde: DI A-B = Distância inclinada lida do ponto A para o ponto B; DI B-A = Distância inclinada lida do ponto B para o ponto A; DIB-A = Distância inclinada reduzida ao nível dos pontos (solo); DHA-B = Distância horizontal do ponto A para o ponto B; AiA = Altura do instrumento no ponto A; AiB = Altura do instrumento no ponto B; ApA = Altura do sinal (prisma/refletor) no ponto A; ApB = Altura do sinal (prisma/refletor) no ponto B; Z A = Distância zenital medida no ponto A; Z B = Distância zenital medida no ponto B; ZA = Distância zenital ao nível do solo no ponto A; ZB = Distância zenital ao nível do solo no ponto B; SnA-B = Distância geoidal do ponto A para o ponto B; SeA-B = Distância elipsoidal do ponto A para o ponto B; SpA-B = Distância plana do ponto A para o ponto B; As distâncias zenitais corrigidas ao nível do solo podem ser obtidas a partir das seguintes equações: Z A=Z 'A + ( Ap B Ai A ) sen Z 'A 1 DIA-B sen Z ' A sen 1' ' 3600 Z B =Z 'B + (Ap A Ai B ) sen Z ' B 1 DIB-A sen Z' B sen 1 '' 3600 A distância horizontal será dada por: DH A-B =DIm cos ( Z Z ) B DI m = DI A-B+ DIB-A A
1 A distância geoidal (Sn) é determinada por: Sn A-B=DH A-B DH A-B Hm Rm Onde: Hm = Altitude média da região; Rm = Raio médio de curvatura do elipsoide. Mm = a (1 e ) (1 e sen ϕ m )1,5 Nm= a 1 e sen ϕ m Rm= N m M m A distância elipsoidal (Se) é dada por: SeA-B=Sn A-B +(1,07 Sn A-B 10 15 ) Também pode-se reduzir a distância horizontal diretamente para a distância elipsoidal por: SeA-B = [ DH A-B DH A-B Rm+ Rm + Hm 4 (Rm+ Hm ) ] Para a obtenção da distância plana a partir da distância elipsóidica é necessária a determinação do coeficiente de deformação linear (K). Este coeficiente pode ser determinado a partir das coordenadas geodésicas elipsoidais ou das coordenadas planas do sistema de projeção cartográfica. A partir das coordenadas geodésicas elipsoidais fica:
13 K0 K= 1 [cos ϕ sen (λ m m λmc )] A partir das coordenadas planas devem ser seguidas algumas etapas: A) Determinação do termo q: q A =0,000001 E ' A q B =0,000001 E ' B 1 q A-B = ( q A + q B +q A q B ) 3 B) Cálculo de K: K=K 0 (1+q A-B XVIII +0,00003 q A-B) Com o fator K calculado, a distância plana é determinada por: SpA-B=Se A-B K Também é possível reduzir a distância horizontal em distância plana sobre o sistema de projeção cartográfica a partir da relação entre o fator de escala, o raio médio de curvatura do elipsoide e a altitude média da região, denominado de Kr. O Kr é determinado por: ( RmRm+ H ) K Kr= m Então: SpA-B=DH A-B Kr A operação inversa (conversão da distância plana para a distância horizontal) é realizada da seguinte maneira se conhecido o fator Kr:
14 DH A-B= SpA-B Kr Por etapas, as equações são as que se seguem: SeA-B = SpA-B K 15 Sn A-B=SeA-B ( 1,07 SeA-B 10 DH A-B =Sn A-B + ) Sn A-B H m Rm Para projeções cartográficas tangentes o K será igual a 1 no meridiano central, porém, para projeções secantes, o meridiano onde K equivalerá a 1 conforme a latitude. A determinação da longitude onde K será 1 é efetuada pela equação: λ=λ MC ± Δ λ sen Δ λ= 1 K 0 cos ϕ
15 3 - Bibliografia DENT, B. D. Cartography: thematic map design. 4th ed. Duduque: Wm. C. Broen, 1996. DUARTE, P. A. Fundamentos de cartografia. 3 Ed. Florianópolis: Ed. UFSC, 008. ESRI. Understanding map projections. Redlands: ESRI, 000. Disponível em <http://downloads.esri.com/support/documentation/ao_/710understanding_map_proje ctions.pdf. > Acesso em 04/07/017. GASPAR, L. A. Cartas e projeções cartográficas.3. ed. Lisboa: Lidel. GRAFAREND, E. W.; KRUMM, F. W. Map projections: cartographic information systems. Berlin / Heidelberg: Springer, 006. IBGE. Noções Básicas de Cartografia. Rio de Janeiro: IBGE, 1999, 130p. MENEZES, P. M. L. de; FERNADES, M. do C. Roteiro de cartografia. São Paulo: Oficina de Textos, 013. ROBINSON, A. H.; MORRISON, J. L. et al. Elements of cartography. Hoboken: John Wiley& Sons, 1995.