Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 2 13 de agosto de 2010 Aula 2 Pré-Cálculo 1
Problemas de organização e erros frequentes Problemas de organização e erros frequentes Aula 2 Pré-Cálculo 2 Aula 2 Pré-Cálculo 5 Problemas de organização e erros frequentes Se A, então B: notações Aula 2 Pré-Cálculo 8 Aula 2 Pré-Cálculo 9
Se A, então B: notações Notação Exemplo Se A, então B. Se 0 < a < b, então a 2 < b 2. A B. 0 < a < b a 2 < b 2. A implica B. 0 < a < b implica a 2 < b 2. Demonstrações: direta e por absurdo A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a 2 < b 2. B é condição necessária para A. a 2 < b 2 é condição necessária para 0 < a < b. Aula 2 Pré-Cálculo 18 Aula 2 Pré-Cálculo 19 Demonstração direta Demonstração direta: exercício resolvido Mostre que a sentença abaixo é verdadeira! Demonstração direta Mostra-se que todas as situações que satisfazem a hipótese A também satisfazem a tese B. Feito isto, segue-se que a sentença se A, então B é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos. Se m é um inteiro par, então m 2 é um inteiro par. Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é, m = 2 k para algum inteiro k. Então, m 2 =(2 k) 2 = 4 k 2 = 2 (2 k 2 ). Segue-se que m 2 é divisível por 2. Logo, m 2 é um número par. Aula 2 Pré-Cálculo 20 Aula 2 Pré-Cálculo 32
Demonstração por absurdo Demonstração por absurdo: exercício resolvido Mostre que a sentença abaixo é verdadeira! Demonstração por absurdo Se ao admitirmos que se A, então B possui o atributo falsa, chegamos à conclusão que uma determinada sentença é verdadeira e falsa ao mesmo tempo, estaremos contradizendo a regra que diz que uma sentença não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Logo, a premissa de que se A, então B é falsa está errada e, portanto, podemos concluir a sentença se A, então B é verdadeira. Da mesma forma, se ao admitirmos que se A, então B possui o atributo verdadeira, chegamos à conclusão que uma determinada sentença é verdadeira e falsa ao mesmo tempo, estaremos contradizendo a regra que diz que uma sentença não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Logo, a premissa de que se A, então B é verdadeira está errada e, portanto, podemos concluir que a sentença se A, então B é falsa. Se m é um inteiro e m 2 é par, então m é par. Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro e m 2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que m = 2 k + 1. Então m 2 =(2 k + 1) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1 = 2 (2 k 2 + 2 k)+1. Segue-se que m 2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a sentença inicial é verdadeira! Aula 2 Pré-Cálculo 34 Aula 2 Pré-Cálculo 52 A se, e somente se, B Regras do Jogo A se, e somente se, B Dizemos que uma sentença A se, e somente se, B é verdadeira quando as sentenças se A, então B e se B, então A são simultaneamente verdadeiras. Aula 2 Pré-Cálculo 53 Aula 2 Pré-Cálculo 54
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa? A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa? m é um inteiro e m 2 é par se, e somente se, m é um inteiro par. m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m n é um inteiro par. A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças e se m é um inteiro e m 2 é par, então m é um inteiro par A sentença é falsa, pois a sentença se o produto m n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente). m é um inteiro par, então m é um inteiro e m 2 é par são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadas anteriormente). Aula 2 Pré-Cálculo 60 Aula 2 Pré-Cálculo 64 A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa? A se, e somente se, B: notações m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9. A sentença é falsa, pois a sentença se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9 Notação A se, e somente se, B. A B. A se,esóse,b. Exemplo m é um inteiro e m 2 é par se, e somente se, m é par. m é um inteiro e m 2 é par m é par. m é um inteiro e m 2 éparse,esóse,m é par. é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente). Outra notação: A é condição necessária e suficiente para B. Exemplo: m ser um número inteiro e m 2 ser um número par é condição necessária e suficiente para que m seja par. Aula 2 Pré-Cálculo 68 Aula 2 Pré-Cálculo 75
Observação 1 O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Quatro observações Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular. Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai? Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu pai. Nada podemos afirmar. Aula 2 Pré-Cálculo 76 Aula 2 Pré-Cálculo 83 Observação 2 Observação 3 A sentença abaixo é verdadeira ou falsa? Se x R e x 2 < 0, então x = log 10 2. A sentença abaixo é verdadeira ou falsa? Se x R e x 2 5 x + 6 = 0, então x = 2oux = 3oux = 5. Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez que não existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença é verdadeira por vacuidade. Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese (no caso, os números x = 2ex = 3) também satisfazem a tese. Aula 2 Pré-Cálculo 88 Aula 2 Pré-Cálculo 93
Observação 4 Proposição é sinônimo de sentença. Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importância central no desenvolvimento de uma determinada teoria. Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de uma outra proposição. Testes Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma outra proposição. Aula 2 Pré-Cálculo 97 Aula 2 Pré-Cálculo 98 Teste da Turma E1 Teste da Turma D1 Se 2 x + 1 x 1 > 1, então x > 2. Se x 3 + x 1 < 0, então x < 1. (a) Qual é a hipótese e qual é a tese desta proposição? (b) x = 1 é um exemplo para a proposição? Justifique sua (c) x = 1 é um contraexemplo para a proposição? Justifique (d) x = 3 é um contraexemplo para a proposição? Justifique (e) A proposição é verdadeira ou falsa? Justifique sua (a) Qual é a hipótese e qual é a tese desta proposição? (b) x = 2 é um exemplo para a proposição? Justifique sua (c) x = 0 é um contraexemplo para a proposição? Justifique (d) x = 1 é um contraexemplo para a proposição? Justifique (e) A proposição é verdadeira ou falsa? Justifique sua Aula 2 Pré-Cálculo 99 Aula 2 Pré-Cálculo 100