ESTRUTURAS DE BETÃO I FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS MÓDULO 5 VERIFICAÇÃO DA SEGURAÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE ELEMETOS COM ESFORÇO AXIAL ÃO DESPREZÁVEL Carla Marchão Júlio Appleton Ano Lectivo 2008/2009
ÍDICE 1. FLEXÃO COMPOSTA... 150 1.1. ROTURA COVECIOAL... 150 1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES A ROTURA... 150 1.3. DETERMIAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTETES... 151 1.4. DISPOSIÇÕES COSTRUTIVAS DE PILARES... 152 1.4.1. Armadura longitudinal... 152 1.4.2. Armadura transversal... 153 1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO A RESISTÊCIA À FLEXÃO... 156 2. VERIFICAÇÃO DA SEGURAÇA DOS PILARES AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS... 157 2.1. COMPORTAMETO DE ELEMETOS ESBELTOS... 157 2.2. TIPOS DE ROTURA... 158 2.3. ESBELTEZA... 158 2.4. COMPRIMETOS DE ECURVADURA DE ESTRUTURAS SIMPLES... 159 2.5. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS... 159 2.5.1. Excentricidade inicial... 160 2.5.2. Força horizontal equivalente... 161 2.6. COSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM... 161 2.6.1. Determinação da excentricidade de 2ª ordem... 161 2.7. VERIFICAÇÃO DA SEGURAÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ECURVADURA... 164 3. ESTRUTURAS EM PÓRTICO... 172 3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS... 172 3.2. COMPRIMETO DE ECURVADURA... 172 3.3. EFEITOS DE SEGUDA ORDEM EM PÓRTICOS... 175 3.3.1. Verificação da segurança de pórticos cujos efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados... 175 3.3.2. Consideração dos efeitos de 2ª ordem... 177 4. FLEXÃO DESVIADA... 185 4.1. ROTURA COVECIOAL... 185 4.2. DETERMIAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTETES... 185
1. Flexão Composta (Flexão com esforço normal de tracção ou compressão) 1.1. ROTURA COVECIOAL ε s 10 ε c (-) 3.5 Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2 ε c (-) 3.5 Tensões uniformes Tensões não uniformes σc εc σc 2 εc 3.5 σc εc = 3.5 (-) (-) ou (-) 2 0 0 1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES A ROTURA Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5 zonas com diagramas associados à rotura: Compressão Tracção 3.5 2 0 10 As2 M 2 1 3 As1 5 4 2 εyd 10 Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (ε s1 = 10, ε s2 10 ) Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (ε s1 = 10, ε c (-) 3.5 ) Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (ε yd ε s1 10, ε c (-) = 3.5 ) Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (ε s1 ε yd, ε c (-) = 3.5 ) Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2 ε c máx 3.5 ) Conclusão: Zonas 1, 2 e 3: ε s > ε yd rotura dúctil Zonas 4 e 5: ε s < ε yd rotura frágil 150
1.3. DETERMIAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTETES (i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão armado com dois níveis de armadura (A s1 e A s2 ) As2 M Rd εs2 εc (-) Fs2 Fc Rd yc ys2 As1 (+) εs1 Fs1 ota: A coordenada y pode ser medida em relação ao centro geométrico da secção ou em relação ao nível da armadura inferior. Equações de Equilíbrio Equilíbrio axial: F c + F s2 F s1 = Rd Equilíbrio de momentos: F c y c + F s2 y s2 = M Rd Para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço Rd M Rd (ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama de interacção Rd M Rd (iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de dimensionamento (-) Rd (-) Rd M Rd M Rd a) Diagrama de interacção Rd - M Rd a) Diagrama de dimensionamento 151
Grandezas adimensionais: Esforço normal reduzido: ν = Momento flector reduzido: µ = Rd b h f cd M Rd b h 2 f cd Percentagem mecânica de armadura: ω TOT = A stot b h f yd f cd 1.4. DISPOSIÇÕES COSTRUTIVAS DE PILARES 1.4.1. Armadura longitudinal (i) Quantidades mínimas e máximas de armadura As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de aço utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte expressão: A s, min = 0.10 sd f yd A quantidade máxima de armadura é dada por: 0.002 A c A s, máx = 0.04 A c (fora das secções de emenda) ota: as secções de emenda, poderá adoptar-se uma armadura até 0.08 A c. (ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento 1. Mínimo número de varões na secção transversal 1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou 4 varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável adoptar pelo menos 6 varões) 2. Diâmetro mínimo dos varões: 8 mm (Recomendável: 10 mm) 152
1.4.2. Armadura transversal (i) Espaçamento das cintas s máx = min (20 φ L,menor ; b min ; 40 cm) O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 s máx nos seguintes casos: - nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior dimensão do pilar; - nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes varões seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao longo do comprimento de emenda. (ii) Diâmetro φ cinta = max (6 mm; 0.25 φ L,maior ) (iii) Forma da armadura / cintagem mínima Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser abraçados por armadura transversal. Em zonas comprimidas, não é necessário cintar varões longitudinais que se encontrem a menos de 15 cm de varões cintados. Função da armadura transversal Cintar o betão; Impedir a encurvadura dos varões longitudinais; Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e betonagem; Resistir ao esforço transverso. ota: As cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas. 153
EXERCÍCIO 5.1 Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme indicado. Dimensione e pormenorize a secção. As/2 0.50 M sd sd sd = -1200 k M sd = 150 km As/2 0.30 Materiais: A400R C20/25 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.1 Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas) d 1 0.05m h = 0.50m d 1 h = 0.10 ; A400 Esforço normal reduzido: ν = sd b h f = -1200 cd 0.30 0.50 13.3 10 3 = -0.60 Momento flector reduzido: µ = M sd b h 2 f = 150 cd 0.30 0.50 2 13.3 10 3 = 0.15 ω TOT = 0.20 A stot = ω TOT b h f cd f yd = 0.20 0.30 0.50 13.3 348 104 = 11.47cm 2 a rotura ε c2 ε s1 = -3.5 0 a 1 rotura pelo betão armaduras não atingem a cedência Zona 4 154
EXERCÍCIO 5.2 Considere um pilar com secção transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as armaduras do pilar para os seguintes esforços: sd = -1400k; M sd =250 km Considere os seguintes materiais: C25/30, A400R RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.2 d 1 = 0.05 d 1 h = 0.10 ν = µ = sd π r 2 f = -1400 cd π 0.25 2 16.7 10 3 = -0.427 M Sd 2π r 3 f = 250 cd 2 π 0.25 3 16.7 10 3 = 0.152 ω TOT = 0.30 A stot = ω TOT πr 2 f cd f yd = 0.30 π 0.252 16.7 348 104 = 28.3cm 2 155
1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO A RESISTÊCIA À FLEXÃO Considere-se o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de tensão na rotura para as situações A e B ilustradas. ν As2 h As1 b 0.4 A B µ A Fs2,A B Fs2,B Fc,A Fc,B Rd As1 fyd MRd,A As1 fyd MRd,B M Rd,A < M Rd,B A existência de um esforço axial aumenta as resultantes de compressão (F c e F s2 ) e, consequentemente, o M Rd apesar da diminuição do braço de F c. 156
2. Verificação da segurança dos pilares aos estados limite últimos 2.1. COMPORTAMETO DE ELEMETOS ESBELTOS os elementos de betão armado solicitados apenas à flexão, os esforços são, em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Sempre que as deformações tenham um efeito importante nos esforços solicitantes (p. ex. no caso de pilares esbeltos), as hipóteses lineares da teoria de 1ª ordem não devem ser aplicadas. Exemplos: Teoria de 1ª ordem: M = e Teoria de 2ª ordem: v L L M = (e + v) M = e + v e momento de 1ª ordem v momento de 2ª ordem v ota: na teoria de 2ª ordem as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas na estrutura deformada. Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares: λ = L 0 i 1 - λ pequeno efeitos de 2ª ordem desprezáveis e 1 (Teoria de 1ª ordem) e v 2 2 - λ médio/elevado efeitos de 2ª ordem relevantes (Teoria de 2ª ordem) M Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis se: M 2ªordem 0.10 M 1ªordem ( v 0.1 e) 157
2.2. TIPOS DE ROTURA 1 2 3 e1 e2 e1 e2 e1 e1 e1 1 1 u, Mu e2 2 2 u, Mu 2 2 CR, M CR e1 e2 3 3 CR, M CR u, 3 Mu 3 M 1 Relação - M para e 2 = 0 (análise de 1ª ordem) M u / u = e 1 2 Relação - M para e 2 0 (elemento pouco esbelto) rotura da secção 3 Relação - M para e 2 0 (elemento muito esbelto) rotura por instabilidade 2.3. ESBELTEZA A esbelteza de um pilar é dada por: λ = L 0 i onde, L 0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada) i representa o raio de giração da secção i = ota: Deve ser considerado o momento de inércia da secção segundo o eixo perpendicular ao plano de encurvadura. I A Maior λ maior sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem. 158
2.4. COMPRIMETOS DE ECURVADURA DE ESTRUTURAS SIMPLES Estruturas contraventadas L0 = 0.7L L0 = L L0 = L/2 Estruturas não contraventadas L0 = 2L L0 = L L0 = 2L 2.5. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS O efeito desfavorável de possíveis desvios na geometria da estrutura ou posição do carregamento deverá ser tido em consideração no dimensionamento. 159
Para elementos isolados, os efeitos das imperfeições geométricas poderão ser considerados através de uma excentricidade inicial e i ou através de uma força horizontal H i. ei ei Hi L L Hi a) Elementos não contraventados b) Elementos contraventados 2.5.1. Excentricidade inicial A excentricidade inicial poderá ser calculada através da seguinte expressão e i = θ i l 0 / 2 onde l 0 representa o comprimento efectivo de encurvadura. A inclinação θ i pode ser calculada através da seguinte expressão: θ i = θ 0 α h α m onde, θ 0 representa o valor de inclinação base que pode ser tomado igual a 1/200; α h representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do elemento (α h = 2 / l e 2/3 α h 1); α m representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos verticais existente na estrutura (α m = de elementos verticais). 0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número Caso se tratem de colunas isoladas em estruturas contraventadas, poderá considerarse simplificadamente que e i = L 0 / 400. 160
2.5.2. Força horizontal equivalente A força horizontal deverá actuar na posição em que provoque o máximo momento flector e pode ser obtida através das seguintes expressões: (i) Elementos não contraventados: H i = θ i (ii) Elementos contraventados: H i = 2 θ i 2.6. COSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM Estruturas correntes (edifícios, em geral) Métodos de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª ordem, corrigindo a excentricidade para ter em conta os efeitos de 2ª ordem. (Método das excentricidades adicionais - REBAP, EC2) e v e e+ead M sd = sd (e + e ad ) Outras (esbelteza grande) Métodos de análise não linear de estruturas, tendo em conta as não linearidades geométricas e as não linearidades físicas dos materiais. 2.6.1. Determinação da excentricidade de 2ª ordem A excentricidade de 2ª ordem destina-se a ter em conta a deformação do elemento e, consequentemente, a existência de efeitos de 2ª ordem. 161
Considere-se a seguinte coluna biarticulada perfeita x v L Para = E, tem-se v A sen π x L (Deformada do tipo sinusoidal) A curvatura é dada por: 1 r = d2 V dx 2 = A π2 L 2 sen π x L 1 r L2 π 2 = A sen π x L Pelo que, v = 1 r = L2 π 2 1 r L 2 10 Deste modo, a flecha na secção crítica é dada por: v sc = 1 r sc A curvatura na secção crítica pode ser obtida de forma aproximada através do seguinte modelo: L 2 10 syd (+) εsyd (-) 1 r = ε syd + ε syd 0.9d = ε syd 0.45d 0.9d De acordo com o EC2, a excentricidade de segunda ordem pode ser calculada através da seguinte expressão: e 2 = 1 r onde c representa um factor que depende da distribuição da curvatura ao longo do elemento. ormalmente adopta-se c = 10, excepto se o momento de primeira ordem L 0 2 c for constante, situação em que se poderá adoptar c = 8. A curvatura (1/r) pode ser determinada a partir da expressão onde, K r K ϕ 1 r = K r K ϕ 1 r 0 representa um factor correctivo que tem em consideração o nível de esforço axial; representa um coeficiente destinado a ter em conta o efeito da fluência; 1 / r 0 representa a curvatura base 1 r 0 ε yd 0.45d. 162
O coeficiente K r destina-se a ter em conta o facto de, em determinados casos, a armadura não atingir a extensão de cedência, o que conduz a uma curvatura inferior à curvatura base. Este factor de redução pode ser determinado através de: onde, n K r = n u - n n u - n bal 1.0 representa o valor do esforço normal reduzido; n bal representa o valor do esforço normal reduzido na zona do máximo momento resistente (em geral, n bal 0.4); n u = 1 + ω, com ω = A s f yd / (A c f cd ). O efeito da fluência é considerado através da introdução do coeficiente K ϕ, que pretende corrigir os casos em que a curvatura base seria inferior à curvatura real devido ao facto de não se considerar o efeito da fluência. onde, ϕ ef K ϕ = 1 + β ϕ ef 1 representa o coeficiente de fluência efectivo β = 0.35 + f ck / 200 - λ / 150; ϕ ef = ϕ(t, t 0 ) M 0cqp M ; 0sd M 0cqp representa o momento de primeira ordem para a combinação quase-permanente de acções; M 0sd representa o momento de primeira ordem para a combinação fundamental. O efeito da fluência poderá ser desprezado, o que equivale a assumir que ϕ ef = 0, caso sejam verificadas as três condições seguintes: ϕ(, t 0 ) 2; λ 75; M 0sd / sd h 163
2.7. VERIFICAÇÃO DA SEGURAÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ECURVADURA 1. Verificação do estado limite último de flexão composta na secção crítica (secção mais esforçada), para os esforços sd e M sd = M 0sd + sd e 2 2. Secção crítica (i) Estruturas contraventadas A localização da secção crítica depende do diagrama de M sd (conforme se pode observar na figura seguinte, em geral a secção crítica localiza-se numa zona intermédia, e não junto das extremidades). sd M02 M0sd M2 Msd 0.6 M 02 + 0.4 M 01 M 0e = máx 0.4 M 02 (secção crítica) e2 + = com M 02 M 01 e M sd máx M 0sd (nós) = M 02 M01 (ii) Estruturas não contraventadas e2 M0sd M2 A secção crítica situa-se no nó em que M sd é máximo 164
3. Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura Para o caso de elementos isolados, os efeitos de segunda ordem poderão ser desprezados se for satisfeita a condição onde, λ λ λ lim = 20 A B C n = l 0 / i e representa o coeficiente de esbelteza (i representa o raio de giração da secção transversal não fendilhada); A = 1 / (1 + 0.2 ϕ ef ) (se ϕ ef for desconhecido pode adoptar-se A = 0.7); B = 1 + 2 ω (se ω for desconhecido pode adoptar-se B = 1.1); C = 1.7 r m (se r m for desconhecido pode adoptar-se C = 0.7); ϕ ef ω r m n representa o coeficiente de fluência efectivo; = A s f yd / A c f cd e representa a percentagem mecânica de armadura; = M 01 / M 02 onde M 01 e M 02 representam os momentos de primeira ordem nas extremidades de um elemento, sendo M 02 M 01 ; = sd / (A c f cd ) e representa o esforço normal reduzido 165
EXERCÍCIO 5.3 Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços: H Secção transversal 0.40 0.30 3.00 Esforços característicos: g = 550 k; q = 250 k H q = 20k (ψ 1 = 0.6; ψ 2 = 0.4) Materiais: C25/30; A400R RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.3 1. Cálculo da esbelteza λ = L 0 i = 2 3.0 0.0866 = 69.3 i = I A = 9 10-4 0.30 0.40 = 0.0866 m; I = bh3 12 = 0.4 0.33 12 = 9 10-4 m 4 2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas e i = θ i l 0 / 2 = l 0 400 = 6.0 400 = 0.015 m θ i = θ 0 α h α m = 1 200 α h = 2 / l = 2 / 3.0 = 1.15 < 1.0 α h = 1.0 α m = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0 166
3. Determinação dos esforços de dimensionamento sd = 1.5 (550 + 250) = 1200 k; M 0sd = 20 3 1.5 + 0.015 1200 = 108.0 k 3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar condição seguinte: λ = 59.3 / λ lim = 20 A B C n = 20 0.7 1.1 1.7 0.599 = 33.8 C = 1.7 r m = 1.7 r m = M 01 / M 02 = 0 n = sd A c f = 1200 cd 0.30 0.40 16.7 10 3 = 0.599 os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis 3.2. Quantificação dos esforços de cálculo sd = 1200 k M sd = M 0sd + sd e 2 = 108 + 1200 0.047 = 164.4 km (ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem e 2 = 1 r L 0 2 c = 0.013 62 10 = 0.047 m 1 r = K r K ϕ 1 r = 0.8 1.06 1.55 10-2 = 0.013 m -1 0 1 r 0 = ε yd 0.45d = 1.74 10-3 0.45 0.25 = 1.55 10-2 m -1 K r = n u - n n u - n bal = 1.42-0.6 1.42-0.4 = 0.80 1.0 n = sd A c f = 1200 cd 0.30 0.40 16.7 10 3 = 0.60 n u = 1 + ω 1 + 0.42 = 1.42 167
- Estimativa da percentagem mecânica de armadura (ω) M sd,estim = M 0sd + sd e 2 108 + 1200 0.015 = 126 km ν = µ = sd b h f = -1200 cd 0.3 0.4 16.7 10 3 = -0.60 M sd b h 2 f = 126 cd 0.4 0.3 2 16.7 10 3 = 0.21 ω = 0.42 K ϕ = 1 + β ϕ ef = 1 + 0.08 0.78 = 1.06 1 ϕ ef = ϕ(t, t 0 ) M 0cqp M 0sd = 2.5 33.8 108 = 0.78 M 0cqp = 20 3 0.4 + 0.015 (550 + 0.4 250) = 33.8 km β = 0.35 + f ck 200 - λ 150 = 0.35 + 25 200-59.3 150 = 0.08 4. Cálculo da armadura (flexão composta) ν = µ = sd b h f cd = -1200 0.3 0.4 16.7 10 3 = -0.60 M sd b h 2 f = 164.4 cd 0.4 0.3 2 16.7 10 3 = 0.273 d 1 h = 0.05 0.3 = 0.167 0.15 ; A400 ω TOT = 0.62 A STOT = ω TOT bh f cd f syd = 0.62 0.30 0.40 16.7 348 104 = 35.7cm 2 168
EXERCÍCIO 5.4 Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços: Secção transversal 0.25 0.25 5.00 Esforços característicos: g = 380 k; q = 220 k (ψ 1 = 0.4; ψ 2 = 0.2) Materiais: C20/25; A400R RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.4 1. Cálculo da esbelteza λ = L 0 i = 5 0.0722 = 69.3 i = I A = 3.255 10-4 b h3 2 0.25 = 0.0722 m ; I = 12 = 0.254 12 = 3.255 10-4 m 4 2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas e i = θ i l 0 / 2 = 0.0045 5.0 2 = 0.011 m θ i = θ 0 α h α m = 1 200 0.89 = 0.0045 α h = 2 / l = 2 / 5.0 = 0.89 ; α m = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0 169
3. Esforços de dimensionamento sd = (380 + 220) 1.5 = 900 k; M 0sd = 0.011 900 = 9.9 km 3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar condição seguinte: λ = 69.3 / λ lim = 20 A B C n = 20 0.7 1.1 1.7 1.083 = 25.2 C = 1.7 r m = 1.7 r m = M 01 / M 02 = 0 n = sd A c f cd = 900 0.25 0.25 13.3 10 3 = 1.083 os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis 3.2. Quantificação dos esforços de cálculo sd = 900 k; M sd = M 0sd + sd e 2 = 9.9 + 900 0.02 = 27.9 km (ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem e 2 = 1 r L 0 2 c = 0.008 52 10 = 0.020 m 1 r = K r K ϕ 1 r = 0.41 1.0 1.93 10-2 = 0.008 m -1 0 1 r 0 = ε yd 0.45d = 1.74 10-3 0.45 0.20 = 1.93 10-2 m -1 K r = n u - n n u - n bal = 1.55-1.083 1.55-0.4 = 0.41 1.0 n = sd A c f = 900 cd 0.25 2 13.3 10 3 = 1.083 n u = 1 + ω 1 + 0.55 = 1.55 170
- Estimativa da percentagem mecânica de armadura (ω) M sd,estim = M sd + sd (e i + e 2 ) 900 (0.011 2) = 20 km ν = µ = sd b h f = -900 cd 0.25 2 13.3 10 3 = -1.083 M sd b h 2 f = 20 cd 0.25 3 13.3 10 3 = 0.10 ω = 0.55 K ϕ = 1 + β ϕ ef = 1-0.012 1.2 = 0.99 K ϕ = 1 ϕ ef = ϕ(t, t 0 ) M 0cqp M 0sd = 2.5 4.7 9.9 = 1.2 M 0cqp = 0.011 (380 + 0.2 220) = 4.7 km β = 0.35 + f ck 200 - λ 150 = 0.35 + 20 200-69.3 150 = -0.012 3. Cálculo da armadura (flexão composta) d 1 h = 0.05 0.25 ν = µ = = 0.20 ; A400 Tabelas pág. 45 sd b h f = -900 cd 0.25 2 13.3 10 3 = -1.083 M sd b h 2 f cd = 27.9 0.25 3 13.3 10 3 = 0.134 ω TOT = 0.65 A stot = ω TOT b h f cd f syd = 0.65 0.252 13.3 348 104 = 15.5cm 2 171
3. Estruturas em Pórtico 3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS Estruturas contraventadas: estruturas com elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para absorver grande parte das acções horizontais. paredes ou núcleos Estruturas não contraventadas: estruturas sem elementos de contraventamento 3.2. COMPRIMETO DE ECURVADURA O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado pela expressão, L 0 = ηl onde L representa o comprimento livre do elemento e η é um factor que depende das condições de ligação das extremidades do elemento Estruturas contraventadas Estruturas não contraventadas L L L 0 L (η 1) L 0 L (η 1) 172
Estruturas contraventadas η = min 0.7 + 0.05 (α 1 + α 2 ) 0.85 + 0.05 α min 1.0 Estruturas não contraventadas η = min 1.0 + 0.15 (α 1 + α 2 ) 2.0 + 0.3 α min onde α 1 e α 2 são parâmetros relativos às extremidades 1 e 2 do pilar, dadas por: ( EI / L ) pilares α i = ( EI / L ) vigas nó i: Este parâmetro pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó: pilar viga Maior rotação maior deformação maiores efeitos de 2ª ordem. Caso as extremidades do pilar estejam ligadas a elementos de fundação: i) fundações que confiram encastramento parcial : α = 1 ii) fundações que confiram encastramento perfeito: α = 0 iii) fundações cuja ligação ao pilar não assegure transmissão de momentos (liberdade de rotação: α = 10 173
Exemplo: Determinar o comprimento de encurvadura do pilar indicado na figura. 3.00 0.3 2 0.6 0.5 0.3 0.3 0.3 3.00 1 0.5 0.4 0.3 0.3 4.00 6.00 5.00 Classificação da estrutura: Estrutura não contraventada ( EI / L ) pilares ( ) α 1 = = ( EI / L ) vigas ( ) I / L pilares = I / L vigas 0.3 4 12 0.3 0.5 3 12 1 4 + 0.34 12 1 6 1 3 + 0.3 0.43 12 1 5 = 0.468 α 2 = 0.3 0.6 3 12 0.3 4 12 1 6 1 3 2 + 0.3 0.53 12 1 5 = 0.295 η = min 1 + 0.15 (α 1 + α 2 ) = 1 + 0.5 (0.468 + 0.295) = 1.11 2.0 + 0.3 α min = 2 + 0.3 0.295 = 2.09 L 0 = 3 1.11 = 3.33m 174
3.3. EFEITOS DE SEGUDA ORDEM EM PÓRTICOS Para o caso de estruturas em pórtico, os efeitos globais de segunda ordem poderão ser desprezados se for satisfeita a condição onde, F v,sd k 1 n s n s + 1.6 F v,sd representa a carga vertical total; E cd I c L 2 n s L E cd I c k 1 representa o número de pisos; representa a altura total do edifício acima do nível a partir do qual os deslocamentos horizontais estão restringidos; representa o valor de dimensionamento do módulo de elasticidade do betão (E cd = E cm / γ ce = E cm / 1.2); representa o momento de inércia da secção transversal dos elementos de contraventamento (em estado não fendilhado); é um coeficiente que em geral toma o valor 0.31, ou o valor 0.62 caso se verifique que os elementos de contraventamento não estão fendilhados em estado limite último. Esta expressão é válida caso se verifiquem as condições seguintes: - Estrutura aproximadamente simétrica; - Deformações globais por corte desprezáveis; - Rotação da base dos elementos de contraventamento desprezável; - Elementos de contraventamento com rigidez aproximadamente constante em altura; - Cargas verticais semelhantes nos vários pisos. 3.3.1. Verificação da segurança de pórticos cujos efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados Caso os efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados, os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª ordem. Os pilares podem ser analisados como elementos isolados. 175
3.3.1.1. Verificação da segurança dos elementos verticais Pilares Possíveis configurações deformadas e diagramas de momentos flectores correspondentes δ Msd M'sd δ Msd M'sd Esforços de dimensionamento - ós: sd ; M sd - Secção crítica: sd ; M ' sd = M 0sd + sd e 2 onde: M 0sd = M 0e + ei M 0e = máx 0.6 M 02 + 0.4 M 01 0.4 M 02 com M 02 M 01 ota: A secção crítica (onde os efeitos de 2ª ordem são mais desfavoráveis) ocorre entre nós. 3.3.2. Verificação da segurança de pórticos cujos efeitos globais de segunda ordem não possam ser desprezados Caso os efeitos globais de segunda ordem não possam ser desprezados, os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª e 2ª ordem. Os pilares podem ser analisados como elementos isolados. 176
Paredes Comprimento de encurvadura: L 0 Lparede L0 2 ota: a determinação dos esforços de dimensionamento, devem ser consideradas as imperfeições geométricas e os efeitos de segunda ordem. 3.3.3. Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados o caso de estruturas em que os efeitos globais de segunda ordem tenham que ser considerados, a análise de pilares isolados em estruturas introduz alguns problemas: A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade de 2ª ordem em todos os pilares. Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por equilíbrio, conduz a um aumento de esforços nas vigas adjacentes (a análise de pilares isolados não tem em conta este efeito). Formas mais correctas de ter em conta os efeitos de 2ª ordem 1. Análise da estrutura inclinada (deformada) θ 177
2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços provocados pelos efeitos de 2ª ordem. H2 H1 θ Esta metodologia pode ser ilustrada através da análise de um pórtico simples a seguir indicada. Começando por definir as condições de equilíbrio definidas na posição deformada estrutura com inclinação θ δ 1 δ 2 P2 P1 L θ θ e 1 0 2 e 2 0 θ = e 2 l 1 = 2 e 2 l 1 0 0 2 ; δ = Lθ = 2L e 2 l 1 0 178
Obtem-se um momento global de 2ª ordem: M TOTAL 2 = ( 1 + 2 ) δ M TOTAL 2 = ( 1 + 2 ) 2L e 2 l 1 0 e 2 ;l 1 parâmetros relativos ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência 0 (pilar condicionante) A força horizontal equivalente que conduz ao mesmo momento global nos pilares pode ser calculada da seguinte forma: H M TOTAL H = HL HL = ( 1 + 2 ) 2L e 2 l 0 L H = 2 ( 1 + 2 ) e 2 l 0 Definição do Pilar Condicionante l 0 ; e 2 parâmetros relativos ao pilar condicionante A excentricidade de 2ª ordem e 2 é função da curvatura de cedência do pilar: e 2 = 1 r l 2 0 10 n h - 1/r + n 1 r 1 r0 0.4 n e 0 2 0.4 1 r0 m 1 ε yd r = 0 0.45d ε yd 0.4h 179
A curvatura de cedência pode ser estimada de forma aproximada pela seguinte expressão: 1 r = ε yd 0.4 0.4h n = ε yd n h e 2 = ε l 2 yd 0 n h 10 com n 0.4 l 0 mas: e 2 = θ 2 θ l 0 2 = ε l 2 yd 0 n h 10 θ = 1 5 ε yd l 0 n h θ é a inclinação do pórtico associada ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência. θ = θ i,mínimo Donde se conclui que o pilar condicionante é o pilar com menor relação l 0 n h (n 0.4) 180
EXERCÍCIO 5.5 G2 g, q G1 E P1 0.3 P2 0.3 5,0 0.4 0.6 10,0 C25/30 g = 20k/m ψ 2 = 0.4 A500 R q = 15k/m γ E = 1.5 Rec: 3cm G 1 = 900k G 2 = 500k E = ± 100k Dimensionamento dos pilares Estrutura não contraventada l 0 Esbeltezas λ = i l 0 = 2l = 2 x 5 = 10m P 1 : i = 0.6 12 = 0.115m λ = 10 0.115 = 87 P 2 : i = 0.6 12 = 0.173m λ = 10 0.173 = 58 181
Efeito das imperfeições geométricas θ i = θ 0 α h α m ; θ 0 = 1 200 α h = 2 l = 2 5 = 0.894 ; α m = 0.5 1 + 1 m = 0.5 1 + 1 2 = 0.87 θ i = 1 200 x 0.894 x 0.87 = 0.0039 ; e i = 0.0039 x 5 = 0.0194m 0.0194 0.0039 0.0039 Força horizontal equivalente H i = θ i Combinação que envolve a acção sísmica S d = S g + ψ 2 S q ± 1.5 S E = 1 + 2 = (500 + 900) + 10 (20 + 0.4 x 15) = 1660k H i = 1660 x 0.0039 = 6.47k Hi = 6.47 R 1 = EI 1 L 3 1 EI 1 L 3 1 + EI 2 L 3 2 H 1 = 0.4 3 14243 0.4 3 + 0.6 3 6.47 = 1.49k 0.23 R 2 = H i R 1 = 4.98k R 1 R 2 Esforços de 1ª ordem P 1 E 1 = 0.23 x 100 = 23k sd = 500 + 10 2 (20 + 0.4 x 15) = 630k M 0sd = 1.5 x 23 x 5 + 1.49 x 5 = 180km 182
P 2 E 2 = 100 23 = 77k sd = 900 + 10 2 (20 + 0.4 x 15) = 1030k M 0sd = 1.5 x 77 x 5 + 4.98 x 5 = 602,4km Efeitos de 2ª ordem Pórtico não contraventado necessidade de considerar os efeitos de 2ª ordem Excentricidade de 2ª ordem e 2 é condicionada pelo pilar mais rígido. Para um determinado deslocamento horizontal o pilar mais rígido atinge primeiro a cedência. δ1 δ2 P1 δ 1 = δ 2 = 1 r M 1 r 1 = 1 r 2 ε 1/r0 e 2 1 r = 1 r k 1 k 2 0 P2 ε yd 0.45d P 2 e 2 = 1 r l 2 0 10 ; 1 r = k r k φ 1 r 0 ; 1 ε yd r = 0 0.45d 1 2.175 x 10-3 r = 0 0.45 x 0.55 = 8.79 x 10-3 /m k φ = 1 + βφ ef 1.0 β = 0.35 + f ck 200 - λ 25 150 = 0.35 + 200-58 150 = - 0.088 k φ = 1.0 φ ef = φ M 0cqp M 0sd M 0cqp = 4.98 x 5 = 24.9km M 0sd = 602.4km φ ef = 2.5 24.9 602.4 = 0.1 k φ = 1 + 0.088 x 0.1 1.0 k r = n n - n n n - n bal 1.0 ; n = sd A c f cd ; n n = 1 + w n = 0.343 ; n bal = 0.4 ; w 0.5 (estimativa) k r = 1.5-0.343 1.5-0.4 = 1.05 k r = 1.0 183
(n 0.4 k r = 1.0) e 2 = 8.79 x 10-3 10-2 10 = 0.0879m Força horizontal equivalente: H = 2 e 2 ; l l 0 = 2l H = e 2 /l = ( 1 + 2 ) e 2 0 l H = 1660 x 0.0879 5 Momento de 2ª ordem = 29.18k P 1 P 2 M 2 = 0.23 x 29.18 x 5 = 33.56km M 2 = 0.77 x 29.18 x 5 = 112.34km Esforços de dimensionamento P 1 sd = 630k M sd = M 0sd + M 2 = 180 + 33.56 = 213.56km n = 0.313 ; µ = A stot = 22.1cm 2 V sd = M sd l = 213.56 5 213.56 0.3 x 0.4 2 x 16700 = 0.266 w = 0.48 = 42.7k A sw s = V sd 42.7 = z cotg θ f yd 0.9 x 0.35 x 2 x 43.5 = 1.56cm2 /m A sw s min 0,3 0,4 8φ20 Cintas φ6//0.15 (ρ = 2.1%) P 2 sd = 1030k M sd = 602.4 + 112.34 = 714.74km n = 0.343 µ = 0.396 w = 0.76 A stot = 52.5cm 2 V sd = 714.74 5 = 142.9k A sw s = 3.32cm2 /m 184
0,3 4φ25 2φ20 2φ16 2φ20 4φ25 8φ25 + 4φ20 Cintas φ8//0.15 (ρ = 3.1%) 0,6 4. Flexão Desviada 4.1. ROTURA COVECIOAL ε s 10 ε c (-) 3.5 Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2 ε c (-) 3.5 Problema: o momento não está a actuar segundo as direcções principais de inércia. 4.2. DETERMIAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTETES (i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão armado My ε Mz (+) Fs1 (-) Fs2 σc Fc Através das equações de equilíbrio, para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço M Rd,y M Rd,z 185
(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama de interacção M Rd,y M Rd,z (iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de dimensionamento Flexão composta desviada: os processos anteriores são repetidos para vários níveis de esforço axial. Grandezas adimensionais: Esforço normal reduzido: ν = Rd b h f cd Momentos flectores reduzidos: µ y = M Rd,y b h 2 f cd ; µ z = M Rd,z b 2 h f cd Percentagem mecânica de armadura ω TOT = A stot b h f syd f cd ota: Simplificadamente, é possível dividir o problema nas duas direcções e resolver como se se tratasse de um problema de flexão composta em cada direcção. este caso, é necessário verificar no final a seguinte condição: M sd,y M Rd,y α + α M sd,z M Rd,z 1.0 onde α é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os seguintes valores: Secções transversais circulares ou elípticas: α = 2 Secções transversais rectangulares sd / Rd 0.1 0.7 1.0 α 1.0 1.5 2.0 186
187
EXERCÍCIO 5.6 Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo indicados. z sd = -1200 k M sd,y = 150 km M sd,z = 100 km y 0.50 Materiais: A400 C20/25 0.30 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.6 Flexão desviada com esforço axial (Tabelas) Msdz Msdy Astot/4 ν = µ y = µ z = sd b h f = -1200 cd 0.30 0.50 13.3 10 3 = -0.60 M sdy b h 2 f = 150 cd 0.30 0.50 2 13.3 10 3 = 0.15 M sdz b 2 h f = 150 cd 0.30 2 0.50 13.3 10 3 = 0.167 Como µ z > µ y µ 1 = µ z = 0.167 e µ 2 = µ y = 0.15 ν = -0.6 µ 1 = 0.167 µ 2 = 0.15 ω TOT = 0.60 A stot = ω TOT b h f cd f syd = 0.60 0.30 0.50 13.3 348 104 = 34.4cm 2 188
EXERCÍCIO 5.7 Considere um pilar com secção transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as armaduras do pilar para os seguintes esforços: sd = -1400k; M sdz = 150 km; M sdy = 200 km Considere os seguintes materiais: C25/30, A400R RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.7 M sd = 150 2 + 200 2 = 250 km Flexão composta d 1 = 0.05 d 1 h = 0.10 ν = µ = sd π r 2 f cd = -1400 π 0.25 2 16.7 10 3 = 0.427 M Sd 2π r 3 f = 250 cd 2 π 0.25 3 16.7 10 3 = 0.152 ω TOT = 0.30 A stot = ω TOT πr 2 f cd f syd = 0.30 π 0.252 16.7 348 104 = 28.3cm 2 189