ESTRUTURAS DE BETÃO I

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1 ESTRUTURAS DE BETÃO I FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS Coordenação: José Noronha da Camara Ano Lectivo 2014/2015

2 Introdução Estas folhas de apoio às aulas têm como objectivo facilitar o seu acompanhamento e correspondem, em geral, à sequência e organização da exposição incluindo, ainda, a resolução de problemas. São apontamentos de síntese que não dispensam a consulta de restantes apontamentos da disciplina e da bibliografia proposta, onde deve ser realçado o recente livro sobre Estruturas de Betão da autoria do Prof. Júlio Appleton. Estes apontamentos resultaram da experiência de ensino e de textos anteriores da disciplina para os quais contribuíram os docentes que têm vindo a leccionar o Betão Estrutural, sob a orientação do Prof. Júlio Appleton, que foi, nesta escola, nos últimos 30 anos e até ao ano lectivo 2010/2011, o responsável por esta área da engenharia de estruturas. Durante o ano lectivo 2003/2004 o Prof. Júlio Appleton com a Engª Carla Marchão, organizaram a 1ª versão destas folhas de apoio às aulas. A estas foram sendo introduzidas várias contribuições, mais directamente, dos Profs. José Camara, António Costa, João Almeida e Sérgio Cruz. Deve-se realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a transmissão do conhecimento sobre as características do comportamento estrutural e fundamentação dos modelos de cálculo, aspectos que se repercutem depois, naturalmente, nas prescrições normativas, com algumas variações. Ao longo destes últimos anos têm sido referidas na disciplina, em geral, as normas europeias (Eurocódigos), já aprovados na versão definitiva (EN). Refira-se que, no entanto, não houve ainda uma aprovação formal, sendo possível utilizar, no âmbito profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação europeia (Eurocódigo 2 Projecto de Estruturas de Betão). Refira-se que, sendo esta disciplina integrada na área da engenharia de estruturas, é fundamental que os alunos tenham uma boa percepção do comportamento das estruturas, em geral, e, de uma forma quase imediata, das estruturas isostáticas. As matérias tratadas na Resistência dos Materiais, referentes ao comportamento de peças lineares em tracção, flexão, esforço transverso, torção e em zonas onde a hipótese de Bernoulli não é válida (Princípio de Saint-Venant), por exemplo, junto dos apoios de vigas e/ou de zonas de actuação de cargas concentradas) são uma base

3 fundamental. É também importante relembrar o comportamento elástico-plástico das estruturas, para se poder compreender a influência das características do comportamento não linear dos materiais na resposta das estruturas. Este aspecto é particularmente importante para os elementos de betão estrutural e, consequentemente para o estudo das Estruturas de Betão. Também os Teoremas Limite da Teoria da Plasticidade, Estático e Cinemático, que na versão curricular actual são apresentados na disciplina de Estruturas Metálicas, são fundamentais (principalmente o Estático) para a boa compreensão das metodologias de dimensionamento e verificação da segurança das estruturas e, em particular das Estruturas de Betão. Finalmente refira-se que no ano lectivo 2014/2015 os docentes que acompanharão a disciplina são: José N. da Camara (Coordenador da disciplina) Eduardo Júlio João F. de Almeida António Costa Rui Rodrigues IST, Setembro de 2014

4 ÍNDICE 1 INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DO BETÃO ESTRUTURAL Elemento de betão sem inclusão de armaduras Elemento de betão armado Cálculo das tensões numa secção após fendilhação Cálculo do momento de cedência da secção Diferença do comportamento secção/estrutura 10 2 CONCEITO DE SEGURANÇA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS Objectivos de segurança na engenharia estrutural em geral Filosofia adoptada na verificação da segurança em relação aos Estados Limites Últimos Filosofia adoptada na verificação da segurança em relação aos Estados Limites de Utilização 16 3 MATERIAIS Caracterização dos betões Tensões de rotura do betão Módulo de elasticidade do betão Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão fc Caracterização das armaduras Classificação das armaduras para betão armado 26 4 VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA À ROTURA POR FLEXÃO Relações tensão-extensão dos materiais para verificação da segurança aos E.L. Últimos Betão AÇO Análise da secção. Método Geral Método do diagrama rectangular Cálculo de M RD Resistência à flexão simples com o aumento de armaduras Dimensionamento à Flexão Simples Grandezas Adimensionais Método Geral Grandezas adimensionais Método do Diagrama Rectangular Simplificado Grandezas adimensionais Utilização de Tabelas Determinação da capacidade resistente (Análise) Dimensionamento de armaduras Estimativa do Momento Resistente Parâmetros que influenciam o valor do Momento Resistente Dimensionamento de secções com outras formas 49

5 4.8.1 Largura efectiva de uma secção em T Avaliação da largura efectiva Dimensionamento de secções em T por tabelas Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento à flexão simples 53 5 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS Recobrimento das armaduras Distância livre entre armaduras (s) Agrupamentos de armaduras Dobragem de varões Posicionamento das armaduras Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras Disposições construtivas em vigas Armaduras longitudinais de flexão Quantidades mínima e máxima de armadura Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade 62 6 INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETÃO Análise Elástica seguida de Redistribuição de Esforços Aplicação directa do cálculo plástico (Teorema estático) Exemplos de Aplicação Prática da Não Linearidade na Verificação da Segurança das Estruturas 69 7 ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO Comportamento elástico e modelo de comportamento na rotura ao Esforço Transverso Possíveis modos de rotura e verificações de segurança correspondentes Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de extremidade Armadura longitudinal no vão Apoio de continuidade Disposições das armaduras transversais Espaçamento entre estribos e sua pormenorização Amarração de Armaduras Comprimento de amarração Comprimento de emenda Armadura de Ligação Banzo-Alma Armadura de suspensão Carga distribuída aplicada na parte inferior da viga Apoios indirectos Transmissão de Cargas concentradas próximas dos apoios Armadura Inclinada Secções com Largura Variável Forças de Desvio Torção 128

6 Torção de equilíbrio Torção de compatibilidade Torção analisada como esforço transverso Dimensionamento das paredes sujeitas a um esforço transverso Efeito conjunto Torção / Esforço Transverso Disposições construtivas relativas a armaduras de torção Armadura transversal Armadura longitudinal Dimensionamento Conjunto da Secção DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO Introdução Mecanismos de Deterioração Deterioração por Corrosão das Armaduras Deterioração do betão Ambiente de Exposição Período de Iniciação e Período de Propagação Metodologia para a Garantia da Durabilidade Outros aspectos importantes para a garantia da durabilidade das construções Manutenção, Inspecções e Eventuais Reforços VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO (ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO SLS) Introdução Verificação aos Estados Limites de Utilização Acções Materiais Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de utilização Efeitos diferidos no tempo do betão Fluência Retracção Estado Limite de Abertura de Fendas Mecanismo da fendilhação E ABERTURA DE FENDAS Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação Limitação das tensões em serviço Armadura mínima Tracção Flexão Limites admissíveis de fendilhação relativos ao aspecto e à durabilidade Controlo da fendilhação sem cálculo directo (EC2) Estado Limite de Deformação Limites de Deformação 208

7 Questões na Avaliação e na Limitação da deformação Avaliação directa da deformação Cálculo da curvatura em estado I Cálculo da curvatura em estado II Cálculo das deformações Método Bilinear VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL NÃO DESPREZÁVEL Flexão Composta e Desviada Resistência à flexão composta Diagramas de deformações na rotura Determinação dos esforços resistentes Flexão Desviada Rotura convencional Determinação dos esforços resistentes Disposições construtivas de pilares Armadura longitudinal Armadura longitudinal Armadura transversal VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES ISOLADOS AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS Comportamento de elementos esbeltos Esbelteza Imperfeições geométricas Excentricidade inicial Importância dos Efeitos de 2ª ordem e tipos de rotura associados Consideração dos efeitos de 2ª ordem Métodos de análise simplificados Método da curvatura nominal Método da rigidez nominal Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura ESTRUTURAS EM PÓRTICO Classificação das estruturas Comprimento de encurvadura Efeitos das imperfeições geométricas em estruturas porticadas ou mistas Efeitos de segunda ordem em pórticos Verificação da segurança de pórticos contraventados Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados 273 Bibliografia de referência 281

8 1 Introdução ao Comportamento do Betão Estrutural Nesta introdução ao comportamento do betão armado resume-se de uma forma simplificada, mas muito abrangente, as principais características do seu funcionamento em flexão. É importante que, desde logo, se compreenda o essencial das características da resposta do betão estrutural e se as enquadre na base do aprendido anteriormente no curso, em particular, na disciplina de Resistência de Materiais. Iremos começar por discutir o comportamento de uma peça de betão simples e, depois introduzir as armaduras em aço, que vêm dar conteúdo e eficiência a este material compósito que, durante o Seculo XX e até à actualidade, tem sido o responsável pelo desenvolvimento das infra-estruturas que sustentam todo o nosso modo de organização da sociedade. Comecemos por referir algumas notações correntes na engenharia de estruturas, em geral, e no betão estrutural, em particular, que são internacionalmente aceites. Notações: f resistência do material f c tensão de rotura do betão à compressão f ck tensão característica de rotura do betão à compressão f ct tensão de rotura do betão à tracção E c módulo de elasticidade do betão f y tensão de cedência do aço f yk tensão característica de cedência do aço f u tensão de rotura do aço E s módulo de elasticidade do aço 1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS Considere-se a viga de betão simples ilustrada na figura seguinte, bem como os diagramas de esforços correspondentes a uma carga pontual genérica P aplicada a meio vão. 1

9 P P/2 P/2 DEV P/2 (+) (-) P/2 DMF (+) PL/4 Como se sabe, o maior momento flector ocorre a meio vão, estando, na hipótese de comportamento elástico, esta secção sujeita ao seguinte diagrama de tensões normais: h/2 h/2 G 2 M Tensões: = M y I c em que W c = I y máx ; máx = M W c (módulo de flexão) y 1 Para uma secção rectangular, W c = b h h = b h2 6 Para um determinado nível de carga P ocorrerá uma fenda, com início na região mais traccionada da peça, ou seja na parte inferior da secção de meio vão (por ser a secção submetida a um momento flector maior) e, na sequência, a rotura da viga. De facto, a partir do início da formação da fenda deixa de ser possível existir uma distribuição de tensões na secção que equilibre o momento aplicado. Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e cargadeslocamento que ilustram o comportamento desta viga, desde o início do carregamento até à rotura, verificando-se que esta é frágil. 2

10 a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento M P EI (rigidez de flexão) 1/ R Este comportamento resulta da lei de comportamento do material betão: fc (20 a 80 MPa) Índice c concrete Ec (30GPa) f c tensão de rotura do betão à compressão fct (2 a 5 MPa) 3.5 f ct tensão de rotura do betão à tracção E c módulo de elasticidade do betão Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um material que possui um bom comportamento e resistência à compressão, com uma resposta quase linear para níveis de tensões baixos a médios, e uma baixa resistência à tracção (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistência à compressão). Esta última característica é responsável pela rotura do betão simples, como ilustrado no exemplo anterior, e pela formação de fendas no betão armado, como se irá estudar na disciplina. Cálculo do momento de fendilhação Admita-se que: f ct = 2.0 MPa E, como, = M W c = M v I c e W c = bh 2 6 (para uma secção rectangular) O momento de fendilhação pode ser avaliado pela expressão: M cr = f ct W c = = 16.7 knm A carga P, que está associada ao momento de fendilhação, pode ser estimada, para aquela estrutura e carregamento, através da seguinte relação: M cr = PL 4 P = 4M cr L = = 13.4 kn 3

11 Conclusão: Uma viga de betão simples não explora, minimamente, a capacidade resistente do material em compressão, pois a máxima tensão que se pode mobilizar é igual, ou da mesma ordem de grandeza, da resistência à tracção. O comportamento fica, assim, associado a uma baixa capacidade de carga, condicionada pelo aparecimento de uma fenda, e, na sequência, uma rotura frágil. Solução: Introduzir um material com boa resistência à tracção nas regiões onde é necessário, ou seja, nas zonas traccionadas das peças. Ao se adoptar aí armaduras de aço explora-se muito melhor a capacidade resistente do elemento de betão, pois passa a haver a possibilidade de equilibrar compressões mais elevadas no betão através das tracções que passam a se poder mobilizar nas armaduras. Além disso, por via da ductilidade associada ao aço, temos também um comportamento dúctil na rotura. Tem-se, assim, o Betão Estrutural (betão + armaduras de aço). Esta análise realizada para um elemento de betão simples submetido à flexão pode, e deve, ser equacionada, pelos alunos, para a situação mais simples da Resistência dos Materiais que é a de um tirante (esforço axial simples) ELEMENTO DE BETÃO ARMADO Analisemos, então as principais características do comportamento do betão armado resultante da introdução das armaduras de aço nas peças de betão. O aço é um material dúctil com uma boa resistência à tracção, mas também à compressão (ver figura seguinte). Por outro lado, a sua disposição em varões permite um bom envolvimento pelo betão e, consequentemente, condições para uma boa aderência entre os materiais. (200 a 800 MPa) fu fy Es (200GPa) Índice y yeld (cedência) 2.5 a 10% f y + f y - fy Com a introdução destas armaduras no betão obtém-se um comportamento conjunto com boa ligação e extremamente eficiente em termos da resposta estrutural. De facto, 4

12 com o aparecimento de fendas nalgumas secções de betão, as tracções passam, no essencial, para as armaduras, o que permite garantir o equilíbrio da secção para um nível de cargas muito superior. Este aspecto será, desde já, clarificado no parágrafo 1.3. Entretanto, é importante desde já percepcionar as características globais da resposta, que é claramente não linear, de um elemento de betão armado. Nas figuras seguintes podem observar-se diagramas tipo, de momentos-curvaturas médias e cargadeslocamento, respectivamente, para elementos e estruturas de betão armado, desde o início do carregamento até à rotura. Verifica-se que, com o início das fendas (1), há alguma perda de rigidez mas que a capacidade resistente máxima só se atinge para cargas superiores depois de verificada a cedência das armaduras (2) e explorada, depois, a ductilidade (3). A cedência da armadura corresponde a se atingir o momento de cedência da secção, sendo que, a partir daí, o momento na secção só pode aumentar devido a um incremento residual da tensão do aço entre o valor de cedência e o último, ou um ligeiro aumento do braço devido a uma acomodação das compressões mais junto às fibras extremas da secção. Entretanto o elemento de betão armado pode continuar a aumentar a curvatura, com um comportamento característico de um material dúctil. Ao longo desta disciplina analisar-se-ão estas características do comportamento e o seu enquadramento nas disposições regulamentares para assegurar os níveis de segurança e de qualidade de comportamento necessários. a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento M (1) I II (2) (3) P (1) (2) (3) (1) - fendilhação do betão (2) - cedência das armaduras (3) - rotura 1/ R CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO Na sequência, analisa-se, primeiro, um conceito importante no betão estrutural que é o de que as quantidades de aço devem assegurar, pelo menos, a substituição das tracções que se libertam a quando da abertura de uma fenda, e depois, a avaliação de tensões numa secção fendilhada. Também nesta análise é importante que o aluno faça o paralelo com a situação equivalente da tracção simples. 5

13 Para se compreender estes aspectos do comportamento comecemos por analisar a resposta à flexão de uma secção de betão armado, tomando-se o exemplo seguinte: Admita-se: d 0.50 A s = 10.0 cm 2 d = 0.45 m (altura útil da armadura) E c = 30 GPa 0.20 E s = 200 GPa (i) Avaliação simplificada da quantidade de armadura mínima necessária para substituir o papel das tracções no betão quando se forma uma fenda (Análise em Estado não fendilhado - Estado I desprezando as armaduras, como é razoável, em geral, em termos práticos) A força de tracção disponibilizada pelas armaduras deve ser superior à força de tracção no betão que se liberta quando se forma a fenda, tal que, de uma forma simplificada (admitindo f ct = 2MPa e f y = 400 MPa): Fc F s F ct A s, min f y b h f ct Fct h/2 A s, min = 1.25 cm 2 b fct (antes de fendilhar) (Refira-se que no exemplo apresentado a armadura admitida é superior a este valor, pois: A s = 10cm 2 >> 1.25cm 2 ) Vejamos, agora, a avaliação da distribuição de tensões numa secção fendilhada (denominada por Estado II) de acordo com as hipóteses usualmente admitidas. (ii) Cálculo do estado de tensão nas secções, após a fendilhação do betão Hipóteses consideradas para o denominado Estado II O betão não resiste à tracção As secções mantêm-se planas após a fendilhação 6

14 LN x d c (-) c (Fc) z M cr (+) s s (Fs) b Cálculo da posição da linha neutra Através da determinação do centro de gravidade da secção homogeneizada, x = A i x i A i = bx x/2 + A s E s /E c d bx + A s E s /E c x bx + A s E s E c = bx x 2 + A s E s E c d bx 2 + A s E s E x = bx2 c 2 + A s E s E c d bx2 2 = A s E s E c (d - x) (equação que traduz a igualdade de momentos estáticos) Para a secção em estudo, 0.2x 2 2 = x ( x) 0.1x x = 0 x = m z (braço das forças resultantes) = d - x 3 = = 0.40 m Avaliemos, agora para o momento de fendilhação, anteriormente estimado (parágrafo 1.1) a distribuição de tensões na secção, após fendilhação: Cálculo da tensão no betão ( c ) Por equilíbrio: M cr = F s z = F c z =16.7 knm F c = M cr z = = 41.8 kn F c = c x b 2 c = 2F c bx = = 2923 kn/m2 2.9 MPa Cálculo da tensão nas armaduras ( s ) F s = s A s s = F s A s = = kn/m 2 = 41.8 MPa 7

15 Cálculo das extensões máxima no betão e nas armaduras ( c e s ) c = c E = 2923 c = = E s = s E = s = 0.2 ou c s = x d - x s = d - x x c = = 0.2 c = LN (-) M = 16.7 knm (+) s = [MPa] Verifica-se que, para a quantidade de armadura da secção (10 cm 2 ), bastante superior à mínima estimada (1.25cm 2 ), o nível de tensões nas armaduras (41.8 MPa), depois de se formar a fenda, é muito inferior ao da cedência característica (400MPa), ou seja, há, neste caso uma reserva muito grande até se atingir a cedência. Avaliemos agora, para este exemplo, as curvaturas das secções depois e antes da fendilhação. Cálculo da curvatura em Estado II 1 R = c + s d = = m -1 Curvatura em Estado I, sem considerar as armaduras: 2.0 c (-) M = 16.7 knm c = c E c = = [MPa] (+) c 1 R = = m -1 8

16 Verifica-se, assim, que, para esta secção e com esta armadura, se verifica uma perda de rigidez considerável quando se perde a participação do betão traccionado, de: 1/R II 1/R I 2.5. Refira-se que este valor seria maior ou menor consoante a quantidade de armadura adoptada fosse, respectivamente, inferior ou superior aos 10 cm2 considerados. Estas curvaturas podem ser directamente calculadas dividindo o momento pelas rigidezes homogeneizadas, se for o caso, nos referidos Estados I e II, tal que: Estado I sem considerar as armaduras: 1 R c = M E c I c Estado I com consideração das armaduras: 1 R = M E c I Estado II: 1 R = M E c I M Ec I I II Ec I Ec I 1/R I c, I e I, são, respectivamente, a inércia de secção só de betão, de betão e armaduras homogeneizada no betão em situação não fendilhada (valor de I I c ) e fendilhada (I ) sem considerar o betão à tracção CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO Em estado II (secção fendilhada sem participação de betão à tracção) a linha neutra e a rigidez da secção é única, como avaliada anteriormente. Assim, a um acréscimo do momento flector irá somente corresponder um aumento de curvatura com consequente aumento de tensões, i.e., com o braço entre as resultantes das forças de compressão e tracção a se manter constante. c c1 c2 (-) LN M (+) s s1 s2 M1 M2 M1 9

17 A continuação da aplicação do momento M conduz, portanto, ao aumento das tensões nas fibras, proporcionalmente ao momento. No entanto, para níveis superiores de carga, pode o betão entrar numa região de comportamento com alguma não linearidade. c1 c2 Fc Fc LN LN z1 M 1 M 1 M2 z2 M 2 Fs1 Fs2 A variação do braço é, no entanto, pouco significativa (z 1 z 2 ), pelo que a avaliação do momento de cedência se pode fazer tomando para a força F a força correspondente à cedência das armaduras, tal que: M y z F y com F y = A s f sy Em que z é o braço atrás determinado. Cálculo do momento de cedência da secção s = f y = 400 MPa F y = = 400 kn z = 0.40m M y = = 160 knm Verifica-se que, para esta secção, a diferença entre os momentos de fendilhação e de cedência é significativa, de 16.7 knm para 160 knm, o que mostra bem o papel das armaduras DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO/ESTRUTURA As estruturas são compostas por inúmeras secções sendo que só algumas fendilham. Nestas secções há uma perda brusca de rigidez (aumento de deformação significativo), como mostra o gráfico a), corresponde à passagem do Estado I ao II. No entanto, considerando o comportamento médio de um elemento estrutural (como o representado na direita da figura), vai-se verificar uma diminuição mais gradual da rigidez média (gráfico b)). A razão é simples: em termos médios teremos secções efectivamente fendilhadas, mas entre estas haverá outras com o betão traccionado, portanto menos deformáveis. 10

18 a) Secção b) Elemento I II M I II My Mcr (1) (2) (3) My Mcr (1) (2) (3) R 1/R M M Este efeito de atenuação da importância da perda de rigidez, a quando da fendilhação, é ainda mais notório, quando se analisa a resposta da estrutura no seu conjunto. De facto, ao nível da deformação global da estrutura, não se chega a notar um aumento pontual da deformação. Verifica-se, isso sim, uma diminuição da rigidez para cargas superiores ás do início do processo de formação de fendas (zona do diagrama cargadeslocamento de (1) para (2)) ver figura seguinte. Nesta relação, a perda de rigidez por abertura de fendas numa ou noutra secção, dilui-se em termos da resposta global, mas, mesmo assim, com implicações na deformação da viga. P (1) (2) (3) Para níveis de carga superiores a zona da viga passível de ter fendas é aquela em que os esforços sejam superiores aos de início da fendilhação, como se mostra na figura seguinte. P DMF Região onde ocorre fendilhação para Pmáx Mcr Mmáx Refira-se que, como referido anteriormente, à medida que se verifica o incremento de carga as tensões nos materiais aumentam até que se atinge, em princípio na secção mais esforçada, a cedência do aço, ou seja o momento de cedência - (ponto (2) dos 11

19 diagramas). Este nível de carga corresponde, grosso modo, à capacidade máxima da secção, verificando-se, a partir daí, só um ligeiro aumento até ao momento último, associado a um grande aumento de deformações. É a zona de comportamento associada à exploração da capacidade última da secção à flexão, que se verifica, em geral, com desenvolvimento de uma resposta dúctil. Evidentemente que, em estruturas hiperstáticas, as zonas principais das estruturas não entram, em geral, simultaneamente em cedência. Assim, a partir do seu início numa determinada secção, há lugar, ainda, para incrementos de carga até se mobilizar a capacidade máxima da estrutura. 2 Conceito de Segurança no Dimensionamento de Estruturas O conceito de segurança a exigir às estruturas não é obviamente específico ao betão estrutural, sendo aplicado a estruturas construídas em qualquer material, em particular às estruturas metálicas e/ou mistas (betão/aço). Na sequência, apresenta-se um resumo dos princípios fundamentais das metodologias de verificação da segurança que reputamos essencial, nesta fase da aprendizagem dos alunos, para se compreender o enquadramento das preocupações dos engenheiros na concepção e projecto das Estruturas de Betão. 2.1 OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL Há dois objectivos fundamentais a considerar pelos engenheiros de estruturas para assegurar, à sociedade em geral, um nível de segurança adequado às construções. Seguidamente referem-se esses dois objectivos gerais, particularizando-se, para cada um deles, o tipo de verificações em causa. 1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situação de serviço, ou seja, na sua utilização corrente Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos Estados Limite de Utilização: Limitar a deformação (Para as estruturas, em geral, e não só de betão) De acordo com as recomendações mais recentes, e para o caso de pisos de edifícios, a deformação final ou o incremento de deformação após a execução de paredes de alvenaria, deve ser limitada, para as acções com carácter de permanência, respectivamente, a: serviço admissível L 250 ou L

20 Trata-se no primeiro caso de uma questão de aspecto e funcionalidade e no segundo caso para evitar fendas nas alvenarias que não conseguem, a partir de um certo ponto, acompanhar a deformação da sua base de suporte sem fendilharem. Limitar o nível de tensões máximas no betão e no aço Segundo as disposições regulamentares mais recentes o nível máximo das tensões no aço e no betão deve ser limitado, em serviço. Estes limites dependem do tipo e nível das acções, como se verificará no curso. Controlar as aberturas de fendas (Aspecto claramente específico ás estruturas de betão armado): serviço admissível (0.2 a 0.4mm) Sendo a existência de fendas uma situação normal no Betão Armado, há que limitar a sua abertura, em geral, para um nível de acções com carácter de permanência. Esta necessidade advém, de razões de aceitabilidade estética e, em ambientes mais agressivos, para não serem veículo de um processo mais rápido de degradação do betão estrutural (questão de durabilidade, como se verá no curso). Garantir um adequado comportamento dinâmico (estruturas em geral) Este aspecto da verificação do comportamento em serviço das estruturas, só será analisado na disciplina de uma forma indirecta, devendo ser aprofundado posteriormente no curso. No fundo trata-se de controlar as frequências próprias de vibração das estruturas, de tal forma a evitar situações de ressonância com a frequência das acções. Exemplo: Nas pontes de peões verificar que a frequência principal de vibração vertical da estrutura não se aproxima da frequência da excitação, neste caso, as cadências dos passos dos utilizadores. 2) Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas situações de rotura (rotura local ou global da estrutura) Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos Estados Limite Últimos Para além de assegurar um comportamento adequado da estrutura nas condições da sua utilização, o engenheiro de estruturas tem de, com um nível de confiança muitíssimo superior, poder garantir que não há possibilidade de qualquer tipo de rotura, seja localizada, por falta de capacidade resistente, como numa peça linear, por: 13

21 Tracção ou Compressão Flexão Esforço Transverso Torção Qualquer combinação destas Zonas particulares de apoios e/ou introdução de cargas Seja global, por perda de equilíbrio conjunto da estrutura, como o derrubamento de um muro de suporte. As características de comportamento do betão estrutural, próximo da rotura, e as hipóteses admitidas para avaliação das capacidades resistentes dos elementos estruturais, acima referidas, e das estruturas, no seu conjunto, serão analisadas nos Capítulos seguintes. 2.2 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS Para garantir o objectivo acima enunciado, da não rotura, a regulamentação das estruturas, em geral, tem vindo a introduzir, a partir dos anos 60, uma filosofia de segurança que, tendo em conta a variabilidade das características dos materiais, do valor das acções e da avaliação da resposta estrutural, assegura uma probabilidade de rotura de 1 x 10-5, ou seja, quase nula. Este formato baseia-se, de uma forma simplificada, na avaliação de valores característicos para os materiais e acções, e ainda à adopção de coeficientes parciais de segurança adequadamente definidos. Vejamos, então, com algum pormenor, essa valoração. 1) Definição de valores característicos para: Valores das acções S sk (95% de probabilidade de não serem excedidos) Resistências dos materiais S Rk (95% de probabilidade de serem superiores). 2) Adopção de coeficientes de segurança parciais que: Majorem as cargas, consoante o tipo de acção: Acções permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida g = 1.0 ou 1.35 (consoante a acção for ou não favorável) 14

22 Acções variáveis: variam durante a vida útil da estrutura (ex: sobrecarga, vento, sismo, variação de temperatura, etc.) q = 0.0 ou 1.5 (consoante a acção for ou não desfavorável) Acções acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrência durante a vida útil da estrutura (ex: explosões, choques, incêndios, etc.) a = 1.0 Minorem as resistências dos diferentes tipos de materiais: Armaduras ( s = 1.15) Betão ( c = 1.5) Exemplo: f yd = f yk s ; f cd = f ck c 3) Estabelecimento de combinações de acções, conforme especificado no RSA Exemplo: S sd = g S g + q (S q + 0i S qi ) ( 0i 1 coeficiente de combinação da acção variável i) S q acção variável de base S qi restantes acções variáveis 4) A avaliação dos efeitos das acções na estrutura é usualmente realizada com base numa análise elástica linear da mesma, mas com as eventuais/necessárias adaptações para ter em conta, nas estruturas hiperstáticas, o efeito do comportamento não linear do betão estrutural (como constatado nos parágrafos anteriores). Com base nos modelos estruturais adoptados há, então, que avaliar os efeitos das acções. Tem-se, por exemplo, para a flexão, os denominados momentos de cálculo ou dimensionamento, que, para o caso de uma única carga variável, corresponde a: M sd = g M g + q M q 5) A avaliação das capacidades resistentes (forças ou esforços) depende da geometria do elemento, das características dos materiais e do tipo de esforço. Por exemplo para o momento resistente, como vimos anteriormente, teremos, de uma forma simplificada, : M Rd = A s f yk 1.15 z. No Capítulo seguinte a avaliação deste valor será detalhadamente apresentada. 6) Verificação da condição de segurança geral: S Sd S Rd Exemplo para os momentos: M sd M Rd 15

23 No caso do exemplo anterior, e considerando só a sobrecarga ( q = 1.5), tem-se (tomando o braço de forças, z, avaliado para o comportamento elástico): M = PL 4 M sd = 1.5 P 5 4 M Rd = Donde resulta, como valor de carga que pode ser aplicada à estrutura, com um nível de segurança adequado em relação à rotura por flexão (ou seja, verifica a segurança ao Estado Limite Último de Flexão): P 74.2 kn O procedimento de verificação da segurança acima resumido pode ser ilustrado com base nos diagramas de distribuição probabilística dos efeitos das acções e da avaliação das resistências, como indicado na figura seguinte. A partir de valores característicos, superiores e inferiores, respectivamente para as acções e materiais, majoram-se e minoram-se esses valores, com coeficientes parciais de segurança, para só depois estabelecer a condição de segurança. Percebe-se que a margem de segurança disponível que se obtém com este procedimento é muito grande. Repare-se na diferença entre os valores médios expectáveis das acções e das resistências. No entanto, a justificação da garantia da probabilidade de não rotura ser de 1 x 10-5,como acima referida, está fora do âmbito destas folhas, e desta disciplina. Ssm Ssk Ssd SRd SRk SRm Acções ou efeitos das acções Resistência 2.3 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Para assegurar o comportamento adequado nas condições de serviço, pretende-se avaliar, agora, tão bem quanto possível, a resposta efectiva da estrutura quando em utilização. Com esse objectivo faz sentido tomar valores de acções que se esperam efectivamente actuem a estrutura (e não valores característicos superiores e/ou majorados) e valores médios para o comportamento dos materiais (certamente que não valores característicos inferiores e/ou minorados). 16

24 Esta formulação conduz a que a probabilidade de serem excedidos os valores admissíveis seja da ordem de 1 x Vejamos então, em termos práticos, com que bases se fazem estas verificações: 1) Definição dos valores da acção que actuam na estrutura adoptando, por um lado, para os pesos próprios dos materiais estruturais e/ou de outros revestimentos utilizados densidades médias e, por outro lado, valores de sobrecargas com probabilidades reais de virem a actuar as estruturas (percentagens mais pequenas do valor característico têm mais probabilidade de ocorrerem). 2) Estabelecimento de combinações de acções, conforme preconizado no RSA: Combinação quase permanente de acções: Estado limite de longa duração ( 50% do tempo de vida da estrutura) S cqp = G + 2i Q i Combinação frequente acções: Estado limite de curta duração ( 5% do tempo de vida da estrutura) S freq = G + 1 Q + 2i Q i Combinação característica: Estado limite de muito curta duração (algumas horas no período de vida da estrutura) S raro = G + Q + 1i Q i 2 < 1 < 1.0) Q acção variável de base Q i restantes acções variáveis 3) A avaliação dos efeitos das acções deve ser realizada considerando, em geral, as propriedades médias dos materiais por forma a estimar o comportamento previsível. É importante referir que, para o efeito de cargas exteriores a hipótese de comportamento linear é razoável e usual, para a obtenção de esforços, mas já não é para avaliação das deformações, a menos que, convenientemente, corrigidas. Por outro lado, devido a deformações impostas à estrutura, a grandeza dos esforços depende fortemente da rigidez da estrutura, e, então, a rigidez elástica deve ser diminuída, logo na avaliação de esforços. É, portanto, necessário considerar, de uma forma simplificada, os efeitos da fendilhação (perda de rigidez) e da fluência do betão nas características da resposta e na forma de avaliar os efeitos das acções. Estes assuntos irão os alunos analisar ao longo do curso. 4) Posteriormente há que fazer as verificações de segurança, atrás mencionadas, como a limitação da deformação, o controlo do nível de tensões nos materiais e o controlo das aberturas de fendas. Estas verificações são estabelecidas nos 17

25 regulamentos, para certas combinações de acções. Refira-se que um certo limite é dependente da duração de tempo em que possa subsistir. Por exemplo, para o caso da deformação, é importante garantir a sua limitação para a situação quase-permanente, mas não para a eventualidade de, numa ou várias situações na vida da estrutura, se ter uma sobrecarga maior. Assim: combinação quase permanente admissível Por outro lado, uma abertura de fendas máxima de 0.5 mm pode ser considerada aceitável para a combinação característica de acções, pois só acontece muito esporadicamente, mas não para uma situação com carácter de permanência, em que se aponta na regulamentação para um limite de 0.3 mm. 18

26 EXERCÍCIO 1 Considere a estrutura de um piso estrutural, que será tomado como referência nos capítulos seguintes, a construir com os materiais indicados e as acções previstas referidas, e que se representa na planta seguinte: Materiais: C25/30, A Acções: Peso próprio Revestimento=2.0 kn/m 2 Sobrecarga = 3.0 kn/m S2 Coeficientes de majoração: G = Q = 1.5 S1 Coeficientes de combinação: 1 = 0.4 ; 2 = Secção da viga: m 2 Espessura da laje: 0.15m a) Determinar, para as secções S1 e S2 da viga, os valores dos esforços, para a verificação da segurança à rotura. b) Calcular, para as mesmas secções, os esforços para as combinações em serviço, rara, frequente e quase-permanente. 19

27 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO No processo de verificação da segurança de uma estrutura é fundamental encontrar um modelo de análise da estrutura, que nunca deve ser confundido, com a própria estrutura. Trata-se, no essencial, de um modelo da estrutura que serve de base para a análise, dimensionamento e verificação de segurança, neste caso da viga central em causa. 1. Modelo de cálculo: Modelo para o cálculo da viga Corte transversal à viga S2 S g, q rev, q Comentários ao modelo de cálculo, escolhido, com algumas simplificações: Consideram-se as vigas sem continuidade na ligação aos pilares; Considera-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais. 2. Cálculo das acções na viga 2.1. Carga permanente Peso próprio pp = betão Área = [ ( ) 0.30] 25 = 20.3kN/m Revestimento rev = = 8.0kN/m cp = pp + rev = = 28.3kN/m 2.2. Sobrecarga sc = = 12.0kN/m 20

28 3. Diagrama de esforços para uma carga unitária (poder-se-ia considerar logo à partida considerar o valor das cargas) p=1 kn/m S2 S RA RB DEV [kn] 4.55 (+) 3.0 (+) x (-) DMF [knm] (-) (+) (i) Cálculo das reacções de apoio M A = 0 10 R B = 0 R B = 8.45kN F = 0 R A + R B = 13 R A = = 4.55kN (ii) Cálculo do momento flector a ½ vão M B = = - 4.5kN/m M ½vão = (iii) Cálculo do momento flector máximo = 10.0 x pl 2 /8 = 10.25kNm L/2 L/2 x = 4.55m M máx = = 10.35kNm M ½vão M máx 21

29 ALÍNEA A) Secção S1 M S1 G M S1 Q = = knm MS2 = = - 54 knm MS2 Secção S2 G Q = = knm = = knm V S1 G V S1 Q = = kn = = 65.4 kn Valores de cálculo dos esforços M S1 sd = 1.5 ( M S1 G + MS1 Q ) M S2 sd = 1.5 ( M S2 G + MS2 Q ) V S1 Sd = 1.5 ( V S1 G + VS1 Q ) = 1.5 ( ) = knm = 1.5 ( ) = knm = 1.5 ( ) = kn Consideração de alternância de sobrecarga A sobrecarga, sendo uma acção variável, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para cada caso, há que verificar a hipótese de carga mais desfavorável. Chama-se, desde já a atenção, para que na consola e sobre o apoio adjacente, os esforços só dependem das cargas na própria consola e, portanto, os valores máximos são os avaliados anteriormente. Por outro lado, se se considerar apenas a actuação da sobrecarga no tramo apoiado, o momento flector obtido a meio vão desse tramo será superior ao calculado considerando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculo anterior). Deste modo, q g M S2 Q = = 150 knm ; M S2 G M S2 sd = 1.5 ( ) = 660.2kNm = = knm 22

30 Refira-se que, sendo a viga isostática, a distribuição de esforços para uma qualquer combinação de acções é única. Ora isto é diferente do que acontece nas estruturas hiperstáticas onde são possíveis distribuições de esforços distintas que equilibram as mesmas acções... e que são compatíveis com o comportamento, efectivamente não linear, dos materiais. Alínea b) Secção S1 M c rara = M G + M Q = = kNm M cfreq = M G + 1 M Q = = kNm M cqp = M G + 2 M Q = = 138.2kNm V c rara = V G + V Q = = 219.6kN V cfreq = V G + 1 V Q = = kN V cqp = V G + 2 V Q = = 167.3kN Secção S2 M c rara = M G + M Q = = 413.1kNm M cfreq = M G + 1 M Q = = 339.3kNm M cqp = M G + 2 M Q = = 314.7kNm Verifica-se também que o nível de esforços considerados para a verificação da segurança à rotura são significativamente superiores aos correspondentes das combinações de acções em serviço, e que estes últimos são tão menores, quão a probabilidade de ocorrência seja maior. 23

31 3 Materiais 3.1 CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES O betão tem como referido anteriormente, e os alunos certamente saberão nesta fase do curso, um comportamento não linear. Ou seja, tem uma relação tensão-extensão que não segue a lei de Hook, em particular para tensões mais elevadas. Como se verá na sequência, até certos níveis limitados de tensão, é razoável admitir o comportamento como linear. Os betões são, em termos regulamentares, classificados por classes de resistência, como certamente analisaram na disciplina de materiais. As classes de resistência estão definidas de acordo com os valores característicos de tensão de rotura à compressão aos 28 dias de idade, referidos a provetes cúbicos ou provetes cilíndricos, apesar destes últimos serem aqueles que se consideram como referência na avaliação da segurança estrutural. No quadro seguinte apresentam-se, para as várias classes de resistência do betão, os valores característicos e de cálculo das tensões de rotura à compressão (f ck e f cd ), bem como o valor médio da tensão de rotura à tracção (f ctm ) e módulo de elasticidade aos 28 dias (E c, 28 ). Classe B15 C12/15 B20 C16/20 B25 C20/25 B30 C25/30 B35 C30/37 B40 C35/45 B45 C40/50 B50 C45/55 B55 C50/60 cub f ck cil [MPa] f cd [MPa] f ctm [MPa] E c,28 [GPa]

32 3.1.1 TENSÕES DE ROTURA DO BETÃO A partir dos valores característicos das tensões de rotura à compressão ou à tracção, definem-se os valores denominados de dimensionamento ou de cálculo à rotura: f cd = fcil. ck c, f ctd = f ctk c com c = 1.5 ( f cil. ck 0.8 fcubos ck ) O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção pode ser estimado pela expressão: f ctm = 0.30 f 2/3 ck Nota: o valor de f cd é definido a partir da resistência em cilindros, dado que estes provetes são mais representativos da resistência do betão em peças longas MÓDULO DE ELASTICIDADE DO BETÃO Na análise de estruturas é usual admitir um comportamento elástico, como atrás já referido, considerando-se, em geral, o módulo de elasticidade secante do betão aos 28 dias de idade. Este módulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica, encontra-se definido para c = 0 e c = 0.4 f ck. Refira-se a propósito, que este tipo de hipótese é adoptada, na prática da engenharia, com muita frequência, considerandose, posteriormente, formas mais ou menos directas de ter em consideração o efectivo comportamento não linear do betão armado, quer em condições de serviço, quer, por maioria de razão, próximo da rotura. c fcm Ec 0.4 fck c VALOR CARACTERÍSTICO DA TENSÃO DE ROTURA DO BETÃO À COMPRESSÃO FC A partir de um certo número de resultados de ensaios, é possível avaliar o valor característico do betão. 25

33 Assim: f ck = f cm - S n, S n desvio padrão das resistências das amostras parâmetro que depende do número de ensaios n CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS As armaduras a utilizar no betão estrutural podem dividir-se em: armaduras para betão armado armaduras de pré-esforço As primeiras são também denominadas de armaduras passivas, pois só são solicitadas em resposta a acções exteriores. As armaduras de pré-esforço são compostas por aços com capacidade resistente da ordem de 3 a 4 vezes superiores às passivas e são chamadas de activas, pois são traccionadas antes da actuação das solicitações exteriores. Nestes elementos referem-se unicamente as primeiras pois o pré-esforço é introduzido na disciplina de Estruturas de Betão II CLASSIFICAÇÃO DAS ARMADURAS PARA BETÃO ARMADO Os aços são classificados tendo em consideração o processo de fabrico, a rugosidade da superfície e a sua capacidade resistente. Assim temos: processo de fabrico aço natural (laminado a quente) (N) aço endurecido a frio (E) aderência alta aderência (superfície rugosa ou nervurada) (R) aderência normal (superfície lisa) (L) resistência (A235), A400, A500 26

34 O aço A235 foi utilizado na construção em Portugal, em geral com varões lisos, mas já não é produzido actualmente. As armaduras designam-se, assim, com a seguinte simbologia base: Designação das armaduras: A500 N R SD f yk aderência processo de fabrico ductilidade especial Os aços de dureza natural A400 NR e A500 NR produzidos em Portugal, apresentam apenas duas famílias de nervuras ver figura abaixo. Nos aços A400 todas as nervuras de uma família são paralelas ao passo que no A500 as nervuras têm alternadamente inclinações diferentes, pelo menos de um dos lados. A diferenciação, entre aços com ductilidade especial (SD), recomendados em zonas sísmicas, e os correntes, é ilustrada na figura, sendo que, no essencial, os SD tem as mesmas nervuras nas duas faces. Tipo A400NR Tipo A500NR Tipo A400NR SD Tipo A500NR SD Identificação do tipo de aço Os aços endurecidos a frio (E) são produzidos por laminagem com impressão de um perfil nervurado, constituído por três famílias de nervuras dispostas em 3 planos. 27

35 4 Verificações de Segurança à Rotura por Flexão Para a avaliação das capacidades resistentes das secções de betão à flexão, no âmbito da filosofia de segurança em relação à rotura, começa-se por mostrar como se caracterizam os comportamentos dos materiais a adoptar naquela avaliação. Posteriormente, e a partir de hipóteses admitidas para a deformação da secção na rotura, mostra-se como se avaliam os esforços resistentes de flexão. 4.1 RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS E.L. ÚLTIMOS BETÃO A partir da relação tensão-extensão característica do betão, referida anteriormente, é definida uma relação simplificada, com base numa parábola e num rectângulo com um valor máximo de resistência, o qual é obtido do valor característico, pela aplicação do correspondente coeficiente parcial de segurança de 1.5. c fck f cd = f ck c, c = para 0 c c2 fcd c = f cd para c2 c cu2 Para as classes de resistência até C50/60, c2 [ ] cu2 [ ] c2 cu2 c (Diagrama parábola rectângulo) Para uma definição analítica detalhada destas curvas pode ser consultada bibliografia referida para a disciplina. Na avaliação do valor de f cd, para além do coeficiente parcial de segurança, aparece o coeficiente. Este parâmetro tem em consideração a diminuição da tensão de rotura do betão quando sujeito a tensões elevadas prolongadas. De facto, se o betão for solicitado com constância, durante um certo período de tempo, a uma tensão um pouco inferior à máxima (entre 85% a 100% de f c ) acaba por atingir a rotura. De acordo, por exemplo, com o REBAP, a tensão máxima no betão está limitada a 0.85 f cd, ou seja considerando = No entanto, o EC-2 propõe, para casos correntes, 28

36 1.0 f cd, pois nas condições de carregamento com persistência o betão estará, em geral, solicitado a níveis de tensões bem inferiores às acima referidas, tendo-se considerado demasiado penalizante tomar esse efeito na verificação da segurança à rotura. Na disciplina, e na prática da engenharia em geral no futuro, tenderá a utilizarse a hipótese proposta no EC2. No entanto, e para já, o mais importante é perceber a razão do sentido físico deste coeficiente AÇO Para a verificação da segurança aos E.L. Últimos pode ser considerada uma das duas relações constitutivas indicadas pelo EC-2, e presentes na figura seguinte, i.e., considerando ou não (hipótese muitas vezes admitida como simplificação) algum incremento de resistência a partir da cedência, quantificado pelo coeficiente k. k f yk s 2 f yd = f yk s, s = 1.15 f yk f yd k f yd ud = 0.9 uk 1 Classe f yk [MPa] f yd [MPa] yd [10-3 ] E =200 GPa s A A yd ud uk s A O valor da extensão máxima convencional do aço, ud (igual a 90% do valor característico uk ), a considerar depende da classe de ductilidade das armaduras. No quadro seguinte são indicados os valores característicos das extensões últimas, para as diferentes classes de ductilidade, que são da ordem dos 25 a 75, portanto, muito superiores aos do betão de 3.5. Classe de ductilidade A B C k <1.35 uk [%] Refira-se que o REBAP limita a 10 a extensão última convencional de dimensionamento, ud, valor claramente inferior aos acima referidos. No entanto, uma vez que para este valor de extensão, o aço se encontra bem na cedência, as 29

37 repercursões em termos da avaliação das capacidades resistentes à flexão, são praticamente nulas, como se verá no sub-capítulo seguinte. Em Portugal os aços são denominados por NR, ER ou NR SD, como referido em 3.2.1, onde é explicada a simbologia e a forma como se pode proceder à sua identificação superficial. Para a construção corrente é normal utilizarem-se ferros NR, sendo em zonas de maior sismicidade, a utilização de aços SD fundamental. Estas classificações actuais dos aços em Portugal, correspondem às características de ductilidade das classes B (NR) e C (NR SD) definidas no EC2 e acima mencionadas. 4.2 ANÁLISE DA SECÇÃO. MÉTODO GERAL Definidas as características dos materiais, a capacidade resistente à flexão simples, mas também à tracção e compressão isoladas e/ou estas em sobreposição com a flexão, resultam do estabelecimento das condições de equilíbrio e do estabelecimento das condições de deformação da secção e das condições limite. No que se segue vai se analisar a situação de flexão simples mas é importante que os alunos estabeleçam, por si, as situações de tracção e compressão simples. A flexão composta será tratada posteriormente no curso. Hipóteses adoptadas na rotura convencional de dimensionamento 1- Apesar da complexidade do estado de deformação do betão armado, próximo da rotura, a Hipótese de Bernoulli é considerada. 2- A situação última limite é atingida, quando se verifica uma das extensões últimas seguintes: - - c = 3.5 (Deformação máxima de encurtamento no betão) - s = ud (Deformação máxima de alongamento nas armaduras) 3- A participação do betão à tracção não é considerada: - c = 0 se c > 0 o betão à tracção tem tensão nula c 3.5 LN x (-) Fc z MRd (+) s ud Fs 30

38 Com base nas relações constitutivas dos materiais e das hipóteses anteriores, estabelecem-se as equações de equilíbrio na secção. Assim, se as expressarmos em função das resultantes das tensões de tracção e compressão, tem-se: Equações de Equilíbrio (sendo F s e F c as resultantes das tensões de tracção e compressão, respectivamente.): Equilíbrio axial (Esforço axial nulo): F s = F c Equilíbrio de momentos: M Rd = F s z 4.3 MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR Neste método simplifica-se a forma de distribuição das compressões no betão e despreza-se a participação do aço à compressão, o que permite resolver as equações anteriores, de forma simples. c fcd fcd c (-) x 0.8x fcd c Deste modo, LN x d c (-) 0.8x fcd Fc 0.4x z = d - 0.4x (+) s Fs CÁLCULO DE M RD Se forem conhecidos a geometria da secção, a quantidade de armadura e as resistências dos materiais, a avaliação da capacidade resistente segue os seguintes passos (trata-se um problema dito de análise pois a secção e armaduras estão totalmente definidas): i) Admitir que s = f yd ( s yd ), ou seja, que as armaduras estão em cedência ii) Determinar posição da linha neutra Por equilíbrio axial, F c = F s f cd A c (x) = A s f yd x =? 31

39 iii) Calcular o momento resistente Por equilíbrio de momentos, M Rd = A s f yd (d - 0.4x) iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: s yd Rotura convencional: c = 3.5 ou s = ud A partir da posição da linha neutra anteriormente calculada, se admitirmos que a rotura se dá pelo betão, obtém-se a extensão ao nível da armadura. c = 3.5 (-) (+) s x Se s yd a hipótese considerada inicialmente, de admitir o aço em cedência está correcta. Se s < yd F s < A s f yd, trata-se de uma situação não desejável pois nem se estaria a tirar partido da resistência máxima do aço. A posição da Linha Neutra para essa situação limite pode ser avaliada para os aços A400 e A500 por: Posição da LN para c = 3.5 e s = yd (início da cedência do aço) c = 3.5 A400: yd = 1.74 (-) x d x 3.5 = d x = 0.67 d A500: yd = (+) s=yd x 3.5 = d x = 0.62 d Deste modo, se x 0.67 d no caso de se utilizar aço A400, ou se x 0.62 d no caso de se utilizar aço A500, pode se concluir, desde logo, que o aço está em cedência. Por outro lado, conhecida a posição da Linha Neutra, é possível confirmar se a rotura convencional se dá pelo betão. Exemplifica-se, seguidamente, para aços das classes B (NR) e C (NR SD). Para um aço de Classe C: Posição da LN para c = 3.5 e ud = = 67.5 c = 3.5 (-) x d x 3.5 = d 71 x = 0.05 d (+) ud 32

40 Deste modo, se x < 0.05 d (situação pouco corrente) c < 3.5 s = ud (rotura pela armadura) se x > 0.05 d c = 3.5 s < ud (rotura pelo betão) Se tratasse de um aço de Classe B ter-se-ia para este limite x = d Constata-se, assim, que, para uma grande gama de possíveis posições da Linha Neutra, a rotura convencional dá-se pelo betão e o aço está em cedência. Esta diferenciação (rotura convencional pelo aço ou betão), nem é importante pois de qualquer maneira a capacidade máxima resistente do aço é explorada. No entanto, é importante no dimensionamento das secções de betão armado controlar melhor a posição da Linha Neutra por uma razão essencial: Um elemento de betão armado deve apresentar ductilidade em situação de rotura, i.e., deve poder evidenciar deformações apreciáveis por cedência das armaduras, sem perda de capacidade resistente. Esta característica é fundamental nas estruturas e, para tal, é importante assegurar valores x/d limitados, pois verifica-se, experimentalmente, que aquele é um parâmetro que influencia directamente a ductilidade do elemento. A Ductilidade ou Capacidade de Deformação Plástica das Secções é medida pela relação (1/R) u /(1/R) y, i.e., a relação entre as curvaturas última e de cedência, como ilustrado na figura seguinte. MRd As4 (x4;s4;menor ductilidade) As3 (x3;s3) As2 (x2;s2) (1) (2) As1 (x1;s1;maior ductilidade) cx = R (-) x As1 < < < As2 As3 As4 As (+) s (1) s=syd ( 1/R) y ( 1/R) ( ) (2) Rotura da secção por esmagamento do betão comprimido c 3.5 ) ou menos correntemente, por deformação de armaduras c ud) u 1/R 1 R = - cx x Para garantir um nível mínimo de ductilidade disponível deve procurar garantir-se que, pelo menos, x 0.4 a 0.5 d, portanto com x/d claramente na zona de cedência do aço. 33

41 É importante referir que no dimensionamento à rotura dos elementos estruturais se deve sempre avaliar as vertentes de resistência e de ductilidade. A situação mais corrente com que o engenheiro se defronta na prática, depois de ter feita a análise estrutural, ter avaliado a distribuição de esforços actuantes, ter definido uma geometria para a secção e escolhido os materiais, é a de querer avaliar a quantidade de armadura a considerar para verificar a segurança (trata-se um problema dito de dimensionamento). Dimensionamento das armaduras: Dados: geometria da secção, f cd, f yd, M sd fcd d x LN 0.8x Fc z Msd As Fs b i) Admitir que s = f yd ( s yd ), ou seja, que as armaduras estão em cedência ii) Determinar posição da linha neutra Por equilíbrio de momentos, M sd = F c z = f cd b 0.8 x (d - 0.4x) x =... F c =... iii) Calcular a área de armadura necessária Por equilíbrio axial, F c = F s f cd b 0.8x = A s f yd A s =? iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: s y 34

42 Exercício 2 Considere a viga representada na figura seguinte e adopte G = Q = 1.5 q Materiais: C25/30 (f cd = 16.7MPa) A400 (f yd = 348MPa) Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga. Resolução Método do diagrama rectangular simplificado 0.85 fcd d x LN 0.8x Fc 0.4x z M Rd Fs 1. Cálculo do M Rd Equações de equilíbrio (flexão simples) F = 0 F c = F s (1) M = 0 M Rd = F s z = F s (d - 0.4x) (2) (Este exercício está resolvido com = 0.85) F c = 0.8x b 0.85 f cd = 0.8x = x F s = A s f yd = = 327.8kN (A s (320) = 9.42cm 2 ) (1) F c = F s x = = 0.096m z = d 0.4x = = 0.51m 35

43 (2) M Rd = F s z = = 167.2kNm Verificação da hipótese de cedência do aço ( s yd ) c = 3.5 (-) s = s = 16.6 >> yd (+) s yd = f yd s = = 1.74 x d = = Ductilidade da secção (como critério mínimo é desejável que x/d ~ (0.4 a 0.5) ou, equivalentemente, s > ~ 4 a 5, 3. Cálculo da sobrecarga máxima (M sd M Rd ) M sd = p sd L kNm p sd = 53.7kN/m p sd = 1.5 (g + q) q = = 31.3kN/m 36

44 Exercício 3 (mesma base do exercício 1) Considere a mesma estrutura de piso e considere os cálculos já realizados: Materiais: C25/30, A S2 Acções: Peso próprio Revestimento = 2.0kN/m 2 Sobrecarga = 3.0kN/m S1 Coeficientes de majoração: G = Q = 1.5 Coeficientes de combinação: 1 = 0.4 ; 2 = 0.2 Secção da viga: m 2 Espessura da laje: 0.15m a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão da viga (Secções S1 e S2) a.1) utilizando o método do diagrama rectangular simplificado a.2) F s z a.3) com recurso a tabelas a.4) pormenorize as armaduras de flexão 37

45 RESOLUÇÃO DA ALÍNEA A): 1. Modelo de cálculo: S2 S1 g, q Envolvente do diagrama de esforços DMF [knm] ALÍNEA A.1) S2 (+) S1 (-) Secção S2 (M sd + = knm) 0.85 fcd x LN 0.8x Fc 0.80 z M sd As Fs 0.30 Resolução com = 0.85: F c = 0.85 f cd 0.8x b = x 0.3 = x F s = A s f yd = A s Equilíbrio de momentos: M AS = M sd x ( x) = x = 0.282m F c = = 960.7kN Equilíbrio de forças: F s = F c A s = A s = Verificação da hipótese de cedência do aço = 27.6 cm 2 38

46 c = 3.5 (-) (+) s Admitindo que c = 3.5 c = 3.5 s = s = 6.43 > yd = 1.74 x d = 0.35 A armadura está em cedência e a secção tem um nível de ductilidade aceitável. Secção S1 (M - = knm) sd 0.30 As Fs 0.80 z M sd LN x 0.8x Fc 0.85 fcd Equilíbrio de momentos: M AS = M sd x ( x) = x = 0.105m F c = 357.7kN Então x/d = 0.13 Bom em termos de ductilidade disponível Equilíbrio de forças F s = F c A s = A s = Verificação da hipótese de cedência do aço Admitindo que c = 3.5 tem-se: = 10.28cm 2 s 3.5 = s = 23.2 >> yd 4.4 RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformação de uma secção de betão armado, para quatro áreas de armadura distintas (área de armadura crescente). 39

47 M Rd,1 M Rd,2 M Rd,3 M Rd,4 c c c c (-) x1 (-) x2 (-) x3 (-) x4 M Rd As (+) s (+) s (+) s (+) s (As muito pequeno) (As maior) (...) (...) Apresentam-se, em seguida, as relações constitutivas do aço e do betão, com indicação qualitativa da evolução das tensões e extensões dos dois materiais, com a variação da armadura. c s fcd e 4 fsyd 3 1 e c syd ud s Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos níveis de armadura, existe proporcionalidade entre a área de armadura e o momento resistente da secção. À medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relação deixa de ser linear, ou seja, o aumento da armadura traduz-se em acréscimos menores de momento resistente. Este comportamento deve-se à sucessiva diminuição do braço do binário (z) com o aumento da área de armadura, até que a armadura deixa de poder estar em cedência (caso 4) e, portanto, o aumento de armadura perde toda a eficiência. M Rd M 4 M 3 M 2 M As 40

48 4.5 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES GRANDEZAS ADIMENSIONAIS MÉTODO GERAL d d2 LN As2 x c s2 (-) c Fs2 Fc x M F c = f cd b x F s2 = s2 A s2 F s1 = s1 A s1 As1 (+) s1 Fs1 b f cd = Ac c da bx ; x = c y da c da coeficiente que define a relação da resultante das tensões de compressão no betão pela força de uma compressão uniforme com f cd, em toda a zona comprimida. coeficiente que define a posição da resultante das tensões de compressão no betão, função de x. Equações de Equilíbrio Equilíbrio axial: F c = F s f cd bx + s2 A s2 = s1 A s1 (1) Equilíbrio de momentos: M As = M M = f cd b x (d - x) + s2 A s2 (d - d 2 ) (2) (Equações não lineares) Cálculo por iterações i) Fixar c = 3.5 e um valor de x (por exemplo, tal que, x d = 0.5) ii) Calcular as forças axiais F Se F c + F s2 > F s1 c 3.5 a LN tem de subir para diminuir F C, tendo uma das (-) x extensões, c ou s, o valor máximo e, a outra, um d valor igual ou inferior ao limite. (+) sud É necessário diminuir o valor de x até que F = 0 41

49 Se F c + F s2 < F s1 c 3.5 (-) x (a LN tem de baixar para aumentar F c ) (+) s É necessário aumentar o valor de x até que F = 0. ii) Calcular M Rd Definida a posição da LN e o diagrama de extensão, calculam-se as tensões e o valor de M Rd Nota: Este é um processo de cálculo moroso. Na prática recorre-se a programas de cálculo automático ou a tabelas de cálculo. Para elaborar tabelas é necessário trabalhar com grandezas adimensionais, por forma a que sejam aplicáveis a secções com qualquer geometria Grandezas adimensionais Equações de Equilíbrio bx = s1 A s1 - s2 A s2 (1) f cd M = f cd b x (d - x) + s2 A s2 (d - d 2 ) (2) Substituindo (1) em (2), M = s1 A s1 (d - x) - s2 A s2 (d - x) + s2 A s2 (d - d 2 ) = s1 A s1 (d - x) + s2 A s2 (x - d 2 ) (3) Considerando A s2 = A s1 e s = f yd, a equação (3) toma a forma M = A s1 f yd d 1 - x d + A s1 f yd d x d - d 2 d Transformando esta equação numa forma adimensional (dividindo todos os termos por b d 2 f cd ), resulta M b d 2 f cd = A s1 f yd b d f cd 1 - x d + A s1 f yd b d f cd x d - d 2 d = (1 k) + k - d 2 d 42

50 Definem-se, assim, os parâmetros, w e k, de uso corrente na concepção e dimensionamento de estruturas de betão: = M b d 2 f cd (Momento flector reduzido); = A s1 f yd b d f cd (Percentagem mecânica de armadura) k = x d (Posição da L. Neutra adimensional) MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR SIMPLIFICADO Grandezas adimensionais d LN x c (-) 0.8x Fc 0.4x z MRd As (+) s Fs b M Rd = F s z = F s (d - 0.4x) Admitindo que o aço está na cedência, M Rd = A s f yd (d - 0.4x) Transformando a equação anterior numa forma adimensional, resulta M Rd b d 2 f = A s f yd cd b d f cd x d = A s b d f yd f cd x d Rd = (1-0.4k) Rd = M Rd b d 2 f cd (momento flector reduzido); k = x d = A s b d f yd f cd (percentagem mecânica de armadura) F c = F s 0.8 (kd) bf cd =A s f yd k = 1.47 A s f yd = 1.47 ( =0.85)085).85) b d f cd Visto que Rd = (1-0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtém-se a seguinte expressão para cálculo do momento flector reduzido em função da percentagem mecânica de armadura: Rd = ( ) 43

51 4.5.3 UTILIZAÇÃO DE TABELAS As tabelas podem ser utilizadas para: i) Determinar o momento resistente de uma secção, dadas as armaduras; ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante Determinação da capacidade resistente (Análise) Dado A s1 e A s2 determina-se e Tabelas M Rd = b d 2 f cd () Dimensionamento de armaduras Dado M sd determina-se = M sd Tabelas b d 2 f cd () 1 A s1 = 1 bd f cd f yd A s2 = A s1 Refira-se que as tabelas da disciplina foram desenvolvidas para = 0.85 Notas: (i) No dimensionamento de uma secção, a posição da L.N. deve ser controlada por forma a que se tenha a garantia de um nível de ductilidade adequado. Caso isso não aconteça, será conveniente dispor de armaduras de compressão específicas ou modificar a secção da viga (aumentar a altura é mais eficiente que adaptar a largura, no entanto, na prática do projecto, a altura está muitas vezes mais condicionada). (ii) Numa viga, existe, de qualquer forma, sempre armadura de compressão, por razões construtivas, em geral, com um nível não inferior a = 0.1. Directamente através dos valores adimensionais do momento (), e não considerando o papel da armadura de compressão, é possível ter, para uma dada secção, uma noção do nível de esforço actuante e da potencial ductilidade. Momento elevado k próximo de (A400) s próximo de yd 0.30 (secção pouco dúctil) Momento médio k < 0.5 (secção dúctil, dimensionamento adequado) 0.10 a 0.25 Momento pequeno 0.10 (situação aceitável, a secção estará folgada ) IMPORTANTE: Estes valores devem ser tomados como referência para um dimensionamento adequado e não como imposições regulamentares ou outras. Por 44

52 exemplo, é possível ter valores de mais elevados e ter-se, ainda, um nível de ductilidade adequado, com utilização de armadura de compressão. No quadro seguinte, e para a flexão simples, apresentam-se as relações de dimensionamento - relativas à aplicação do REBAP ( = 0.85) e do EC2 ( = 1) com relações constitutivas dos aços de acordo com as Classes A, B e C. 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 EC2 - k=1,00 EC2 - Classe A - k=1,05 EC2 - Classe B - k=1,08 EC2 - Classe C - k=1,15 EC2 - Classe C - k=1,35 REBAP 0,00 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 Verifica-se que as diferenças nos valores resistentes são pouco significativas, sendo a maior entre o REBAP (linha inferior) e o EC2, tomando a classe de aço C com k = 1.35 (linha superior). As diferenças mais importantes são devidas à consideração do aumento da resistência do aço para além da cedência (coeficiente k). Refira-se que na prática seria sempre desajustado tomar para o aço C um valor superior a k = 1.15 pois, havendo a possibilidade deste variar entre 1.15 e 1.35, ter-se-ia que tomar, sempre, o menor. O facto de se adoptar para o betão o coeficiente 0,85 (em vez do 1), só tem influência relevante para esforços elevados, pois aí começa a ter alguma influência a diminuição do braço das forças, devido ao aumento da zona das compressões. 45

53 4.6 ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE Fc d z M As Fs Para momentos de ordem de grandeza pequena a média verifica-se que, para secções rectangulares, é razoável admitir, de umas forma simplificada: z 0.9 d. M = F s z A s f yd 0.9 d A s = M 0.9 d f yd De facto, pela observação das tabelas de flexão simples (pág. 9), com = 0, verificase que: para = 0.15, z (1-0.4 k) d = (1-0.4 x 0.247) d = 0.9 d para < 0.15, z > 0.9 d, portanto a hipótese anterior é conservadora para o dimensionamento da armadura. para > 0.15, z < 0.9 d, então a hipótese referida, com pouca armadura de compressão, pode ser menos conservadora. No entanto, mesmo para um valor de da ordem de 0.25 e para um = 0.4tem-se também k = 0.247, e, por conseguinte, z 0.9 d. CONCLUSÃO IMPORTANTE: Verifica-se, assim, que dentro da gama de valores de momentos, correntemente recomendados e utilizados na prática, esta hipótese simplificativa permite uma rápida e eficiente estimativa dos momentos flectores resistentes. Para a resolução de problemas em geral e para a prática de projecto, formas simples de avaliação e controlo de resultados são de inestimável valor. 46

54 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.) ALÍNEA A.2) F s = A s f yd z 0.9d M 0.9 d f yd A s A s = M 0.9 d f yd M + sd = 660.2kNm A s = M - sd = 272.0kNm A s = = 26.34cm = 10.86cm 2 ALÍNEA A.3) Secção S2 (M + = knm) sd = M sd b d 2 f = cd = = 0.241; k = A s = bd f cd f yd = = cm 2 Secção S1 (M - sd = knm) = = = 0.091; k = A s = bd f cd f yd = = 10.48cm 2 É importante comparar os resultados obtidos pelos dois métodos, e perceber, como referido no texto, que se for limitado, é razoável assumir a metodologia simplificada. 47

55 4.7 PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE Armadura de tracção Fc 2Fc z M Rd < z As Fs 2As 2Fs O momento resistente é quase proporcional à área de armadura, para momentos não muito elevados. Para momentos elevados, a variação é menos significativa. Armadura de compressão Fc As2 Fs2 Fc z M Rd z As1 Fs1 As1 Fs1 A influência da armadura de compressão no valor do momento resistente, apenas é importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, a variação é pouco significativa. Largura da secção Fc Fc z M Rd z As Fs As Fs A influência da largura da secção no valor do momento resistente, apenas é importante para esforços elevados. Para esforços habituais, em que geralmente a área comprimida é limitada, a variação é pouco significativa. 48

56 Classe do betão Fc Fc z M Rd z As Fs As Fs A influência do aumento da classe do betão tem uma influência equivalente à dos parâmetros anteriores, largura da secção e/ou armadura de compressão, portanto só se torna importante para esforços mais significativos, aliás de uma forma equivalente ao facto de se considerar ou não o coeficiente = DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES COM OUTRAS FORMAS LARGURA EFECTIVA DE UMA SECÇÃO EM T No dimensionamento de vigas com banzos ou com ligação a lajes, pode tirar-se partido da existência dos banzos, principalmente se se situarem na zona comprimida da secção. h f d0 b1 bw b2 Neste caso, a distribuição de tensões no banzo não é uniforme: as zonas laterais deformam-se menos que a zona central da alma (devido à deformação por corte) efeito de shearlag, tal como se pode observar na planta e corte ilustrados de seguida. Simplificadamente, considera-se uma largura efectiva (b ef ) onde se admite que a distribuição de tensões é uniforme Fc 49

57 bef x,max M Avaliação da largura efectiva (i) Banzo comprimido bef bef1 bef2 hf b1 b1 bw b2 b2 b Para o caso genérico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtida através da expressão: b ef = b efi + b w b Temos, assim, a largura da alma e um valor complementar de cada lado, tal que: b efi = 0.2 b i L L 0, com b efi b L 0 representa a distância entre pontos de momento flector nulo e pode ser avaliado por: L1 L2 L3 L0 L1+0.15L2 0.7 L2 0.15(L2+L3) 0.85 L3 Evidentemente que, em termos práticos é possível simplificar esta avaliação, desde que se estime um valor inferior, pois é conservativo e pouco significativo em termos do resultado. (ii) Banzo traccionado No caso de se tratar de um banzo traccionado, é proposto tomar, para além da alma da viga, uma largura função da espessura do banzo dada por 4h f (h f espessura do 50

58 banzo) em que as armaduras de tracção podem ser distribuídas. No entanto, se for possível, em termos de pormenorização, uma solução com todas as armaduras de cálculo na largura da alma é preferível. De qualquer maneira, deve se procurar sempre ter pelo menos, 50 a 60 % da armadura de cálculo na alma DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM T POR TABELAS Esta metodologia verifica-se ser, em geral, um pouco fastidiosa, pois exige a consulta de várias tabelas e realização de interpolações, podendo em geral ser evitada, em particular se se verificar que a Linha Neutra se encontra no banzo comprimido. Exemplo com indicação do processo de interpolação: b b w = 5 ; h f d = b b w = 4 b b w = 6 1 h f /d = 0.10 h f /d = h f /d = h f /d = a b Casos particulares: Dado que se considera que o betão não resiste à tracção, o dimensionamento de uma secção em T pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma secção rectangular nos seguintes casos: (i) se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece na generalidade dos casos) secção rectangular de largura b ef ; bef bef LN Fc LN Fc M M As Fs As Fs bw 51

59 (ii) se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver traccionado secção rectangular de largura b w bef As Fs As Fs LN M LN M Fc Fc bw bw RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 ALÍNEA A3 CONSIDERANDO A SECÇÃO EM T Dimensionamento das armaduras considerando a contribuição da laje à compressão Viga em T bef h f = 0.15 m h f h = 0.85m h b w = 0.30m bw b ef = b efi + b w = = 2.74 m b ef1 = 0.2 b L 0 = L 0 = = 1.7 m = 1.22 m 1.7m Hipóteses para o dimensionamento da secção, para momentos positivos: (i) Se a L.N. estiver no banzo da secção, o dimensionamento pode ser efectuado como se a secção fosse rectangular, de largura b ef. (ii) Se a L.N. estiver na alma da secção, o dimensionamento deverá de ser efectuado com base em tabelas de secção em T (ou recorrendo ao método do diagrama rectangular simplificado). Para verificar se a L.N. está no banzo, M Sd = 660.2kNm = = k = x = k d = = 0.06 m 0.15 m a LN está claramente no banzo 52

60 = = A s = b d f cd f yd = = 24.77cm 2 É importante comparar este resultado com o obtido anteriormente e verificar que neste caso se obteve um valor inferior, em aproximadamente 10%, em relação ao da consideração da viga rectangular. Isto deve-se ao facto de neste caso se poder dispor de um braço maior. Note-se, que a hipótese de considerar a secção como rectangular, é conservativa em termos de verificação da segurança SIMPLIFICAÇÃO DE SECÇÕES PARA EFEITOS DE DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES 1) Secção real b b bw 2bw b' b' 2) Secção real bw 2bw b b 3) Secção real bw bw b b 53

61 Secções a considerar no dimensionamento à flexão 1) b M M 2bw b' b b' (se a LN estiver no banzo) (se a LN estiver no banzo) Nota: Se a LN estiver na alma da secção, o dimensionamento poderá ser efectuado com base numa secção em T (considerando a existência do banzo que estiver comprimido, e desprezando o banzo traccionado) 2) e 3) bw M M b bw (se a LN estiver na alma) (se a LN estiver na alma) (se a LN estiver no banzo) (se a LN estiver no banzo) b 54

62 Exercício 4 Considere a estrutura da figura seguinte: sc cp S2 S Materiais: C20/25, A Acções: pp + revest. = 20.0 kn/m sobrecarga = 40.0 kn/m Coeficientes de majoração: G = Q = 1.5 a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão da viga (secções S1 e S2) b) Pormenorize as armaduras de flexão. 55

63 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4 ALÍNEA A) 1. Esforços de dimensionamento psd DMF [knm] (-) (-) (+) p sd = 1.5 ( ) = 90 kn/m M sd S1 = - p sd L = = knm M sd S2 = p sd L M sd S1 = = knm 2. Determinação das armaduras (E.L.U. flexão) Secção S2 (M sd + = knm) LN LN 1.00 M sd = M sd bd 2 f = cd = = A s = bd f cd f yd = = cm 2 56

64 Secção S1 (M - sd = knm) Hipótese: a LN encontra-se no banzo da secção M sd 1.00 LN LN = M sd bd 2 f = cd = k = k = x d x = k d = = LN está no banzo = w = A s = bd f cd f yd = = 17.42cm 2 5 Disposições Construtivas Gerais As disposições das armaduras nas peças de betão armado são de extrema importância quer para a boa resposta estrutural do betão estrutural, quer para assegurar que durante a construção, em particular no processo de betonagem, se assegura o posicionamento previsto para os ferros. Referimos agora, e na sequência as bases relativas a estas disposições. Poderemos, talvez, diferenciar entre armaduras principais e secundárias, mas é acima de tudo preciso compreender que o importante é a eficiência final do conjunto. Armaduras principais: Asseguram a resistência do elemento estrutural relativamente à segurança à rotura (não só de flexão, como vimos anteriormente, mas também a outros efeitos) e contribuem para assegurar um comportamento adequado nas condições de serviço, como vamos ver noutro Capítulo do curso. Armaduras secundárias: Têm como função ajudar a rigidificar as malhas de armaduras, para a sua colocação em obra, assegurando o posicionamento correcto e estável das armaduras durante a betonagem. 57

65 h d est = 6 ou 8 mm (o diâmetro de 6 é muito pouco utilizado em obras de média ou alta dimensão) 10 a 12 mm (para vigas mais importantes) long = 12 a 16 mm (para vigas menos solicitadas) = 20 a 25 mm (para vigas mais robustas) s b c c recobrimento Obtém-se como estimativa da altura útil: Altura útil: d = h - c - est - long RECOBRIMENTO DAS ARMADURAS O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funções: (i) mecânica: Destina-se a garantir que há betão suficiente a envolver a armadura, e assim garantir a sua aderência por forma a que se verifique uma eficiente transmissão de forças entre o betão e o aço (c ou eq ) (ii) durabilidade: protecção contra a entrada dos agentes agressivos e consequentemente dificultando que o processo de corrosão das armaduras se possa verificar (recobrimento definido em função da agressividade do ambiente de exposição e da compacidade do betão) Estes aspectos são mencionados e analisados no capítulo referente à durabilidade do betão armado. 5.2 DISTÂNCIA LIVRE ENTRE ARMADURAS (S) A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a betonagem em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e as necessárias condições de aderência e protecção. No caso de armaduras para betão armado, temos, em termos regulamentares os seguintes valores: s min = { maior, eq maior, (d g + 5 mm), 2 cm } onde d g representa a máxima dimensão dos inertes. 58

66 No entanto, se estes são valores mínimos, deve-se projectar, pretendendo espaçamentos com folga em relação a estes. A distância livre entre uma camada de armaduras longitudinais numa viga, igualmente espaçadas, pode ser calculada pela expressão: s = b - 2c - 2 est - n long n - 1, n número de varões É necessário, na pormenorização garantir que a distância entre varões assegura o espaço necessário para introdução do vibrador do betão (aconselhável: 4 a 5 cm junto à face inferior e 7 a 10 cm junto à face superior). Nalguns casos, em particular na face superior é normal que não se adoptem espaçamentos iguais entre ferros para assegurar este objectivo. Nas figuras seguintes apresentam-se dois exemplos de pormenorização de uma viga que dá apoio na parte superior a uma laje, nas zonas mais solicitadas à tracção nas faces inferiores (vão) e superiores (apoio). 5.3 AGRUPAMENTOS DE ARMADURAS Os agrupamentos de armaduras devem ser evitados sempre que possível, dado que prejudicam a aderência aço/betão. No entanto, se essa for a forma de garantir uma malha muito apertada de ferros é, sem dúvida, uma solução justificável. Regulamentarmente definem-se algumas restrições aos agrupamentos. Assim: O agrupamento de varões com diâmetros diferentes pode ser adoptado desde que o quociente dos diâmetros não exceda o valor 1.7. Relativamente ao número máximo de varões que é possível agrupar, temos: - Para o caso de armaduras verticais comprimidas ou numa zona de emenda de varões, n 4 - Em todos os restantes casos, n 3 Em qualquer direcção não pode haver mais que 2 varões em contacto. 59

67 O diâmetro equivalente de um agrupamento pode ser calculado pela expressão eq = 2 i 55mm Exemplos: (mais indicado) (aceitável) (desaconselhável) Evidentemente que soluções que incluam varões isolados e outros agrupados são possíveis, tentando sempre seguir as indicações gerais referidas, em especial, não dificultar a betonagem e o bom envolvimento das armaduras pelo betão. 5.4 DOBRAGEM DE VARÕES Em muitas situações as armaduras têm de ser dobradas, como as armaduras longitudinais nas extremidades das vigas e, em geral, as armaduras transversais. Condições a satisfazer: - Não afectar a resistência do aço; - Não provocar o esmagamento ou fendilhação do betão quando a armadura for traccionada. O diâmetro mínimo de dobragem para não afectar a resistência do aço depende, no essencial, do diâmetro do varão e são indicados no quadro seguinte do EC2. Estes valores são considerados mínimos havendo que ter precauções complementares no que diz respeito ao risco de esmagamento e de fendilhação inconveniente do betão, em particular se as dobragen se verificarem junto à superfície da peça, como indicado com detalhe, por exemplo, no EC2. Quadro Diâmetro mínimo do mandril a fim de evitar danificar a armadura Diâmetro mínimo do mandril para cotovelos, Diâmetro do varão ganchos e laços 16 mm 4 > 16 mm 7 60

68 5.5 POSICIONAMENTO DAS ARMADURAS O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes elementos: Espaçadores garantem o recobrimento das armaduras c Cavaletes garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores nas lajes h Varões construtivos (armaduras secundárias) Colocados de tantos em tantos metros (dependente da rigidez do ferro em causa) garantem o espaçamento vertical dos varões longitudinais principais, durante a betonagem. 5.6 PRINCÍPIOS A TER EM ATENÇÃO NA PORMENORIZAÇÃO DAS ARMADURAS A escolha do tipo de pormenorização no que respeita ao número de varões e diâmetros a adoptar deve ter em atenção os seguintes factores, que apontam, eventualmente para opções contraditórias: - custo da mão de obra menor número de varões - facilidade de betonagem menor número de varões - liberdade de dispensa maior número de varões - mais eficiente limitação da fendilhação maior número de varões Na pormenorização das armaduras longitudinais das vigas só os três primeiros aspectos são significativos, havendo que ganhar experiência e ter bom senso nas escolhas, sendo certo que não há que procurar a solução óptima, mas sim uma BOA SOLUÇÃO. 61

69 5.7 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXÃO QUANTIDADES MÍNIMA E MÁXIMA DE ARMADURA A quantidade mínima de armadura a adoptar numa viga, neste caso definida no EC2, é dada pela seguinte expressão: A s,min = 0.26 f ctm f yk b t d onde b t é definida, como sendo a largura média da zona traccionada em flexão. Esta quantidade de armadura tem a ver com a necessidade de assegurar um mínimo de robustez aos elementos de betão armado, em especial garantir, com uma certa reserva, que, ao se dar a fendilhação, a quantidade de armadura é suficiente para reter as tracções que se libertam do betão sem cedência do aço, garantindo um comportamento dúctil. Chama-se, desde já a atenção para que, numa viga em T, com banzo traccionado é mais prático separar, por um lado, a alma, com a sua largura, b w, ou, se esta for variável, com seu valor médio, para aplicar a expressão anterior e, por outro lado, os banzos, como elementos traccionados, com uma armadura mínima, a distribuir nas duas faces do banzo, tal que; A s f sy k > A c, banzo f ctm, ou seja A s,min = A c,banzo f ctm /f syk A questão da armadura mínima, como forma de controlar a fendilhação, em termos do comportamento em serviço, para situações de efeitos de deformações impostas, será retomado no Capítulo referente ao comportamento em serviço. A quantidade máxima de armadura a adoptar, fora das secções de emenda, é dada em termos regulamentares por: A s,máx = 0.04 A c onde A c representa a área da secção de betão. No entanto, em termos práticos, esta limitação tem pouca relevância, pois os critérios de dimensionamento à rotura atrás apresentados, com limitação dos valores de momento reduzido e posição da linha neutra (garantia de ductilidade) conduzem a quantidades de armadura bastante inferiores ARMADURA LONGITUDINAL SUPERIOR NOS APOIOS DE EXTREMIDADE Sempre que existir ligação monolítica entre uma viga e um pilar de extremidade, e caso esta ligação não tenha sido considerada no modelo de cálculo, deverá adoptar- 62

70 se uma armadura superior dimensionada, pelo menos, para um momento flector igual a 15% do momento flector máximo no vão. Deste modo, A s,apoio + = máx { A s,min, 0.15 A s,vão } 63

71 6 Introdução ao Comportamento Não Linear de Estruturas de Betão Como referido e ilustrado no Capítulo 1, o comportamento do betão armado é não linear desde o início da fendilhação, que se verifica para níveis de carga relativamente reduzidos. Verificou-se que o betão estrutural tem um comportamento dividido, no essencial, em 3 fases, antes da fendilhação, no processo de fendilhação antes da cedência do aço e daí até à rotura. Da hipótese de admitir, em estruturas hiperstáticas, o comportamento linear dos materiais na avaliação da distribuição de esforços resulta, desde logo, uma aproximação, para o nível de acções de serviço, e, por maioria de razão, próximo da rotura. Para analisar os efeitos da acção de cargas, o fundamental no desenvolvimento do projecto de estruturas é tomar uma solução de distribuição de esforços equilibrada (o que, naturalmente, é respeitado pela solução elástica). Assim, pode ter-se como referência a solução de distribuição elástica, mas podemos tomar uma outra, dentro de limites bastante folgados, como se verá (mantendo sempre o equilíbrio). De facto, na fase próxima do esgotamento da capacidade resistente, a distribuição de esforços depende é da distribuição das resistências, ou seja, no caso do betão armado, da distribuição das armaduras adoptadas no projecto. A distribuição de esforços adaptase às resistências disponíveis, desde que haja ductilidade disponível nas zonas mais esforçadas, ou, o que é equivalente, essas zonas tenham capacidade de deformação plástica. E o betão armado é dimensionado, como se analisou no capítulo 3, para isso mesmo. Por outro lado, mesmo em condições de serviço, é natural haver, devido às perdas de rigidez por fendilhação, variações dos valores de momentos, por exemplo numa viga contínua, entre o vão e apoio, de mais ou menos 10%, tomando-se, no entanto, por simplicidade, em projecto, a distribuição elástica. Para os efeitos de deformações impostas, por exemplo, variações de temperatura ou assentamentos diferenciais de apoios, a perda de rigidez associada à não linearidade do comportamento (fendilhação e fluência para efeitos demorados no tempo) faz diminuir claramente os esforços em relação aos elásticos, mesmo em condições de serviço. Próximo da rotura, e se houver ductilidade disponível, o que será o caso se os elementos forem bem dimensionados, os esforços podem quase se anular. No que se segue analisa-se, para o caso de cargas verticais, como e quando se pode ter em conta o comportamento não linear do betão estrutural, na definição da distribuição de esforços para o dimensionamento à rotura. 64

72 6.1 ANÁLISE ELÁSTICA SEGUIDA DE REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS Como acima referido, a partir da distribuição elástica é possível, e por vezes mesmo aconselhável, tomar para o dimensionamento da estrutura uma outra, respeitando, na mesma, o equilíbrio. Na figura seguinte esquematiza-se este possível procedimento, que permite passar, para uma dada combinação de acções, parte dos esforços do apoio para o vão, respeitando sempre o equilíbrio. Resulta, neste caso, uma menor necessidade de armaduras sobre o apoio e um aumento no vão. Esta opção pode ser muito útil na região do apoio, pois: Pode melhorar as condições de ductilidade. Pode facilitar a pormenorização de armaduras. p Li Li+1 DMF MEL MELR = MEL M = MEL - MEL = MEL(1 - autoequilibrado Refira-se que, apesar de ser em geral menos interesante, é também possível considerar a redistribuição de esforços em sentido contrario, do vão para o apoio. Em termos regulamentares são referidas, em geral, algunas limitações, tais como: Para 0.5 l i l i k 2 x u d para f ck 50 MPa k 2 = para os aços das classes B e C, correspondentes aos aços NR e NR SD utilizados em Portugal. Verifica-se, assim, como ilustrado na figura seguinte, que esta possibilidade depende da posição da Linha Neutra na rotura, que, com vimos no Capítulo 3, é o parâmetro indirecto principal de medida da ductilidade, ou da capacidade de deformação plástica disponível. 65

73 xu/d Na figura abaixo ilustra-se, para uma viga contínua, como a redistribuição de esforços é implementada, sendo equivalente a somar um diagrama de esforços autoequilibrado. (-) (-) MEL (+) (+) (+) + (-) (+) = (-) MELR M (+) (+) (+) Refira-se que para uma viga bi-encastrada, a aplicação de uma redistribuição de = 0.75 corresponde a passar os momentos no apoio e vão de, respectivamente, (pl 2 /12) e (pl 2 /24) (metade do anterior), para valores iguais no vão e apoio de (pl 2 /16)!! O aluno deve analisar esta afirmação, de uma forma simples, verificando, por exemplo, que, em ambos os casos a soma, em módulo, dos esforços no apoio e vão é igual a (pl 2 /8). Isto mostra o relativamente largo espectro de possibilidades que são possíveis, para a distribuição dos momentos de dimensionamento, e consequentemente de armaduras no betão armado. Dito isto, é importante mencionar que esta possibilidade não sendo, evidentemente, obrigatória, constitui uma opção de projecto, com eventuais vantagens como anteriormente salientado. A justificação desta possibilidade, pode ser compreendida, de uma forma simplificada, se se tomar a distribuição elástica e se considerar uma rótula na secção a partir da qual se quer redistribuir os esforços. Então, aplicando aí o valor do momento a redistribuir, obtém-se o valor da rotação plástica necessária, rqd (ver a figura abaixo). 66

74 rqd = 2 M 3EI l Assim, esta rotação tem de ser inferior à capacidade de rotação plástica da zona, neste caso sobre o apoio, por sua vez dependente, como salientado, principalmente da posição da Linha Neutra na rotura: rqd < adm O valor da capacidade de rotação plástica adm não é facilmente quantificável. Na figura do EC2 abaixo representada, são indicados esses valores em função de x u /d, e das características do aço e betão. Estes valores são em geral conservativos, sendo resultantes das campanhas experimentais realizados ao longo das últimas décadas e de análises numéricas com modelos não lineares. 67

75 pl,d (mrad) C 50/60 20 C 90/105 Classe C C 50/60 C 90/105 Classe B 0 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 (xu/d) Os valores de redistribuição possível (coeficiente atrás indicado) estão calibrados de forma a respeitar estes procedimentos de verificação da capacidade de rotação disponível, pelo que podem ser implementados sem este tipo de avaliação directa. 6.2 APLICAÇÃO DIRECTA DO CÁLCULO PLÁSTICO (TEOREMA ESTÁTICO) A regulamentação de estruturas de betão permite igualmente a utilização directa do teorema estático da teoria da Plasticidade, que assegura que: i) considerando uma distribuição de esforços em equilíbrio com as cargas de dimensionamento; ii) e que, em nenhuma zona, a capacidade resistente seja ultrapassada, a carga de rotura é superior à considerada. Evidentemente que este teorema é extremamente eficiente e útil, mas deve ser usado com alguma precaução nas estruturas de betão, uma vez que: a. como anteriormente analisado, a ductilidade das secções de betão armado é limitada; b. como se discutirá posteriormente, para afastamentos muito importantes em relação à solução elástica, é importante verificar o impacto deste procedimento sobre o comportamento em serviço, em particular no controlo da abertura de fendas. No entanto, dentro da gama de variações de momentos analisada, havendo o cuidado de assegurar no dimensionamento uma boa ductilidade, como vimos neste Capítulo 6, os princípios baseados na Teoria da Plasticidade podem ser considerados. 68

76 6.3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO PRÁTICA DA NÃO LINEARIDADE NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DAS ESTRUTURAS A alternância de sobrecargas deve ser considerada na verificação da segurança, sempre que exista a possibilidade desse tipo de carregamentos. A consideração da alternância de sobrecargas implica aumento dos esforços máximos nas zonas do vão e apoio e, consequentemente, nas quantidades máximas de armaduras. No entanto, no caso de estruturas hiperstáticas, a consideração de comportamento elástico na estrutura para cada combinação de acções é claramente uma hipótese bastante conservativa. Como ilustrado na figura seguinte, no segundo caso de carga o momento elástico do vão mais carregado é maior e o do apoio menor, quando comparados com o primeiro (HC1). No entanto, como indicado na figura, se para o segundo caso de carga se aplicar uma redistribuição do vão para o apoio, obtém-se uma envolvente de esforços em que os esforços máximos no vão mais carregado e apoio são coincidentes com os do 1º caso de carga. Assim considerando a redistribuição de esforços, neste caso para uma das combinações de acções, verificase que a alternância das sobrecargas afecta a envolvente de esforços ao longo do vão, mas não os valores máximos no vão e apoio, valores estes que condicionam as quantidades máximas de armaduras a adoptar. 1) Hipótese de carga 1 (HC1) 2) Hipótese de carga 2 (HC2) sc cp sc cp L L L L DMEL 2 pl /8 DMEL PL HC2 M 2 pl /8 HC1 HC2 EL M DMELR HC1, HC2 HC1 HC2 2 pl /8 De referir dois aspectos em relação a este exemplo: Se se considerasse um 3º caso de carga, carregando só o 2º vão com a sobrecarga, o procedimento seria equivalente obtendo-se uma envolvente simétrica. 69

77 Haveria, neste exemplo, a possibilidade de, em alternativa à redistribuição adoptada no 2º caso de carga do vão para o apoio, redistribuir os momentos de cada um dos casos de carga, fixando, por exemplo, um valor intermédio. Neste caso diminuía-se o nível de redistribuição para cada um dos casos de carga e obtinha-se uma solução de dimensionamento, talvez mais razoável. A conclusão seria, sempre, que a consideração da alternância afectaria a envolvente de esforços (nas zonas intermédias das vigas) mas não os valores máximos no apoio e no vão, para além do necessário para garantir o equilíbrio para cada combinação de acções. Esta conclusão é muito importante e é a justificação pela qual, em muitas situações práticas de projecto, em que se modela com base no comportamento elástico, se dispensa a consideração explícita da alternância das sobrecargas. Esta conclusão é, em muitos casos, aplicada directamente quando o nível das sobrecargas é pouco importante face ao das cargas permanentes. No entanto, mesmo se este não for o caso, a possibilidade de redistribuição de esforços nas estruturas de betão permite sempre encontrar uma envolvente com menores valores máximos de esforços no vão e apoio e que garantem, na mesma, o equilíbrio das cargas, para cada combinação de carga. Se não se tirar partido desta possibilidade está a se assumir uma opção conservativa. Refira-se, por último, que, para cargas verticais, a distribuição de esforços para verificação da segurança aos Estados Limites de Utilização deve ser a distribuição elástica. Nestas condições, há que verificar se o nível de tensões nas armaduras em serviço é aceitável, na zona onde foi aplicada a redistribuição no dimensionamento à rotura, em termos do controlo da fendilhação, como atrás mencionado e se discute com mais detalhe no Capítulo correspondente. Para a determinação da carga última de uma estrutura existente os princípios da Teoria da Plasticidade são particularmente úteis. Nesses casos, as capacidades resistentes e as características de ductilidade são avaliadas com base na caracterização possível dos materiais e quantidades de armadura presentes. A partir destes valores pode ser estimada a máxima carga que pode ser suportada pela viga, como esquematizado na figura seguinte. 70

78 prd =? L L DMF (-) - MRd (+) 2 prd L /8 + MRd Para a avaliação da capacidade última admite-se que, na rotura, é mobilizada, em cada tramo, a capacidade resistente máxima das secções de vão e apoio. Então, por simples equilíbrio, pode determinar-se a carga última, tal que: P Rd l2 8 M - Rd 2 + M+ Rd Rigorosamente (porque o momento máximo não ocorre a meio vão) p Rd seria obtido das equações: x = l 2 - M - Rd pl P Rd = M + - M - x Rd Rd l Lx 2 - x2 2 Será, evidentemente, necessário verificar se, a redistribuição em relação à solução elástica, é razoável para a ductilidade disponível na estrutura existente. Apresenta-se, para terminar, um problema semelhante para duas cargas concentradas aplicadas nos meios vãos das vigas. PRd PRd L/2 L/2 L L DMF (-) - MRd (+) + MRd + MRd 71

79 Neste caso a carga P resistente de dimensionamento, P Rd, seria obtida a partir da expressão: P Rd l 4 = M - Rd 2 + M+ Rd 72

80 7 ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO Apresenta-se, seguidamente, as principais características do comportamento de vigas de betão armado quando submetidas, ao esforço transverso, à torção em zonas correntes, introduzindo-se igualmente as zonas D (de Descontinuidade) associadas. Mostra-se, neste capítulo, como se desenvolve o processo de fendilhação e explica-se o encaminhamento das cargas ao longo das vigas, em situações próximas à rotura. O modelo base adoptado para o dimensionamento ao Estado Limite Último é apresentado e são derivadas as expressões que constituem as verificações de segurança correspondentes. Os aspectos referentes à pormenorização das vigas, que derivam desta formulação geral e outros, como os da suspensão de cargas, zonas de ligação banzo-alma, cargas próximas dos apoios, são igualmente apresentados neste capítulo. Tratando-se estas notas de um elemento de estudo também utilizado na exposição das aulas do curso, com o objectivo de melhorar a sua apresentação, várias das figuras incluídas ao longo do texto são, em particular, directamente reproduzidas dos documentos (ver Referências): Muttoni, A., Schwartz, J., Thürlimann, B : Design of Concrete Structures With Stress Fields, Birkhäuser, Basel. fib, 1999 : FIP/fib Recommendations for Practical Design of Structural Concrete, SETO, London. 7.1 COMPORTAMENTO ELÁSTICO E MODELO DE COMPORTAMENTO NA ROTURA AO ESFORÇO TRANSVERSO Numa viga simplesmente apoiada submetida a duas cargas concentradas, com comportamento elástico, definem-se trajectórias principais de tensão, de tracção e compressão, como indicado na figura seguinte. + A trajectórias das compressões principais trajectórias das tracções principais 73

81 Elemento A t c Quando t = f ct, inicia-se a fendilhação por esforço transverso Se, na zona de corte junto aos apoios, se tomar um elemento A, verifica-se que o Estado de tensão é o que está representado, com as direcções principais de tensão inclinadas. É natural que, ao se atingir, na direcção das tracções principais, o valor da resistência do betão, f ct, surjam fendas inclinadas em relação ao eixo. A fendilhação que se desenvolve terá um andamento aproximado ao desenhado no esquema seguinte com as fendas a se formarem, no essencial, perpendicularmente às direcções de tracção, quer na zona de flexão pura quer na de flexão/corte. Flexão + Esforço transverso Flexão Flexão + Esforço transverso Com o aumento da carga, a fendilhação desenvolve-se, prolongando-se as fendas até próximo da zona comprimida. Verifica-se que as fendas cortam a possibilidade de encaminhamento das tracções inclinadas de acordo com o comportamento elástico. Nestas condições, se forem dispostos, na zona de corte, armaduras transversais verticais (estribos) as tracções são re-encaminhadas nessa direcção. Podemos então compreender, neste caso, a transmissão de tensões ou forças na viga, entre a carga aplicada e a reacção de apoio, como representado no esquema seguinte. Verifica-se que se formam dois campos de tensões de compressão, em forma de leque, ligados por campos de tensões de tracção verticais, correspondentes aos estribos colocados entre as carga e a reacção de apoio. A carga aplicada transmite-se, assim, à parte inferior da viga, sendo posteriormente transferida à parte superior por tracções nos estribos e, finalmente, é encaminhada para o apoio por compressões inclinadas que se concentram na largura do apoio. 74

82 d É de referir que este tipo de mecanismo de transmissão de carga em elementos de betão armado submetidos à flexão com esforço transverso havia sido compreendido, por Ritter e Morsch, desde os primeiros ensaios experimentais com o betão armado, como identificado nas imagens abaixo reproduzidas, datadas do final e princípio dos séculos XIX e XX, respectivamente. Ritter (1899) Mörsch (1909, 1922) Na figura que se segue, também dessa época, mostram-se modelos curiosos de avaliação da distribuição das forças no betão e armaduras (nessa altura lisas e portanto sempre terminadas em gancho), numa zona fendilhada de betão armado junto a um apoio. Refira-se que, neste caso, as armaduras transversais não eram 75

83 Estruturas de Betão I estribos mas sim parte da armadura longitudinal que era dobrada a 45º, quando deixava de ser necessária para a flexão. Até aos anos 60/70, era corrente repartir as necessidades de armadura para o esforço transverso entre estribos e armaduras longitudinais dobradas. Mörsch (1922) Se admitirmos, como representado na figura seguinte (a) que a inclinação das compressões se mantém constante (), podemos interpretar e compreender o esquema de transmissão das cargas ao longo da viga, com a representação dos campos de tensões. Notem-se os campos de compressão em leque, atrás referidos, junto ás reacções dos apoios, e os campos de tensão paralelos, com inclinação, na zona corrente da viga. Saliente-se que os campos de compressões incluem uma zona de betão com várias fendas e os de tracção um conjunto de estribos, o que se pode compreender ao analisar em conjunto os dois esquemas (a) e (b). a) b) 76

84 Este modelo contínuo de transmissão de tensões poderá também representar-se por um modelo discreto, constituído pelas resultantes dos campos de tensões, assim equivalente a uma treliça, onde as armaduras transversais e longitudinais funcionam como tirantes e o betão comprimido entre fendas inclinadas como escora ou biela, com resultante igual ao campo de compressões que representa (ver figura seguinte). Neste modelo, também as acções aplicadas nos nós correspondem à resultante das cargas distribuídas na zona de influência respectiva. z z cotg z cotg z cotg bielas comprimidas (resultante da zona de compressões correspondente) tirantes (resultante das forças de tracção nos estribos no comprimento z cotg) Assim, neste modelo de treliça, cada barra vertical e inclinada representa, respectivamente, a resultante de um campo de tensões de tracções e compressões, numa largura de z cotg (ver figura seguinte). Por outro lado, refira-se que as barras longitudinais, inferior e superior, representam, no essencial, os banzos traccionados e comprimidos por flexão. (1) Campo de tracções verticais (2) Campo de compressões inclinadas z cotg estribos verticais (ou inclinados) z cotg bielas inclinadas (1) Campo de tracções e compressões paralelas ao eixo compressão tracção 77

85 Com base nesta modelação ver-se à que é possível relacionar os esforços (M e V) com as tensões nos diferentes elementos, ou seja, nas armaduras transversais, armaduras longitudinais e bielas comprimidas (inclinadas ou longitudinais). Antes porém convém chamar a atenção que este modelo, com origem, como se viu, nos primórdios do betão armado, sendo estaticamente válido e representando as características principais do comportamento, só corresponde a uma aproximação da modelação da resposta do betão armado. Ao longo das últimas dezenas de anos têm sido propostas diferentes adaptações ao modelo base de Ritter/Morsch. A figura seguinte, sintetiza os resultados de inúmeros ensaios experimentais de medição das capacidades resistentes ao esforço transverso, obtidos em diferentes laboratórios. Indica-se a relação experimental entre o valor de esforço transverso último (apresentado numa forma adimensional, v = V u b z f c ) e a quantidade de estribos (representada nas ordenadas pela percentagem mecânica, w = A sw s b. f y f c ). Estes parâmetros adimensionais são, para o caso do esforço transverso, equiparáveis aos correspondentes à flexão e, como se verá adiante, o nível de esforço transverso máximo de dimensionamento, para uma dada geometria e betão, corresponde aproximadamente a v Rd =

86 Compreende-se então que, não sendo um problema simples, ao longo destes anos tenham sido propostos diferentes modelos para uma mais fiável avaliação. No entanto, um bom modelo, para aplicação prática, deve ser sempre simples e de fácil compreensão física. Uma das questões relevantes que se coloca é a influência que o corte entre os agregados ao longo das fendas inclinadas tem na influência na inclinação das compressões na alma da viga, que não são as mesmas das fendas principais, como se realça seguidamente. O escorregamento (com atrito) entre o betão nas faces das fendas gera tensões de corte e compressão, que induzem no betão entre fendas um estado de tensão que, sobreposto ao da treliça pura, reduz a inclinação das compressões principais na alma, verificando-se assim não existir coincidência entre as inclinações das fendas e das compressões principais. 79

87 ATRITO ENTRE AGREGADOS (Décadas de 80 / 90) A INCLINAÇÃO DO CAMPO DE COMPRESSÕES () É INFERIOR À DA FENDA ( r ) O modelo proposto presentemente no EC2 permite ao projectista a escolha do ângulo de inclinação das compressões, desde que cotg se situe entre 1 ( = 45) e 2.5 ( = 22). Uma vez tomada a opção, em todo o processo de dimensionamento, que se apresenta seguidamente, há que ser consistente com essa escolha. Esta liberdade baseia-se no método estático da Teoria da Plasticidade, segundo o qual, se se adoptar uma solução equilibrada em que a resistência não seja ultrapassada em nenhum elemento a capacidade resistente da peça é superior ou igual à considerada. A limitação imposta tem a ver com a maior ou menor capacidade de adaptação da distribuição de tensões ás resistências disponíveis. Na disciplina propõe-se que se adopte, em geral, um valor intermédio, por exemplo 30º. Por outro lado, sugere-se a consideração de valores superiores para níveis elevados de esforço transverso e/ou em caso da presença de um esforço axial de tracção, e inferiores nas hipótese contrárias (níveis mais reduzidos de esforço transverso ou existência de esforço axial de compressão). 80

88 7.2 POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA E VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA CORRESPONDENTES Com base no modelo de campos de tensões, com um ângulo de inclinação das compressões constante, ou do seu modelo simplificado de treliça, vamos analisar, seguidamente, os possíveis modos de rotura e avaliar as capacidades resistentes correspondentes. Nas figuras seguintes ilustra-se: (i) (ii) A rotura do campo de tracções vertical, ou seja dos estribos. A rotura por esgotamento da resistência das compressões do campo comprimido de tensões. (i) Rotura dos estribos (ii) Rotura por esmagamento do betão (nas bielas comprimidas) Há ainda que considerar, como veremos à frente em 7.3.1: (ii) Rotura por arrancamento da armadura inferior do apoio (amarração insuficiente) ou rotura da armadura (armadura insuficiente) O esquema seguinte mostra as zonas onde se pode verificar a rotura, ou seja, as tracções nas armaduras transversais, as tensões principais de compressão no betão (é interessante notar também o pormenor do desvio das tensões do banzo superior para as biela inclinadas da alma) e, ainda, da força necessária na armadura longitudinal inferior no apoio de extremidade. 81

89 A rotura pelos estribos ocorrerá se a força resultante da capacidade resistente à tracção do conjunto dos estribos, colocados no comprimento z cotg fôr insuficiente para transmitir a carga do banzo inferior ao superior. - ensaios, Kaufmann, W., Marti, P : Versuche an Stahlbetontragern unter Normal- und Querkraft, Swiss Federal Institute of Technology Zurich, Zurich. Ora, a força a que este conjunto de estribos está sujeita é igual ao esforço transverso da viga, avaliado a uma certa distância do apoio, V sd (x), como indicado nos esquemas seguintes, para um apoio de extremidade e outro de continuidade. 82

90 cargas que se transmitem directamente para o apoio cargas que se transmitem directamente para o apoio z b z cotg z cotg b DEVsd Vsd(x) x x Vsd(x) zona do diagrama de esforço transverso que interessa para efeitos de dimensionamento da armadura transversal Assim, e como claramente apresentado no esquema seguinte, a força de tracção, F s, necessária para evitar a rotura pela fenda diagonal, é igual ao esforço transverso avaliado à distância x do apoio. Então, a quantidade de armadura necessária vezes a tensão de dimensionamento do aço, f yd, terá de ser superior àquela força. Se dividirmos a área desses estribos pelo comprimento z cotg, obtém-se a quantidade de armadura, A sw, por cada alinhamento de estribos com afastamento s, dada por A sw /s. Vsd (x) F s V sd A sw f yd V sd (x) A sw s f yd V sd (x) z cotg A sw s V sd (x) z cotg f yd b z cotg Asw x = b 2 + z cotg ; z 0.9d A sw s - área de aço por unidade de comprimento (armadura distribuída por m). V sd (x) - força vertical por unidade de comprimento. z cotg Assim, definido o valor de, passa a se poder estabelecer uma relação directa entre o esforço transverso resistente e a quantidade de armadura transversal, como proposto no Eurocódigo 2. 83

91 EUROCÓDIGO 2: O valor do esforço transverso resistente, condicionado pelas armaduras transversais é dado pela expressão (1) tal que: V Rd,s = A sw s z f ywd cotg A sw s V sd z cotg f ywd (1) onde f ywd representa o valor de cálculo da tensão de cedência da armadura de esforço transverso. Por outro lado, a capacidade resistente deste sistema de transmissão de forças pode, também, ser condicionada pela capacidade resistente do betão à compressão na zona da alma, ou seja, no campo de tensões com a inclinação,. A avaliação do nível da tensão de compressão no campo paralelo de tensões pode ser deduzido como se segue, a partir da força F c, cuja componente vertical é igual a V sd. - ensaios, Kaufmann, W., Marti, P : Versuche an Stahlbetontragern unter Normal- und Querkraft, Swiss Federal Institute of Technology Zurich, Zurich. Fc a Fc Fs Vsd sen = V sd F c F c = V sd sen b z cotg c = F c b w a sen = a a = (z cotg ) sen = z cos = z cos z cotg c = V sd sen b w z cos c = V sd (x) 0.9d b w sen cos Refira-se que, como também ilustra a fotografia anterior, devido ao estado de tensão e deformação mais favorável que ocorre na região do apoio, a eventual rotura do betão 84

92 à compressão não se verifica no campo de tensões em leque, mas sim no campo paralelo adjacente, como indicado no esquema seguinte. Rotura R z cotg É assim oportuno relembrar, sumariamente, a influência dos estados multi-axiais de tensão sobre o comportamento de regiões comprimidas de betão. O estabelecimento da classe de resistência de um betão é efectuado a partir dos resultados de ensaios à compressão uniaxial. No entanto, como se ilustra na figura seguinte, em situações em que ocorra compressão transversal, por efeito de confinamento ou cintagem, verifica-se um aumento da resistência à compressão, e, sobretudo da ductilidade da região confinada. Por outro lado, se existir tracção na direcção transversal às compressões, com fendilhação como indicado no esquema seguinte, situação que ocorre nas almas das vigas com fendilhação inclinada, verifica-se uma redução da capacidade resistente à compressão. É este outro efeito que está representado no elemento de betão armado abaixo indicado e nas relações tensão/extensão do betão, no caso de existir ou não, a referida tracção transversal, com fendilhação associada. Esta redução da resistência à compressão depende essencialmente do valor da extensão transversal, principalmente relacionada com a abertura das fendas diagonais. 85

93 De forma simplificada, estes efeitos são considerados na EN1992 através da verificação: c f ck 250 f cd Assim, definido o modelo de calculo e o ângulo, passa a se poder estabelecer uma relação directa entre o esforço transverso resistente e a compressão máxima admissível na alma, como proposto no Eurocódigo 2. EUROCÓDIGO 2 O valor do esforço transverso resistente, condicionado pela resistência do betão na alma, é dado pela expressão (2) tal que: V Rd,max = cw b w z 1 f cd cotg + tg (2) onde cw = 1 para estruturas sem pré-esforço e 1 = f ck 250 Então, esta expressão pode ser escrita na forma: V Rd,max = b w z f ck f cd 250 cotg + tg V Rd,max (cotg + tg ) = f ck z b w 250 f cd V Rd,max z b w sen cos = f ck 250 f cd, equivalente às deduções acima descritas. Refira-se que o máximo valor de V rd se verifica para o caso do ângulo ser de 45º, e que neste caso o valor reduzido de esforço transverso, já atrás referido, é dado por v rd = V rd b w df cd e toma no máximo um valor de

94 Este pode então ser considerado como o maior valor de esforço transverso reduzido que pode ser resistido para uma dada secção e resistência de betão, independentemente da quantidade de armadura. Finalmente, nas zonas dos apoios, haverá que verificar a adequabilidade das suas dimensões, para o que, de forma simplificada, também a EN1992 indica os seguintes valores limites de tensões resistentes, respectivamente para os casos de apoios sem e com continuidade: c 0.85 (1-f ck /250) f cd c 1.0 (1-f ck /250) f cd 7.3 Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão Numa zona intermédia da viga, se consideramos a actuar os esforços M e V, a resultante das tensões axiais têm naturalmente de ser nula, pois não há esforço axial. Deste modo, para equilibrar a componente horizontal da força inclinada na biela, F c, e acima avaliada, têm de se verificar, tracções na direcção longitudinal, nos banzos superior e inferior da viga. Estas provocam, assim, uma variação nas compressões e tracções devidas ao momento flector, M. Este efeito pode ser compreendido pelo esquema abaixo indicado. Vsd V 2 Fc cotg V 2 cotg Fc FT Vsd F V T = F c cos = V cos = V cotg sen A componente horizontal das compressões inclinadas no betão impõe, por equilíbrio axial, a necessidade de uma força de tracção,f V, que se distribui igualmente pelos T 87

95 banzos comprimido e traccionado, por forma a não alterar o momento aplicado à secção. Considerando a sobreposição dos efeitos de flexão e esforço transverso, verifica-se então, como abaixo esquematizado, que haverá no banzo traccionado um incremento de tracção e no comprimido um alívio das compressões. Refira-se que na zona de momento nulo de uma viga, com esforço transverso diferente de zero, geram-se tracções superiores e inferiores. F M F V F M F V M V + = V M F M F V F M F V F M = M z ; FV = V 2 cotg Este efeito deve ser considerado na pormenorização das armaduras, como se verá na análise da dispensa longitudinal das armaduras de flexão Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de extremidade Analisemos, agora, o sistema de transmissão de forças junto ao apoio simples, referindo-nos às figuras seguintes, com representação dos campos de tensões ou só das suas resultantes. Verifica-se que, por um simples equilíbrio de nó de treliça, se gera uma tracção na armadura longitudinal, F T, dependente da reacção do apoio e da inclinação da resultante do campo de tensões em leque, 1 88

96 1 z b b + z 2 2 cotg z cotg R 1 Fc FT R R = F c sen 1 F c = sen 1 F T = F c cos 1 F T = R cos 1 sen 1 = R cotg 1 cotg 1 = b 2 + z 2 cotg z = 0.5 b z cotg Como F T depende da largura do apoio, pode tomar-se por simplificação: 1) Apoio pontual (b = 0) cotg 1 = 0.5 cotg F T = R 2 cotg 2) z 2b cotg 1 =0.5 b 2b cotg = cotg F T =R ( cotg ) Aproximadamente, e de uma forma conservativa, poderá em geral considerar-se: F T = 1.20 R ( 1 40) Refira-se que a área de armadura longitudinal inferior a adoptar nestes apoios sem continuidade deverá ser sempre, pelo menos, 25% da área de armadura adoptada na zona do meio vão Armadura longitudinal no vão Considera-se, agora, a análise da situação corrente de uma viga simplesmente apoiada, como a representada na figura seguinte, e com base no modelo acima descrito, definem-se os diagramas da força de tracção na armadura longitudinal. 89

97 M FT M/z + V FT V/2 cotg = M+V FT M/z + V/2 cotg Verifica-se que a variação da força de tracção ao longo do vão tem uma menor variação ao longo do vão não sendo nula junto ao apoio (ver 1.2.4) e que na zona do vão não é afectada em relação à da flexão, no vão central. Em termos práticos, verifica-se, ser mais conveniente, para determinar a tracção necessária em vez de somar as duas forças, avaliar a distancia, x (ver esquema a seguir), segundo o eixo longitudinal, processo que se denomina de translacção do diagrama de momentos. = d dx M z = 1 z dm dx = V z por outro lado, tg = V/2 cotg x As flexão V 2 cotg 1 x = V z x = z 2 cotg V/2 cotg x M/z necessária As Refira-se que a análise da dispensa de armadura longitudinal será, na prática, efectuada, não a partir do diagrama de momentos flectores, mas deste, depois de efectuada esta translacção, no valor dez/2 cotg Apoio de continuidade A análise da zona de um apoio de continuidade é extremamente interessante pois, trata-se de uma região com momento flector e esforço transverso significativos, à esquerda e direita. 90

98 Geram-se dois campos de tensão em leque a partir do apoio, verificando-se que, com base no modelo de escoras e tirantes, a tracção superior tem tendência a formar um patamar constante, com valor dependente só do momento flector (ver figura em baixo). De facto a influência do esforço transverso, ou seja da inclinação das compressões na força de tracção, só se faz sentir a uma certa distância do apoio, não influenciando o valor máximo de força de tracção devida à flexão, mas tão só alargando essa zona. FT = const. z 1 1 M V z + 2 cotg M - V cotg z 2 z cotg b z cotg DFT M/z V 2 cotg Define-se assim, também na zona de momento negativos, um diagrama de flexão com translacção, a partir do qual deve ser definida a dispensa de armaduras. 7.4 Disposições das armaduras transversais A área mínima de armadura transversal, que se justifica pela mesma razão da flexão, pode ser quantificada através da imposição de uma percentagem de armadura, dada, no EC2, por: w,min = 0.08 f ck f yk A percentagem geométrica de armadura transversal é definida através da expressão: w,min = A sw s b w 7.5 Espaçamento entre estribos e sua pormenorização Por forma a evitar que a fenda se forme entre estribos, o espaçamento máximo entre estribos deverá respeitar a condição: s 0.75 d (1 + cotg ), onde d representa a altura útil do elemento e a eventual inclinação da armadura transversal. 91

99 Usualmente utilizam-se espaçamentos entre e 0.30 m (ou, preferencialmente, para vigas correntes, entre 0.10 e 0.25 m), não devendo ultrapassar-se, em geral, 0.5 d. A armadura transversal é em geral, formada por um ou mais estribos, cada um com dois ramos, que deverão em princípio, serem fechados. O EC2 abre, no entanto, a possibilidade a outras hipóteses. O espaçamento transversal entre ramos de estribos deve ser tal que: s t 0.75 d 600 mm Assim para vigas largas, com mais de 60 cm, ou menos largas mas pouco altas, é, por razões de eficiência na transmissão das compressões das bielas aos estribos verticais, necessário ter mais do que um estribo (2 ramos) ver figura seguinte. Verifica-se que as tensões de compressão tendem a se apoiar nos cantos dos estribos (onde também existem ferros longitudinais) e que, como se percebe, não devem estar muito afastados para uma maior uniformidade da transmissão de forças. 92

100 EXERCÍCIO 5 Considere a estrutura da figura seguinte: q = 12kN/m g = 25kN/m Materiais: C25/30, A400NR Responda ás seguintes questões, tentando compreender e interpretar as implicações de adoptar diferentes ângulos de inclinação das bielas de compressão: a) Calcule as armaduras transversais admitindo, para inclinação das bielas de compressão, ângulos de 30 e 45. b) Verifique, para ambas as situações, a tensão máxima de compressão nas bielas. c) Calcule, para ambas as situações, os efeitos na armadura longitudinal. d) Pormenorize a armadura longitudinal ao longo da viga. 93

101 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5 ALÍNEA A) 1. Determinação dos esforços p sd = g g + q q = 1.5 ( ) = 55.5 kn/m M sd = pl2 8 = = 173.4kNm V sd = = kn 2. Cálculo das armaduras transversais para = 30 z cotg = 0.9 d cotg = cotg 30 = 0.87m V sd (z cotg = = 90.5kN A sw s V sd z cotg f = 90.5 yd = 3.0 cm 2 /m 3. Cálculo das armaduras transversais para = 45 z cotg = cotg 45 = 0.5m V sd (z cotg = = 111.1kN A sw s = = 6.39cm2 /m ALÍNEA B) i) = 30 c = V sd 0.9 d b w sen cos = sen 30cos 30 = 1393kN/m2 ii) = 45 c = sen 45 cos 45 = 1481kN/m2 c f ck 250 f cd = = 9018 kn/m 2 94

102 ALÍNEA C) 1. Armadura no apoio de extremidade i) Considerando um apoio pontual b = 0 F s = R 2 cotg = 30 F s = = 45 F s = cotg 30 = 120.2kN cotg 45 = 69.4kN ii) Considerando a largura do apoio F s = 1.2 R = = 166.6kN A s F s f yd = = 4.79cm 2 Comentário: menor maior área de armadura nos apoios 2. Cálculo do comprimento de translacção = 30 x = z 2 = 45 x = z 2 cotg = cotg = cotg 30 = 0.43m cotg 45 = 0.25m Comentário: menor maior comprimento de translacção 95

103 7.6 Amarração de Armaduras Comprimento de amarração Considere-se um varão de aço embebido, num determinado comprimento, no interior de um bloco de betão, conforme ilustrado na figura seguinte e admita-se uma tensão de corte entre o betão e o aço, com distribuição constante. fbd Fs = As sd lb,rqd f bd tensão de aderência de cálculo (b- bond ; d- design) Nestas condições é possível definir o valor do comprimento necessário l b,rqd para que, quando o varão for submetido a uma força de tracção, não haja escorregamento entre os dois materiais. Deste modo, F Rc F s A c f bd F s, onde A c = l b e representa a área de betão em contacto com a armadura. A c f bd F s l b,rqd f bd = A s sd l b,rqd f bd = 2 4 sd De onde resulta l b,rqd = 4 sd f bd (Comprimento de amarração base) O valor da tensão de aderência (f bd ) pode ser calculado, segundo o EC2, através da seguinte expressão: f bd = f ctd onde, f ctd representa o valor de dimensionamento da resistência do betão à tracção; 1 é um coeficiente que depende da qualidade da aderência e da posição do varão durante a betonagem ( 1 = 1.0 para boas condições de aderência; 1 = 0.7 para outras condições de aderência); 96

104 2 é um coeficiente que depende do diâmetro do varão ( 2 = 1.0 para 32 mm; 2 = (132 - ) / 100 para 32 mm). Os varões dizem-se em condições de boa aderência se verificarem uma das seguintes condições: formem com a horizontal um ângulo entre 45º e 90º; estejam integrados em elementos com espessura (na direcção da betonagem) inferior ou igual a 25 cm; quando a espessura excede 25 cm, os varões estão em boas condições de aderência se se situarem na metade inferior do elemento ou a mais de 30 cm da sua face superior. O comprimento de amarração necessário l bd pode ser avaliado através da expressão: onde, l bd = l b,rqd l b,min é um coeficiente que tem em conta a forma do varão na zona da amarração; é um coeficiente que tem em conta o recobrimento do varão; é um coeficiente que tem em consideração o efeito do cintagem das armaduras transversais à amarração; é um coeficiente que tem em consideração o efeito de varões transversais soldados ao longo do comprimento de amarração; é um coeficiente que tem em consideração o efeito favorável da existência de tensões de compressão transversais ao plano de escorregamento, ao longo do comprimento de amarração. Sendo clara a influência de todos estes factores no comprimento de amarração, na prática tomam-se, em geral, opções simplificativas que devem ser conservativas. De qualquer forma, há que assegurar, um comprimento de amarração mínimo l b,min, tal que: varões traccionados: l b,min = máx {0.3 l b,rqd ; 10; 100 mm} varões comprimidos: l b,min = máx {0.6 l b,rqd ; 10; 100 mm} 97

105 Simplificadamente, e para varões traccionados com amarrações curvas tem-se l b,eq = 1 l b,rqd = 0.7 l b,rqd ou 5 lb,eq lb,eq ( 90) Esta redução é válida se a distância livre entre varões e/ou o recobrimento na direcção perpendicular à amarração forem superiores a 3. Por exemplo para varões comprimidos ou traccionados com barras transversais soldadas (situação não muito corrente) o EC2 propõe: l b,eq = 4 l b,rqd = 0.7 l b,rqd t lb,eq Para se ter uma rápida avaliação dos comprimentos de amarração é extremamente útil ter o multiplicador do diâmetro tal que: l b = k como expresso na tabela seguinte, sem considerar os coeficientes, e admitindo s = f yd. VALORES DE k = l b / para s = f yd C20/25 C25 C30 C35 C40 C45 C50 A400 1 = 1 1 = A500 1 = 1 1 = Exemplifica-se seguidamente a avaliação do comprimento de amarração necessário de um varão 16 solicitado por uma força de 45kN. 98

106 Materiais: C25/30 lb,rqd A400NR 45 kn f bd = f ctd = = 2.7 MPa l bd = l b,rqd = 4 sd f = bd = 20.7 = 0.33 m Este valor é inferior ao da tabela pois o nível de tensão é menor que f yd. sd = = MPa Comprimento de emenda As emendas dos varões das armaduras ordinárias devem, se possível, ser evitadas e caso sejam necessárias, devem ser efectuadas em zonas em que os varões estejam sujeitos a tensões pouco elevadas. As emendas de varões podem ser realizadas por sobreposição, por soldadura, ou por meio de dispositivos mecânicos especiais (acopladores, por exemplo). As emendas por sobreposição devem satisfazer os seguintes critérios: Não localizar as emendas nas zonas de maiores esforços; Procurar manter a simetria; A distância livre entre armaduras não deve ser superior a 4 ou 50 mm, caso contrário o comprimento de emenda deve ser acrescido de (s 4); A distância longitudinal entre duas emendas adjacentes não deverá ser inferior a 0.3 l 0 ; No caso de duas emendas adjacentes, a distância livre entre varões não deve ser inferior a 2 ou 20 mm; 99

107 A percentagem de varões a emendar numa mesma secção transversal pode ser de 100% caso os varões estejam dispostos numa única camada, ou de 50% se os varões estiverem dispostos em várias camadas. O comprimento de emenda (l 0 ) deve ser calculado, de acordo com o EC2, com a expressão: l0 F F l 0 = l b,rqd l 0,min onde os coeficientes, são os definidos anteriormente e 6 é um coeficiente que tem em conta a relação entre a secção dos varões emendados e a secção total dos varões existentes na mesma secção transversal. Normalmente há que considerar valores mínimos do comprimento de emenda, que o EC2 define como sendo l 0,min = max {0.3 6 l b,rqd ;15;200mm} Para que duas emendas possam ser consideradas em secções diferentes há que respeitar as seguintes indicações: 0.65 l l0 Nas zonas de emendas geram-se tensões de tracção na direcção transversal que podem recomendar a disposição de armaduras específicas se aquelas forem elevadas. Nesse sentido as necessidades de reforço na zona da emenda (dispensável no caso 20 mm ou se a percentagem de varões emendados seja inferior ou igual a 25%) é dada, no EC2, por: a) Armadura em tracção 100

108 b) Armadura em compressão a) Armaduras em tracção a) Armaduras em tracção b) Armaduras em compressão b) Armaduras em compressão 101

109 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5 (CONT.) Materiais: C25/30, A400NR q = 12kN/m g = 25kN/m ALÍNEA D) 1. Cálculo da armadura necessária a meio vão M sd = 173.4kNm = M sd bd 2 f = cd = = A s = b d f cd f yd = 9.84cm2 Adoptam-se (10.3cm 2 ) Visto que A apoio s 4.79cm2, é possível dispensar Cálculo do M Rd correspondente a 220 (6.28cm 2 ) = A s b d f yd f cd = = = M Rd = b d 2 f cd = = 113.7kNm 3. Determinação da secção de dispensa de armadura 55.5 kn/m M(x) = x x2 2 = DMF kn kn x = x x 2 M sd = M Rd 138x x 2 = x = 3.97m x = 1.03m M(x) (+) f bd = f ctd = = 2.7 MPa 102

110 sd = = 212.2MPa l bd= sd = =19.6 = 0.31m 4 f bd a L = z 2 cotg = 0.43m Secções de dispensa de armadura: x 1 = a L - L b.net = = 0.29 m x 2 = a L + L b.net = = 4.71m 103

111 EXERCÍCIO 6 Para a estrutura já analisada no Exercício 1 determine: a) As armaduras transversais necessárias ao longo da viga b) A distribuição de armaduras longitudinais ao longo da viga c) Pormenorize as armaduras na viga RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6 ALÍNEA A) 1. Determinação do esforço transverso solicitante p=1 kn/m DEV [kn] 4.55 (+) 3.0 (+) (-) 5.45 Considerando alternância de sobrecarga, p=1 kn/m DEV [kn] 5.0 (+) (-) 5.0 p=1 kn/m DEV [kn] ( ) (+) V A sd = 1.5 ( ) (12 5) = 282.8kN 104

112 V B.esq sd V B.dir sd = 1.5 ( ) ( ) = 392.0kN = 1.5 ( ) 3 = 181.1kN i) Envolvente do diagrama de esforço transverso (+) (+) (-) ii) Determinação de V sd (z cotg Considerando = 30, d = 0.80m ; z 0.9 d = 0.72 m z cotg = 0.72 cotg 30 = 1.25 m V sd,a (z cotg = = kn V sd,b esq (z cotg = = kn V sd,b dir (z cotg = = kn 2. Verificação das compressões i) Bielas comprimidas c máx = V sd (zcotg zb w sen cos = sen 30 cos30 = kN/m2 2.7MPa máx c ii) Apoio f ck 250 f cd = = 9018 kn/m 2 c = R A ap 0.85 f cd R B sd = = 510.1kN c = = kN/m2 5.7MPa 0.85 f cd = = 14.2MPa 105

113 3. Cálculo da armadura transversal nos apoios i) Apoio A A sw s = V sd (z cotg = z cotg f yd 0.72 cotg = 4.78cm 2 /m ii) Apoio B (esq.) A sw s = cotg = 5.84cm 2 /m iii) Apoio B (dir.) A sw s = cotg = 2.43cm 2 /m iv) Cálculo da armadura mínima w,min = 0.08 f ck f yk = = w,min = A sw 1 = A sw = s min b w s 4 = 3.0cm 2 /m min (adoptam-se estribos 8//0.25) 4. Determinação da zona da viga em que se adopta (A sw /s) min i) Cálculo de V Rd, min Estribos 8// cm 2 /m V Rd = A sw s z cotg f yd = cotg = 174.5kN x1 x2 x 1 = = 1.79m ; x 2 = = 2.56m ALÍNEA B) A apoio s ; Avão s

114 1. Cálculo do comprimento de translacção a L = z 2 cotg = Armadura inferior cotg 30 = 0.62m i) Plano de dispensas: ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas Armadura A s [cm 2 ] M Rd [knm] x2 x1 x4 x iii) Cálculo das coordenadas x Carregamento correspondente ao máximo momento no vão sc=12.0 kn/m cp=28.3 kn/m DMF [knm] kn (-) (+) x 60.4 kn/m x M(x) M(x) = x x2 2 = x x kn 107

115 M Sd = 493.8kNm x x 2 = x 3 = 7.04m x 2 = 2.32m M Sd = 256.5kNm x x 2 = x 4 = 8.35m x 1 = 1.02m iv) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura Dispensa de x 2 = x 2 a L - L b.net = = 1.16 m x 3 = x 3 + a L + L b.net = = 8.20 m f bd = f ctd = = 2.7 MPa sd = = 232 MPa l bd= 4 sd f = bd = 0.54 m Dispensa de x 1 = x 1 - a L - L b.net = = 0.0 m x 4 = x 4 + a L + L b.net = = 9.37 m sd = = 174 MPa l bd= 4 v) Verificação da armadura no apoio sd f = bd = 0.40m 1) Considerando pilares [m 2 ]: F T = Rcotg 1 = R 0.5 b z +0.5 cotg = cotg 30 = 303.8kN A s = = 8.73cm 2 < As (425) = 19.63cm 2 2) Considerando indirectamente a dimensão do pilar F T = 1.2 R = = kn As = 9.75cm2 < 19.63cm 2 3) Considerando um apoio pontual F T = R 2 cotg 1 = Armadura superior cotg 30 = 244.9kN A s = 7.04cm 2 < 19.63cm 2 i) Plano de dispensas:

116 ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas Armadura A s [cm 2 ] M Rd [knm] x2 x1 x4 x3 iii) Cálculo das coordenadas x Carregamento correspondente ao máximo momento negativo no apoio e no vão à esquerda do apoio: sc=12.0 kn/m cp=28.3 kn/m p consola sd p vão sd = 60.4kN/m = = 42.4kN/m V dir = 3.0 ( ) 1.5 = 181.1kN sd V esq sd Consola = ( ) 1.5 = 239.0kN 272 knm kn x 60.4 kn/m Msd(x) M sd (x) = 60.4 x x x = 30.2x x M sd = 211.6kNm 30.2 x x = x 1 = 0.35m M sd = 109.0kNm 30.2 x x = x 3 = 1.10m 109

117 Vão Msd(x) x 42.4 kn/m 272 knm kn M sd (x) = 42.4 x x x 2-239x x = M sd = 211.6kNm 21.2 x x = x 2 = 0.26m M sd = 109.0kNm 21.2 x x = x 4 = 0.73m M sd = x x = 0 x 5 = 1.28 m 4) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura Dispensa de x 1 = x 1 + a L + L b.net = = 1.40 m x 2 = x 2 + a L + L b.net = = 1.31 m f bd = f ctd = = 1.89 MPa sd = = 271.6MPa l bd = sd = f bd = 0.43m Dispensa de x 3 = x 3 + a L + L b.net = = 2.08 m x 4 = x 4 + a L + L b.net = = 1.71 m x 5 = = 2.12m sd = = 174 MPa l bd= 4 L b,min = 10 = 0.16 m sd f = bd = 0.37m 110

118 7.7 ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA Como referido na flexão de secções em T as compressões no banzo distribuem-se neste, não ficando limitadas à alma. O sistema base de resistência ao esforço transverso desenvolve-se na alma, que distribui, então, as compressões (ou tracções se se tratar de um banzo traccionado) para os banzos. A compreensão deste mecanismo não é imediata e para a facilitar é fundamental a representação gráfica como a que se reproduz na figura seguinte, com indicação dos campos de tensões nos planos da alma e dos banzos e respectivas forças resultantes. Na figura está representado um modelo em que, numa análise a partir da reacção de apoio, se verifica que as tensões na alma do campo em leque ao atingirem o banzo dispersam neste, para um e outro lado, gerando tracções de equilíbrio transversais no banzo, numa zona já mais afastada do apoio. Tal verifica-se, depois, para os restantes campos paralelos de tensões, obtendo-se a distribuição de compressões no banzo da zona do vão, prevista na flexão. 111

119 Se se definirem dois ângulos para as treliças da alma e do banzo, 1 e 2 respectivamente, é possível avaliar as forças em causa a partir de um campo de tensões paralelo na alma como apresentado de seguida. z cotg 1 Fc' 2 fc' fc z 1 Fc z cotg 1 Onde, f c f c representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas da alma representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas do banzo F c e F c representam as resultantes dessas forças distribuídas Em planta, a avaliação da força F T z cotg 1 pode ser estimada como se apresenta de seguida: F T = F ' c sen 2 = F c 2 cos 1 sen 2 cos 2 = Fc cos 1 2 Fc' FT = F c 2 tg 2 cos 1 A sf = F T f syd A sf s = F T z cotg 1 f yd = F c sen 1 2 z cotg 2 f yd Como F c = V sen A sf 1 s = V 2 z cotg 2 f yd Considerando que 1 = 2, a armadura de ligação banzo-alma deve ser igual ou superior a metade da armadura de esforço transverso A sf = 1 s 2 A sw. s A este propósito, no que se refere em particular aos campos de compressões nos banzos ( 2 ), sugere a EN1992, pelas razões já anteriormente discutidas, que se considere [1 cotg 2 2] no caso de banzos comprimidos, e [1 cotg ] para situações de banzos traccionados. 112

120 Refira-se que, em geral, numa viga pertencente a uma laje vigada, a armadura da laje é normalmente suficiente para absorver as forças de tracção na ligação banzo-alma, pelo que não se justifica a determinação de armadura específica, nesses casos. 7.8 ARMADURA DE SUSPENSÃO Analisámos a transmissão de forças ao longo das vigas de betão armado, em situações próximas da rotura para as situações em que a carga é transmitida ao banzo superior da viga, como são as situações correntes. No entanto, há casos em que tal não se verifica havendo que prevêr mecanismos de transmissão de carga adequados e dimensionar as armaduras correspondentes. São, por exemplo, os dois casos que vamos analisar, a saber: A situação de uma transmissão contínua da carga à parte inferior da viga, como por exemplo de uma viga invertida, com a laje apoiada no banzo inferior. As situações de apoio de uma viga noutra, denominadas de apoios indirectos, em que a carga é transmitida pela biela comprimida da viga secundária, à parte inferior da viga principal CARGA DISTRIBUÍDA APLICADA NA PARTE INFERIOR DA VIGA Como se esquematiza nas secções transversais abaixo indicadas a laje apoia-se na parte inferior da viga pelo que tem de ser transmitida para a face superior da através de uma armadura de suspensão. Este processo de suspensão deve ser efectuado ao longo da viga para a carga distribuída transmitida pela laje, p sd /m. No fundo a armadura deve ser dimensionada para absorver a carga suspensa por metro, tal que: A s /m > p sd/m f yd Para a aplicação de carga excêntrica é judicioso admitir a suspensão só com um ramo. 113

121 Naturalmente, que a quantidade de armadura necessária para transmitir a carga ao banzo superior tem de ser adicionada à de esforço transverso (correspondente ao processo de transmissão das cargas do banzo superior da viga aos seus apoios) APOIOS INDIRECTOS Denomina-se por apoio indirecto de uma viga a situação desta se apoiar através da ligação a outra viga, em vez de directamente sobre um dispositivo de apoio ou pilar. Nestes casos, numa viga de betão armada com fendilhação desenvolvida, temos que: 1- A carga da viga I (ver esquemas seguintes) é transmitida pelas bielas comprimidas à parte inferior da viga principal (viga II neste esquema). 2- A partir daí a carga é suspensa para o banzo superior da viga II, através de estribos a colocar na região de ligação das vigas. 3- Uma vez suspensa, a carga está em condições de ser encaminhada para os apoios da viga principal (II), seguindo o modelo geral de esforço transverso. 114

122 Representa-se na figura seguinte o modelo de cálculo, para o caso de duas vigas. Refira-se que, no caso geral de uma grelha, a armadura de suspensão é calculada para a diferença de esforço transverso à esquerda e direita das vigas, havendo que identificar qual é a principal. 1 P 2 115

123 h1 1 V 2 h2 A viga transmite as cargas à viga através das bielas comprimidas. A carga transmitida à viga principal terá de ser transmitida para a face superior através de estribos de suspensão A s = V f yd Como indicado nas figuras anteriores (ver pormenor em planta), a armadura de suspensão deve preferencialmente localizar-se na região de ligação das vigas. No entanto, caso necessário, poderá alargar-se ligeiramente a zona de distribuição desta armaduras, como se esquematiza na figura seguinte. h1/2 h1/3 1 h2/3 h2/

124 EXERCÍCIO 7 Considere a estrutura da figura seguinte: sc cp S2 S Materiais: C20/25, A Acções: pp + revest. = 20.0 kn/m sobrecarga = 40.0 kn/m Coeficientes de majoração: G = Q = 1.5 a) Para a estrutura já analisada no Exercício 4, verifique a segurança ao Estado Limite Último de Esforço Transverso e pormenorize as armaduras transversais na secção. 117

125 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 7 ALÍNEA A) 1. Verificação da segurança ao E.L.U. de Esforço Transverso i) Determinação de V sd p sd = 1.5 ( ) = 90kN/m DET [kn] (+) (-) (-) (+) = 30º z cotg = cotg 30 = 1.48m V sd, dir (z cotg = = kN V sd, esq (z cotg = = 181.8kN ii) Verificação das compressões na alma c = V sd (z cotg z b w sen cos = sen 30 cos 30 = kN/m2 c f ck 250 f cd = = 7342 kn/m 2 iii) Cálculo da armadura transversal junto aos apoios A sw s = V sd (z cotg z f yd cotg A sw s A sw s dir esq = = = 6.15cm 2 /m = 3.53cm 2 /m 2. Cálculo da armadura de suspensão Nota: Admite-se que a sobrecarga está a actuar no banzo inferior 118

126 cp* = cp pp almas = 20 - ( ) 25 = 10kN/m Força de suspensão: F s = 1.5 ( ) = 75.0kN/m cp*+sc A s s = suspensão = 2.16cm 2 /m dir A s s = TOT esq A s s = TOT A sw s A sw s dir esq + + (a adicionar à armadura de esforço transverso) A s s = = 8.31cm 2 /m susp A s s = = 5.69m susp 3. Cálculo da armadura transversal mínima w,min = 0.08 f ck f yk = = w,min = A sw s 1 min b = w A sw s min = =3.6cm 2 /m 4. Cálculo da armadura de ligação banzo-alma A sf s = V sd 2 z cotg 2 f syd 1 = 2 A sf s = 1 2 A sw s A dir s 6.15 = s 2 = 3.08cm 2 /m ; A esq s 3.53 = s 2 = 1.77cm 2 /m 5. Armadura transversal de flexão no banzo cp* + sc = = 50 kn/m cp*+sc p sd = / 0.6 = kn/m

127 0.80 pl 2 /24 pl 2 /12 pl 2 12 = = 6.7kN/m = M sd 6.7 b d 2 f = cd = = A s =bd f cd f yd = = 1.70cm 2 /m (A stot /ramo) dir = (A stot /ramo) esq = = 3.24cm 2 /m = 2.59cm 2 /m 120

128 TRANSMISSÃO DE CARGAS CONCENTRADAS PRÓXIMAS DOS APOIOS Como se ilustra na figura seguinte, cargas concentradas aplicadas na proximidade dos apoios podem transmitir-se, ainda que parcialmente, directamente aos apoios. Efectivamente, como sugerem as trajectórias elásticas de tensões, apenas uma parte da carga parece dirigir-se à zona inferior da viga (necessitando por isso de armaduras transversais), podendo a restante parcela ser directamente transmitida ao apoio. No modelo de dimensionamento indicado, adaptado ao comportamento de um elemento de betão estrutural, identificam-se as parcelas, F1 (carga que se transmite directamente) e a restante, F2, necessitando de armadura transversal no seu processo de encaminhamento até ao apoio. F F1 T=C M=F x a C F2 F F1 F2 C2 C1 a z af a1 Com base no modelo apresentado, podem em geral considerar-se as seguintes indicações ( FIP/fib Recommendations for Practical Design of Structural Concrete 1999, SETO, London): a < z/2 A carga é transmitida directamente para o apoio (não sendo necessário acréscimo de armadura transversal). a > 2 z A carga é totalmente transmitida segundo o modelo geral de esforço transverso (considerar a totalidade do esforço transverso para o dimensionamento da armadura)

129 z/2 < a < 2 z Para o dimensionamento das armaduras transversais correspondente à carga F, pode apenas ser considerada a parcela F1, dada por, F 1 = 2a z F que, na sua transmissão ao apoio, requer transferência de carga do banzo inferior ao superior. 122

130 EXERCÍCIO 8 Considere a estrutura seguinte. P Calcule as armaduras transversais necessárias, considerando apenas a actuação da carga P sd = 300kN. 123

131 Resolução do Exercício 8 Neste caso, z = = 0.54m e a = 0.8m z 2 = 0.27m < a < 2 z = 1.08m, pelo que, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e a outra parte é transmitida pelo mecanismo de treliça. 1. Determinação da parcela da carga considerada para o dimensionamento da armadura transversal 300 kn A B DEV [kn] 0.80 RA=252 kn 252 (+) 4.20 RB=48 kn M A = R B 5.0 = 0 R B = 48kN R A = kN (-) 48 P 1.Sd = P sd = 0.65 P sd 2. Cálculo da armadura transversal A s = 4.7cm 2 A s s = = 11.75cm2 /m = 5.88cm 2 /m 3. Cálculo da armadura longitudinal Rsd,1 Rsd,2 R sd,1 = = kn R sd,2 = = 88.2 kn F sd = R sd,1 cotg 1 + R sd,2 cotg 2 = 1 2 Fsd = = 252kN A SL = = 7.24cm 2 124

132 7.10 ARMADURA INCLINADA Nos casos em que a armadura de esforço transverso for constituída por armadura inclinada (e não vertical), há que adaptar o modelo de treliça apresentado anteriormente. Apresenta-se, seguidamente a dedução das expressões de dimensionamento para esses casos. Fs V z z cotg z cotg z cotg + z cotg bielas comprimidas tirantes F A sw f yd V sd sen A sw V sd sen 1 f yd Fs Vsd A sw s = V sd sen 1 z (cotg + cotg ) 1 f yd A sw s = V sd z (cotg + cotg ) sen f yd Barras horizontais (força de tracção a distribuir nos banzos superior e inferior): F T = F c cos - F s cos = V sd sen cos - V sd sen cos F T = V sd (cotg - cotg ) É interessante verificar que para armaduras inclinadas a 45 e com a inclinação das bielas também a 45 não há influência o esforço transverso nos banzos traccionados e comprimidos de flexão. Compressões na alma: c = V sd (1 + cotg 2 ) b w z (cotg + cotg ) f ck 250 f cd ou V max rd = b w z f ck 250 f cd (cotg + cotg ) (1 + cotg 2 ) Verifica-se que, naturalmente, estas expressões são equivalentes às deduzidas anteriormente se =

133 7.11 SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL Nos casos em que as secções apresentam largura variável, b w considera-se, para efeito da avaliação das compressões nas bielas de compressão, a menor largura numa zona compreendida entre a armadura traccionada e ¾ da altura útil. bw bw 3/4 d d No caso de secções circulares, poderá considerar-se, para efeitos da verificação da segurança ao esforço transverso, uma secção rectangular equivalente, com as seguintes características: AsL AsL/2 de D be0.9d de = 0.45D d - D FORÇAS DE DESVIO (expressão aferida experimentalmente) Apresenta-se seguidamente alguns aspectos que são necessários ter em consideração na pormenorização de armaduras longitudinais em situações de mudança de direcção das armaduras ou da superfície do betão. Quando um varão de uma armadura traccionada possui um ponto anguloso, gera-se uma força de desvio nesse ponto, tal como ilustrado na figura seguinte. FD Fs Fs Nestes casos, há que ter em atenção a posição do varão e o valor e sentido da força de desvio da armadura. Se essa força é no sentido do interior da peça é facilmente absorvida. Pelo contrário se a força tem o sentido do interior para o exterior da peça, poderá provocar a rotura local da camada de betão de recobrimento. 126

134 (a) Situação em que não ocorre rotura (b) Situação em que poderá ocorrer rotura Para contrariar este efeito há que tomar disposições de pormenorização que a seguir se referem dependentes da maior ou menor variação angular. i) >15 - Solução muito usual de amarrar a armadura de um e outro lado do desvio angular, evitando-se a força de desvio para o exterior. M M ii) <15 - Situação possível de manter a armadura contínua e suspender a força de desvio, amarrando-a na face contrária. A Secção A-A M A M ou Por outro lado, poderá haver situações em que a força de desvio se verifica do lado das compressões, gerando-se a tendência para o canto de betão saltar devido à menor resistência do betão à tracção. Nestes casos pode-se agarrar a força de desvio da zona comprimida do betão amarrando-a, com estribos, na face oposta. 127

135 Fc FD Fc M M 7.13 TORÇÃO Em regime elástico linear as tensões tangenciais na secção têm a distribuição esquematizada na figura seguinte, de onde decorre que, para um elemento de betão armado, a fendilhação diagonal desenvolver-se-á, na direcção longitudinal, ao longo do contorno da secção. Assim sendo, os modelos anteriormente apresentados para o esforço transverso serão neste capítulo generalizados ao estudo de elementos de betão submetidos à torção. Por outro lado, como se analisa de seguida, em várias situações de dimensionamento prático verifica-se que é possível equilibrar as cargas sem torção, através de uma determinada redistribuição de esforços, solução que se adopta correntemente. Para tal é importante, desde já, distinguir as situações de torção de equilíbrio e de compatibilidade TORÇÃO DE EQUILÍBRIO A distribuição de esforços tem de incluir a torção para o equilíbrio da estrutura, ou seja, não é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a existência de momentos torsores. 128

136 Exemplo simples: Fs DMT [knm] (-) A barra longitudinal tem necessariamente de ter torção, pois trata-se de uma estrutura isostática TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE Como ilustrado na figura seguinte, ao ocorrer a fendilhação por torção, verifica-se uma importante redução da rigidez de torção. Pode também observar-se que, tanto a capacidade resistente à torção como a rigidez após fendilhação, apresentam valores muito próximos para vigas maciças ou ocas, com iguais dimensões exteriores e quantidades de armaduras. Se a estrutura é hiperstática a distribuição de esforços depende, como é conhecido, da relação entre a rigidez de flexão e torção. No caso limite de se considerar uma rigidez de torção nula é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a existência de momento torsor na estrutura. Como se referiu, a redução de rigidez de torção é muito significativa, após a fendilhação, pelo que a estrutura tende a equilibrar as cargas com poucos esforços de torção. Assim, nesses casos, em muitas situações admite-se, na verificação da 129

137 segurança à rotura, uma distribuição de esforços sem torção, com base na tendência natural do comportamento e no método estático da Teoria da Plasticidade. Exemplo: Como se compreende, é neste caso possível equilibrar, com ou sem esforços de torção na barra transversal, as cargas aplicadas a esta estrutura. De facto, se a rigidez de torção da barra transversal fôr nula, a barra longitudinal pode apoiar-se indirectamente na viga transversal sem transmissão do momento negativo TORÇÃO ANALISADA COMO ESFORÇO TRANSVERSO No que se segue apresenta-se os mecanismos de funcionamento estrutural de peças submetidas à torção, próximo da rotura, em elementos de betão armado. Como se ilustra nos esquemas juntos, para uma viga constituída por uma secção em caixão, o momento torsor de peça linear é estaticamente equivalente aos 4 esforços transversos que se desenvolvem nas paredes da secção. 130

138 A torção pode assim ser equiparada, em termos de dimensionamento, a 4 modelos de esforço transverso nas 2 almas e nos 2 banzos, com a necessidade de verificar a segurança nos mesmos campos de tensão correspondentes. Há, assim, necessidade de avaliar a armadura transversal necessária, verificar a limitação das compressões e, particularmente neste caso, calcular a armadura longitudinal que se desenvove nas ligações das paredes da secção. Para a análise de uma secção de betão armado sujeita a um momento torsor, pode definir-se, então, uma secção oca (secção oca eficaz), conforme ilustrado na figura 131

139 que se segue. Como anteriormente salientado, relembra-se que, mesmo para uma secção compacta, as zonas do contorno são as mais eficientes na resposta à torção. Tal tendência é reforçada num elemento de betão armado fendilhado por torção pelo que se propõe, em geral, na sua verificação da segurança, um mecanismo resistente que não considera o betão da zona interior da peça. de torção 2c t ef A u hef T hm onde, c = c + estribo + long /2 A área da secção de betão u perímetro da secção bm secção oca eficaz Representando a secção oca eficaz pela sua linha média, por condições de equílibrio: Em secções de parede fina, = T 2 e T área interior à linha média da secção e espessura da parede T pelo que, neste caso, = 2 h m b m t ef A resultante de cada uma destas tensões tangenciais não é mais que um esforço de corte em cada parede da secção, 132

140 VH T VV V H = t ef b m = V V = t ef h m = T 2 h m T 2 b m confirmando-se assim que a torção é equivalente à consideração de esforços transversos no contorno DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORÇO TRANSVERSO Considerando, portanto, o modelo de treliça com a definir pelo projectista, e partindo das verificações de esforço transverso, temos o seguinte. Compressão Tomando uma parede vertical da secção: c = V v t ef h m cos sen = T 2 b m t m h ef cos sen c = T sd 2 A ef t ef cos sen f cd, f ck A ef = b m h m (parede horizontal: conclusão semelhante) Armadura transversal de torção numa parede vertical, A st s = V v h m cotg f yd = T 2 b m h m t ef cotg f yd A st s = T sd 2 A ef cotg f yd (área de cada ramo do estribo) É importante referir que se tomasse uma parede horizontal as expressões de dimensionamento, função directa do momento torsor, seriam as mesmas. Armadura longitudinal de torção Como se verificou na verificação de segurança ao esforço transverso o equilíbrio da treliça só é possível com tracções longitudinais de valor F T = V cotg a distribuir igualmente nos banzos superior e inferior. No caso do esforço transverso com flexão, 133

141 verificou-se que esse incremento de força no banzo traccionado podia ser considerado através de uma translacção do diagrama de flexão, sendo que no banzo comprimido correspondia mesmo a um efeito favorável de redução das tensões de compressão. No caso da torção as forças de tracção desenvolvem-se ao longo de todo o contorno, sendo em geral mais prático, para o dimensionamento das armaduras longitudinais, considerá-las explicitamente, em conjunto com as forças correspondentes aos efeitos de flexão. H Numa parede vertical, A ' SL = V v cotg f yd VV VV hm Numa parede horizontal, A '' SL = V H cotg f yd (F T = V cotg ) bm VH Nas quatro paredes, A SL = 2 [V v + V H ] cotg f yd = 2 T T cotg + = 2 b m 2 h m f yd = T 2 (b m + h m ) cotg 2 b m h m f = T yd u ef 2 A ef cotg f yd A SL = T sd cotg u ef 2 A ef f yd, ou A SL u = T sd cotg ef 2 A ef f yd É interessante verificar que para igual a 45º as quantidades de armadura transversal e longitudinal por unidade de comprimento são iguais como seria normal na torção. 134

142 EXERCÍCIO 9 Determine o momento torsor resistente da secção indicada na figura. 420 Materiais: C25/30 Est. 8// A400 Recobrimento = 2.5cm

143 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 9 1. Determinação das características da secção oca eficaz h ef A u = = 0.1 m h ef = 2c' = 2 ( ) = 8.6 cm h ef = 0.09m b m = h m = = 0.31m A ef = b m h m = = m 2 u ef = = 1.24 m A st s = 3.35 cm2 /m ; A SL = cm 2 2. Verificação das compressões (Adopta-se = 30) T sd c = 2 A ef h ef cos sen f cd T sd 0.54 f cd 2 A ef h ef cos sen f ck T sd cos 30 sen 30 = 67.5kNm 3. Armadura transversal T sd A st s 2 A ef cotg f yd = cotg T sd 38.7kNm 4. Armadura longitudinal T sd A SL 2 A ef f syd = = 39.1kNm cotg u ef cotg T Rd = 38.7kNm 136

144 7.14 EFEITO CONJUNTO TORÇÃO / ESFORÇO TRANSVERSO Quando a torção está associada ao esforço transverso, há que ter em conta o seu efeito conjunto, como se esquematiza seguidamente. T/2hm Q3 V/2 V/2 + T/2bm = Q1 Q2 Q4 Em que os esforços de corte totais nas diferentes paredes da secção são dados por: Q 1 = V 2 + T ; Q 2 b 2 = V m 2 - T T ; Q 2 b 3 = Q 4 = m 2 h m 7.15 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORÇÃO Especificamente em relação às disposições de armadura de torção refere-se o seguinte ARMADURA TRANSVERSAL O espaçamento máximo da armadura transversal deve ser, de acordo com o EC2, tal que: s máx = min 1 8 u ef,b,h A recomendação da figura para que s seja inferior a 12 vezes o diâmetro longitudinal é também importante. Evidentemente se houver sobreposição com o esforço transverso as disposições condicionantes devem prevalecer. A armadura transversal deve ter o fecho dos estribos bem amarrados (ver figura seguinte), em particular os comprimentos dos ganchos de amarração. 137

145 ARMADURA LONGITUDINAL Devem-se seguir as seguintes orientações: (i) Espaçamento máximo da armadura longitudinal: s máx = 35 cm (ii) Disposição da armadura na secção transversal: Armadura disposta ao longo do contorno interior das cintas. Em cada vértice da secção deverá existir, pelo menos, 1 varão e esses cantos devem ter, se possível, um reforço de armadura em relação ao restante DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECÇÃO Chama-se particularmente a atenção para a consideração, na verificação da segurança, da sobreposição das compressões, quando se tem presente esforço transverso e torção, que limita o conjunto dos valores máximos esforço transverso/momento torsor. Também ao nível da pormenorização das armaduras há que considerar em conjunto as armaduras transversais de torção e esforço transverso e de torção e flexão. Finalmente, apresenta-se, em termos esquemáticos, as dependências, em termos de quantidades de armadura e/ou verificações das compressões máximas, entre as diferentes verificações de segurança. Msd Vsd Tsd AsL c Asw al c s Ast s AsL c compressão no banzo compressão nas bielas inclinadas armaduras longitudinais armaduras transversais 138

146 EXERCÍCIO 10 Verifique a segurança ao estado limite último da viga indicada na figura, na secção dos apoios. 30 kn/m psd (os apoios impedem a rotação da viga segundo o seu eixo) Materiais: C25/30; A400 Recobrimento = 2.5cm 139

147 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Determinação dos esforços 30 kn/m DMF [knm] DET [kn] 75.0 (+) (+) (+) 93.8 (-) 75.0 (-) M sd = pl2 8 = V sd = pl 2 = T sd = = 93.8kNm = 75kNm = knm Características da secção oca eficaz h ef = A u = ( ) = 0.09m h ef ( ) 2 7cm h m = = 0.41m ; b m = = 0.21 A ef = 0.21 x 0.41 = z = h m u ef = 2 ( ) = 1.24m p p Cargas transmitidas directamente ao apoio h ef z cotg V zcotg sd T zcotg sd = cotg 30 = 53kN = ( ) 0.41 cotg 30 = 8.05kNm 140

148 Verificação das Compressões Torção c = = T sd 2 A ef h ef sen cos = sen 30 cos 30 = 1201 kn/m Esf. Transverso: c = = V sd b z sen cos = sen 30 cos 30 = 1008 kn/m TOTAL c = = 2209 kn/m c f ck 250 f cd = 9018 kn/m = Armadura transversal Torção: A st s = T sd 2 A ef cotg f yd = cotg = 0.78cm/m2 (por ramo) Esf. Transverso: A sw s = V sd 53.7 = z cotg f yd 0.41 cotg = 2.17cm2 /m (2 ramos) A st s + A sw = s / ramo 2 = 1.87cm2 /m Est 6//0.15 (1.88 cm 2 /m) Armadura longitudinal no apoio Torção: A Sl = T sd cotg u ef 2 A ef f yd (T sd no apoio) p cotg 1 = 0.5 b cotg z z 1 b = 0 cotg 1 = 0.5 cotg z cotg b = z 2 cotg 1 = cotg z 2 cotg b 141

149 A sl = T sd ( cotg ) u ef ( cotg 30) 1.24 = = 2.6cm 2 A ef f 2 (4 faces) yd Esforço transverso: (V sd no apoio) A Sl,ap = V sd cotg 1 75 ( cotg 30) = = 2.41cm f yd Face inferior: A sl = = 2.85cm2 Face superior: A sl = = 0.44cm2 ; Faces laterais: A sl = = 0.86cm2 Pormenorização A s (1/2 vão) M sd = 93.8kN = = = 6.39cm 2 ( ) Ent 6//

150 8 DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E PRÉ- ESFORÇADO 8.1 Introdução Neste capítulo definem-se as principais causas de deterioração das estruturas de betão, explicam-se os respectivos mecanismos de degradação e definem-se as disposições construtivas e de qualidade de materiais para contrariar o desenvolvimento desses processos. Estas disposições são enquadradas no que se denomina de garantia da durabilidade. Durabilidade de uma Estrutura Aptidão de uma estrutura para desempenhar as funções para que havia sido concebida durante o período de vida previsto, sem que para tal seja necessário despender custos de manutenção e reparação imprevistos. Evidentemente que os objetivos de durabilidade requeridos dependem do período de vida previsto para a estrutura, da sua importância e custos de investimento associados, definindo-se 5 categorias como apresentado no quadro seguinte Categorias para o período de vida Valores indicativos do período de vida (anos) Exemplos 1 10 Estruturas temporárias (1) 2 10 a 25 Partes estruturais substituíveis (apoios,...) 3 15 a 30 Estruturas para agricultura ou similares 4 50 Estruturas de edifícios e outras estruturas comuns Monumentos, pontes e outras obras públicas (1) Estruturas que podem ser desmontadas para serem reutilizadas não são consideradas temporárias Verifica-se assim que para obras mais correntes a categoria a adoptar é a 4 correspondente a um período de vida de 50 anos. 143

151 8.2 Mecanismos de Deterioração A deterioração das estruturas de betão é causada por fenómenos físicos e químicos de diversas naturezas. Normalmente distinguem-se os mecanismos que conduzem à deterioração das armaduras e os mecanismos que conduzem à deterioração do betão pois envolvem fenómenos muito diferentes Deterioração por Corrosão das Armaduras A deterioração por corrosão de armaduras está, em geral, associada à despassivação do aço pela acção da carbonatação ou dos cloretos. Após ocorrer a despassivação, o processo de corrosão do aço desenvolve-se originando a perda de secção dos varões e a fendilhação e delaminação do betão de recobrimento dado que os produtos originados na corrosão apresentam uma elevada expansão e, por conseguinte, geram tensões de tracção muito elevadas no betão. A figura seguinte apresenta uma estrutura em que o processo de corrosão por acção da carbonatação se desenvolveu observando uma delaminação extensa do betão de recobrimento. Como é fácil de entender este tipo de anomalia causa uma perda significativa da capacidade resistente dos elementos estruturais, não só pela perda de secção da armadura, mas também por perda de aderência dos varões ao betão. 144

152 - Despassivação das armaduras No betão não contaminado as armaduras encontram-se protegidas contra a corrosão devido à elevada alcalinidade do meio que é conferida pelos hidróxidos resultantes das reacções de hidratação do cimento. Hidróxido de cálcio Hidróxido de sódio e potássio ph 12.5 a 13.5 Nestas condições forma-se à superfície da armadura uma barreira de protecção (película passiva) que impede a sua corrosão. Protecção das armaduras no betão Quando o ph desce para valores inferiores a 10-11, ou o teor de cloretos ultrapassa o valor crítico, ocorre a destruição da película passiva. A despassivação das armaduras vai originar o início do mecanismo da corrosão Corrosão das armaduras após a dissolução da película passiva 145

153 Para se avaliar a possibilidade ou o risco de despassivação das armaduras recorre-se a ensaios de medição da profundidade de carbonatação e medição do teor em cloretos do betão Profundidade da carbonatação Interesse em relacionar a profundidade da carbonatação com o recobrimento. Pode ser realizado em carotes de pequeno diâmetro (ver figura) ou furos (ensaiando o betão em profundidades crescentes até se deixar de verificar a carbonatação) aspergindo o betão com fenolftaleína. Ensaio de carbonatação com fenolftaleína Teor em cloretos Interesse em relacionar o teor crítico de cloretos com o recobrimento. Pode ser realizado analisando amostras de betão extraídas a diferentes níveis de profundidade com auxílio de uma broca ou a amostras obtidas de carotes. 146

154 Cl - (% massa de cimento) prof. de perfuração varão 0.4% teor crítico Recobrimento (mm) - Corrosão das Armaduras O mecanismo da corrosão é um processo electroquímico que pode ser comparado ao funcionamento de uma pilha. Neste mecanismo estão envolvidas reacções químicas e correntes eléctricas. Para que a corrosão se possa desenvolver é necessário a presença dos seguintes elementos: Ânodo Cátodo Condutor eléctrico Electrólito Zona da armadura despassivada Zona da armadura com acesso ao oxigénio Armadura Betão Na figura seguinte está representado de forma simplificada o mecanismo da corrosão. 147

155 Modelo de uma célula de corrosão No ânodo formam-se os produtos da corrosão aos quais está associado um grande aumento de volume. Geram-se tensões de tracção muito elevadas que acabam por fendilhar e delaminar o betão de recobrimento. Volume relativo dos produtos da corrosão 148

156 Caracterizado o mecanismo da corrosão podem ser ilustradas as situações em que não ocorre corrosão significativa das armaduras A armadura não está despassivada não se forma o ânodo Em elementos submersos não há disponibilidade de oxigénio a reacção catódica é reduzida Em elementos situados em ambientes secos o betão tem uma condutividade baixa a intensidade de corrente eléctrica que passa no electrólito é muito reduzida - Efeitos da Deterioração Os efeitos de corrosão das armaduras traduzem-se nos seguintes aspectos: Fendilhação e delaminação do betão de recobrimento Perda de aderência aço/betão Perda de secção e ductilidade do aço A figura mostra uma parede de umas docas marítimas com uma delaminação do betão de recobrimento num estado muito avançado devido, essencialmente, à acção dos cloretos. Os efeitos estruturais podem traduzir-se numa alteração do comportamento dos mecanismos resistentes dos elementos estruturais como se ilustra na figura seguinte relativa a uma viga em que se simula o efeito da delaminação do betão junto ao apoio. 149

157 A delaminação do betão ao reduzir ou anular a aderência altera o andamento dos campos de tensão com consequências relevantes ao nível dos valores das tensões actuantes. Modelo de transmissão de cargas para o apoio Alteração modelo de transmissão de cargas devida à deterioração 150

158 A capacidade resistente das secções é também significativamente afectada pela corrosão como se ilustra seguidamente para o caso do momento resistente. M R = F S x Z = F C x Z A corrosão por acção dos cloretos é muito gravosa dado conduzir ao fenómeno designado por corrosão localizada onde se verificam elevadas perdas de secção das armaduras como se ilustra nas figura seguintes. Corrosão localizada de varões numa parede Corrosão localizada de um estribo 151

159 A corrosão por acção da carbonatação não apresenta, em geral, este tipo de problema dado tratar-se de uma corrosão uniforme. Nestes casos é a perda de aderência que constitui o principal aspecto que afecta a capacidade resistente do elemento. 8.3 Deterioração do betão Relativamente à deterioração do betão, os mecanismos podem ser de natureza física e química. Os de natureza física estão associados ao desgaste por abrasão, situação que ocorre normalmente em pavimentos sujeitos a tráfego intenso, desgaste por erosão quando os elementos estão sujeitos à acção da água em movimento transportando partículas sólidas. Uma outra situação é relativa a um fenómeno designado por cavitação o qual pode ocorrer em elementos sob a acção do escoamento de água com elevada velocidade. Nestes casos, uma mudança brusca da direcção do escoamento pode originar bolhas de vapor de água no interior do líquido as quais implodem com grande libertação de energia afectando as camadas superficiais do betão. Os mecanismos de natureza química são os que ocorrem com maior frequência. A deterioração pode estar associada à decomposição da pasta de cimento com a consequente perda das propriedades ligantes e, por conseguinte, perda de resistência do betão ou a reacções expansivas dos componentes da pasta de cimento ou, ainda, a fenómenos que envolvem reacções químicas com os agregados. Relativamente à deterioração que envolve a pasta de cimento referem-se os seguintes fenómenos: acção dos ácidos, águas puras e sais de amónio e magnésio que provocam a decomposição dos compostos hidratados do cimento; acção da água do mar, nomeadamente as reacções que envolvem os iões agressivos que a constituem: sulfatos e magnésio; acção dos sulfatos Relativamente à deterioração que envolve os agregados referem-se a reacção entre os álcalis e a sílica reactiva e outros tipos de minerais como alguns tipos de carbonatos. As reacções químicas mais significativas e as suas consequências são as seguintes: Reacção dos sulfatos com os aluminatos da pasta de cimento Reacção expansiva fendilhação do betão, perda de resistência 152

160 Reacção dos álcalis com os agregados reactivos do betão Reacção expansiva fendilhação do betão Reacção dos ácidos, sais de magnésio, sais de amónio e águas puras sulfatos com a pasta de cimento Perda das propriedades ligantes perda de resistência As reacções álcalis-agregado apresentam um grande significado em Portugal, tendo sido identificadas em diversas obras nos últimos anos. Estas reacções são lentas, desenvolvendo-se num período de 10 a 30 anos até que os seus efeitos sejam visíveis. A deterioração resulta da hidratação de um gel da reacção entre os álcalis sódio e potássio (Na + e K + ), iões de hidróxido e agregados reactivos (sílica, silicatos e carbonatos). Para que ocorra expansão significativa é necessário que haja água suficiente para hidratar o gel da reacção pelo que são as estruturas em contacto com água as mais sensíveis a este fenómeno. As figuras seguintes ilustram as consequências deste tipo de deterioração. Arco Pilares Efeitos da reacção expansiva álcalis-sílica no arco e pilares de um viaduto 153

161 Efeitos da reacção expansiva álcalis-sílica numa viga pré-esforçada Um aspecto que interessa referir é que nos elementos estruturais sujeitos a compressões significativas a fendilhação tende a ter a direcção das tensões de compressão por efeito da sobreposição das tensões provocadas pelas acções actuantes com as induzidas pela expansão. As reacções sulfáticas podem ser de origem externa ou interna. As de origem externa ocorrem, em geral, quando os elementos estão expostos a águas freáticas ou a solos contaminados com sulfatos. Estes iões agressivos penetram para o interior do betão e vão reagir com os aluminatos de cálcio resultantes da hidratação do cimento dando origem a etringite (trisulfoaluminato de cálcio hidratado). Este produto é fortemente expansivo originando a fendilhação e decomposição do betão. Por vezes observa-se um produto branco que resulta da reacção como indicado na figura seguinte. A deterioração processa-se de forma progressiva do exterior para o interior dos elementos. Efeitos da reacção sulfática externa observando-se uma substância branca A reacção sulfática interna resulta da reacção entre o sulfato de cálcio do cimento com os aluminatos de cálcio. Como se sabe, o cimento contem uma certa quantidade de sulfato de cálcio que actua como regulador de presa. Este produto é consumido nas primeiras idades, quando o betão ainda não endureceu, pelo que não causa problemas. Todavia, se o sulfato de cálcio não for consumido nas primeiras idades, vai 154

162 reagir posteriormente com os aluminatos causando expansão significativa e a correspondente deterioração. Este fenómeno pode ocorrer se a temperatura do betão na fase de presa e endurecimento atingir valores muito elevados (em geral acima de 70 ºC). Trata-se de um tipo de deterioração que tem especial relevância em elementos que envolvem a betonagem de grandes massas de betão. Nestes casos o calor de hidratação do cimento pode aumentar a temperatura do betão para valores acima dos 70 ºC inibindo a reacção dos sulfatos do cimento. Outra situação refere-se aos casos em que se utiliza cura a vapor para acelerar o endurecimento do betão como, por exemplo, na pré-fabricação. A figura seguinte ilustra uma viga em que a reacção sulfática interna se desenvolveu. A especificação LNEC E 461 define as metodologias preventivas para evitar o desenvolvimento das reacções expansivas internas (sulfatos e álcalis-agregado). Outro tipo de deterioração do betão é a acção dos ciclos de gelo-degelo que causam a fendilhação do betão. Trata-se de um processo de deterioração que vai progredindo sucessivamente da superfície para o interior do betão. Em Portugal este mecanismo apresenta reduzido significado dadas as temperaturas amenas no país. A acção do fogo pode originar a decomposição do betão se as temperaturas dos elementos atingirem valores elevados, acima de 500 ºC. Nos esgotos surge um outro tipo de deterioração designado por ataque biológico. Trata-se na realidade de um ataque ácido que é produzido por bactérias. 155

163 8.4 Ambiente de Exposição Consoante as condições de exposição dos elementos estruturais, naturalmente que os riscos de deterioração são diferentes. Em termos regulamentares definem-se então diferentes classes de exposição como indicado no quadro a seguir apresentado. CLASSES DE EXPOSIÇÃO Designação da classe Descrição do ambiente Exemplos informativos de condições em que podem ocorrer as classes de exposição 1 Nenhum risco de corrosão ou ataque X0 Para betão sem armadura ou elementos metálicos embebidos: todas as exposições excepto em situação de gelo/degelo, abrasão ou ataque químico Para betão com armadura ou elementos metálicos embebidos: muito seco Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente muito baixa 2 Corrosão induzida por carbonatação XC1 Seco ou permanentemente húmido Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente baixa Betão permanentemente submerso em água XC2 Húmido, raramente seco Superfícies de betão sujeitas a contacto prolongado com água Um grande número de fundações XC3 Humidade moderada Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente moderada ou elevada Betão exterior protegido da chuva XC4 Alternadamente húmido e seco Superfícies de betão sujeitas a contacto com água, não incluídas na classe de exposição XC2 3 Corrosão induzida por cloretos XD1 Humidade moderada Superfícies de betão expostas a cloretos transportados pelo ar XD2 Húmido, raramente seco Piscinas Elementos de betão expostos a águas industriais contendo cloretos XD3 Alternadamente húmido e seco Elementos de pontes expostos a pulverizações contendo cloretos Pavimentos Lajes de parques de estacionamento 156

164 4 Corrosão induzida por cloretos presentes na água do mar XS1 Exposto ao sal transportado pelo ar mas não em contacto directo com a água do mar Estruturas próximas da costa ou na costa XS2 Permanentemente submerso Elementos de estruturas marítimas XS3 Zonas sujeitas aos efeitos das marés, da rebentação e da neblina marítima Elementos de estruturas marítimas 5. Ataque gelo/degelo XF1 Saturação moderada em água, sem produto descongelante Superfícies verticais de betão expostas à chuva e ao gelo XF2 Saturação moderada em água, com produtos descongelantes XF3 Saturação elevada em água, sem produtos descongelantes XF4 Saturação elevada em água com produtos descongelantes ou com água do mar Superfícies verticais de betão de estruturas rodoviárias expostas ao gelo e a produtos descongelantes transportados pelo ar Superfícies horizontais de betão expostas à chuva e ao gelo Estradas e tabuleiros de pontes expostos a produtos descongelantes Superfícies de betão expostas a pulverizações directas contendo produtos descongelantes e expostas ao gelo Zonas sujeitas aos efeitos da rebentação de estruturas marítimas expostas ao gelo 6. Ataque químico XA1 Ambiente químico ligeiramente agressivo, de acordo com a EN 206-1, Quadro 2 Terrenos naturais e água no terreno XA2 Ambiente químico moderadamente agressivo, de acordo com a EN 206-1, Quadro 2 Terrenos naturais e água no terreno XA3 Ambiente químico altamente agressivo, de acordo com a EN 206-1, Quadro 2 Terrenos naturais e água no terreno Nota: Este quadro é parte integrante da EN (EC2) Capítulo 4. A composição do betão afecta quer a protecção das armaduras quer a resistência do betão aos ataques. O Anexo E dá classes de resistência indicativas para as diferentes classes de exposição. Tal pode conduzir à escolha de classes de resistência mais elevadas do que as que seriam necessárias ao cálculo estrutural. Neste caso, deve adoptar-se o valor de f ctm associado à resistência mais elevada para o cálculo da armadura mínima e para o controlo da largura de fendas (ver a 7.3.4). 157

165 Apresentam-se seguidamente dois exemplos com a indicação das classes de exposição consoante os ambientes a que os elementos estruturais estão expostos. Exemplo 1: Ambiente exterior afastado da orla marítima XC4 / XD Ambiente Exterior microambientes possíveis Ambientes: XC Corrosão por acção da carbonatação XD Risco de corrosão induzida por acção de cloretos de origem diversa da água do mar XA Ataque químico XC4 Betão sujeito a contacto pouco prolongado com a água XC4/XD3 Betão sujeito a contacto prolongado com a água e com o risco de pulverizações contendo cloretos XC3 Betão exterior protegido da chuva XC2 Ambiente húmido raramente seco como correntemente nas fundações XA betão em contacto com solos ou águas agressivas (XA1; XA2; XA3) 158

166 Exemplo 2: Ambiente marítimo CORTE TIPO XC3/XS1 XC4/XS1 XC4/XS3 XC4/XS3/XA1 XC2/XS2/XA1 Ambientes XS Corrosão induzida por cloretos na água do mar XC Corrosão induzida por carbonatação XA Ataque químico Zona Atmosférica Corrosão das Armaduras (XS1 Sal transportado pelo ar mas sem contacto directo com a água; XC3/XC4 carbonatação ) Zona de Rebentação Corrosão das Armaduras (XS3 Zona sujeita a ciclos de molhagem/secagem com água do mar; XC4 carbonatação) Zona de Maré Corrosão das Armaduras XS3; Ataque Químico do betão XA1; XC4 carbonatação Zona Submersa Corrosão das Armaduras XS2; Ataque Químico do betão XA1; XC2 carbonatação 8.5 Período de Iniciação e Período de Propagação No processo de deterioração das estruturas estão geralmente envolvidas duas fases conforme ilustrado na figura seguinte. A primeira fase corresponde ao período em que os agentes agressivos penetram para o interior do betão mas não desenvolvem deterioração significativa. Nesta fase a estrutura pode estar sujeita a um nível de contaminação elevado sem que haja sinais 159

167 visíveis de deterioração (fase de iniciação). A segunda fase corresponde ao período em que os fenómenos de deterioração desenvolvem-se de forma significativa (fase de propagação). Num problema de corrosão de armaduras o fim do período de iniciação representa a despassivação das armaduras e o período de propagação corresponde ao desenvolvimento da corrosão. Face ao referido, verifica-se que é necessário programar acções de inspecção, mesmo que não existam sinais de deterioração visíveis, por forma a permitir realizar operações de manutenção antes que os mecanismos de deterioração mais severos se desenvolvam. Os custos de reparação de uma estrutura que se apresente na fase de propagação são sempre elevados. Uma forma de aumentar o período de iniciação, mesmo em ambientes agressivos, é através da garantia de um recobrimento eficiente e betão com boa compacidade, como explicitado nas figuras seguintes. Influência do recobrimento na profundidade de carbonatação 160

168 Recobrimento mínimo e qualidade (resistência) do betão Valores de referência Metodologia para a Garantia da Durabilidade A garantia da durabilidade é naturalmente um problema estatístico. Os parâmetros associados à avaliação destes fenómenos (ex: corrosão) têm uma determinada variabilidade que pode ser caracterizada por distribuições estatísticas. Trata-se de um problema semelhante ao da verificação da segurança estrutural sob a acção de cargas actuantes. A avaliação não pode ser feita com base em valores médios. Deve ser feita em termos de probabilidade de ocorrência. Por exemplo de 10%, para um certo período de vida. A figura seguinte ilustra de uma forma simplificada como é que o problema pode ser analisado. A situação em análise refere-se à despassivação das armaduras onde o recobrimento das armaduras se representa por R (resistência) e a profundidade de carbonatação por S (acção). Ambos os parâmetros são definidos em função do tempo. Para cada período de tempo é possível definir uma probabilidade de falha p f. O período de vida útil da estrutura é definido para uma determinada probabilidade de falha assumida com aceitável (2 a 10% dependendo da importância da estrutura). Importa referir que a despassivação das armaduras não é um problema de estado 161

169 limite último, podendo ser considerada uma situação idêntica a um estado limite de serviço, razão pela qual se assumem probabilidades de falha da ordem de 10%. O problema pode, também, ser analisado em termos do tempo de vida útil conforme ilustrado na parte inferior do gráfico em que T L é a distribuição da viga útil da estrutura e T g é a vida útil pretendida associada a uma determinada probabilidade de falha. O problema apresenta alguma complexidade na sua análise dada a dificuldade de caracterizar de forma adequada a variabilidade dos parâmetros que influenciam a despassivação das armaduras. No entanto, apesar da dificuldade estatística, foi possível definir valores de recobrimentos e características dos betões de forma a assegurar a durabilidade necessária (período de vida) para as diferentes classes de exposição ambiental. Para definir o recobrimento das armaduras o Eurocódigo 2 introduz o conceito de classe estrutural, indicando para cada classe os recobrimentos a adoptar em função das diferentes classes de exposição ambiental conforme indicado nos quadros seguintes. Refira-se que em Portugal, e para um período de vida de 50 anos, a classe de referência a adoptar é a S4. Apresentam-se seguidamente os quadros para avaliação daquelas características. 162

170 Armadura Ordinária Requisitos relativos à condição de exposição ambiental para C min,dur (mm) Classe Estrutural Classe de exposição X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3 S S S S S S Armaduras Pré-Esforçadas Requisitos relativos à condição de exposição ambiental para C min,dur (mm) Classe Estrutural Classe de exposição X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3 S S S S S S A classificação estrutural é alterada a partir da classe de referência S4 tendo em conta os parâmetros indicados no quadro seguinte. Classe Estrutural Critério Condições de exposição de acordo com o quadro X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1 XD2/XS1 XD3/XS2/ XS3 Período de vida útil de 100 anos aumentar 2 classes aumentar 2 classes aumentar 2 classes aumentar 2 classes aumentar 2 classes aumentar 2 classes aumentar 2 classes Classe de resistência C30/37 reduzir 1 classe C30/37 reduzir 1 classe C35/45 reduzir 1 classe C40/50 reduzir 1 classe C40/50 *a reduzir 1 classe C40/50 reduzir 1 classe C45/55 *b reduzir 1 classe Elemento tipo laje (se a posição das armaduras não for afectada pelo processo construtivo) reduzir 1 classe reduzir 1 classe reduzir 1 classe reduzir 1 classe reduzir 1 classe reduzir 1 classe reduzir 1 classe Controlo de qualidade especial para a produção do betão reduzir 1 classe reduzir 1 classe reduzir 1 classe reduzir 1 classe reduzir 1 classe reduzir 1 classe reduzir 1 classe *a ou C50/60 CEM I/IIA *b ou C60/75 CEM I/IIA 163

171 O valor a indicar nos desenhos é o do recobrimento nominal. C nom = C min + C C Tolerância (rigor) no posicionamento das armaduras (10mm) Em Portugal os requisitos de composição do betão e de recobrimento das armaduras são definidos na NP EN 201-1, nomeadamente na Especificação LNEC E 464 que integra o Anexo Nacional daquela norma. Para além do recobrimento a Especificação LNEC E 464 estabelece os requisitos da qualidade dos betões para as várias condições de agressividade ambiental: Limites da composição e da classe de resistência do betão sob acção da carbonatação, para uma vida útil de 50 anos Tipo de cimento Classe de exposição Mínimo recobrimento nominal (mm) Máxima razão água/cimento Mínima dosagem de cimento, C (kg/m 3 ) Mínima classe de resistência CEM I (Referência); CEM II/A (1) CEM II/B (1) ; CEM III/A (2) ; CEM IV (2) ; CEM V/A (2) XC1 XC2 XC3 XC4 XC1 XC2 XC3 XC C25/30 LC25/28 C25/30 LC25/28 C30/37 LC30/33 C30/37 LC30/33 C25/30 LC25/28 C25/30 LC25/28 C30/37 LC30/33 C30/37 LC30/33 (1) Não aplicável aos cimentos II/A-T e II/A-W e aos cimentos II/B-T e II/B-W, respectivamente (2) Não aplicável aos cimentos com percentagem inferior a 50% de clínquer portland, em massa 164

172 Limites da composição e da classe de resistência do betão sob acção de cloretos, para uma vida útil de 50 anos Tipo de cimento Classe de exposição Mínimo recobrimento nominal (mm) Máxima razão água/cimento Mínima dosagem de cimento, C (kg/m 3 ) Mínima classe de resistência CEM IV/A (Referência); CEM IV/B; CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM II/B (1) ; CEM II/A-D CEM I; CEM II/A (1) XS1/XD1 XS2/XD2 XS3/XD3 XS1/XD1 XS2/XD1 XS3/XD ,55 0,50 0,45 0,45 0,45 0, C30/37 LC30/33 C30/37 LC30/33 C35/45 LC35/38 (1) Não aplicável aos cimentos II T, II-W, II/B-L e II/B-LL C40/50 LC40/44 C40/50 LC40/44 C50/60 LC50/55 Limites da composição e da classe de resistência à compressão do betão sob ataque químico, para uma vida útil de 50 anos Tipo de cimento Classe de exposição Máxima razão água/cimento Mínima dosagem de cimento, C (kg/m 3 ) Mínima classe de resistência CEM IV/A (Referência); CEM IV/B; CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM II/B (1) ; CEM II/A-D CEM I; CEM II/A (1) XA1 XA2 (2) XA3 (2) XA1 XA2 (2) XA3 (2) 0,55 0,50 0,45 0,50 0,45 0, C30/37 LC30/33 C35/45 LC35/38 C35/45 LC35/38 (1) Não aplicável aos cimentos II-T, II-W, II/B-L e II/B-LL. C35/45 LC35/38 C40/50 LC40/44 C40/50 LC40/44 (2) Quando a agressividade resultar da presença de sulfatos, os cimentos devem satisfazer os requisitos mencionados na secção 5, nomeadamente no Quadro 10, aplicando-se ao betão as exigências estabelecidas neste quadro para o CEM IV. 8.7 Outros aspectos importantes para a garantia da durabilidade das construções As medidas a considerar para garantir a durabilidade das estruturas envolvem vários aspectos para além da composição do betão e do recobrimento, nomeadamente: 165

173 Concepção e projecto Forma Estrutural Adoptar sempre que possível formas simples que minimizem a área de exposição ao ambiente Evitar saliências e cantos Adoptar formas arredondadas Conceber uma drenagem adequada, minimizando o contacto da estrutura com a água Controlar os efeitos das deformações impostas, nomeadamente no que se refere à fendilhação Adoptar disposições particulares tais como a protecção do betão com revestimentos e a utilização de armaduras em aço inoxidável. Execução Controlo Técnico de Execução, nomeadamente: Recobrimentos Qualidade do Betão Cura Indicam-se seguidamente quais as responsabilidades e tarefas dos diferentes intervenientes no processo de garantia de qualidade de uma construção. Dono de Obra 166

174 Especificar o uso da estrutura, o período de vida útil e os requisitos para o projecto e construção Projectista Conceber e projectar a estrutura Identificar as condições de exposição Especificar os materiais e recobrimentos Definir eventuais medidas de protecção adicional Elaborar as especificações técnicas relativas a materiais e execução dos trabalhos Elaborar o manual de manutenção da estrutura Empreiteiro Executar a estrutura de acordo com os requisitos especificados no projecto Controlar a composição do betão (razão A/C, tipo de cimento, agregados,...) Controlar a betonagem e cura do betão Controlar os recobrimentos Utilizador Realizar a manutenção da estrutura Desenvolver acções de inspecção/avaliação do comportamento da estrutura sempre que necessário Evitar alterações na utilização da estrutura que agravem a agressividade das condições de exposição 8.8 MANUTENÇÃO, INSPECÇÕES E EVENTUAIS REFORÇOS Muitas vezes, na sequência de avaliação de estruturas durante a sua vida útil, pode resultar a necessidade de uma reparação ou reforço. Todas as intervenções de reabilitação, para além das acções correntes de manutenção, deverão ser efectuadas com base num projecto que envolva acções de inspecção e avaliação de modo a identificar as causas das anomalias e a definir as medidas adequadas à sua resolução. Nas figuras seguintes apresenta-se uma tal situação em que foram identificadas as causas de uma fendilhação acentuada dos pilares e definidas as medidas mais adequadas para atenuar o desenvolvimento da deterioração. Inspecção (avaliação de uma situação de reacção álcalis-agregados) e início da reparação/reforço 167

175 Solução de reparação/reforço (encamisamento e tinta impermeabilizante) e aspecto final 168

176 9 VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO (ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO SLS) 9.1 Introdução No início da disciplina discutiram-se as características fundamentais do comportamento à flexão do betão armado e foi explicada a fundamentação base das verificações de segurança das estruturas. Posteriormente apresentaram-se e aplicaram-se os modelos para garantia da segurança à rotura de elementos lineares, sem esforço axial (vigas). Neste capítulo apresentam-se os princípios e a aplicação para a verificação da segurança em serviço das estruturas de betão armado, ou seja, da Verificação dos Estados Limites de Utilização. 9.2 Verificação aos Estados Limites de Utilização Como explicado anteriormente, na avaliação destes Estados Limites de Utilização, há que ter como principal objectivo: Garantir um bom comportamento das estruturas em situações correntes de serviço, assegurando um nível de fendilhação aceitável (através do contolo da abertura máxima de fendas), limitar a deformação a valores funcionalmente aceitáveis para os objectivos da construção em causa e tornar a eventual sensibilidade das estruturas à vibração, limitada a valores que não gerem desconforto. Por outro lado, nas verificações da segurança aos Estados Limites de Utilização, as acções tomam valores de actuação expectável (não são majoradas e as sobrecargas podem não actuar com todo o seu valor) e o comportamento dos materiais é simulado através da utilização de propriedades médias (não minoradas). 9.3 Acções Como vimos temos, então, nas verificações aos estados limites de utilização, combinações de acções com diferentes probabilidades de ocorrência: Combinação rara ou característica: Situação de carregamento com pequena probabilidade de ocorrência apropriada para analisar um estado limite de muito curta duração algumas horas no tempo de vida da estrutura. G m + Q k + i 1i Q ik 169

177 Combinação frequente: Caso com probabilidade de ocorrência superior ou igual a 5% do tempo de vida da estrutura, e aplicável a estados limites de curta duração. G m + 1 Q k + i 2i Q ik Combinação quase-permanente: Situação de solicitação com probabilidade de ocorrência superior a 50% do tempo de vida da estrutura, portanto adequada para analisar estados limites definidos como de longa duração. G m + i 2i Q ik Refira-se que é para este nível de acções que o comportamento em termos de deformação e controlo da abertura de fendas é, em geral, importante. Nestas expressões o significado das variáveis é a seguinte: G m valor médio das acções permanentes Q k valor característico da acção variável base Q ik valor característico das restantes acções variáveis Relembra-se que se tem sempre, para os coeficientes : 2i < 1i < Materiais Estes terão naturalmente um comportamento elástico, havendo no entanto que considerar o facto do betão fendilhar, e ainda, as suas características de comportamento ao longo do tempo, ou seja a fluência e a retracção. Referem-se seguidamente estas características de uma forma necessariamente resumida, havendo que consultar outros elementos para a sua mais correcta quantificação Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de utilização Com base no diagrama médio esperado (no desenho referido como real ) de comportamento do aço, enquadra-se a resposta característica, de cálculo à rotura e, indica-se, ainda, a zona esperada em termos do comportamento em serviço. 170

178 (i) AÇO s fyk fyd curva real curva característica curva de cálculo curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos Es E.L. Utilização 0.2% s fyd Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, temos, portanto, simplesmente a relação esquematizada, tendo como limite absoluto a tensão de cedência (ver ): s Es = 200 GPa s Para o betão as características das relações tensões extensões do betão são indicadas na figura seguinte, vendo-se que o módulo de elasticidade é definido, aproximadamente, com a rigidez secante para uma tensão de 40% do valor resistente para a curva média do comportamento. 171

179 (ii) BETÃO c fcm fck Ec curva real curva característica 0.85 fcd 0.4 fcm curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos 2 c 3.5 c Assim, para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, o comportamento do betão é considerado, para acções de curto prazo, como sendo elástico e linear, limitado ao valor resistente de tracção e tendo a compressão limites regulamentares referidas em c Ec fctm c O betão, ao longo do tempo, por efeito do fenómeno da retracção, ou da fluência, se estiver submetido a um nível de tensão permanente, aumenta a sua deformação. Estes efeitos têm implicações nas estruturas ao nível das deformações, mas também podem causar, ao longo do tempo, em estruturas hiperstáticos, esforços, naturalmente auto-equilibrados Efeitos diferidos no tempo do betão Analisa-se, então, seguidamente, as características do comportamento do betão no tempo que depende de dois efeitos: Fluência, dependente da actuação de tensões aplicadas com permanência. Retracção, que se verifica independentemente de outros efeitos. 172

180 Fluência A fluência pode ser definida como sendo o aumento da deformação no tempo, sob a acção de um estado de tensão constante (resultado, essencialmente, da variação de volume da pasta de cimento que envolve os agregados). No esquema seguinte ilustra-se o efeito desta característica do comportamento: (a) Instante de aplicação da carga (t 0 ) (b) Tempo t p p c(to) c(to) cc(t,to) c (t 0 ) = c (t 0 ) E c (t 0 ) cc (t, t 0 ) = (t, t 0 ) c (t 0 ) onde, cc (t,t 0 ) representa a deformação por fluência (t,t 0 ) representa o coeficiente de fluência (quociente entre o incremento de extensão, cc, no intervalo de tempo [t, t 0 ] e a extensão inicial, c (t 0 )) A fluência do material betão depende, no entanto, de muitos parâmetros que não são neste contexto, analisados. São eles: idade do carregamento (t 0 ) período do carregamento [t, t 0 ] humidade relativa do ambiente (> humidade < fluência) temperatura relativa do ambiente (> temperatura >fluência) composição do betão consistência do betão forma da secção 173

181 Para idades de carregamento usuais, a partir dos 14 a 28 dias após betonagem, este coeficiente toma valores tal que, (t, t 0 ) 2 a 4. Para casos correntes, e na falta de outros dados poderá utilizar-se, como primeira referência, o valor de 2.5 e para avaliações mais detalhadas pode recorrer-se a muitos modelos existentes, em particular o referido no EC2. Avalia-se, agora, o efeito da fluência, na deformação do betão e, posteriormente, de uma viga de betão armado não fendilhada. Determinação da deformação a longo prazo (t ) tendo em consideração o efeito da fluência: t = dias ( 27 anos) c (t, t 0 ) = c (t 0 ) + cc (t, t 0 ) = c (t 0 ) + (t, t 0 ) c (t 0 ) = c (t 0 ) E c (t 0 ) + (t, t 0 ) c (t 0 ) E c (t 0 ) c (t, t 0 ) = c (t 0 ) E c (t 0 ) (1 + ) = c (t 0 ) (1 + ) c (t, t 0 ) = c E c, com E* E* c = c 1 + A fluência é linear com o nível de tensão, desde que o nível de tensão seja limitado a c ~ <0.45 f c esta esteja limitada ( ). Este efeito afecta directamente a deformação de uma estrutura, podendo ser considerado, de uma forma simplista, como uma perda de rigidez no tempo, devido ao abaixamento do módulo de elasticidade. Para o caso de uma viga simplesmente apoiada, não fendilhada, apresenta-se seguidamente o efeito da fluência na deformação com base no princípio dos trabalhos virtuais, em que se chama a atenção para a dependência da flecha dos valores e distribuição das curvaturas na estrutura. p = f1 R pelo P.T.V., = L M. 1 R dx Como se pode observar na figura seguinte, a fluência do betão provoca ao nível da secção um aumento das extensões do betão e, consequentemente, um aumento da curvatura. 174

182 d c(to) (-) (+) s cc(t,to) c(to) (-) (+) s 1 R (t) = c (t 0 ) + cc (t, t 0 ) + s d 2 c (t 0 ) + cc (t, t 0 ) h Chama-se a atenção para que as armaduras contribuem, um pouco, para restringir o aumento de deformação por fluência do betão sendo que no comportamento em Estado I, não fendilhado, essa restrição não é muito significativa, como mostra a expressão acima indicada. Refira-se que no Estado II em que o betão activo é só de compressão a variação de extensão no aço é pouco significativa e portanto o incremento de curvatura relativamente ao estado inicial é menor que no estado I Retracção A retracção do betão impõe uma diminuição da dimensão de uma peça de betão no tempo, independentemente do estado de tensão da peça, portanto mesmo na ausência de outras acções, variações de temperatura ou cargas aplicadas. Seguidamente ilustra-se o efeito da retracção do betão ao nível de um prisma de betão e, como acção, num tabuleiro contínuo de ponte. Neste exemplo, chama-se a atenção para que o valor de retracção do betão pode tomar valores diversos, mas que a sua ordem de grandeza varia entre 0.2 a 0.4, podendo ser melhor avaliado recorrendo às indicações, por exemplo, do EC2. cs(t,to) to t cs (t, t 0 ) a = a m = L L L = L L = m = -0.04m 175

183 Para um tabuleiro de uma ponte de 100m seria de esperar, aproximadamente, um encurtamento ao longo do tempo devido ao efeito da retracção, com um valor da ordem de 4cm, distribuído em partes iguais pelos dois apoios, se estes forem móveis longitudinalmente. A retracção pode ser tratada como o efeito de uma diminuição de temperatura com um valor equivalente de, T equivalente, como se pode verificar: = 10-5 /C coeficiente de dilatação térmica do betão cs = a T equivalente = -20C a -40C ( T = T = 10-5 /C (-20 a -40) = a ) Refere-se, desde já, que, se a retracção livre for impedida, por restrições ao nível da secção ou da estrutura, isto é, se houver hipersticidade, produzem-se tensões de tracção que poderão contribuir para a ocorrência de fendilhação. A retracção do betão depende de, inúmeros factores, de uma forma semelhante à fluência, dos quais se podem destacar: Humidade e temperatura relativa do ambiente Consistência do betão na altura da betonagem Forma da secção (espessura fictícia do elemento) Além de poder afectar o estado de tensão na secção, a retracção pode também contribuir para um incremento de deformação ao longo do tempo, como se ilustra, de seguida, para uma viga não fendilhada só, com armadura inferior. c d (-) Curvatura: 1 R = c - s d s De facto, numa secção de betão de uma viga, com distribuição de armadura não simétrica, a retracção do betão é inferior na face inferior, por efeito da restrição à deformação provocada pela armadura. Essa curvatura será assim tendencialmente positiva na zona do vão e negativa na zona dos apoios, contribuindo, em ambas as situações, para o aumento da flecha das vigas. = f 1 R 176

184 p Estruturas de Betão I pelo P.T.V., = L M. 1 R dx 9.5 Estado Limite de Abertura de Fendas A análise e compreensão do fenómeno da formação de fendas e da sua evolução até à sua estabilização, incluindo o processo de transmissão de tensões entre o betão e as armaduras, e, finalmente, a forma de estimar as aberturas das fendas, não é simples. Têm sido desenvolvidos inúmeros modelos, mais ou menos sofisticados, para a sua explicação e avaliação das variáveis em jogo. No que se segue descreve-se de uma forma simplificada as características principais do mecanismo de fendilhação, para depois explicar a formulação da avaliação das aberturas de fendas e do seu controlo indirecto a partir dos parâmetros mais condicionantes Mecanismo da fendilhação E ABERTURA DE FENDAS Para a apresentação do processo de fendilhação vamos tomar o elemento estrutural mais simples que é o de uma barra de betão armado sujeita à tracção. N N As c Ac Antes de fendilhar, Estado I, a distribuição de tensões segue o comportamento elástico tendo-se, aproximadamente: c = N A c s = s E s ; c = c E c Como s = c s c = E s E c s = E s E c c s = c, com = E s E c Quando se tiver c = f ctm há-de surgir uma fenda numa dada secção, que por uma razão ou outra esteja mais enfraquecida, passando o esforço axial nessa secção a ser resistido só pelo aço. Há assim um brusco aumento de tensão no aço, maior ou menor, consoante a quantidade de armadura presente. De facto, com o aparecimento da 1ª fenda, ou seja, na passagem para a secção fendilhada, o incremento de tensão na armadura, s, pode ser avaliado por: 177

185 N N c = f ct f ct A c = A s s s = A c A s f ct s = 1 f ct, com = A s A c (% de armadura) A tensão total, a seguir indicada, é calculada em Estado II, sendo a de Estado I, f ct, em geral muito inferior. s fyk s = f ct + s s min fct Refira-se que, como tem sido referido neste curso, min = A s A c é a % mínima de armadura para que, quando se forma a 1ª fenda, a armadura não atinja a cedência (não plastifique). Para quantidades de armadura superiores o nível de tensão instalado na fenda estará no domínio elástico, havendo, por efeito da aderência aço/betão, na região adjacente à fenda, uma transferência de tensões do aço para o betão. A uma distância, s, como indicado na figura, restabelece-se um estado de tensão com tracções no betão que permitem condições para se poder formar outra fenda. N s m c N c = N A c = f ct N = f ct A c Esta distância, s, é considerada como a distância mínima, para que se possa formar outra fenda. Assim, a distância mínima entre fendas (s), para um tirante, pode obter-se através de: N máximobetão = N aderencia f ct A c = m A contacto f ct A c = m u s s min = f ct A c m u Como, = A s A A c = A s c = 2 4 e u = A c u = = 4 s min = f ct m 4 178

186 Caso se trate de um problema de flexão, em particular para vigas com alturas pequenas e lajes, a zona traccionada de transmissão de tensões entre o aço e o betão é triangular. M m s fct Dado que nestes casos N mácximo betão = f ct A c 1 2, esta distância tem tendência a ser metade:s min = f ct m Em geral para peças com uma maior dimensão, a transmissão de tensões do aço para o betão ocorre apenas numa zona restrita em torno da armadura, como representado na figura abaixo indicada, definindo-se uma área efectiva, A c,ef. hc,ef d Ac,ef A c,ef representa a área efectiva de betão mobilizada por aderência, sendo a altura h c,ef definida através de: h c,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2] Poderá definir-se então uma percentagem de armadura ( p,ef ) relativa à área de betão efectiva, calculada de acordo com a expressão p,ef = A s A c.ef Deste modo, a distância mínima entre fendas poderá ser calculada através de: s min = 0.25 k 1 k 2 p,ef Comparando com a expressão anterior verifica-se que é equivalente sendo que k 1 representa a problemática das condições de aderência e k 2 a forma do diagrama de extensões na zona de transmissão de tensões ao betão. De acordo com o EC2, estes tomam os seguintes valores: 179

187 k 1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões, e que toma os seguintes valores: 0.8 para varões de alta aderência (nervurados ou rugosos) 1.6 para varões lisos k 2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção, e que toma, em geral, os seguintes valores: 1.0 para a tracção 0.5 para a flexão de lajes ou vigas pouco altas Nos casos de tracção excêntrica ou de flexão de vigas mais altas, valores intermédios de k 2, podem ser avaliados pela expressão: Ac,ef 2 1 M k 2 = k 2 = = 2 (tracção pura) = 0 Nota: Quando forem utilizados, na mesma secção transversal, varões com diâmetros diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro equivalente ( eq ), dado por eq = n n n n 2 2 Refira-se que, uma vez estabilizada a formação de fendas na zona traccionada, isto é, quando não houver condições para a formação de mais fendas, a distância entre elas deverá ser variável, teoricamente, entre o valor mínimo e duas vezes esse valor. Na figura seguinte ilustra-se o ensaio de uma viga de secção em I à flexão, em que se mostram dois pormenores da zona central, um em que se está no processo de fendilhação de fendas e outro em que o processo de fendilhação estabilizada já se encontra definido. Refira-se que na viga estão marcados com traços a cores o andamento das fendas à medida que a carga evoluiu. 180

188 Por sua vez o Eurocódigo 2 define uma distância máxima entre fendas a ser calculada através da seguinte expressão que corresponde a 1.7 vezes o valor anterior, acrescido do termo complementar 2c, tal que: s r,max = 1.7 2c k 1 k 2 = 3.4c k 1 k 2 p,ef p,ef E onde c representa o recobrimento das armaduras e o termo 2c contabiliza o facto da abertura de fendas na superfície ser um pouco maior que junto à armadura. 181

189 Fissura Estado I c1=s1 c N=Nf hef Ac,ef c l 0 Pode constatar-se da análise da expressão que: Tensão de Maior quantidade de armadura menor distância entre fendas aderência Escorregamento c1=fct bm Naturalmente que com uma maior densidade de armadura a transmissão de tensões para o betão é mais eficiente. Menores s menor distância entre fendas b Fisicamente compreende-se pois, para a mesma quantidade de aço, com diâmetros menores a relação entre a superfície dos varões e a área de aço é maior. Para a avaliação da abertura de fendas é preciso, para além da estimativa da distância previsível entre fendas, determinar o valor médio da diferença entre a extensão do aço (que é maior naturalmente) e a extensão do betão, na zona da fenda. Então vejamos qual seria a abertura de fendas num elemento fendilhado de betão armado, sem mobilização de aderência aço/betão. N N As s = L L = w s s s s Ac w = s s s w s w s w - abertura de fendas s - distância entre fendas s = s E s e s = N A s As aberturas de fendas seriam avaliadas, naturalmente, pelo produto da extensão do aço, uma vez que o betão não teria tensões, vezes o comprimento de influência de cada fenda. Na realidade o cálculo da abertura de fendas baseia-se neste princípio só que há que contabilizar, por um lado, a menor extensão do aço fora da secção das fendas e, por outro lado, a extensão do betão, que contribui um pouco para diminuir a abertura da fenda. 182

190 Há assim necessidade de avaliar a extensão relativa média entre o aço e o betão que pode ser determinada pela seguinte expressão: srm = sm - cm Na figura seguinte pode compreender-se o sentido desta expressão pois representase, em termos médios, a distribuição de tensões e extensões no aço e no betão ao longo de um elemento fendilhado de betão armado, com fendilhação estabilizada. L L0 N N srm s c s;c sm cm sr srm Onde, sm = L L 0 = L - L 0 L 0 (deformação média da armadura) sr extensão relativa entre o aço e o betão srm extensão média relativa entre o aço e o betão (i) Determinação da extensão média do aço Como se pode observar no gráfico seguinte, que representa a extensão média do aço em função do esforço axial, aquela é inferior à extensão do aço em estado II ( sii ), pois na zona entre fendas o betão retém parte da força de tracção aplicada. Denomina-se, em geral, a este efeito a contribuição do betão entre fendas que está esquematicamente representado na figura seguinte. Verifica-se que a força média no aço entre fendas, é inferior à avaliada na secção fendilhada e, por conseguinte, a extensão média do aço é inferior à de Estado II puro. 183

191 N I II N Ncr Contribuição do betão entre fendas Deste modo, si sm sii sm sm = F s - F c E s A s Onde, = s A s - k t f ct,ef A c,ef E s A s = s E s - k t f ct,ef E s p,ef s representa tensão no aço calculada com base na secção fendilhada; k t é um factor de integração da distribuição de extensões, e que tem em conta a duração ou a repetição das cargas (k t = 0.6 para acções de curta duração; k t = 0.4 para acções de longa duração); f ct, ef representa o valor médio da tensão resistente do betão à tracção, em geral igual f ctm ; p,ef representa a percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva A s A c.ef (ii) Determinação da extensão média do betão Ora, a extensão média no betão é dada pela deformação média do betão entre fendas que é devida precisamente à mesma força retirada ao aço. cm = c E c = F c E c A c = k t f ct,ef A c E c A c = k t f ct,ef E c Deste modo, a extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada pela diferença entre ambos, ou seja: sm - cm = s f ct,ef - k E t s E s - k f ct,ef t p,ef E = s f ct,ef - k c E t s E s p,ef 1 + E s p,ef E c sm - cm = s E s - k t f ct,ef E s p,ef (1 + e p,ef ) com e = E s E c 184

192 Determinação do valor máximo da largura de fendas O valor máximo da abertura de fendas obtém-se, então, através da expressão: w k = s r,max srm = s r,max ( sm - cm ) 185

193 EXERCÍCIO 11 Considere a estrutura representada na figura seguinte. g = q = 1.5 sc = 12 kn/m cp = 20 kn/m 1 = 0.6 ; 2 = 0.4 Materiais: C25/ A400NR Recobrimento:2.5cm Secção do tirante: m 2 a) Verifique o estado limite último de tracção no tirante. b) Calcule a abertura característica de fendas no tirante para uma combinação frequente de acções. 186

194 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 11 ALÍNEA A) 1. Determinação dos esforços p=1 kn/m M A = 0 R B = 0 R B = 6.75kN RA RB (reacção no tirante) p sd = 1.5 ( ) = 48 kn/m N sd.tirante = = 324 kn (tracção pura) A s = N sd f yd = = 9.31 cm 2 Adoptam-se 812 ALÍNEA B) 1. Cálculo da distância máxima entre fendas S r,max = 3.4c k 1 k 2 p,ef (i) Determinação de p,ef p,ef = A s A c.ef = = h - d = rec + est + L 2 = (h - d) = = m A c.ef = = m 2 = 0.037m (ii) Cálculo de s r,max S r,max = 3.4c k 1 k 2 p,ef = = m (k 1 = 0.8 varões nervurados; k 2 = 1.0 tracção simples) 2. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão 187

195 sm cm = s E s - k t f ct,ef E s p,ef (1 + e p,ef ) = = ( ) = N fr = N cp + 1 N sc = 6.75 ( ) = 183.6kN s = N fr A s = = MPa k t = 0.4 acções de longa duração e = E s E c = = Cálculo do valor característico da abertura de fendas w k = s r,max ( sm - cm ) = = m = 0.2 mm 188

196 9.6 Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação No caso de se tratar de um problema de flexão, para a avaliação da abertura de fendas na zona traccionada há então que avaliar o nível de tensão nas armaduras na zona da fenda e aplicar a formulação atrás apresentada. Se M actuante > M cr (= w f ctm ) para o cálculo de tensões na secção, é necessário considerar a secção fendilhada. No estado II a posição da LN, poderá ser obtida através da igualdade dos momentos estáticos das zonas comprimidas e traccionadas e, posteriormente, a distribuição de tensões, como analisado no início da disciplina, ou directamente, através de tabelas. Refira-se que o valor do módulo de flexão deve ter em consideração de uma forma indirecta o efeito da fluência pois, como se viu, pode definir-se um módulo de elasticidade equivalente, tal que: E* c = E c. De facto a diminuição do módulo de 1 + elasticidade aumenta a zona comprimida e, consequentemente, também aumenta um pouco a tensão no aço por diminuição do braço de forças. Em geral toma-se um valor de de 0.5 a 1.5 ( = 10 a 15) para as combinações frequentes de acções e para as quase-permanentes de 2 a 2.5 ( = 18 a 22). Cálculo de tensões através de tabelas c Valores a avaliar: = A s2 /A s1 ; d 2 /d d2 As2 x s2 Parâmetros a calcular: d As1 b Ms N s1 = E s ; = A sl E c b d ; e s = M s N M s Momento actuante na secção em relação à armadura A s1 Flexão simples N = 0 e s d = Flexão composta N 0 e s d = M s/n d Em função dos parâmetros e e s /d C s C c s1 = C s M s b d 2 ; s2 = c x (x - 0.1d) ; c = - C c M s b d 2 ; x = C c (C c + C s ) d 189

197 9.6.1 Limitação das tensões em serviço Refira-se que as tensões devem ser limitadas em serviço, sendo que as disposições do EC2 são as seguintes: No Aço Para a acção de cargas e para a combinação característica: s 0.8 f yk Para a acção de deformações impostas, a tratar no parágrafo seguinte: s f yk Estas disposições têm em consideração a garantia da não cedência do aço, pois nesse caso, a abertura de fendas pode tomar valores grandes e de valor não controlável. No caso da deformação imposta, e como se verá no próximo parágrafo há uma maior certeza que o esforço desenvolvido está limitado (neste caso ao de fendilhação), por isso admite-se f yk que corresponde ainda a uma reserva em relação a f ym. No Betão Para as acções características de acções: c 0.6 f ck Para as acções quase permanentes: c 0.45 f ck O 1º limite tem a ver com o risco de se gerar, para este nível de acções alguma fendilhação transversal e o 2º limite justifica-se para limitar a possibilidade de se poder ter um nível superior de fluência, em que deixa de haver um regime proporcional, tensão-deformação a longo prazo. Refira-se que, como mencionado no subcapítulo 2.3, a distribuição de esforços em serviço devido a cargas, a considerar em projecto, deve ser a elástica. Isto apesar de se reconhecer que há desvios por deformação de rigidez relativas entre zonas não fendilhadas e fendilhadas e, nestas, com maior ou menor quantidades de armadura. No que diz respeito às deformações impostas, como veremos de seguida para o caso do tirante, mas que se verifica também em situações de flexão, os esforços em serviço são claramente inferiores aos elásticos, desde que haja perda de rigidez por fendilhação, ou a acção seja de longo prazo (efeito da fluência), e são da ordem de grandeza do esforço de fendilhação se a deformação imposta actuar isoladamente. 190

198 EXERCÍCIO 12 Continuemos a nos referir ao mesmo exemplo: Materiais: C25/30, A400NR Acções: Peso próprio Revestimento=2.0 kn/m 2 Sobrecarga = 3.0 kn/m S2 Coeficientes de majoração: G = Q = S1 Coeficientes de combinação: 1 = 0.4 ; 2 = 0.2 Secção da viga: m 2 Espessura da laje: 0.15m a) Determine a abertura de fendas na secção S1 para uma combinação frequente de acções. 191

199 Resolução do Exercício Cálculo dos esforços p frequente = cp + 1 sc = = 33.1kN/m pfr S S DMF (+) S1 M fr (-) M S1 fr = pl2 2 = = 149kNm 2. Cálculo do momento de fendilhação (M cr ) = M w M cr = w f ctm = bh2 6 f ctm = f ctm (C25/30) = 2.6MPa = 93.9 knm < M S1 fr Deste modo, para combinação frequente, a secção do apoio está fendilhada 3. Cálculo de tensões em estado II (Tabelas) 516 A s1 = A (516) = 10.05cm 2 A s2 = A (225) = 9.82cm 2 d M = A s = bd = = A s2 A s1 = = d 2 /d 0.05 ; = 15 Nota: para ter em conta o efeito de fluência pode tomar-se 15 ou 18 E c /(1 + ) = = (pag.120) C s = C c = 6.03 Posição da LN: x = C c 6.03 d = 0.8 = 0.21m C c + C s Tensão na armadura: M = M fr S = C s E s M fr b d 2 = = 202 MPa 192

200 4. Cálculo da distância máxima entre fendas S r,max = 3.4c k 1 k 2 p,ef (i) Determinação de p,ef p,ef = A s A c.ef = = hc,ef Ac,ef h c,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2] h - d 0.05 m 2.5 (h - d) = = m (h - x)/3 = ( ) / 3 = 0.21 m h/2 = 0.85 / 2 = 0.43 m A c.ef = = m 2 (ii) Cálculo de s r,max S r,max = 3.4c k 1 k 2 p,ef = = m k 1 = 0.8 (varões nervurados) k 2 = = = = = = Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão sm - cm = s E s - k t f ct,ef E s p,ef (1 + e p,ef ) = = ( ) = k t = 0.4 acções de longa duração e = E s E c = = Cálculo do valor característico da abertura de fendas w k = s r,max ( sm - cm ) = = m = 0.22 mm 193

201 9.7 Armadura mínima Nesta fase do curso já se referiu a necessidade de quantidades de armadura mínima à tracção, à flexão, ao esforço transverso, etc, com o objectivo de assegurar, no essencial, que, em caso de rotura, esta não seja frágil. No que se segue, a problemática é bem diferente, apesar de poder conduzir a resultados quantitativos que, nalgumas situações, são coincidentes. Neste contexto pretende-se, principalmente, obter quantidades mínimas de armaduras distribuídas nos elementos estruturais de tal modo que, se se formarem fendas, por efeitos de cargas ou de deformações impostas, tais como a própria retracção do betão ou uma variação de temperatura (em situações de restrição a essa deformação livre), as aberturas, em condições de serviço se encontrem dentro de limites controlados Tracção Considere-se o tirante de betão armado representado na figura seguinte, mas agora submetido ao efeito de uma força ou de uma deformação imposta. N N fct 194

202 A diferença principal é a de que num caso se aplica a força e mede a deformação e, noutro, aplica-se a deformação e mede-se a força. Se em termos de comportamento elástico são situações equivalentes, nas estruturas de betão armado devido ao seu comportamento não linear a curto prazo, por fendilhação, e a longo prazo, por fluência do betão, as respostas podem ter características bem diversas. Verifica-se que, em ambos os casos, até à formação da 1ª fenda, o comportamento é elástico e equivalente mas, após a fenda, surgem duas respostas distintas: 1 - Para o caso de aplicação da carga verifica-se um aumento da deformação global do conjunto devido à perda de rigidez na abertura de cada nova fenda. Assim, se não estiver presente uma quantidade de armadura suficiente para equilibrar a carga de fendilhação, verifica-se uma rotura frágil do tirante. É com base nesta situação que se define a armadura mínima devido ao efeito de cargas, como referido nos capítulos iniciais, tal que: N cr = A c f ct A c f ct A s f yk A s.min = A c f ct f yk, por tracção 2 - Para o caso da deformação imposta a perda de rigidez por formação de cada nova fenda faz com que a carga diminua. Neste enquadramento, a formação da 1ª fenda não é preocupante, pois o esforço diminui. No entanto, com o crescimento da deformação imposta, se a capacidade das armaduras é inferior ao esforço necessário para se formar a 2ª fenda o tirante plastifica na zona da 1ª fenda (ver figura a) seguinte). Assim, não se formam mais fendas, concentrando-se toda a deformação imposta naquela fenda, que atinge, rapidamente, valores inaceitáveis. s2 I s2 I Patamar de cedência II fy sr,n II sr,1 fy sr,1 sr,n = 1,30 a 1,35 sr,1 Formação de fendas Fendilhação estabilizada 0,10 imp imp w1 wn wn = 1,20 w1 w a) min,y w b) min,w = min (wadm) > min,y 195

203 No caso da deformação imposta, permitir a formação de várias fendas, as aberturas são mais aceitáveis (ver figura b) anterior), chegando-se à conclusão que a quantidade mínima de armadura para garantir este comportamento é equivalente à de não fragilidade, por efeito de cargas (situação 1) Flexão O caso da flexão é, em parte, equivalente ao da tracção na medida em que a zona traccionada da secção funciona como um tirante. A diferença é que a distribuição de tensões antes da fendilhação é triangular e não uniforme, como se mostra seguidamente, e já referido no início do curso. c (-) M M h b h/2 (+) fct Área de betão traccionada: A ct = b h 2 Força de tracção no betão: F T = 1 2 f ct A ct A s.min = 1 2 A ct f ct f yk De acordo com o Eurocódigo 2, a expressão para o cálculo da área de armadura mínima, em termos do comportamento em serviço, e tendo como base, as características da resposta a deformações impostas é dada pela seguinte expressão: A s.min = k c k A ct f ct.ef s Em que a quantidade de armadura é avaliada admitindo que, durante o processo de fendilhação, o esforço máximo mantém-se constante, da ordem de grandeza do esforço de fendilhação, e se limita o nível de tensão nas armaduras a s. Naquela expressão: A s,min representa a área mínima de armadura a colocar na zona traccionada; A ct representa a área de betão traccionada; s representa o nível de tensão máximo no aço que se pretende admitir, podendo ser, no limite, igual a f yk. f ct,ef representa o valor médio da resistência do betão à tracção na idade em que se espera que ocorram as primeiras fendas; 196

204 k é um coeficiente que considera, para deformações impostas em parede espessas, o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes (diminuição da resistência efectiva à tracção devido à instalação de estados auto-equilibrados de tensões), cujo valor varia com a espessura (ou altura) do elemento, de acordo com o gráfico seguinte: k h [m] Para fendilhação devida a cargas aplicadas, k = 1.0 k c é um coeficiente que tem em conta quer a forma da distribuição de tensões na secção, imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da força. Para tracção simples: k c = 1.0 Para flexão simples k c = 0.4 Para banzos traccionados de secções em caixão ou em T (EC2) k c = 0.9 F cr A ct f ct,ef 0.5 Em que F cr representa o valor absoluto da força de tracção no banzo, no instante que antecede a fendilhação, devida ao momento de fendilhação (M cr calculado utilizando o valor de f ct,ef ). Como simplificação é natural considerar para estes casos k c = 0.9 ou mesmo uma situação de tirante puro, k = 1.0. Para flexão composta, o EC2 propõe a generalização destes princípio tal que: c k c = k 1 (h / h*) f ct,ef Onde, c representa a tensão média actuante no betão, na secção rectangular ou na alma da secção, se tiver outra forma ( c = N Ed / b h), sendo N Ed o esforço normal actuante para a combinação de acções considerada (compressão com sinal positivo); 197

205 k 1 é um coeficiente que considera o efeito dos esforços normais na distribuição de tensões: k 1 = 1.5 se o esforço normal for de compressão; k 1 = 2h*/3h se o esforço normal for de tracção; h* = min (h; 1.0 m); A variação de k c da tensão média na secção é a ilustrada para 3 secções no gráfico seguinte. Estimativa do coeficiente kc 1,00 0,80 0,60 0,40 Caso 1-1,50x0,50 Caso 2-1,00x0,40 Caso 3-0,20x1,00 0,20 Tensão média [kn/m2] 0, Esta é uma forma de aumentar ou diminuir a armadura mínima de flexão consoante haja um esforço axial, respectivamente, de tracção ou compressão. Apresenta-se seguidamente a exemplificação da aplicação de algumas destas disposições. (i) Armadura mínima para situações de tracção devidas a deformações impostas restringidas. Muro de suporte Nestes casos o encurtamento por retracção ou abaixamento de temperatura diferencial entre a fundação e a parede vertical do muro geram, na parede, um estado de tensão de tracção bastante aproximado ao de um tirante especialmente se o muro for tal que l/h 4. Assim a armadura mínima de tracção deve ser disposta longitudinalmente e nas duas faces. Note-se que não interferem com as armaduras necessárias para suporte das terras, dispostas na vertical. 198

206 A s.min = k c k A ct f ct.ef s Em que: f ct,ef = 2.9 MPa ; f yk = 500 MPa k c = 1.0 (efeito de tracção) k = 1.0 se h 0.30 m e k = 0.65 se h 0.80m (efeito da diminuição do esforço de fendilhação da parede devido à deformação imposta por causa das tensões autoequilibradas) 16 / 0.15 h = / 0.15 Problema: fendilhação no muro, pelo facto da sapata (betonada anteriormente) constituir um impedimento ao livre encurtamento do muro por efeito da retracção e temperatura. É necessário adoptar armadura mínima na direcção horizontal: A s.min /face = k c k A ct f ct,ef s = 1.0 k(h) h 2 f ct,ef f yk [cm 2 /m/face] k = k(h) (deformação imposta) 0.85 k c = 1.0 (tracção pura) A ct = 1.0 m = 0.25 m A smin = = 12.3 cm2 /m (16//0.15) Varanda (consola) Um caso semelhante, mas agora devido a uma retracção ou abaixamento de temperatura diferencial entre o exterior e interior de um edifício, é o de varandas. h=0.20 Problema: fendilhação na consola, pelo facto da laje interior constituir um impedimento ao livre encurtamento da consola devido a variações de temperatura e/ou retracção. É necessário adoptar armadura mínima na direcção paralela ao apoio: A s.min = k c k A ct f ct,ef s = 1.0 k(h) h f ct,ef f yk [cm 2 /m] k = k(h) (deformação imposta) = 1.0 k c = 1.0 (tracção pura) 199

207 A ct = = 0.10 m A s,min = = 5.8cm2 /m (10//0.125) (ii) Armadura mínima de flexão simples (considerando A ct =A c /2) Expressão geral: A s.min = k k c A ct f ct.ef s Esta armadura mínima é necessária, por exemplo, para o caso de uma deformação imposta que gere um efeito de flexão em serviço, como um assentamento diferencial de apoio numa viga hiperstática. Então temos: A s,min = A c = 0.15% A c Naquela expressão considerou-se: k = 1.0 (situação de deformação imposta sem gerar tensão auto-equilibrada) c k c = = 0.4 (para secções rectangulares sem esforço normal) k 1 (h / h*) f ct,ef f ct,ef 3 MPa s = f yk = 400MPa (A400) Verifica-se que, como seria de esperar, esta quantidade de armadura é da mesma ordem de grandeza da armadura mínima de flexão definida para assegurar uma rotura dúctil (explicação no capítulo inicial e expressão do subcapítulo 5.7.1). (iii) Armadura mínima em banzos traccionados Quando uma viga de betão armado com banzos traccionados fendilha, aos banzos é imposta uma deformação, e mesmo que na alma exista armadura suficiente para garantir a segurança á rotura, as zonas laterais vão fendilhar e precisam de ter uma armadura mínima (ver figura) para que as fendas sejam repartidas e com aberturas aceitáveis. Pode também, em secções em caixão, haver deformações impostas relativas entre banzos e almas de espessuras diferentes, que geram distribuições de tracções semelhantes aos das consolas (i). Havendo essa possibilidade é exigido também, por essa via, a disposição de armadura mínima. Num caso e noutro a deformação de comportamento, entre ter essa quantidade de armadura ou não, está representado na figura seguinte. 200

208 Apresenta-se seguidamente a avaliação das armaduras mínimas para este tipo de elementos no caso da acção de um momento positivo. (-) M ou M h h (+) quase tracção pura A s.min = k c k A ct f ct,ef s h f ct,ef 2 f (cm 2 /m/face) yk = A ct f ct,ef f yk (cm 2 ) A smin/m = k = 1.0 (efeito de uma carga) k c = 0.9 F cr A ct f ct,ef 0.9 (para banzos, caso se considere, simplificadamente, que o diagrama de tensões ao longo do banzo é quase constante) Se h = 0.25 m; f ct,ed = 3 MPa e f yk = 500 MPa A smin /m/face = 7.5 cm 2 /m/face 12//0.15 (iv) Armadura de alma (para vigas com h > 1m) É conhecido que, nas almas de vigas altas, se se tiver uma distribuição só com armadura na zona inferior, a fendilhação nesta zona é distribuída, mas com tendência a concentrar-se na alma (fenómeno denominado, em geral, por arborescência) originando aí fendas com aberturas maiores e não aceitáveis (esquema seguinte). 201

209 Para controlar estas fendas, há que colocar uma armadura mínima que pode ser calculada por metro a distribuir nas duas faces da alma. Este é um fenómeno semelhante ao dos banzos traccionados mas numa zona restringida superior e inferiormente, respectivamente, pela compressão e armadura principal, sendo, portanto, mais favorável. O EC2 propõe adoptar uma percentagem de armadura um pouco inferior, ou seja com k k c = 0.5: A s.min = k c k A ct f ct,ef s b 2 f ct,ef (cm f 2 /m/face) yk = 0.5 A ct bh 2 f ct,ef f yk (cm 2 ) A smin /m = Se h = 0.30 m; f ct,ef = 3 MPa e f yk = 500 MPa A smin = 4.5cm 2 /m/face (10//0.15) A armadura calculada, deverá, em princípio e por simplificação, ser extendida a toda a alma, visto que, numa viga contínua a zona traccionada da alma está em baixo na zona do vão, e em cima nos apoios. 202

210 EXERCÍCIO 13 Considere a estrutura da figura seguinte: sc cp S2 S Materiais: C20/25, A Acções: pp + revest. = 20.0 kn/m sobrecarga = 40.0 kn/m Coeficientes de majoração: G = Q = 1.5 a) Para a estrutura já analisada, calcule as armaduras longitudinais mínimas e pormenorize a secção transversal. 203

211 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 13 ALÍNEA A) 1. Armadura mínima de flexão k = 1.0 (cargas aplicadas) Act k c = 0.4 (para secções rectangulares ou almas sujeitas a flexão simples) f ct.ef A s.min = k c k A ct = s = 2.2cm 2 a colocar junto à face inferior de cada alma 2. Armadura no banzo k = 1.0 (cargas aplicadas) Act k c = 0.9 (para banzos, considerando que o diagrama de tensões ao longo do banzo é constante) A s.min /m = = 2.23 cm 2 /m/face (8/0.20) 4.46 cm 2 / 2 faces = 2.23 cm 2 /face 3. Armadura de alma h/2 Act kk c = 0.5 [valor médio proposto no EC2] A s.min/m = k c k A ct f ct.ef s A smin /m = m = 2.75 cm 2 /m/face (8/0.15) Embora para um momento com um dado sinal a armadura de alma não seja necessária junto à zona comprimida, sob o ponto de vista prático essa armadura é disposta em toda a alma sendo mais fácil calculá-la por metro (de altura). 204

212 9.8 Limites admissíveis de fendilhação relativos ao aspecto e à durabilidade Na ausência de requisitos específicos (impermeabilização, por exemplo), para elementos de betão armado, o EC2 estabelece os seguintes limites, de aberturas de fendas, em função do ambiente envolvente (as classes de exposição estão clarificadas no Modulo 4): Classe de exposição Valores recomendados de w max [mm] X0, XC1 0.4 XC2, XC3, XC4 XD1, XD2 0.3 XS1, XS2, XS3 Estes limites resultam dos conhecimentos actuais que apontam para que fendas com aberturas, não superiores a valores da ordem de 0.3 a 0.4 mm, não são prejudiciais no processo de contrariar o desenvolvimento de degradação por corrosão das armaduras. O limite mais folgado de abertura de fendas definido para o caso das classes de exposição X0 e XC1, é apresentado como um limite, apenas para garantir um aspecto aceitável do elemento. Por outro lado, para casos especiais de tanques com necessidades de garantir certos níveis de estanquidade, disposições mais exigentes são requeridas (ver EC2 parte 3). A abertura máxima de fendas deve ser calculada para a combinação de acções quase-permanentes, que actuam a estrutura quase constantemente ao longo do tempo. 9.9 Controlo da fendilhação sem cálculo directo (EC2) É possível, em geral, limitar as aberturas das fendas a valores aceitáveis como os acima referidos, e evitar uma fendilhação com valores de aberturas não controladas, caso se utilizem as disposições e quantidades mínimas de armadura atrás referidas, e, ainda, de acordo com o EC2, que: para fendilhação provocada, essencialmente, por deformações impostas impedidas, se limitem os diâmetros dos varões a utilizar em função da tensão na armadura no instante após a fendilhação (Quadro 7.2N); 205

213 para fendilhações causadas principalmente por cargas aplicadas se limitem ou os diâmetros dos varões (Tabela 7.3N) ou o espaçamento entre varões (Tabela 7.3), ambos função da tensão na armadura, para os esforços correspondentes à combinação de acções em causa. Na página seguinte apresentam-se os Quadros do EC2 sobre esta matéria e os comentários associados. Para cargas aplicadas poderá estimar-se, numa 1ª aproximação, a tensão nas armaduras para uma combinação em serviço, considerando que: s M comb.serviço M Rd f yd. Está a se admitir para a combinação fundamental de acções, uma tensão f yd, e que o braço em serviço é o mesmo. Evidentemente que s deve ser melhor avaliado como indicado, por exemplo, em 9.6. Para deformações impostas a armadura mínima obtém-se, efectivamente, considerando s = f yk. No entanto, se o diâmetro das armaduras não satisfizer o estabelecido na tabela 7.2N, para assegurar a abertura máxima de fendas requerida deverá adoptar-se o par ( s, que respeita o controlo indirecto daquele valor. Por outro lado, a armadura necessária deverá ser calculada através da expressão de A s,min considerando esse valor de s. De notar que os Quadro foram definidos para certas hipóteses de valores dos parâmetros e que se são referidas duas expressões, para a tracção e flexão, de correcção para outras condições. Refira-se, finalmente, que nos casos da restrição à deformação imposta se verificar só ao longo dos bordos, como no caso do muro e da varanda, atrás exemplificados, a avaliação de armadura não é um problema tecnicamente resolvido. No entanto, aconselha-se, neste momento, a sua avaliação, como apresentado nos exemplos. 206

214 Quadro 7.2N Diâmetros máximos dos varões * s para controlo da fendilhação 1 Tensão no aço 2 Diâmetros máximos dos varões [mm] [MPa] w k = 0,4 mm w k = 0,3 mm w k = 0,2 mm NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses: c = 25 mm; f ct,eff = 2,9 MPa; h cr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k 1 = 0,8; k 2 = 0,5; k c = 0,4; k = 1,0; k t = 0,4 2. Para as combinações de acções apropriadas Quadro 7.3N Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação 1 Tensão no aço 2 [MPa] Para as Notas, ver o Quadro 7.2N. Espaçamento máximo dos varões [mm] w k =0,4 mm w k =0,3 mm w k =0,2 mm O diâmetro máximo dos varões deverá ser modificado como se indica a seguir: Flexão (com pelo menos parte da secção em compressão): s s (f ct,eff /2,9) Tracção (tracção simples): k h c cr 2 ( h - d ) (7.6N) s = s (f ct,eff /2,9)h cr /(8(h-d)) (7.7N) em que: s diâmetro modificado máximo dos varões; s h h cr d diâmetro máximo dos varões indicado no Quadro 7.2N; altura total da secção; altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores característicos do pré-esforço e os esforços normais para a combinação quase-permanente de acções; altura útil ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras; Quando toda a secção está sob tracção, h - d é a distância mínima do centro de gravidade das armaduras à face do betão (no caso em que a disposição das armaduras não é simétrica, considerar-se as duas faces). 207

215 9.10 Estado Limite de Deformação As estruturas sob a acção das diferentes solicitações deformam-se havendo necessidade de limitar essa deformação a limites aceitáveis do ponto de vista do aspecto, da funcionalidade da estrutura e do controlo de danos em elementos não estruturais, assentes sobre a estrutura. Assim, não são facilmente aceitáveis: - Pelos utilizadores, pavimentos cuja deformação seja visível, em particular em obras com níveis superiores de exigência. - Para o bom funcionamento dos sistemas de drenagem das coberturas dos edifícios, flechas que dificultem ou inviabilizem o esquema previsto. - Fendas bem visíveis nas alvenarias de fachada ou interiores em edifícios, ou de danos em caixilharias, acabamentos, etc., sinais de menor qualidade de construção e, no caso das paredes exteriores, definindo caminhos preferenciais de entrada de humidades Limites de Deformação Os limites a definir para a flecha numa estrutura não são facilmente definíveis pois a fronteira do que é ou não possível aceitar não é absoluta. Resulta, em muito, do que tem sido observado, ao longo dos anos, em situações de deficiente e bom comportamento. A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites para diferentes tipos de utilização dos pisos. De qualquer maneira, para os casos correntes de edifícios de escritórios, comerciais ou de habitação, o EC2 (parágrafo 7.4.1), seguindo as recomendações da norma acima referidas, define os seguintes objectivos máximos de deformação, em função do vão: 208

216 L para a deformação total devida combinação de acções quase-permanentes 250 L para o incremento de deformação após construídas as paredes de alvenaria das 500 divisórias. Este limite pode ser adaptável face à sensibilidade da solução construtiva. Refira-se que estes valores de deformação se referem ao diferencial entre os pontos e apoio e o ponto de flecha máxima. Isto é, em particular nos pisos elevados de um edifício, a deformação dos pilares deve ser descontada, apesar de, em geral, não ser muito significativa. Refira-se que, para pontes, os limites usuais, embora não limitados de forma absoluta, apontam para valores da ordem de L/1000. Note-se o facto dos limites de deformação estarem associados à dimensão do vão, limitando-se, assim, a inclinação da deformada. Um aspecto importante salientar é que, como estratégia de dimensionamento, se devem prosseguir objectivos, com alguma folga, em relação aos limites acima referidos Questões na Avaliação e na Limitação da deformação Para a avaliação das deformações em estruturas de betão armado há que ter, em particular atenção as suas características de comportamento em serviço. Ora enquanto não fendilhadas e para efeitos de comportamento a curto prazo, a deformação das estruturas de betão dependem do módulo de elasticidade do betão, com uma pequena influência das armaduras (ver esquema abaixo). p M a EII 1/r curvatura: 1 r = M EI I deslocamento: a = L 1 r M dx a = 1 EI I L M M dx (P.T.V.) M diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a. 209

217 No entanto, compreende-se que, a fendilhação, correspondente a uma perda de rigidez, embora localizada numa zona, afecta a deformação global. Ora, coloca-se assim, a necessidade de: Avaliar as relações momentos-curvatura das zonas fendilhadas. Considerar uma distribuição de curvaturas ou, equivalentemente, de rigidezes, tendo em conta o comportamento ao longo dos elementos. Na figura que se segue mostra-se como nas zonas fendilhadas (submetidas a esforços superiores aos de fendilhação) as curvaturas definidas, com base em relações médias, são maiores do que as esperadas para um comportamento em Estado I. M Estado I p EII Estado II M Mcr EIII M Mcr 1/r 1 r Por forma a se ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma curvatura média para cada zona do elemento, que os ensaios experimentais mostraram estar entre os conhecidos Estados I e II. Esta resposta era expectável pois a participação do betão à tracção entre fendas faz com que a deformação seja inferior à do Estado II em que se despreza todo o betão à tracção. Uma constatação interessante dos resultados experimentais é a perda de rigidez muito significativa logo após a fendilhação, no denominado processo de formação de fendas, a que se segue uma certa nova rigidificação depois da fendilhação estabilizada até ao início da cedência do aço. A curvatura média que é proposta tem um andamento que reproduz, aproximadamente, as características principais do comportamento experimental. 210

218 M M M M EII I EIII II M I II M Mcr (1-)s s s (1/r)I (1/r)m (1/r)II 1/r Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura média pode ser calculada através de uma ponderação entre as curvaturas em estado I e II, considerando para isso um coeficiente de repartição ( com = sr s 2 1 r m = (1 - ) 1 r I + 1 r II Este coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples, pode ser obtido através da seguinte expressão, devido à relação directa momentos-tensões. = 1-1 M cr 2 M onde, 2 para M > M cr 1 coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões ( 1 = 1.0 para varões de alta aderência; 1 = 0.5 para varões aderência normal); 2 coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas ( 2 = 1.0 para uma única carga de curta duração; 2 = 0.5 para cargas actuando com permanência ou para vários ciclos de cargas); sr tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação; s tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante da actuação do valor da carga para a qual se pretende calcular a flecha. Notar que se M < M cr = 0 1 r m = 1 r I 211

219 Verifica-se, então, que a avaliação da deformação de uma estrutura de betão armado pode se basear na resposta elástica a curto prazo, considerando a secção não fendilhada de betão, com uma posterior correcção. Esta pode ser conseguida por um coeficiente, bem calibrado, que tenha em consideração as perdas de rigidez conjunta por fendilhação e fluência do betão. Essa é uma opção possível e prática, que dá origem ao denominado método dos coeficientes globais, que temos vindo a propor na disciplina. Antes de expor a metodologia para avaliação dos coeficientes globais é interessante realçar os principais parâmetros que afectam a deformação das estruturas em geral, e dos sistemas vigados, com ou sem continuidade, em particular. Como se ilustra na figura seguinte e verifica na expressão base de avaliação das flechas, a c = K pl4 EI a defomação depende das condições de fronteira, associada ao parâmetro, k, e tem uma fortíssima dependência do vão e da inércia, em particular da altura pois, tem-se, por exemplo, para uma secção rectangular, a seguinte relação flecha/vão: I = bh3 12 a c L = K 12 p b E L h 3 p ac L Relembre-se que o coeficiente, k, toma os valores de 5/385, 1/184.6 e 1/385, respectivamente, nos casos de vigas simplesmente apoiadas, apoiadas/encastradas e bi-encastradas, o que mostra a importância do grau de continuidade de uma viga na deformação. Tendo em consideração as condições de fronteira, a esbelteza e, ainda, as influências da fendilhação, fluência do betão e da sua retracção, foi possível definir, no âmbito do EC2, e de forma mais ou menos equivalente ao feito noutros códigos, um quadro que permite o controlo indirecto (sem cálculo explícito) dos limites de deformação atrás referidos, pela consideração de uma esbelteza, (L/h), mínima. 212

220 Quadro 7.4N Valores básicos da relação vão/altura útil para elementos de betão armado sem esforço normal de compressão Betão fortemente solicitado Betão levemente solicitado Sistema estrutural K = 1,5 % = 0,5 % Viga simplesmente apoiada, laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direcções 1, Vão extremo de uma viga contínua ou de uma laje contínua armada numa direcção 1, ou de uma laje armada em duas direcções contínua ao longo do lado maior Vão interior de uma viga ou de uma laje armada numa ou em duas direcções 1, Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme) (em relação ao maior vão) 1, Consola 0,4 6 8 NOTA 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, e o cálculo poderá frequentemente revelar que é possível utilizar elementos mais esbeltos. NOTA 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão. NOTA 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem, para a flecha a meio vão, a uma limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios. Assim, para um dado vão e condições tipo de continuidade, é possível ter um valor mínimo de altura para assegurar condições de deformabilidade aceitáveis, desde que, tenham sido adoptadas quantidades de armadura que verifiquem as condições de segurança à rotura. Verifica-se no quadro que para maiores percentagens de armadura (situação usual nas vigas) o limite de esbelteza é mais exigente (menor) do que nas lajes (menores percentagens de armadura). Quando na rotura se precisa de mais armadura, a zona comprimida é maior, e para um nível equivalente de tensões no aço em serviço, a curvatura é maior e, portanto, mais desfavorável para a deformação. 213

221 Naturalmente que os valores resultantes da aplicação do quadro devem ser conservativos e, portanto, são possíveis, soluções mais esbeltas, desde que a deformação seja devidamente avaliada. No entanto realce-se que o limite de esbelteza para controlo da deformabilidade é muito mais condicionante para as lajes do que das vigas. Para estas, como se pode ver no Quadro, para valores de l/h correntes em edifícios, entre 8 a 14, e independentemente das condições de fronteira, está-se na banda de valores aceitáveis, deste ponto de vista. Conclui-se, então, que as dimensões das vigas são, por um lado, condicionadas em geral pela verificação da segurança à rotura e, por outro lado, as vigas são extremamente eficientes como elementos estruturais de limitação das deformações nos pisos estruturais Avaliação directa da deformação No que se segue explicar-se-á o essencial para a avaliação explícita da deformação de uma viga ou de uma laje de betão armado, de acordo com o método dos coeficientes globais, atrás referido, começando-se por analisar a avaliação das curvaturas em Estados I e II Cálculo da curvatura em estado I No Estado I a influência das armaduras não é muito significativa na deformação das estruturas de betão armado, quer a curto prazo, quer no que respeita aos efeitos da fluência e da retracção. No entanto, na realidade as armaduras rigidificam um pouco a secção, sob a acção de cargas e, se a sua distribuição não for simétrica, contribuem para o aumento da deformação por efeito da retracção. Cada um destes efeitos foi matematicamente expresso e depois representado graficamente em trabalhos do Comité Europeu do Betão (CEB) nos inícios dos anos 80, estando reproduzidos, em detalhe, no Volume das Tabelas da disciplina. A curvatura em estado não fendilhado pode ser avaliada através da expressão: Onde, 1 r c curvatura base elástica: 1 r = k I s1 1 r + k 1 k 1 s1 c r + 1 c r, cs1 1 r c = M E c I c k s1 coeficiente que considera, a acção das armaduras, a curto prazo, sendo naturalmente inferior a 1, e tanto menor quanto maior a % de armadura. 214

222 coeficiente de fluência que dá o incremento da deformação de curto prazo, se não houvesse armaduras. k 1 coeficiente que quantifica o grau de restrição que a armadura oferece ao 1 r cs1 - incremento de deformação por fluência do betão (efeito equivalente ao k s1, mas agora ao incremento de deformação a longo prazo) 1 r = k cs cs1 cs1 d Esta parcela é independente das restantes pois não tem nada a ver com as cargas, e permite a avaliação da curvatura por retracção, que depende, no essencial, da maior ou menor simetria na distribuição das armaduras na secção Cálculo da curvatura em estado II Para o Estado II, isto é, secção fendilhada sem considerar o betão à tracção é possível proceder exactamente ás mesmas hipóteses e definir coeficientes equivalentes. Desta forma pode escrever-se a equação: Com 1 r = k cs cs2 cs2 d 1 r = k s2 1 II r + k 2 k 1 s2 c r + 1 c r, cs2 De notar que k s2 é, naturalmente maior que 1, pois representa a relação entre a curvatura da secção do Estado II com a avaliada só com betão (ver gráfico exemplificativo) 215

223 Este gráfico representa a perda de rigidez, que é significativa, função da quantidade de armadura, do Estado I para o II, sendo tanto maior quanto menor a quantidade de armadura. Saliente-se que para uma percentagem, de armadura de flexão principal de 0.75% (aproximadamente, 5 vezes a mínima), vale a que corresponde uma relação de rigidezes I II /I c da ordem de 1/5. Os restantes coeficientes têm um significado semelhante sendo que k 2 é necessariamente muito pequeno pois, numa secção fendilhada, a restrição ao aumento da deformação ao longo do tempo é grande. Repare-se que a zona traccionada só pode, quando muito, ajustar um pouco a sua deformação, pois é só aço e este não flui Cálculo das deformações Tendo a distribuição de momentos, para uma dada combinação de acções e podendo avaliar a curto ou longo prazo a curvatura média em qualquer zona da viga, a deformação resulta directamente do integral (ver também a figura): 216

224 a = L 1 r M dx p M 1 M Mcr 1 r a No entanto, em termos de implementação mais rápida definem-se seguidamente dois métodos, o método bilinear que é referido no EC2, ou o dos coeficientes globais, que resulta daquele e que permite uma avaliação mais directa da deformação, mediante hipóteses simplificativas que se descrevem Método Bilinear Trata-se de avaliar a deformação das vigas, por um lado, como não fendilhadas e, por outro lado, em Estado II, sem betão à tracção. Conhecidos os materiais e a distribuição de armaduras é possível determinar os coeficientes atrás definidos para uma secção determinante. i) Cálculo dos coeficientes k s1, k 1, k cs1, e k s2, k 2, k cs2 ii) Cálculo do coeficiente de repartição, A hipótese considerada é de tomar um momento intermédio na zona fendilhada para efeitos da avaliação do coeficiente de repartição, tal que: M = M D M cr = M cr M D = constante onde M D representa o momento na secção determinante, ou seja o maior na zona. Sabendo que a flecha no vão depende das curvaturas no vão, mas também do que se passa sobre os apoios, podemos tomar um valor ponderado, tendo em consideração essas zonas, como se mostra nos seguintes exemplos. 217

225 Secções determinantes (secções de momentos máximos) = vão = apoio = 2 vão + apoio 3 = apoio vão + apoio 2 4 A flecha pode então ser obtida função da dos Estados I e II tomando constante. iii) Cálculo de flechas = constante a = L 1 0 r m M dx = L 0 (1 - ) 1 r + 1 I r II M dx = a = (1 ) L 1 0 L 1 r M dx + I r M dx 0 II a = (1 - ) ai + a II com a I = L 0 k s1 (1 + k 1 ) 1 r + k cs cs1 M dx c d a II = L 0 k s2 (1 + k 2 ) 1 r + k cs cs2 M dx c d Tomando uma secção como determinante, ter-se-iam coeficientes constantes e portanto: a I = k s1 (1 + k 1 ) a II = k s2 (1 + k 2 ) L 1 0 r c L 1 0 r c M dx + k cs cs1 d L M dx 0 M dx + k cs cs2 d L M dx 0 Em que o integral associado à curvatura elástica, corresponde à deformação elástica da viga, a c. Este é o método bilinear, que para mais fácil implementação pode ser proposto na forma do método dos coeficientes globais, como se mostra de seguida. Assim, desprezando a parcela da retracção tem-se: a I = k s1 (1 + k 1 ) a c e a II = k s2 (1 + k 2 ) a c Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a a = (1 - ) a I + a II = (1 - ) k s1 (1 + k 1 ) a c + k s2 (1 + k 2 ) a c 218

226 a = [(1 - ) k s1 (1 + k 1 ) + k s2 (1 + k 2 ) ] a c = k a c Neste caso define-se, portanto, um coeficiente global, k, que afecta directamente a deformação elástica, tal que: a = k a c Este coeficiente, k, foi avaliado para diferentes valores de armaduras,, e níveis de fendilhação,m cr /M D, tendo sido desenvolvidos gráficos de fácil consulta para a avaliação, como o indicado seguidamente admitindo uma situação de curto prazo e 1º carregamento, k 0, e outra de longo prazo, k t, para um coeficiente de fluência de 3.5. Para outras situações e para a consideração da retracção, outros gráficos são disponibilizados nas Tabelas da disciplina. 219

227 Então para a aplicação do Método dos Coeficientes Globais temos então que: a) Cálcular o deslocamento a c considerando um modelo elástico linear e rigidez de flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas. b) Avaliação de coeficientes K para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a fluência, para as secções determinantes. Deslocamento instantâneo (t = 0): a 0 = k 0 (h/d) 3 a c (tabelas pág. 97) Deslocamento a longo prazo (t = ): a t = k t (h/d) 3 a c (tabelas págs. 98 e 99) a c flecha base (por exemplo tabelas páginas 154 e 155 ou cálculo elástico de estrutura) k 0 coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da fendilhação (função de d/h,, M cr / M D ). k t coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da fendilhação e da fluência (função de, d/h,, M cr /M D ) em que é sempre avaliado com o módulo de elasticidade instantâneo do betão. coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de compressão (função de /,, ) ver volume de tabelas 220

228 c) Definição de um coeficiente global único por uma ponderação equivalente á definida para o coeficiente de repartição, tal que: k = k vão k = k apoio k = 2 k vão + k apoio 3 k = k apoio k vão + k apoio 2 4 Para os sistemas contínuos verifica-se que, sendo o coeficiente corrector da deformação elástica, dependente das quantidades de armadura adoptadas no vão e apoios, no dimensionamento à rotura, uma redistribuição de esforços limitada (ver Capítulo 2) conducente a colocar menos armadura no apoio e mais no vão ou vice-versa, não afecta a deformação da estrutura. Assim, a avaliação da deformação, a curto ou a longo prazo é tal que: a 0 = k 0 a c e a t = k t a c Em que os coeficiente k maiúsculos correspondem ao produto dos k minúsculos com os factores (h/d) 3 e quando pertinente. Saliente-se que, para avaliar o incremento de deformação ao longo do tempo, após a colocação das paredes de alvenaria ou outra solução de comportamento frágil, há que subtrair à avaliação da deformação total prevista a deformação a curto prazo para o peso próprio e das cargas actuantes nessa fase. Portanto as verificações regulamentares serão: Em geral: a t (g + 2 q) = k t a c (g + 2 q) L/250 Com paredes de alvenaria ou outros acabamentos frágeis: a t (g + 2 q) = k t a c (g + 2 q) - k 0 a c (pp + par.) L/

229 EXERCÍCIO 14 Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2.1) p Materiais: C25/30 A400 NR Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (p freq = 20 kn/m) 222

230 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Cálculo da flecha elástica a) Pelo P.T.V., pfr DMF [knm] (+) M max = p L2 8 = = 62.5 knm D 1/R R = M EI 1 DMF [m] (+) 1.25m M max = P L 4 = 5 4 = 1.25 m a= L 1 r M dx = L M M EI dx = 1 EI = m (tabelas pág. 153) E = kn/m EI = knm I = 2 12 = m 4 b) Por tabelas (pág. 154) = pl4 EI = = m a c = m 2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais) (Considera-se = 2.5) = E s E c = = 6.6 = A s bd = = =

231 M cr = W f ctm = bh2 6 f ctm = M fr = 62.5kNm > M cr = 45kNm M cr M fr = 0.72 ( = 2.5) k t = 3.75 = A s' bd = 0 / = 0 = a t = h d k t a c = = m = 4.8 mm 3. Cálculo da flecha instantânea = M cr M fr = 0.72 a 0 = h d 3 (Acções repetidas) k 0 = k 0 a c = = m = 3 mm 224

232 10 Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos de Elementos com Esforço Axial não Desprezável 10.1 Flexão Composta e Desviada O comportamento do betão armado em flexão composta (flexão + esforço axial) em seviço e na rotura (como vamos analisar no que se segue) não é mais do que a generalização da flexão simples. A flexão desviada, por sua vez, corresponde à situação de se poder verificar a flexão, simultaneamente nas duas direcções principais Resistência à flexão composta A capacidade resistente de um elemento de betão armado á flexão composta, como se verá de seguida ou à flexão desviada (flexão em duas direcções, com ou sem esforço axial) como se analisará posteriormente, é baseada na definição de extensões máximas para o betão ou para o aço. Os critérios de deformações limites para a secção são os mesmos da flexão simples, sendo que, naturalmente, com um esforço axial de compressão, a tendência seja para que a zona comprimida de betão seja maior. Assim temos: s ud c (-) 3.5 Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2 c (-) 3.5 Extensões uniformes Extensões não uniformes c c fcd 2 c 3.5 fcd c 3.5 (-) (-) ou (-) Diagramas de deformações na rotura Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5 zonas com diagramas associados à rotura: 225

233 Compressão Tracção ud As2 M 2 1 N 3 As syd ud Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade ( s1 = ud, s2 ud ) Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade ( s1 = ud, (-) c 3.5 ) Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade ( yd s1 10, (-) c = 3.5 ) (-) Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade ( s1 yd, c = 3.5 ) Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2 máx c 3.5 ) De uma forma equivalente ao referido para a flexão simples podemos referir que: Zonas 1, 2 e em parte da zona 3 a rotura tem boas características de ductilidade. Parte da zona 3 e zonas 4 e 5 com rotura tendencialmente mais frágil. Esta característica pode ser contrariada, como referiremos mais tarde, com a adopção de armadura transversal, dita de confinamento. Com bom confinamento, o betão interior às cintas pode ter deformações bem superiores aos 3.5 e, assim, melhora a ductilidade global Determinação dos esforços resistentes Ora, definidos os inúmeros diagramas de extensões a que representam situações últimas, pode-se, para cada um deles, conhecer a distribuição de tensões e, posteriormente, determinar o par de esforços (M rd, N rd ) correspondente. Esse procedimento para um determinado diagrama de rotura, de uma secção com dois níveis de armadura (A s1 e A s2 ) está representado na figura seguinte. As2 MRd NRd s2 c (-) Fs2 Fc yc ys2 As1 (+) s1 Fs1 ys1 A coordenada, y, pode ser definida em relação ao centro geométrico da secção ou em relação ao nível da armadura inferior, sendo mais conveniente adoptar a primeira 226

234 hipótese, pois é em relação a esse ponto que são, em geral, referidos os esforços actuantes. Equações de Equilíbrio: Equilíbrio axial: F c + F s2 - F s1 = N Rd Equilíbrio de momentos: F c y c + F s2 y s2 + F s1 y s1 = M Rd Assim, para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço N Rd - M Rd Se generalizar o procedimento, para todos os possíveis diagramas de rotura, obtém-se (ver figura seguinte): (i) O diagrama de interacção N Rd - M Rd (fig. a) para aquela secção e quantidade de armadura. (ii) Os diferentes diagramas de capacidade resistente (fig. b), se repetirmos o processo para várias quantidades de armadura. (-) N Rd (-) NRd As M Rd MRd a) Diagrama de interacção, N Rd - M Rd para uma dada distribuição de armaduras, b) Diagrama de interacção para várias quantidades de armadura Em termos práticos, o diagrama de interacção representa a envolvente resistente da secção de tal maneira que, para qualquer par de esforços actuantes, N sd - M sd, no contorno ou interior a essa envolvente, a segurança está verificada. Se, de uma forma equivalente ao desenvolvido para a flexão simples, se escreverem as equações de equilíbrio em termos de grandezas adimensionais obtêm-se as denominadas curvas de dimensionamento, que são definidas para certas distribuições tipo de armaduras nas secções. 227

235 As grandezas adimensionais que se definem são as seguintes: Esforço normal reduzido: = N Rd b h f cd Momento flector reduzido: = M Rd b h 2 f cd Percentagem mecânica de armadura: tot = A stot b h f yd f cd Refira-se que o esforço axial reduzido corresponde à relação entre as tensões média actuante e de resistência de cálculo do betão. Por outro lado, para o momento reduzido toma-se agora a altura total, h, e não a altura útil, considerada na flexão simples. Na figura da página seguinte apresenta-se um desses diagramas tipo, dito de dimensionamento, admitindo uma distribuição uniforme de armadura no contorno. Em termos de avaliação da quantidade de armadura, para verificar a segurança, para um par de esforços (N sd, M sd ) calculam-se os esforços reduzidos, sd e sd, e, consultando os ditos diagramas de dimensionamento, determina-se a % mecânica de armadura necessária, tot, e de seguida o valor de A s,tot. Esta quantidade de armadura deve ser distribuído na secção de acordo com o admitido no diagrama de dimensionamento. É interessante chamar a atenção, desde já, que a máxima capacidade resistente se verifica para um nível de esforço axial reduzido de 0.4. Para compreender o efeito de uma compressão moderada na resistência à flexão da secção, considerese o seguinte diagrama de interacção -, bem como os diagramas de tensão na rotura para as situações A e B ilustradas. As2 h As1 b 0.4 A B 228

236 A Fs2,A B Fs2,B Fc,A Fc,B NRd As1 fyd MRd,A As1 fyd MRd,B M Rd,A < M Rd,B Compreende-se que a existência de um esforço axial aumenta as resultantes de compressão (F c e F s2 ) e, consequentemente, o M Rd apesar da diminuição do braço de F c. Este efeito é verificado até níveis moderados de esforço axial. 229

237 10.3 Flexão Desviada A flexão desviada corresponde à actuação simultânea de um esforço axial e de flexão segundo os dois eixos principais. 230

238 Rotura convencional Os critérios de rotura mantêm-se, tal que: s ud (-) c 3.5 Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2 (-) c 3.5 A questão que se coloca de diferente neste caso é que a linha neutra na rotura não é paralela a nenhum eixo principal da secção Determinação dos esforços resistentes Considerada uma dada orientação e posicionamento para a linha neutra de uma secção de betão armado é definido o diagrama de extensões correspondente à rotura, como indicado na figura seguinte. My Mz (+) Fs1 (-) Fs2 c Fc Definido o diagrama de extensões é obtido o de tensões e, consequentemente, através das equações de equilíbrio, os esforços (N Rd, M Rd,y, M Rd,z ). Ora: (i) Se para cada orientação da Linha Neutra, se varrer a secção com todos os possíveis diagramas de rotura. (ii) Se se repetir o trabalho anterior para todas as orientações possíveis da Linha Neutra. Obtém-se um diagrama de interacção tridimensional (N Rd, M Rd,y, M Rd,z ) ver figura seguinte, para aquela quantidade de armadura. Representa-se também um corte para um dado nível de esforço axial actuante. 231

239 Se se repetir o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de base para o dimensionamento e verificação da segurança. De facto, como na flexão composta, podem estabelecer-se as equações de equilíbrio através de grandezas adimensionais: Esforço normal reduzido: = N Rd b h f cd Momentos flectores reduzidos: y = M Rd,y b h 2 f cd ; z = M Rd,z b 2 h f cd Percentagem mecânica de armadura tot = A stot b h f syd f cd Nas figuras que se seguem mostra-se como representando a calote tridimensional por cortes para igual esforço axial, se podem obter valores de quantidades de armaduras para esforços actuantes, sd, y,sd e z,sd. Poderiam ser realizados, em alternativa, cortes para determinadas relações Rd,y / Rd,z. 232

240 Simplificadamente, é possível, para um dado esforço axial, N sd, fazer a verificação da segurança em flexão desviada, utilizando só o cálculo em flexão composta, em cada uma das duas direcções, e verificar no final a seguinte condição: M sd,y M Rd,y + M sd,z M Rd,z

241 onde é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os seguintes valores: Secções transversais circulares ou elípticas: = 2 Secções transversais rectangulares N sd / N Rd Refira-se que N RD corresponde à capacidade resistente da secção submetida unicamente a esforço axial de compressão Disposições construtivas de pilares As armaduras dos pilares devem seguir disposições que correspondam a soluções estruturalmente eficientes, económicas e construtivamente viáveis. Os regulamentos, por sua vez, definem disposições mínimas em termos de quantidades, afastamentos e diâmetros de armaduras longitudinais e transversais. No que se segue referem-se as disposições do EC 2, para estruturas em zonas de pouca sismicidade, referindo-se, que em termos práticos em Portugal, há que ter em atenção, em particular nestas disposições, as indicações do EC Armadura longitudinal (i) Quantidades mínimas e máximas de armadura As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de aço utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte expressão (EC2): A s, min = 0.10 N sd f yd A c Trata-se de um valor dependente do valor do esforço axial, que no mínimo pode valer 0.2%. Refira-se que, em zonas de maior sismicidade o EC8 impõe um mínimo bastante superior de 1%, o que será, em geral, mais adequado. A quantidade máxima de armadura é dada por sua vez por: A s, máx = 0.04 A c (fora das secções de emenda) Nota: Nas secções de emenda, poderá ter-se uma armadura até 0.08 A c. 234

242 Valores desta ordem de grandeza devem ser evitados, pois além de serem difíceis de implementar em termos construtivos, correspondem a soluções potencialmente de baixa ductilidade. É importante referir que as emendas das armaduras longitudinais devem ser preferencialmente, na zona intermédia do pilar, sendo essa disposição obrigatória em zonas sísmicas (ver pormenor na página seguinte). (ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento Apresentam-se agora algumas disposições mínimas para as armaduras nos pilares Armadura longitudinal Quanto a disposições mínimas ao longo do perímetro temos: 1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou 4 varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável adoptar pelo menos 6 varões. A disposição das armaduras nos pilares deve ser distribuída no contorno, com eventual reforço nas zonas do canto, mas, sempre, de forma a que a distância entre 2 varões consecutivos não seja superior a 30 cms. O diâmetro mínimo dos varões longitudinais, de acordo com o EC2 é de 8 mm, no entanto, não se deve adoptar em pilares diâmetros inferiores a 12 mm, excepcionalmente, 10 mm Armadura transversal É importante referir que a armadura transversal dos pilares têm várias funções que se salientam seguidamente: Cintar o betão, em particular nas extremidades, onde se concentram os maiores efeitos de flexão. Resistir ao esforço transverso que num pilar é constante ao longo do seu comprimento. Contrariar e impedir a encurvadura localizada dos varões longitudinais. Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e betonagem; Refira-se que, em zonas com alguma sismicidade, as cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas (ver no desenho). 235

243 a) PORMENOR DOS ESTRIBOS ESC. 1/ Varões do pilar inferior fora do perímetro da secção do pilar superior 2- Varões que não se interrompem no nó 3- Varões do nível superior com amarração no pilar inferior b) Exemplos de disposição de armaduras com variação de dimensões do pilar em altura DISPOSIÇÃO GERAL DE Exemplo ARMADURAS de disposição EM PILARES de armaduras Sem Esc. longitudinais num pilar a) variação pequena < 5 cm b) variação superior Espaçamento das cintas de acordo com o EC2: s máx = min (20 L,menor ; b min ; 40 cm) O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 s máx, ou seja, 12 L,menor (refira-se que o Documento de Aplicação Nacional impõe este valor mínimo mesmo na zona intermédia do pilar), nos seguintes casos: - Nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior dimensão do pilar; 236

244 Esta disposição tem em consideração melhorar a cintagem do betão e, portanto a ductilidade da secção, nas zonas de maiores esforços de flexão. - Nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes varões seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao longo do comprimento de emenda. Esta disposição tem a ver com a resistência às tracções que se geram perpendicularmente às emendas de varões, como indicado no Capítulo 7.6. Refira-se que as disposições do EC8 nesta matéria são mais exigentes, em particular nas zonas junto às extremidades, propondo aí como mínimo, para o espaçamento de cintas, 8 L. Diâmetro cinta = max (6 mm; 0.25 L,maior ) Recomendável: 8 mm Forma da armadura / cintagem mínima As formas das armaduras transversais devem seguir disposições apertadas para garantirem eficiência de cintagem e de contrariar o risco de encurvadura dos varões isolados. Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser abraçados por armadura transversal. Em zonas comprimidas, é necessário cintar todos os varões longitudinais que se encontrem a mais de 15 cm de varões cintados (ver pormenor das secções transversais). 237

245 8Ø20+4Ø16 3 Cintas Ø8//0.15 4Ø20+8Ø16 2 Cintas Ø8//0.15 8Ø20+8Ø16 2 Cintas Ø8// Ø20+12Ø16 3 Cintas Ø8//0.15 Exemplos de disposição de armaduras transversais em secções rectangulares de pilares 238

246 EXERCÍCIO 15 Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme indicado. Dimensione e pormenorize a secção. As/ M sd N sd N sd = kn M sd = 150 knm As/ Materiais: A400NR C20/25 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 15 Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas) d m h = 0.50m d 1 h = 0.10 ; A400 Esforço normal reduzido: = N sd b h f = cd = Momento flector reduzido: = tot = 0.20 A stot = tot b h f cd f yd M sd b h 2 f = 150 cd = 0.15 = = 11.47cm 2 Na rotura c2 s1 = a 1 rotura pelo betão armaduras traccionadas não atingem a cedência Zona 239

247 EXERCÍCIO 16 Considere um pilar com secção transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as armaduras do pilar para os seguintes esforços: N sd = -1400kN; M sd =250 knm Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 16 d 1 = 0.05 d 1 h = 0.10 = = N sd r 2 f = cd = M Sd 2 r 3 f = 250 cd = tot = 0.30 A stot = tot r 2 f cd f yd = = 28.3cm 2 240

248 EXERCÍCIO 17 Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo indicados. z N sd = kn y 0.50 M sd,y = 150 knm M sd,z = 100 knm Materiais: A C20/25 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 17 Flexão desviada com esforço axial (Tabelas) Msdz Msdy Astot/4 = y = z = N sd b h f = cd = M sdy b h 2 f = 150 cd = 0.15 M sdz b 2 h f = 150 cd = Como z y 1 = z = e 2 = y = 0.15 = = = 0.15 tot = 0.60 A stot = tot b h f cd f syd = = 34.4cm 2 241

249 EXERCÍCIO 18 Considere um pilar com secção transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as armaduras do pilar para os seguintes esforços: N sd = -1400kN; M sdz = 150 knm; M sdy = 200 knm Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 18 M sd = = 250 knm Flexão composta d 1 = 0.05 d 1 h = 0.10 = = N sd r 2 f = cd = M Sd 2 r 3 f = 250 cd = tot = 0.30 A stot = tot r 2 f cd f syd = = 28.3cm 2 242

250 11 Verificação da segurança de pilares isolados aos estados limite últimos A verificação da segurança dos pilares pode não depender só dos efeitos das acções avaliados com a estrutura não deformada. Neste capítulo analisamos, para os pilares de betão armado, as recomendações regulamentares para se ter em consideração os efeitos das deformações estruturais nos esforços actuantes de dimensionamento Comportamento de elementos esbeltos Nos elementos de betão armado não solicitados por cargas axiais, os esforços são, em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Nestes casos a influência da deformação da estrutura nos esforços actuantes é desprezável. Sempre que as imperfeições geométricas ou as próprias deformações da estrutura possam ter um efeito importante nos esforços solicitantes (em particular no caso de pilares esbeltos), as condições de equilíbrio devem ser estabelecidas na estrutura deformada (Teoria de 2ª ordem). Vimos, assim que a esbelteza dos pilares é um parâmetro importante para a avaliação destes efeitos. Revemos seguidamente esse conceito e exemplificamos em casos simples Esbelteza A esbelteza de um pilar é dada por: = l 0 i onde: l 0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada) i representa o raio de giração da secção i = I A É fundamental compreender que o momento de inércia da secção a considerar é o referente ao eixo perpendicular ao plano de encurvadura. Quanto maior for a esbelteza maior é a sensibilidade aos efeitos da influência do esforço axial nos esforços de flexão, apresentando-se, seguidamente, a avaliação do comprimento de encurvadura, para casos tipo de condições de fronteira. 243

251 Elementos contraventados l 0 = L l 0 = 0.7L l 0 = L/2 Elementos não contraventados = 2L = L = 2L l 0 l 0 l Imperfeições geométricas O efeito desfavorável de possíveis desvios na geometria da estrutura ou posição do carregamento deverá ser tido em consideração no dimensionamento. Os efeitos das imperfeições geométricas poderão ser avaliados de forma geral considerando a estrutura inclinada de um ângulo i. Para elementos isolados, estes efeitos poderão ser considerados de forma simplificada através de uma excentricidade inicial e i ou através de uma força horizontal equivalente H i. 244

252 ei N N Hi L = l 0 /2 i i a) Elementos não contraventados b) Elementos contraventados Excentricidade inicial Com base na estrutura inclinada de i a excentricidade inicial poderá ser calculada através da seguinte expressão e i = i l 0 / 2 onde l 0 representa o comprimento efectivo de encurvadura. A inclinação i pode ser calculada através da seguinte expressão: i = 0 h m onde, 0 representa o valor de inclinação base que pode ser tomado igual a 1/200; h representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do elemento ( h = 2 / l e 2/3 h 1); m representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos verticais existente na estrutura ( m = de elementos verticais). 0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número Caso se tratem de colunas isoladas em estruturas contraventadas, poderá considerarse simplificadamente que e i = l 0 / 400. A análise dos efeitos da imperfeição geométrica podem ser avaliados considerando uma força horizontal equivalente que deverá actuar na posição em que provoque o máximo momento flector e pode ser obtida através das seguintes expressões: (i) Elementos não contraventados: H i = N i (ii) Elementos contraventados: H i = 2 N i 245

253 e i N N H i L = H i L = N e i H i = N e i /L H i = N i i M i = N e i M i = H i L = i H i L/4 = N e i H i = N (4e i /L) H i = 2 N i M i = N e i M i = H i L/ Importância dos Efeitos de 2ª ordem e tipos de rotura associados No que se segue ilustram-se os efeitos de 2ª ordem mostrando-se que as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas na estrutura deformada, depois de aplicadas as cargas. 246

254 Exemplos: N N Teoria de 1ª ordem: M = N e v L L Teoria de 2ª ordem: M = N (e + v) M = N e + N v N e momento de 1ª ordem v N v momento de 2ª ordem Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares, = l 0 i, como se representa seguidamente. N - pequeno efeitos de 2ª ordem desprezáveis N e 1 (Teoria de 1ª ordem) N e N v 2 - médio/elevado efeitos de 2ª ordem relevantes (Teoria de 2ª ordem) Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis M se: M 2ªordem 0.10 M 1ªordem ( N v 0.1 N e) A rotura de um pilar terá, em geral, uma rotura por esgotamento da sua capacidade resistente, com influência ou não de efeitos de 2ª ordem, como exposto, mas poderá ter, em caso de uma esbelteza elevada, uma instabilidade elasto-plástica antes da rotura da secção, como se ilustra de seguida. 247

255 N 1 N 2 N 3 N e 1 e 2 e 1 N e 2 e 1 N Ne N u, M u 2 2 N CR, M CR N Ne 1 Ne N u, M u Ne 1 Ne N CR, M CR N u 3, M u 3 Relação N - M para e 2 =0 M Elemento pouco esbelto: análise de 1ª ordem - M u = N u e 1 rotura da secção Relação N - M para e 2 0 Elemento com esbelteza moderada: análise de 2ª ordem M u = N u (e 1 + e 2 ) rotura da secção Relação N - M para e 2 0 Elemento com esbelteza elevada análise de 2ª ordem M u = N u (e 1 + e 2 ) rotura por instabilidade 11.5 Consideração dos efeitos de 2ª ordem O cálculo rigoroso dos efeitos de 2ª ordem obriga a estabelecer as condições de equilíbrio na estrutura deformada considerando o comportamento não linear do betão armado. Isto significa a realização de análises não lineares da estrutura tendo em conta as não linearidades geométricas da deformada e as não linearidades físicas dos materiais. Este método é designado por Método Geral sendo válido para qualquer tipo de elemento estrutural ou estrutura submetida a qualquer tipo de carregamento. Trata-se de uma metodologia que envolve um esforço de cálculo significativo e a sua utilização no projecto de estruturas apenas se justifica em algumas situações particulares. Tendo em conta a complexidade deste tipo de análises a regulamentação permite a utilização de métodos simplificados para quantificar os efeitos de 2ª ordem. 248

256 Métodos de análise simplificados O EC2 contempla a utilização de dois métodos simplificados para calcular os efeitos de 2ª ordem: - Método da curvatura nominal Este método consiste em estimar a curvatura (1/r) na secção mais esforçada para efeitos do cálculo da deformada de 2ª ordem da estrutura a partir da qual é calculado o momento de 2ª ordem. - Método da rigidez nominal O método consiste em estimar a rigidez de flexão EI do elemento estrutural a qual é utilizada na análise linear de 2ª ordem. Os dois métodos apresentam a mesma fundamentação conforme se demonstra a seguir. Considerando uma coluna bi-articulada sujeita a um esforço axial N e a uma carga transversal (ou a uma imperfeição geométrica) o momento total actuante incluindo os efeitos de 2ª ordem é obtido de acordo com a seguinte expressão: N 0 r v M 0 M 2 1/r M = M + M 0 2 M = M 0 + M 2 = M 0 + N v = M 0 + N 1 r l 0 2 c em que: M momento total M 0 momento de 1ª ordem M 2 momento de 2ª ordem v deslocamento associado à curvatura 1/r l 0 comprimento do elemento (comprimento de encurvadura) 249

257 c factor que depende da distribuição da curvatura O deslocamento v pode ser obtido pela integração das curvaturas ao longo da coluna, admitindo uma distribuição proporcional à dos momentos: v = 1 l 0 r M dx = l 0 M M EI dx = 1 EI l 0 M M dx = M EI 2 l 0 c = 1 r l 0 2 c Em que c tem os seguintes valores função da distribuição do momento flector ao longo da coluna: distribuição parabólica: c=9.6 distribuição uniforme (constante): c= 8 distribuição triangular simétrica: c=12 Sendo M e 1/r o momento e a curvatura na secção mais esforçada do pilar. A diferença entre os dois métodos reside nas hipóteses admitidas para a consideração de um valor de curvatura ou, o que pode ser equivalente, de um valor para a rigidez fendilhada. De seguida apresentam-se as hipóteses base consideradas em ambas as metodologias. - No método da curvatura nominal a curvatura 1/r é a associada à deformada do elemento correspondente ao momento de cedência. Admite-se, para a curvatura base, que as armaduras de compressão entram em cedência simultaneamente com a de tracção (ver fig. seguinte). De acordo com o EC2 este valor é depois modificado para poder ter em conta o nível de esforço axial e a fluência do betão, como veremos. syd (+) syd (-) 1 r = syd + syd 0.9d = syd 0.45d 0.9d A razão pela qual a curvatura de cedência é considerada neste cálculo pode ser compreendida tomando uma relação momento curvatura tipo de uma secção em flexão composta. Se se representar o crescimento do momento de 2ª ordem com a curvatura, percebe-se que a máxima resistência disponível para o momento de 1ª ordem deve ser avaliada para a fase de perda significativas de rigidez da secção com a cedência da armadura (ver figura seguinte). 250

258 N M 1ª ordem M M yd M (1ª ordem) Rd,max v (1/r) M 2ª ordem = N v (1/r) 1/r 1ª ordem M - No método da rigidez nominal a curvatura 1/r é expressa em termos de rigidez nominal à flexão: 1 r = M EI Nesta proposta de metodologia a rigidez EI é definida como se verá tendo em conta, explicitamente, a influência da fendilhação e da fluência. Importa referir que neste tipo de análises o comprimento l 0 deve ser considerado como um comprimento que traduz a forma da deformada final do elemento estrutural. Dado que os métodos simplificados se baseiam na análise de uma coluna biarticulada, a adopção do comprimento l 0 permite a consideração de outras condições de fronteira de pilares Método da curvatura nominal Método de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª ordem, corrigindo os esforços actuantes para ter em conta os efeitos de 2ª ordem, ou seja da própria deformada da estrutura. N 251

259 e N v e N e + e 2 N M sd = N sd (e + e 2 ) De acordo com o EC2, e como já explicado, a excentricidade 2ª ordem pode ser calculada com base numa curvatura nominal através da seguinte expressão: e 2 = 1 r l 0 2 c onde c representa um factor que depende da distribuição da curvatura ao longo do elemento. Normalmente adopta-se c = 10, excepto se o momento de primeira ordem for constante, situação em que se poderá adoptar c = 8. A curvatura (1/r) pode ser determinada a partir da expressão: onde, 1 r = K r K 1 r 0 K r K representa um factor correctivo que tem em consideração o nível de esforço axial; representa um coeficiente destinado a ter em conta o efeito da fluência; 1 / r 0 representa a curvatura base 1 r 0 yd 0.45d. O coeficiente K r destina-se a ter em conta o facto de, em determinados casos, a maior perda de rigidez se dá antes da armadura atingir a extensão de cedência, o que conduz a uma curvatura inferior ao valor base. Este factor de redução pode ser determinado através de: K r = u - u - bal

260 bal representa o valor do esforço normal reduzido; representa o valor do esforço normal reduzido na zona do máximo momento resistente (em geral, bal 0.4); u = 1 +, com = A s f yd / (A c f cd ). O efeito da fluência é considerado através da introdução do coeficiente K, que pretende corrigir os casos em que a curvatura base seria inferior à curvatura real devido ao facto de não se considerar o efeito da fluência. Assim: K = 1 + ef 1.0 ef representa o coeficiente de fluência efectivo ef = (t, t 0 ) M 0cqp ; M 0sd = f ck / / 150; M 0cqp M 0sd representa o momento de primeira ordem para a combinação quasepermanente de acções; representa o momento de primeira ordem para a combinação fundamental. O efeito da fluência poderá ser desprezado, o que equivale a assumir que ef = 0, caso sejam verificadas as três condições seguintes: (, t 0 ) 2; 75; M 0sd / N sd h. Os efeitos de 2ª ordem poderão ser considerados, tal como no caso das imperfeições geométricas, através de uma força horizontal equivalente. Esta força poderá ser uma força concentrada ou outra força equivalente, que produza os mesmos esforços que o efeito de 2ª ordem (ver exemplos seguintes). 253

261 - Elementos não contraventados N H L e 0 2 N M 2 = N e 2 M = H l 0 2 H l 0 2 = N e 2 H = 2N e 2 l 0 H = N 2 - Elementos contraventados N e 2 0 H 2 M 2 = N e 2 M = H l 0 4 H l 0 4 = N e 2 H = 4N e 2 l 0 H = 2N 2 Procede-se seguidamente à verificação do estado limite último de flexão composta na secção crítica (secção mais esforçada), tendo em consideração este método. 254

262 Assim tomemos os seguintes esforços: N sd M sd = M 0sd + N sd e 2 em que: M 0sd = M 0e + N sd e i Secção crítica: (i) Elementos contraventados A localização da secção crítica depende do diagrama de M sd conforme se pode observar na figura seguinte. Nesta figura considera-se uma coluna genérica e representam-se os esforços relativos às cargas actuantes e ao efeito de 2ª ordem. M 02 N M 1 M 2 + = N M 01 M 1 M 2 M = M + M 1 TOT 2 Verifica-se que, em geral, a secção crítica se localiza numa zona intermédia e que a sua determinação requeria um certo esforço de cálculo. O EC2 ultrapassa esta dificuldade indicando uma metodologia simplificada para estimar o momento máximo. Essa metodologia consiste em tomar para o momento associado às cargas actuantes um valor constante, avaliado numa zona intermédia do pilar, o qual é somado directamente aos momentos relativos às imperfeições geométricas e aos efeitos de 2ª ordem. 255

263 N N 0 + e i + e 2 = M Sd i 2 M 0e N e i N e 2 Sd 0e + Ne i N e 2 M = M + M 0e = máx 0.6 M M M 02 com : M 02 M 01 Todavia, como é possível verificar na primeira figura, os efeitos da imperfeição geométrica e de 2ª ordem também se fazem sentir nos nós pelo que o momento máximo pode, eventualmente, ocorrer numa das extremidades do elemento. As dificuldades atrás referidas poderiam ser ultrapassadas se os efeitos das imperfeições geométricas e de 2ª ordem forem considerados através da força horizontal equivalente de acordo com exposto anteriormente. (ii) Elementos não contraventados Nos elementos não contraventados os esforços máximos ocorrem nos nós como se pode observar na figura seguinte pelo que não se coloca a problemática atrás referida. M 02 N + = M 1 M 2 M = M + M 1 TOT 2 N M

264 Método da rigidez nominal Considerando a coluna bi-articulada definida em com comprimento l = l 0, o momento de 2ª ordem pode ser calculado da seguinte forma: M 2 = N v = N 1 r l 0 2 c = N M EI l c = N l 0 c EI (M 0 + M 2 ) onde M 0 é o momento de 1ª ordem e c é um parâmetro que depende da distribuição da curvatura (assume-se que a distribuição das curvaturas de 1ª e 2ª ordem são proporcionais ao longo do vão). Desenvolvendo a expressão anterior em ordem a M 2, tem-se: 2 N l 0 c EI M 2 = M 0 2 l N c EI em que: = M 0 1 c EI l 0 2 / N - 1 = M 0 1 N B N - 1 N B = c EI l EI l 0 2 (carga crítica do pilar) O momento total do pilar pode ser calculado, então, da seguinte forma: M = M 0 + M 2 = M M = N - 1 N B 1 - M 0 N N B O parâmetro N N B é o conhecido factor de amplificação do momento de 1ª ordem, em problemas associados à instabilidade de estruturas. - Rigidez nominal A rigidez de flexão EI a usar no cálculo de N B deve ter consideração o efeito da fendilhação e da fluência. O EC2 considera a seguinte expressão para cálculo da rigidez nominal: EI = K c E cd I c + K s E s I s em que: E cd valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão, E cd = E cm / ce, com ce = 1.2 I c E s momento de inércia da secção transversal de betão módulo de elasticidade do aço das armaduras, 257

265 I s K c K s momento de inércia das armaduras, em relação ao centro da área do betão coeficiente que toma em conta os efeitos da fendilhação e da fluência, coeficiente que toma em conta a contribuição das armaduras. - Em geral: K s = 1 K c = k 1 k 2 / (1 + ef ) em que: ef k 1 = A s /A c coeficiente de fluência efectivo; é um coeficiente que depende da classe de resistência do betão: k 1 = f ck / 20 (MPa) k 2 é um coeficiente que depende do esforço normal e da esbelteza: k 2 = ,20 - Nos casos em que 0,01, no EC2 propõe-se, para simplificar: K s = 0 K c = 0,3 / (1 + 0,5 ef ) Note-se que K c introduz uma perda de rigidez, muito significativa, da ordem de 4 a 6, em relação à rigidez de cálculo da secção só de betão. A dificuldade na aplicação mais precisa desta proposta pode residir no cálculo da rigidez nominal a qual, para ter em consideração as armaduras, exige um processo iterativo Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura Para o caso de elementos isolados, os efeitos de segunda ordem poderão ser desprezados se for satisfeita a condição onde, lim = 20 A B C = l 0 / i e representa o coeficiente de esbelteza (i representa o raio de giração da secção transversal não fendilhada); 258

266 A = 1 / ( ef ) (se ef for desconhecido pode adoptar-se A = 0.7); B = (se for desconhecido pode adoptar-se B = 1.1); C = r m ; ef representa o coeficiente de fluência efectivo; = A s f yd / A c f cd e representa a percentagem mecânica de armadura; r m = M 01 / M 02 onde M 01 e M 02 representam os momentos de primeira ordem nas extremidades de um elemento, sendo M 02 M 01 ; = N sd / (A c f cd ) e representa o esforço normal reduzido O parâmetro C é o que apresenta, nos casos correntes, uma maior variação (entre 0.7 e 2.7) pelo que é fundamental a sua correcta avaliação, dado ter uma influência significativa no valor de lim. 259

267 EXERCÍCIO 19 Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços: N H Secção transversal Esforços característicos: N g = 550 kn; N q = 250 kn Materiais: C25/30; A400NR H q = 20kN ( 1 = 0.6; 2 = 0.4) 260

268 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Cálculo da esbelteza = L 0 i = = 69.3 i = I A = = m; I = bh3 12 = = m 4 2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas e i = i l 0 / 2 i = 0 h m h = 2 / l = 2 / 3.0 = 1.15 < 1.0 h = 1.0 m = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0 i = e i = l = = m 3. Determinação dos esforços de dimensionamento N sd = 1.5 ( ) = 1200 kn; M 0sd = = kn 3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar a condição seguinte: = 69.3 lim = 20 A B C C = r m = 1.7 r m = M 01 / M 02 = 0 = N sd A c f cd = =

269 lim = = 33.8 os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis 3.2. Quantificação dos esforços de cálculo N sd = 1200 kn M sd = M 0sd + N sd e 2 (ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem e 2 = 1 r L 0 2 c 1 r = K r K 1 r 0 1 r 0 = yd 0.45d = = m -1 K r = u - u - bal = = = N sd A c f = 1200 cd = 0.60 u = = 1.5 Estima-se em 0.5 a percentagem mecânica de armadura. Refira-se que este parâmetro tem influência reduzida no valor de K r. K = 1 + ef 1 ef = (t, t 0 ) M 0cqp M 0sd = = 0.78 M 0cqp = ( ) = 33.8 knm = f ck = = K = = r = K r K 1 r = = m -1 0 e 2 = 1 r L 0 2 c = = m M sd = M 0sd + N sd e 2 = = knm 262

270 4. Cálculo da armadura (flexão composta) = = N sd b h f = cd = M sd b h 2 f = cd = d 1 h = = ; A400 tot = 0.62 A stot = tot bh f cd f syd = = 35.7cm 2 263

271 EXERCÍCIO 20 Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços: N Secção transversal Esforços característicos: N g = 380 kn; N q = 220 kn 5.00 ( 1 = 0.4; 2 = 0.2) Materiais: C20/25; A400NR 264

272 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Cálculo da esbelteza = L 0 i = = 69.3 i = I A = b h = m ; I = 12 = = m 4 2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas e i = i l 0 / 2 i = 0 h m = = h = 2 / l = 2 / 5.0 = 0.89 ; m = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0 e i = i l 0 / 2 = = m 3. Esforços de dimensionamento N sd = ( ) 1.5 = 900 kn; M 0sd = = 9.9 knm 3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar condição seguinte: = 69.3 / lim = 20 A B C n = = 25.2 C = r m = 1.7 r m = M 01 / M 02 = 0 = N sd A c f = 900 cd = lim = = 25.2 os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis 265

273 3.2. Quantificação dos esforços de cálculo N sd = 900 kn; M sd = M 0sd + N sd e 2 (ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem e 2 = 1 r L 0 2 c 1 r = K r K 1 r 0 1 r 0 = yd 0.45d = = m -1 K r = u - u - bal = = = N sd A c f = 900 cd = u = = 1.5 K = 1 + ef ef = (t, t 0 ) M 0cqp M 0sd = = 1.2 M 0cqp = ( ) = 4.7 knm = f ck = = K = = 0.99 K = 1 1 r = K r K 1 r = = m -1 0 e 2 = 1 r L 0 2 c = = m M sd = M 0sd + N sd e 2 = = 26.4 knm 3. Cálculo da armadura (flexão composta) d 1 h = = 0.20 ; A400 Tabelas pág

274 = = N sd b h f = -900 cd = M sd b h 2 f = 27.9 cd = tot = 0.65 A stot = tot b h f cd f syd = = 15.5cm 2 267

275 12 Estruturas em Pórtico 12.1 Classificação das estruturas Uma vez que os esforços de 2ª ordem dependem da deformabilidade lateral dos pórticos convém classificar as estruturas relativamente a esta característica. Estruturas contraventadas: estruturas com elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para absorver a maior parte das acções horizontais. paredes ou núcleos Neste tipo de estruturas a deformação lateral é condicionada pelos elementos de contraventamento sendo este o tipo estrutural mais comum. A deformação lateral global da estrutura pode ou não ser desprezável consoante a rigidez dos elementos de contraventamento e as cargas actuantes. Embora a deformação global da estrutura possa ter significado, a deformação relativa entre pisos consecutivos é desprezável. Deste modo para os pilares há apenas que verificar se há ou não que considerar efeitos locais de 2ª ordem para o dimensionamento de cada um deles, admitindo a estrutura contraventada. Por outro lado no dimensionamento dos elementos de contraventamento os efeitos globais de 2ª ordem devem ou não ser considerados, consoante os deslocamentos laterais são significativos ou desprezáveis, respectivamente. Estruturas não contraventadas: estruturas sem elementos de contraventamento Nestas estruturas, que devem sempre que possível ser evitadas, a deformação lateral é, em geral, significativa. Os pilares e paredes devem ser dimensionados para os efeitos globais de 2ª ordem sendo ainda necessário verificar se os efeitos locais são condicionantes. 268

276 12.2 Comprimento de encurvadura O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado pela expressão: l 0 = l onde l representa o comprimento livre do elemento e é um factor que depende das condições de ligação das extremidades do elemento Estruturas contraventadas Estruturas não contraventadas l l l 0 l ( 1) l 0 l ( 1) O comprimento de encurvadura de acordo com o EC2 é obtido pelas seguintes expressões (calibradas com recurso a análises não lineares): - Elementos contraventados l 0 = 0,5l k1 1 0,45 k 1 k2 1 0,45 k 2 - Elementos não contraventados l 0 = lmax 1 10 k k k k 1 1 k k k1 ; 1 1 k 1 2 k 1, k 2 são parâmetros relativos às extremidades do pilar que traduzem a rigidez relativa à rotação dos nós: k = ( / M)(E / l) / M E inverso da rigidez à rotação dos elementos que concorrem no nó e que restringem a rotação desse nó; rigidez de flexão do pilar; 269

277 l altura livre do pilar entre ligações de extremidade O inverso da rigidez, /M, pode ser definido aproximadamente por: /M = 1/(4 EI/L) para elementos com ligações de continuidade nas extremidades /M = 1/(3 EI/L) para elementos rotulados na extremidade oposta à da ligação em análise Nos casos gerais em que apenas as vigas contribuem para a restrição à rotação dos nós tem-se: k i = ( EI / L ) pilares ( EI / L ) vigas nó i: pilar viga Em que toma o valor de 3 ou 4 consoante os casos atrás referidos. O parâmetro k pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó: Maior rotação maior deformação maior l 0 maiores efeitos de 2ª ordem. Exemplo de cálculo de l 0 : Determinar o comprimento de encurvadura do pilar indicado na figura Classificação da estrutura: Estrutura não contraventada k 1 = ( EI / L ) pilares = ( I / L ) pilares = ( 4EI / L ) vigas ( 4I / L ) vigas =

278 k 2 = = l 0 = l max 1 10 k k k k 1 1 k k k1 ; 1 1 k1 2 l 0 = l. max (1.20; 1.18) l 0 = = 3.60 m 12.3 Efeitos das imperfeições geométricas em estruturas porticadas ou mistas Em estruturas porticadas ou mistas (com pórticos e paredes) os efeitos das imperfeições geométricas podem ser avaliados considerando a estrutura inclinada de um ângulo i. Uma metodologia alternativa consiste na aplicação de forças horizontais ao nível dos vários pisos do pórtico que conduzam ao mesmo efeito da inclinação i. N i H i H = N i i 12.4 Efeitos de segunda ordem em pórticos Para o caso de estruturas porticadas com elementos de contraventamento (por exemplo: paredes ou núcleos de betão armado), os efeitos globais de segunda ordem poderão ser desprezados se for satisfeita a condição F v,sd k 1 s s E cd I c L 2 onde, F v,sd representa a carga vertical total; s L representa o número de pisos; representa a altura total do edifício acima do nível a partir do qual os deslocamentos horizontais estão restringidos; 271

279 E cd I c k 1 representa o valor de dimensionamento do módulo de elasticidade do betão (E cd = E cm / ce = E cm / 1.2); representa o momento de inércia da secção transversal dos elementos de contraventamento (em estado não fendilhado); é um coeficiente que em geral toma o valor 0.31, ou o valor 0.62 caso se verifique que os elementos de contraventamento não estão fendilhados em estado limite último. Esta expressão é válida caso se verifiquem as condições seguintes: - Estrutura aproximadamente simétrica; - Deformações globais por corte desprezáveis; - Rotação da base dos elementos de contraventamento desprezável; - Elementos de contraventamento com rigidez aproximadamente constante em altura; - Cargas verticais semelhantes nos vários pisos Verificação da segurança de pórticos contraventados Caso os efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados apenas há que verificar os efeitos locais de 2ª ordem. Assim os pilares devem ser analisados, como elementos isolados de acordo com o definido em 2.6/2.7, tendo em consideração 3.2. Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª ordem. Caso os efeitos globais de 2ª ordem não possam ser desprezados, caso de deslocamentos globais da estrutura significativos (deslocamentos entre o topo e a base do edifício), os deslocamentos entre pisos estão limitados, dada a elevada rigidez dos elementos de contraventamento, isto se tiverem em planta uma disposição aproximadamente simétrica. É razoável admitir, nestes casos, que os elementos contraventados têm deslocamentos horizontais limitados, pelo que há apenas que verificar os efeitos locais de 2ª ordem nos pilares, de acordo com 2.6/2.7, tendo em consideração 3.2. Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª e 2ª ordem. 272

280 Elementos de contraventamento (paredes) Os efeitos de 2ª ordem podem ser avaliados por uma metodologia idêntica à referida para as imperfeições geométricas. N 2 H H = N 2 A inclinação 2 é calculada com base no comprimento de encurvadura e este pode ser estimado como se apresenta seguidamente. 0 2 comprimento de encurvadura do elemento de contraventamento Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados No caso de estruturas em que os efeitos globais de segunda ordem tenham que ser considerados, a análise de pilares isolados em estruturas introduz alguns problemas: A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade de 2ª ordem em todos os pilares. Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por equilíbrio, conduzem a um aumento de esforços nas vigas adjacentes. A análise de pilares isolados não tem em conta este efeito. Desde modo, verifica-se que a análise dos pilares isolados não é adequada pelo que a metodologia a adoptar deve contemplar o comportamento global da estrutura. 273

281 Formas mais correctas de ter em conta os efeitos de2ª ordem 1. Análise da estrutura inclinada (deformada) 2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços provocados pelos efeitos de 2ª ordem. H 2 H1 Esta metodologia em pórticos com muitos pisos perde sentido, por ser muito desfavorável. No que se segue é ilustrada a análise de um pórtico simples de um piso. Considere-se o pórtico na posição deformada: N 1 N 2 P 2 P 1 L e e 0 274

282 O ângulo e o deslocamento δ podem ser determinados com base no comprimento de encurvadura l 0 e na excentricidade e 2 da seguinte forma: = e 2 l = 2 e 2 1 l ; = L = 2L e 2 l 1 0 O momento global de 2ª ordem é: M TOTAL 2 = (N 1 + N 2 ) M TOTAL 2 = (N 1 + N 2 ) 2L e 2 l 1 0 e 2 ; l 0 parâmetros relativos ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência (pilar condicionante) A força horizontal equivalente que conduz ao mesmo momento global nos pilares pode ser calculada da seguinte forma: H M TOTAL H = HL HL = (N 1 + N 2 ) 2L e 2 l 0 L H = 2 (N 1 + N 2 ) e 2 l 0 l 0 ; e 2 parâmetros relativos ao pilar condicionante Definição do Pilar Condicionante: Considerando que o deslocamento horizontal no topo dos pilares é idêntico, as características que determinam qual o primeiro pilar a atingir a curvatura de cedência são a altura da secção, as condições de fronteira e o nível de esforço axial actuante. As duas primeiras características caracterizam a rigidez do pilar, a terceira determina a extensão máxima na armadura. Considere-se a seguinte metodologia para definir um único parâmetro que tenha em consideração as características atrás referidas: - a excentricidade de 2ª ordem e 2 é função da curvatura de cedência do pilar: e 2 = 1 r l

283 N n h n - 1 r 1/r + 1 r n e r 0 m N A curvatura base é definida pela seguinte expressão: 1 yd r = d yd 0.4h A curvatura de cedência pode ser estimada de forma aproximada, a partir da curvatura base, pela seguinte expressão: 1 r = yd h = yd h e 2 = l 2 yd 0 h 10 com 0.4 sendo: e 2 = l 0 2 l 0 2 = l 2 yd 0 h 10 = 1 5 l 0 yd h = 1 5 l 0 L yd h é o deslocamento do pórtico associado ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência: = i,mínimo Donde se conclui que o pilar condicionante é o pilar com menor relação L l 0 h ( 0.4) 276

284 EXERCÍCIO 21 G 2 g, q G 1 W P 1 P ,0 10,0 C25/30 g = 17kN/m 0 = 0.4 A500 NR q = 13.5kN/m G = 1.35 Rec: 3cm G 1 = 600kN Q = 1.5 G 2 = 400kN W = 100kN Dimensionamento dos pilares Estrutura não contraventada Esbeltezas = l 0 i l 0 = 2l = 2 5 = 10m P 1 : i = = 0.115m = = 87 P 2 : i = = 0.173m = =

285 Efeito das imperfeições geométricas i = 0 h m ; 0 = h = 2 l = 2 5 = ; m = m = = 0.87 i = = ; e i = = m Força horizontal equivalente: H i = N i Combinação que envolve a acção do vento S d = 1.35 S g S q 1.5 S W N = N 1 + N 2 =1.35 ( ) + 10 ( ) = 1660kN H i = = 6.47kN H i = 6.47 R 1 = EI 1 L 3 1 EI 1 L EI 2 L 3 2 H 1 = = 1.49kN 0.23 R 2 = H i - R 1 = 4.98kN R 1 R 2 Esforços de 1ª ordem P 1 W 1 = = 23kN N sd = M 0sd = = 180kNm ( ) = 695kN 278

286 P 2 W 2 = = 77kN N sd = ( ) = 965kN M 0sd = = 602,4kNm - Efeitos de 2ª ordem Pórtico não contraventado necessidade de considerar os efeitos de 2ª ordem Excentricidade de 2ª ordem A excentricidade de 2ª ordem é calculada para o pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência (pilar condicionante) - pilar condicionante: pilar com menor relação l 0 L h ( 0.4) P 1 - = P 2 - = = = 0.32 Pilar P 1 : Pilar P 2 : l 0 L = 10 5 /( ) = ( = 0.35) h l 0 L = 10 5/( ) = ( = 0.32) (condicionante) h O pilar condicionante coincide, em geral, com o pilar mais rígido como é possível observar na figura seguinte. o 1 2 o o o P 2 1 = 2 = 1 r M 1 r 1 = 1 r 2 1/r 0 e 2 1 r = 1 r k 1 k 2 0 P 1 yd 0.45d Para um determinado deslocamento horizontal δ o pilar mais rígido (P 2 ) atinge primeiro a cedência donde se conclui que e 2 é condicionada pelo pilar mais rígido. P 2 e 2 = 1 r l ; 1 r = k r k 1 r 0 ; 1 yd r = d 279

287 = r = /m k = 1 + ef 1.0 = f ck = = ef = M 0cqp M 0sd M 0cqp = = 24.9kNm M 0sd = 602.4kNm ef = = 0.1 k = k r = n - n - bal 1.0 ; = N sd A c f cd ; u = 1 + w = 0.32 ; bal = 0.4 ; w 0.5 (estimativa) k r = = 1.05 k r = 1.0 ( 0.4 k r = 1.0) e 2 = = m Força horizontal equivalente: H = 2N e 2 ; l l 0 = 2l H = N e 2 /l = (N 1 + N 2 ) e 2 0 l H = Momento de 2ª ordem = 29.18kN P 1 P 2 M 2 = = 33.56kNm M 2 = = kNm Esforços de dimensionamento P 1 N sd = 695kN M sd = M 0sd + M 2 = = kNm = 0.35 ; = A stot = 20.3cm 2 V sd = M sd l = = w = = 42.7kN A sw s = V sd 42.7 = z cotg f yd = 1.56cm2 /m A sw s min 280

288 0, ,3 Estruturas de Betão I 0, Cintas 6//0.15 ( = 1.7%) P 2 N sd = 965kN M sd = = kNm = 0.32 = w = 0.76 A stot = 52.5cm 2 V sd = = 142.9kN A sw s = 3.32cm2 /m Cintas 8//0.15 ( = 3.1%) 0,6 BIBLIOGRAFIA DE REFERÊNCIA Bibliografia Principal e Geral Appleton, J : Estruturas de Betão Volumes 1 e 2, Edições Orion, Amadora fib : Structural Concrete Textbook on Behaviour Design and Performance 2009, Volume 1: Design of concrete structures, conceptual design, materials (fib bulletins 51), International Federation for Structural Concrete, Lausanne. fib : Structural Concrete Textbook on Behaviour Design and Performance 2009, Volume 2: Basis of design (fib bulletins 52), International Federation for Structural Concrete, Lausanne. fib : Structural Concrete Textbook on Behaviour Design and Performance 2009, Volume 3: Design of durable concrete structures (fib bulletins 53), International Federation for Structural Concrete, Lausanne. Modelos de Dimensionamento com Campos de Tensões Muttoni, A., Schwartz, J., Thürlimann, B : Design of Concrete Structures With Stress Fields, Birkhäuser, Basel. 281

289 Almeida, J., Lourenço, M : Modelos de Campos de Tensões Zonas D, Apresentação preparada para a disciplina Betão Estrutural, Mestrado em Engenharia de Estruturas, Instituto Superior Técnico, Lisboa (link). Reineck, K.-H., Almeida, J., Appleton, J., Corres, H., Friedrich, T., Ganz, H., Kalny, M., Miehlbradt, M., Westerberg, B. (FIP WG on Recommendations for Practical Design of Structural Concrete) 1999 : FIP/fib Recommendations for Practical Design of Structural Concrete, SETO, London. Schlaich, J., Schäfer, K., Jennewein, M : Toward a consistent design for structural concrete, PCI-Journ. Vol.32, No. 3, pp Comportamento em Serviço CEB, 1983 : Fissuration et Déformation Manuel du CEB Bulletin d Information 158 Ghali, A.; Favre, R., 1986 : Concrete Structures: Stresses and Deformations - Chapman and Hall Renaud Favre, Jean-Paul Jaccoud, Olivier Burdet, Hazem Charif, 1997 : Dimensionnement des Structures en Béton Volume 8 Capítulos 1 a 4. Traité de Génie Civil de l École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes Documentos Normativos NP EN : Eurocódigo: Bases para o projecto de estruturas, IPQ, Lisboa. EN : Acções em estruturas Acções Gerais Pesos volúmicos, pesos próprios, sobrecargas em edifícios, IPQ, Lisboa. EN : Projecto de estruturas de betão Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios, IPQ, Lisboa. NP EN 206-1: 2005 Betão Parte 1: Especificação, desempenho, produção e conformidade Especificação LNEC E464 Betões. Metodologia Prescritiva para a Vida Útil de Projecto de 50 e de 100 anos face às Acções Ambientais. Especificação LNECE465 Betões. Metodologia para estimar as propriedades de desempenho que permitem satisfazer a vida útil de projecto de estruturas de betão armado e pré-esforçado sob as exposições ambientais XC e XS. Especificação LNEC E461 Metodologias para prevenir reacções expansivas internas. 282