Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes. 2. Ache o ângulo entre os vetores a e b. (a) a = (1, 7, 4) e b = (5, 0, 1) (b) a = ( 2, 3, 0) e b = ( 6, 0, 4) (c) a = (3, 5, 1) e b = (2, 1, 3) 3. Encontre a projeção do vetor a sobre b. (a) a = (0, 2, 1) e b = (1, 1, 3) (b) a = ( 1, 3, 1) e b = (4, 1, 2) (c) a = (3, 3, 3) e b = (2, 1, 3) 4. Verifique se os vetores abaixo são paralelos, ortogonais ou nenhuma deles: (a) a = ( 5, 3, 7) e b = (6, 8, 2) (b) a = ( 1, 2, 5) e b = (3, 4, 1) (c) a = 2i + 6j 4k e b = 3i 9j + 6k (d) a = i j + 2k e b = 2i j + k 5. Considere os vetores a = (2, 0, 1), b = ( 3, 1, 0) e c = (1, 2, 4) ache: Parte B (a) a (b c) (b) a (b c) (c) a (b c) 1. Verifique, usando vetores, se o triângulo com vértices nos pontos P (1, 3, 2), Q(2, 0, 4) e R(6, 2, 5) é retângulo. 2. Se AB é um diâmetro de uma esfera de centro O e raio r, e P é um terceiro ponto na esfera, mostre, por meio de vetores, que AP B é um triângulo retângulo. 3. Use a projeção escalar para mostrar que a distância de um ponto P 1 (x 1, y 1 ) a reta ax + by + c = 0 é ax 1 + by 1 + c a2 + b 2. 4. De que forma é possível utilizar o produto escalar triplo, a (b c), para verificar que os vetores u = i+5j 2k, v = 3i j e w = 5i + 9j 4k são coplanares? 1
5. Utilizando o produto vetorial, encontre a distância do ponto P à reta definida pelo pelos pontos Q e R. (a) P = (3, 1, 2), Q = (2, 5, 1) e R = ( 1, 4, 2) (b) P = ( 2, 5, 1), Q = (3, 1, 4) e R = (1, 6, 3) 6. Se a b = a c e a 0, isto implica b = c? Justifique. 7. Determine a área de um triângulo definido por dois vetores a e b. 8. Mostre que v (w s) = s(v w) w(v s). Justifique, geometricamente, o porque o vetor v (w s) é uma combinação linear de w e s. Parte C 1. A lei de Coulomb afirma que o módulo da força de atração entre duas partículas carregadas opostamente é diretamente proporcional ao produto dos módulos q 1 e q 2 das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância d entre elas. Mostre que se uma partícula com carga +q é fixada em um ponto A e uma partícula com carga 1 é colocada em B, então a força de atração F em A é dada por para uma constante positiva k. F = kq 3 BA, AB 2. Partículas de carga +q são colocadas e mantidas fixas nos pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Coloca-se então uma carga de 1 em P (x, y, z). (a) Se v = OP, mostre que a força líquida F na partícula carregada negativamente é dada por ( ) v i F = kq v i 3 + v j v j 3 + v k v k 3. (b) A partícula carregada negativamente deve ser em um ponto P (x, y) eqüidistante das três cargas positivas, de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja 0. Ache as coordenadas de P. 3. Os parâmetros diretores de um vetor não nulo a = (a 1, a 2, a 3 ) se definem como os ângulos α, β e γ entre os vetores da base canônica, i, j e k, respectivamente, e o vetor a. Os cossenos diretores de a são cos α, cos β e cos γ. Prove: (a) cos α = a 1 a, cos β = a 2 a e cos γ = a 3 a ; (b) cos2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. 2
Resumo do Conteúdo Vetor: segmento de reta orientado. Notação: v = v = (v 1, v 2 ) = v 1 i + v 2 j (vetor no plano) ou w = w = (w 1, w 2, w 3 ) = w 1 i + w 2 j + w 3 k (vetor no espaço). i = (1, 0) e j = (0, 1) (base canônica 2d), e i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) (base canônica 3d); Comprimento ou módulo: v = v 2 1 + v2 2 (2d) ou w = w 2 1 + w2 2 + w2 3 (3d); Adição de vetores: v + w = (v 1, v 2 ) + (w 1, w 2 ) = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ) (2d) ou v + w = (v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) = (v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) (3d). Geometricamente a adição é feita pela regra do paralelogramo; Multiplicação por escalar: se c R, então cv = (cv 1, cv 2 ) (2d) ou cw = (cw 1, cw 2, cw 3 ) (3d). Geometricamente a multiplicação por escalar altera o comprimento do vetor (ou inverte o seu sentido); Produto escalar: determina o ângulo entre dois vetores ou mede a projeção de um vetor sobre o outro. Notação: v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 (2d) ou v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 (3d); Ângulo entre dois vetores: v w = v w cos θ, em que θ é o ângulo entre os vetores v e w; Ortogonalidade: v e w são ortogonais se v w = 0 (observação: ângulo entre dois vetores θ = 90 ); ( ) v w Projeção de um vetor sobre o outro: proj v w = v 2 v (lê-se projeção do vetor w sobre o vetor v); ( ) [ ( ) ] v w v w Projeção ortogonal: w = proj v w + (w proj v w) = v 2 v + w v }{{} 2 v (decomposição do }{{} paralelo a v ortogonal a v vetor w em duas partes perpendiculares); Produto vetorial: determina um novo vetor que é perpendicular a dois vetores. Geometricamente também calcula a área do paralelogramo gerado por dois vetores. i j k Notação: v w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = (v 2w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 ) = (v 2 w 3 v 3 w 2 )i (v 1 w 3 v 3 w 1 )j + (v 1 w 2 v 2 w 1 )k (observação: v (v w) = 0 e w (v w) = 0); Área do paralelogramo: v w = v w sen θ, em que θ é o ângulo entre os vetores v e w; Propriedade importante: v w = w v (o produto vetorial não é comutativo!!!); 3
Gabarito Parte A 1. v = 2i + 2 3j 2. Respostas 1 (a) cos θ = 1716 (b) cos θ = 6 13 (c) cos θ = 4 7 10 3. Respostas (a) proj b a = 1 (1, 1, 3) 11 (b) proj b a = 3 (4, 1, 2) 21 (c) Os vetores são perpendiculares. 4. Respostas (a) Nenhum deles (b) Ortogonais (c) Paralelos (d) Nenhum deles 5. Respostas Parte B (a) (12, 14, 24) (b) (3, 12, 6) (c) 3 1. Basta verificar se (P Q) (P R) = 0. 2. Sendo AB um diâmetro da esfera, então, fazendo A = (x 0, y 0, z 0 ), tem-se que B = (x 0, y 0, z 0 ). Definindo um ponto P, qualquer, sobre a esfera como P = (x 1, y 1, z 1 ), deve-se mostrar que (P A) (P B) = 0. Com efeito, (P A) (P B) = (x 2 1 x 2 0) + (y 2 1 y 2 0) + (z 2 1 z 2 0) = (x 2 1 + y 2 1 + z 2 1) (x 2 0 + y 2 0 + z 2 0). Como os pontos A, B e P são pontos sobre a esfera de raio r e centro na origem, então x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 = r 2 e x 2 0 + y 2 0 + z 2 0 = r 2. Portanto, (P A) (P B) = (x 2 1 + y 2 1 + z 2 1) (x 2 0 + y 2 0 + z 2 0) = r 2 r 2 = 0. 3. Dado um ponto sobre a reta P 0 (x 0, y 0 ), a distância entre o ponto P 1 (x 1, y 1 ) e a reta ax + by + c = 0 é dada pelo módulo da projeção do vetor diferença P 1 P 0 sobre o vetor que é normal a reta. O vetor normal a reta é n = (a, b), assim d = (P 1 P 0 ) n n = ax 1 + by 1 + c a2 + b 2. 4
4. O produto escalar triplo a (b c) fornece o volume do sólido formado pelos vetores a, b e c. Se o volume é nulo, então os vetores são coplanares. 5. Respostas (a) d = 282/ 11 (b) d = 2036/ 102 6. Como a b = a c, então a (b c) = 0. Ou seja, a (b c). Portanto, b = c + ka, em que k R. 7. A = a b 2 8. Basta usar as componentes do vetores v, w e s e calcular os produtos vetoriais. 5