4 Interferência INTRODUÇÃO Neste capítulo vamos analisar um fenômeno bastante característico dos movimentos ondulatórios, o da interferência. Este fenômeno ocorre sempre que, pelo menos, duas ondas estejam, simultaneamente, pretes em um ponto do espaço, ocorrendo a superposição delas. Quando a superposição das ondas se verifica, elas podem se adicionar ou subtrair como mostra a fig.(4.1-1). Várias conseqüências advém deste fenômeno, dando lugar a inúmeras aplicações práticas. Desta forma, consideraremos efeitos de influência entre ondas eletromagnéticas de mesma polarização. Mesmo pôrque, ondas de polarização diversa não interferem. onda 1 onda soma das ondas Fig.(4.1-1) - Interferência de duas ondas. 4.1 - lnterferência de Duas Fontes lnicialmente vamos estudar a interferência de dois movimentos ondulatórios, descrevendo-os de uma forma escalar. Com isto, simplificaremos o tratamento matemático e obteremos os resultados básicos desejados. Consideremos o caso de duas ondas harmônicas, monocromáticas e geradas pôr duas fontes pontuais S 1 e S, oscilando em fase com a mesma freqüência angular ω e amplitudes 01 e 0. Essas ondas podem ser aquelas geradas em um líquido pôr duas pontas metálicas que a trocam simultaneamente. As ondas geradas podem ser repretadas pôr:
98 Óptica Aplicada a Problemas de Engenharia 1 01 (ωt-kr 1 ) e 0 (ωt-kr ) onde r 1 e r são as distancias do ponto P, aonde se considera as ondas chegando, até ao local de suas respectivas fontes. Como se vê, na fig.(4.1-), as duas ondas se somarão, dando como resultado: P 1 + 01 (ωt-kr 1 ) (4.1-1) S S 1 r 1 r de um movimento ondulatório de duas fontes, em um plano. Definindo o ponto P, e portanto definindo os valores de r 1 e r, com o transcorrer do tempo, teremos neste ponto uma perturbação que pode ser Fig.(4.1-) - Ilustração da interferência calculada como do a soma de duas oides. Ambas dependem do tempo em ωt, havendo uma diferença de fase entre elas, a qual é dada pôr: kr -kr 1 (/)(r -r 1) A soma das duas perturbações pode ser feita usando-se a técnica dos fasores. Eles serão vetores de módulo 01 e 0, girando em torno de uma mesma origem 0, com velocidade angular ω, e defasados de como se vê na fig.(4.1-3). Logo, p será dado pôr um fasor descrito pôr: pa(ωt+α) (4.1-) onde A e α são a amplitude e a fase deste fasor resultante. A amplitude do movimento é dada pôr: A + + cos (4.1-3) 01 0 01 0 O valor de p oscilará pelo espaço entre os valores ( 01 + 0 ) (valor máximo) e ( 01-0 ), valor mínimo, em face dos possíveis valores do cos (+1 ou -1, respectivamente). Isto implica em: m (cos +1) e (m+1) (cos -1) r ω r r 1 1 ω ω Assim do, variando-se r 1 e r passa-se pôr pontos nos quais a amplitude da onda resultante varia de valor, havendo pontos onde Fig.(4.1-3) - Composição fasorial para dois fasores. ocorre um máximo (ou soma) ou um mínimo (ou subtração) de intensidade. No primeiro caso temos uma interferência construtiva, e no segundo uma interferência destrutiva. Assim temos as condições:
Interferência 99 m ( m + 1) (4.1-4) com as quais ocorrem as interferências construtiva (m) e destrutiva (m+1). Conhecendo-se podemos escrever: r -r 1 m (construtiva) (m + 1) (destrutiva) (4.1-5) A fig.(4.1-4) mostra o local geométrico dos pontos de interferência construtiva e destrutiva para as ondas de duas fontes coerentes S1 e S, interferindo no plano que contém a linha que une as fontes e à qual observa-se, na figura os pontos de reforço (maior brilho), nos quais: (r -r 1 )const. Equação de uma hipérbole (r -r 1 ),, 3... (4.1-6) Logo, estes pontos têm, como lugar geométrico, hipérboles com focos nos pontos onde se encontram S1 e S. As hipérboles são chamadas de linhas antinodais. Os pontos de interferência construtiva (pontos escuros) localizam-se são definidos pelas condições: Fig.(4.1-4) - Figura dos locais geométricos dos pontos de interferência construtiva e destrutiva para duas fontes coerentes. (r -r 1 ),, 3,... (4.1-7) Eles pertencem a hipérboles, cujos focos estão nos pontos onde se encontram S 1 e S. Neste caso, são chamadas de linha nodais. Assim, podemos dizer que o fenômeno de interferência leva a um movimento ondulatório, cuja intensidade é modulada no espaço. Na eletrônica, a idéia de modulação de um sinal é bastante comum. Entretanto a base é temporal. Em Óptica, abre-se a possibilidade de haver modulação espacial de um sinal e surgem aplicações práticas fantásticas. Entre elas, a holografia. EXEMPLO (4.1-1) - Discutir o experimento de Young. Solução experimento de Young, com ondas eletromagnéticas, está esquematicamente descrito na fig.(4.1-5). Uma fonte de luz S ilumina uma tela T 1 opaca, na qual existem duas fendas S 1 e S as quais funcionam como duas fontes luminosas secundárias, síncronas. As fendas estão separadas pôr uma distancia a, enquanto as telas T 1 e T estão separadas pôr uma distância d. Na tela T está projetada a luz das duas fontes em fase, S 1 e S, ocorrendo ali a interferência das duas ondas eletromagnéticas.
100 Óptica Aplicada a Problemas de Engenharia plano fendas anteparo P θ r r 1 x a r aθ D Fig.(4.1-5) - Arranjo ilustrativo do experimento de Young, do apretadas as coordenadas relativas ao experimento. A interferência delas, considerando que d»a, dá lugar a uma sucessão de regiões claras, e escuras, chamadas de franjas de interferência como mostra a fig(4.1-6). Como d»a, pode-se fazer a seguinte aproximação: r -r 1 aθ (4.1-8) logo: ax ( r r1) d onde θ é o angulo indicado na fig.(4.1-6), e θ tg θ x/d, pois na região de interesse θ é pequeno. As fontes, dada à construção do experimento, têm a mesma amplitude; logo 01 0.Assim do, a amplitude do campo total, resultante da interferência de S 1 e S, será: 01 1 ( + cos ) 01 cos A intensidade luminosa I é proporcional a e será pois dada pôr: I Io cos ax d (4.1-9) onde é I a intensidade para x 0. Os pontos de máxima intensidade, responsáveis pelas franjas brilhantes, ocorrem nos pontos para os quais: ax d m ou x md, m ± 1, ±, ± 3,... (4.1-10) a
Interferência 101 A separação x entre duas franjas consecutivas, logo m 1, é dada pôr: x d a (4.1-11) Com a eq.(4.1-11) vemos que, medindo-se x, d e a, é possível se determinar o comprimento de onda de uma luz monocromática, usando-se o experimento de Young. Outras variantes são possíveis, pôr exemplo: medindo-se x, e conhecendo-se a e pode-se obter um possível afastamento d entre as fontes e o plano onde a interferência está ocorrendo. No caso, temos um sor óptico de posição. EXEMPLO (4.1-) - Considerando a experiência de Young discutida no exemplo anterior, calcular a separação entre duas franjas escuras para os seguintes valores de a, D e : a0.5mm, dm e a0,5 µ m. Solução A separação entre duas franjas escuras é igual à das franjas claras.os pontos escuros do experimento de Young, observam à condição: ax D ( m + 1) a 5 µ m 0.5 µ m D 1 m ou D 1 x m +, m+1,+,+3,... a θ r r 1 r x Logo, a separação entre duas franjas escuras consecutivas é dada pôr: xd/a.para os valores dados acima, encontramos: 7.5.10 x 4 5.10 3.10 m.0 mm. T 1 T Fig.(4.1-6) - Gráfico das coordenadas relativas ao experimento de Young e a figura de interferência correspondente EXEMPLO (4.1-3) - Discutir o padrão de interferência de duas ondas incoerentes de mesma freqüência. Solução Consideremos duas fontes de modo análogo ao que fizemos anteriormente, isto é, as intensidades das ondas são dadas pôr: ( ω 0 1) r 1 01 k ( ωt 0 ϕ) 0 k + (4.1-1) Observamos que, em uma das expressões, o argumento da função tem um termo adicional de fase ϕ. Consideremos que tal termo possa variar aleatoriamente de valor no tempo. Com esta fase aleatória,
10 Óptica Aplicada a Problemas de Engenharia se está simulando a situação de duas ondas incoerentes. Ou seja, ondas cujas fases têm uma diferença aleatória. A diferença de fase será: ( r r1) + ϕ ( t ) (4.1-13) Em um ponto P, onde se esteja analisando a interferência das duas ondas, a amplitude resultante é dada pôr: + + cos 0 01 0 01 0 ( 1) + ϕ( ) r r t (4.1-14) O valor médio de 0 é: T 0 1 0 T 0 dt Como neste caso ϕ (t) é uma função variável no tempo de forma aleatória, a média do termo que envolve o coso é nula, e temos: 0 01 0 + Logo: I I 1 +I (4.1-15) A conclusão a que chegamos é que a intensidade média resultante é a soma das intensidades individuais, independente das suas posições. Pôr essa razão, a luz emitida pôr lâmpada comum de filamento (ou fluorescente), não provocam efeitos de interferência. Isto porque, nelas, a emissão de luz ocorre de modo incoerente. Em outras palavras, os emissores de luz, pôr exemplo os átomos do gás de uma lâmpada fluorescente, a emitem de diferente pontos do espaço e de modo desordenado no tempo. Essa situação não é a mesma quando o meio emissor de luz é um laser. No caso destes dispositivos, a luz emitida é cocrente, existindo diferenças de fase bem definidas entre pontos distintos do feixe emitido. 4. - lnterferência de Várias Fontes Consideremos, agora, a interferência de várias fontes síncronas, igualmente espaçadas ao longo de uma linha reta como mostra a fig.(4.-1). Digamos que sejam M fontes. Vamos considerar também que a região na qual se analisará a interferência das ondas esteja muito distante delas, logo podemos supor que a distância, das fontes ao ponto aonde estudaremos o evento, é muito maior que a região onde se distribuem as fontes. Observando-se a fig.(4.-1), vemos que a diferença de fase entre as ondas de duas fontes sucessivas é: a θ (4.-1 )
Interferência 103 Consideremos agora a interferência de várias fontes síncronas, igualmente espaçadas ao longo de uma linha reta como mostra a figura (4.-1). Digamos que sejam M fontes. Vamos considerar também que a região de interesse, para analisarmos a interferência das ondas esteja muito distante delas. Logo, podemos supor que a distância do ponto aonde estudares o efeito é muito maior que a região onde se distribuem as fontes. Observando-se a fig.(4.-1),vemos que a diferença de fase entre as ondas de duas fontes sucessivas é: aθ a θ a θ (4.-1) Usando o método dos fasores, fig.(4.-), obteremos a amplitude resultante num dado ponto de observação P. Ela será: Fig.(4.-1) - Ilustração de um arranjo de várias fontes linearmente dispostas e em interferência. M M OP ρ r a θ (4.-3) 0 Pôr sua vez, 01 é um dos lados da poligonal. Portanto: 01 ρ (4.-4) A P Sendo ρ o raio de um poligonal regular de M lados, centrado em A. Assim temos: ( M ) ( ) / / 0 01 01 Ma θ a θ A intensidade I, naquele ponto, será proporcional a. Daí, teremos: ρ O Ν E o E(P) aθ Fig.(4.-)-Diagrama fasorial para a interferência de n fasores. aθ Ma θ M II I 0 0 a (4.-5) θ A eq.(4.-5) contém muitas informações. Desta forma vamos analisá-la com mais atenção. O primeiro ponto a considerar são os máximos principais. A função (M/)/ (/) tem valores máximos quando o denominador se anula. A condição é: /n, ou seja,
104 Óptica Aplicada a Problemas de Engenharia n (n0,+1,+,...). circunstância em que, também, o numerador, se anula Logo, teremos máximos nas condições dadas pôr: n ou θ n a, n0.+1.+,... (4.-6) Nestes casos: O segundo ponto é quanto aos pontos de mínima intensidade. Eles são obtidos analisando-se a condição que anula o numerador, sem anular o denominador. Ela é, ou seja Mn: n M ou θ n Ma (n1,,...(m-1)) (4.-7) Observemos que n0, corresponderá à situação de máximo principal. Além disto, n não poderá ser igual a M, pois irá, outra vez, corresponder a um caso de máximos principais, haverá (M- 1) pontos com intensidade nula. O resultado anterior nos leva ao terceiro ponto. Se entre dois máximos principais há (M-1) pontos de intensidade nula, deverá haver também pontos de máxima intensidade. Eles são os chamados máximos menores. Pelo número de pontos mínimos podemos concluir que haverão (M-) pontos de máximos menores, pois entre cada dois mínimos haverá um ponto destes últimos. Os máximos menores podem ser calculados via a condição (di/d)0, própria de um cálculo de máximos e mínimos. Ela leva à equação transcendental: ( / ) tg( / ) M tg M (4.-8) EXEMPLO (4.-1) - Discutir a distribuição angular da intensidade de luz para o caso de quatro antenas separadas de /. Solução O caso proposto é o do exemplo anterior no qual temos M4 e a/. Usando-se a eq.(4.-5), obtemos: I I o ( θ) θ Intensidade (6.-9) Com a equação (4.-6) podemos calcular as direções correspondentes às intensidades de interferência máxima. θ m 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5 Fig.(4.-3) - Distribuição angular da interferência de quatro antenas se-paradas de / e seu padrão de interferência em um plano paralelo à linha que une as fontes. Como θ 1, só há um valor possível de m: m0. Assim do, só haverá valores máximos para θ0 ou θ. Os pontos de intensidade nula ocorrerão para θ(m/), onde m±1, ±, ±3..., conforme a eq.(4.-7). Tal condição leva a pontos de intensidade nula nas direções:
Interferência 105 θ ±, ± 6 A fig.(4.-3) mostra a distribuição angular da intensidade do conjunto de fontes (no caso, poderiam ser antenas de rádio). Devido ao efeito de interferência entre as radiações emitidas pelas fontes,observa-se que a transmissão resultante tende a ser bastante direcionada. A fig.(4.-3) também mostra o padrão de interferência para o conjunto de quatro fontes, perpendicularmente dispostas ao eixo θ0.