EM TODAS AS FIGURAS ABAIXO A DENSIDADE SOB A HIPÓTESE NULA ESTÁ EM NEGRO E AS RAZÕES DE VEROSSIM- ILHANÇA EM COLORIDO O Teste de Neyman-Pearson depende do valor da alternativa Suponha que: ( if x< ( x+θ) f (x; θ) = if x (+x θ) Queremos testar H : θ =vs H : θ = θ, onde θ é um valor específico. Vamos devirar o teste de Neyman-Pearson para testar θ =contra diferentes alternativas. E mais, vamos comparar as regiões críticas. Tenha sempre em mente que, sob a hipótese nula, a densidade de X é: ( f (x; θ =)= ( x) if x< (+x) if x. Comparação entre as regiões críticas de H : θ =vs H : θ =(teste ) e H : θ =vs H : θ = (teste ) y 3.7.. - -.. x Teste contra θ =(vermelho) e contra θ = (azul), tamanho=.76 6
.. Teste g (x) = L (x θ =) L (x θ =) = O região rejeição de Neyman-Pearson é: ( x) ( x+) if x< (+x) ( x+) if x (+x) (+x ) if x>. R = {x : g (x) >c} c é escolhido de modo que: Pr (R θ =)=α ou seja, de modo que a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira seja igual ao tamanho do teste α. Na primeira figura, o teste é representado pelas curvas e linhas em vermelho. Suponha que c =,. Então o tamanho de teste é α =.766. Paraverificar isto note que: ( + x) ( x +) =. x =, 8377 ( + x) ( x ) =. x =, 78 Z. 7 8 Z. 7 8 f (x) dx = dx =, 766.8377.8377 ( + x) Note que há outras raízes mas não são as que queremos. A região de rejeição é dada pelo segmento de reta delimitado pelas linhas verticais vermelhas, que é:.. Teste h (x) = R = {x :, 8377 <x<, 78} L (x θ = ) L (x θ =) =. O região rejeição de Neyman-Pearson é: ( x) ( x ) if x< ( x) (+x+) if x (+x) (+x+) if x> R = {x : h (x) >c} c é escolhido de modo que a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira seja igual ao tamanho do teste a. Na primeira figura, o teste é
representado pelas curvas e linhas em azul. Por simetria, se c segue sendo igual a,,otamanhodetesteéα =.766. A região de rejeição é dada pelo segmento de reta delimitado pelas linhas verticais azuis. Por simetria com o caso anterior, a região crítica é: R = {x :, 7 8 <x<, 837 7} Note que as regiões críticas mudaram. Isto implica que o teste de Neyman-Pearson depende do valor específico da alternativa. É isto que o Amemiya quer dizer quando diz que o formato do teste mudou. Sempre que a região crítica muda com o valor da hipótese alternativa, dizemos que o teste de NP depende do valor da alternativa.. Comparação entre as regiões críticas de H : θ =vs H : θ =(teste ) e H : θ =vs H : θ =, 3 (teste ) y 3.7.. - -.. x Teste contra θ =(vermelho) e contra θ =.3 (azul), tamanho=.76 6 Agora a mudança também ocorre mas é menos óbvia. A razão de verossimilhança agora é: l (x) = ( x) ( x+.3) if x< (+x) ( x+.3) if x.3 (+x) (+x.3) if x>.3 3
.. Teste Obviamente continua o mesmo... Teste h (x) = L (x θ =) L (x θ =) = O região rejeição de Neyman-Pearson é: ( x) ( x+,3) if x< (+x) ( x+,3) if x, 3 (+x) (+x,3) if x>, 3 R = {x : h (x) >c} c é escolhido de modo que a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira seja igual ao tamanho do teste a. Nafigura,otesteérepresentado pelas curvas e linhas em azul. Diferentemente do caso anterior, c muda agora, pois não há mais simetria. O tamanho de teste é α =.766. Para achar a região crítica (aproximadamente), verifique que: Z. 48 ( + x) ( x +.3) =, 78 x =, 68 ( + x) ( + x.3) =, 78, 48. 6 8 ( + x) dx =, 76 e c éexatamente,78 A região de rejeição é dada pelo segmento de reta delimitado pelas linhas verticais azuis. R = {x :, 7 8 <x<, 837 7} Desta vez o c também mudou. Para uma alternativa diferente, o valor de c que faz com que a tamanho do teste se mantenha é diferente. Mais uma vez, o testedeneyman-pearsondepende da alternativa. OTestedeNeyman-Pearsonnãodependedo valor da alternativa Vamos agora ver outro exemplo. X N (µ, ). Queremos testar H :θ =vs H :θ = θ >, ondeθ é um valor específico. Neste caso aregiãocríticafica constante quando o valor de θ muda. É isto que o Amemiya quer dizer quando diz que o formato do teste não depende de θ. 4
Valor 4 3 - - Teste para normal, contra θ =econtraθ =, 3, tamanho = % x. Comparação entre as regiões críticas de H : θ =vs H : θ =(teste ) e H : θ =vs H : θ =, 3 (teste ) Antes de mais nada, sob a hipótese nula, X tem a seguinte densidade: f (x) = exp µ π x.. Teste L (x θ =) exp ³ (x ) h (x) = L (x θ =) = exp x O região rejeição de Neyman-Pearson é: R = {x : h (x) >c} c é escolhido de modo que a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira seja igual ao tamanho do teste α. Nafigura,otesteérepresentado pelas curvas e linhas em azul. Fazemos o contrário agora (só por conveniência).
Seja α =%. A região de rejeição é dada pelo segmento de reta à direita da linha vertical vermelha, ou seja, ou valores de x para os quais h (x) >c(acima da linha horizontal vermelha). Neste caso é exp ³ (.64 ) c = exp =3.44.64 e o número,64 vem exatamente do tamanho do teste. A região crítica é:.. Teste h (x) = R = {x : x>, 64} L (x θ =, 3) L (x θ =) O região rejeição de Neyman-Pearson é: = exp ³ (x, 3) exp x R = {x : h (x) >c} c é escolhido de modo que a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira seja igual ao tamanho do teste α. Na primeira figura, o teste é representado pelas curvas e linhas em vermelho. Fazemos o contrário agora (só por conveniência). Seja α =%. A região de rejeição é dada pelo segmento de reta à direita da linha vertical vermelha (a mesma que acima. Esse é o ponto!!), ou seja, ou valores de x para os quais h (x) > c(acima da linha horizontal azul). Neste caso é exp ³ (.64, 3) c = exp =3.64.64 e mais uma vez, o número,64 vem exatamente do tamanho do teste. A região crítica é: R = {x : x>, 64} Note que, para θ =, 3 ovalordec mudou, mas a região crítica continuou a mesma. 3 Conclusão A diferença entre os dois casos é que a razão de verossimilhança é monótona em um caso (NP não depende de θ) masnãonooutro(npdepende de θ). A monotonicade da razão de verossimilhança é uma condição necessária 6
para o teste de Neyman-Pearson não depender do valor específico da alternativa,.mas não é suficiente. É preciso que, para todo θ na alternativa, o sinal da monotonicidade seja o mesmo. Vejamos um exemplo. Suponha o caso da normal mas agora queremos testar H : θ =vs H : θ = θ onde θ é um valor específico qualquer, maior ou menor que zero. Então a razão de verossimilhança é monótona mas o teste de Neyman Pearson depende de θ. Para ver isto basta ver o próxima figura, onde em vermelho temos o teste contra θ =enaazulotestecontraθ =. Valor 4 3 - - Teste para normal, contra θ =econtraθ =, tamanho = % No primeiro caso, rejeitamos se x for maior que,64 (vermelho), e no segundo caso rejeitamos se x for menor que,64 (azul). Logo o teste N-P depende do valor de θ. Temos então que a razão de verossimilhança ser monótona ajuda, mas o conjuntodeparâmetrosalternativostambéminfluencia. Istoserábastante importante quando formos avaliar se um Teste da Razão de Verossimilhança é UMP. 4 Implicações da o Teste da Razão de Verossimilhança (TRV de simples contra composta) Se a razão de verossimilhança é monótona em x, então é meio caminho andado para mostrar que o teste TRV é Uniformemente Mais Potente (UMP). Isto porque, neste caso, o teste de Neyman-Pearson não depende do parâmetro x 7
contra o qual estamos testando, dependendo do conjunto de parâmetros contra os quais estamos testando. 4. Exemplo X N (µ, ) eotesteéh : θ = vs H : θ> Aqui RV é monótona, e NP não depende do valor alternativo se o valor alternativo é positivo. Como o conjunto da composta é θ>, sorestamostrar queotrvéigualaonp.eé. LogooTRVéUMP.VerAmemiyaparaisto. Exemplo 4. Exemplo X N (µ, ) eotesteéh :θ = vs H :θ 6= Aqui RV é monótona, mas o NP depende do valor alternativo (entre os positivos, não depende, e entre os negativos não depende, mas depende muda entre um valor negativo e positivo). Isto nos dá uma dica de que provavelmente o TRV não é UMP. Para ver isto, vá ao Amemiya e veja que o TRV é: Rejeita se x <d. Como este teste é diferente de NP para qualquer valor alternativo (se o valor é positivo, então NP é rejeita se x>d, e vice-versa para positivo). 4.3 Exemplo 3 ( if x< ( x+θ) f (x; θ) = if x (+x θ) Queremos testar H :θ =vs H :θ 6=. Aqui, como vimos, o NP depende do valor de θ. LogooTRVnãoéuniformemente mais potente. Na verdade, quando o NP depende do valor de θ não existe teste UMP. Este é o argumento que vocês devem fazer quando se pede para mostrar que o teste da razão de verossimilhança não é uniformemente mais potente. 4.4 Exemplo 4 ( if x< ( x+θ) f (x; θ) = if x (+x θ) Queremos testar H :θ =vs H :θ 6=. Você também poderia mostrar que o TRV não é UMP, mostrando que ele é diferente de NP para uma alternativa qualquer. BASTA UMA!! No fundo é o mesmo procedimento que no exemplo 3. 8
Mostrando que não existe UMP Aqui a maneira de fazer é mostrando que o NP depende do valor de θ. 9