Determinação do tamanho amostral: uma abordagem genuinamente Bayesiana

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1 Determinação do tamanho amostral: uma abordagem genuinamente Bayesiana Edney Luís Oliveira Fernandes, Maria Regina Madruga Tavares, Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística, ICEN, UFPA, , Belém, PA edneyluis@yahoo..br, madruga@ufpa.br. 1 Introdução A determinação do tamanho amostral (n) é um dos problemas mais simples e mais estudado em Teste de Hipóteses, sendo largamente estudado nas abordagens Clássica e Bayesiana. Na abordagem Bayesiana, alguns autores [Weiss (1997), De Santis (2004), Adcock (1997) e Joseph e Bélisle (1997)] avaliam a determinação do tamanho amostral sob vários aspectos. Por exemplo, Weiss (1997) baseia-se na função poder bayesiana que é obtida utilizando o logaritmo do Fator de Bayes, Adcock (1997) baseiase nos Intervalos de Credibilidade Posterior, De Santis (2004) baseia-se no Fator de Bayes para determinar o tamanho amostral e Joseph e Bélisle (1997) utilizam os métodos de Adcock (1997) para determinar o tamanho amostral nos casos envolvendo a distribuição Normal variância conhecida e variância desconhecida. O objetivo deste trabalho é determinar o tamanho amostral usando a medida de evidência Bayesiana proposta Pereira e Stern (1999) que considera, em favor da hipótese nula precisa (hipótese dimensão estritamente menor que a dimensão do espaço paramétrico), todos os pontos do espaço paramétrico (Θ) cujos valores da densidade posterior são, no máximo, tão grandes quanto seu supremo no subconjunto que define a hipótese nula. O critério de determinação do valor de n segue a proposta de De Santis (2004), através da sugestão de Royall (1997, 2000), de considerar o procedimento de teste em duas fases: Fase pré-experimental e Fase pós-experimental. Na fase pré-experimental obtém-se n, o menor valor de n, tal que a probabilidade de obter uma evidência decisiva e correta em favor da hipótese verdadeira seja suficientemente grande, e na fase pósexperimental coleta-se a amostra de tamanho n e, base na evidência obtida, toma-se a decisão de rejeitar ou aceitar a hipótese nula. 2 Teste de Hipóteses Bayesiano O problema estatístico de Teste de Hipóteses, no contexto Bayesiano, acerca do valor de um parâmetro desconhecido, θ Θ, consiste em decidir sobre a rejeição ou não de uma hipótese base na informação trazida pela amostra. Sejam H 0 : θ Θ 0 e H 1 : θ Θ 1 as hipóteses a serem testadas Θ 0 Θ 1 = Θ, Θ 0 Θ 1 =, Θ 0 e Θ 1 onde H 0 é denominada Hipótese nula e H 1 é denominada Hipótese alternativa. O pesquisador necessita, ao final de um Teste de Hipóteses, obter uma medida de evidência em favor de H 0. Na abordagem Clássica é muito usada uma medida de evidência conhecida o p-value (cujo cálculo baseia-se na distribuição amostral da estatística do teste). Na abordagem Bayesiana, as medidas de evidência usuais para teste de hipóteses são o Fator de Bayes e a Probabilidade Posterior de H 0. No caso em que Θ 0 = θ 0 } diz-se que H 0 é simples. Caso contrário, diz-se que H 0 é posta. O mesmo vale para a hipótese alternativa H 1. 3 Medida de Evidência Bayesiana Berger e Selke (1987) e Berger e Delampady (1987) apresentam e discutem os conflitos entre o p-value e as medidas Bayesianas usuais, aler-

2 tando para o fato de que em algumas situações o p-value pode não ser uma boa medida de evidência para uma hipótese estatística precisa. Devido a esses conflitos, Pereira e Stern (1999) criaram uma medida de evidência Bayesiana em favor de uma hipótese precisa definida a seguir: Definição 1 Considere um modelo estatístico paramétrico, i.e., uma quíntupla (X, A, F, Θ, π), onde X é um espaço amostral, A é uma sigma-álgebra conveniente de subconjuntos de X, F é uma classe de distribuições de probabilidade em A indexadas no espaço paramétrico Θ e π é uma densidade a priori em (uma sigma-álgebra de) Θ. Suponha que um subconjunto Θ 0 de Θ tendo medida de Lebesgue nula ( respeito a Θ) é de interesse. Seja π(θ x) uma densidade posterior de θ, dada a observação amostral x, e T (x) = θ Θ : π(θ x) > sup Θ0 π(θ x)}. A medida de evidência de Pereira-Stern é definida o EV (Θ 0 ; x) = 1 P [θ T (x) x] e um teste (ou procedimento) de Pereira- Stern é aceitar Θ 0 sempre que EV (Θ 0, x) é grande. A medida de evidência Bayesiana de Pereira- Stern considera todos os pontos que são menos prováveis do que algum ponto em Θ 0. Um valor grande da evidência significa que o subconjunto Θ 0 cai em uma região do espaço paramétrico de alta densidade posterior, tanto os dados favorecem a hipótese nula. Por outro lado, um valor pequeno da evidência levaria à rejeição da hipótese nula. Uma vantagem desta medida é que ela contorna a dificuldade de tratar uma hipótese precisa, pois não há necessidade de introduzir uma probabilidade a priori o no teste Bayesiano padrão (Jeffreys (1961)). Pereira e Stern (1999) defendem que o uso da EV (Θ 0, x) para avaliar a evidência trazida pelos dados para Θ 0 é um procedimento Bayesiano, uma vez que apenas a densidade posterior está envolvida. Baseando-se nas idéias de De Santis (2004), pode-se estabelecer uma escala de evidência em termos da EV (Θ 0 ; x). Portanto, se EV (Θ 0 ; x) < ω 1, rejeita-se H 0 (evidência decisiva) se ω 1 EV (Θ 0 ; x) ω 0, não decisão (evidência fraca) se EV (Θ 0 ; x) > ω 0, aceita-se H 0 (evidência decisiva) ω i [0; 1] e i = 0; Implementação da EV (Θ 0 ; x) Para determinar esta medida é necessário duas etapas descritas a seguir: 1 a Etapa - Etapa de Otimização: Consiste em maximizar a densidade posterior π(θ x) sob H 0, em outras palavras, consiste em obter o valor θ que maximiza a densidade posterior, π(θ x) = sup θ Θ 0 π(θ x). 2 a Etapa - Etapa de Integração: Consiste em integrar a densidade posterior π(θ x) sob o conjunto T c (x), I = π(θ x)dθ. T c (x) Com T c (x) = θ Θ : π(θ x) π(θ x)}. 4 Determinação do tamanho amostral O interesse é controlar a probabilidade dos seguintes eventos: Evidência Enganosa: ocorre quando a medida de evidência Bayesiana de Pereira- Stern está em favor da hipótese incorreta. Evidência Fraca: ocorre quando a medida de evidência Bayesiana de Pereira -Stern não favorece nenhuma das hipóteses. Evidência Decisiva e Correta: ocorre quando a medida de evidência Bayesiana de Pereira-Stern está em favor da hipótese correta. Sejam os subconjuntos do espaço amostral, R 0 (ω 0, n) e R 1 (ω 1, n), onde R 0 (ω 0, n) = x : EV (Θ 0 ; x) > ω 0 }

3 é o subconjunto dos pontos do espaço amostral que produz uma evidência Bayesiana em favor da hipótese H 0 e R 1 (ω 1, n) = x : EV (Θ 0 ; x) < ω 1 } é o subconjunto dos pontos do espaço amostral que produz uma evidência Bayesiana em favor da hipótese H 1. Com isso, quando H i (i = 0; 1) é verdadeira, define-se a probabilidade do experimento produzir uma Evidência Decisiva e Correta dada i (ω i, n) = p(x H i )dx. R i (ω i,n) Onde p(x H i ) é a distribuição de probabilidade marginal dos dados amostrais sob H i, p(x H i ) = L(x θ)π i (θ)dθ Θ i onde L(x θ) e π i (θ) representam, respectivamente, a Função de Verossimilhança e a Distribuição a priori sob a hipótese H i. Pode-se também definir a probabilidade de obter uma Evidência Decisiva e Correta dada (ω 0, ω 1, n) = Π 0 0 (ω 0, n)+π 1 1 (ω 1, n). A intenção é determinar o menor tamanho amostral tal que (ω 0, ω 1, n) seja suficientemente grande. Portanto, De Santis (2004) sugere o seguinte procedimento dado em duas fases: 1 a Fase - Fase pré-experimental: Escolhidos ζ [0; 1] e ω i [0; 1], determinar n tal que n = minn N : (ω 0, ω 1, n) ζ}. 2 a Fase - Fase pós-experimental: Coletar a amostra de tamanho n e realizar o Teste de Hipóteses as seguintes regras de decisão: se EV (Θ 0 ; x) < ω 1, rejeita-se H 0 se ω 1 EV (Θ 0 ; x) ω 0, não decisão se EV (Θ 0 ; x) > ω 0, aceita-se H 0. 5 Resultados 5.1 Teste da média da distribuição Normal Seja x = (x 1,..., x n ) uma amostra aleatória de tamanho n da variável aleatória X tendo distribuição Normal média θ desconhecida e variância σ 2 conhecida, X N(θ; σ 2 ), o interesse é testar H 0 : θ = θ 0 contra H 1 : θ θ 0. Neste caso, e Θ 0 = θ Θ : θ = θ 0 } Θ = θ Θ : θ R}. A função de verosssimilhança de x é dada ( ) 1 n L(x θ) = σ exp 1 } 2π 2σ 2 [δ 1 + δ 2 ] (1) δ 1 = (n 1)S 2, δ 2 = n(θ x) 2, σ > 0, S 2 = (1/(n 1)) n i=1 (x i x) 2 representando a variância amostral e x = (1/n) n i=1 x i representando a média amostral. De acordo o Critério da Fatoração de Neyman para a obtenção da estatística suficiente, pode-se notar que, de acordo (1), a estatística suficiente é dada pela média amostral, X. Mas, a distribuição de X é Normal média θ e variância σ 2 /n, ou seja, X N(θ; σ 2 /n) e sua função densidade de probabilidade (f.d.p) é dada f(x θ) = σ 2π exp n 2σ 2 (x θ)2}. (2) Suponha que, sob H 1, θ tem distribuição a priori dada θ H 1 N(µ; cσ 2 ) f.d.p dada 1 π(θ) = σ c 2π exp 1 } (θ µ)2 (3) 2cσ2 µ R e c > 0. Tem-se que a distribuição posterior π(θ x) é procional ao produto da função de verossimilhança a distribuição a priori, π(θ x) exp 1 + nc } 2cσ 2 (θ c ) 2 representando o núcleo (parte da distribuição que depende somente de θ) de uma distribuição

4 Normal média c e variância cσ 2 /(1 + nc), ( θ x N c cσ 2 ) ; 1 + nc c = (µ + ncx)/(1 + nc). Construção da EV (Θ 0 ; x): Primeiramente, maximixa-se a distribuição posterior π(θ x) sob a hipótese nula, obtendo π(θ 0 x) exp 1 + nc } 2cσ 2 (θ 0 c ) 2. Em seguida, integra-se π(θ x) sob o conjunto T c (x) = θ Θ : π(θ x) π(θ 0 x)}, I = π(θ x)dθ T c (x) Em seguida, determina-se a probabilidade do experimento produzir uma Evidência Decisiva e Correta em favor da hipótese H 0, dada 0 (ω 0, n) = Φ[A] Φ[B] A = z ω 0 /2σ c(1 + nc) + θ 0 µ, B = z ω 0 /2σ c(1 + nc) + θ 0 µ e z α representando o α-nível percentílico da distribuição Normal Padrão. Também determinase a probabilidade do experimento produzir uma Evidência Decisiva e Correta em favor da hipótese H 1, dada T c (x) = θ Θ : θ 2c θ 0 ou θ θ 0 }. Logo, a medida de evidência Bayesiana é dada EV (Θ 0 ; x) = P [θ 2c θ 0 x] + P [θ θ 0 x] [ cσu ] n + µ θ 0 = 2Φ σ e c(1 + nc) u = (x θ 0 )/σ e Φ[ ] representando a função de distribuição acumulada (f.d.a.) da distribuição Normal Padrão. Determinação do tamanho amostral: Para a determinação do tamanho amostral, primeiramente determinam-se as distribuições de probabilidade marginais da média amostral sob as hipóteses H 0 e H 1 dadas, respectivamente, p(x H 0 ) = σ 2π exp n 2σ 2 (x θ 0) 2}, x H 0 N(θ 0 ; σ 2 /n) e } p(x H 1 ) = k n exp 2σ 2 (x µ)2 (1 + nc) k = x H 1 N σ 1 + nc 2π, ( ) µ; σ2 (1 + nc). n 1 (ω 1, n) = Φ[C] + 1 Φ[D] C = z ω 1 /2σ c (µ θ 0 ) 1 + nc D = z ω 1 /2σ c (µ θ 0 ) 1 + nc. A probabilidade (ω 0, ω 1, n) depende de n, ω 0, ω 1, σ, c, θ 0 e µ. As Tabelas 1 e 2 mostram valores de n obtidos adotando σ = 1, θ 0 = 0, Π 0 = Π 1 = 0, 5, ζ = 0, 8 e vários valores para ω 0, ω 1, c e µ. ω 0 = 0, 2 e ω 1 = 0, 1 c = 1 c = 2 µ n n , , , , Tabela 1: Valores do tamanho amostral para o teste bilateral, adotando ω 0 = 0, 2, ω 1 = 0, 1, σ = 1, θ 0 = 0, Π 0 = Π 1 = 0, 5 e ζ = 0, 8. Observa-se nas Tabelas 1 e 2 que os valores do tamanho amostral n tam-se dentro

5 ω 0 = 0, 3 e ω 1 = 0, 2 c = 1 c = 2 µ n n , , , , Tabela 2: Valores do tamanho amostral para o teste bilateral, adotando ω 0 = 0, 3, ω 1 = 0, 2, σ = 1, θ 0 = 0, Π 0 = Π 1 = 0, 5 e ζ = 0, 8. do esperado, uma vez que foram obtidos valores menores para n quando a média da priori, µ, estava distante do valor testado sob H 0, θ 0, e valores maiores quando a média da priori foi igual ou muito próxima do valor testado. A Figura 1 mostra (ω 0, ω 1, n) em função de n, adotando ω 0 = 0, 2, ω 1 = 0, 1, σ = 1, c = 1, θ 0 = µ = 0, Π 0 = Π 1 = 0, 5 e ζ = 0, 8. probabilidade [2] J. O. Berger e T. Selke, Testing a Point Null Hypothesis: The Irreconcilability of P values and Evidence, Journal of the American Statistical Association, 82 (1987) [3] J. O. Berger e M. Delampady, Testing Precise Hypotheses, Statistical Science, 2 (1987) [4] F. De Santis, Statistical evidence and sample size determination for Bayesian hypothesis testing, Journal of the Statistical Planning and Inference, 124 (2004) [5] H. Jeffreys, Theory of Probability, University Press, Oxford, [6] L. Joseph e P. Bélisle, Bayesian sample size determination for normal means and differences between normal means, The Statistician, 2 (1997) [7] C. A. de B. Pereira e J. Stern, Evidence and Credibility: a full Bayesian test of precise hypothesis, Entropy, 1 (1999) [8] M. R. Royall, On the Probability of Observing Misleading Statistical Evidence, Journal of the American Statistical Association, 451 (2000) [9] R. Weiss, Bayesian sample size calculations for hypothesis testing, The Statistician, 2 (1997) tamanho amostral Figura 1: Probabilidade (ω 0, ω 1, n) adotando ω 0 = 0, 2, ω 1 = 0, 1, σ = c = 1, θ 0 = µ = 0, Π 0 = Π 1 = 0, 5 e ζ = 0, 8. Neste caso, n = 40. Tais resultados indicam que a prosposta de De Santis (2004) adequou-se bem a medida de evidência Bayesiana proposta Pereira e Stern (1999), fornecendo resultados satisfatórios. Referências [1] C. J. Adcock, Sample size determination: a review, The Statistician, 2 (1997) 261-