Grandezas em pu e Representação de Elementos do Sistema Elétrico

Escola de Engenharia Engenharia Elétrica ENG 3517 Sistemas Elétricos 3 Grandezas em pu e Representação de Elementos do Sistema Elétrico Prof. Carlos Medeiros https://sites.google.com/site/cx3medeiros Atualização em 017

3 Grandezas em pu e Representação de Elementos do Sistema Elétrico Objetivos do capítulo: Introdução aos cálculos em por unidade (pu) e apresentação de modelos de circuito dos principais elementos componentes dos sistemas elétricos de potência. Conteúdo 3.1 Considerações iniciais... 3. Diagrama unifilar e circuito monofásico equivalente... 3 3.3 Grandezas em pu... 4 3.3.1 Valores pu em sistemas monofásicos... 4 3.3. Valores pu em sistemas trifásicos... 5 3.3.3 Mudança de base... 5 3.4 Modelos de elementos do sistema elétrico... 6 3.4.1 Máquinas síncronas... 6 3.4. Transformadores... 7 a) Transformadores monofásicos... 7 b) Banco de transformadores... 9 c) Transformadores trifásicos... 10 d) Transformadores trifásicos de três enrolamentos... 10 3.4.3 Linhas de transmissão aéreas... 1 a) Modelo para linha curta... 1 b) Modelo para linha média... 1 c) Modelo para linha longa... 13 3.4.4 Modelo para barramento, disjuntor e chave... 13 3.4.5 Conceito de barramento infinito... 14 3.4.6 Modelos para cargas... 14 3.5 Resumo... 14 3.6 Como escolher as bases?... 15 3.7 Vantagens do uso de pu... 15 3.8 Elaboração do circuito em pu - exemplo completo e exercícios propostos... 15 Exercícios gerais... Referências bibliográficas... 5 Algumas respostas dos exercícios gerais... 5 1

3.1 Considerações iniciais Como visto no capítulo 1, os sistemas elétricos, usualmente interligados, são constituídos por redes complexas com dezenas, centenas e até milhares de barramentos, inúmeras linhas de transmissão, geradores, transformadores, bancos de capacitores, sistema de medição e proteção, etc. A fig. 3.1 ilustra, de forma resumida, o diagrama unifilar de um sistema elétrico de potência, que compreende subestações associadas às usinas geradoras, subestações de manobra e subestações transformadoras, interligadas por linhas de transmissão que possibilitam o fluxo de potência elétrica das fontes de suprimento aos centros de carga consumidores. Dentro de uma subestação, o conjunto de condutores que fazem a ligação comum para mais de um circuito é denominado barramento [1]. Fig. 3.1. Representação simplificada de um Sistema Elétrico de Potência e de alguns barramentos [1]. Existem vários estudos relacionados os sistemas elétricos de potência que podem ser feitos por etapas ou de maneira separada. Por exemplo, pode-se citar: estudos de fluxo de potência; de curto-circuito; de proteção; de estabilidade; fluxo harmônico; transitórios; operação econômica, etc. Na prática, esses estudos ou análises são realizados através de simulações computacionais, onde modelos representativos dos componentes do sistema (geradores, transformadores, linhas, cargas, etc.), adequados ao tipo de estudo requerido, são conectados de forma a compor o circuito representativo. Por exemplo, em um estudo de curto-circuito, o modelo de circuito de uma linha de transmissão pode ter suas capacitâncias paralelas omitidas sem prejuízo significativo no resultado final. Os outros componentes são também modelados e representados de acordo com seu comportamento na situação de curto-circuito. Seguindo esse raciocínio, o que vai ser formulado e resolvido, será um circuito elétrico composto por fontes e impedâncias, com os valores em por unidade (pu), conforme está esquematizado na fig. 3..

Fig. 3.. Formulação e solução de um sistema elétrico de potência. 3. Diagrama unifilar e circuito monofásico equivalente Seja o diagrama trifásico de um sistema elétrico simples como mostrado na fig. 3.3(a). Gerador Transformador 1 Linha de transmissão Transformador Carga (a) (b) Fig. 3.3. Sistema elétrico exemplo (a) Diagrama trifilar. (b) Diagrama unifilar []. Considerando que o sistema opera equilibrado, substitui-se sua representação trifilar por uma representação simbólica conhecida como diagrama unifilar. Neste diagrama os elementos do sistema são representados por símbolos. Por exemplo, a linha de transmissão trifásica é simbolizada por um traço único e a carga por uma seta, conforme mostra a fig. 3.3(b). A finalidade do diagrama unifilar é apresentar claramente a topologia e os dados significativos do sistema, de acordo com o estudo a ser efetuado. Um sistema trifásico equilibrado pode ser estudado por apenas uma de suas fases, isto é, pelo chamado circuito monofásico equivalente. Assim, para se fazer os cálculos, pode ser usada uma única fase, onde os elementos (geradores, transformadores, etc.), representados por seu modelo monofásico, são conectados entre si obedecendo o diagrama unifilar. Veja o exemplo na fig. 3.4. Z g Z t1 Z l Z t V g Z c Z c Z carga Fig. 3.4. Circuito monofásico equivalente da fig. 3.3 []. 3

No circuito monofásico a formulação matemática é bem mais simples e os resultados podem ser prontamente estendidos para as outras fases. Para obtê-lo é necessário conhecer os modelos por fase dos elementos do sistema, os quais serão apresentados na sequência. Antes disso, estuda-se as grandezas em pu. 3.3 Grandezas em pu A formulação em por unidade (pu) pode ser usada em qualquer ramo da ciência. Na Engenharia Elétrica o uso da representação do Sistema de Energia em pu simplifica a modelagem, a resolução de problemas e a comparação de resultados devido ao significado relativo que propicia. Valores em pu são frequentemente encontrados em especificações e dados de placas de equipamentos elétricos (como geradores, transformadores, etc.), em gráficos e também são utilizados em programas computacionais para cálculos e simulações de Sistemas Elétricos de Potência. Antes de se expressar uma determinada grandeza em pu é necessário definir o valor de base dessa grandeza. Assim, define-se valor por unidade (pu) como sendo a relação entre o valor real na unidade da grandeza e o seu valor base, ou seja: Valor na unidade da grandeza Valor pu (3.1) Valor base Uma grandeza em pu pode ser expressa percentualmente simplesmente fazendo: Valor Percentual Valor pu 100% (3.) No estudo de sistemas elétricos a idéia é efetuar uma mudança de unidade das grandezas fundamentais tensão, corrente, potências, impedância e admitância que passam a ser expressas em pu. 3.3.1 Valores pu em sistemas monofásicos A mudança para pu de sistemas elétricos requer a definição de duas grandezas como bases. Estas duas grandezas definem as outras grandezas de base. O mais usual é definir uma tensão de base V b (V) e uma potência de base S b (VA). Sendo V b e S b, tensão fase-neutro e potência aparente monofásica, respectivamente, então: Corrente base Ib (A): Ib = Sb/Vb (3.3) Impedância base Zb (): Zb = Vb/Ib ou Zb = Vb /Sb (3.4) Admitância base Yb (S): Yb = Sb/Vb (3.5) Com (3.1), os valores em pu de quaisquer grandezas de um estudo S, V, I, Z e Y são: S pu = S/Sb V pu = V/Vb I pu = I/Ib Z pu = Z/Zb Y pu = Y/Yb (3.6) Exemplo 3.1: em um dado sistema, foi definido como valores base: Vb = 10 kv e Sb = 1000 kva. Expressar as seguintes grandezas em por unidade (pu): a) V = 1 kv f) S = 5003 kva b) V = 13,3 + j6,0 kv g) Z = 80 + j40 c) I = 513 + j03 A h) Y = 0,1 j0,3 S d) S = 00 + j300 kva i) P = 900 kw e) S = 9,3 MVA j) Q = 750 kvar * Note que o ângulo de fase das grandezas não é alterado quando se usa pu. 4

3.3. Valores pu em sistemas trifásicos Em um sistema trifásico considerando: Vb a tensão base como sendo de linha (tensão fase-fase); Sb a potência base total trifásica. Tem-se, analogamente à situação anterior: Corrente base Ib (A): Impedância base Zb (): Ib Sb 3 Vb (3.7) Vb Zb (3.8) Sb Note que o cálculo de Zb com Vb de linha e Sb trifásica fornece o mesmo valor com Vb de fase e Sb por fase, sendo, inclusive, a última equação acima idêntica à eq. (3.4) do caso monofásico. A admitância base Yb é novamente o inverso de Zb. A impedância por unidade (Z pu) pode também ser obtida diretamente de: Zpu = Z/Zb, Zpu = ZSb/Vb. Exemplo 3.: dadas as grandezas trifásicas Sb = 100 MVA e Vb = 138 kv, expressar em pu as grandezas: V = 140 kv: Z = 10 + j50 : I = 0,6 ka: P = 50 MW: 3.3.3 Mudança de base Algumas vezes a impedância em pu de um dado equipamento do sistema elétrico é expressa numa base diferente da parte do sistema na qual o elemento está localizado. Como nos cálculos todas as impedâncias devem ser expressas na mesma base, torna-se necessário converter impedâncias em pu de uma base para outra. Suponha que uma impedância Zpu dada na base Vb dada, Sb dada, deva ser convertida para Zpu NOVA na nova base Vb NOVA, Sb NOVA. Como Z pu = Z /Zb, tem-se: Zpu dada = Z * Sb dada/vb dada Zpu nova = Z * Sb nova/vb nova Pode-se então obter Z de Zpu dada e em seguida converter Z para Zpu nova. Ou, Zpu nova pode ser obtida diretamente dividindo a expressão de baixo pela de cima: Zpu nova Zpu dada Vb Vb dada nova Sb Sb nova dada (3.9) Exemplo 3.3: a placa de um gerador síncrono apresenta os seguintes dados: 50 MVA, 13,8 kv e X = 0, pu. Calcular a reatância da máquina em pu referida a uma nova base igual a 100 MVA e 13, kv. X g. E g 13,8 kv X = 0% 50 MVA Mudança de base Sistema de potência, base para estudo: 100 MVA e 13, kv Solução: diretamente da eq. (3.9): 13,8kV 100MVA Xpu nova 0,0 0, 437 pu 13,kV 50MVA 5

OBS.: * Nos sistemas trifásicos a raiz de três não entra nos cálculos de potências em pu, isto é, em pu: * S V I = Ppu + j Qpu pu pu * Em módulo: Spu = Vpu Ipu ; Ppu = Vpu Ipu cos; Qpu = Vpu Ipu sen * Vale ressaltar: o ângulo de fase das grandezas não é alterado quando se usa pu. 3.4 Modelos de elementos do sistema elétrico 3.4.1 Máquinas síncronas pu A teoria básica da máquina síncrona e desenvolvimentos algébricos permitem mostrar que a tensão fasorial no terminal externo, V t, de uma fase de um gerador c.a. síncrono, é dada por [3]: onde: E g = tensão gerada em vazio, força eletromotriz fem; I a = corrente do enrolamento de armadura; R a = resistência do enrolamento da armadura (por fase); X s = reatância síncrona (por fase). V E I ( R jx ) s (3.10) t g a Assim, o gerador, funcionando em regime permanente e com simetria das fases, pode ser representado pelo modelo de circuito equivalente. O circuito, para uma fase, é mostrado na fig. 3.5. Z = R +jx g a s I a a E g V t Terminais neutro externos Fig. 3.5. Circuito equivalente, por fase, de um gerador síncrono. A impedância Z g (= R a + jx s) é determinada usualmente através de testes aplicados às máquinas. Normalmente a resistência R a é bem menor que X s, de forma que sua omissão em muitos casos não tem grande influência, sobretudo nas análises qualitativas. Isso resulta em: V t E I jx (3.11) g a s Para o motor síncrono, o circuito equivalente é semelhante, porém a corrente recebida pelo motor tem sentido contrário ao caso do gerador. Desprezando a resistência tem-se: onde: E m é a tensão em vazio do motor; X m é a reatância síncrona do motor. V t E I jx (3.1) m a m Fig. 3.6. Circuito equivalente para motor síncrono. (A resistência foi desprezada). Na prática, as impedâncias, dadas % ou em pu, são encontradas nos dados de placa desses equipamentos. Valores em pu típicos para geradores e motores podem também encontrados em tabelas. Seus valores estão nas bases determinadas por suas características nominais, isto é, V Nominal e S Nominal. 6

3.4. Transformadores a) Transformadores monofásicos Um modelo tradicionalmente usado para representar transformadores do ponto de vista elétrico, é o circuito equivalente composto por elementos em série e um ramo em paralelo. Os valores dos parâmetros desse circuito são usualmente obtidos através dos ensaios a vazio e em curto-circuito. O ensaio a vazio determina a corrente de excitação e permite a avaliação aproximada da impedância do ramo paralelo, que engloba as potências de perda no núcleo (associadas ao elemento Rp) e de magnetização (associadas à reatância de magnetização Xm). O ensaio em curto-circuito permite determinar a impedância série do circuito, que representa as perdas no cobre através das resistências dos dois enrolamentos r 1 e r, e as dispersões de fluxo magnético através das reatâncias de dispersão x 1 e x. Assim, tem-se o modelo de circuito do transformador monofásico na fig. 3.7, com: enrolamentos 1 e com N 1 e N espiras, respectivamente; transformação ideal com relação de espiras a = N 1/N, fazendo a conexão entre os lados 1 e ; parâmetros r 1, x 1, Rp e Xm colocados no lado 1 e r e x no lado, ver a fig. 3.7. Fig. 3.7. Circuito equivalente do transformador monofásico. Referindo os parâmetros ôhmicos ao lado 1, através da relação de espiras ao quadrado (ou relação das tensões nominais ao quadrado), pode-se omitir o transformador ideal, como mostra a fig. 3.8(a). Além disso, é comum na maioria dos cálculos em Sistemas de Potência desprezar a corrente de excitação (influência do núcleo), por ser muito menor que correntes de carga usuais. Fazendo isso e equacionando as grandezas referidas ao lado 1, obtém-se: onde: a é a relação de espiras, a = N 1/N. R 1 = r 1 + a r X 1 = x 1 + a x (3.13) Desta forma obtém-se a representação da fig. 3.8(b). (a) (b) Fig. 3.8.(a) Circuito equivalente do transformador referindo as grandezas ao lado 1. (b) Circuito equivalente referido ao lado 1 (desprezando a corrente de excitação do núcleo I E). Embora o modelo da fig. 3.8 seja simples, expressando a impedância do transformador em pu obtémse uma simplificação ainda maior. Para isso considere: 7

a) Potência base: como sendo a potência nominal do transformador S Base = S Nominal; b) Tensão base: depende do lado em que se fará os cálculos: Se for escolhido o lado 1 usa-se como base a tensão nominal deste enrolamento: V base = V NominalLado1. Se for selecionado o do lado, V base = V NominalLado, ver a fig. 3.9. S b é a mesma em Lado 1 ambos os lados! Lado Tensão Tensão de base = V b1 de base = V b Fig. 3.9. Transformador: tensão de base, V b, é a tensão do lado 1 ou do lado. Assim, o valor em pu da impedância do transformador será o mesmo, independente dos valores ôhmicos terem sido obtidos em referência ao lado 1 ou lado, observe a demonstração: Dada a impedância do transformador em ohms referida ao lado 1 Z 1, seu valor em pu é obtido dividindo pelo valor de base desse lado: Z1 Z1 Sb Z1 pu (3.14) Z V Referindo Z 1 ao lado, através da relação (V b/v b1), seu valor em ohms é expresso por: b1 b1 b 1 Vb 1 V Z Z (3.15) Dividindo pela impedância de base do lado, tem-se sua expressão em pu como: Z pu Z Z S b (3.16) Zb Vb Substituindo (3.15) em (3.16) obtém-se: V S S (3.17) b b b Z pu Z1 Z Z 1pu V 1 b1 Vb Vb 1 *Conclusão: o transformador de potência é representado simplesmente por sua impedância em pu Z pu=r pu+jx pu. Além disso, trabalhando com pu não há necessidade de transformação de tensão e a corrente em pu é a mesma nos dois lados. Ver como fica o modelo na fig. 3.10. Esta é uma grande vantagem de se trabalhar com pu! I pu Z = R +jx pu pu pu I pu neutro Fig. 3.10. Modelo do transformador monofásico em pu. 8

Este modelo é normalmente usado em vários estudos em sistemas de potência, sendo ainda, em muitos casos, desprezada a resistência. Vale ressaltar: escolhendo uma tensão base em um lado do transformador, a tensão base para um circuito conectado do outro lado do transformador, fica determinada pela relação de transformação de tensões nominais. b) Banco de transformadores Um transformador trifásico pode ser constituído a partir de 3 transformadores monofásicos idênticos formando um banco. A utilização de banco de transformadores é feita em casos especiais ou nas situações de transformadores com potências muito elevadas [3]. As três unidades monofásicas são interligadas em cada lado usualmente na forma Y ou. Assim, tem-se como opções de ligações: Y-Y, -, Y- e -Y. Ao se avaliar os diagramas de impedância de sistemas com bancos de transformadores, o primeiro passo é a determinação das características do transformador trifásico equivalente, como ilustra o Exemplo 3.4. Exemplo 3.4: determinar a reatância em pu representativa de um banco de transformadores constituído por 3 unidades monofásicas. O lado de alta do transformador é ligado em delta e o lado de baixa em Y aterrado. Cada unidade monofásica é de 50 MVA, 30kV/79,7kV e reatância de dispersão de 5,1%. Adotar uma base de 100 MVA e 138 kv no lado de baixa do transformador trifásico equivalente. Despreze as resistências. Solução: Potência do transformador trifásico equivalente: soma das três unidades monofásicas ou S 3 3 S1 = 150 MVA. Lado : o lado de maior tensão do equivalente trifásico está em delta. Portanto, a tensão entre as fases neste lado corresponde a tensão da unidade monofásica que é de 30 kv, conforme mostra a figura. Lado Y: O lado de menor tensão do equivalente trifásico está em estrela Y. Portanto, a tensão entre as fases é de 3 79,7 138 kv. Logo, a relação de transformação do transformador equivalente é de 30 kv / 138 kv. 30 kv 138 kv Transformador trifásico equivalente ao banco. A reatância em pu do transformador trifásico na base adotada é: 138 100 X 0,051x 0, 0340 pu 138 150 O modelo equivalente monofásico em pu é: Modelo em pu por fase para o transformador equivalente, na base adotada. 9

c) Transformadores trifásicos Na prática é mais usual um transformador trifásico ser formado colocando-se os enrolamentos de cada fase em um mesmo núcleo, ou seja, formando uma única unidade trifásica. Considerando as conexões e Y, tem-se as possibilidades de ligação lado 1 lado como: -, -Y, Y-, Y-Y. Para cálculos em pu segue-se o mesmo princípio que no caso monofásico, isto é, escolhe-se a tensão base em um dos lados do transformador e tensão base do outro lado é automaticamente determinada pela relação das tensões de linha [3]. Informações sobre impedâncias são dadas em % ou em pu, em relação as bases determinadas por suas características nominais (dados de placa): Z%, V Nominal e S Nominal. Sua representação monofásica em pu é mostrada na fig. 3.11. Z pu neutro Fig. 3.11. Modelo por fase em pu para transformador trifásico. Exemplo 3.5: um transformador trifásico de 100 MVA, 138 kv/13,8 kv tem valores percentuais de resistência e reatância dados por R = 8% e X = 10%, respectivamente. a) Expressar R e X em pu. b) Expressar R e X em ohms, referidos aos lados de baixa tensão e de alta tensão. d) Transformadores trifásicos de três enrolamentos O transformador trifásico de três enrolamentos é composto por três lados que podem ser denominados de primário, secundário e terciário, sendo este último normalmente operando com tensão mais baixa que os demais. Por exemplo, 30/138/13,8 kv, conforme ilustra o esquema unifilar da fig. 3.1. Este equipamento é usado como elo de ligação de três sistemas elétricos com níveis de tensão diferentes, como exemplificado na figura. Um outro exemplo prático é o suporte extra de reativos, como ocorre no sistema de transmissão de Itaipu, onde nas subestações de Ivaiporã e Itaberá, tem-se grandes transformadores de 1650 MVA e relação de transformação 765/55/69 kv [5]. Fig. 3.1. Aplicação prática de um transformador trifásico de três enrolamentos [4]. Os enrolamentos de um transformador de três enrolamentos podem apresentar potências nominais diferentes. A impedância de cada enrolamento pode ser expressa em valor percentual ou em pu, tomando por base os valores nominais de seus próprios enrolamentos, ou podem ser realizados testes para determinar as impedâncias. Em qualquer caso, todas as impedâncias em pu no diagrama de impedâncias devem ser expressas em relação a uma mesma potência de base. As bases de tensão mudam de acordo com as relações das tensões de linha nominais entre os lados. Como nos transformadores de dois enrolamentos a impedância nominal é obtida através do ensaio de curto-circuito, usando apenas dois enrolamentos de cada vez, enquanto o outro fica a vazio (com seus terminais abertos). O ensaio é feito de acordo com a tab. 3.1. 10

Tab. 3.1. Sequência de medição para determinar as impedâncias do transformador de três enrolamentos. Ensaio Aplica-se tensão Curto-circuito Fica aberto Mede-se 01 no primário no secundário terciário ps 0 no primário no terciário secundário Z pt 03 no secundário no terciário primário st Z = impedância do primário ao secundário, referida ao primário; ps = medida no primário com o secundário aberto e o terciário em curto; Z pt Z = impedância do secundário ao terciário, referida ao secundário. st As impedâncias supracitadas não são adequadas para compor um circuito equivalente por fase. A melhor representação é como indica a fig. 3.13, que faz uso das impedâncias Z p, Z s e Z t. Z Z Fig. 3.13. Circuito equivalente por fase de um transformador de três enrolamentos, com os terminais p, s, t (primário, secundário, terciário). Essas impedâncias estão relacionadas às impedâncias obtidas dos ensaios referidos pela tab. 3.1 por: 1 Z p ( Z ps Z pt Zst ) 1 Zs ( Z ps Zst Z pt) (3.18) 1 Zt ( Z pt Zst Z ps) Exemplo 3.6: os valores nominais de um transformador trifásico de três enrolamentos são: Primário: conexão Y, 66 kv, 15 MVA. Primário Secundário: conexão, 13, kv, 10 MVA. Y Terciário: conexão,,3 kv, 5 MVA. Secundário Desprezando as resistências, as impedâncias percentuais são: Z ps = 7% na base 15 MVA, 66 kv. Z pt = 9% na base 15 MVA, 66 kv. Z st = 8% na base 10 MVA, 13, kv. Terciário Calcule as impedâncias e desenhe o circuito equivalente tomando como base 15 MVA e 66 kv no primário. Solução: as bases de tensão para os lados secundário e terciário são dadas pelas relações de tensão de linha, isto é, 13, kv e,3 kv, respectivamente. Como Z ps e Z pt são medidas no primário, já estão expressas na base apropriada. Para Z st será necessária mudança de base de potência. Com (3.9): 13,kV 15MVA Zst nova 0,08 0, 1 pu 13,kV 10MVA Aplicando (3.18) obtém-se: O diagrama de impedância por fase é: 1 Z p j(0,07 0,09 0,1) j0, 0 pu 1 Z s j(0,07 0,1 0,09) j0, 05 pu 1 Z t j(0,09 0,1 0,07) j0, 07 pu 11

3.4.3 Linhas de transmissão aéreas Os parâmetros das linhas de transmissão são em geral: parâmetros em série: indutância e resistência; em shunt (paralelo ou derivação): condutância e capacitância. Como as linhas aéreas trifásicas são suficientemente equilibradas nos sistemas de energia, podem ser representadas por circuitos unipolares, constituídos de fase e neutro. O neutro é representado sem parâmetros elétricos, pois I Neutro = 0 em sistemas equilibrados. Em linhas aéreas a condutância pode ser desprezada, restando na parte shunt apenas o efeito capacitivo [3]. As linhas de transmissão podem ser classificadas em linha curta, média e longa. Em [6] é proposta a classificação orientadora baseada no comprimento da linha e nível de tensão. Já na referência [3] a classificação é feita de forma mais simples, como: a) linha curta: comprimentos até 80 km; b) linha média: 80 a 40 km; c) linha longa: mais de 40 km. O emprego de uma ou outra classificação depende do grau de precisão desejado nos cálculos. Na dúvida, pode-se recorrer à classificação mais rigorosa. Cada tipo de linha está associado a um modelo de circuito a parâmetros concentrados, ou seja, tem-se um modelo para linha curta, outro para linha média e outro para linha longa. Estes modelos atendem aos propósitos de estudos como, por exemplo, fluxo de carga, curto-circuito e estabilidade [6]. Vale ressaltar que nas linhas em geral a impedância série varia com o seu comprimento. Para sistemas com tensões elevadas, por exemplo, 500 kv ou 750 kv, a reatância série X L é bem maior que a resistência série R (da ordem de 0 a 30 vezes maior). Para níveis mais baixos, o valor relativo da resistência aumenta e, para sistemas de distribuição, estes valores são comparáveis [5]. a) Modelo para linha curta A capacitância shunt para terra (também conhecida como line charging) das linhas curtas é pequena, e normalmente pode ser desprezada sem perda apreciável de precisão. Assim, considera-se como parâmetros concentrados a resistência em série R e a indutância em série L para todo o comprimento da linha, conforme ilustra a fig. 3.14 na qual X L = L. Z= R +jx L b) Modelo para linha média Fig. 3.14. LT curta, onde R e X L são os valores totais da linha. Uma linha aérea média pode ser representada por uma impedância composta por parâmetros concentrados R e L série e, por uma admitância em derivação que contempla o efeito capacitivo C. Um modelo muito utilizado é o modelo -nominal, no qual a admitância total é dividida em duas partes iguais, colocadas nas extremidades, ver fig. 3.15. Z= R +jx L Y/ Y/ Fig. 3.15. Modelo -nominal para uma LT média. 1

Sendo a admitância total: Y = j/x c, em siemens, então em cada extremo: Y/ = j/(x c) Onde X c é a reatância capacitiva total da linha (em ohms). Caso queira expressar usando a impedância (ohms) tem-se: Impedância total da linha: Z ctotal = -jx c. Então, em cada extremo: c) Modelo para linha longa Z c = -jx c. Neste caso o circuito equivalente representa a linha com precisão desde que se esteja em interesse apenas as medidas dos valores de tensões, correntes, potências nas extremidades da linha. A maioria dos programas de computador adotam o modelo para estudos de fluxo de potência, curto-circuito e estabilidade, mesmo para linhas longas. Nestas ocasiões, para manter-se a precisão, adota-se o circuito - equivalente, o qual possui também uma impedância em série agora simbolizada por Ze duas admitâncias em derivação Y / em cada extremidade, como mostra a fig. 3.16. Z Y / Y / Fig. 3.16. Circuito -equivalente para LT longa. Este modelo é adequado para a representação das linhas longas em regime permanente, sendo [6]: onde: l zy l ZY senh( l) Z Z l Y Y tgh( l / ) l / ; Z e Y são a impedância e admitância totais da linha, respectivamente. (3.19) (3.0) 3.4.4 Modelo para barramento, disjuntor e chave Fisicamente, as barras ou barramentos são condutores elétricos com resistência desprezível, quando comparada com a impedância de linhas e transformadores. Isto justifica sua representação de circuito na forma de nós elétricos. Em geral as barras estão localizadas nas subestações e podem ser constituídas de várias seções de barras ligadas através de chaves seccionadoras ou disjuntores. Disjuntores e chaves são dispositivos que permitem conectar ou desconectar condutores de uma rede elétrica. Na modelagem de circuitos a posição aberta representa uma impedância infinita e fechada um curtocircuito. Embora tenham o mesmo papel lógico (abrir e fechar), sua construção e operações são bastante distintas: o disjuntor está ligado ao sistema de proteção e opera automaticamente quando algum evento é detectado pelo relé a ele associado; as chaves, manuais ou mecânicas, são usadas para reconfigurar o sistema e atender às necessidades de desenergização para manutenção. 13

A fig. 3.17 exemplifica um barramento do tipo simples com chaves e disjuntores conectando a barra a uma linha que chega [5]. Existem diversos tipos de configurações de barramentos utilizados nas subestações, cujo estudo, todavia, foge ao escopo deste capítulo. 3.4.5 Conceito de barramento infinito Fig. 3.17. Barramento tipo simples [5]. Uma barra infinita representa um grande sistema de potência de tal forma que a tensão e a frequência nesta barra são constantes. Em termos de circuitos elétricos é modelada por uma fonte de tensão ideal (sem impedância interna), ver fig. 3.18. 3.4.6 Modelos para cargas Fig. 3.18. Modelo da barra infinita. No contexto de sistema elétrico, a carga, suas variações no tempo (ativa e reativa) e outras questões foram estudas no Capítulo 0 (ver Seção.1.7). Aqui se apresenta modelos para seu emprego em um circuito elétrico que representa um sistema de potência em estudo. Os modelos usuais para as cargas são: modelo de potência constante, no qual utiliza-se valores constantes de potências ativa e reativa (usado em estudos de fluxo de potência por exemplo), como ilustra o primeiro diagrama da fig. 3.19; impedância (ou admitância) constante, representado cargas passivas; impedância em série com força eletromotriz (representa máquinas rotativas as quais contribuem para alimentar correntes de curto-circuito); de corrente constante (não ilustrado na fig. 3.19). 3.5 Resumo Fig. 3.19. Modelos de cargas. Passando para pu, a potência de base é única para um determinado sistema. Por outro lado as bases de tensão e, por conseguinte, de corrente e impedância, mudam devido a relação de transformação dos transformadores do sistema. As informações sobre o sistema no diagrama unifilar dependem do estudo requerido. Por exemplo: a localização de disjuntores e relés não é importante no estudo de regime permanente; em curto-circuito as capacitâncias shunts das linhas de transmissão podem ser desprezadas; em situações de falta, a estabilidade do sistema depende do tempo de atuação dos relés e disjuntores para isolar a parte do sistema com defeito, cujos dados devem estar disponíveis. 14

Em resumo, o estudo é feito da seguinte maneira: Sistema de potência Diagrama unifilar Modelos dos elementos Circuito monofásico equivalente Os valores no circuito monofásico equivalente são expressos em pu. Essa representação é mais simples e adotada mundialmente. As impedâncias em ohms das LTs são transformadas para pu usando a impedância de base Z base calculada para cada V base, de cada local do sistema. Quando necessário, os valores das impedâncias em pu de equipamentos são adequados à nova base adotada no estudo (mudança de bases). 3.6 Como escolher as bases? O procedimento usual para a escolha das bases é: a) Base de potência aparente: adota-se para todo o sistema uma única potência base S base. b) Bases de tensão: escolhe-se uma tensão base V base em um certo local do sistema. Este valor determina as tensões base nos outros níveis de tensão, através da relação de transformação das tensões de linha dos transformadores presentes. A referência [7] fornece algumas dicas: as bases escolhidas inicialmente devem ser tais que conduzam à obtenção sempre que possível, de valores pu de tensões e correntes próximos de 1, para simplicidade de cálculo; por outro lado, haverá grande economia de tempo se a escolha for feita de modo a que poucos valores pu tenham que ser convertidos a novas bases. 3.7 Vantagens do uso de pu simplifica os cálculos; fabricantes de equipamentos fornecem nos dados de placas os valores das impedâncias em % ou em pu, tendo como base seus valores nominais; traz uma familiaridade com os valores em pu para diferentes tipos de equipamentos, com diferentes tensões e potências nominais, podendo-se inclusive usar em estudos valores típicos disponíveis em tabelas (em termos ôhmicos os valores podem diferir bastante); nos computadores, os valores são da mesma ordem de grandeza, resultando em maior precisão; proporciona direta interpretação de resultados em pontos diversos do sistema como consumos de potência, elevações ou diminuições de tensões, correntes, etc., visto que os valores já são relativos. 3.8 Elaboração do circuito em pu - exemplo completo e exercícios propostos Apresenta-se a seguir um exemplo completo da elaboração de um circuito equivalente em pu, também conhecido como diagrama de impedância em pu. São também propostos dois exercícios. O texto foi extraído do capítulo 1 da referência [4] (porém, usando a 5ª edição modificada e ampliada de 010). 15

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Exercícios gerais Obs.: algumas respostas estão no final. (01) Seja uma parte de um sistema elétrico trifásico como mostra o diagrama unifilar abaixo. As resistências dos enrolamentos dos transformadores foram desprezadas. Tomando como base 10 MVA e 138 kv no trecho da linha de transmissão: (a) Indicar no diagrama unifilar as tensões de base Vb nos trechos conectados pelos transformadores; também calcular para cada trecho a impedância de base Zb e a corrente de base Ib. (b) Determinar o circuito monofásico em pu do sistema. (0) Determinar o diagrama de impedâncias em pu do sistema abaixo, adotando como base 69 kv e 100 MVA na linha de transmissão. Dados da carga: 8,0 MW, fator de potência FP = 0,9 (indutivo ou atrasado) e tensão de operação 13, kv. 13,8 kv 1 MVA X = 30% 13,8 / 69 kv 1 5 MVA, X = 7 % 90 km R = 0,4 /km X L = 0,50 /km X C = 3 00 k *km 69 / 13,8 kv 1 5 MVA, X = 7 % E m 13, kv 8,0 MW FP = 0,9 (atrasado) (03) Seja o diagrama unifilar de um sistema radial. Defina as bases e calcule a tensão Vs em pu e seu módulo em kv (tensão fase-fase ou linha), que deve ser mantida na barra dos terminais do gerador, para que a carga seja alimentada com 30 kv (fase-fase ou de linha). Dados: Gerador: 50 MVA, 11 kv, X = 10%. Transformador Tr1: 50 MVA, 11/13 kv, X = 0,10 pu. Linha de transmissão (LT): impedância Z = j100 (resistência desprezada). Transformador Tr: 50 MVA, 13/33 kv, X = 0,1 pu. Carga trifásica em Y: operando com 36 MW em 30 kv e FP = 0,80 indutivo.

(04) Um sistema de potência trifásico é representado pelo diagrama unifilar abaixo. Dados: Linhas de transmissão: LT1 = 0,1 + j0,5 Ω e LT = 1,0 + j,5 Ω. Transformador: 13,8 kv / 69 kv, 100 MVA, X = 10% (resistência desprezada). Carga: operando com 40 MVA, FP = 0,95 indutivo e tensão 65,5 kv. Com as bases 100 MVA e 13,8 kv no trecho do gerador, calcule: (a) A corrente em pu e seu módulo em ka, nos dois trechos separados pelo transformador. (b) A tensão Vs nos terminais do gerador em pu e seu módulo em kv. (c) As tensões nos terminais do transformador, nos lados de baixa e de alta, em pu e em kv. (d) A potência aparente complexa fornecida pelo gerador em pu e em MVA. As potências ativa e reativa fornecidas pelo gerador em pu e em suas respectivas unidades. Sugestão: no final organize os resultados em uma tabela. (05) (a) Elabore o circuito equivalente em pu para o sistema de potência abaixo. Despreze as resistências e use uma base de 50 MVA e 138 kv na linha de 40. Dados: Gerador (1) e gerador (): 0 MVA, 13, kv, X = 15%. Motor síncrono (3): 30 MVA, 6,9 kv, X = 0%. Transformadores YY: 0 MVA, 13,8 / 138 kv, X = 10%. Transformadores Y: 15 MVA, 138Y / 6,9 kv, X = 10%. (b) Se a tensão na barra C do problema anterior for de 6,6 kv quando o motor absorver 4 MW com FP = 0,8 adiantado (capacitivo), calcule as tensões das barras A e B. Suponha que os dois geradores dividem a carga igualmente. Dê a resposta em pu e em volts em relação à base escolhida anteriormente. (c) Calcule as tensões nas barras A e B, quando o disjuntor que interliga o gerador 1 à barra A estiver aberto enquanto o motor solicita 1 MW na tensão de 6,6 kv com FP = 0,8 adiantado. Todos os outros disjuntores permanecem fechados. 3

(06) Um gerador trifásico é ligado, através de um banco de transformadores (três transformadores monofásicos) T1 (Y), a uma LT de alta tensão. No outro extremo da linha tem-se um outro banco de transformadores T abaixador (YY) alimentando uma carga. Dados: Gerador: 15 MVA, 8,5 kv, X = 0%. T1: banco Y, com 3 transf. monof. de 6,67 MVA cada, tensões de fase 10 kv/100 kv, X = 10%. T: banco YY, com 3 transf. monof. de 6,67 MVA cada, tensões de fase 100 kv/10 kv, X = 10%. Linha de transmissão: reatância X = 70 (resistência desprezada). Carga trifásica: 10 MVA operando com 1,5 kv e FP = 0,80 indutivo. Determine: (a) O circuito equivalente em pu. Adote como bases 10 MVA e 1,5 kv no circuito da carga. (b) Calcule a tensão terminal do gerador Vs, em pu e seu módulo em kv. (07) Os valores nominais trifásicos de um transformador de potência com três enrolamentos são: Primário: 66 kv, 10 MVA; Secundário: 13, kv, 7,5 MVA; Terciário:,3 kv,,5 MVA. Desprezando as resistências, as impedâncias de dispersão são: Zps = 7%, base 10 MVA e 66 kv; Zpt = 9%, base 10 MVA e 66 kv; Zst = 6%, base 7,5 MVA e 13, kv. Se uma fonte de tensão constante (barramento infinito) é ligado ao primário do transformador, um motor síncrono ao secundário e uma carga resistiva ao terciário, determine o circuito equivalente em pu, para a base 10 MVA e 66 kv no primário. Os outros dados estão no diagrama unifilar abaixo. Barra infinita (66 kv) p t s 50 km R = 0,0 /km X L = 0,50 /km Motor síncrono: 7,5 MVA, 13, kv X = 0% km R = 0,50 /km X L = 0,50 /km,3 kv 5 MW FP = 1,0 4

Referências bibliográficas [1] ARAÚJO, C. A. S., SOUZA, F. C., CÂNDIDO, J. R. R., DIAS, M. P., Proteção de Sistemas Elétricos, Ligth/Interciência, Rio de Janeiro-RJ, 00. [] ARRUDA, C., Apostilas do Prof. Colemar Arruda Curso de Eng. Elétrica, EEEC/UFG. [3] STEVENSON W. D. Jr., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, McGraw-Hill, a Ed. em Português (4 a Ed. americana), São Paulo SP, 1986. [4] KINDERMANN G., Curto-Circuito, SAGRA-DC LUZZATTO, 1 a Ed., Porto Alegre RS, 199. [5] MONTICELLI A., GARCIA A., Introdução a Sistemas de Energia Elétrica, Editora da Unicamp, Campinas SP, 000. [6] FUCHS R. D., Transmissão de Energia Elétrica Linhas Aéreas, Livros Técnicos e Científicos (LTC) Editora S.A., a Ed., Rio de Janeiro RJ, 1979. [7] COTRIM, A. A. M. B., Instalações Elétricas, Makron Books, 3 a Ed., São Paulo, 199. Algumas respostas dos exercícios gerais (03) Em kv: Vs = 14,03 kv (tensão fase-fase ou de linha). (04) Alguns resultados: Variável: Valor em por unidade: Na unidade: Corrente no lado de alta tensão do transformador: I = 0,414-18,1949 pu Em módulo: 0,356 ka Corrente no lado de baixa tensão do transformador: Tensão na barra de saída do gerador: Vs = 1,04518,6111 pu Em módulo:14,4 kv Tensão nos terminais de baixa do transformador: Vtb = 0,97953,4116 pu Em módulo: 13,5 kv Tensão nos terminais de alta do transformador: Em módulo: 66,57 kv Potência aparente complexa fornecida pelo gerador: S G = 39,31 + j19,86 MVA Potência ativa fornecida pelo gerador: Potência reativa fornecida pelo gerador: (05) (b) V A = 0,851810,8 pu. V A = 11,75 kv. (c) V A = 0,91763,4 pu. V A = 1,66 kv. V B = 0,88366,9 pu. V B = 1,19 kv. (06) (b) Vs = 1,15789,4 pu. Em kv: Vs = 8,36 kv (tensão de linha). 5