Mecânica dos Fluidos I Trabalho Prático «Estudo Experimental de um Jacto Livre» 1. INSTALAÇÃO O escoamento é produzido por um jacto de ar com simetria circular e 14 mm de diâmetro interior (Fig. 1), que arrasta o ar exterior. Figura 1 Representação esquemática do jacto e da montagem experimental, incluindo também algumas linhas de corrente do escoamento. A instalação dispõe de um tubo de pressão total acoplado a um mecanismo que permite fazer atravessamentos diametrais a várias distâncias da secção de início do jacto. O tubo de pressão total tem um diâmetro de cerca de 1 mm. 2. PRINCIPAIS TEMAS ABORDADOS NESTE ENSAIO Os principais temas abordados neste trabalho prático são: Manometria (cf. hidrostática, pressão estática, pressão total, pressão dinâmica); Equação de Bernoulli; Caudais volúmicos, de quantidade de movimento e de energia cinética; Balanços integrais de massa, quantidade de movimento e de energia mecânica; Difusão de quantidade de movimento. Dissipação de energia mecânica.
3. INSTRUMENTOS DE MEDIDA Os principais instrumentos de medida utilizados neste trabalho são: manómetros de tubos inclinados cf. SABERSKY et al., secção 2.5. adicionalmente é utilizado um manómetro electrónico. 4. PRINCÍPIOS TEÓRICOS Como se pode constatar facilmente, por exemplo por meio de um fio de lã ou de outra técnica simples de visualização, o escoamento possui uma orientação claramente predominante alinhada com o eixo do jacto. Por esse motivo, as medições de velocidade são fáceis com o tubo de total. Por outro lado, como as linhas de corrente do jacto têm uma curvatura muito pequena poder-se-á considerar com boa aproximação que a pressão é hidrostática em toda a atmosfera exterior e no interior do jacto em contacto com a atmosfera (nas zonas mais afastadas do jacto, a pressão é hidrostática por a velocidade ser quase nula; mais próximo do jacto e no interior do jacto, a pressão continua a ser hidrostática por as linhas de corrente terem uma curvatura muito pequena). O facto de no jacto livre o fluido estar praticamente em condições de pressão hidrostática constitui uma diferença marcante em relação ao escoamento na bomba de injector (cf. guia respectivo): enquanto na bomba de injector o caudal de quantidade de movimento varia longitudinalmente, no jacto livre esse caudal mantém-se. O eixo de simetria do jacto seria rectilíneo mesmo se o jacto não estivesse na horizontal? E se o jacto fosse de água, numa atmosfera de ar? Um dos aspectos mais salientes deste ensaio é permitir comprovar a difusão transversal de quantidade de movimento e verificar que, em geral, é tanto mais intensa quanto maiores os gradientes da velocidade (não necessariamente numa relação de estrita proporcionalidade, como seria de esperar num escoamento laminar). Como se sabe, a difusão de quantidade de movimento (em média temporal) deve-se não apenas às tensões de corte como, sobretudo, ao efeito de mistura característico dos escoamentos turbulentos. Mediante o processo de difusão radial de quantidade de movimento o jacto cede quantidade de movimento ao fluido periférico, aumentando-lhe a velocidade. Simultaneamente, o fluido que ocupa o jacto vai perdendo quantidade de movimento. Devido à simetria axial do escoamento, a componente radial do gradiente da velocidade é nula no eixo e, de facto, é na zona central que a difusão transversal de quantidade de movimento é menor. Pode até constatar-se que, junto ao eixo de simetria, a velocidade se mantém constante até certa distância do injector. Porquê? Seria sempre assim, para qualquer outro perfil de velocidade à saída do injector? A velocidade do fluido é calculada a partir das medições da diferença entre a pressão total e a pressão estática (a diferença é a pressão dinâmica ). Uma das consequências de a pressão ser muito aproximadamente hidrostática em todo o domínio é poder-se medir directamente a pressão dinâmica com um manómetro ligado de um lado a um tubo de total e do outro ligado à pressão estática de qualquer ponto da atmosfera (verifique se compreende bem este ponto). Com o equipamento utilizado, só é possível medir diferenças de pressão superiores a um certo limiar mínimo pelo que também só será possível determinar a velocidade quando for superior a um certo valor. A dificuldade de medir velocidades muito pequenas é acrescida pelo facto de se tomar a pressão como hidrostática, desprezando os pequenos desvios que ocorrem
nalgumas zonas. Por estes motivos, observando os valores experimentais do campo de velocidade, parece que, nas regiões de baixa velocidade, não se verifica a conservação do caudal volúmico. A velocidade do fluido decai gradualmente desde um valor máximo no eixo do jacto, tendendo assimptoticamente para zero a maior distância do eixo. Por isso, torna-se necessário definir o conceito de jacto por meio de um critério convencional. Doutro modo, a largura do jacto estender-se-ia até ao infinito e o conceito de jacto não ajudaria a descrever o escoamento. Um dos critérios possíveis para definir a largura do jacto é considerar como jacto o domínio em que a velocidade do fluido é superior a uma certa percentagem (por exemplo, 10%) da velocidade máxima nessa secção transversal. A velocidade máxima ocorre no eixo, pelo que o critério fica: u > 0,1 u LC, em que u LC representa a velocidade sobre o eixo (linha central). Este critério permite distinguir o jacto e o fluido exterior. Tenha-se em conta que, à medida que a velocidade diminui sobre o eixo, a velocidade que limita o jacto e o escoamento exterior também diminui; por outro lado, devido à difusão transversal de quantidade de movimento, o fluido exterior vai acelerando gradualmente até passar a fazer parte do jacto. Por estes motivos, não seria de esperar que a fronteira do jacto, tal como se definiu acima, coincidisse com uma superfície de corrente: efectivamente, o caudal do jacto vai aumentando, longitudinalmente. Entre duas secções transversais de um mesmo tubo de corrente, há obviamente conservação de caudal (embora, a julgar pelos resultados experimentais, pudesse parecer que não) e, se o raio do tubo de corrente for suficientemente amplo de modo a que as tensões de corte sejam desprezáveis na periferia, admitindo que a pressão é exactamente hidrostática, há conservação da quantidade de movimento. Devido ao modo de definir o jacto, entre duas secções transversais do jacto não se escoa exactamente o mesmo caudal de massa (pois entra algum fluido através da fronteira lateral do jacto ) mas, com muita aproximação, continua a haver conservação da quantidade de movimento. O paradoxo explica-se facilmente: o caudal de massa que atravessa uma fronteira cuja normal exterior seja n é ( v n) d ρ v ( v n) d ρ enquanto o caudal de quantidade de movimento é. Para superfícies perpendiculares à velocidade dominante, isto significa que o caudal de massa é resultado de uma integração da velocidade e o caudal da componente longitudinal da quantidade de movimento depende do integral da velocidade ao quadrado. Como as velocidades fora do jacto são comparativamente baixas, o integral do quadrado da velocidade é quase zero (por isso o caudal de quantidade de movimento longitudinal não é praticamente afectado) enquanto o integral da velocidade não é assim tão pequeno nessa zona. É interessante verificar que o caudal de energia cinética através de sucessivas secções transversais decresce longitudinalmente, traduzindo a dissipação de energia mecânica do escoamento. Registe-se que, sendo a pressão relativa à hidrostática local constante, a energia do fluido diminui apenas devido à perda da energia cinética. O caudal de energia cinética que 2 atravessa uma secção é: v ( v n) d 1 ρ. 2 Ao fazer qualquer integração para calcular caudais (volúmicos, de quantidade de movimento ou de energia) não se esqueça de que a geometria do escoamento é axissimétrica.
Por continuidade, o facto de o jacto aumentar a velocidade do fluido exterior origina um escoamento que se repercute até ao infinito. Observe o aspecto das linhas de corrente do escoamento representadas na figura 1 e tire conclusões acerca da forma como a velocidade radial decresce (não se esqueça de que a geometria é axissimétrica). Ao contrário da zona de entrada da bomba de injector, em que o ar é aspirado pela depressão causada na entrada do tubo, no escoamento de jacto livre só o fluido que está bastante longe do jacto é que é acelerado radialmente deste modo (sem nunca atingir uma velocidade radial grande, comparada com a componente axial da velocidade no jacto). O mecanismo pelo qual o ar mais perto do jacto é acelerado é o de transporte de radial de quantidade de movimento em virtude do efeito de mistura. O mesmo mecanismo que actua na zona do jacto em que o perfil de velocidade se desenvolve. No caso do jacto livre, o perfil de velocidade altera-se continuamente mas, a partir de certa altura, o perfil adimensional (u/u CL em função de r/r, sendo R o raio do jacto, tal como definido acima) já não se altera com a distância longitudinal. Para além desta apresentação muito sucinta, o estudo dos capítulos indicados do livro seguido na cadeira é importante para compreender efectivamente os processos físicos envolvidos neste escoamento. 5. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA PARA ANÁLISE DOS RESULTADOS Para trabalhar com manómetros convém rever a hidrostática. Os problemas 5.4 e 5.5 da colecção de problemas resolvidos da cadeira, SARMENTO E ANDRÉ, tratam deste assunto e também os exercícios SABERSKY et al. 2.38 e 2.40, resolvidos na colecção mencionada. Para determinar a velocidade de um escoamento a partir da medida da pressão total e da pressão estática importa conhecer bem a equação de Bernoulli cf. SABERSKY et al., capítulo 3. Os exercícios 3.3, 3.4 e 3.18 estão resolvidos em SARMENTO E ANDRÉ. O exercício 5.26 SABERSKY et al. oferece outra aplicação deste tema. Para estudar a cinemática do escoamento, cf. SABERSKY et al., secções 2.2 e 2.3. Para comparar a distribuição longitudinal de pressão estática com a que se verifica nos escoamentos em tubos veja-se SABERSKY et al., capítulo 7 e também secções 5.4 a 5.6. Pelo que diz respeito a balanços em geometrias com simetria axial pode interessar resolver os problemas 2.67, (correspondente a 6.3 da colecção SARMENTO E ANDRÉ) e o problema 6.5 desta colecção. O exercício 4.4 de SABERSKY et al. (9.2 da colecção cit.) tem também alguma relação com este tema. Para calcular a distribuição longitudinal de tensões de corte em função dos fluxos de quantidade de movimento e da distribuição de pressões cf. SABERSKY et al., cap. 4. Os problemas 2.58, 2.62 e 2.67 (6.1, 6.2 e 6.3 da colecção de problemas) incluem cálculos de tensões em paredes e no seio do fluido. O exemplo 2.6 de SABERSKY et al. e o problema 6.5 da colecção SARMENTO E ANDRÉ também podem ser úteis. Sobre a importância do número de Reynolds cf. SABERSKY et al., secção 5.2. Para compreender o mecanismo de transporte transversal e longitudinal da quantidade de movimento cf. ibid., secções 2.6 e 2.7.
6. ELEMENTOS A ANALISAR As medições efectuadas no laboratório serão discutidas no respeitante a: o gráfico da velocidade ao longo do eixo de simetria do jacto; os perfis radiais de velocidade na secção à saída do jacto e em mais duas secções, por exemplo, a cerca 4 diâmetros e a cerca de 10 diâmetros; Nota: estas distâncias em diâmetros dizem respeito ao diâmetro inicial do jacto, isto é, a 14 mm. os perfis radiais de fluxo de quantidade de movimento também devem ser representados. os gráficos dos perfis radiais de fluxo de energia cinética. Isto tipo de tratamento de dados e os respectivos gráficos podem ser feitos numa folha de cálculo (Excel ou outra). As integrações podem ser feitas pelo método dos trapézios ou mediante outra técnica semelhante. Cada gráfico deve mostrar claramente os pontos medidos e a curva que, na opinião dos autores, traduz melhor a evolução real das funções, a qual não é necessariamente a linha poligonal que une os pontos experimentais. Portanto, as linhas que representam as funções devem ser sempre traçadas à mão, de acordo com uma interpretação física consistente. Por exemplo, não faria sentido que os perfis de velocidade tivessem a forma de dentes de serra, ou não traduzissem a simetria axial do escoamento, etc. Convém que os gráficos sejam legíveis e as escalas tenham a dimensão apropriada. Não há inconveniente em que um gráfico ocupe uma página. 7. AVALIAÇÃO 1. No final do ensaio, cada aluno faz um mini-teste que versa sobre a análise do ensaio. Cobre, portanto, toda a matéria da cadeira relacionada com estes ensaios (cf. secções 4 e 5 acima). A nota desse mini-teste contribui para a nota final na cadeira, conforme as regras de avaliação publicadas. 2. Este pequenos testes exigem máquina de calcular. São feitos sem consulta.