Impacto das reuniões do COPOM no preço de opções de índice de taxas de juros (IDI) Erick Wakamoto Takarabe Marcos Eugênio da Silva 25-Novembro-2014
Sumário 1 2 Calibragem do DTMC 3 Consistência do modelo 4 Resultados e conclusões
Modelo de taxa de juros O modelo de taxa de juros: preço de um ZCB é dado por: ( ( v )) P (t, v) = E exp R s ds t (1) Onde: R t = r t + θ t, (2)
Exemplo do comportamento da taxa de juros de curto prazo Figura : Comportamento do CDI diário (taxa linear a.a., base 252), com duas reuniões do COPOM no período, sofrendo duas baixas consecutivas de 50 Bps cada.
Índice de taxa de juros de curto prazo - IDI IDI (t) = IDI (t 1) (1 + CDI (t 1)) 1 252 (3)
Hipóteses do modelo de taxa de juros 1 No caso do Brasil, existe uma persistência das decisões da política monetária, isto é, dado que houve um aumento da taxa de juros na última reunião do COPOM, existe uma probabilidade maior que ocorra outro aumento na próxima reunião. 2 Não pode ser constatada uma relação forte entre o nível da taxa overnight e as decisões do COPOM
Indícios para hipótese 1 Figura : Decisão do COPOM em t em função da decisão realizada em t 1. Período de Jan/2001 a Nov/2013.
Indícios para hipótese 2 Figura : Decisão do COPOM em t em função do CDI (taxa linear a.a., base 252) em t. Período de Jan/2001 a Nov/2013.
Modelo da dinâmica das decisões do COPOM Γ (t) = ΦΓ (t 1), onde: Γ (t) = [ P [θ 1 ] (t) P [θ 2 ] (t) P [θ n ] (t) ] P (1, 1) P (1, 2) P (1, n) P (2, 1) Φ =.... P (n, 1) P (n, n)
Modelo de opção de compra sobre IDI c(t) = E IDI Spot exp v t r s ds + n θ (t i ) (v t i ) i=1 ] IDI Spot exp (r strike (v t)) + 1 f (t, v) (4) Onde: IDI Strike = IDI Spot exp (r strike (v t))
Esperança condicional Dado que a decisão do COPOM não tem uma relação forte com o nível da taxa de juros de curto prazo: n ( v c(t) = E [Θ] IDI Spot E exp θ (t i ) (v t i ) (exp i=1 t n exp r strike (v t) θ (t i ) (v t i ) Θ 1 f (t, v) i=1 Onde: Θ = [θ (t 1 ), θ (t 2 ),..., θ (t n )] + ) r s ds (5)
Variáveis auxiliares ( 1 + TxLin Termo ( 1 + TxLin Strike ) du (t, v) 252 ) du (t, v) 252 ( v ) = exp r s ds t = exp r strike (v t) Θ j = [ θ j (t 1 ),..., θ j (t n ) ] n θ (t i ) (v t i ) i=1
Modelo final 1 N c(t) =IDI Spot f (t, v) P ( ) n Θ j exp θ j (t i ) (v t i ) j=1 i=1 ( ( ) TxLin Termo N (d 1 ) TxLin Strike Θj N (d2 ) ), ] du(t, v) 252 (6) onde: ( ln TxLin Termo TxLin Strike(Θ j) ) + σ2 (v t) 2 ( ) d 1 =, se TxLin Strike Θj > 0 σ v t 1.000.000, caso contrário d 2 = d 1 σ v t
Parâmetros do Black-76 Termo do ativo objeto: pode-se supor que a taxa de juros linear no momento do vencimento da opção, descontado o efeito dos choques das reuniões do COPOM, será a mesma observada hoje. Strike do ativo objeto: ( ) ( ) TxLin Strike Θj = IDIStrike 1 IDI Spot exp( n i=1 θ j (t i ) (v t j)) 1 252 du(t,v)
Volatilidade Figura : Comparativo entre o CDI e o CDI ajustado, com dados de Jan/2001 a Nov/2013.
Calibragem do DTMC Avaliação histórica Decisão em t Decisão em t 1-50 -25 0 25 50-50 70% 20% 5% 14% 0-25 18% 40% 8% 0 0 0 12% 40% 74% 14% 6% 25 0 0 5% 43% 13% 50 0 0 8% 29% 81% Tabela : Percentual de ocorrência das combinações de decisões do COPOM, considerando o período de Jan/2001 a Nov/2013, e valores de [ 50; 25; 0; 25; 50] Bps, totalizando 123 observações.
Consistência do modelo Variação do strike Figura : Comportamento do prêmio da opção de compra variando o IDI Strike.
Consistência do modelo Variação do vencimento du(t, v) N o de COPOM até v PU(t, v) Prêmio (R$) 50 1 98.089,57 0 112 3 95.860,20 3,75 238 7 91.485,99 4.919,18 Tabela : Comportamento do prêmio da opção de compra variando o vencimento.
Consistência do modelo Variação da última decisão do COPOM Última decisão do COPOM (Bps) Prêmio (R$) -50 3,75-25 12,49 0 60,21 25 181,27 50 313,29 Tabela : Comportamento do prêmio da opção de compra variando a última decisão do COPOM.
Resultados e conclusões Resultados strike prêmio prêmio de. Valor Reuniões do calculado referência intrínseco em v COPOM até v 132.000 3.750,62 3.752,88 3.764,97 0 130.000 7.782,24 7.773,39 7.877,31 1 140.900 60,23 224,76 0,00 3 145.000 1.442,74 2.635,14 874,47 7 146.000 630,23 1.721,14 0,00 7 148.800 6,94 31,60 0,00 7 157.200 77,14 57,74 438,67 7 Tabela : Comparação entre os prêmios calculados pelo modelo proposto e os prêmios de referência da BM&FBOVESPA.
Resultados e conclusões Conclusões para os casos de opções ITM (in-the-money) de vencimento curto e sem nenhuma reunião do COPOM no período, os prêmios calculado e de referência tendem a convergir. para vencimentos médios e longos (que contenham pelo menos 1 reunião do COPOM no período), o modelo se mostra mais sensível à última reunião do COPOM. utilizando a diferença positiva entre o IDI Spot e o IDI Strike no vencimento (valor intrínseco em v) da opção como critério de avaliação da capacidade preditiva do modelo, nota-se que os resultados pioram com o aumento do prazo, assim como esperado. Porém o "erro"do modelo proposto tende a ser menor que o "erro"dos prêmios de referência.