Pesquisa Operacional Análise de Sensibilidade Algébrica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG abril - 016
1 Análise de Sensibilidade Algébrica Variações do Lado Direito Variações na Função Objetivo adecimentos
Análise de Sensibilidade Permite averiguar o impacto da incerteza dos parâmetros sobre a solução ótima. Identifica os limites de variação nos parâmetros do modelo de PL que não causam alteração na solução ótima.
Análise de Sensibilidade Algébrica Vamos considerar dois casos: 1 Sensibilidade às variações da disponibilidade de recursos (lado direito). Sensibilidade às variações no lucro unitário ou no custo unitário (coeficientes da função objetivo).
Variações do Lado Direito Uma empresa produz três produtos P 1, P e P 3, utilizando as máquinas M 1, M e M 3. Os lucros unitários dos produtos P 1, P e P 3 são $3, $ e $5, respectivamente. As disponibilidades das máquinas M 1, M e M 3, em horas, são 30, 60 e 0 minutos, respectivamente.
Variações do Lado Direito Cada unidade do produto P 1 requer uma hora da máquina M 1, 3 horas da máquina M e uma hora da máquina M 3. Cada unidade do produto P requer duas horas da máquina M 1 e quatro horas da máquina M 3. Cada unidade do produto P 3 requer uma hora da máquina M 1 e duas horas da máquina M.
Variações do Lado Direito x 1, x e x 3 : número de unidades produzidas por dia dos produtos P 1, P e P 3 respectivamente. Maximizar z = 3x 1 + x + 5x 3 sujeito a: x 1 + x + x 3 30 3x 1 + x 3 60 x 1 + x 0 x 1, x, x 3 0
Variações do Lado Direito Tabela simplex da solução ótima para o problema: Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z 0 0 1 0 1350 x 1 1 1 0 1 0 100 x 3 3 0 1 0 1 0 30 s 3 0 0 1 1 0 A solução recomenda a fabricação de 100 P e 30 P 3. Não é recomendada a produção de P 1.
Determinação dos preços sombra As restrições do modelo após a adição das variáveis de folga, s 1, s e s 3, podem ser expressas por: x 1 + x + x 3 + s 1 = 30 (Máquina M 1 ) 3x 1 + x 3 + s = 60 (Máquina M ) x 1 + x + s 3 = 0 (Máquina M 3 )
Determinação dos preços sombra As restrições do modelo após a adição das variáveis de folga, s 1, s e s 3, podem ser expressas por: x 1 + x + x 3 = 30 s 1 (Máquina M 1 ) 3x 1 + x 3 = 60 s (Máquina M ) x 1 + x = 0 s 3 (Máquina M 3 ) Observe que reduzir 1 unidade na variável de folga s i é o mesmo que aumentar 1 minuto no tempo de operação da máquina M i, 1 i 3.
Determinação dos preços sombra Podemos usar 1 a observação da relação entre a unidade da variável de folga s i e o tempo de operação da máquina M i e a equação z na tabela simplex da solução ótima Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z 0 0 1 0 1350 para determinar o preço sombra do minuto de operação de cada máquina. Observe: z = 1350 x 1 s 1 s 0s 3 = 1350 x 1 + ( s 1 ) + ( s ) + 0( s 3 )
Determinação dos preços sombra z = 1350 x 1 + ( s 1 ) + ( s ) + 0( s 3 ) Como o decréscimo no valor da variável de folga é um aumento no tempo de operação da máquina, tem-se: z = 1350 x 1 + 1 (aumento no tempo de operação de M 1 ) + (aumento no tempo de operação de M ) +0 (aumento no tempo de operação de M 3 )
Determinação dos preços sombra z = 1350 x 1 + 1 (aumento no tempo de operação de M 1 ) + (aumento no tempo de operação de M ) +0 (aumento no tempo de operação de M 3 ) Então, o aumento de 1 minuto na máquina M 1, causa um aumento de $1 em z. o aumento de 1 minuto na máquina M, causa um aumento de $ em z. o aumento de 1 minuto na máquina M 3, não altera z.
Determinação dos preços sombra o aumento de 1 minuto na máquina M 1, causa um aumento de $1 em z. o aumento de 1 minuto na máquina M, causa um aumento de $ em z. o aumento de 1 minuto na máquina M 3, não altera z. Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z 0 0 1 0 1350 Ou seja, o preço sombra pode ser obtido pelos coeficientes das variáveis de folga da equação z da tabela simplex da solução ótima.
Determinação dos preços sombra Observe como o tempo da máquina M 3 é um recurso abundante. Veja que o valor da variável de folga s 3 é positivo na solução ótima. Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z 0 0 1 0 1350 x 1 1 1 0 1 0 100 x 3 3 0 1 0 1 0 30 s 3 0 0 1 1 0 Com tempo sobrando, disponibilizar um minuto a mais de operação da máquina M 3 não aumenta o lucro. Por isso s 3 é zero!
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Sejam D 1, D e D 3 as variações (positivas ou negativas) nos tempos de operação das máquinas M 1, M e M 3, respectivamente. Maximizar z = 3x 1 + x + 5x 3 sujeito a: x 1 + x + x 3 30 + D 1 (Máquina M 1 ) 3x 1 + x 3 60 + D (Máquina M ) x 1 + x 0 + D 3 (Máquina M 3 )
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade O procedimento consiste em: recalcular a solução ótima pelo simplex, com o lado direito modificado; derivar as condições que manterão a solução viável, considerando que o lado direito não pode ser negativo. Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD D 1 D D 3 z 3 5 0 0 0 0 0 0 0 x 1 1 1 0 0 30 1 0 0 x 3 3 0 0 1 0 60 0 1 0 s 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD D 1 D D 3 z 3 5 0 0 0 0 0 0 0 x 1 1 1 0 0 30 1 0 0 x 3 3 0 0 1 0 60 0 1 0 s 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Observe que as colunas D 1, D e D 3 são idênticas às colunas s 1, s e s 3. Significa, que ao concluirmos a execução do simplex, executando as mesmas operações em s i e D i, os resultados serão idênticos!
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD D 1 D D 3 z 0 0 1 0 1350 1 0 x 1 1 1 0 1 1 0 100 1 0 x 3 3 0 1 0 1 0 30 0 1 0 s 3 0 0 1 1 0 1 1
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade De acordo com a tabela, na solução ótima, tem-se: z = 1350 + D 1 + D x = 100 + 1 D 1 1 D x 3 = 30 + 1 D s 3 = 0 D 1 + D + D 3 Observe na equação z que os preços sombras para os tempos das máquinas M 1, M e M 3 são $1, $ e $0, como havíamos calculado.
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade A solução é viável, desde que as variáveis x i e s i, 1 i 3, sejam não-negativas, então: x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x 3 = 30 + 1 D 0 s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 Quaisquer valores simultâneos de D 1, D e D 3 que satisfaçam essas condições manterão a solução viável. Se todas as condições forem satisfeitas, a solução é ótima, bastando substituir os valores de D 1, D e D 3 nas equações anteriores.
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade O tempo disponível para operação das máquinas M 1, M e M 3 é 30, 60 e 0 minutos, respectivamente. Suponha que se queira alterar esses tempos de operação para 80 em M 1, 0 em M e 10 em M 3. Essa alteração é recomendável?
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade O tempo disponível para operação das máquinas M 1, M e M 3 é 30, 60 e 0 minutos, respectivamente. Proposta de alteraçaõ: 80 em M 1, 0 em M e 10 em M 3. D 1 = 80 30 = 50 D = 0 60 = 0 D 3 = 10 0 = 10
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade D 1 = 50, D = 0 e D 3 = 10. Substituindo nas restrições de viabilidade: x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x = 100 + 50 + 0 = 00+100+0 = 50 = 130 (viável) x 3 = 30 + 1 D 0 x 3 = 30 0 = 0 (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = 0 100 0 10 = 110 (inviável)
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade D 1 = 50, D = 0 e D 3 = 10. Substituindo nas restrições de viabilidade: x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x = 100 + 50 + 0 = 00+100+0 = 50 = 130 (viável) x 3 = 30 + 1 D 0 x 3 = 30 0 = 0 (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = 0 100 0 10 = 110 (inviável)
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade D 1 = 50, D = 0 e D 3 = 10. Substituindo nas restrições de viabilidade: x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x = 100 + 50 + 0 = 00+100+0 = 50 = 130 (viável) x 3 = 30 + 1 D 0 x 3 = 30 0 = 0 (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = 0 100 0 10 = 110 (inviável)
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade O tempo disponível para operação das máquinas M 1, M e M 3 é 30, 60 e 0 minutos, respectivamente. Suponha que se queira alterar esses tempos de operação para 80 em M 1, 0 em M e 10 em M 3. Essa alteração é recomendável? Essa alteração faz com que a solução obtida não seja mais viável, pois uma das variáveis tornou-se negativa (s 3 ). Novos cálculos serão necessários para determinar a soução ótima com essa nova disponibilidade de tempo das máquinas.
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade E se D 1 = 30, D = 1 e D 3 = 10? x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x = 100 30 + 1 = 35 = 88 (viável) x 3 = 30 + 1 D 0 x 3 = 30 1 = (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = 0 + 60 1 + 10 = 78 (viável)
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade E se D 1 = 30, D = 1 e D 3 = 10? x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x = 100 30 + 1 = 35 = 88 (viável) x 3 = 30 + 1 D 0 x 3 = 30 1 = (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = 0 + 60 1 + 10 = 78 (viável)
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade E se D 1 = 30, D = 1 e D 3 = 10? x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x = 100 30 + 1 = 35 = 88 (viável) x 3 = 30 + 1 D 0 x 3 = 30 1 = (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = 0 + 60 1 + 10 = 78 (viável)
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade E se D 1 = 30, D = 1 e D 3 = 10? x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x = 100 30 + 1 = 35 = 88 (viável) x 3 = 30 + 1 D 0 x 3 = 30 1 = (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = 0 + 60 1 + 10 = 78 (viável)
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade E se D 1 = 30, D = 1 e D 3 = 10? Essa alteração pode ser realizada e a solução encontrada pelo método simplex continua sendo ótima. Com essa alteração, temos: x = 88, x 3 = e s 3 = 78. z = 1350 + D 1 + D = 1350 + ( 30) + ( 1) = 196 A solução do método simplex é ótima, já que fornece o melhor lucro que se pode obter com os tempos de máquinas disponíveis.
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Determinamos as condições impostas para que variações possam ocorrer simultâneamente na disponibilidade de recursos (tempo) de todas as máquinas (M 1, M e M 3 ) matendo a viabilidade da solução. Mas e se quisermos variar o tempo de operação de uma única máquina? É possível determinar qual a faixa de variação que mantém a viabilidade da solução? Sim!
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Caso 1: Alterando o tempo de operação da máquina D 1 apenas. Mude o tempo de operação da máquina M 1 de 60 para 60 + D 1. Nesse caso, D = D 3 = 0. x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x 3 = 30 + 1 D 0 s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0
x = 100 + 1 D 1 0 100 + D 1 0 D 1 00 00 D 1
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade x 3 = 30 s 3 = 0 D 1 0 0 D 1 D 1 10 faixa de viabilidade: 00 D 1 10.
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Caso : Alterando o tempo de operação da máquina D apenas. Mude o tempo de operação da máquina M de 30 para 30 + D. Nesse caso, D 1 = D 3 = 0. x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x 3 = 30 + 1 D 0 s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade x = 100 1 D 0 100 D 0 100 D 00 D D 00
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade x 3 = 30 + 1 D 0 30 + 1 D 0 1 D 30 D 60 60 D
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade s 3 = 0 + D 0 D 0 10 D faixa de viabilidade: 10 D 00.
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Caso 3: Alterando o tempo de operação da máquina D 3 apenas. Mude o tempo de operação da máquina M 3 de 0 para 0 + D 3. Nesse caso, D 1 = D = 0. x = 100 + 1 D 1 1 D 0 x 3 = 30 + 1 D 0 s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0
Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade x = 100 > 0 x 3 = 30 > 0 s 3 = 0 + D 3 0 0 D 3 faixa de viabilidade: 0 D 3.
Variações na Função Objetivo Custo reduzido É a diferença entre o custo dos recursos consumidos para a produção de uma unidade de um produto P e a receita por unidade de P. Exemplo: Considere a função objetivo do exemplo anterior na tabela simplex ótima: z = 1350 x 1 s 1 s A solução ótima não recomenda a produção do produto P 1.
Variações na Função Objetivo z = 1350 x 1 s 1 s Observe que cada unidade produzida de P 1 reduz a função objetivo em. Então é o custo unitário do produto P 1. De acordo com o enunciado do problema, P 1 tem uma receita unitária de $3. Então, o custo reduzido de P 1 é 3 = 1.
Variações na Função Objetivo No enunciado do problema, a receita para o produto P é $, que é menor que a receita do produto P 1. Ainda assim, a solução ótima recomenda fabricar 100 unidades de P e não fabricar P 1. É contraintuitivo! Motivo: o custo dos recursos utilizados para produção de P é menor que o seu preço unitário. Isso não ocorre com P 1.
Variações na Função Objetivo Uma variável não lucrativa, como x 1, pode se tornar lucrativa de dois modos: 1 com o aumento da receita unitária; com a redução do custo unitário dos recursos consumidos.
Variações na Função Objetivo Sejam d 1, d e d 3 as variações nas receitas dos produtos P 1, P e P 3, respectivamente. Então, a função objetivo é: Maximizar z = (3 + d 1 )x 1 + ( + d )x + (5 + d 3 )x 3 Na tabela simplex, tem-se: Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z 3 d 1 d 5 d 3 0 0 0 0
Variações na Função Objetivo Tabela simplex da solução ótima com a nova função objetivo: Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z x d + 3d3 d 1 0 0 1 + d d 1 1 1 0 0 1350 + 100d + 30d 3 1 0 100 + d3 x 3 3 0 1 0 1 0 30 s 3 0 0 1 1 0
Variações na Função Objetivo Como calcular os novos custos reduzidos: d 1 d d 3 0 0 0 1 Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z 0 0 1 0 1350 1 1 d x 1 0 1 0 100 d 3 x 3 3 0 1 0 1 0 30 0 s 3 0 0 1 1 0 Adicione na linha superior e em uma coluna à esquerda, as variáveis d i associadas a cada variável. Variáveis de folga tem d i = 0.
Variações na Função Objetivo Como calcular os novos custos reduzidos: d 1 d d 3 0 0 0 1 Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z 0 0 1 0 1350 1 1 d x 1 0 1 0 100 d 3 x 3 3 0 1 0 1 0 30 0 s 3 0 0 1 1 0 Para calcular o custo reduzido da variável x i, multiplique os valores na coluna de x i pelos valores na coluna azul. Some todos os termos multiplicados. Subtraia o termo que estiver na célula azul acima de x i.
Variações na Função Objetivo Como calcular o novo custo reduzido de x 1 : d 1 d d 3 0 0 0 1 Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z 0 0 1 0 1350 1 1 d x 1 0 1 0 100 d 3 x 3 3 0 1 0 1 0 30 0 s 3 0 0 1 1 0 Para calcular o custo reduzido da variável x i, multiplique os valores na coluna de x i pelos valores na coluna azul. 1 = d 1 = d d 3 3 = 3d 3 0 = 0
Variações na Função Objetivo Como calcular o novo custo reduzido de x 1 : d 1 d d 3 0 0 0 1 Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z 0 0 1 0 1350 1 1 d x 1 0 1 0 100 d 3 x 3 3 0 1 0 1 0 30 0 s 3 0 0 1 1 0 Some todos os termos multiplicados. 1 = d 1 = d d + 3d 3 d 3 3 = 3d 3 0 = 0
Variações na Função Objetivo Como calcular o novo custo reduzido de x 1 : d 1 d d 3 0 0 0 1 Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z 0 0 1 0 1350 1 1 d x 1 0 1 0 100 d 3 x 3 3 0 1 0 1 0 30 0 s 3 0 0 1 1 0 Subtraia o termo que estiver na célula azul acima de x i. 1 = d 1 = d d + 3d 3 d 1 d 3 3 = 3d 3 0 = 0
Variações na Função Objetivo Como calcular o novo custo reduzido de x 1 : Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z x d + 3d3 d 1 0 0 1 + d d 1 1 1 0 0 1350 + 100d + 30d 3 1 0 100 + d3 x 3 3 0 1 0 1 0 30 s 3 0 0 1 1 0 1 = d 1 = d d + 3d 3 d 1 d 3 3 = 3d 3 0 = 0
Variações na Função Objetivo Para calcular a nova função objetivo, considere a coluna LD: d 1 d d 3 0 0 0 1 Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z 0 0 1 0 1350 1 1 d x 1 0 1 0 100 d 3 x 3 3 0 1 0 1 0 30 0 s 3 0 0 1 1 0 Multiplique os valores na coluna de LD pelos valores na coluna azul. 1 1350 = 1350 d 100 = 100d d 3 30 = 30d 3 0 0 = 0
Variações na Função Objetivo Para calcular a nova função objetivo, considere a coluna LD: d 1 d d 3 0 0 0 1 Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z 0 0 1 0 1350 1 1 d x 1 0 1 0 100 d 3 x 3 3 0 1 0 1 0 30 0 s 3 0 0 1 1 0 Some todos os termos multiplicados. 1 1350 = 1350 d 100 = 100d 1350 + 100d + 30d 3 d 3 30 = 30d 3 0 0 = 0
Variações na Função Objetivo Para calcular a nova função objetivo, considere a coluna LD: Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z x d + 3d3 d 1 0 0 1 + d d 1 1 1 0 0 1350 + 100d + 30d 3 1 0 100 + d3 x 3 3 0 1 0 1 0 30 s 3 0 0 1 1 0 1 1350 = 1350 d 100 = 100d 1350 + 100d + 30d 3 d 3 30 = 30d 3 0 0 = 0
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Como é um problema de maximização, a solução permanece ótima, desde que os coeficientes da função objetivo não sejam negativos (considerando variáveis não básicas). Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z d + 3d3 d 1 0 0 1 + d d + d3 0 1350 + 100d + 30d 3 Condições de otimalidade: x 1 é não básica: d + 3d 3 d 1 0 s 1 é não básica: 1 + d 0 s é não básica: d + d 3 0
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Condições de otimalidade: x 1 é não básica: d + 3d 3 d 1 0 s 1 é não básica: 1 + d 0 s é não básica: d + d 3 0 Essas condições devem ser satisfeitas simultâneamente para garantir a otimalidade da solução.
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Exemplo: Vamos alterar a função objetivo do problema de: para Maximizar z = 3x 1 + x + 5x 3 Maximizar z = x 1 + x + 6x 3 Tem-se: d 1 = 3 = 1 d 3 = 6 5 = 1 d = 1 = 1
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = + 1 + 3 + 1 = 16+1+6 = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = + 1 + 1 = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = + 1 + 3 + 1 = 16+1+6 = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = + 1 + 1 = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = + 1 + 3 + 1 = 16+1+6 = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = + 1 + 1 = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = + 1 + 3 + 1 = 16+1+6 = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = + 1 + 1 = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = + 1 + 3 + 1 = 16+1+6 = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = + 1 + 1 = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = + 1 + 3 + 1 = 16+1+6 = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = + 1 + 1 = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Como as restrições de otimalidade estão satisfeitas, a solução (x 1 = 0, x = 100, x 3 = 30) ainda é ótima. Resta calcular o novo valor da função objetio. Lembre-se: z = 1350 + 100d + 30d 3 d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1. Então, z = 1350 100 + 30 = $180.
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade E se considerarmos que apenas um coeficiente da função objetivo é alterado?
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade E se considerarmos que apenas um coeficiente da função objetivo é alterado? Para cada coeficiente, deve-se analisar o caso correspondente: 1 Max z = (3 + d 1 )x 1 + x + 5x 3 Max z = 3x 1 + ( + d )x + 5x 3 3 Max z = 3x 1 + x + (5 + d 3 )x 3
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Para alterar o coeficiente de x 1, faça d = d 3 = 0 e verifique as restrições de otimalidade (coeficientes positivos): de x 1 : d 1 0 d 1 de s 1 : 1 0 de s : 0 Faixa de otimalidade: d 1.
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Para alterar o coeficiente de x, faça d 1 = d 3 = 0 e verifique as restrições de otimalidade (coeficientes positivos): de x 1 : d 0 d 16 de s 1 : 1 + d 0 d de s : d 0 d 8 Faixa de otimalidade: d 8.
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Para alterar o coeficiente de x 3, faça d 1 = d = 0 e verifique as restrições de otimalidade (coeficientes positivos): de x 1 : + 3d 3 0 8 3 d 3 de s 1 : 1 0 de s : + d 3 0 d 3 Faixa de otimalidade: 8 3 d 3.
Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Cuidado: As variações de d 1, d e d 3 podem estar dentro de suas faixas individuais admissíveis e não satisfazer as condições simultâneas e vice-versa!
Referência Esse material é totalmente baseado no livro: Hamdy A. TAHA, Pesquisa Operacional, 8 a edição, São Paulo: Pearson, 008.