CONJUNTOS NUMÉRICOS Podemos caracterizar um conjunto como sendo uma reunião de elementos que possuem características semelhantes. Caso esses elementos sejam números, temos então a representação dos conjuntos numéricos. Quando esse conjunto é representado por extenso, escrevemos os números entre chaves { }, se o conjunto for infinito irá possuir incontáveis números. Para representar essa situação devemos utilizar reticências, ou seja, três pontinhos. Existem cinco conjuntos numéricos que são considerados fundamentais, por serem os mais utilizados em problemas e questões relacionados à matemática. Acompanhem a seguir a representação desses conjuntos. Conjunto dos Números Naturais Esse conjunto é representado pela letra maiúscula N, sendo formado por todos os números inteiros positivos incluindo o zero. A seguir acompanhe a notação da representação simbólica e um exemplo numérico. Representação simbólica: N = {x є N/ x > 0} x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é maior ou igual a zero. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, } Caso esse conjunto não possua o elemento zero, será chamado de conjunto dos números naturais não nulos, sendo representado por N*. Veja a sua representação simbólica e um exemplo numérico: Representação simbólica: N* = {x є N/ x 0} Exemplo: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, } Conjunto dos Números Inteiros Representamos esse conjunto com a letra maiúscula Z, ele é formado pelos números inteiros negativos, positivos e o zero. Logo a seguir temos um exemplo numérico. Exemplo: Z = { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } O conjunto dos números Inteiros possui alguns subconjuntos, os quais estão listados a seguir:
Inteiros não negativos: Representado por Z+, pertencem a esse subconjunto todos os números inteiros que não são negativos, podemos considera-lo como sendo igual ao conjunto dos números naturais. Exemplo: Z+ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,,8, } Inteiros não positivos: Esse subconjunto é representado por Z-, sendo composto por números inteiros negativos. Exemplo: Z- ={, 4, 3, 2, 1, 0} Inteiros não negativos e não nulos: Representado por Z*+, todos os elementos desse subconjunto são números positivos. À exclusão do número zero é representada pelo asterisco, com isso o zero não faz parte do subconjunto. Exemplo: Z*+= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 } Inteiros não positivos e não nulos: Esse conjunto é representado pela notação Z*-, sendo formado pelos número inteiros negativos, possuindo a exclusão do zero. Exemplo: Z* = { 5,- 4, 3, 2, 1} Conjunto dos Números Racionais Esse conjunto é representado pela letra maiúscula Q, sendo formado pela reunião dos conjuntos referentes aos números naturais e inteiros, portanto o conjunto N (naturais) e o Z (inteiros) estão inclusos no conjunto Q (racionais). Os termos numéricos que compõem o conjunto dos números racionais são: os números inteiros positivos e negativos, números decimais, números fracionários e dízima periódica. Acompanhe a seguir a representação simbólica desse conjunto e um exemplo numérico. Representação simbólica: Q = {x = a, com a є Z e b є z*} b Descrição: A representação simbólica indica que todo o número racional é obtido de uma divisão com números inteiros, em que o denominador no caso b deve ser diferente de zero. Exemplo: Q = { 2; 1; 0; + 1 ; + 1; +2,14; + 4; + 4,555 } 2 Classificando os elementos do conjunto Q: {+ 1, + 4} à Números naturais. {- 2, -1, 0, + 1, + 4} à Números inteiros. {+ 1 2 ; } à Fração.
{+ 2,14) à Número decimal. {+ 4,555 } à Dízima periódica. O conjunto dos números racionais também possuem subconjuntos, são eles: Racionais não negativos: Representado por Q +, esse conjunto possui o número zero e todos os termos numéricos racionais positivos. Exemplo: Q += { 0, + 1, + 1, +2, 14, + 4, 3, 4,555 } 2 Racionais não negativos não nulos: Esse conjunto é representado por Q *+. É formado por todos os números racionais positivos, sendo que o zero não pertence ao conjunto. Exemplo: Q *+. = { + 1, + 1, +2, 14, + 4, 3, 4,555 } 2 Racionais não positivos: Representamos esse conjunto pelo símbolo Q, pertencem a esse conjunto todos os números racionais negativos e o zero. Exemplo: Q = { - 2, 1, 0} Racionais não positivos não nulo: Para representar esse conjunto utilizamos a notação Z*. Esse conjunto é composto por todos os números racionais negativos, sendo que o zero não pertence ao conjunto. Exemplo: Q = { - 2, 1} Conjunto dos Números Irracionais Esse conjunto é representado pela letra maiúscula I, é formado pelos números decimais infinitos não periódicos, ou seja, números que possui muitas casas decimais, mas que não tem um período. Entenda período como sendo a repetição de uma mesma sequencia de números infinitamente. Exemplos: O número PI que é igual a 3,14159265, Raízes não exatas como: = 1,4142135 Conjunto dos Números Reais Representado pela letra maiúscula R, compõem esse conjunto os números: naturais, inteiros, racionais e irracionais. Acompanhe o exemplo numérico a seguir:
Exemplo: R = { 3,5679 ; 2; 1; 0; + 1 ; + 1; +2, 14; + 4; 4,555 ; + 5; 6,12398 } 2 O conjunto dos números reais pode ser representado por diagramas, nele fica claro a relação de inclusão em relação aos conjuntos dos números: naturais, inteiros, racionais e irracionais. Acompanhe a seguir a representação do diagrama de inclusão dos números reais. Saiba mais: https://www.youtube.com/watch?v=os2qkebmqvk
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS RACIONAIS Prof. a : Patrícia Caldana As operações com os números racionais envolvem os inteiros, as frações e os decimais. Pertencem ao conjunto dos racionais os números positivos, negativos, decimais, frações e dízimas periódicas. É possível realizar as quatro operações com os números racionais. Mas antes, precisamos compreender alguns conceitos. Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum Para o cálculo do mínimo múltiplo comum (MMC) e do máximo divisor comum (MDC) é preciso saber o que são múltiplos e divisores de um número. Múltiplos de um número natural é o produto da multiplicação desse número por outro, por exemplo: 69 é múltiplo de 3, pois 3 x 23 = 69. 80 é múltiplo de 5, pois 5 x 16 = 80 Divisor de um número natural é aquele número que divide outro, desde que a divisão seja exata, por exemplo: 5 é divisor de 30, pois 30 : 5 = 6 18 é divisor de 90, pois 90: 18 = 5. Mínimo múltiplo comum (MMC) O MMC de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, por exemplo: Para calcular o MMC de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos. M(30) = 0,30,60,90,120,150,... M(60) = 0,60,120,180,240,... Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que o MMC (30,60) = 60. Veja outro exemplo: MMC (5,9) = 45, pois
45. M(5) = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,... M(9) = 0,9,18,27,36,45,54,63,72,... Como o menos múltiplo comum de 5 e 9 é o 45, dizemos que o MMC de 5 e 9 é Saiba mais: https://www.youtube.com/watch?v=hwe6vy4pd4o Máximo divisor comum (MDC) O MDC de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o maior divisor comum entre os números, por exemplo: Para calcular o MDC de 15 e 20, temos que encontrar os divisores de cada número: D(15) = 1,3,5,15. D(20) = 1,2,4,5,10,20. Maior divisor comum entre 5 e 20 é 5, portanto, o mdc (15,20) = 5. Veja outro exemplo: MDC (20,30,60) = 10, pois D(20) = 1,2,4,5,10,20 D(30) = 1,2,3,5,6,10,15,30 D(60) = 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 O maior divisor comum entre esses números é 10, portanto MDC (20,30,60) = 10. Saiba mais: https://www.youtube.com/watch?v=l-_tran5xrw Operação de Adição Agora, voltando às operações com número racionais. É possível realizar as quatro operações com os números racionais. Entre essas operações, podemos destacar: Soma de duas ou mais frações: Para somar duas ou mais frações, é necessário que o denominador em todas as frações seja o mesmo. Após verificar isso ou reduzir os denominadores a um mesmo valor
por meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ou das frações equivalentes, basta conservar o denominador e somar os expoentes. Veja: Utilizando o MMC para reduzir os denominadores: 1 + 2 + 4 = 1 + 2 + 4 = 3 + 4 + 24 = 31 2 3 2 3 1 6 6 Cálculo do MMC 2, 3, 1 2 1, 3, 1 3 1, 1, 1 MMC (2, 3, 1) = 2 x 3 = 6 Para obter os números do numerador, foi feito o seguinte: dividimos o resultado do MMC pelo denominador e multiplicamos pelo numerador: 6 : 2 = 3 x 1 = 3 6 : 3 = 2 x 2 = 4 6 : 1 = 6 x 4 = 24 Também podemos resolver a soma das frações de outra forma, utilizando as frações equivalentes: 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x 6 = 3 + 4 + 24 = 31 2 x 3 3 x 2 1 x6 6 6 6 6 Soma de dois ou mais números decimais Na soma de números decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com centesimal e assim por diante. Observe o exemplo abaixo: 2,57 + 1,63 = 2 e 1: partes inteiras 0,5 e 0,6: partes decimais 0,07 e 0,03: partes centesimais Para resolver a soma de números decimais, podemos estruturar o algoritmo da adição. 2,57 + 1,63 4,20
Podemos também somar números decimais por meio de frações. Para isso, basta transformar cada número decimal em uma fração. Confira o exemplo abaixo: 2,57 + 1,63 = Represente os números decimais na forma de fração; = 257 + 163 = Como o denominador em ambas as frações é 100, podemos somá-los. 100 100 = 420 = Realize a divisão de 420 por 100. 100 = 4,20 Operação de Subtração Subtração de duas ou mais frações: O processo de subtração de fração é semelhante ao da soma. A diferença está no sinal da operação, que será de menos. Observe: 5 3 2 = 5 +( 3 ) + ( 2 )= 20 9 24 = 13 3 4 3 ( 4 ) 12 12 Cálculo do MMC: 3, 4, 1 2 3, 2, 1 2 3, 1, 1 3 1, 1, 1 Para obter os números do numerador, fizemos o seguinte: dividimos o resultado do MMC pelo denominador e multiplicamos pelo numerador: 12 : 3 = 4 x 5 = 20 12 : 4 = 3 x 3 = 9 12 : 1 = 12 x 2 = 24 Subtração de dois ou mais números decimais: Devemos subtrair número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com centesimal e assim por diante. Confira o exemplo abaixo: 3,15 2,04 1 = Para resolver essa subtração de números decimais, devemos subtrair os dois primeiros termos da esquerda para a direita (3,15 2,04).
Acompanhe: Prof. a : Patrícia Caldana 3,15-2,04 1,11 Agora temos que subtrair 1,11 1 = 1,11-1,00 0,11 Podemos também resolver o exemplo anterior por meio da subtração de frações. 3,15 2,04 1 = Transforme os números 3,15 e 2,04 em frações. Como os denominadores das frações são iguais, faça a subtração dos numeradores. 315 204 1 = 111 1 = 100 100 100 1 Como os denominadores das frações são diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo denominador. O MMC (100, 1) é 100. Como reduzimos para o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores. = 111 100 = 11 100 100 Faça a divisão de 11/100 = 0,11 Saiba mais: https://www.youtube.com/watch?v=cairiwpjqby
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS RACIONAIS Prof. a : Patrícia Caldana Multiplicação de frações Na multiplicação de frações, devemos multiplicar os numeradores com numeradores e os denominadores com denominadores. Confira: 3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 7 4 ( 7 x 4 ) 28 Como a fração não está na forma irredutível, temos que simplificá-la. 3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 : 2 = 9 7 4 ( 7 x 4 ) 28 : 2 14 Multiplicação de números decimais Ao multiplicarmos números decimais, devemos estruturar o algoritmo. Para saber a posição da vírgula no produto obtido, contamos quantas casas decimais possui cada número decimal e deslocamos a vírgula em relação aos algarismos do produto da direita para a esquerda. Observe o exemplo: 2,4 x 1,2 = Inicialmente estruture o algoritmo da multiplicação. 2,4 x 1,2 48 24+ 2,88 Observe que a vírgula ficou entre os algarismos 2 e 8. Isso aconteceu porque o número 2,4 possui uma casa decimal, e o número 1,2 também possui uma casa decimal. Assim, temos, no total, duas casas decimais. Sendo assim, devemos deslocar a vírgula do produto obtido (288) duas casas da direita para a esquerda (2,88). Poderíamos também resolver esse exemplo por meio de frações. 2,4 x 1,2 = Transforme os números decimais em frações. = 24 x 12 = Multiplique os numeradores (24x12) e os denominadores (10x10) 10 10 = 288 = Faça a divisão de 288 por 100. 100 = 2,88 Saiba mais: https://www.youtube.com/watch?v=8ozoxrbx9ws
Divisão de duas ou mais frações Prof. a : Patrícia Caldana Para dividirmos duas ou mais frações, utilizamos uma regra prática: conserva-se a primeira fração, multiplicando-a pelo inverso da segunda. Recorde-se que o inverso de uma fração é dado ao trocarmos o seu denominador pelo numerador. Veja: 13 : 9 = 13 x 2 = 26 7 2 7 9 63 1 : 4 : 2 = (1 : 4 ) : 2 = ( 1 x 5 ) : 2 = 5 : 2 = 5 x 6 = 30 :2 = 15 2 5 6 (2 5 ) 6 ( 2 x 4 ) 6 8 6 8 x 2 16 : 2 8 Divisão de dois ou mais números decimais Para realizar a divisão de números decimais, devemos igualar a quantidade de casas decimais dos números e efetuar a divisão. Confira o exemplo abaixo: 1,23 : 0,5 = O número 1,23 possui duas casas decimais, e o número 0,5 possui uma casa decimal. Para igualar a quantidade de casas decimais, devemos multiplicar ambos os números pelo termo decimal, ou seja, 10, 100, 1000..., que possui a maior quantidade de casas decimais. Sendo assim, temos que multiplicar 1,23 e 0,5 por 100. (1,23 x 100) : (0,5 x 100) = 123 : 50 Utilizando o algoritmo da divisão, temos 123 : 50. 123 50-100 2,46 230-200 300-300 0 1,23 : 0,5 = 2,46 frações: Veja agora como transformar os números decimais do exemplo anterior em 1,23 : 0,5 = Transforme os números decimais em frações. = 123 : 5 = Aplicando a regra aprendida anteriormente, conserve a primeira fração e 100 10 multiplique-a pelo inverso da segunda. = 123 x 10 = Faça o produto dos numeradores e dos denominadores. 100 5 = 1230 = Realize a divisão de 1230 por 500 = 2,46 500 Saiba mais: https://www.youtube.com/watch?v=v4vsevgwnoq