Precificação de Opções

Um modelo em tempo-discreto Arthur Mendes Alves Instituto de Matemática, Estatística e Física Universidade Federal do Rio Grande 15 de dezembro de 2014

Sumário 1 Introdução Opções Arbitragem 2 Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Uma Visão Geral sobre Martingales 3 Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente 4 O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes 5 Conclusões e Trabalhos Futuros 6 Contato

Introdução Opções Sumário 1 Introdução Opções Arbitragem 2 Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Uma Visão Geral sobre Martingales 3 Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente 4 O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes 5 Conclusões e Trabalhos Futuros 6 Contato

Introdução Opções Introdução A atmosfera do mercado financeiro é marcada pelo risco e a incerteza do retorno de investimentos. Estes dois fatores tem sido alvo de diversos temas de desenvolvimento científico na, ainda jovem e promissora, área de Finanças Quantitativas. Neste trabalho veremos algumas aplicações da Teoria da Medida, Teoria da Probabilidade e o uso do caso discreto do Cálculo Estocástico com a finalidade de garantir que o modelo de Cox-Ross-Rubinstein de precificação de opções é justo, e verificar suas relações com a famosa fórmula de precificação de opções, a fórmula de Black-Scholes

Introdução Opções Derivativos Definição Derivativos são instrumentos financeiros cujo preço deriva do preço de outro bem ou instrumento financeiro, chamados de ativo-objeto (ou subjacentes), que lhe serve de referência. Derivativos são usados principalmente para gerenciar o risco do preço inerente ao ativo-objeto de referência e para especular. São exemplos comuns de derivativos: futuros, taxa de câmbio e opções.

Introdução Opções O que é uma Opção? Definição Uma opção é um instrumento financeiro que confere a um agente do mercado (investidor ou arbitrador) o direito mas não a obrigação de fazer uma transação de uma quantidade a um preço pré-estabelecido (preço de exercício) de um determinado ativo-objeto. No mercado de opções, é bom deixarmos claro que não existe uma negociação das ações 1 própriamente ditas mas sim o direito sobre elas. 1 poderíamos tratar de outros ativos-objeto, tais como um índice ou uma commoditie

Introdução Opções Tipos de Opções Podemos atribuir duas categorias pricipais de opções: Opção de Compra (Call): confere o direito de comprar no futuro um ativo-objeto por um preço predeterminado. Opção de Venda (Put): confere o direito de vender no futuro um ativo-objeto por um preço predeterminado. O comprador (titular) de um ativo-objeto desempenha um papel de long position no contrato e o vendedor (lançador) desempenha um papel de short position.

Introdução Opções Tipos de Opções Podemos atribuir duas categorias pricipais de opções: Opção de Compra (Call): confere o direito de comprar no futuro um ativo-objeto por um preço predeterminado. Opção de Venda (Put): confere o direito de vender no futuro um ativo-objeto por um preço predeterminado. O comprador (titular) de um ativo-objeto desempenha um papel de long position no contrato e o vendedor (lançador) desempenha um papel de short position.

Introdução Opções Tipos de Opções Podemos atribuir duas categorias pricipais de opções: Opção de Compra (Call): confere o direito de comprar no futuro um ativo-objeto por um preço predeterminado. Opção de Venda (Put): confere o direito de vender no futuro um ativo-objeto por um preço predeterminado. O comprador (titular) de um ativo-objeto desempenha um papel de long position no contrato e o vendedor (lançador) desempenha um papel de short position.

Introdução Opções Tipos de Opções Figura 1: Comportamento de uma opção de compra - payoff C=max(S(T ) K, 0) Figura 2: Comportamento de uma opção de venda - payoff P=max(K S(T ), 0)

Introdução Opções Vencimento de Opções Em geral os contratos de opções possuem diversas características, porém as mais comuns são: Opção do tipo européia: só podem ser exercidas no dia do vencimento. Opção do tipo americana: podem ser exercidas a qualquer momento até a data de vencimento.

Introdução Opções Vencimento de Opções Em geral os contratos de opções possuem diversas características, porém as mais comuns são: Opção do tipo européia: só podem ser exercidas no dia do vencimento. Opção do tipo americana: podem ser exercidas a qualquer momento até a data de vencimento.

Introdução Opções Vencimento de Opções Em geral os contratos de opções possuem diversas características, porém as mais comuns são: Opção do tipo européia: só podem ser exercidas no dia do vencimento. Opção do tipo americana: podem ser exercidas a qualquer momento até a data de vencimento.

Introdução Arbitragem Sumário 1 Introdução Opções Arbitragem 2 Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Uma Visão Geral sobre Martingales 3 Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente 4 O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes 5 Conclusões e Trabalhos Futuros 6 Contato

Introdução Arbitragem Arbitragem A essência do sentido técnico da arbitragem é a possibilidade de garantir um lucro sem exposição ao risco. Veja o seguinte exemplo que ilustra esse fato: Caso 1 - Não Arbitragem: Cotação de Nova York - 1$ : 1e Cotação de Frankfurt - 1$ : 1e Caso 2 - Arbitragem: Cotação de Nova York - 1$ : 1e Cotação de Frankfurt - 1$ : 0,90e

Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Sumário 1 Introdução Opções Arbitragem 2 Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Uma Visão Geral sobre Martingales 3 Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente 4 O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes 5 Conclusões e Trabalhos Futuros 6 Contato

Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Informação e Filtrações A tomada de deciões no mercado financeiro é marcada pelo uso e manipulação de informações disponíveis aos seus participantes.

Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Informação e Filtrações A representação matemática para o fluxo de informações é expressa por uma sequência de ζ-álgebras F n, que dado o espaço mensurável (Ω, F) pode ser: Uma filtração discreta F sobre (Ω, F), se a sequência crescente (F n ) n=1 satisfaz F 1 F 2 F i... F Uma filtração contínua F sobre (Ω, F), se existe um intervalo real I R, tal que (F t ) t I t, s I, t < s, é uma família de ζ-álgebras e F t F s F

Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Uma Visão Geral sobre Martingales Sumário 1 Introdução Opções Arbitragem 2 Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Uma Visão Geral sobre Martingales 3 Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente 4 O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes 5 Conclusões e Trabalhos Futuros 6 Contato

Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Uma Visão Geral sobre Martingales Conceitos de Processos Estocásticos Um processo estocástico X = {X n : n I } é uma família de variáveis aleatórias e, em termos financeiros: De horizonte finito de negociações, caso I = {0, 1, 2,..., T } De horizonte infinito de negociações, caso I = {0, 1, 2,... } Ainda se X definido em um espaço filtrado (Ω, F, F, P) é F n mensurável n. Então dizemos que X é adaptado a filtração F.

Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Uma Visão Geral sobre Martingales O que são Martingales? Definição Um processo estocástico X = (X n ) é chamado martingale relativo a ({F n }, P) se (i) X é adaptado a {F n }, (ii) E X n < para todo n, (iii) E(X n F n 1 ) = X n 1, P quase certamente (n 1). Os martingales são peças fundamentais para a precificação neutra ao risco de ativos, pois estes excluem possuibilidades de arbitragem e resultados tendenciosos.

Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente Sumário 1 Introdução Opções Arbitragem 2 Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Uma Visão Geral sobre Martingales 3 Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente 4 O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes 5 Conclusões e Trabalhos Futuros 6 Contato

Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente Existência Teorema O mercado M é livre de arbitragem se e somente se existe uma medida de probabilidade Q equivalente à P (medida frequencial da estrutura probabilística do mercado), tal que o processo de precificação descontado S é um (Q)-martingale.

Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente Unicidade Teorema Um mercado M livre de arbitragem é completo se e somente se há uma única medida de probabilidade Q equivalente à P (medida frequencial da estrutura probabilística do mercado) tal que os preços dos ativos financeiros descontados são martingales.

Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente Teorema Fundamental da Precificação de Ativos Teorema (Teorema Fundamental da Precificação de Ativos) Em um mercado M completo e livre de arbitragem, há uma única medida (Q)-martingale equivalente. Proposição O processo de precificação de qualquer derivativo X cujos os retornos podem ser replicados por um portfólio de ativos financeiros é dado pela Fórmula de Precificação Neutra ao Risco π X (t) = β (t) 1 E (X β (T ) F t ) t = 0, 1,..., T, (1) onde E é o operador esperança com relação a uma medida (Q)-martingale equivalente.

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Sumário 1 Introdução Opções Arbitragem 2 Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Uma Visão Geral sobre Martingales 3 Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente 4 O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes 5 Conclusões e Trabalhos Futuros 6 Contato

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Exposição do Modelo A idéia inicial do modelo é replicar o retornos de uma opção através de um portfólio formado por dois subjacentes básicos: 1 Ativo de baixo risco - um título de renda fixa B. 2 Ativo de alto risco - uma ação S. O nosso período de negociação é dado pelo horizonte finito t = 0, 1,..., T.

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Exposição do Modelo O processo descrito pelo título B representará um fator de desconto que produz uma taxa de juros livre de risco, r > 0, regida pela progressão geométrica abaixo: onde t = 0, 1, 2,..., T. B (t) = (1 + r) t,

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Exposição do Modelo As ações representarão variáveis aleatórias e seguirão um processo binomial: S (t + 1) = { (1 + u) S (t) com probabilidade p, (1 + d) S (t) com probabilidade 1 p, com 1 < d < u, S 0 R + 0. O fator u indica o índice de tendência a subida (upper) e d indica o índice de tendência a decida (down).

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Exposição do Modelo Figura 3: Diagrama de um processo binomial de um período de negociação

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Exposição do Modelo Podemos olhar agora para as ações como os seguintes retornos: Z (t + 1) := S (t + 1) S (t) 1, t = 0, 1,..., T 1. Ainda, expansão binomial sugere que o preço da ação possa ser escrito como: t S (t) = S (0) (1 + Z (τ)), t = 1, 2,..., T. τ=1

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Estrutura Probabilística Nestas circunstâncias, o espaço produto (Ω, F, P) é a representação apropriada para o mercado financeiro. Logo, Ω = Ω 1 Ω T = Ω T = {d, u} T. Assim para cada w Ω, onde w = ( w 1,..., w T ) é uma T-upla, P ({w}) = P 1 ({w 1 }) P T ({w T }) = P ({w 1 }) P ({w T }). Dado a notação formal para as variáveis aleatórias Z(t) em (Ω, F, P) por Z (t, w) = Z (t, w t ).

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Estrutura Probabilística Vemos que P (Z (t) = u) = p = 1 P (Z (t) = d). Para modelar o fluxo de informações do mercado, utilizaremos as seguintes filtrações básicas: F 0 = {, Ω} (ζ álgebra trivial), F t = ζ (Z (1),..., Z (t)) = ζ (S (1),..., S (t)), F T = F = P (Ω) (classe de todos os subconjuntos de Ω).

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Condição de Equivalência de Medida Proposição (Condição do modelo CRR) 1 Uma medida martingale Q para o preço da ação descontada S = S B 1 existe se e somente se d < r < u. (2) 2 Se a desigualdade (2) é válida, então há uma única medida caracterizada por q = r d u d. (3)

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Precificação Binomial Neutra ao Risco de Opções Corolário Considere uma opção de compra do tipo européia com data de expiração T e com preço de exercício K sobre uma ação S. O processo de precificação livre de arbitragem π C (t), t = 0, 1,..., T da opção é dada por (novamente assuma τ = T t, o tempo ao vencimento) π C (t) = (1 + r) τ onde f (S(t)) = max τ j=0 ( τ j ) q j (1 q) τ j f (S(t)), ( S (t) (1 + u) j (1 + d) τ j K, 0 ).

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Sumário 1 Introdução Opções Arbitragem 2 Processos Estocásticos em Tempo-Discreto Informação e Filtrações Uma Visão Geral sobre Martingales 3 Precificação Neutra ao Risco de Ativos Medida Martingale Equivalente 4 O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein A Construção do Modelo Binomial Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes 5 Conclusões e Trabalhos Futuros 6 Contato

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Antes de tomarmos o limite de uma sequência de modelos em tempo-discreto, devemos fazer as seguintes adaptações: Dividimos o intervalo contínuo [0, T ] do período do contrato por multiplas datas de negociação k n, cujo o comprimento dos subintervalos é definido por n := T k n Efetuamos a expansão da árvore binomial para o ativo de alto risco - S n (t n, j) = S n (0) j i=1 (1 + Z n,i) e o de baixo risco - B (t n, j) = (1 + r n ) j, onde j = 1,..., k n Adotamos as seguintes escolhas de parâmetros: u n = e σ n 1 e d n = e σ n 1, onde σ > 0 representa a volatilidade da ação

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Antes de tomarmos o limite de uma sequência de modelos em tempo-discreto, devemos fazer as seguintes adaptações: Dividimos o intervalo contínuo [0, T ] do período do contrato por multiplas datas de negociação k n, cujo o comprimento dos subintervalos é definido por n := T k n Efetuamos a expansão da árvore binomial para o ativo de alto risco - S n (t n, j) = S n (0) j i=1 (1 + Z n,i) e o de baixo risco - B (t n, j) = (1 + r n ) j, onde j = 1,..., k n Adotamos as seguintes escolhas de parâmetros: u n = e σ n 1 e d n = e σ n 1, onde σ > 0 representa a volatilidade da ação

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Antes de tomarmos o limite de uma sequência de modelos em tempo-discreto, devemos fazer as seguintes adaptações: Dividimos o intervalo contínuo [0, T ] do período do contrato por multiplas datas de negociação k n, cujo o comprimento dos subintervalos é definido por n := T k n Efetuamos a expansão da árvore binomial para o ativo de alto risco - S n (t n, j) = S n (0) j i=1 (1 + Z n,i) e o de baixo risco - B (t n, j) = (1 + r n ) j, onde j = 1,..., k n Adotamos as seguintes escolhas de parâmetros: u n = e σ n 1 e d n = e σ n 1, onde σ > 0 representa a volatilidade da ação

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Com as adaptações feitas, podemos reescrever fórmula de precificação binomial neutra ao risco de opção de compra do tipo européia como: π (n) C (0) = S n (0) B kn,ˆpn (a n ) K (1 + r n ) kn B kn,p n (a n ), onde a n indica os momentos em que os payoffs são não-negativos e o titular da opção exerce o seu direito, a n = min{j N 0 S (0) (1 + u n ) j (1 + d n ) kn j > K}, e ˆp n = p n (1 + u n ) 1 + r n

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Proposição A relação limite abaixo é satisfeita: com π BS C lim n π(n) C (0) = πbs C (0) (0) dado pela fórmula de Black-Scholes (onde S=S(0)) π BS C (0) = SN (d 1 (S, T )) Ke rt N (d 2 (S, T )).

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes As funções d 1 (s, t) e d 2 (s, t) são, ( log (s/k) + d 1 (s, t) = σ t ( d 2 (s, t) = d 1 (s, t) σ log (s/k) + t = σ t r + σ2 2 r σ2 2 ) t, ) t e N(.) é a função de distribuição cumulativa normal padrão.

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Simulação Computacional - OTM Figura 4: aproximação binomial para uma ação OTM

O Modelo de Cox-Ross-Rubinstein Uma Aproximação para a Fórmula de Black-Scholes Simulação Computacional - ATM Figura 5: aproximação binomial para uma ação ATM

Conclusões e Trabalhos Futuros Conclusões Há limitações na hipótese de mercados completos na prática Para o contexto em questão, outras escolhas para os parâmetros livres do modelo CRR podem aproximar modelos de diferentes distribuições Conseguimos aliar duas grandes áreas da matemática

Conclusões e Trabalhos Futuros Conclusões Há limitações na hipótese de mercados completos na prática Para o contexto em questão, outras escolhas para os parâmetros livres do modelo CRR podem aproximar modelos de diferentes distribuições Conseguimos aliar duas grandes áreas da matemática

Conclusões e Trabalhos Futuros Conclusões Há limitações na hipótese de mercados completos na prática Para o contexto em questão, outras escolhas para os parâmetros livres do modelo CRR podem aproximar modelos de diferentes distribuições Conseguimos aliar duas grandes áreas da matemática

Conclusões e Trabalhos Futuros Trabalhos Futuros Estudo aprofundado em métodos computacionais como Simulação de Monte Carlo e Métodos das Diferenças Finitas direcionados a finanças quantitativas, implementação computacional de modelos binomiais (assim como as suas variações em modelos em tempo-discreto) e análise dos resultados obtidos sobre dados reais do mercados financeiro. Compreensão da estrutura de mercados incompletos e aplicações a cenários complexos de precificação de opções. Pesquisa direcionada a modelos de precificação de opções com volatilidade dinâmica.

Conclusões e Trabalhos Futuros Trabalhos Futuros Estudo aprofundado em métodos computacionais como Simulação de Monte Carlo e Métodos das Diferenças Finitas direcionados a finanças quantitativas, implementação computacional de modelos binomiais (assim como as suas variações em modelos em tempo-discreto) e análise dos resultados obtidos sobre dados reais do mercados financeiro. Compreensão da estrutura de mercados incompletos e aplicações a cenários complexos de precificação de opções. Pesquisa direcionada a modelos de precificação de opções com volatilidade dinâmica.

Conclusões e Trabalhos Futuros Trabalhos Futuros Estudo aprofundado em métodos computacionais como Simulação de Monte Carlo e Métodos das Diferenças Finitas direcionados a finanças quantitativas, implementação computacional de modelos binomiais (assim como as suas variações em modelos em tempo-discreto) e análise dos resultados obtidos sobre dados reais do mercados financeiro. Compreensão da estrutura de mercados incompletos e aplicações a cenários complexos de precificação de opções. Pesquisa direcionada a modelos de precificação de opções com volatilidade dinâmica.

Contato Contato E-mail: arthur_six@hotmail.com

Contato Bibliografia I [1] Cox, John C.; Ross, Stephen A.; Rubinstein, M., Option Pricing: A simplified approach, Journal of Financial Economics - North-Holland Publishing Company, Berkeley - US, 1979. [2] Williams, M., Fundamentals of the Options Market, The McGraw-Hill Companies, Inc., New York - US, 2001. [3] Kiesel, R.; Bingham, N.H., Risk-Neutral Valuation - Princing and Hedging of Financial Derivatives, Springer, London - uk, 2004. [4] Isnard, Carlos, Introdução à medida e integração, Projeto Euclides - IMPA, Rio de Janeiro - RJ - Brasil, 2013.

Contato Bibliografia II [5] James, Barry R., Probabilidade: um curso em nível intermediário, Projeto Euclides - IMPA, Rio de Janeiro - RJ - Brasil, 2011.