MATEMÁTICA
MÓDULO 1 RECORDANDO AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS Todos os dias, você usa dos recursos da Matemática para resolver pequenos e grandes problemas que aparecem na sua vida. Nesse módulo você vai estudar alguns desses recursos, para que seus cálculos estejam sempre corretos. Você iniciará esse Curso de Matemática do Ensino Médio recordando as quatro operações. Lembre-se: muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em Matemática, o mais importante é o raciocínio. Lendo os quatro problemas abaixo você vai usar as operações matemáticas que fazem parte do seu dia-a-dia. Um motorista de táxi andou 120 Km num dia e 162 Km no dia seguinte. No total quanto ele andou nesses dois dias? Um tênis que custa R$ 37,00 foi pago com uma nota de R$ 50,00. De quanto foi o troco? Uma caixa de leite tipo longa vida possui 12 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas? Devo repartir 24 balas igualmente entre meus 3 filhos. Quantas balas deve receber cada um? Quais são as operações que você usa para resolver estas questões? RESPOSTAS: 1- Soma 2- Subtração 3 - Multiplicação 4 - Divisão Muitas vezes, na nossa vida, nos deparamos com operações em que necessitamos de números que representam dívidas, valores menores que zero etc, (esses números são escritos acompanhados do sinal negativo). Eles estão no Conjunto Z =...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... que se chama Conjunto dos Números Inteiros. As quatro operações fundamentais:
1. ADIÇÃO: é usada para agrupar ou juntar quantidades de duas ou mais grandezas que identificam a mesma coisa. Exemplo1: Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 10 alunos, outra com 17 alunos e outra com 18. Quantos alunos existem ao todo nesta escola? Para reunir os alunos das 3 turmas devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. Assim: 10 + 17 + 18 = 45 parcelas soma ou total Existem, portanto, 45 alunos nesta escola. Obs: Cada um dos números que está sendo adicionado chama- se parcela e o resultado é a soma ou total Exemplo 2: Devo R$ 12,00 na padaria e devo R$ 17,00 no açougue. Qual é o total da minha dívida? 12 17= 29 Devemos usar o sinal negativo ( -) quando queremos representar uma dívida e o sinal positivo ( + ) quando queremos representar o dinheiro para pagar essa dívida Observe que, se eu devo 12 reais e faço outra dívida de 17 reais, então é necessário que eu some essas dívidas para descobrir o quanto estou devendo. 2. SUBTRAÇÃO: É usada sempr e que quisermos saber a sobra ou a diferença entre a quantidade de uma grandeza positiva e de outra negativa. E a sobra será representada pela quantidade maior. Exemplo 1: Continuando com o exemplo anterior. Se eu descobri que estou devendo 29 reais, e tenho uma nota de R$ 50,00 para pagar essa dívida, devo representar assim:
- 29 + 50 = + 21 Ou seja, se eu estou devendo 29 reais, uso o sinal negativo (-) para representar a dívida e se tenho 50 reais para pagar essa dívida, uso o sinal positivo (+) para representar o dinheiro. Assim, como o dinheiro que tenho é maior do que a quantidade que devo, pago a dívida e ainda me sobram 21 reais. Por isso que o resultado é + 21. Exemplo 2: Uma secretária recebeu a tarefa de pagar uma dívida de R$60,00 levando consigo R$100,00. Como podemos representar essa situação? 60 +100 = +40, ou seja, ela deve 60 reais (-) e tem 100 reais (+) para pagar essa dívida. Então ela paga a dívida e ainda lhe restam 40 reais (+). OBSERVAÇÃO: Todo número positivo pode ser escrito sem o sinal de +. Porém todo número negativo deve sempre vir acompanhado do sinal de -. No exemplo anterior se quiséssemos escrever apenas 40 ao invés de +40 poderíamos. CONCLUSÃO: Quando temos números com sinais iguais devemos: somar os números e manter o mesmo sinal Quando temos números com sinais diferentes devemos: subtrair os números e manter o sinal do número maior. Observe agora outros exemplos: Exemplo 3: João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:
Dia Saldo Depósito Retirada inicial 10 00,00 10 60,00 12 25,00 15 65,00 18 20,00 21 12,00 Descubra o saldo bancário de João. Se você encontrou saldo positivo de R$ 68, 00, parabéns! Veja abaixo como se faz: 60 25 + 65 20 12 = 60 + 65 25 20 12 = 125 57 = 68 Nesse caso a melhor forma de fazer o cálculo é juntar, somando os números positivos (depósitos ) e juntar, somando, os números negativos (retiradas). Depois efetuar a subtração entre os dois e verificar se sobrou positivo ou negativo. Exemplo 4: Se você tem R$1200,00 no banco, e compra uma geladeira de R$ 1100,00 e um televisor de R$900,00 e paga com cheque como fica seu saldo bancário se você fez um deposi to de R$300,00? +1200 1100 900 +300 = +1500 2000 = 500 Exercícios: 1. Copie e resolva as seguintes operações no seu caderno: a) 37 + 43 = d) 8 + 4 12 +7= b) 37 47 = e) 30 + 45 = c) 9 6 = f) + 24 72 + 11 = 3. MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO:
Lembrando que a multiplicação nada mais é do que a soma de números iguais e a divisão como a operação que nos ajuda a repartir certas quantidades em partes iguais, observe: 4 X 5 quer dizer quatro vezes o número cinco, ou seja, 5 + 5 + 5 +5 que é igual a vinte. Exemplo 1: Se eu devo 3 reais para 2 pessoas posso representar assim: (- 3). 2 = -6, ou seja, (-2) + (-2) + (-2) = -6. Exemplo 2: Desejo colocar 20 lápis em 4 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo nº de lápis. Quantos lápis devo colocar em cada caixa? 20 4 ou 20 : 4 = 5 ou 20 = 5 0 5 4 Devo colocar 5 lápis em cada caixa. E se eu quisesse colocar 20 lápis em 3 caixas? dividendo resto 20 3 2 6 divisor quociente Colocaria 6 lápis em cada caixa e sobrariam 2. O resto é sempre positivo e menor que o divisor. Recordando a multiplicação e divisão de nºs inteiros (positivos e negativos) ( 5) ( 4) = +20 (sinais iguais na multiplicação resultado positivo) ( 8) (+3) = 24 (sinais diferentes na multiplicação resultado negativo) (+36): (+4) = +9 (sinais iguais na divisão resultado positivo) (+81): ( 3) = 27 (sinais diferentes na divisão resultado negativo) ( 5) ( 4) ( 7) = 140 (Como os dois primeiros sinais são iguais o + resultado é positivo, como o outro sinal é diferente,o resultado fica negativo) Conclusão:
em: As regras dos sinais na multiplicação e divisão podem ser resumidas Multiplicação ou Divisão de sinais iguais temos resultado positivo. Multiplicação ou Divisão de sinais diferentes o resultado é negativo 4: POTENCIAÇÃO: Muitas vezes, você vai ter que multiplicar um mesmo número muitas vezes. Para facilitar você deve usar a potenciação. POTENCIAÇÃO é uma multiplicação de fatores iguais, isto é, uma multiplicação com o mesmo número. Veja como se pode abreviar uma multiplicação de fatores iguais: 5.5 = 5 2 (lê-se: cinco elevado a segunda potência ou cinco elevado ao quadrado) 5.5.5 = 5 3 (cinco elevado a terceira potência ou cinco elevado ao cubo) 5 3 = 5. 5. 5 = 125 5² = 5. 5 = 25 Veja os nomes: expoente 5 3 = 125 potência Mostra quantas vezes se repete à multiplicação do número que está na base. base Assim, 4 2 (quatro elevado à segunda potência) é 16 pois, 4 4 = 16 Lembre-se: As potenciações de expoente 2 e 3 têm nomes especiais: 4 2 : quatro ao quadrado; 4 3 : quatro ao cubo ; A potência também tem regras de sinais quando estamos operando (fazendo conta) com números positivos e negativos. Regras de sinais da potenciação Expoentes pares = a resposta é sempre + (positivo) Ex.: ( 3) 2 = 3 3 = +9 (sinais iguais da multiplicação ). Expoentes Ímpares = a resposta tem sempre o mesmo sinal da base Ex.: ( 5) 3 = 5 5 5 = 125
Casos especiais de potenciação: Expoente zero= resultado 1, veja: ( -3) 0 = 1 Expoente 1= resultado o próprio nº da base = ( 9) 1 = 9 Base 0 = resultado zero 0 5 = 0 pois, 0 0 0 0 0 = 0 Base 10 = resultado é o nº 1 seguido da quantidade de zeros que o expoente indica. 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 10 4 = 10000 Potência de expoente negativo (quando o nº é decimal ou fracionário de 10 e vice-versa) 10-1 1 = = 0,1 10-2 1 = = 0,01 10-3 1 = = 0,001 10 100 1000 Veja alguns exemplos: ( 2) 4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = +16 (+1) 5 = +1 +1 +1 +1 +1 = 1 ( 3) 3 = (-3) (-3) (-3) = 27 (+ 3) 3 = (+3) (+3) (+3) = 27 Casos especiais: (1000) 0 = 1 (- 25) 0 = 1 (-5) 1 = -5 (-8) 0 = 1 (9) 1 = 9 (2) -1 = 1 2 3) Determine o resultado das potenciações observando a regra de sinais. a) b) (+9) 3 = (- 25) 2 = c) (-8) 2 = d) (-4) 3 = e) (+5) o = f) (- 10) 1 =