ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES Aluo(a): Turma: Professores: Data: Edu/Vicete Noções de Estatística Podemos eteder a Estatística como sedo o método de estudo de comportameto coletivo, cujas coclusões são traduzidas em resultados uméricos. Podemos, ituitivamete, dizer que: Estatística é uma forma de traduzir o comportameto coletivo em úmeros. Uiverso Estatístico ou População Estatística: Cojuto formado por todos os elemetos que possam oferecer dados pertietes ao assuto em questão. Eemplo 1: Um partido político quer saber a tedêcia do eleitorado quato a preferêcia etre dois cadidatos à Presidêcia da República. O Uiverso Estatístico é o cojuto de todos os eleitores brasileiros. Amostra: É um subcojuto da população estatística. Quado o Uiverso Estatístico é muito vasto ou quado ão é possível coletar dados de todos os seus elemetos, retira-se desse uiverso um subcojuto chamado amostra. Os dados são coletados dessa amostra. Eemplo : Numa pesquisa para saber a iteção de votos para presidete da república, foram ouvidas 400 pessoas... Esse grupo de 400 pessoas é uma amostra. Cada pessoa ouvida essa pesquisa é uma uidade estatística. Cada iformação umérica obtida essa pesquisa é um dado estatístico. Rol: É toda seqüêcia de dados uméricos colocados em ordem ão decrescete ou ão crescete. Eemplo 3: Os aluos de uma amostra apresetam as seguites otas de matemática: 6; 4; 8; 7; 8 O rol desses resultados é : (4; 6; 7; 8; 8 ) ou (8; 8; 7; 6; 4 ). Freqüêcia absoluta: (F) É o úmero de vezes que um determiado valor é observado a amostra. Freqüêcia total: É a soma de todas as freqüêcias absolutas. ( F t ) Freqüêcia relativa: ( F r ) F É o quociete Fr ou F r 100%. Ft Ft Eemplo 3: Numa turma foram registradas as idades de todos os aluos. Qual a freqüêcia absoluta e a freqüêcia relativa do úmero de aluos de 14 aos: 1 16 16 1 14 1 17 16 14 14 14 17 1 16 1 16 14 1 1 1 16 1 1 16 17 4/4/014 1 F Solução; Tabela de freqüêcias: Idade Freqüêcia absoluta Freqüêcia relativa(%) 14 (/).100% =0% 1 10 (10/).100%=40 % 16 7 (7/).100% =8% 17 3 (3/).100% =1% Total 100% Resposta: F = e F r = 0% Medidas de Cetralização: (Média, Mediaa, Moda) Média Aritmética: Cosidere a seguite situação: A tabela abaio mostra as otas de matemática de um aluo em um determiado ao: 1 Bimestre 3, Bimestre 7, 3 Bimestre 9,0 4 Bimestre 6,0 A média aritmética dessas otas é dada por: 3, 7, 9 6 4 6 4 6, Obs.: Ter média 6, sigifica dizer que, apesar de ele ter obtido otas mais altas ou mais baias em outros bimestres, a soma das otas (6) é a mesma que ele alcaçaria se tivesse obtido ota 6, em todos os bimestres. Média Poderada: Cosidere a seguite situação: Cico baldes cotêm 4 litros de água cada um, três outros litros de água, cada um e, aida, dois outros cotém litros de água, cada um. Se toda essa água fosse distribuída igualmete em cada um dos baldes, com quatos litros ficaria cada um? Solução: A quatidade de litros que ficaria em cada balde é a média aritmética poderada: 4l l 3 l. p 3, 6l 3 Ou seja, a quatidade, em litros, de água em cada balde é chamada de média poderada dos valores 4 litros, litros e litros, com pesos ; 3 e. Geeralizado: Média Aritmética: Média Aritmética Poderada: p 1... 1 p1 p... p p... p 1 ou p
p i i1. p i i1 Mediaa: Cosidere a seguite situação: Os salários de pessoas que trabalham em uma empresa são: $700,00 ; $800,00 ; $900,00 ; $1.000,00 e $.600,00. O salário médio dessas pessoas é: 700 800 900 1000 600 1.800 p i Parece lógico que, este caso, a média aritmética ão é a melhor medida de cetralização para represetar esse cojuto de dados, pois a maioria dos salários é bem meor que $1.800,00. Em algumas situações a mediaa é um úmero mais represetativo. A mediaa é o termo cetral do rol. Logo, escrevedo o rol dos dados uméricos dessa situação, temos: (700; 800; 900; 1000; 600) Logo, o termo cetral desse rol é 900. Etão a mediaa é igual a 900. Se acrescetarmos à lista o salário de $1.000,00de outro fucioário, ficaríamos com um úmero par de dados uméricos. Nesse caso, a mediaa seria a média aritmética dos termos cetrais: (700; 800; 900; 1000; 1000; 600) Defiição: Em uma amostra cujas freqüêcias dos elemetos ão são todas iguais, chama-se moda, que se idica por M o, todo elemeto de maior freqüêcia possível. Eemplo 4 Na amostra (3; 4; 7; 3; 7; 9; 7) a moda é M o 7 Na amostra (9; 9; ; 7; 10; ; 1; 10) Aqui temos duas modas M o 9 e M 10 (amostra bimodal) o Na amostra (1; 3; ; 7; 9) ão apreseta moda, pois todos os elemetos tem a mesma freqüêcia. Cosidere a seguite situação: Medidas de Dispersão Dois cadidatos disputam uma úica vaga em uma empresa. Foram realizados vários testes com esses dois cadidatos: Eduardo e Vicete. A tabela a seguir mostra os desempehos dos dois cadidatos as provas a que se submeteram: Logo a mediaa é dada por: Eduardo Vicete 900 1000 mediaa 90,00 Podemos iterpretar esse resultado da seguite maeira: Metade dos fucioários gaha meos de $90,00 e a oura metade mais de $90,00. Português 8, 9, Matemática 9, 9,0 Iformática 8,0 8, Iglês 7,0 8,0 Ecoomia 7,0,0 Geeralizado: Se é ímpar, a mediaa é o termo cetral do rol. Se é par, a mediaa é a média aritmética dos termos cetrais do rol. Moda: Voltemos ao eemplo 3, ode foram registradas as idades de aluos de uma turma. 1 16 16 1 14 1 17 16 14 14 14 17 1 16 1 16 14 1 1 1 16 1 1 16 17 A idade de maior freqüêcia é a de 1 aos. Por isso dizemos que a Moda dessa amostra é de 1 aos e idicamos M 1 o Note que as médias de Eduardo e Vicete são iguais: E Vicete: V 8, 9, 8 7 7 8,0 9, 9 8, 8 8,0 Os dois cadidatos obtiveram a mesma média. Como proceder cietificamete para determiar qual dos dois teve o melhor desempeho a avaliação? A comparação etre os dois desempehos pode ser feita através das seguites medidas estatísticas: 4/4/014
I) Desvio absoluto médio(d.am.) : Determia o quato cada ota está afastada da média. Essas 0,9 0,94868 difereças são chamadas de desvio: D.AM.= = 0, 8 Vicete: 8, 8 9, 8 8 8 7 8 7 8 = Vicete:, 1,8114 Logo, por esse processo, as otas de Eduardo são meos dispersas que as otas de Vicete. Coclusão: Eduardo é sempre melhor que Vicete. D.AM.= 9, 8 9 8 8, 8 8 8 8 = Probabilidade de um Eveto E em um Espaço Eqüiprovável = 1, Logo, as otas de Eduardo estão, em média, 0,8 acima ou abaio da média, equato as otas de Vicete estão, em média, 1, acima ou abaio da média aritmética (8,0). Isso mostra que as otas de Eduardo são meos dispersas que as otas de Vicete. Etão: Eduardo merece a vaga. P( E) NúmerodeCasosFavoráveis NúmerodeCasosPossíveis Obs.: Se um Espaço Amostral S é formado pelos evetos simples e e... e 1 ; ;, etão: P ( e1 ) P( e)... P( e ) 1 II) Variâcia ( ) É uma outra medida estatística que idica o afastameto de uma amostra em relação a média aritmética. Defie-se Variâcia como a média aritmética dos quadrados dos Eercícios 1)Os salários dos fucioários de uma empresa estão distribuídos a tabela abaio: desvios dos elemetos da amostra: Salário Freqüêcia (8, 8) (9, 8) (8 8) (7 8) 0,9 $400,00 $600,00 $1.000,00 $.000,00 1 Vicete: Determie o salário médio, o salário mediao e o salário (9, 8) (9 8) (8, 8) (8 8) ( 8) modal. ) As otas de um cadidato em suas provas de um cocurso foram: 8,4; 9,1; 7,; 6,8; 8,7 e 7,., Logo, por esse processo, Eduardo também teve um desempeho mais regular. III) Desvio Padrão ( ): É a raiz quadrada da Variaça. A ota média, a ota mediaa e a ota modal desse aluo, são respectivamete: a) 7,9; 7,8; 7, b) 7,; 7,8; 7,9 c) 7,8; 7,8; 7,9 d) 7,; 7,8; 7,9 e) 7,8; 7,9; 7, 4/4/014 3
d) o desvio padrão também vale zero. 3) (FUVEST) e)todos os valores desse cojuto são iguais a zero. Num determiado país a população femiia represeta 1% da população total. Sabedo-se que a idade média (média aritmética das idades) da população femiia é de 38 aos e a da masculia é de 36 aos. Qual a idade média da população? 7)(UB) A tabela adiate apreseta o levatameto das quatidades de peças defeituosas para cada lote de 100 uidades fabricadas em uma liha de produção de autopeças, a) 37,0 aos b) 37,00 aos c) 37,0 aos d) 36,60 aos e) 37,0 aos 4) Um dado foi laçado 0 vezes. A tabela a seguir mostra os seis resultados possíveis e as suas respectivas freqüêcias durate um período de 30 dias úteis. Cosiderado S a série umérica de distribuição de freqüêcias de peças defeituosas por lote de 100 uidades, julgue os ites abaio. de ocorrêcias: A freqüêcia de aparecimeto de um resultado ímpar foi de: a) / b) 11/ c) 1/ d) 1/ e) 13/ (1) A moda da série S é. ( ) () Durate o período de levatameto desses dados, o percetual de peças defeituosas ficou, em média, abaio de 3,7%. ( ) (3) Os dados obtidos os 10 primeiros dias do levatameto geram uma série umérica de distribuição de freqüêcias com a mesma mediaa da série S. ( ) ) Em tempo de eleição para presidete, foram ouvidas 400 pessoas quato a iteção de voto. Cada pessoa ouvida essa pesquisa costitui um(a): a) dado estatístico b) uidade estatística c) amostra represetativa d) freqüêcia 8)Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de cada face é proporcioal ao úmero de potos daquela face. Qual a probabilidade de ser obter um úmero par de potos o laçameto desse dado? 9) A tabela traz as idades, em aos, dos filhos de mães. 6) Um cojuto de dados uméricos tem variâcia igual a zero. Podemos cocluir que: a) a média também vale zero. b) a mediaa também vale zero. c) a moda também vale zero. Mãe Aa Márcia Cláudi a Idade 7; 10; 11; 1 8; 10; dos 1 1 filhos Lúcia Heloís a 1; 14 9; 1; 1; 16; 18 4/4/014 4
A idade modal desses 1 filhos é iferior à idade média dos 1) ENEM filhos de Heloísa em ao(s). a) 4 b) 3 c) d) 1 10) A probabilidade de um casal ter um filho do seo masculio é 0,. Determie a probabilidade do casal ter dois filhos de seos diferetes. 11) Cosidere as seguites medidas descritivas das otas fiais dos aluos de três turmas: 13)ENEM Com base esses dados, cosidere as seguites afirmativas: 1. Apesar de as médias serem iguais as três turmas, as otas dos aluos da turma B foram as que se apresetaram mais heterogêeas.. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferete. 3. As otas da turma A se apresetaram mais dispersas em toro da média. Assiale a alterativa correta. a) Somete a afirmativa 3 é verdadeira. b) Somete a afirmativa é verdadeira. c) Somete as afirmativas e 3 são verdadeiras. d) Somete as afirmativas 1 e são verdadeiras. e) Somete as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. A) Marco, pois a média e a mediaa são iguais. B) Marco, pois obteve o meor desvio padrão. C) Paulo, pois obteve a maior potuação da tabela, 19 potos em Português. D) Paulo, pois obteve a maior mediaa. E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão. 4/4/014
16) (ENEM) 14) ENEM 17) (ENEM) A)6 B)6, C) 7 D) 7,3 E) 8, 18) (ENEM) 1) (ENEM) 4/4/014 6
19. (Ufpr 006) O serviço de atedimeto ao cosumidor de uma cocessioária de veículos recebe as reclamações dos clietes via telefoe. Tedo em vista a melhoria esse serviço, foram aotados os úmeros de chamadas durate um período de sete dias cosecutivos. Os resultados obtidos foram os seguites: Sobre as iformações cotidas esse quadro, cosidere as seguites afirmativas: I. O úmero médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6. II. A variâcia dos dados é 4. III. O desvio padrão dos dados é. Assiale a alterativa correta. a) Somete as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somete as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somete as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somete a afirmativa I é verdadeira. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 0. (Eem ª aplicação 010) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participates mais se aproima do tempo forecido pelos orgaizadores em cada etapa. Um campeoato foi orgaizado em etapas, e o tempo médio de prova idicado pelos orgaizadores foi de 4 miutos por prova. No quadro, estão represetados os dados estatísticos das cico equipes mais bem classificadas Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas (em miutos) Equipes Média Moda Desvio-Padrão Equipe I 4 40 Equipe II 4 41 4 Equipe III 4 44 1 Equipe IV 4 44 3 Equipe V 4 47 Utilizado os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 1). (FUVEST-93) A distribuição dos salários de uma empresa é dada a tabela a seguir: Salário(em reais) Número de fucioários 00,00 10 1.000,00 1.00,00 1.000,00 10.000,00 4 10.00,00 1 Total 31 a) Qual é a média, a moda e a mediaa dos salários dessa empresa? b) Supoha que sejam cotratados dois ovos fucioários com salários de R$.000,00 cada, A variâcia da ova distribuição de salários ficará meor, igual ou maior que a aterior?. (FUVEST) Numa classe com 0 aluos, as otas do eame fial podiam variar de 0 a 100 e a ota míima para aprovação era 70. Realizado o eame, verificou-se que oito aluos foram reprovados. A média aritmética das otas destes 8 aluos foi 6, equato a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir potos a mais para todos os aluos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8. a) Calcule a média das otas da classe toda ates da atribuição dos potos etras. b) Com a atribuição dos potos etras, quatos aluos, iicialmete reprovados, atigiram a ota para a aprovação? Gabarito: 1)O Salário médio é igual a $1.00,00 ( ) O Salário mediao é igual a $00,00 ( ) O Salário modal é de $400,00 ( ) ) [A] 3) [A] 4) [C] ) [B] 6) [D] 7) E; C; C; 8) 7 4 9) C 10) 8 3 11) D 1) E 13) B 14) B 1) B 16) C 17)D 18) A 19)B 0)C 1)A)média=.000,00; mediaa=1.00,00 e Moda= R$00,00 e Moda =R$.000,00(BIMODAL) B) A variâcia dimiui.. A) 7, B) 3 4/4/014 7