Poliedross 1.5
Superfície poliédrica fechada Uma superfície poliédrica fechada é composta de um número finito (quatro ou mais) de superfícies poligonais planas, de modo que cada lado de uma dessas superfícies coincida com apenas um lado de alguma das outras superfícies. É uma superfície poliédrica fechada. Não é uma superfície poliédrica fechada. 1.5 23.1
Poliedro É chamado de poliedro o sólido geométrico formado pela reunião de uma superfície poliédrica fechada com todos os pontos do espaço delimitados por ela. Exemplos a) b) c) 1.5 23.2
Elementos de um poliedro face aresta vértice 1.5 23.3
Nomenclatura de um poliedro Poli edro várias face Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com seu número de faces. 1.5 23.4
Nomenclatura de um poliedro Exemplos 6 faces a) hexaedro 8 vértices 12 arestas 14 faces b) tetradecaedro 16 vértices 28 arestas 12 faces c) dodecaedro 20 vértices 30 arestas 1.5 23.4
Nomes de poliedros estudados com maior frequência Número de faces Nome do poliedro 4 5 6 7 tetraedro pentaedro hexaedro heptaedro Número de faces Nome do poliedro 8 12 20 octaedro dodecaedro icosaedro 1.5 23.4
Poliedro convexo e poliedro não convexo Se cada plano que contém uma face de um poliedro posiciona as demais faces em um mesmo semiespaço, então o poliedro é convexo; caso contrário, é não convexo (ou côncavo). Observação: Um plano divide o espaço em dois semiespaços de mesma origem. 1.5 23.5
Poliedro convexo e poliedro não convexo Exemplos Poliedros convexos Poliedros não convexos 1.5 23.5
Relação de Euler V + F 2 = A número de vértices número de faces número de arestas 1.5 23.6
Relação de Euler Observe que a relação de Euler é válida para os poliedros abaixo. Poliedro V F A V + F V + F 2 8 6 12 14 12 6 6 10 12 10 6 5 9 11 9 1.5 23.6
Relação de Euler Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas nem sempre um poliedro que satisfaz essa relação é convexo. Observe: V = 24 F = 14 A = 36 24 + 14 2 = 36 não convexo 1.5 23.6
Exercício resolvido R1. Obter o número de arestas de um poliedro convexo que tem 6 faces e 8 vértices. Resolução Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros convexos, temos: V + F 2 = A A = 8 + 6 2 A = 12 Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas. 1.5 23.7
Exercício resolvido R2. Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces triangulares e 5 faces quadradas? Resolução Número de faces do poliedro: 4 + 5 = 9. As 4 faces triangulares têm 12 lados (4 3) e as 5 faces quadradas têm 20 lados (5 4). Então, o número de arestas é dado por: (12 + 20) : 2 = 16, pois a ligação de duas faces consecutivas se dá sempre por uma única aresta. Assim, o poliedro tem 16 arestas e 9 faces. Logo: V + 9 2 = 16 V = 9 Portanto, esse poliedro tem 9 vértices. 1.5 23.8
Exercício resolvido R3. Um poliedro euleriano (que atende à relação de Euler) de 7 vértices tem 5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e 2 vértices nos quais concorrem 5 arestas. Quantas arestas e quantas faces tem esse poliedro? Resolução 5 vértices com 4 arestas: (5 4) arestas = 20 arestas 2 vértices com 5 arestas: (2 5) arestas = 10 arestas 1.5 23.9
Exercício resolvido R3. Resolução Como cada aresta foi contada duas vezes (uma vez em cada vértice), temos: A = 20 + 10 = 15 2 Pela relação de Euler, obtemos: V + F = A + 2 7 + F = 15 + 2 F = 10 Logo, o poliedro tem 15 arestas e 10 faces. 1.5 23.9
Poliedros de Platão Um poliedro é chamado de poliedro de Platão se, e somente se: é convexo e, portanto, satisfaz a relação de Euler; todas as faces têm o mesmo número inteiro n de arestas; em todos os vértices concorre o mesmo número inteiro m de arestas. 1.5 23.10
Poliedros de Platão Exemplo a) Esse poliedro é de Platão, pois: todas as faces têm 4 arestas; em todos os vértices concorrem 3 arestas; ele é convexo, portanto a relação de Euler é válida (8 + 6 2 = 12). 1.5 23.10
Poliedros de Platão Exemplo b) Esse poliedro não é de Platão, pois, embora seja convexo e em todos os vértices concorra o mesmo número de arestas, nem todas as faces têm o mesmo número de arestas. Há faces quadrangulares, pentagonais e uma triangular. 1.5 23.10
As cinco classes de poliedros de Platão Classe Característica Exemplo 4 faces triangulares, e em Tetraedro Hexaedro Octaedro cada vértice concorrem 3 arestas 6 faces quadrangulares, e em cada vértice concorrem 3 arestas 8 faces triangulares, e em cada vértice concorrem 4 arestas 1.5 23.11
As cinco classes de poliedros de Platão Classe Característica Exemplo Dodecaedro Icosaedro 12 faces pentagonais, e em cada vértice concorrem 3 arestas 20 faces triangulares, e em cada vértice concorrem 5 arestas 1.5 23.11
Poliedros regulares Os poliedros regulares têm todas as faces poligonais regulares e congruentes entre si. Observações: Uma superfície poligonal plana é regular se o polígono que a compõe é regular; Um polígono é regular se tem todos os lados de mesma medida e todos os ângulos internos congruentes. pentágono regular 1.5 23.12
Poliedros regulares Veja a seguir os cinco poliedros regulares. tetraedro regular hexaedro regular (cubo) octaedro regular dodecaedro regular icosaedro regular 1.5 23.12
Planificação da superfície de um poliedro A superfície de um poliedro, que é formada por superfícies poligonais planas, pode ser projetada sobre um plano, de tal modo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos um lado em comum com outra face. Obtemos, assim, uma figura plana, que costuma ser chamada de molde do poliedro, planificação da superfície do poliedro ou, simplesmente, planificação do poliedro. As faces de um poliedro podem ser arranjadas de vários modos, desde que cada face esteja ligada a outra por pelo menos um de seus lados. 1.5 23.13
Planificação da superfície de um poliedro Exemplo 1.5 23.13
Exercício resolvido R4. Para o caso do cubo, há 11 diferentes planificações. Duas delas estão representadas abaixo; desenhar as outras 9 planificações. 1.5 23.14
Exercício resolvido R4. Resolução A resolução fica facilitada se usarmos uma malha quadriculada. Estas são as outras possibilidades: 1.5 23.14
Exercício resolvido R5. Desenhar duas planificações diferentes da superfície do tetraedro regular. Resolução ou 1.5 23.15
Exercício resolvido R6. Na planificação da superfície de um cubo, foi assinalado um ponto A. Marcar nessa planificação o ponto que coincidirá com A depois de o cubo ser montado. Resolução 1.5 23.16
Exercício resolvido R7. Qual é o número de vértices do sólido obtido ao dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura ao lado? Resolução O sólido obtido é um heptaedro, logo o número de faces é 7. Como há 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais, o número de arestas é: A = 5 4 + 2 5 = 15 2 Como vale a relação de Euler, temos: V = 15 7 + 2 ou V = 10 1.5 23.17
Prismas Vamos considerar dois planos paralelos, e, uma região poligonal P contida em e uma reta r que intercepta os planos e. Chama-se prisma o poliedro formado por todos os segmentos de reta paralelos a r tais que uma de suas extremidades é um ponto da região P e a outra extremidade é um ponto no plano. 1.5 23.18
Prismas Exemplos a) b) c) 1.5 23.18
Elementos de um prisma Considerando o prisma ao lado, temos: bases: são as regiões poligonais P e P', congruentes e situadas em planos paralelos ( e, respectivamente); faces laterais: as regiões poligonais AA BB, BB CC etc.; arestas das bases: os segmentos AB, BC,..., A B, B C etc.; arestas laterais: os segmentos AA, BB, CC etc.; altura do prisma: a distância h entre os planos das bases ( e ). 1.5 23.19
Classificação dos prismas 1 o critério Consideramos a inclinação da reta r em relação aos planos e que contêm as bases: se a reta r é perpendicular aos planos e prisma reto se a reta r não é perpendicular aos planos e prisma oblíquo prisma reto faces laterais são retângulos faces laterais são paralelogramos prisma oblíquo 1.5 23.20
Classificação dos prismas 2 o critério Consideramos o polígono que determina as bases: se esse polígono é um triângulo prisma triangular se é um pentágono prisma pentagonal, e assim por diante. se é um quadrilátero prisma quadrangular 1.5 23.20
Prisma regular Um prisma é regular se, e somente se, é reto e suas bases são superfícies poligonais regulares. Exemplos Este prisma é regular, pois ele é reto e as suas bases são quadradas. Este prisma não é regular, pois as suas bases não são polígonos regulares. 1.5 23.21
Paralelepípedo Entre os prismas quadrangulares, aqueles que têm bases em forma de paralelogramos são chamados de paralelepípedos. Esses prismas podem ser retos ou oblíquos. Exemplos Paralelepípedo oblíquo Paralelepípedo reto-retângulo ou bloco retangular cubo 1.5 23.22
Medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujas extremidades são vértices desse paralelepípedo que não pertencem a uma mesma face. d = 1.5 23.23
Medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo d = 1.5 23.23
Exercício resolvido R8. Calcule a medida da diagonal do paralelepípedo ao lado. Resolução Sabemos que: d = Substituindo a, b e c, respectivamente, por 3, 4 e 5, temos: d = = = d = Logo, a diagonal mede cm. 1.5 23.24
Exercício resolvido R9. Calcule a medida da aresta de um cubo cuja diagonal excede em cm a diagonal da base. Resolução Sendo d a medida da diagonal do cubo e f a medida da diagonal da base, temos, pelos dados do problema: d = f + d f = Também temos: 1.5 23.25
Exercício resolvido R9. Resolução Por se tratar de um cubo, sabemos que: d = Assim: d f = Portanto: = cm 1.5 23.25
Representações planas de prismas Observe, a seguir, a planificação da superfície de um prisma. Por meio dela, identificamos muitas características desse prisma. Veja: tem 7 faces, já que a planificação de sua superfície apresenta 7 regiões poligonais; 1.5 23.26
Representações planas de prismas tem bases pentagonais, pois faces pentagonais não podem ser faces laterais de um prisma, que devem ser necessariamente quadriláteros; tem 5 faces laterais (ou faces retangulares), já que as pentagonais são bases; tem 10 vértices, uma vez que cada base contém metade dos vértices do prisma; é um prisma reto, pois suas faces laterais são retangulares; tem altura igual ao comprimento de uma aresta lateral, já que é reto. 1.5 23.26
Área da superfície de um prisma Área da base (A base ): área da face que é base; Área lateral (A lateral ): soma das áreas das faces laterais; Área total (A total ): soma da área lateral com as áreas das duas bases, ou seja: A total = A lateral + 2 A base 1.5 23.27
Exercício resolvido R10. Calcular a área total da superfície de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c (medidas dadas em uma mesma unidade). Resolução Nesse caso, quaisquer pares de faces paralelas podem ser as bases do prisma. Assim, a área total é a soma das áreas de seis retângulos congruentes dois a dois: A total = 2ab + 2ac + 2bc A total = 2(ab + ac + bc) 1.5 23.28
Exercício resolvido R11. Calcular a área total da superfície de um cubo de aresta a. Resolução Como o cubo é um paralelepípedo reto-retângulo de arestas congruentes, temos: A total = 2(a a + a a + a a) A total = 6a 2 1.5 23.29
Exercício resolvido R12. Calcular a área total da superfície do prisma hexagonal regular abaixo. 1.5 23.30
Exercício resolvido R12. Resolução Como vimos, um prisma regular é um prisma reto e, portanto, suas faces laterais são retangulares e congruentes, de dimensões a e h. Assim, a área lateral é dada por: A lateral = 6 a h A base do prisma é uma região hexagonal regular de lado a. Sabemos que um hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero de lado l é dada por: A = 1.5 23.30
Exercício resolvido R12. Resolução Assim, a área de um hexágono regular de lado l é: A = Portanto, a área da base do prisma é dada por: A base = Logo, a área total da superfície desse prisma hexagonal é: A total = A lateral + 2 A base = 6ah + 2 A total = 3a(2h + a ) 1.5 23.30
Exercício resolvido R13. Determinar a área total da superfície de um prisma triangular reto, de altura 12 cm, sabendo que as arestas da base formam um triângulo retângulo de catetos que medem 6 cm e 8 cm. Resolução O prisma tem base triangular. Assim: A base = = 24 1.5 23.31
Exercício resolvido R13. Resolução A área lateral é dada pela soma das áreas das faces retangulares que compõem a superfície lateral. Calculando a medida da hipotenusa do triângulo retângulo da base, temos: x 2 = 6 2 + 8 2 x = 10 Portanto: A lateral = 6 12 + 8 12 + 10 12 = 288 Logo, a área total é dada por: A total = A lateral + 2 A base A total = 288 + 2 24 = 336 Portanto, a área total da superfície do prisma é de 336 cm 2. 1.5 23.31
Exercício resolvido R14. Determinar a área total da superfície do prisma oblíquo de base quadrada representado ao lado, sabendo que as faces laterais são congruentes. Resolução O prisma tem base quadrada. Assim: A base = 10 2 A base = 100 Para calcular a área de uma das faces laterais, vamos obter a altura h. 1.5 23.32
Exercício resolvido R14. Resolução sen 60º = Assim: A lateral = 4 (10 15 ) = 600 área do paralelogramo Logo: A total = A lateral + 2 A base A total = 600 + 2 100 A total = 200 (1 + 3 ) Portanto, a área total da superfície do prisma é 200 (1 + 3 )cm 2. 1.5 23.32
Volume de um prisma O volume de um prisma corresponde a um único número real V positivo obtido pela comparação da porção do espaço ocupado pelo prisma com a porção do espaço ocupado por uma unidade de medida de volume. A unidade de medida de volume que usualmente consideramos é o volume de um cubo unitário (aresta 1 u), sendo u certa unidade de comprimento. O volume desse cubo unitário é 1 u 3. Se a aresta do cubo unitário mede 1 m V = 1 m 3 Se a aresta do cubo unitário mede 1 mm V = 1 mm 3 1.5 23.33
Volume de um prisma Exemplo Vamos calcular quantas vezes o cubo unitário de aresta 1 cm cabe em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 4 cm, 2 cm e 3 cm. 1.5 23.34
Volume de um prisma Exemplo Analisando a figura, observamos que o paralelepípedo é formado por 4 2 = 8 cubos unitários na base e tem 3 camadas iguais à camada da base. Logo, tem 3 8 = 24 cubos unitários no total. Portanto, o paralelepípedo é formado por 4 2 3 = 24 cubos de 1 cm 3 de volume. Dizemos, então, que o volume dele é 24 cm 3. 1.5 23.34
Volume de um paralelepípedo reto-retângulo V paralelepípedo = a b c V cubo = a 3 1.5 23.35
Secção transversal de um prisma Um plano intercepta um sólido através de uma superfície chamada de secção plana. Quando a secção plana é paralela à base do prisma, ela é denominada secção transversal. 1.5 23.36
Princípio de Cavalieri Dois sólidos, S 1 e S 2, apoiados num plano e contidos num mesmo semiespaço, terão o mesmo volume V se todo plano, paralelo a, secciona os dois sólidos de modo que as secções sejam regiões planas de mesma área (A). 1.5 23.37
Princípio de Cavalieri Exemplo Sobre uma mesa, formamos uma pilha com certa quantidade de cartões retangulares idênticos. A seguir, modificamos a forma da pilha sem retirar nem pôr cartão algum. Veja a ilustração de uma possível situação desse tipo. 1.5 23.37
Princípio de Cavalieri Exemplo Observando as pilhas, é possível notar que: a altura das duas pilhas é a mesma, pois têm a mesma quantidade de cartões idênticos; os cartões das duas pilhas ficam à mesma altura da mesa e têm a mesma área, pois são idênticos; a segunda pilha tem o mesmo volume da primeira, já que é formada pelos mesmos cartões e, portanto, ocupa a mesma porção do espaço. 1.5 23.37
Volume de um prisma qualquer V prisma = área da base x altura 1.5 23.38
Exercício resolvido R15. Deseja-se cimentar um quintal de formato quadrado, com lados medindo 8 m, com 4 cm de espessura de massa de cimento. Qual é o volume necessário de massa para revestir essa área? Resolução A camada de cimento terá a forma de um paralelepípedo reto-retângulo de base quadrada, com 8 m de aresta e altura de 4 cm. Como a espessura do revestimento é de 4 cm ou 0,04 m, o volume de massa é dado por: V = 8 8 0,04 V = 64 0,04 V = 2,56 Logo, são necessários 2,56 m 3 de massa para o revestimento. 1.5 23.39
Exercício resolvido R16. Calcular o volume de ar contido em uma casa que tem a forma do prisma a seguir. 1.5 23.40
Exercício resolvido R16. Resolução Vamos decompor a figura da casa em dois prismas. 1.) Prisma reto-retângulo V 1 = A base altura V 1 = 4 5 3 V 1 = 60 1.5 23.40
Exercício resolvido R16. Resolução 2.) Prisma reto de base triangular V 2 = A base altura V 2 = 5 V 2 = 10 Logo, o volume total de ar contido na casa é dado por V 1 + V 2, ou seja, 70 m 3. 1.5 23.40
Exercício resolvido R17. Um reservatório de água tem a forma do prisma hexagonal regular da figura ao lado e está cheio. Se forem consumidos 3.000 litros, quanto baixará, em metro, o nível da água desse reservatório? Resolução Vamos representar por x, em metro, quanto baixará o nível da água no reservatório, se forem consumidos os litros indicados. Os 3.000 litros consumidos ocupam o volume de um prisma hexagonal regular de mesma base do prisma da figura e altura de x metro. 1.5 23.41
Exercício resolvido R17. Resolução A base do prisma é uma região hexagonal regular de lado 2 m, cuja área é dada por: A base = A base = A base = 6 Com esse dado, podemos calcular o volume da parte do prisma correspondente aos 3.000 litros: V = A base x = 6 x 1.5 23.41
Exercício resolvido R17. Resolução Como 3.000 litros = 3 m 3, temos: 6 x = 3 x = 0,5 Portanto, o nível da água baixará 0,5 metro. 1.5 23.41
Pirâmides Vamos considerar um plano, uma região poligonal convexa S contida em e um ponto V fora de. Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os segmentos de reta cujas extremidades são o ponto V e um ponto da região S. 1.5 23.42
Elementos de uma pirâmide Considerando a pirâmide desenhada ao lado, temos: base: a região poligonal S; vértice da pirâmide: o ponto V; faces laterais: as superfícies triangulares AVB, BVC,..., NVA; arestas da base: os segmentos AB, BC,..., NA; arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC,..., VN; altura da pirâmide: a distância h entre o vértice V e o plano. 1.5 23.43
Classificação das pirâmides Consideramos o número de arestas da base: se a base tem 3 arestas pirâmide triangular se a base tem 4 arestas pirâmide quadrangular se a base tem 5 arestas pirâmide pentagonal, e assim por diante. 1.5 23.44
Representações planas de pirâmides Até aqui, representamos pirâmides em perspectiva, como a ilustrada abaixo. 1.5 23.45
Representações planas de pirâmides Como os demais poliedros, uma pirâmide também pode ser representada por meio de planificações de sua superfície. Em um plano, é possível justapor as faces de uma pirâmide de diferentes modos, desde que cada uma das faces tenha pelo menos uma aresta em comum com outra. Observe: ou 1.5 23.45
Pirâmide regular Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal regular e cuja projeção ortogonal P do vértice sobre o plano da base coincide com o centro O do polígono de base é chamada de pirâmide regular. 1.5 23.46
Pirâmide regular Observações: O centro de um polígono regular coincide com o centro da circunferência circunscrita a esse polígono. As faces de uma pirâmide regular são determinadas por triângulos isósceles congruentes. Um importante exemplo desse tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular. 1.5 23.46
Elementos das pirâmides regulares 1.5 23.47
Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular 1.5 23.48
Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular 1.5 23.48
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares Base Figura Relação Triângulo equilátero ou 1.5 23.49
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares Base Figura Relação Quadrado ou 1.5 23.49
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares Base Figura Relação Hexágono regular ou 1.5 23.49
Exercício resolvido R18. Um tetraedro regular tem arestas medindo 10 cm. Calcular a medida do apótema da pirâmide (g), a medida do apótema da base (m) e a altura da pirâmide (h). Resolução No ΔDMA, temos: Como a base é uma superfície triângular equilátera, vem: 1.5 23.50
Exercício resolvido R18. Resolução Agora, no ΔDMO, temos: Portanto, as medidas são: cm, cm e cm 1.5 23.50
Área da superfície de uma pirâmide Área da base (A base ): área da superfície poligonal que forma a base; Área lateral (A lateral ): soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares); Área total (A total ): soma da área lateral com a área da base, ou seja: A total = A lateral + A base 1.5 23.51
Área da superfície de uma pirâmide Observação: Se a pirâmide for um tetraedro regular, sua área total, em função da medida l da aresta, será dada por: A total = 1.5 23.51
Exercício resolvido R19. Determinar a área da superfície de uma pirâmide regular hexagonal sabendo que a aresta da base mede l e a aresta lateral mede a. Resolução A base da pirâmide é uma superfície hexagonal regular de lado l. Portanto, a área da base é dada por: A base = 1.5 23.52
Exercício resolvido R19. Resolução Como a pirâmide é regular, as faces laterais são formadas por triângulos isósceles e congruentes, que nesse caso têm base l e altura g. No triângulo retângulo VMB, temos: Dessa forma: A lateral = 1.5 23.52
Exercício resolvido R19. Resolução Portanto: A total = A lateral + A base = = Logo, a área da superfície da pirâmide regular hexagonal é: A total = 1.5 23.52
Propriedades das pirâmides 1 a propriedade: A razão entre a área S de uma secção transversal de uma pirâmide feita a uma altura h em relação ao vértice e a área S da base dessa pirâmide de altura h é: 2 a propriedade: Se duas pirâmides têm mesma altura e mesma área de base, elas têm o mesmo volume. 1.5 23.53
Volume de uma pirâmide de base triangular V pirâmide triangular = 1.5 23.54
Volume de uma pirâmide qualquer V pirâmide = área da base x altura 1.5 23.55
Exercício resolvido R20. Calcular o volume do octaedro regular de aresta a. Resolução Observe que o sólido é formado por duas pirâmides quadrangulares regulares cuja área da base é A base = a 2. OB é igual à metade da medida da diagonal do quadrado da base. Portanto: OB = 1.5 23.56
Exercício resolvido R20. Resolução No triângulo retângulo BOE, temos: Logo, o volume do octaedro é: V octaedro = 2 = 2 1.5 23.56
Exercício resolvido R21. Calcular o volume do tetraedro regular de aresta a. Resolução A área da base é a área de uma superfície triangular equilátera de lado a. Logo: A base = A altura h é tal que: Assim: V tetraedro = V tetraedro = V tetraedro = 1.5 23.57
Exercício resolvido R22. Determinar o volume de uma pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral mede 20 cm. Resolução Primeiro, vamos calcular a medida g do apótema da pirâmide. 1.5 23.58
Exercício resolvido R22. Resolução Agora, vamos determinar a medida m do apótema da base. Como a base é um hexágono regular, temos: Cálculo da altura h da pirâmide: 1.5 23.58
Exercício resolvido R22. Resolução Cálculo da área da base: A base = A base = Cálculo do volume da pirâmide: V pirâmide = V pirâmide = V pirâmide = Portanto, o volume da pirâmide é cm 3. 1.5 23.58
Tronco de pirâmide Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e base contida em um plano. 1.5 23.59
Tronco de pirâmide Seccionando essa pirâmide com um plano, paralelo a, essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o vértice V, que é uma nova pirâmide de altura h e base contida no plano, e o que contém a base da pirâmide maior, denominado tronco de pirâmide, de bases paralelas. 1.5 23.59
Elementos de um tronco de pirâmide Considerando o tronco de pirâmide da figura ao lado, temos: base maior: superfície poligonal ABCDEF; base menor: superfície poligonal A B C D E F ; faces laterais: superfícies trapezoidais AA B B, BB C C etc.; altura do tronco (h t ): distância entre a base maior e a base menor (h t = H h). 1.5 23.60
Tronco de pirâmide regular No tronco obtido de uma pirâmide regular, observamos que: as bases são superfícies poligonais regulares semelhantes; as faces laterais são superfícies trapezoidais isósceles e congruentes; a altura de uma face lateral é o apótema do tronco (de medida p). 1.5 23.61
Área da superfície de um tronco de pirâmide Área da base menor (A b ): área da superfície poligonal que forma a base menor (A B C D E F ). Área da base maior (A B ): área da superfície poligonal que forma a base maior (ABCDEF). Área lateral (A lateral ): soma das áreas dos trapézios laterais (A ABB, B BCC, C CDD, D DEE, E EFF e F FAA ). 1.5 23.62
Área da superfície de um tronco de pirâmide Área total (A total ): soma da área lateral com as áreas das bases menor e maior, ou seja: A total = A lateral + A b + A B 1.5 23.62
Razão de semelhança =... = Observação: Em geral, usa-se a letra k para representar a razão de semelhança entre dois segmentos. 1.5 23.63
Volume de um tronco de pirâmide V tronco = V VABCDE V VA B C D E ou V tronco = Observação: Essa fórmula também é válida para pirâmides oblíquas. 1.5 23.64
Exercício resolvido R23. Um tronco de pirâmide reta tem bases quadradas de lados 4 cm e 10 cm e altura de 6 cm. Calcular as áreas das bases e o volume do tronco. Resolução A B = 10 2 = 100 Logo: A B = 100 cm 2 A b = 4 2 = 16 Logo: A b = 16 cm 2 V tronco = V tronco = 2(100 + 40 + 16) = 312 Logo, o volume do tronco é 312 cm 3. 1.5 23.65
Exercício resolvido R24. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm 3 de volume. Calcular o volume v da pirâmide obtida pela secção feita por um plano paralelo à base e à altura de 2 cm. Resolução Se duas pirâmides de alturas h e H são semelhantes na razão k, então a razão entre seus volumes é: Logo, o volume da nova pirâmide é 8 cm 3. 1.5 23.66
Exercício resolvido R25. Um tronco de pirâmide regular tem a aresta lateral medindo dm e bases quadradas cujos lados medem 4 dm e 10 dm. Calcular a área de cada base, a área lateral e o volume do tronco. Resolução Cálculo da área de cada base: A b = 4 2 = 16; logo: A b = 16 dm 2 A B = 10 2 = 100; logo: A B = 100 dm 2 1.5 23.67
Exercício resolvido R25. Resolução Cálculo da área lateral: Para calcular a área lateral, precisamos da medida de M M indicada na figura. Vamos destacar a face lateral BB C C. Pela figura ao lado, temos: A área de cada face lateral (trapézio BB C C) é: A BB C C = 1.5 23.67
Exercício resolvido R25. Resolução A área lateral do tronco de pirâmide é: A lateral = 4 35 A lateral = 140; logo: A lateral = 140 dm 2 Cálculo do volume do tronco: Para calcular o volume, precisamos determinar a altura do tronco de pirâmide. Observe o trapézio O M MO destacado: Pela figura, temos: 2 h t + 3 2 = 5 2 h t = 4 1.5 23.67
Exercício resolvido R25. Resolução Portanto: V tronco = V tronco = V tronco = 208 Logo, o volume do tronco é 208 dm 3. 1.5 23.67