Introdução à Astrofísica INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA LIÇÃO 12: A RELATIVIDADE RESTRITA Lição 11 A Relatividade Restrita
Com as leis de Maxwell para o eletromagnetismo, percebeu-se que que as equações não obedeciam ao princípio de relatividade Newtoniano, ou seja, as equações não eram invariantes sobre as chamadas transformações de Galileu (essas transformações analisam as mudanças de coordenadas entre dois objetos que se movem relativamente um ao outro). O problema é que as equações de Maxwell previam a existência de ondas eletromagnéticas com velocidade c. Com base nisso, os físicos postularam a existência do éter, que seria o meio no qual a luz, como uma onda, se propagava. Vários experimentos tentaram medir as variações da velocidade da luz nesse éter. O mais famoso e mais preciso desses experimentos foi o de Michelson e Morley.
Porém, o experimento de Michelson e Morley não detectou qualquer presença de um éter. A partir disso Einstein (que até então era um simples funcionário de um escritório de patentes) formulou suas ideias admitindo que o éter não era necessário, contanto que dois postulados fossem satisfeitos: 1 : As leis da físicas podem ser escritas da mesma forma em todos os sistemas de referenciais inerciais. 2 : A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais.
As coordenadas ao lado representam dois sistemas em movimento relativo. Os eixos dos sistemas são paralelos em todo o tempo e as origens coincidem em t = t = 0. A transformação deve ser linear em coordenadas. Note que y = y, z = z, mas x = vt. Então, podemos escrever: x = γ(x vt) Onde γ é uma constante que depende da velocidade. Para o tempo, teremos: t = mt nx
Supondo que um pulso de luz é emitido em t = 0 a partir da origem, o mesmo ocorre em t = 0 em S. Seja r e r coordenadas perpendiculares à direção do movimento, r = z 2 + y 2 1/2. Já que a velocidade da luz, c, é constante, a distância viajada pelo pulso será a mesma em ambos os sistemas. No tempo t, o pulso de luz terá alcançado a superfície de uma esfera de raio ct no sistema S e raio ct em S. Assim: x 2 + r 2 = t 2 E da mesma forma: x 2 + r 2 = c²t ² Ou então: t 2 x 2 = r 2 t 2 x 2 = r 2 Uma vez que coordenadas perpendiculares (y, z) não são afetadas por movimentos nas direções x, r e r devem ser iguais independente do tempo. Então: t 2 x 2 = t 2 x ² Substituindo x = γ(x vt) e t = mt nx na equação acima: m 2 v 2 γ 2 t 2 + 2 vγ 2 mn tx γ 2 n 2 x 2 = t 2 x²
Os coeficientes devem ser, portanto: m 2 v 2 γ 2 = vγ 2 mn = 0 γ 2 n 2 = 1 Temos três equações para três variáveis, então: γ 2 = 1 + n 2 m 3 v 2 1 + n 2 = m 2 v2 (1 + c2 n 2 ) = 1 m 2 = 1 + v2 1 + c2 n 2 = 1 + v2 + v²n² m 2 v 2 n 2 = 1 + v2 v 1 + n 2 mn = 0 nm n 2 v = v n m vn = v n = v m vn 1
Isso implica em: m vn m + vn = 1 + v2 m + vn = m vn + 2vn = m vn + 2v v 1 m vn m vn = m vn + 2 v2 m vn 1 m vn + 2 v2 m vn 1 = 1 + v2 m vn 2 + 2 v2 = 1 + v2 m vn 2 = 1 v2
Essas soluções devem valer no limite galileano, quando positiva da equação acima: m vn = 1 v2 1/2 v/c tende a zero. Assim, tomamos a raiz Da equação γ 2 n 2 = 1 temos: n = v 1 v2 γ 2 = 1 + n 2 = 1 + v2 c 4 1/2 1 v2 1 = 1 v2 γ = 1 v2 1 1/2
Da equação m 2 v 2 γ 2 = c² temos: m 2 v2 γ2 = 1 m 2 = 1 + v2 γ2 = 1 v2 = γ² Então, as transformações de Lorentz para x e t são: x x vt = 1 v2 1/2 t t = 1 v2 1/2 vx/c² 1 v2 1/2 t t vx/c² = 1 v2 1/2 1
Assim, as transformações de Lorentz são: x = γ x vt y = y z = z t = γ t vx
Considere uma vara de comprimento L 0 em repouso no sistema S, orientada em x. Como S se move em relação a S, qual o comprimento da varinha em S? Temos que: Δx = γ Δx vδt Δy = Δy Δz = Δz Δt = γ Δt v Δx Sendo Δx = L 0. Para determinar seu comprimento em S, observamos os extremos no mesmo tempo em S. Isso significa que Δt = 0, então: Δx = L S = L 0 γ Para o tempo, temos que Δt = γ(δt + vδx /c²). Consideremos um relógio fixo no sistema de referência S. Dois eventos nesse sistema são separados por Δt = t 2 t 1. Uma vez que o relógio é fixo em S, Δx = 0 e assim: Δt = γδt γδt 0
Na transformação Galileana a adição de velocidade é simples. No caso de transformações de Lorentz as coisas são um pouco diferentes. Considere dois sistemas S e S. Suponha que uma partícula em S tem velocidade u = (u x, u y, u z ). Qual a velocidade u em S? Assumindo que a partícula se move de maneira uniforme: u = u x, u y, u z = Δx Δt, Δy Δt, Δz Δt Teremos: u = u x, u y, u z = Δx Δt, Δy Δt, Δz Δt u x = γ Δx vδt γ Δt vδx
u y = Δx = Δt v vδx 1 Δt Δy γ Δt vδx = = u z = = u x v 1 u x v γ u y γ 1 u x v u z γ 1 u x v Δy Δt vδx 1 Δt
Para fixar um pouco melhor os conceitos, vamos analisar o seguinte caso. Seja um evento e. As coordenadas desse evento serão dadas por 3 coordenadas espaciais e uma temporal: e(x, y, z, t) Quando dois eventos ocorrem no mesmo lugar em um referencial inercial, o intervalo de tempo Δt 0 entre os eventos é chamado de intervalo de tempo próprio. Um observador situado em outro referencial que se move em relação ao primeiro, mede sempre um intervalo de tempo maior que o intervalo de tempo próprio. Se o observador se move com velocidade relativa v, então:
Para o evento 1 (Maria, que está a bordo de um trem e dispara um feixe de luz para cima), o tempo que a luz demora a retornar é: Δt 0 = 2D c Para o evento do João, que está na plataforma vendo Maria passar por ele, o feixe de luz percorre um caminho diferente: Δt = 2L c L = 2 1 2 vδt + D 2 = 2 1 2 vδt E combinando essaequação com a anterior: + 1 2 cδt 0 2 Sendo v/c = β Δt = Δt 0 2 1 v c é o parâmetro de velocidade e definindo γ = 1/ 1 β 2 (fator de Lorentz), temos: Δt = γδt 0 Que é a dilatação do tempo.
Todos nós estamos acostumados com o efeito Doppler, embora nem todos sabemos o que é esse efeito. Esse efeito surge, por exemplo, quando uma ambulância passa por você com a sirene ligada. A medida que a ambulância se aproxima, o som da sirene vai ficando cada vez mais agudo. Quando a ambulância se afasta o som se torna mais grave e menos infernal. Isso ocorre devida à mudança, aparente, de frequência da onda sonora que chega até você. Porém, podemos extrapolar o efeito Doppler (ou a variação de frequência de uma onda) para o caso das ondas luminosas.
Suponha que tenhamos uma fonte de luz emitindo radiação com comprimento de onda λ 0. Considere um observador em S, relativo ao qual a fonte está em movimento com velocidade radial u r. Seja o tempo entre dois pulsos sucessivos no referencial onde a fonte esta em repouso Δt. A distância que estes dois pulsos tem de viajar para alcançar S difere por u r Δt. Já que os pulsos viajam a velocidade c, eles chegam em S com uma diferença de tempo: Δt = Δt Δt + u r c Δt Δt 1 + u r c v 0 = 1 Δt v = 1 Δt λ = cδt λ 0 = cδt λ λ 0 = 1 + v r c
Considerando o efeito Doppler relativístico. Já que S está em movimento com respeito a S, o intervalo entre os pulsos de acordo com S é γδt, devido a dilatação do tempo. Assim: Δt = γδt + u r γ Δt c λ = γ 1 + u r λ 0 c Se a velocidade é puramente radial, u r = v: = 1 + u r c 1 + v2 1/2 λ λ 0 = 1 + v c 1 + v2 1/2 = 1 + v c 1 v c 1/2
Contudo, existe um desvio Doppler mesmo se u r = 0. Se u r = 0 (podemos imaginar que S está em órbita circular em torno de S): λ 1 = λ 0 1 v2 1/2 Esse é o efeito Doppler transverso, e é um efeito relativístico devido a dilatação do tempo em fontes que se movem.
A RELAÇÃO ENTRE ENERGIA E MASSA Na mecânica clássica, definimos a força como: d p F = dt Onde p é o momento linear. Considere uma colisão perfeitamente inelástica (os corpos ficam grudados) dos pontos de vista dos sistemas S e S. Uma das partículas está em repouso no sistema S e a outra tem velocidade u antes da colisão. Após a colisão as partículas juntas possuem velocidade U. Vamos assumir que S seja o referencial do centro de massa do sistema. Nesse referencial uma massa M(0) está em repouso depois da colisão. Da conservação de massa: m u + m 0 = M U E a partir da conservação de momento: m u u M U U = 0 Ou ainda Escrevendo a lei da transformação de velocidade: m u u m u + m 0 U = 0 m u = m 0 u x = U u U u x v 1 u x v
Para um sistema S se movendo com velocidade v. Para um observador em S o sistema S esta se movendo com velocidade v. Assim: Aqui, u x = v e v = U, enquanto u x = u Temos então: u x = u x + v 1 + u x v Resolvendo essa equação para U em termos de u, obtemos: u = 2U 1 + U2 U 2 2c2 u U + = 0 Que possui raízes: U = c2 u ± c2 u c2 1 2 Substituindo esse resultado em m(u): U = c2 u 1 ± 1 u2 1/2 m 0 = γ 1 m = 1 u2 A massa, então, depende da velocidade. Aqui, m(0) é a massa de repouso. 1/2 m
Essa equação implica que fótons não possuem massa de repouso zero. Esse é o motivo pelo qual fótons movem-se à velocidade da luz. Assumindo que u/c é pequeno, podemos expandir nossa equação: m u = γm 0 = m 0 1 u2 = m 0 + 1 2 m u 2 0 + Multiplicando ambos os lados da equação por c²: 1/2 m = m 0 + 1 2 m 0u 2 + Note que do lado direito temos a energia cinética somada a uma constante. Suponha que tenhamos duas partículas com massas de repouso m 0 1 e m 0 2 que colidem. Suas velocidades iniciais são v f1 e v f2. Pela conservação de massa relativística: m 01 γ v i1 + m 02 γ v i2 = m 01 γ v f1 + m 02 γ v f2
No limite newtoniano (v/c 1) podemos expandir γ: v i1 2 m 01 1 + 1 2 + m 02 1 + 1 2 = m 01 1 + 1 2 + m 02 1 + 1 2 Multiplicando por c² e subtraindo os termos constantes: 1 2 m 0 1 v 2 i1 + 1 2 m 0 2 v 2 i2 = 1 2 m 0 1 v 2 f1 + 1 2 m 2 0 2 v f2 Que é a conservação de energia. Definimos a energia cinética de uma partícula como: K = m m 0 = m 0 γ 1 Para u/c 1 essa equação se reduz a: v i2 2 k = 1 2 m 0u² 2 v f1 2 v f2
O momentum relativistico é: p = mu = γm 0 u Classicamente, energia e momentum são relacionadas por: E = 1 2 mv2 = p2 2m A relação relativistica será: E 2 = m 0 2 + p Podemos ter partículas com massa zero (de repouso) e com energia e momentum não-nulos. Essas partículas seguem a relação: E = pc Para obtermos o momentum não-nulo, o momento relativistico deve convergir para um valor finito quando m 0 0. Assim, todas as partículas sem massa viajam na velocidade da luz. O momentum relativistico é: m 0 u p = γm 0 u = 1 u2 1/2
Para escapar de um campo gravitacional, um fóton deve realizar trabalho. O trabalho por unidade de massa é: GM Assim, a massa inercial do fóton é: A perda de energia é: R r 2 dr = GM R m = hν 0 ΔE = GM hν R Escrevendo a frequência observada no infinito como ν 0 : hν e hν 0 = GM hν 0 R ou ν e ν 0 ν 0 = GM R
É conveniente definir o redshift por: = z = λ 0 λ e λ e c ν 0 c ν e c ν e = ν e c c ν 0 c ν e = ν e 1 = ν e ν 0 ν 0 ν 0 Assim, o redshift gravitacional é: z = GM R
De maneira equivalente, uma vez que podemos interpretar átomos que emitem luz como relógios, podemos entender o redshift gravitacional como uma dilatação gravitacional do tempo: relógios se atrasam em um campo gravitacional: Δt r Δt = 1 GM r
O CONE DE LUZ As coordenadas do espaço-tempo são misturadas para diferentes observadores. A quantidade fundamental no espaço-tempo é o evento. O evento é especificado por quatro quantidades: e x, y, z, t Um evento O, ocorrendo na origem de um sistema de coordenadas, tem sua frente de onda viajando com velocidade c. após um tempo t o evento irá alcançar uma distância ct da origem. O diagrama desse evento é dado pelo cone de luz.
Se enviamos um pulso de luz da origem de um sistema de coordenadas em t = 0, sua distância a partir da origem é ct: t 2 x 2 y 2 z 2 = 0 Se consideramos dois eventos que são conectados por um raio de luz, então: Δt 2 Δx 2 Δy 2 Δz 2 = 0 Aplicando a transformação de Lorentz, vemos que: Δt 2 Δx 2 Δy 2 Δz 2 = Δt 2 Δx 2 Δy 2 Δz 2 Ou seja, o intervalo Δs 2 = Δt 2 Δx 2 Δy 2 Δz 2 entre dois eventos é invariante. Qualquer conjunto de quatro quantidades que seguem as transformações de Lorentz é denominado quadrivetor.