PROBABILIDADE Aula 3 Arranjo, Permutação e Análise Combinatória Fernando Arbache
Princípio fundamental da contagem
Exemplo: Uma menina quer sair com o namorado. Ela quer saber de quantas maneiras diferentes ela pode se vestir. a. Se ela dispõe de 3 calças e 2 camisas b. Para se calçar ela possui 3 sapatos e 2 sandálias
a. Se ela dispõe de 3 calças e 2 camisas 3 x 2 = 6 calça e blusa a. Para se calçar ela possui 3 sapatos e duas sandálias + + + + = 5 Sapato ou sandália
Exemplo: Considerando 3 cidades e analisando suas estradas temos: 1 4 A B C 2 a. De A até C 3 b. De A até C e depois voltar para A c. De A até C e depois voltar para A sem repetir o caminho 5
Exemplo: Dispondo de 4 cores para colorir um mapa, compostos pelos países P, Q, R, S, de modo que países, cuja fronteira é uma linha, não poderão ser pintadas da mesma cor. Quantas maneiras é possível colorir o mapa? P Q R S
Exemplo: A escrita braile é um sistema no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em formato retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Qual o número total de caracteres que podem ser representado no sistema braile?
Exemplo: O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos, com uma vaga. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato, um número, colocando em ordem crescente. Os números serão impares no total de 5, ou seja, 1, 3, 5, 7 e 9. Qual a posição do número 75913
Introdução à Análise Combinatória
Análise Combinatória possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto. Ex.: Quantas maneiras consegue-se organizar a palavra lua lua, lau, alu, aul, ual, ula 6 formas diferentes
ARRANJOS, PERMUTAÇÕES ou COMBINAÇÕES, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples ou com repetição.
Permutação
A ordem importa? Se sim, se faz outra pergunta, VAI USAR TODOS OS ELEMENTOS DA AMOSTRA? Se sim temos a PERMUTAÇÃO Se não temos o ARRANJO
Então podemos concluir que: A d i f e r e n ç a e n t r e a Permutação e o Arranjo, é que no Arranjo, será sempre um p<m na permutação será p=m
Quantos algarismos de três números distintos pode ser formados com os números: {1, 2, 3, 4, 5} 5 4 3 2 1
Quantos algarismos de três números distintos pode ser formados com os números: {1, 2, 3, 4, 5} Pelo princípio da contagem teremos: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Permutação simples, sem repetição: São agrupamentos com todos os m elementos distintos. P s (m) = m! Portanto a Permutação é o próprio fatorial
Exemplo: Seja C={A,B,C}, quantas combinações são possíveis, sem que haja repetição. m = 3 P s (m) = m! P s (3) = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 P s = {ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Considerando a palavra contagem, determine: a. Quantos anagramas pode ser feito; b. Quantos anagramas começam com a palavra CON c. Quantos anagramas tem as letras CON juntas nesta ordem d. Quantos anagramas tem a letras C, O e N juntas?
Permutação com repetição: Considere a palavra OVO, quantos anagramas diferentes podem ser feitos? 3 x 2 x 1 = 6
Permutação com repetição: Porém a letra O repete duas vezes, e terei que compensar este problema, portanto: P 3 = 3 x 2 x 1 = 6 (da palavra ovo) P 2 = 2 x 1 = 2 (da letra O) Portanto teremos: P 3,2 = 3! = 3 2!
Exemplo: Determinar quantos anagramas são possíveis nas palavras: a. ASSESSOR b. MATEMÁTICA Exemplo: Um bairro é formado por 12 quarteirões. Quer sair de um ponto P para o Q seguindo o menor caminho. Quantos caminhos diferentes poderão ser feitos?.q.p
Arranjo e Combinação
A ordem importa? Arranjo A ordem não importa? Combinação
Arranjo
Exemplo: Quantos algarismos de três números distintos pode ser formados com os números: {1, 2, 3, 4, 5} 5 4 3
Quantos números três algarismos distintos pode ser formados com os números: {1, 2, 3, 4, 5} 5 x 4 x 3 = 60 Mas não seria um fatorial?
Quantos números três algarismos distintos pode ser formados com os números: {1, 2, 3, 4, 5} 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 60 2 x 1
Quantos números três algarismos distintos pode ser formados com os números: {1, 2, 3, 4, 5} A n,p = n! = 60 (n-p)!
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}. Quantas conjuntos são possíveis agrupando dois a dois, sem repetição? m = 4 e p = 2 A s = (m,p) = m!/(m-p)! A s = (4,2) = 4!/(4-2)! = 12 As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD, DA,DB,DC}
Exercícios: 1. Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita. R.: 210
Exercícios: 2. Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8. 2 8 R.: 20.160
Exercícios: 3. Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos, onde bolas retiradas não são recolocadas na urna. R.: 151.200
Exercícios: 4. Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família. R.: 665.280
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos. A r = (m,p) = m p
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}. Quantas conjuntos são possíveis agrupando dois a dois, com repetição? m = 4 e p = 2 A r = (m,p) = m p A r = (4,2) = 4 2 = 16 A r ={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,C B,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Exercícios: 1. Num determinado país, as matrículas dos automóveis são formadas por 4 letras do alfabeto (de 26 letras). Quantas matrículas distintas são possíveis arranjar desta forma? R.: 456.976
Exercícios: 2. Quatro amigos dirigem-se a uma padaria para comprarem, cada um, um bolo. Nessa padaria existem sete bolos diferentes à escolha. De quantas maneiras diferentes pode ser feita a escolha dos bolos? R.: 2.401
Combinação
Exemplo: Quantos subconjutos de três números distintos pode ser formados com os números: {1, 2, 3, 4, 5} Os dois subconjuntos são os mesmos? {1, 2, 3} = {3, 2, 1} Sim, então temos o caso de combinação
Exemplo: Quantos subconjutos de três números distintos pode ser formados com os números: {1, 2, 3, 4, 5} C 5,2 = 5!/(5-2)!2! =(5x4x3x2)/3!2!=10
Portanto a combinação poder C n,p = n! (n-p)!p!
Exercícios Série 1
Exercícios: 1. Thiago possui 3 blusas diferentes e 2 calças diferentes. De quantas maneiras ele poderá escolher uma blusa e uma calça para se vestir? 2. Quantos números de dois algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? 3. Quantos números de dois algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? 4. Quantos números de três algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}?
Exercícios: 6. Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio? 7. Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio utilizando, para sair, um portão diferente do que entrou? 8. Mariana desenhou uma bandeira retangular de 3 listras e deseja pintá-la, de modo que duas listras consecutivas não sejam pintadas da mesma cor. Se ela possui 4 lápis de cores diferentes, de quantas maneiras poderá pintar sua bandeira?
Exercícios: 9. Numa prova havia 4 itens para que os alunos respondessem V (verdadeiro) ou F (falso). De quantas maneiras diferentes um aluno que vai chutar todas as repostas poderá responder esses itens? 10. Um painel luminoso retangular é composto por 5 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes esse painel pode estar iluminado? (considera-se o painel iluminado se, pelo menos, uma de suas lâmpadas estiver acesa) 11. Quantos números de 3 algarismo distintos podem ser formados usando-se os algarismo 1,2,3,4 e 5?
Exercícios: 12. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas e 4 tipo de pratos de carne, 5 de bebidas e 3 sobremesas. Uma pessoa deseja 1 salada, 1 prato de carne, 1 bebida e 1 sobremesa. De quantas maneiras poderá ser feito o pedido? 13. Quatro times de futebol (Vasco, Atlético, Corinthians e Flamengo) disputam um torneio. Quantos e quais são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares? 14. Numa eleição de uma escola há 3 candidatos a presidente, 5 a vice-presidente, 10 a secretario e 7 a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?
Exercícios: 15. (U.F.Pelotas-RS) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as questões a seguir. a. Quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas? b. Quantos anagramas podem ser formados com as letras UF juntas? c. Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas e nessa ordem?
Exercícios: 16. (Vunesp-SP) Considere todos os números formados por seis algarismos distintos obtidos permutandose, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. a. Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1. b. Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242ª posição.
Exercícios: 17. Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes sem que haja repetição? R.: 45 18. Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO? R.: 40.320 preste atenção neste exercício, pois tem um conceito distinto 19. Em um torneio internacional de natação participaram cinco atletas europeus, dois americanos e um brasileiro. a. De quantos modos distintos poderão ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze? R.: 336
Exercícios: 20. Em um torneio internacional de natação participaram cinco atletas europeus, dois americanos e um brasileiro. b. Em quantos resultados só aparecem atletas europeus nas três primeiras posições? R.: 60 c. Em quantos possibilidades de prata e bronze haverá com o atleta brasileiro recebendo medalha de ouro? R.: 42 d. Supondo que o atleta brasileiro não receba medalha, determine o número de resultados em que há mais atletas europeus do que americanos no pódio? R.: 180 21. Numa reunião de 7 pessoas há 9 cadeiras. Determine de quantos modos distintos as 7 pessoas podem sentar-se nas 9 cadeiras. R.: 181.440
Exercícios: 22. Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número 333.669, quantos desses são ímpares? 23. De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer?
Exercícios: 24. Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3 doces, dos 8 tipos disponíveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos fabricados. Quantas são as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente? 25. Oito pessoas irão acampar e levarão quatro barracas. Em cada barraca dormirão duas pessoas. Quantas são as opções de distribuição das pessoas nas barracas? 26. Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis. Quantas são as disposições possíveis desde que os calçados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado na sapateira?
Exercícios: 24. Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3 doces, dos 8 tipos disponíveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos fabricados. Quantas são as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente? 25. Oito pessoas irão acampar e levarão quatro barracas. Em cada barraca dormirão duas pessoas. Quantas são as opções de distribuição das pessoas nas barracas? 26. Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis. Quantas são as disposições possíveis desde que os calçados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado na sapateira?