PACOTE DE TEORIA E EXERCÍCIOS PARA ATA-MF PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Aula 1 Matrizes... 2 1. Classificação das Matrizes... 2 2. Igualdade de Matrizes... 5 3. Adição de Matrizes... 5 4. Matriz Oposta... 6 5. Produto de número real por matriz... 10 6. Produto de Matrizes... 11 7. Matriz Transposta... 20 8. Determinantes... 22 9. Propriedades dos determinantes... 25 10. Teorema de Binet... 37 12. Matriz Inversa... 39 13. Sistemas Lineares... 42 14. Classificação dos sistemas lineares... 43 15. Sistema Linear Homogêneo... 46 16. Teorema de Cramer... 46 17. Relação das questões comentadas nesta aula... 63 18. Gabaritos... 73 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Matrizes A ideia de matriz do tipo é a de uma tabela retangular formada por números reais distribuídos em linhas e colunas. Adotamos a convenção que linha é horizontal, coluna é vertical e fila se refere à linha ou coluna (horizontal ou vertical). Vejamos alguns exemplos: 1 4 7 3 é 3 2 (3 h 2 ) 0 2 1 0 2 é 1 3 (1 h 3 )! 1 0 " é 2 2 (2 h 2 ) 0 1 3 é 1 1 (1 h 1 ) 1 # 2 % é 4 1 (4 h 1 ) 0 5 Em uma matriz qualquer, cada elemento é indicado por &'. Este elemento &' é o cruzamento da linha i com a coluna j. Por exemplo, o elemento () é elemento que fica no cruzamento da segunda linha com a terceira coluna. Convencionamos que as linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. Além disso, podemos utilizar colchetes, parêntesis ou barras duplas para representar matrizes. Por exemplo: ** *( ** *( ** *( (* (( =, (* (( - =. (* ((. )* )( )* )( )* )( Uma matriz M do tipo m x n (m linhas e n colunas) pode ser indicada por / = ( &' ) 0 1 1. Classificação das Matrizes Existem diversas classificações das matrizes. Veremos as principais e mais conhecidas. Deixaremos de lado definições de matrizes nilpotente, ortogonais, anti-simétricas, periódicas, etc. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 2

- Matriz Retangular é aquela cujo número de linhas é diferente do número de colunas. 1 4 7 3 0 2 - Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Quando uma matriz quadrada é formada por 2 linhas e 2 colunas dizemos que ela é uma matriz quadrada de ordem 2.! 5 3 " é 3 2 2ª 0 2 Os elementos 5 e 2 forma a diagonal principal e os elementos 3 e 0 formam a diagonal secundária. 1 3 5, 7 4 2- é 3 3 3ª 6 2 1 Os números 1, 4 e 1 formam a diagonal principal e os números 5,4 e 6 formam a diagonal secundária. - Matriz Linha é a matriz que possui apenas uma linha. 1 0 2 - Matriz Coluna é a matriz que possui apenas uma coluna. 1 # 2 % 0 5 - Matriz diagonal é a matriz quadrada cujos elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a 0. 1 0 0 0 5 0 0 0 5 - Matriz identidade é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1. Denotamos por 6 2 a matriz identidade de ordem n. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 3

Percebam as condições para que uma matriz seja denominada de identidade: deve ser uma matriz quadrada, todos os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais a 0 e todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1. 1 0 0 7 ) = 0 1 0 0 0 1 7 ( = 8 1 0 0 1 9 1 0 0 0 7 : = # 0 1 0 0 % 0 0 1 0 0 0 0 1 - Matriz Nula é aquela que tem todos os elementos iguais a 0. 8 0 0 0 0 0 0 9 Exemplo 1. Construa a matriz ; = ( &' ) ) ) definida por &' = ( + 2= Resolução Tem-se uma matriz quadrada de terceira ordem. A matriz tem a seguinte representação: ** *( *) ; =, (* )* (( )( () - )) Sabemos que &' = ( + 2=. ** = 1 ( + 2 1 = 3, *( = 1 ( + 2 2 = 5, *) = 1 ( + 2 3 = 7 (* = 2 ( + 2 1 = 6, (( = 2 ( + 2 2 = 8, () = 2 ( + 2 3 = 10 )* = 3 ( + 2 1 = 11, )( = 3 ( + 2 2 = 13, *) = 3 ( + 2 3 = 15 Portanto, 3 5 7 ; =, 6 8 10-11 13 15 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 4

2. Igualdade de Matrizes Duas matrizes ; = ( &' ) 0 1 e A = (B &' ) 0 1 são iguais quando todos os &' forem iguais aos B &' para todo i e para todo j. Ou seja, para que duas matrizes sejam iguais, elas devem ser do mesmo tipo (ter o mesmo número linhas e o mesmo número de colunas) e todos os elementos correspondentes (com mesmo índice) devem ser iguais. Exemplo: 1 4 ( 3) C 0 4 ( 25 D = 81 2 3 0 16 5 9 8 1 0 1 0 0 0 1 9, 0 1 0-0 0 1 8 1 2 3 4 9 81 2 3 4 9 3. Adição de Matrizes Para começo de conversa, só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, para que seja possível somar matrizes, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Esta é a condição de existência da soma de duas ou mais matrizes. Então vamos considerar duas matrizes A e B do mesmo tipo: m x n. Sejam ; = ( &' ) 0 1 e A = (B &' ) 0 1, chama-se soma ; + A a matriz C do tipo m x n tal que &' = &' + B &'. Vamos parar de falar em símbolos e vamos traduzir: i) Só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, as matrizes obrigatoriamente devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. ii) O resultado (a soma) será uma matriz do mesmo tipo das matrizes originais. iii) Para determinar os elementos da matriz soma, devemos somar os elementos correspondentes das matrizes originais. Exemplos: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 5

8 1 0 2 3 5 3 9 + 82 4 7 4 6 9 9 = 8 1 + 2 0 + 4 2 + 7 3 + 4 5 + 6 3 + 9 9 = 83 4 9 1 11 12 9 3 2 3 2 0 0 4 1 + 4 1 = 0 0 5 6 5 6 0 0 Observe que, assim como os números reais, a adição entre matrizes também é associativa e comutativa. Isto quer dizer que, se A,B e C são matrizes do mesmo tipo, então: (; + A) + G = ; + (A + G) ; + A = A + ; 4. Matriz Oposta Observe novamente o exemplo que foi feito acima: 3 2 3 2 0 0 4 1 + 4 1 = 0 0 5 6 5 6 0 0 3 2 3 2 A matriz 4 1 é a matriz oposta da matriz 4 1 e reciprocamente, a 5 6 5 6 3 2 3 2 matriz 4 1 é a matriz oposta da matriz 4 1 porque a soma das duas 5 6 5 6 matrizes é uma matriz nula, ou seja, com todos os elementos iguais a 0. Dada uma matriz A, sua matriz oposta é indicada por ;. Se é dada a matriz A, para determinar a sua oposta deve-se multiplicar todos os elementos por 1, ou seja, trocar os sinais de todos os elementos. Desta forma, a matriz oposta da matriz ; =! 5 0 5 0 " é a matriz ; =! 1 2 1 2 ". 1. (AFC 2002/ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (a ij ) = i 2 + j 2 e que bij = (i + j) 2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a: a) 17 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 6

b) 29 c) 34 d) 46 e) 58 Resolução Vamos construir as matrizes A e B. ** *( *) 1 ( + 1 ( 1 ( + 2 ( 1 ( + 3 ( 2 5 10 ; = (* (( () = 2 ( + 1 ( 2 ( + 2 ( 2 ( + 3 ( = 5 8 13 )* )( )) 3 ( + 1 ( 3 ( + 2 ( 3 ( + 3 ( 10 13 18 B ** B *( B *) (1 + 1) ( (1 + 2) ( (1 + 3) ( 4 9 16 A = B (* B (( B () = #(2 + 1) ( (2 + 2) ( (2 + 3) ( % = 9 16 25 B )* B )( B )) (3 + 1) ( (3 + 2) ( (3 + 3) ( 16 25 36 2 5 10 4 9 16 6 14 26 I = ; + A = 5 8 13 + 9 16 25 = 14 24 38 10 13 18 16 25 36 26 38 54 A soma dos elementos da primeira linha é igual a 6 + 14 + 26 = 46. Obviamente não precisaríamos construir as matrizes completamente, apenas o fizemos para fins didáticos. Letra D 2. (SERPRO 2001/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (a ij ) = i 2 + j 2 e que bij = (i + j) 2, então a razão entre os elementos s 31 e s 13 é igual a: a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 1 Resolução Questão praticamente idêntica! As matrizes utilizadas são idênticas! Se você nos permite, vamos dar um Ctrl+C / Ctrl+V... Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 7

Vamos construir as matrizes A e B. ** *( *) 1 ( + 1 ( 1 ( + 2 ( 1 ( + 3 ( 2 5 10 ; = (* (( () = 2 ( + 1 ( 2 ( + 2 ( 2 ( + 3 ( = 5 8 13 )* )( )) 3 ( + 1 ( 3 ( + 2 ( 3 ( + 3 ( 10 13 18 B ** B *( B *) (1 + 1) ( (1 + 2) ( (1 + 3) ( 4 9 16 A = B (* B (( B () = #(2 + 1) ( (2 + 2) ( (2 + 3) ( % = 9 16 25 B )* B )( B )) (3 + 1) ( (3 + 2) ( (3 + 3) ( 16 25 36 2 5 10 4 9 16 6 14 JK I = ; + A = 5 8 13 + 9 16 25 = 14 24 38 10 13 18 16 25 36 JK 38 54 Queremos calcular a razão entre os elementos s 31 (terceira linha e primeira coluna) e s 13 (primeira linha e terceira coluna). Colocamos estes números em vermelho. Letra E )* = 26 *) 26 = 1 3. (AFC-CGU 2003/2004 ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por &', onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz L = M &', de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N &' O e A = NB &' O. Sabendo que &' = ( e que B &' = ( =) (, então o produto dos elementos M )* M *) é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 Resolução Não vamos mais construir a matriz completamente. Estamos interessados nos elementos M )* M *). M )* = )* + B )* = 3 ( + (3 1) ( = 9 + 4 = 13 M *) = *) + B *) = 1 ( + (1 3) ( = 1 + 4 = 5 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 8

O produto dos elementos M )* M *) é igual a 13 5 = 65. Letra D 4. (MPOG 2003/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por &', onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz L = M &', de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N &' O e A = NB &' O. Sabendo que &' = ( = ( e que B &' = ( + =) (, então a soma dos elementos M )* M *) é igual a: a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108 Resolução A resolução é praticamente idêntica à da questão anterior. M )* = )* + B )* = 3 ( 1 ( + (3 + 1) ( = 9 1 + 16 = 24 M *) = *) + B *) = 1 ( 3 ( + (1 + 3) ( = 1 9 + 16 = 8 A soma dos elementos M )* M *) é igual a 24 + 8 = 32. Letra C 5. (AFC SFC 2000/ESAF) A matriz I = &', de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N &' O e A = NB &' O. Sabendo-se que &' = ( + = ( e que B &' = 2=, então a soma dos elementos )* *) é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32 Resolução Outra questão idêntica!! )* = )* + B )* = 3 ( + 1 ( + 2 3 1 = 9 + 1 + 6 = 16 *) = *) + B *) = 1 ( + 3 ( + 2 1 3 = 1 + 9 + 6 = 16 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 9

A soma dos elementos )* *) é igual a 16 + 16 = 32. Letra E 5. Produto de número real por matriz Para multiplicar uma matriz ; por um número real P basta multiplicar todos os elementos de A por P. Exemplos: 1 2 4 3 6 12 3 5 3 8 = 15 9 24 0 2 6 0 6 18 2! 5 4 1 8 2 " =!10 0 3 2 0 6 4 " Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 10

6. Produto de Matrizes Para começo de conversa, nem sempre é possível multiplicar duas matrizes. Para que exista o produto de uma matriz A por uma matriz B é necessário e suficiente que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Desta maneira, se a primeira matriz do produto é do tipo m x n, então a segunda matriz deve ser do tipo n x p. Pois bem, considere então uma matriz ; 0 1 e uma matriz A 1 Q. Ao efetuar o produto da matriz A pela matriz B, o resultado será uma matriz do tipo m x p. Ou seja, o produto é uma matriz que tem o número de linhas de A e o número de colunas de B. Resumindo, para verificar se é possível multiplicar duas matrizes, coloque o tipo da primeira matriz à esquerda e o tipo da segunda matriz à direita. O produto existirá se os números do meio coincidirem e o resultado será uma matriz do tipo m x p, onde m e p são os números das extremidades. Por exemplo, será que é possível multiplicar uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1? Os números do meio coincidiram? Sim! 1º 2º 2 4 4 1 Então o produto existe! E o resultado é uma matriz de que tipo? Basta olhar os números das extremidades: será uma matriz do tipo 2 x 1. Vejamos outro exemplo: será que é possível multiplicar uma matriz 4 x 1 por uma matriz 2 x 4? Os números do meio coincidiram? Não!! 1º 2º 4 1 2 4 Portanto, o produto entre essas duas matrizes não existe. Observe que existe o produto de uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1, mas não existe o produto de uma matriz do tipo 4 x 1 por uma matriz do tipo 2 x 4. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 11

Bom, já sabemos verificar se podemos ou não multiplicar duas matrizes e já sabemos identificar o tipo da matriz produto. Falta ainda o principal: aprender a multiplicar. Existe um processo muito fácil para multiplicar matrizes. É o seguinte: Desenhe uma cruz bem grande... Assim: É óbvio que você só vai desenhar esta cruz depois de verificar se é possível multiplicar as matrizes, pois se não for possível, nem perca o seu tempo. Bom, e o que fazer com esta cruz? No terceiro quadrante (lembra dos quadrantes do plano cartesiano?) você escreverá a primeira matriz e o no primeiro quadrante você escreverá a segunda matriz. 2ª matriz 1ª matriz Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 12

- Beleza até agora? - Beleza não, professor! Chega de delongas e coloca umas matrizes aí para ficar claro. - Ok! 1 2 3 Exemplo 2. Dadas as matrizes ; = 8 1 3 2 5 4 2 1 0 9 e A = R 0 5 6 S, 3 3 4 4 1 2 determine, se existir, as matrizes ; A e A ;. Resolução A matriz A possui 2 linhas e 4 colunas, portanto é do tipo 2 x 4. A matriz B possui 4 linhas e 3 colunas, portanto é do tipo 4 x 3. Será que existe o produto ; A? 1º 2º 2 4 4 3 Os números do meio coincidem! É possível multiplicar. O resultado será uma matriz do tipo 2 3. Será que existe o produto A ;? 1º 2º 4 3 2 4 Os números do meio não coincidem, portanto não existe a matriz A ;. Bom, vamos agora calcular a matriz ; A que já sabemos ser do tipo 2 x 3. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 13

Vamos desenhar a cruz e colocar a matriz A no terceiro quadrante e a matriz B no primeiro quadrante. 2ª matriz 1 2 3 0 3 5 3 6 4 4 1 2 1ª matriz RESULTADO 1 3 2 5 4 2 1 0 O resultado do produto das matrizes ficará localizado no quarto quadrante. Sabemos que o resultado é uma matriz do tipo 2 x 3, ou seja, terá 2 linhas e três colunas. 1 2 3 0 3 5 3 6 4 4 1 2 1 3 2 5 4 2 1 0 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 14

Terminamos! PACOTE DE TEORIA E EXERCÍCIOS PARA ATA-MF 4 3 + 2 6 + ( 1) ( 4) + 0 2 = 12 + 12 + 4 + 0 = 28 1 2 3 0 5 6 3 3 4 4 1 2 1 3 2 5 4 2 1 0 15 28 39 1 21 28 1 2 3 Desta forma, o produto da matriz ; = 8 1 3 2 5 4 2 1 0 9 pela A = R 0 5 6 Sé a 3 3 4 4 1 2 15 28 39 matriz G = 8 1 21 28 9. Ufa! Trabalhoso, não? Este mecanismo é bom porque faz com que as pessoas não confundam quais as linhas e quais as colunas que devem ser multiplicadas. 6. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (a ij )3x3 é a matriz definida por a ij = i + j e B=(b ij )3x3 é a matriz definida por b ij = 2i j, então o elemento localizado na terceira linha e segunda coluna da matriz A.B é (A) 28. (B) 34. (C) 31. (D) 22. (E) 44. Resolução O problema pede apenas um elemento do produto AB. Vamos determinar os elementos das matrizes A e B. Lembrando que i é a linha e j é a coluna do elemento. ** *( *) 1 + 1 1 + 2 1 + 3 2 3 4 ; = (* (( () = 2 + 1 2 + 2 2 + 3 = 3 4 5 )* )( )) 3 + 1 3 + 2 3 + 3 4 5 6 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 18

7. Matriz Transposta Considere uma matriz qualquer ; = ( &' ) 0 1. Chama-se transposta da matriz A a matriz ;` do tipo n x m que se obtém trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, as colunas da transposta são ordenadamente iguais às linhas de da matriz original. Exemplos: Propriedades i) (U [ ) [ = U ; = 8 _ J a _ b b c d 9 ;` =, J c- a d b c d b f h ; =, f Z g- ;` =, c Z i- h i j d g j Ou seja, a transposta da matriz transposta de A é a própria matriz A. b c d b f h b c d ; =, f Z g- ;` =, c Z i- (U [ ) [ =, f Z g- h i j d g j h i j ii) Se A e B são matrizes do mesmo tipo, ou seja, com o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, então (U + V) [ = U [ + V [. Isto quer dizer que tanto faz: Somar duas matrizes e depois calcular a transposta do resultado. Calcular as transpostas das matrizes e depois somar o resultado. iii) Se k é um número real qualquer e U é uma matriz, então (k U) [ = k U [ Isto quer dizer que tanto faz: Multiplicar uma matriz por um número real e depois calcular a transposta do resultado. Calcular a transposta da matriz e, em seguida, multiplicar por um número real. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 20

iv) Se A e B são matrizes que podem ser multiplicadas, então V [ e U [ também podem ser multiplicadas e (UV) [ = V [ U [ Isto quer dizer que tanto faz: Multiplicar a matriz A pela matriz B e, em seguida, calcular a transposta. Calcular a transposta de B, calcular a transposta de A e multiplicar (nesta ordem). 1 4 7. (MPU 2004/ESAF) Sejam as matrizes ; = 2 6 e A =! 1 3 4 5 1 2 3 4 " e seja 3 3 M &' o elemento genérico de uma matriz X tal que L = (;A)`, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre M )* e M *( é igual a: a) 2 b) ½ c) 3 d) 1/3 e) 1 Resolução Vamos multiplicar as matrizes. Devemos multiplicar uma matriz do tipo 3 x 2 (3 linhas e 2 colunas) por uma matriz do tipo 2 x 4. O produto existe, porque os números do meio coincidem e o resultado é uma matriz do tipo 3 x 4 (números das extremidades). 1 3 4 5 1 2 3 4 1 4 2 6 3 3 B l = m h P Observe que não precisamos calcular todos os elementos do produto. O nosso objetivo é calcular a matriz transposta deste resultado. A matriz transposta será: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 21

B l = n o m P h Queremos calcular a razão entre M )* e M *(. Ou seja, a razão entre o elemento que está situado na terceira linha e primeira coluna (elemento c) e o elemento que está situado na primeira linha e segunda coluna (elemento e). Portanto, queremos calcular c/e. Vamos voltar ao produto das matrizes. 1 3 4 5 1 2 3 4 1 4 2 6 3 3 B l = m h P = 1 4 + 4 3 = 16 = 2 1 + 6 1 = 8 Portanto, = 16 8 = 2 Letra A 8. Determinantes O nosso intuito é fazer com que o candidato se sinta seguro para fechar as provas de Raciocínio Lógico. Portanto, definiremos determinantes visando às provas de concursos. Na realidade, os assuntos da presente aula (matrizes, determinantes e sistemas lineares) são tópicos da alfabetização para uma cadeira universitária denominada álgebra linear. Livros universitários de Álgebra Linear, como o de Bernard Kolman, definem determinantes genericamente sem fazer referências à ordem da matriz utilizando conceitos de permutações pares e ímpares, etc. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 22

Não seguiremos esta linha. Definiremos determinantes de matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. Verificaremos diversas propriedades e teoremas de forma que em eventuais casos que precisemos calcular determinantes de ordem maior que 3, o possamos fazer sem maiores esforços. Pois bem, para começar, devemos frisar que apenas matrizes quadradas admitem o cálculo de determinantes. O determinante da matriz A é denotado por det;. i) Se a matriz quadrada é de ordem 1, então o determinante da matriz é o único elemento da matriz. Exemplo: Considere a matriz ; = 2. O determinante da matriz A é o número 2. det; = 2 ii) Se a matriz quadrada é de ordem 2, então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. ; =! B " det; = s B s = B Observe que indicamos o determinante de uma matriz A com barras verticais ao lado dos elementos da matriz. Exemplo: Calcule o determinante da matriz ; =! 2 3 5 4 ". Resolução s 2 3 s = 2 4 ( 3) 5 = 8 + 15 = 23 5 4 iii) Se a matriz é de ordem 3, o determinante é calculado com o auxílio da regra de Sarrus. ** *( *) ; = (* )* (( )( () )) Devemos repetir as duas primeiras colunas. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 23

Como a primeira coluna é igual à terceira coluna, então o determinante da matriz é igual a 0. iii) Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0. Exemplo: 4 37 12 / = # 3 2 9 % 1 1,37 3 Observe a primeira e a terceira coluna. Elas são proporcionais e a constante de proporcionalidade é igual a 3 (ou seja, a terceira coluna foi produzida multiplicando a primeira coluna por 3). Assim, o determinante da matriz é igual a 0. iv) Se uma matriz quadrada M tem uma linha (ou coluna) que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0. Deixe-me falar numa linguagem bem coloquial para explicar o que é combinação linear. Imagine que você vai construir uma matriz de terceira ordem. 2 5 / = 3 2 1 7 Você construiu a primeira coluna e a segunda coluna. E você resolveu ser um pouco mais criativo para construir a última coluna. E o que você fez? Você multiplicou a primeira coluna por 2 e multiplicou a segunda coluna por 3 e somou os dois resultados. O que você obteve? 2 5 2 2 + 5 3 2 5 19 / = 3 2 3 2 + 2 3 = 3 2 12 1 7 1 2 + 7 3 1 7 23 Pronto! A terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras colunas. Ou seja, você deve multiplicar uma fila por um certo número A e outra fila por qualquer outro número B. Somando os dois resultados, você obtém uma combinação linear das duas filas. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 26

Pense bem, uma coisa é criar a matriz e saber que uma fila é combinação linear das outras duas. Imagine que o quesito fosse assim: Calcule o determinante da matriz 2 5 19 / = 3 2 12 1 7 23 Obviamente a pessoa que criou a questão sabe que a terceira coluna é combinação linear das outras duas e, portanto, o determinante é zero. A dificuldade é perceber na hora da prova isso. Não será você o criador das questões!! Veja só outro exemplo. Calcule o determinante da matriz: 16 3 2 / = 24 2 4 15 5 1 Se você tiver um excelente olho e perceber que Primeira coluna = (Segunda coluna) x 2 + (Terceira coluna) x 5 Você poderá concluir que o determinante é zero. Caso contrário, terás que usar a regra de Sarrus (o que é bem provável que aconteça. Não perca seu tempo tentando achar alguma regra. Faça as contas que em muitos casos é mais rápido!) v) Se U é uma matriz quadrada de ordem n e U [ é a sua transposta, então yz{u = yz{u [. vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número real k, o determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo número k. 2 1 0 Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz ; = 5 2 3 é igual a 36. 1 4 1 Vamos multiplicar uma fila qualquer por 2, digamos a segunda coluna. 2 2 0 ; * = 5 4 3 1 8 1 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 27

Para calcular o determinante desta nova matriz, basta multiplicar o determinante da matriz original por 2. Desta forma, det; * = 2 det; = 2 36 = 72. vii) Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será yz{(k U) = k 2 yz{ (U) Na verdade, esta propriedade vii é uma decorrência da propriedade vi. Isto porque multiplicar uma matriz de ordem n por uma constante k é o mesmo que multiplicar as n linhas por k (ou as n colunas). Ao multiplicar a primeira linha por k, multiplicamos o determinante por k. Ao multiplicar a segunda linha por k, multiplicamos o determinante por k. Ao multiplicar a terceira linha por k, multiplicamos o determinante por k. Se a matriz é de ordem n, então terá n linhas. Então, det(p ;) = P}~~~~~~ P P P det; = P 1 det ; 1 `xƒ viii) Considere uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 2. Se trocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da matriz troca de sinal. 2 1 0 Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz ; = 5 2 3 é igual a 36. 1 4 1 Se trocarmos a posição da primeira linha com a terceira linha, o determinante da matriz troca de sinal. 1 4 1 ; ( = 5 2 3 2 1 0 O determinante desta matriz é igual a 36. ix) O determinante de qualquer matriz identidade é igual a 1. 8. (MPOG 2008 ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 28

a) 10-6 b) 10 5 c) 10 10 d) 10 6 e) 10 3 Resolução Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por um número real a, o determinante da matriz também será multiplicado por a. Nessa questão, quando multiplicamos todos os elementos da matriz X por 10, o que aconteceu? Multiplicamos a primeira linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. Multiplicamos a segunda linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. Multiplicamos a terceira linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. Multiplicamos a quarta linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. Multiplicamos a quinta linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. Assim, o determinante da matriz X, que é igual a 10, será igual a: det(10l) = 10 10 10 10 10 det(m) = 10 10 = 10 É válido o seguinte teorema: se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será det(p ;) = P 1 det (;) Assim, como a matriz do problema é de 5ª ordem e foi multiplicada por 10, Letra D det(10 ;) = 10 det(;) = 10 10 = 10 9. (ATA MF 2009/ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por 3, o determinante da matriz fica Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 29

a) Multiplicado por 1. b) Multiplicado por 16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por 2/3. Resolução Vamos relembrar uma das propriedades. vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número real k, o determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo número k. Ora, se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2, o determinante será multiplicado por 2. Se dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por 3, o determinante será dividido por -3. Assim, juntando tudo, o determinante será multiplicado por 2/3. Letra E 10. (MPOG 2002 ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: a) 2 b) 1/2 c)4 d) 8 e) 10 Resolução O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Assim, o determinante não será alterado. Porém, quando multiplicamos uma matriz de segunda ordem por 2 (já que queremos o determinante do dobro da matriz), o determinante será: Letra D det (2 ;ˆ) = 2 1 det(;ˆ) = 2 ( det(;) = 4 2 = 8 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 30

11. (BNB 2002 VUNESP) Dadas as matrizes a b c a 5 1 A = = 5 3 2 e B b 3 2, de determinantes não nulos, para quaisquer 2 4 6 c 2 3 valores de a, b e c, temos A) det(a) = det(b) B) det(b) = 2.det(A) C) det(a) = 2.det(B) D) det(a) = 2.det(B) E) det(a) = det(b) Quais foram as transformações sofridas por A para chegar na matriz B? Observe que a primeira linha de A é igual à primeira coluna de B. A segunda linha de A é igual à segunda coluna de B. Vamos construir a matriz transposta de A. A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Observe agora a matriz B. 5 2 ;` = B 3 4 2 6 a B= b c 5 3 2 1 2 3 A terceira coluna da matriz transposta de A é igual ao dobro da terceira coluna de B. Dessa forma, o determinante da transposta de A é o dobro do determinante da matriz B. det (;ˆ) = 2 det(a) Como o determinante de A e de sua transposta são iguais, det (;) = 2 det(a) Letra C Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 31

12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x 3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: a) x -6 b) x 6 c) x 3 d) 1 e) 1 Resolução Considere a matriz A: B ; = l m h A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. B A = l h m Observe que as segundas colunas das matrizes são iguais. Apenas permutamos a primeira com a terceira coluna. Quando permutamos (trocamos de lugar) duas filas (linhas ou colunas), o determinante troca de sinal. Como o determinante de A é igual a x 3, então o determinante de B será igual a x 3. O produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a Letra B det(;) det(a) = M ) ( M ) ) = M 13. (MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento genérico x ij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = y ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 32

(a ij ) = (i+j) 2 e que b ij = i 2, então o menor complementar do elemento y 23 é igual a: a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 e) 80 Resolução Vamos construir as matrizes A e B. ** *( *) (1 + 1) ( (1 + 2) ( (1 + 3) ( 4 9 16 ; = (* (( () = #(2 + 1) ( (2 + 2) ( (2 + 3) ( % = 9 16 25 )* )( )) (3 + 1) ( (3 + 2) ( (3 + 3) ( 16 25 36 B ** B *( B *) 1 ( 1 ( 1 ( 1 1 1 A = B (* B (( B () = 2 ( 2 ( 2 ( = 4 4 4 B )* B )( B )) 3 ( 3 ( 3 ( 9 9 9 4 9 16 1 1 1 5 10 17 = ; + A = 9 16 25 + 4 4 4 = 13 20 29 16 25 36 9 9 9 25 34 45 Se quisermos calcular o menor complementar do elemento y 23, devemos suprimir a segunda linha e a terceira coluna de Y. s 5 10 s = 5 34 10 25 = 170 250 = 80 25 34 Lembre-se que para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem devemos calcular a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Letra C 14. (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c 2 1 0 ; = B é: 4 + 2 + B Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 33

e) 0 Resolução Resolveremos esta questão de duas maneiras: a primeira usando a força bruta do braço e a segunda utilizando algumas propriedades dos determinantes. Um determinante de terceira ordem pode ser calculado com o auxílio da regra de Sarrus. Devemos repetir as duas primeiras colunas. 2 1 0 ; = t B t 4 + 2 + B 2 1 B 4 + 2 + B Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as flechas. Obtemos 2 B + 1 (4 + ) + 0 (2 + B) = 2B + 4 + Vamos multiplicar os elementos que estão na direção da diagonal secundária e trocar o sinal do resultado. Obtemos 1 2 (2 + B) 0 B (4 + ) = 4 2B Para calcular o determinante da matriz A, devemos somar os dois resultados obtidos: Vamos voltar ao quesito: ; = 2B + 4 + 4 2B = 0 (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz 2 1 0 A = B é: 4 + 2 + B Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 34

a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c e) 0 PACOTE DE TEORIA E EXERCÍCIOS PARA ATA-MF Ora, perceba que multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a segunda linha, obtemos a terceira linha. Assim, a terceira linha é combinação linear das outras duas e o determinante é zero. Letra E 15. (Gestor Fazendário MG 2005/ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que A = 2 */: ;. Sabendo que o determinante de A é igual a 2 */(, então o determinante da matriz B é igual a: a) 2 1/2 b) 2 c) 2-1/4 d) 2-1/2 e) 1 Resolução As matrizes são de segunda ordem. Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será det(p ;) = P 1 det (;) Como a matriz A é de segunda ordem, então = 2. Estamos multiplicando a matriz A por 2 */:, portanto, P = 2 */:. detn2 */: ;O = N2 */: O ( det (;) detn2 */: ;O = N2 */: O ( 2 */( Letra E deta = 2 ( * : 2 */( = 2 */( 2 */( = 2 * ( Ž8 * ( 9 = 2 = 1 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 35

16. (AFC-STN 2000/ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz = 3 tem determinante igual a: a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81 Resolução A matriz é de terceira ordem, logo = 3. Estamos multiplicando a matriz Z por 3, logo P = 3. Sabemos também que = L` e sabemos que o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta. det(p ) = P 1 det ( ) det(3 ) = 3 ) det( ) = 27 detl` Sabemos que 3 Como detl = 3, Letra E = 3 detl` = detl. det = 27 L det = 27 3 = 81 17. (AFC-CGU 2008 ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada por: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 36

Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100 Resolução A matriz A é dada por: b b _J b _a ; = b J_ b a_ b JJ b aj b Ja b aa A matriz B é dada por: B ** B *( B *) b a_ b aj b aa A = B (* B (( B () = b J_ b JJ b Ja B )* B )( B )) b b _J b _a A matriz B foi construída a partir da matriz A a partir do seguinte processo: Repetimos a segunda linha. Trocamos a primeira linha com a terceira linha Vimos na propriedade viii que se trocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da matriz troca de sinal. Como o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a 100. Letra D 10. Teorema de Binet Se ; e A são matrizes quadradas de ordem n, então: det(;a) = det; deta Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 37

Isto quer dizer que tanto faz: Calcular o produto AB e calcular o determinante do produto. Calcular o determinante de A, calcular o determinante de B e multiplicar os resultados. 1 2 3 2 3 18. (MPU 2004/ESAF) Considere as matrizes L = 2 4 6; = 2 B 6 5 3 7 5 3 onde os elementos a,b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a: a) 0 b) c) + B + d) + B e) + Resolução Queremos calcular (L ). Pelo Teorema de Binet, sabemos que det(l ) = detl det Dê uma olhada na matriz X. 1 2 3 L = 2 4 6 5 3 7 Percebeu que a segunda linha é igual a primeira linha multiplicada por 2? Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0. Podemos concluir que o determinante da matriz X é igual a 0. det(l ) = detl det det(l ) = 0 det = 0 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 38

Letra A 12. Matriz Inversa Considere uma matriz quadrada de ordem n. Vamos chamar esta matriz de A. Dizemos que a matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que ; A = A ; = 7 1. Lembre-se que 7 1 é a matriz identidade de ordem n. Esta matriz B é chamada matriz inversa de A e é denotada por ; *. Exemplo: A inversa da matriz ; =! 5 6 4 5 " é a matriz ; * =! 5 6 4 5 " porque! 5 6 4 5 "! 5 6 4 5 " =!1 0 0 1 ". Para verificar basta fazer: 5 6 4 5 5 6 4 5 B = 5 5 + 6 ( 4) = 25 24 = 1 B = 5 ( 6) + 6 5 = 30 + 30 = 0 = 4 5 + 5 ( 4) = 20 20 = 0 = 4 ( 6) + 5 5 = 24 + 25 = 1 Ora, sabemos que ; ; * = 7 1. Vamos aplicar o teorema de Binet. det(; ; * ) = 7 1 det; det; * = 7 1 Lembre-se que o determinante da matriz identidade é igual a 1, portanto: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 39

det; det; * = 1 Este fato é muito importante. Pois se for dado o determinante de uma matriz, podemos automaticamente calcular o determinante da sua inversa e reciprocamente. Se a matriz A não admite inversa, a matriz A é chamada de matriz singular. Uma matriz quadrada não é inversível quando o seu determinante é igual a 0. Por exemplo, a matriz! 5 2 " é uma matriz singular, isto é, não admite 10 4 inversa. Isto pode ser verificado calculando o seu determinante. s 5 2 s = 5 4 2 10 = 20 20 = 0 10 4 Bom, podemos concluir que se o determinante da matriz quadrada é diferente de zero, então a matriz é inversível. E como calculamos a matriz inversa? Neste curso, ficaremos restritos ao cálculo de matrizes inversas de ordem 2. Considere uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante diferente de 0. ; =! B " A inversa da matriz A é calculada da seguinte forma: ; * = 1 det;! B " Ou seja, trocamos de posição os elementos da diagonal principal e mudamos o sinal dos elementos da diagonal secundária. Depois dividimos todos os elementos pelo determinante da matriz original. Exemplo 4. Determine, se existir, a inversa da matriz ; =! 4 6 5 8 ". Resolução O primeiro passo é calcular o determinante da matriz A. det; = 4 8 5 6 = 2 Vamos trocar a posição dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária.! 8 6 5 4 " Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 40

O próximo passo é dividir todos os elementos pelo determinante da matriz original que é igual a 2. ; * 4 3 = 5/2 2 19. (Oficial de Chancelaria MRE 2002/ESAF) Dada a matriz! 1 1 M 1 " e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de M é igual a: a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2 Resolução Sabemos que det; det; * = 1. O problema já forneceu o determinante da inversa que é igual a 1/2. det; 1 2 = 1 det; = 2 Ora, temos em mãos o determinante da matriz original. Letra A s 1 1 M 1 s = 2 1 1 1 M = 2 1 M = 2 M = 1 M = 1 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 41

13. Sistemas Lineares Equação linear nas incógnitas M,,, é toda equação do tipo M + B + + = P. Os números reais,b,, (os números que multiplicam as incógnitas) são chamados de coeficientes e o número P é o termo independente da equação. É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a 1 para que a equação seja considerada linear. São equações lineares: Não são equações lineares: 2M + 3 = 5 4M + 6 + 7 = 0 2M ) 5 ( = 8 M + 6 = 0 2M + 3M = 7 É importante também notar que não é permitido o produto de duas incógnitas em algum dos termos da equação. Vejamos alguns fatos que aprenderemos nas aulas de lógica. Veremos que uma sentença do tipo 3M + 2 = 12 não é uma proposição lógica. Isto porque não podemos determinar o seu valor lógico sem que sejam fornecidos os valores das incógnitas. Se alguém nos disser que M = 2 = 3, então a sentença 3M + 2 = 12 tornar-seá verdadeira porque 3 2 + 2 3 = 12; ao passo que se M = 3 = 0, a sentença 3M + 2 = 12 será classificada como falsa porque 3 3 + 2 0 12. Pois bem, já que M = 2 = 3 torna a sentença 3M + 2 = 12 verdadeira, dizemos que a sequência (2,3) é uma solução da equação linear. Falamos em equações lineares. E o que vem a ser um sistema linear? Nada mais nada menos que um conjunto de equações lineares! Por exemplo: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 42

2M + 5 = 9 M 3 = 1 Aqui, dizemos que uma sequência de números é uma solução do sistema linear, se a sequência for solução de todas as equações lineares que compõem o sistema. Por exemplo: A sequência (2,1) é solução do sistema linear acima, porque: 2 2 + 5 1 = 9 2 3 1 = 1 14. Classificação dos sistemas lineares Se um sistema linear admitir pelo menos uma solução, diremos que o sistema é possível (alguns dizem que o sistema é compatível). Se o sistema não admitir soluções, ou seja, não existir uma sequência que satisfaça todas as equações do sistema, diremos que o sistema é impossível ou incompatível. Se o sistema é possível, ainda podemos fazer uma subclassificação: se o sistema admitir apenas uma solução, dizemos que o sistema é possível e determinado; se o sistema admitir infinitas soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado. Sistema linear Possível (admite solução) Impossível (não admite solução) Determinado (a solução é única) Indeterminado (existem infinitas soluções) Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 43

Para quem nunca estudou este assunto, parece um pouco estranho que um sistema linear não possua soluções (impossível) ou que possua infinitas soluções (possível e indeterminado). Vamos ver alguns exemplos: Exemplo 5. Resolva o sistema linear M 2 = 5 3M + = 29. Resolução Vamos isolar a incógnita M na primeira equação. M = 2 + 5 Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação 3M + = 29 3 (2 + 5) + = 29 6 + 15 + = 29 7 = 14 Como M = 2 + 5, então: = 2 M = 2 2 + 5 = 9 Portanto, o sistema admite apenas uma solução: M = 9 = 2. O sistema é possível e determinado. Exemplo 6. Resolva o sistema linear M 2 = 5 3M 6 = 10. Resolução Vamos isolar a incógnita M na primeira equação. M = 2 + 5 Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 3M 6 = 10 3 (2 + 5) 6 = 10 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 44

6 + 15 6 = 10 0 = 5 Ora, devemos encontrar um número que multiplicado por zero seja igual a 5. Mas sabemos que qualquer número multiplicado por 0 obrigatoriamente tem como resultado o número 0. Desta forma, não existe um número tal que 0 = 5. O sistema é impossível. Exemplo 7. Resolva o sistema linear M 2 = 5 3M 6 = 15 Resolução Vamos isolar a incógnita M na primeira equação. M = 2 + 5 Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 3M 6 = 15 3 (2 + 5) 6 = 15 6 + 15 6 = 15 6 6 = 15 15 0 = 0 Devemos pensar em um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer número real serve!! Pense em um número qualquer, digamos = 1. Neste caso, 0 1 = 0. E já que M = 2 + 5, então M = 2 1 + 5 M = 7 Portanto M = 7 = 1 é uma solução do sistema. Vamos colocar = 5. Já que M = 2 + 5, então M = 2 5 + 5 M = 15 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 45

Portanto, M = 15 = 5 é outra solução do sistema. Na verdade, você pode escolher o valor que quiser para a incógnita, substituir o valor na equação M = 2 + 5 e calcular o valor correspondente de M. O sistema admite infinitas soluções e, portanto, é possível e indeterminado. 15. Sistema Linear Homogêneo Um sistema linear é dito homogêneo se o termo independente de todas as equações é igual a 0. Exemplos: 2M + 5 = 0 M 3 = 0 M + 2 3 = 0 2M 5 + = 0 M 6 + 8 = 0 É fácil perceber que todo sistema linear é possível. Basta substituir todas as incógnitas por 0. Esta solução em que todas as incógnitas são iguais a 0 é chamada de solução trivial. Se houver, as outras soluções são chamadas de não-triviais. Desta forma, todo sistema linear homogêneo é possível. Em breve aprenderemos a classificá-lo em determinado ou indeterminado. 16. Teorema de Cramer O bem conhecido teorema de Cramer, publicado em 1750 por Gabriel Cramer (1704-1752) provavelmente era conhecido por Maclaurin desde 1729. Isso ocorre com muita frequência na Matemática. Uma pessoa descobre algum fato e outra, vários anos depois, leva o crédito. Bom, deixemos a História da Matemática de lado (quem se interessar, depois de passar no concurso, pode comprar o livro História da Matemática de Carl B. Boyer). Vamos lá. Considere um sistema linear em que o número de incógnitas é igual ao número de equações. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 46

Como o nosso intuito é fechar as provas de concurso, vamos ficar restritos aos sistemas com 2 equações e 2 incógnitas e aos sistemas com 3 equações e 3 incógnitas. M + B = P * M + = P ( M + B + = P * M + + l = P ( mm + h + = P ) Estamos considerando que as incógnitas são as letras M,,. Vamos considerar alguns determinantes especiais que podem ser calculados com os coeficientes e com os termos independentes. Chamaremos de o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. No caso do sistema de segunda ordem: No caso do sistema de terceira ordem: = s B s B = t lt m h Chamaremos de š o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do M pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do M) pelos termos independentes (P *, P (, ). Chamaremos de o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do pelos termos independentes. No caso, substituiremos a segunda coluna (a do ) pelos termos independentes (P *, P (, ). Chamaremos de œ o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do pelos termos independentes. No caso, substituiremos a terceira coluna (a do ) pelos termos independentes (P *,P (, ). É óbvio que œ só existe em sistemas de terceira ordem. No caso de sistemas de segunda ordem, temos: š = P * B P ( = P * P ( No caso de sistemas de terceira ordem, temos: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 47

P * B P * B P * š = tp ( lt, = t P ( lt œ = t P ( t P ) h m P ) m h P ) Vamos ver alguns exemplos numéricos. Considere o sistema M 2 = 5 3M + = 29. Temos os seguintes determinantes relacionados a este sistema: é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. = s 1 2 3 1 s = 1 1 ( 2) 3 = 1 + 6 = 7 š é o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do M pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do M) pelos termos independentes. Analogamente, temos: š = s 5 2 s = 5 1 ( 2) 29 = 5 + 58 29 1 š = 63 = s 1 5 s = 1 29 5 3 = 29 15 3 29 = 14 O Teorema de Cramer afirma que se um sistema linear tem o número de equações igual ao de incógnitas e se 0 o sistema será possível e determinado (apresenta solução única) e: No nosso exemplo: M = š, =, M = š = 63 7 = 9 = = 14 7 = 2 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 48

Já tínhamos resolvido este sistema pelo método da substituição anteriormente. Obviamente, o Teorema de Cramer tem mais valor teórico que valor prático. Principalmente ao trabalhar com sistemas de ordem maior ou igual a 3. O que nos interessa é que o Teorema de Cramer afirma que se ž Y, então o sistema é possível e determinado. Isso é IMPORTANTÍSSIMO!!! Tem cheiro de ESAF no ar... E o que acontece se = 0?? Há duas possibilidades. Se todos os outros determinantes associados ao sistema forem iguais a 0, ou seja, š = = = 0 então o sistema é possível e indeterminado. Se pelo menos um dos outros determinantes associados ao sistema for diferente de 0, então o sistema é impossível. Resumindo: Se você estiver trabalhando em um sistema de equações com número de equações igual ao de incógnitas, então ele pode ser: Possível e determinado, se 0. Possível e indeterminado, se = š = = = 0 Impossível, se = 0 e existir algum & 0. Na verdade, o resuminho acima está incompleto. É que pode haver casos em que todos os determinantes são nulos e o sistema ser impossível. São casos excepcionais, raros de acontecerem. Só que, para efeito de concurso, podemos simplesmente ignorar esta exceção, pois nunca foi cobrado. Certo? Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 49

Sistema linear Possível (admite solução) Impossível (não admite solução) Determinado (a solução é única) Indeterminado (existem infinitas soluções) E se o sistema for homogêneo? Ora, já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução. Portanto temos duas possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível e indeterminado. Basta calcular o valor de. O sistema é possível e determinado se 0. O sistema é possível e indeterminado se = 0. 20. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Para que o sistema abaixo seja possível e determinado, o valor de a deverá ser: ax + 3y = 7 x +2y = 1 (A) a = 3. (B) a = 3/2. (C) a 3/2. (D) a 5/2. (E) a 2/5. Resolução Para que o sistema seja possível e determinado o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis deve ser diferente de zero. 0 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 50

s 3 1 2 s 0 2 3 1 0 2 3 3 2 Letra C 21. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado possível ou compatível quando admite pelo menos uma solução; é chamado de determinado quando a solução for única, e é chamado de indeterminado quando houver infinitas soluções. ma+ 3mb= 0 2a+ mb= 4 Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que a) se m 0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m=0, o sistema é impossível. c) se m=6, o sistema é indeterminado. d) se m 0 e a 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m 0 e m 6, o sistema é possível e determinado. Resolução Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de 0. s 3 2 s 0 ( 6 0 ( 6) ± ( 6)( 4 1 0 2 1 6 ± 6 2 Assim, m 6 e m 0 fazem com o que o sistema seja possível e determinado. Letra E Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 51

Vamos terminar de discutir o sistema. Vamos supor que = 0, ou seja, = 6 ou = 0. i) = 6 O sistema ficará assim: Neste caso: 6 + 18B = 0 2 + 6B = 4 š = s 0 18 s = 0 6 18 4 = 72 0 4 6 š 0 Se = K, então ž = Y Z ž W Y, portanto o sistema é impossível. ii) = 0 O sistema ficará assim: Da segunda equação, tem-se: 0 + 0B = 0 2 + 0B = 4 2 + 0B = 4 2 + 0 = 4 = 2 Vamos substituir este valor na segunda equação: 2 + 0B = 4 2 2 + 0B = 4 4 + 0B = 4 0B = 0 Portanto, o número b é tal que multiplicado por 0 é igual a 0. Ora, qualquer número multiplicado por 0 é igual a 0. Concluímos que se = 0, então = 2 e B pode ser qualquer número real. Portanto, há infinitas soluções para o sistema e ele é possível e indeterminado. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 52

22. (TFC-CGU 2008 ESAF) Considerando o sistema de equações lineares x1 x2 = 2, 2x1+ px2 = q pode-se corretamente afirmar que: a) se p = -2 e q 4, então o sistema é impossível. b) se p -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. d) se p = -2 e q 4, então o sistema é possível e indeterminado. e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. Resolução Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis deve ser diferente de 0. 1 1 2 0 1 2 ( 1) 0 2 Para que o sistema seja possível e indeterminado esse determinante deve ser igual a 0, ou seja, p=-2 ; e, além disso, o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser igual a 0. 1 2 2 3 = 0 3 4 = 0 3 = 4 Assim, o sistema é possível e indeterminado se = 2 e 3 = 4. Até agora não encontramos alternativas... Para que o sistema seja impossível, o determinante dos coeficientes deve ser igual a 0, ou seja, = 2; e o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser diferente de 0, ou seja, q 4. Letra A Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 53