Universidade Federal de Minas Gerais UFMG Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática

Universidade Federal de Minas Gerais UFMG Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Monografia de Pós-Graduação - Especialização em Matemática Curvas Especiais em Superfícies Regulares Marcos Pacheco Orientador: Helder Cândido Rodrigues Belo Horizonte 008

Para minha esposa Flaviana

Agradecimentos Primeiramente agradeço à profa. Cristina Marques pela coordenação do Curso de Especialização, pelos ensinamentos de Álgebra que recebi, e principalmente pela sua empatia, esta enorme habilidade de se colocar no lugar de cada aluno e ajudá-lo a encontrar o melhor caminho em seus estudos. Agradeço aos professores, Hamilton Bueno pelos ensinamentos fundamentais em Análise; Seme Gebara por me motivar ainda mais a trabalhar com Geometria Diferencial; Francisco Satuf pelos ensinamentos em Álgebra linear e palavras de encorajamento ao longo do curso. Agradeço especialmente ao meu orientador Prof. Helder Cândido Rodrigues, por todo suporte didático e direcionamento durante a elaboração deste trabalho. Obrigado também pela pronta disponibilidade e paciência em me atender as inúmeras vezes que o procurei pessoalmente, ou através de constantes e-mails.

Resumo Este Trabalho tem o objetivo estudar 3 tipos de curvas especiais que temos nas superfícies em R 3, que são as linhas de curvatura, as linhas assintóticas e, principalmente as geodésicas pela sua ampla utilização em vários problemas de Geometria Diferencial. Além das definições e da identificação das equações diferenciais que determinam estas curvas, vamos também ilustrar através de exemplos, os traços destas curvas especiais sobre superfícies diversas em R 3, procurando primeiramente as soluções analíticas, e quando não for possível, utilizando o software Maple, para achar as soluções numéricas e gráficas. Como aplicação prática de vários conceitos vistos, fazemos também o estudo do pêndulo de Foucalt, experimento utilizado para demonstrar o movimento giratório da Terra.

Sumário Introdução. Conceitos básicos.. Curvas regulares..... Superfícies regulares... 3.3. Formas fundamentais e curvatura normal... 7. Linhas de curvatura.. Definição e equação das linhas de curvatura..... Exemplos de linhas de curvatura... 4 3. Linhas assintóticas 4 3.. Definição e equações das linhas assintóticas... 4 3.. Exemplos de linhas assintóticas... 6 4. Geodésicas 33 4.. Vetor aceleração (α )... 33 4.. Geodésicas e pré-geodésicas... 35 4.3. Equações das geodésicas... 40 4.4. Exemplos de geodésicas... 4 4.5. Superfície de revolução... 48 4.6. Menor distância... 5 5. O Pêndulo de Foucault 54 5.. Campo de vetores Paralelo... 54 5.. O pêndulo de Foucault x campo Paralelo... 57 Referências Bibliográficas 60

Introdução O assunto das linhas de curvatura, linhas assintóticas e geodésicas é tratado em livros introdutórios de Geometria Diferencial. Procurei sintetizar os resultados mais relevantes que encontrei na bibliografia pesquisada, e padronizar a notação que varia muito. O grande número de exemplos é proposital para facilitar o entendimento de conceitos que por vezes são subjetivos num primeiro contato. No capítulo, relembramos os conceitos básicos de um primeiro curso em Geometria Diferencial, definindo curvas regulares, fórmulas de Frenet, superfícies regulares, curvatura normal, primeira e segunda forma fundamental, curvatura Gaussiana, classificação de pontos numa superfície, etc... Algumas demonstrações são apenas referenciadas pois são básicas e desta forma seremos mais objetivos em atingir a proposição final. Este capítulo pode ser omitido pelo leitor familiarizado com estes conceitos. No capítulo, definimos as linhas de curvatura e deduzimos sua equação diferencial, dado um ponto da superfície regular x(u,v). Damos exemplos no parabolóide elíptico, superfície de revolução, parabolóide hiperbólico, e na superfície x(u,v) ( sen u, sen v cos u, cos v). Anexamos o programa Maple usado para gerar a solução numérica deste último exemplo, ressaltando que ele pode ser facilmente adaptado para outras superfícies menos comuns. No capítulo 3, definimos as linhas assintóticas em função do vetor velocidade apontar sempre na direção onde a curvatura normal se anula. Demos também uma definição alternativa de linhas assintóticas em função do vetor aceleração ser sempre perpendicular ao vetor normal N da superfície. Utilizando a fórmula de Euler mostramos que um ponto elíptico não tem linhas assintóticas, que um ponto hiperbólico tem exatamente duas linhas assintóticas, e deduzimos a equação destas linhas assintóticas por um ponto não elíptico. Ilustramos com

exemplos no helicóide, superfície de revolução ( para pontos não elípticos), parabolóide hiperbólico e superfície regrada x(t,v) α(t) + v (α (t) + e ) ( cos t - v sen t, sen t + v cos t, v ) No capítulo 4, antes de definirmos as geodésicas, demos ênfase ao vetor aceleração, representado na base ortonormal do triedro de Frenet { τ, n, b }, na base ortonormal { τ, N, τ x N }, e na base { X u, X u, N }. Um bom conceito do vetor aceleração é essencial para se entender a definição das geodésicas e suas equações. Os símbolos de Christofell e as equações diferenciais das geodésicas são apresentadas, formando a base dos cálculos seguintes. Neste capítulo, a programação Maple é largamente utilizada devido às dificuldades em se obter as soluções analíticas. O conceito de pré-geodésica é apresentado, e a seguir, damos exemplos de geodésicas no cilindro, cone, parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico e Toro. A superfície de revolução é estudada mostrando que os meridianos são sempre uma geodésica ( ou pré-geodésica), e os paralelos dependem da condição f 0. Ilustramos com exemplos no toro e no cone que, localmente, a menor distância entre dois pontos ao longo de uma curva da superfície, está sobre uma geodésica. Fazemos referência a este fato fundamental, porém não demonstramos tal proposição, pelo caráter introdutório deste trabalho. Encerramos com o capítulo 5, apresentando uma aplicação prática da Geometria Diferencial, onde tratamos o Pêndulo de Foucault, experimento de 85, utilizado por Jean Foucault para demonstrar o movimento de rotação da Terra. Para isto primeiro estudamos o campo de vetores tangentes Paralelo ao longo de um círculo de latitude constante e adaptamos o comportamento observado nas oscilações do pêndulo, ao modelo matemático de campo Paralelo. Marcos Pacheco mar_pac@uol.com.br

. Conceitos Básicos.. Curvas regulares Curva regular em R 3 : Uma curva diferenciável parametrizada é uma aplicação diferenciável α: I R 3 de um intervalo aberto I (a, b) da reta real R em R 3 [M]. A palavra diferenciável na definição acima significa que α é uma correspondência que leva cada t I em um ponto α(t) ( x(t), yt), z(t) ) R 3, de tal modo que as funções reais x(t), y(t), z(t), possuem derivadas em todos os pontos e de todas as ordens. Dizemos que a variável t é o parâmetro da curva. Exemplo.: A aplicação α(t) ( a cos t, a sen t, bt ) t R é a curva hélice circular, cujos pontos (x, y, z) R 3 estão representados na figura. Figura. Curva hélice circular Denotando por x (t) a derivada primeira de x(t) em t e utilizando notações análogas para as funções y(t) e z(t), o vetor ( x (t), y (t), z (t)) α (t) R 3 é chamado de vetor tangente ( ou vetor velocidade) da curva α(t) em t. A curva α(t) é dita regular se é diferenciável de classe C e α (t) 0, para qualquer t R. A imagem α(i) R 3 é chamada o traço da curva α.

Fórmulas de Frenet Para cada ponto de uma curva regular α(t) R 3, é possível α' ( t ) definir 3 vetores ortonormais ( triedro de Frenet) que são, τ vetor unitário α' ( t ) τ' (t) tangente, n vetor unitário normal e b τ x n, vetor unitário binormal. τ' (t) Estes vetores se relacionam com suas derivadas primeiras através das fórmulas de Frenet. [M]. A primeira delas define a curvatura k. τ k n k é definida como a curvatura no ponto α(t) e v α ( t ) v Se α(t) está parametrizada pelo comprimento de arco ( p. c. a ), τ α e τ α τ k n k < τ, n > < α, n > k α ' ( t ). Se α(t) não está p. c. a, o vetor velocidade é α (t) v τ. Derivando esta expressão, dv temos o vetor aceleração, α (t) τ + v τ, mas τ kv n dt dv α (t) τ + kv n dt (.I) Multiplicando vetorialmente por τ à esquerda, dv τ x α τ x τ + kv τ x n dt α' x α kv τ x n α x α kv v v α' x α kv τ x n v k 3 α x α (.II) v As demais equações de Frenet, são, b υ n υ é definida como a torção no ponto α(t) v n - k n υ b v

3.. Superfícies regulares Superfície regular em R 3 Um subconjunto S R 3 é uma superfície regular se, para cada p S, existe uma vizinhança V de p em R 3, e uma aplicação x : U V S de um aberto U de R sobre V S R 3 tal que [M]: i. x é diferenciável. Isto significa que se escrevermos x(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) (u,v) U as funções x(u,v), y(u,v), z(u,v) têm derivadas parciais contínuas de todas as ordens em U. ii. x é um homeomorfismo. Como x é contínua pela condição i, isto significa que x tem inversa x : V S U que é contínua. iii. ( Condição de regularidade) Para todo q U, a diferencial dx q : R R 3 é injetiva. As variáveis u, v são os parâmetros da superfície. O subconjunto S de R 3 obtido pela imagem da aplicação x, é denominado traço de x. Iremos nesta monografia, usando abuso de linguagem, chamar de superfície a aplicação x(u,v). Exemplo.: A aplicação x(u,v) ( u cos t, u sen t, u), ( u, v) R é a superfície do cone circular cujos pontos (x, y, z) R 3 figura.3 estão representados na

4 Figura. Superfície regular Cone Curvas de Superfície São curvas contidas numa dada superfície. Se x(u,v) é uma superfície, as curvas de superfície têm parametrização da seguinte forma: α(t) x ( u(t), v(t) ) t R Exemplo.3: x(u,v) ( u, v, u - v ) ( u,v) R (parabolóide hiperbólico) Uma curva de superfície, usando a parametrização u(t) t e v(t) t é α(t) (t, t, 4 t - t 4 ) Figura.3 Curva α(t) ( t, t, 4 t - t 4 ) sobre a superfície x(u,v) ( u, v, u - v ) Curvas Coordenadas de uma superfície x(u,v) são as curvas de superfície, que se obtém fazendo um dos parâmetros u ou v, constante. Na figura.3, correspondem ao conjunto de curvas que formam o reticulado na superfície.

5 α(u) ( x(u,v 0 ), y((u,v 0 ), z(u,v 0 )) α(v) (x(u 0,v), y(u 0,v), z( u 0,v)) v 0 constante u 0 constante Plano Tangente: Para cada ponto q U R, a matriz da aplicação dx q, na base canônica de R com coordenadas (u, v), na base canônica de R 3 com coordenadas (x, y, z ) é : x x u v dx q y y x( u, v) x( u, v) ( X u v u X v ) u v z z u v onde X u, X v são os vetores tangentes às curvas coordenadas da superfície x(u,v). A exigência da condição iii na definição de superfície (dx q injetiva), garante a existência de um plano tangente em cada ponto p da superfície S, sendo este plano T P S, determinado pelos vetores X u, X v Qualquer vetor de T P S é uma combinação linear de X u, X v e pode ser escrito como w ax u + bx v. Figura.4 T P S Plano tangente a S. Figura do livro [M]

6 Vetor unitário Normal N : Dada uma superfície x(u,v) e um ponto q U R, dizemos que um vetor de R 3 é normal a x(u,v) em q se ele é ortogonal ao plano tangente em q, ou seja, se é ortogonal a todos os vetores tangentes a x(u,v) no ponto q. O vetor normal unitário N no ponto q é definido por : N X X u u x X x X v v A aplicação acima, N : S R 3 é diferenciável, e a aplicação linear dn p : T P S T P S opera da seguinte maneira [M]: Seja α(t) uma curva contida em S com α(0) p e N restrito à curva α(t). O vetor dn p α (0) N (0) é um vetor de T P S que mede a taxa de variação do vetor normal N, restrito à curva α(t), em t 0. Assim, dn p α (0) mede o quanto N se afasta de N p, em uma vizinhança de p, na direção de α (0)..3. Formas fundamentais e curvatura normal Primeira forma fundamental : É definida pela aplicação I P : T P S R, dada pela forma quadrática, I P (w) < w, w > P w (módulo do vetor w ao quadrado ) É chamada de Primeira forma fundamental da superfície regular S em p. A primeira forma nos possibilita fazer medidas sobre a superfície ( comprimento de curvas, ângulos de vetores tangentes, áreas de regiões), sem fazer menção ao espaço ambiente R 3, onde a superfície está. Um vetor tangente w T P S é o vetor tangente a uma curva da superfície parametrizada como α(t) x ( u(t), v(t) ), onde para t 0, p α(0) e w α (0). Aplicando a definição I P (w) < w, w > temos, I P (w) I P ( α (0)) < α (0), α (0) >

7 Como α(t) x ( u(t), v(t) ), temos α (t) w u X u + v X v I P (w) < u X u + v X v, u X u + v X v > < X u, X u > (u ) + < X u, X v > u v + < X v, X v > (v ) E (u ) + F u v + G (v ) onde E, F e G são os coeficientes da primeira forma fundamental na base { X u, X v } de T P S. Observe que X u x X v ² + < X u, X v > ² X u ² X v ² pois X u x X v X u X v sen θ e <X u, X v > X u X v cos θ. E como X u ² E, X v ² G e < X u, X v > F, temos sempre EG - F² > 0. Curvatura Normal : Seja C uma curva regular em S passando por p S, k a curvatura de C em p, e cos θ < n, N >, onde n é o vetor normal a C e N é o vetor normal a S em p. O número k n k cos θ é chamado curvatura normal de C em p. Figura.5 Curvatura Normal ( figura do livro [ M ] ) Ou seja, k n é ± o comprimento da projeção do vetor k.n sobre a normal N à superfície em p. Dado um vetor unitário w T P S, a interseção de S com o plano contendo w e N é a curva chamada seção normal de S em p segundo a direção w. É uma curva regular plana em S, cujo vetor normal em p é ± N. Vimos que a curvatura normal k n, é dada

8 por k n k cos θ. Como cos θ < n, N > ±, temos que k n k ( curvatura da curva seção normal, de direção w). Assim, dada uma superfície S regular e um ponto p, para cada direção w T P S, temos uma seção normal em S e um valor para a função curvatura normal k n (w). Podemos medir a curvatura normal na direção w, usando a diferencial dn p, pela fórmula [G], < dn p ( w), w > k n (w) w (.III) Os vetores unitários e ortogonais e e e T P S, tais que k k n ( e ) e k k n ( e ) são os valores mínimo e máximo respectivamente, da curvatura normal no ponto p, são chamados de direções principais. k e k são chamadas de curvaturas principais. Uma outra forma de calcular a curvatura normal na direção w ( com w ), é usando a fórmula de Euler [ K ]: k n (w) k cos θ + k sen θ, onde θ é o ângulo de w com a direção principal e, da base ortonormal { e, e } de T P S. Segunda forma fundamental : Seja x(u,v) uma superfície parametrizada regular e α(t) x ( u(t), v(t) ), com α (t) w, uma curva diferenciável nesta superfície. A aplicação II P : T P S R, dada pela forma quadrática, II P (w) < α, N > ( α é o vetor aceleração no ponto p) é chamada segunda forma fundamental da superfície S em p. [K]. Se w T P S, w α (t) u X u + v X v. Calculando-se α (t) e aplicando-a na definição de II P (w) acima, pode-se mostrar que [K], II P (w) < α, N >

9 < X uu, N > (u ) + < X uv, N > u v + < X vv, N > (v ) e (u ) + f u v + g (v ) onde e, f e g são os coeficientes da segunda forma fundamental na base { X u, X v } de T P S. A função curvatura normal k n (w), a primeira e segunda forma fundamental, estão relacionadas pela expressão k n (w) IIP (w) I (w) P < α '', Ν > α' Quando α(t) x ( u(t), v(t) ) está parametrizada pelo comprimento de arco, α (t) w I P (w). Neste caso, a segunda forma fundamental é igual à curvatura normal em p, na direção w. Curvatura Gaussiana : É o produto das curvaturas principais, K k k. A curvatura Gaussiana no ponto p pode ser expressa através dos coeficientes da primeira e segunda forma fundamental, calculados no ponto p. e g - f K(p) E G - F k k Curvatura Média : É a semi-soma das curvaturas principais, H +. A curvatura média no ponto p, também pode ser expressa através dos coeficientes da primeira e segunda forma fundamental. e G - f F + g E H(p) E G - F

0 Classificação de pontos numa superfície : Um ponto p numa superfície S é: a) Elíptico se a curvatura Gaussiana K(p) > 0. Ex. pontos da esfera b) Hiperbólico se a curvatura Gaussiana K(p) < 0. Ex. ponto de origem num parabolóide hiperbólico. c) Parabólico se a curvatura Gaussiana K(p) 0 e curvatura média H(p) 0. Ex. pontos de um cilindro. d) Planar se a curvatura Gaussiana K(p) 0 e curvatura média H(p) 0. Ex. pontos de um plano. e g - f Como a curvatura Gaussiana K k k e EG - F > 0 ( pág.7), um ponto E G - F elíptico é caracterizado pela relação eg - f > 0, onde e, f e g são coeficientes da ª forma fundamental. Um ponto hiperbólico é caracterizado por eg - f < 0 e eg - f 0, caracteriza um ponto parabólico ou planar. Um ponto p é dito umbílico se as suas curvaturas principais k e k são iguais, ou seja, a curvatura normal k n (w) no ponto p, é constante em qualquer direção w. Pode se demonstrar [K] que um ponto é umbílico, se e somente se, existe um número real λ tal que, e λ E, f λ F, g λ G g e Se F 0, f 0 e Eg eg, o ponto é umbílico pois λ g λ G G E e λ E. Sendo F 0, f 0 podemos escrever f λ F. Observe que, todo ponto planar é umbílico. Quanto aos pontos elípicos, alguns podem ser umbílicos como por exemplo os pontos de uma esfera. Os pontos hiperbólicos ( K < 0 ) nunca são umbílicos, pois com k k, nunca teremos uma curvatura

Gaussiana K k k < 0. O mesmo ocorre com os pontos parabólicos (K 0 e H 0 ), que nunca são umbílicos. Sendo H a curvatura média e K a curvatura Gaussiana, temos sempre (k H - k ) - K 0. Assim, se um ponto não é umbílico, ou seja k k 4 temos H - K > 0.. Linhas de Curvatura.. Definição e equação das linhas de curvatura Seja x(u,v) uma superfície parametrizada regular. Uma curva regular α(t) x ( u(t), v(t) ), t I R é uma linha de curvatura da superfície x(u,v), se para todo t I, o vetor α (t) é uma direção principal no ponto ( u(t), v(t) ). Dado um ponto p no plano, a curvatura normal k n (w) em qualquer direção w é constante e igual a zero. Analogamente, dado um ponto p numa esfera, k n (w) em qualquer direção também é constante, e neste caso, igual a /r, onde r é o raio da esfera [K]. Assim, qualquer curva traçada num plano ou na superfície de uma esfera, é uma linha de curvatura, pois toda direção é uma direção principal. Figura. Toda curva sobre a esfera é linha de curvatura

Vamos agora obter as equações diferenciais que determinam as linhas de curvatura por um ponto não umbílico, numa superfície regular x(u,v). A função curvatura normal no ponto p de uma superfície é k n (w) IIP ( w) IP ( w) a e + a E + a b f a b F + + b g b G onde w ax u + bx v (.I) k n (w) k é uma curvatura principal ( ponto de máximo ou mínimo), se k n w ) k 0 e n w ) 0 ( a ( b k Calculando primeiramente n w ), podemos escrever ( a ( ae + bf ) ( a E + abf + b G ) (a e + abf + b g ) ( ae -bf ) 0 Mas pela equação (.I), (a e + abf + b g ) k ( a E + abf + b G ) Substituindo na equação anterior ( ae + bf ) - k ( ae - bf ) 0 ( e - k E)a + ( f - k F )b 0 (.II) k ( Analogamente, calculando n w ), obtemos b ( f - k F)a + ( g - k G )b 0 (.III) Explicitando k nas equações (.II) e (.III ), e igualando temos e a E a + + f b F b f a F a + g b + G b Efa + Egab + Ffab + Fgb Fea + Geab + Ffab + Gf b

3 Que pode ser escrito na forma de determinante b E e - a b F f a G g 0 Sendo a linha de curvatura α(t) x ( u(t), v(t) ), o vetor α (t) w u X u + v X v será uma direção principal, se v' E e - u' F f v' u' G g 0, que pode ser escrita como, (Fg - fg) v ² + (Eg - eg) u v + (Ef - ef) u ² 0 (.IV) Para Fg fg temos uma eq. do º grau em v com b² - 4ac u ² [ (Eg - eg)² - 4 (Fg - fg) (Ef - ef) ]. Sabemos que a curvatura média H e a curvatura Gaussiana K são respectivamente e G - f F + g E H E G - F o que implica H - K e g - f e K E G - F, [ (Eg - eg)² - 4 (Fg - fg) (Ef - ef) ]. 4(EG F ) Sendo assim, podemos escrever u ² [ 4 (EG - F²) (H - K) ] e, se o ponto não é umbílico, H² - K > 0 ( pag.) é sempre positivo pois EG - F² > 0 ( pág. 7). Sendo > 0, a equação do º grau em v acima (.IV), tem duas raízes : v (eg Eg) + (Eg eg) (Fg fg) 4(Fg fg)(ef ef) u v (eg Eg) (Eg eg) (Fg fg) 4(Fg fg)(ef ef) u Estas duas equações diferenciais determinam as duas linhas de curvatura por um ponto não umbílico da superfície.

4 Observamos na equação (.IV) que se F 0, f 0 as linhas de curvatura são dadas pela solução de u v 0. Ou seja, u constante ou v constante, que são as curvas coordenadas. Para Fg fg e Eg - eg 0, a equação (.IV) se reduz à equação, (Eg - eg) u v + (Ef - ef) u ² 0 que tem soluções u 0 ou v - Ef ef u Eg eg Num ponto umbílico, toda direção é principal e na vizinhança deste ponto nada se pode afirmar de maneira genérica. Por exemplo, a origem de um parabolóide elíptico é umbílico e existem infinitas linhas de curvatura, já no caso do elipsóide x(u,v) ( a sen u cos v, b sen u sen v, c cos u ) com a > b > c > 0, não existem linhas de curvatura por seus pontos umbílicos [K]... Exemplos de linhas de curvatura Exemplo. : Determine as linhas de curvatura no parabolóide elíptico z x + y parametrizado por x(u,v) ( u cos v, u sen v, u ) v R, u 0 X u ( cos v, sen v, u ) X v (- u sen v, u cos v, 0 ) E < X u, X u > + 4u F < X u, X v > 0 G < X v, X v > u i j k X u x X v cos v sen v u u ( - u cos v, - u sen v, / ) - u sen v u cos v 0 X u x X v u u +/ 4 N u + / 4 ( - u cos v, - u sen v, / ) X uu (0, 0, ) X uv ( - sen v, cos v, 0 ) X vv ( -u cos v, -u sen v, 0 )

5 e < X uu, N > g < X vv, N > u + / 4 u u + / 4 f < X uv, N > 0 Para termos uma linha de curvatura α(t) ( u(t) cos v(t), u(t) sen v(t), u (t) ) é necessário que u(t) e v(t) satisfaçam a equação (.IV). Substituindo os valores calculados acima, na equação (.IV) e multiplicando ambos os lados por u +/ 4 v' E e - u' F f v' u' G g v' + 4 u 0 u 0 u v (4u 4 ) 0 - u' 0 v' u' u Com este resultado, teremos linhas de curvatura quando u 0, ou v 0. Se u 0 u(t) constante u 0, a linha de curvatura é a curva coordenada α(t) ( u 0 cos v(t), u 0 sen v(t), u 0 ) Se v 0 v(t) constante v 0, a linha de curvatura é a curva coordenada β(t) ( u(t) cos v 0, u(t) sen v 0, u(t) ) Observe que os coeficientes F f 0 linhas de curvatura são as curvas coordenadas, conforme observamos antes. Para ilustrar este resultado, seja o ponto x( 3.0, 0.5 ) (.6,.4, 9.0 ). As linhas de curvatura por este ponto são α(t) (3cos v(t), 3sen v(t), 9 ) e β(t) ( u(t) cos 0.5, u(t) sen 0.5, u(t) ) Figura. linhas de curvatura pelo ponto x( 3.0, 0.5 ) (.6,.4, 9.0 )

6 No ponto u 0 ( origem ), qualquer u(t) ou v(t) satisfazem a equação u v (4u 4 ) 0.. Isto significa que toda curva de superfície que passa pela origem, tem neste ponto, o vetor velocidade apontando numa direção principal. Logo na origem, qualquer direção é uma direção principal, ou seja, a origem é um ponto umbílico. Como toda curva coordenada v(t) constante ( que é também uma linha de curvatura), passa pela origem do parabolóide, podemos dizer que por este ponto umbílico, passam infinitas linhas de curvatura, e não apenas duas. Exemplo. : Determine as linhas de curvatura numa superfície de revolução x(u,v ) ( f(u)cos v, f(u)sen v, g(u) ). Uma curva α(u) ( f(u), 0, g(u) ) contida no plano xz, ao girar em torno do eixo z, gera uma superfície x (u,v) ( f(u)cos v, f(u)sen v, g(u) ). Supondo f(u) 0 e g(u) 0, vamos calcular os coeficientes da ª e ª forma fundamental: X u ( f cos v, f sen v, g ) X v (- f sen v, f cos v, 0 ) E < X u, X u > f + g 0 obs. E só se α(u) estiver parametrizada pelo comprimento de arco F < X u, X v > -f f cos v sen v + f f cos v sen v 0 G < X v, X v > f sen v + f cos v f X u x X v - f i f' cos v sen v f' sen v f j cos v k g' 0 f (-g cos v, -g sen v, f ) X u x X v ( g f ) cos v + ( g f ) cos v + ( f f ) ( f + g )f X u x X v f f ' + g' N f ' + g' (-g cos v, -g sen v, f )

7 X uu (f cos v, f sen v, g ) X uv ( -f sen v, f cos v, 0 ) X vv ( -f cos v, -f sen v, 0 ) e < X uu, N > f ' + g' ( -g f cos v - g f sen v + f g ) f ' + g' ( f g - g f ) f < X uv, N > f ' + g' (f g sen v - f g sen v) 0 g < X vv, N > f ' + g' ( g f cos v + g f sen v) f ' + g' g f Para termos uma linha de curvatura α(t) ( f(u(t))cos v(t), f(u(t))sen v(t), g(u(t)) ) é necessário que u(t) e v(t) satisfaçam a equação v' E e - u' F f v' u' G g f ' + g' f ' v' + g' 0 f 0 f ' g'' - g' f'' - u' 0 v' u' g' f u v [(f + g )g f - f ( f g g f )] 0 u v [(f + g ) g - f ( f g g f )] 0 (.V) Se u 0 u(t) constante u 0, a linha de curvatura é a curva coordenada α(t) ( f(u 0 ) cos v(t), f( u 0 ) sen v(t), g( u 0 ) ). Se v 0 v(t) constante v 0, a linha de curvatura é a curva coordenada β(t) ( f(u(t)) cos v 0, f(u(t)) sen v 0, g(u(t)) ). Nos pontos u, raízes da equação (f + g ) g - f ( f g g f ) 0, qualquer u(t) ou v(t) satisfazem a equação (.V). Isto significa que qualquer curva de superfície

8 tem nestes pontos u, os vetores velocidade apontando numa direção principal. Logo nestes pontos u,, qualquer direção é uma direção principal, ou seja são pontos umbílicos. Para estes pontos umbílicos, não existem linhas de curvatura além das curvas coordenadas, pois só u 0 ou v 0 atendem a equação (.V) para todos os valores de t. Assim, por estes pontos umbílicos só temos duas linhas de curvatura. Vamos mostrar a aplicação da teoria acima com um exemplo. Seja a curva α(u) ( sen u +, 0, u ) no plano xz. Esta curva não está parametrizada pelo comprimento de arco. Ao girar em torno do eixo z, gera uma superfície x (u,v)( (sen u + )cos v, (sen u + )sen v, u ). Ver figura abaixo, com destaque para a geratriz α(u), sobre a superfície. Figura. Superfície de revolução gerada por α(u) ( f(u), 0, g(u) ) f sen u + f cos u f -sen u g u g g 0 Substituindo estes resultados na eq (.V) temos : u v [(f + g ) g - f ( f g g f )] 0 u v [cos u + sen u(sen u + )] 0 (.VI)

9 Se u 0 u(t) constante. Por exemplo, seja u(t).. A linha de curvatura é a curva coordenada α(t) ( (sen. + )cos v(t), (sen. + ) sen v(t),. ) Se v 0 v(t) constante. Por exemplo, seja v(t) 0.5 A linha de curvatura é a curva coordenada β(t) ( sen u(t) +) cos 0.5, (sen u(t) +) sen 0.5, u(t) ). As duas linhas de curvatura para (u,v) (., 0.5 ) que se interceptam no ponto (x, y, z) (.5,.4,. ) podem ser vistas sobre a superfície de revolução abaixo. Figura.3 Linhas de curvatura pelo ponto x(., 0.5) (.5,.4,. ) As raízes do termo [cos u + sen u(sen u + )] 0, cujos valores aproximados são u 0,666 e u,475 no intervalo [0, π ], são os pontos umbílicos da superfície. Para estes pontos umbílicos, não existem linhas de curvatura além das curvas coordenadas, pois só u 0 ou v 0 atendem a equação (.VI) para todos os valores de t. A figura abaixo mostra, os pontos umbílicos u e u, na superfície de revolução.

0 Figura.4 Pontos umbílicos na superfície de revolução Exemplo.3 : Determine as linhas de curvatura no Parabolóide Hiperbólico dado por x(u,v) ( u, v, u - v ) X u (, 0, u ) X v ( 0,, -v ) E < X u, X u > +4 u F < X u, X v > -4uv G < X v, X v > + 4v X u x X v i 0 j 0 k u - v ( -u, v, ) X u x X v u + v + / 4 N u + v + / 4 ( - u, v, / ) X uu (0, 0, ) X uv ( 0, 0, 0 ) X vv ( 0, 0, - ) e < X uu, N > u f < X uv, N > 0 g < X vv, N > u + v + v + / 4 + / 4 Para que α(t) ( u(t), v(t), u (t) - u (t ) ) seja uma linha de curvatura, u(t) e v(t) devem satisfazer

v' E e - u' F f v' u' G g v' + 4 u - u' v' 4uv 0 u' + 4v 0 4uvv - ( +4v + 4u )u v + 4uvu 0 ( eq. º grau em v ) ( - -4v - 4u ) u - 4(4uv)(4uv u ) 4[ + 4(u - v ) +4(u + v )] v + u + v + + 4( u 4uv v ) + 4( u + v ) u v + u + v + 4( u 4uv v ) + 4( u + v ) u As soluções destas duas equações diferenciais determinam as duas linhas de curvatura em cada ponto do Parabolóide Hiperbólico. Não existem pontos umbílicos (vide pag 0 ), pois λ F f 0 4uv e 0 e λ E ) (+ 4u u + v + / 4 zero. Logo λ nunca é igual a λ Não existe um número real λ tal que f λ F, e λ E, g λ G Definindo um ponto no Parabolóide Hiperbólico ( u 0, v 0 ) juntamente com as equações diferenciais acima, temos problemas de valor inicial que podem ser resolvidos por cálculo numérico ( por exemplo método de Euler), cujas soluções (u, v), quando levadas à superfície x(u,v) ( u, v, u - v ), geram as duas linhas de curvatura que se interceptam no ponto dado ( u 0, v 0 ). Vamos ilustrar, escolhendo o ponto ( u 0, v 0 ) (, ) x (, ) (,, -3 ) Observe que neste ponto F 0, f 0 e as linhas de curvatura não coincidem com as curvas coordenadas. Nos pontos das curvas coordenadas ( u 0 ou v 0), F

-4uv 0, f 0 logo, nestes pontos as linhas de curvatura coincidem com as curvas coordenadas. Figura.5 Linhas de curvatura pelo ponto x (, ) (,, -3 ) De uma forma geral, podemos achar as linhas de curvatura de uma superfície regular qualquer, usando diretamente as soluções da equação do º grau em v, deduzidas na pág.3. Veremos isto no exemplo seguinte. v (eg Eg) + (Eg eg) (Fg fg) 4(Fg fg)(ef ef) u (.VII) v (eg Eg) (Eg eg) (Fg fg) 4(Fg fg)(ef ef) u Exemplo.4 : Determine as linhas de curvatura na superfície x(u,v) ( sen u, sen v cos u, cos v) Calculando os coeficientes da ª e ª forma fundamental temos: E cos u + sen u sen v F - sen(u)sen(v)cos(u)cos(v) G cos u cos v + sen v 4 4 Fazendo C sen v( sen u ) + cos u( sen v ) + cos u(cos v ), temos e sen v C f sen( u )sen( v )cos(u )cos( v ) C g cos u C

3 Substituindo estes valores nas equações diferenciais (.VII) acima, e escolhendo o ponto x (0.8, ) ( 0.7, 0.6, -0.4 ), podemos achar as linhas de curvatura por este ponto, utilizando o cálculo numérico ( programa em Maple abaixo). # Linhas curvatura pelo ponto (u,v) da superfície (sin(u), sin(v)*cos(u), cos(v)) restart; with(plots): > C:(x,y)-> sqrt(((sin(y))^4)*(sin(x))^ + ((cos(x))^)*(sin(y))^ + ((cos(x))^4)*(cos(y))^): > E:(x,y)-> ((cos(x))^ + ((sin(x))^)*(sin(y))^): > F:(x,y)-> -sin(x)*sin(y)*cos(x)*cos(y): > G:(x,y)-> ((cos(x))^)*(cos(y))^ + (sin(y))^: > e:(x,y)-> (-(sin(y))^)/c(x,y): f:(x,y)-> (-sin(x)*cos(y)*cos(x)*sin(y))/c(x,y): > g:(x,y)-> -(((cos(x))^)/c(x,y)): > # Solução equação com radical sinal positivo, pelo ponto x(0.8, ) e limitando intervalo entre os pontos de divergência u 0 e u Pi > s:{diff(y(x),x)(e(x,y)*g(x,y)-e(x,y)*g(x,y)+sqrt((e(x,y)*g(x,y)-e(x,y)*g(x,y))^- 4*(F(x,y)*g(x,y)-f(x,y)*G(x,y))*(E(x,y)*f(x,y)-e(x,y)*F(x,y))))/(*(F(x,y)*g(x,y)- f(x,y)*g(x,y))), y(0.8)} > sol: dsolve(s, y(x), typenumeric,outputlistprocedure): > odeplot(sol,[x,y(x)],0..3):# não passa por zero e Pi pois temos descontinuidade nestes pontos. > # Gerar sequência da solução encontrada, a linha de curvatura, sem chegar a zero e Pi. > y:subs(sol,y(x)):# extrai valor y > X:[ sin(u),sin(v)*cos(u), cos(v)]: > n:[3,8,0]:# Estabelece limites da a spacecurve. Para valores menores que 0.3 e maiores que.8 dá erro de precisão e não gera sequência > cx:seq(subs({uj/n[3],vy(j/n[3])},x), jn[]..n[]): > # Solução equação com radical sinal menos, pelo ponto (0.8,) e limitando intervalo entre os pontos de digergência u 0 e u Pi. > x:'x':y:'y': > s:{diff(y(x),x)(e(x,y)*g(x,y)-e(x,y)*g(x,y)-sqrt((e(x,y)*g(x,y)-e(x,y)*g(x,y))^- 4*(F(x,y)*g(x,y)-f(x,y)*G(x,y))*(E(x,y)*f(x,y)-e(x,y)*F(x,y))))/(*(F(x,y)*g(x,y)- f(x,y)*g(x,y))), y(0.8)}: # x menor que zero não pertence ao domínio, mas como a superfície é simétrica, existe curva semelhante no ponto simétrico v. > sol: dsolve(s, y(x), typenumeric,outputlistprocedure): > odeplot(sol,[x,y(x)],0..3):# não passa por zero e Pi pois temos descontinuidade nestes pontos. > # Gerar sequência da solução encontrada, a linha de curvatura, sem chegar a zero e Pi. > y:subs(sol,y(x)):# extrai valor de y. > nd:[7,4,0]: # Estabelece limites da spacecurve. Para valores menores que 0.7 e maiores que.4 dá erro de precisão e não gera sequência > cxd:seq(subs({uj/nd[3],vy(j/nd[3])},x), jnd[]..nd[]): > cxdn:seq(subs({uj/nd[3],v-y(j/nd[3])},x), jnd[]..nd[]):# linha de curvatura para lado simétrico da superfície ( para v negativo) > p: plot3d([sin(u),sin(v)*cos(u), cos(v)],u0..*pi,v0..3.4): > p:spacecurve([cx],colorblue, thickness3):# linha de curvatura correspondente a equaçaõ.

4 > p3:spacecurve([cxd],colorblack, thickness3):p5:spacecurve([cxdn],colorblack, thickness3):# linha de curvatura refernte equação. Vai de u0.7 a.4 pois não consegue aproximar de u0 nem de upi. >p4:pointplot3d([sin(0.8),sin()*cos(0.8),cos()], symboldiamond, colorwhite, thickness3): > plots[display]({p,p,p3,p4,p5}): É importante ressaltar que ao resolvermos numericamente as equações diferenciais é preciso evitar os valores de u e de v que estejam próximos aos pontos de divergência (campo de direção com inclinação vertical), pois caso contrário o método numérico falha. Nos pontos de divergência, a linha de curvatura é interrompida. Neste exemplo, as linhas de curvatura estão entre as curvas coordenadas u 0 e u π que são os pontos de divergência das equações diferenciais. Vide figura.6. Figura.6 Linhas de curvatura pelo ponto x (0.8, ) ( 0.7, 0.6, -0.4 ) 3. Linhas Assintóticas 3.. Definição e equação das linhas assintóticas Seja x(u,v) uma superfície parametrizada regular. Uma curva regular α(t) x ( u(t), v(t) ), t I R é uma linha assintótica se para cada t I, o vetor α (t) w é uma direção na qual a curvatura normal é zero, ou seja, k n (w) 0. Uma direção é dita assintótica se a curvatura normal k n (w) nesta direção é zero.

5 Uma linha reta contida numa superfície é sempre uma linha assintótica pois a curvatura normal em todos os pontos desta reta é identicamente zero [G]. O número de direções assintóticas em um ponto da superfície, depende da classificação deste ponto. Assim, a) Ponto elíptico não tem direção assintótica, pois k n (w) nunca é igual a zero. b) Ponto hiperbólico tem exatamente duas direções assintóticas. Pois, pela fórmula de Euler ( pág. 8), k n (w) k cos θ + k sen θ onde k e k são as curvaturas principais e θ é o ângulo de w com o vetor e da base ortonormal { e, e } de T P S, sendo e, e as direções principais. Igualando a equação acima a zero, 0 k cos θ + k sen θ 0 k cos θ + k ( - cos θ ) cos θ k k k cos θ + k k k e cos θ - k k k Observe que se k e k tivessem mesmo sinal ( ponto elíptico), as soluções acima seriam impossíveis pois cos θ teria que ser maior que. c) Ponto parabólico ( k k 0 e (k + k )/ 0 ) tem apenas uma direção assintótica. Suponhamos k 0 e k 0 0 k cos θ + k sen θ 0 0 + k sen θ k sen θ 0. Como k 0 θ 0 que é a única direção assintótica, determinada pelo vetor principal e. d) Ponto planar ( k k 0 e (k + k )/ 0 ) tem infinitas direções assintóticas, isto é, toda direção é uma direção assintótica. 0 k cos θ + k sen θ 0 0.cos θ + 0.sen θ Qualquer θ ( qualquer direção) atende a fórmula de Euler

6 Assim, toda curva traçada num plano é uma linha assintótica. Por outro lado, como numa esfera todos os pontos são elípticos, nenhuma curva na esfera é uma linha assintótica. As equações diferenciais que determinam as linhas assintóticas por um ponto não elíptico ( eg - f 0 ( pag. 0 ), numa superfície regular x(u,v), são obtidas diretamente da definição: k n (w) 0. k n (w) IIP ( w) IP ( w) 0 II P (w) 0 Sendo w α (t) u X u + v X v para g 0 temos a equação do º grau em v II P (w) e u + f u v + g v 0 (3.I) b² - 4ac 4u ( f - eg ) 0 pois o ponto é não elíptico por hipótese Sendo 0, a eq. do º grau acima (3.I), tem uma ou duas raízes : v' ( f + f g eg) u e v ( f f g eg) u Se g 0 e e 0 a equação 3.I se reduz a e u + f u v u ( e u + f v ) 0 f e tem duas raízes, u 0 ou u - v e Observamos na equação (3.I) que se e g 0, as linhas assintóticas são dadas pela solução de u v 0. Ou seja, u constante ou v constante que são as curvas coordenadas. 3.. Exemplos de linhas assintóticas Exemplo 3. : Determine as linhas assintóticas no helicóide x (u,v) ( u cos v, u sen v, v ).

7 Calculando os coeficientes da ª forma fundamental, achamos: e 0 f + u g 0 Os pontos do helicóide são hiperbólicos (eg - f < 0) e portanto têm duas linhas assintóticas. Substituindo na equação (3.I), e u + f u v + g v 0 u v 0 Se u 0 u(t) constante u 0, a linha assintótica é a curva coordenada x(u 0, v) ( u 0 cos v, u 0 sen v, v ), que é uma hélice circular. Se v 0 v(t) constante v 0, a linha assintótica é a curva coordenada x(u, v 0 ) ( u cos v 0, u sen v 0, v 0 ), que é uma reta. Escolhendo o ponto na superfície x (-3, 4) (.9,.3, 3.0 ), podemos achar as linhas assintóticas por este ponto, que são as curvas coordenadas. Observe que os coeficientes e g 0 linhas assintóticas são as curvas coordenadas, conforme observamos antes. Figura 3. Linhas assintóticas pelo ponto x (-3, 4 ) (.9,.3, 3.0 ) Exemplo 3. : Determine as linhas assintóticas numa superfície de revolução x (u,v) ( f(u)cos v, f(u)sen v, g(u) ). Os valores da ª forma fundamental foram calculados no exemplo.

8 e f ' + g' ( f g - g f ) f 0 g f ' + g' g f Substituindo na equação (3.I), e u + f u v + g v 0 ( f g - g f ) u + g f v 0 v g' f '' f ' g'' g' f u v' g' f '' f ' g'' g' f u e v - g' f '' f ' g'' g' f u (3.II) Como o radicando não pode ser negativo, a superfície de revolução gerada pela curva α(u) ( f(u), 0, g(u) ) ao girar em torno do eixo 0z, só apresenta linhas assintóticas nos pontos onde g' f '' f ' g'' g' f 0 Seja a superfície de revolução x (u,v) ( (sen u + )cos v, (sen u + )sen v, u ), gerada pela curva α(u) ( sen u +, 0, u ) f sen u + f cos u f -sen u g u g g 0 v ± g' f '' f ' g'' g' f u ± sen( u ) sen( u ) + u sen( u ) sen( u ) + 0 para π u π pois o denominador é sempre positivo. Escolhendo um ponto x(u 0, v 0 ) não elíptico na superfície de revolução, juntamente com as equações diferenciais (3.II) acima, temos problemas de valor inicial que podem ser resolvidos por cálculo numérico ( por exemplo método de Euler), cujas soluções v v(u) são as duas linhas assintóticas que se interceptam no ponto dado x( u 0, v 0 ). Como exemplo, escolhendo o ponto x( u 0, v 0 ) x(4, ), as duas linhas assintóticas se interceptam no ponto x (4, ) ( -0.5,., 4 ).

9 Figura 3. Linhas assintóticas pelo ponto x (4, ) ( -0.5,., 4 ) Exemplo 3.3 : Determine as linhas assintóticas no Parabolóide Hiperbólico dado por x(u,v) ( u, v, u - v ) Os valores da ª forma fundamental foram calculados no exemplo.3 e u + v + / 4 f 0 g u + v + / 4 Substituindo na equação (3.I), e u + f u v + g v 0 u - v 0 u v v + u v u + C v - u v - u + C Se as curvas assintóticas passam pelo ponto escolhido x( u 0, v 0 ), podemos determinar as constantes C e C : v 0 u 0 + C C v 0 - u 0 v 0 - u 0 + C C v 0 + u 0 Escolhendo x( u 0, v 0 ) x(, ) as duas linhas assintóticas se interceptam no ponto x (, ) (,, -3 ). V u+ α(u) ( u, u+, u - (u + ) ) ( u, u+, -u - ) v - u + 3 α(u) ( u, - u+3, u - (-u + 3) ) ( u, - u+3, 6u -9 )

30 Observe que são equações paramétricas de retas, da forma ( au + x 0, bu + y 0, cu + z 0 ) e não coincidem com as curvas coordenadas (g, e 0). Vide figura abaixo. Figura 3.3 Linhas assintóticas (retas) pelo ponto x (, ) (,, -3 ). Uma definição alternativa para linhas assintóticas é [G]: Uma curva α(t) contida numa superfície x(u,v) é uma linha assintótica se e somente se, sua aceleração α é sempre tangente a x(u,v), ou seja, α é perpendicular a N, o que também significa que α T P S. Demonstração: Sem perda de generalidade, podemos assumir α(t) parametrizada pelo comprimento de arco. Se N é o vetor normal a x(u,v), então < α, N > 0, pois α T P S, perpendicular a N. Derivando a expressão anterior temos, < α, N > + < α, N > 0 Mas N dn p (α ) ( pag. 5 ) e - k n (α ) < α, dn p (α ) > ( pag. 8 ) - k n (α ) + < α, N > 0 k n (α ) < α, N > Desta forma, k n (α ) só se anula, se e somente se, < α, N > 0 ou seja, se α é perpendicular a N. Superfícies regradas são superfícies geradas por uma reta movendo-se ao longo de uma curva α(t). A forma geral é x(t,v) α(t) + v w(t) onde w(t) é um vetor de R 3 e v R. A curva coordenada x(t 0, v) α(t 0 ) + v w(t 0 ) é a equação de uma reta, sendo portanto uma linha assintótica.

3 Exemplo 3.3 Seja a superfície regrada x(t,v) α(t) + v (α (t) + e ) onde α(t) ( cos t, sen t, 0 ) e e, o vetor ( 0, 0, ). Determine as linhas assintóticas. x(t,v) ( cos t, sen t, 0 ) + v [(-sen t, cos t, 0 ) + ( 0, 0, )] x(t,v) ( cos t - v sen t, sen t + v cos t, v ) Note que nessa superfície, x + y - z, logo é um hiperbolóide. Computando os coeficientes da ª forma fundamental, e ( + v + v ) f + v g 0 concluímos facilmente, que eg - f portanto têm duas direções assintóticas < 0, ou seja, os pontos são hiperbólicos, e Podemos identificar facilmente uma linha assintótica nesta superfície, bastando fazer t constante t 0 para termos a curva coordenada x(t 0, v) ( cos t 0 - v sen t 0, sen t 0 + v cos t 0, v ) que é uma linha reta. A outra curva coordenada v constante v 0, x(t, v 0 ) ( cos t - v 0 sen t, sen t + v 0 cos t, v 0 ) não é uma linha assintótica. Isto pode ser verificado aplicando a definição alternativa de linha assintótica vista acima, ou seja, < x(t, v 0 ), N > 0 para que x(t, v 0 ) seja linha assintótica. Calculando N restrito à curva v v 0 achamos, N + v 0 ( cos t - v 0 sen t, sen t + v 0 cos t, - v 0 ) x(t, v 0 ) ( - cos t + v 0 sen t, - sen t - v 0 cos t, 0 ) < x(t, v 0 ), N > ( + v 0 + v 0 ) 0 x(t, v 0 ) não é linha assintótica Para acharmos a outra linha assintótica, vamos usar a equação (3.I), e t + f t v + g v 0 ( + v ) t + t v 0

3 t [( + v ) t + v ] 0 duas soluções t 0 t constante curva coordenada x(t 0, v) já determinada acima. t + v v t - tg v + C Se a linha assintótica passa pelo ponto x ( π, -) (,, - ) podemos determinar o valor da constante C, π - tg π (-) + C C + tg π π (-) + (- ) 0 4 Assim, t - tg v e temos a ª linha assintótica, α (v)( cos(- tg v) v sen(- tg v), sen(- tg v) + v cos(- tg v), v ] Fazendo y tg v tg y v cos y cos ( tg v) cos y cos v y - + v + tg y + v sen (- tg v) - sen y - cos y sen y + v v + v v + v Podemos simplificar α (v) para α (v) (, -v, v ), que é uma reta. Traçando as duas curvas coordenadas e as duas linhas assintóticas por um ponto π escolhido, por exemplo x (, -) (,, - ), vemos que a curva coordenada x(t 0, v) ( cos t 0 - v sen t 0, sen t 0 + v cos t 0, v ) reta na figura 3.4, é uma linha assintótica. A outra curva coordenada, x(t, v 0 ) ( cos t - v 0 sen t, sen t + v 0 cos t, v 0 ), círculo na figura 3.4, não é uma linha assintótica, conforme vimos. A segunda linha assintótica é a reta α (v) (, -v, v ).

33 Figura 3.4 Linhas assintóticas (as retas) e curvas coordenadas pelo ponto x ( π, -) (,, - ). 4. Geodésicas 4.. Vetor Aceleração (α ) Antes de definirmos o que seja uma curva geodésica, vamos estudar como expressar o vetor aceleração α (t) em diferentes bases de R 3. No capítulo pag., expressamos o vetor aceleração, em função dos vetores τ e n do triedro de Frenet, através da fórmula (.I). dv α (t) τ + kv n dt dv Esta expressão de α (t) nos mostra que se v α ( t ) for constante, 0, e a dt aceleração não tem componente tangencial a α(t), restando apenas a componente normal à curva. Assim, sempre que v for constante, α (t) é paralelo a n, unitário normal de α(t). No caso especial em que α(t) está parametrizada pelo comprimento de arco ( p.c.a ), v α ( t ), e obviamente α (t) é paralelo a n. Uma outra forma de expressar o vetor aceleração é através da combinação linear dos vetores ortonormais τ ( unitário tangente), N ( unitário normal à superfície) e τ x N ( produto vetorial de τ e N ). O vetor tangente unitário τ é sempre perpendicular ao

34 unitário normal da superfície N, permitindo assim, que tenhamos uma base ortonormal { τ, N, τ x N }, pois os vetores são unitários e mutuamente perpendiculares. Quando a curva não está p.c.a, isto é, α ( t ) v, o vetor aceleração α (t) tem componentes A, B e C respectivamente nos vetores unitários τ, τ x N e N. α (t) A τ + B (τ x N) + C N Como os vetores são ortomormais, seus coeficientes são determinados por : i) A < α, τ > Derivando a igualdade < α, α > v dv < α, α > v dt e como τ v α dv < α, v τ > v dt dv < α, τ > dt A ii) B < α, τ x N > < N, α x τ > (aplicando propriedade do produto misto ) < N, α x α ' > N α x α cos β onde β é o ângulo entre os vetores v v N e α x α. De (.II), α x α k v 3 B v k v 3 cos β Definindo a quantidade k g k cos β como a curvatura geodésica da curva α(t), temos B k g v < α' ', Ν > iii) C < α, N > de (.III) temos k n v C k n v Assim, a equação (4.I) para qualquer α(t), com v constante, se torna dv α (t) τ + k g v (τ x N) + k n v N (4.II) dt Como os vetores X u, X v, N são linearmente independentes, temos uma terceira forma de expressar o vetor aceleração, usando a base { X u, X v, N }, não necessariamente ortogonal. Seja α(t) x( u(t), v(t) ) α (t) u X u + v X v, e diferenciando novamente temos,

35 α (t) X uu u + X u u + X uv u v + X vv v + X v v (4.III) Os vetores X uu, X uv, X vv podem ser expressos como uma combinação linear dos vetores da base { X u, X v, N } nas seguintes equações [G], X uu X uv X vv X u + X u + X u + X v + e N X v + f N X v + g N (4.IV) Os coeficientes k ij são chamados símbolos de Christoffel e podem ser determinados em função dos coeficientes da ª forma fundamental, conforme equações (4.V) abaixo. Os índices e, f e g são os coeficientes da ª forma fundamental. (GE u - FF u + FE v ) (EG F ) (EF u - EE v - FE u ) (EG F ) (GE v - FG u ) (EG F ) (GF v - GG u - FG v ) (EG F ) (EG u - FE v ) (EG F ) (EG v - FF v + FG u ) (EG F ) Substituindo as equações (4.IV) em (4.III), obtemos a expressão de α (t) na base { X u, X v, N }: α (t) ( u + ( v + u + u v + u + u v + v ) X u + v ) X v + ( e u + f u v + g v ) N (4.VI) 4.. Geodésicas e pré-geodésicas Uma curva regular α(t) contida em uma superfície x(u,v) é uma geodésica se o vetor α (t) é zero ou perpendicular à superfície no ponto α(t), isto é, α (t) é paralelo ao vetor N, normal à superfície. [P].

36 Proposição 4. Qualquer geodésica tem velocidade constante. Demonstração: Se α(t) é uma geodésica, α é paralelo a N T P S e α T P S. Logo, < α, α > 0 α α pois N dt d d α ' ( t ) < α, α > < α, α > 0 dt α ' ( t ) constante α ' ( t ) constante. Proposição 4. A reparametrização de uma geodésica α(t), pelo comprimento de arco s s(t), continua sendo uma geodésica. Demonstração: s(t) t α '(t) dt 0 t vdt. Como v é constante, s(t) v t. 0 Seja α(t) β ( s( t )). Derivando duas vezes, ds ds α (t) β (s) α (t) β (s)( ) β (s) v β (s) dt dt v α (t) Assim, o vetor aceleração de β(s), após a reparametrização da geodésica α(t), é um múltiplo escalar de α (t), ou seja, se α (t) // N β (s) // N β(s) é geodésica. Exemplo 4. Verificar que a reta com parametrização α(t) ( t, 5 t, 0 ) não é uma geodésica do plano xy. Podemos constatar isto de duas maneiras. Na primeira, α'(t) ( t, 0t, 0 ) v α ( t ) t 6 não é constante, e pela proposição 4., α(t) não é uma geodésica. A outra maneira é que α (t) (, 0, 0 ) plano xy. Isto é, α (t) N e α (t) ( 0, 0, 0 ) α (t) não é paralelo a N α(t) não é uma geodésica. Porém, se reparametrizarmos α(t) com s t vemos que β( s( t )) é uma geodésica, pois β(s) ( s, 5s, 0 ) β (s) (, 5, 0) β (s) 0. Pela definição, β(s) é uma

37 geodésica. Neste caso, em que α(t) reparametrizada se torna uma geodésica, α(t) é chamada de pré-geodésica. Fato semelhante ocorre nos círculos máximos quando parametrizados com velocidade não constante. São pré-geodésicas. Figura 4. Os círculos máximos na esfera β(s) ( cos s, sen s cos v 0, sen s sen v 0 ), com v constante, são pré-geodésicas Para sabermos se uma curva α(t) x ( u(t), v(t) ) é uma geodésica, basta analisarmos a dv equação (5.II) do vetor aceleração, α (t) τ + k g v (τ x N) + k n v N. dt dv Primeiramente v α ( t ) deve ser constante para que 0 e, α (t) não tenha dt componente tangencial. Para não termos componente na direção τ x N, como v 0, a curvatura geodésica k g deve ser zero. Precisamos então, de uma forma prática de calcular a curvatura geodésica de uma curva α(t) qualquer, e verificar se ela é igual a zero em todos os seus pontos. Vimos acima, quando calculamos o coeficiente B da equação (4.II) que, B < N, α x α ' > k g v v Logo, podemos achar a curvatura geodésica de α(t) por: k g < N, α x α > v 3 Porém, como saber se uma curva α(t) x ( u(t), v(t) ) é uma pré-geodésica? Se α ( t ) constante, será que α(t) pode ser reparametrizada para β(s), tal que β(s )seja

38 uma geodésica? Pode-se demonstrar [G] pág. 568, que para α(t) ser uma prégeodésica, basta também que a sua curvatura geodésica seja nula em todos os pontos α(t). Exemplo 4. Verificar que no cilindro reto x(u,v) ( cos u, sen u, v ), a seção normal ( interseção por p, entre o cilindro com plano ortogonal ao plano tangente ), não paralela à base e que não contenha o eixo z, não é uma geodésica ( nem pré-geodésica) e que a hélice circular, α(t) ( cos t, sen t, t ) é uma geodésica. Figura 4. Seção normal do cilindro reto e a hélice circular p Seja a seção normal α(t) x ( u(t), v(t) ), com u(t) t e v(t) a cos t 0 t π a > 0 e α(t) ( cos t, sen t, a cos t ) α (t) (-sen t, cos t, -a sen t ) α ( t ) + a sen t α (t) (- cos t,- sen t, -a cos t ) Vamos calcular o vetor normal N do cilindro. Com u(t) t X u ( -sen t, cos t, 0 ), X v ( 0, 0, ), X u x X v ( cos t, sen t, 0 ) N ( cos t, sen t, 0 ). Comparando α (t) com N, vemos que não são paralelos pois N tem a 3ª componente nula. Mas será que existe alguma parametrização de α(t) que a torne uma geodésica? Será que α(t) é uma pré-geodésica? Conforme vimos acima, basta verificar se a curvatura geodésica de α(t) é nula em todos os pontos, ou seja, se k g < N, α x α > 0 < N, α x α > 0 pois v 0 v 3

39 Mas, cost sent 0 cost sent acost a cos t 0 α(t) não é pré-geodésica. sent cost asent Seja agora a hélice circular α(t) x ( u(t), v(t) ), com u(t) t e v(t) t α(t) ( cos t, sen t, t ) α (t) (-sen t, cos t, ) α ( t ) (constante) 0 t π α (t) (- cos t,- sen t, 0 ). Comparando α (t) com N ( cos t, sen t, 0 ), vemos que são paralelos (α é múltiplo escalar de N). Assim, α(t) é uma geodésica. Exemplo 4.3 Verificar se α(t) ( t, t, t ) é uma pré-geodésica de x(u,v) ( u, v, uv ). Seja α(t) x( u(t), v(t) ), com u(t) t e v(t) t α(t) ( t, t, t ) α'(t) (,, t) α ( t ) + 4t constante ( não é uma geodésica) α (t) ( 0, 0, ) N de x(u,v) ( u, v, uv ), X u (, 0, v ), X v ( 0,, u ), X u x X v ( -v, -u, ), X u x X v u + v + com u(t) t e v(t) t N t + (-t,- t, ) Calculando a curvatura geodésica, k g t + ( 4t + ) 3 t t 0 0 t t < N, α x α > v 3 + ( 4t + ) 3 ( -t +t ) 0 Logo a curva α(t) ( t, t, t ) é uma pré-geodésica de x(u,v). Observe que não precisamos saber qual é a reparametrização de α(t) para afirmarmos que se trata de uma pré-geodésica.

40 4.3. Equações das geodésicas Para termos as equações diferenciais que permitem obter as funções u(t) e v(t) das geodésicas α(t) x ( u(t), v(t) ) de uma superfície regular x(u,v), basta zerarmos as componentes dos vetores X u e X v, do vetor aceleração α (t), na equação (4.VI): α (t) ( u + u + u v + v ) X u + ( v + u + u v + v ) X v + ( e u + f u v + g v ) N Assim, temos o sistema de duas equações diferenciais de ª ordem, u + v + u + u v + u + u v + v 0 (4.VII) v 0 Se x(u 0, v 0 ) p e w ax u (u 0, v 0 ) + bx v (u 0, v 0 ), o teorema de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais, garante a existência de funções u(t) e v(t) num intervalo t ( -ε,ε ), satisfazendo as equações (4.VII) com as condições ( u(0), v(0) ) ( u 0, v 0 ), du dv (0) a, (0) b dt dt Isto garante a existência e unicidade da geodésica α(t) x ( u(t), v(t) ), tal que α(0) p e α (0) w. Vide [K]. É importante ressaltar que as pré-geodésicas α(t) x ( u(t), v(t) ), não satisfazem as equações (4.VII), pois as pré-geodésicas não têm velocidade constante. A prégeodésica α(t) ( t, t, t ), do exemplo 4.3, na superfície x(u,v) ( u, v, uv ), não atende as equações (4.VII) pois, E + v, Christoffel: 0 F uv e G + u. Pelas equações (4.V) temos os símbolos de v + u + v 0 0 u + u + v 0

4 Como u(t) t e v(t) t, u, u 0 e v, v 0. Levando estes valores nas equações (4.VII) elas só se verificam para t 0. Ou seja, as equações (4.VII) não são satisfeitas pela pré-geodésica α(t). Exemplo 4.4 Obter as geodésicas do cone x(u,v) ( u cos v, u sen v, u). Os coeficientes da ª forma são E, temos os símbolos de Christoffel: 0 0 u 0 Assim, o sistema de equações diferenciais (4.VII) é u - u v 0 () F 0 e G u. Pelas equações (4.V) 0 u v + u u v 0 () A equação () pode ser reduzida a equação de ª ordem, da seguinte maneira, v v u dt - C dt ln v - ln u + c v u u Considerando que a geodésica procurada α(t) x ( u(t), v(t) ) está parametrizada pelo comprimento de arco ( p. c. a.), podemos assumir, α ( t ) E u + G v C Substituindo v na expressão acima, temos u u u Dividindo v por u obtemos uma integral que caracteriza as geodésicas do cone. u C dv v ' C du u' u u C du v C u u C Calculando esta integral, obtemos v sec u C + d e resolvendo em relação a v u, temos finalmente u C sec + D

4 Ao passarmos da variável t para a variável v, não podemos garantir que α(v) esteja parametrizada pelo comprimento de arco, e passamos a ter na realidade uma prégeodésica. Assim, a equação das pré-geodésicas do cone é α(v) x( u(v), v ) v ( C sec + D cos v, C sec v + D sen v, C sec v + D ) (4.VIII) Se quisermos achar a pré-geodésica pelos pontos x(u, v) x(, 0) e x(, primeiramente substituímos estes valores na equação u u(v) acima, obtendo o sistema, C sec constantes D - 4 π 0 + D e C sec π π e C cos (D) cos(- ). 4 π ), + D. A seguir achamos as Com estes valores na equação (4.VIII), temos a pré-geodésica da figura 4.3 Figura 4.3 Pré-geodésica pelos pontos x(, 0) e x(, π ) no cone. 4.4. Exemplos de geodésicas Nos exemplos que seguem, os sistemas de equações diferenciais obtidos, já não são tão simples como o do exemplo anterior (cone), o que nos impede de achar uma

43 solução analítica para a função v v(u). Vamos então adotar a solução numérica via programação no Maple. Exemplo 4.5 Geodésicas no parabolóide elíptico x(u,v) ( u cos v, u sen v, u ). No exemplo. já calculamos (4.V) temos os símbolos de Christoffel: 4u + 4u 0 E +4 u, F 0 e G u. Pelas equações u + 4u 0 0 u Assim, o sistema de equações diferenciais (4.VII) é ( +4 u )u +4u u - uv 0 uv + u v 0 Para o ponto x(u, v) x( 3, ) com direções (, ) e (, ), podemos resolver o sistema numericamente, através do programa Maple [O]: >restart: with(plots): X:[u*cos(v),u*sin(v),u^]: n:[-3,5,0]: n:[-8,,5]: >eq: (+4*u^)*diff(u(t),t$) +4*u*(diff(u(t),t))^ - u*(diff(v(t),t))^ 0: > eq: u*diff(v(t),t$) + *diff(u(t),t)*diff(v(t),t) 0: >desys:dsolve({eq, eq, u(0)3, v(0), D(u)(0), D(v)(0)},{u(t),v(t)}, type numeric, output listprocedure): >desys:dsolve({eq, eq,u(0)3, v(0), D(u)(0), D(v)(0)},{u(t),v(t)}, type numeric, output listprocedure): >dequ:subs(desys,u(t)): deqv:subs(desys,v(t)): dequ:subs(desys,u(t)): deqv: subs(desys,v(t)): >listp:seq(evalf(subs({udequ(j/n[3]),vdeqv(j/n[3])},x)),jn[]..n[]): >listp:seq(evalf(subs({udequ(j/n[3]), vdeqv(j/n[3])},x)), jn[]..n[]): >p:plot3d([u*cos(v),u*sin(v),u^],u0..5, v0..6.8): p:pointplot3d([3*cos(), 3*sin(), 9], symboldiamond, colorwhite, thickness4):

44 >p3: spacecurve([listp],colorred, thickness3): p4: spacecurve([listp],colorblue, thickness3): > plots[display]({p,p,p3,p4}); Obtemos assim, conforme figura 4.4, duas geodésicas pelo ponto x( 3, ) (.5,.5, 9 ). Lembramos que, dado um ponto, para cada direção que escolhermos, podemos traçar uma geodésica. Figura 4.4 Geodésicas pelo ponto x( 3, ) com direções (, ) e (, ). Exemplo 4.6 Geodésicas no parabolóide hiperbólico x(u,v) ( u, v, u -v ). No exemplo.3. já calculamos E +4 u, F -4uv e G +4v. Pelas equações (4.V) temos os símbolos de Christoffel: 4u 0 4u + 4v + 4u 4v + 4v 0 + 4u 4u + 4v + 4u 4v + 4v + Assim, o sistema de equações diferenciais (4.VII) é u + 4u 4u + 4v u - + 4u 4u + 4v v 0 +

45 v - 4u 4v + 4v + u + 4u 4v + 4v + v 0 Para o ponto x(u, v) x(, ) e direções (3, ) e (, ), podemos resolver o sistema numericamente, através do programa Maple acima, e obtermos a figura 4.5. Figura 4.5 Geodésicas pelo ponto x(, ) com direções ( 3, ) e (, ) Exemplo 4.7 Geodésicas no toro x(u,v)( (3+cos v)cos u, (3+cos v)sen u, sen v ) Os coeficientes da ª forma são, E (3+ cos v) F 0 G Pelas equações (4.V) temos os coeficientes de Christoffel: 0 sen( v ) 3 + cos( v ) 0 ( 3+ cos v) sen v 0 0 Com o sistema de equações diferenciais (4.VII) abaixo, e considerando o ponto x(u, v) x(0, π ), com direções (, ) e (, 3), obtemos as geodésicas da figura 4.6 u - sen( v ) 3 + cos( v ) u v 0 v + ( 3+ cos v) sen v u 0

46 Figura 4.6 Geodésicas pelo ponto x(0, π ) com direções (, ) e (, 3 ). Exemplo 4.8 Geodésicas na superfície x(u,v) ( sen u, sen v cos u, cos v ) Neste caso, os símbolos de Christoffel já apresentam um grau maior de complexidade. Vamos então usar um programa Maple que calcula automaticamente os coeficientes da ª forma, os símbolos de Christoffel e a seguir aplica os resultados no sistema de equações diferenciais que calcula numericamente a geodésica α(t) x ( u(t), v(t) ), dado um ponto da superfície e uma direção. > restart: with(plots): X: [sin(u),sin(v)*cos(u), cos(v)]: >dp:proc(x,y) # produto interno de X e Y > X[]*Y[]+X[]*Y[]+X[3]*Y[3]; > end: > Jacf:proc(X) # Jacobiano de X > local Xu,Xv; > Xu:[diff(X[],u),diff(X[],u),diff(X[3],u)]; > Xv:[diff(X[],v),diff(X[],v),diff(X[3],v)]; > simplify([xu,xv]); > end: > EFG:proc(X) # Coeficientes a forma fundamental > local E,F,G,Y; > Y:Jacf(X); > E: dp(y[],y[]); > F: dp(y[],y[]);

47 > G: dp(y[],y[]); > simplify([e,f,g]); > end: > Gamaijk:proc(X) # símbolos de Christoffel da superfície X > local G,G,G, G, G, G, M, dn; > M:EFG(X); > dn: *(M[]*M[3]-(M[])^); > G:(M[3]*diff(M[],u)-*M[]*diff(M[],u)+M[]*diff(M[],v))/dn; > G: (M[3]*diff(M[],v)-M[]*diff(M[3],u))/dn; > G: (*M[3]*diff(M[],v)- M[3]*diff(M[3],u) - M[]*diff(M[3],v))/dn; > G: (*M[]*diff(M[],u) - M[]*diff(M[],v) - M[]*diff(M[],u))/dn; > G: (M[]*diff(M[3],u) - M[]*diff(M[],v))/dn; > G: (M[]*diff(M[3],v) - *M[]*diff(M[],v) + M[]*diff(M[3],u))/dn; > simplify([g, G, G, G, G, G]); end; > G:Gamaijk(X): # Variável para extrair os símbolos de Christofell >eq: diff(u(t),t$) + G[]*(diff(u(t),t))^ + *G[]*diff(u(t),t)*diff(v(t),t)+ G[3]*diff(v(t),t)^0: >eq: diff(v(t),t$) + G[4]*(diff(u(t),t))^+ *G[5]*diff(u(t),t)*diff(v(t),t) + G[6]*diff(v(t),t)^0: desys:dsolve({eq, eq, u(0)0.8, v(0), D(u)(0), D(v)(0)},{u(t),v(t)}, type numeric, outputlistprocedure): >desys:dsolve({eq, eq, u(0)0.8, v(0), D(u)(0), D(v)(0)4},{u(t),v(t)}, type numeric, outputlistprocedure): >dequ:subs(desys,u(t)): deqv: subs(desys,v(t)): dequ:subs(desys,u(t)): deqv: subs(desys,v(t)): >listp:seq(evalf(subs({udequ(j/n[3]),vdeqv(j/n[3])},x)),jn[]..n[]): >listp:seq(evalf(subs({udequ(j/n[3]), vdeqv(j/n[3])},x)), jn[]..n[]): >p:plot3d([sin(u),sin(v)*cos(u),cos(v)],u0..*pi,v0..3.4): >p:pointplot3d([sin(0.8),sin()*cos(0.8),cos()], symboldiamond, colorwhite, thickness3):

48 >p3: spacecurve([listp],colorred, thickness3): p4: spacecurve([listp],colorblue, thickness3):# Geodésicas > plots[display]({p,p,p3,p4}); Figura 4.7 Geodésicas pelo ponto x(0.8, ) com direções (, ) e (, 4). 4.5. Superfícies de Revolução Seja a superfície de revolução x(u,v) ( f(u)cos v, f(u)sen v, g(u) ) dos exemplos. e 3.. Os coeficientes da ª forma são, E f + g, F 0 e G f. Pelas equações (4.V) temos os símbolos de Christoffel: f f + g g f ' + g 0 ff ' f + g 0 f 0 f Temos então o sistema de equações diferenciais (4.VII) abaixo, atentando para o fato df dg du de que f, g, mas u, du du dt dv v. dt f f + g g u + f ' + g ff ' u - f + g v 0 () v + f f u v 0 ()

49 A partir deste sistema podemos tirar as seguintes conclusões: a) Os meridianos ( v v 0 e u u(t) ), parametrizados pelo comprimento de arco ( ou com velocidade constante), são geodésicas. Demonstração: Como v v 0 v 0 e v 0, a equação (), é satisfeita imediatamente. Para verificarmos a equação (), seja o meridiano α(u) ( f(u) cos v 0, f(u) sen v 0, g(u) ) parametrizado pelo comprimento de arco (p. c. a.). α'(u) ( f cos v 0, f sen v 0, g ) α ( u ) f + g f g', derivamos temos f g' g'' g' g' g'' f ' f f + g g 0 Por outro lado, α ( u ) f + g I P E u + G v f + g ( f + g )u + f. 0 u u ± u 0 Levando estes últimos resultados na equação (), ela também é satisfeita. b) Os paralelos ( u u 0 e v v(t) ), parametrizados pelo comprimento de arco ( ou com velocidade constante), são geodésicas se f 0. Demonstração: Sendo u u 0 u 0 e u 0. A equação () fornece v 0 v constante, o que sempre ocorre se o paralelo está p.c.a.. A equação () fica, ff ' f + g v 0, e para que o paralelo ( u constante e v v(t) ), seja uma curva, é necessário v 0, caso contrário teríamos u constante e v constante, o que não gera uma curva. Quanto ao fator f, sabemos por definição que para termos uma superfície de revolução, é necessário f 0. Logo, a única opção que sobra para termos a equação () satisfeita é f 0.

50 Em outras palavras, para que um paralelo seja uma geodésica, é necessário que este paralelo seja gerado pela rotação de um ponto da curva geratriz, onde a tangente é paralela ao eixo de revolução. Figura 4.8 Paralelos geodésicos e não geodésicos. Figura do livro [M]. Observação: Quando o meridiano ou paralelo ( com f 0), não está parametrizado com velocidade constante, sabemos que ele sempre pode ser reparametrizado pelo comprimento de arco, se tornando assim uma geodésica pelas letra a) e b) Logo este meridiano ou paralelo, é uma pré-geodésica. c) Uma geodésica parametrizada pelo comprimento de arco, que não é um meridiano ou um paralelo, tem por equação, u c f f ' f + g' c dv + D onde c e D são constantes (4.IX) Demonstração: Basta seguir passo a passo, o mesmo procedimento usado para achar as equações geodésicas do cone, exemplo 4.4, pag. 4 Exemplo 4.9 Geodésicas na superfície de revolução x(u,v) (sen u + )cos v, (sen u+ )sen v, u ), diferentes de meridiano e paralelo. Podemos usar a fórmula analítica acima (4.IX), que geralmente nos leva a uma integral de difícil solução, ou o método computacional que segue. Os coeficientes da

5 ª forma são E cos u +, F 0 e G ( sen u + ). Pelas equações (4.V) temos os símbolos de Christoffel: 0 cos(u )sen( u ) cos u + 0 cos(u ) sen( u ) + Assim, o sistema de equações diferenciais (4.VII) é, - 0 cos + ) u + cos(u )( sen( u ) u - cos(u )sen( u ) u - cos u + cos(u ) v + sen( u ) + u v 0 cos(u )( sen( u ) + ) cos u + v 0 Para o ponto x(u, v) x( 4, ) e direções (, ) e (, 3), podemos resolver o sistema numericamente, através do programa Maple do exemplo 4.5, e obtermos as duas geodésicas mostradas na figura 4.9. Figura 4.9 Geodésicas pelo ponto x(4, ) com direções (, ) e (, 3). 4.6. Menor distância Vamos definir o termo menor distância como sendo o menor comprimento entre dois pontos ao longo de uma curva da superfície. Seja o cone x(u,v) ( u cos v, u sen v, u) do exemplo 4.4, cujas pré-geodésicas são dadas por,

5 α(v) ( C sec v + D cos v, C sec v + D sen v, C sec v + D ) 3π e que nos permitiu traçar a pré-geodésica pelos pontos P x(, 0) e P x(, ), 4 na fig. 4.0. Tracemos agora pelos mesmos pontos, o arco do círculo paralelo ( z ). Qual é a menor distância entre P e P, considerando os dois caminhos dados? Figura 4.0 Qual a menor distância entre os pontos indicados? P P O cálculo do comprimento de arco L entre P e P via geodésica, aplicando a v fórmula L α ( t ) dv [M], pode ser feito utilizando os seguintes comandos v Maple: > d: -3*Pi/(8*sqrt()): c: cos(d): > alfa:[c*sec(v/sqrt()+d)*cos(v),c*sec(v/sqrt()+d)*sin(v),c*sec(v/sqrt()+d)]: > valfa: diff(alfa,v): > norma:sqrt(valfa[]^+valfa[]^+ valfa[3]^): > evalf(int(norma,v0..3*pi/4)): # L distância via geodésica.099 A distância L entre P e P via arco do círculo paralelo z, pode ser calculado pela fórmula L (v - v ) r, onde r z L 3π /4.356. Ou seja, L < L Seja agora o toro x(u,v)( (3+cos v)cos u, (3+cos v)sen u, sen v ) do exemplo 4.7, cuja solução numérica do sistema de equações diferenciais nos permitiu traçar a

53 geodésica pelo pontos P x(0, π ). Esta geodésica ( na fig. 4.), passa também pelo 3π π ponto P x(, ), conforme podemos confirmar graficamente plotando o ponto 4 3π π x(, ). Tracemos agora pelos mesmos pontos, o arco do círculo paralelo z 4 sen π. Qual é a menor distância entre P e P considerando os dois caminhos dados? P P Figura 4. Qual a menor distância entre os pontos indicados? O cálculo do comprimento de arco L entre P e P via geodésica, pode ser feito através dos seguintes comandos Maple, onde listp é a seqüência de pontos (x, y, z ) que plotaram a geodésica no espaço: S:0: for i from to 43 # número de pontos na sequência listp > do > dist: sqrt( (listp[i+][]-listp[i][])^ + (listp[i+][]-listp[i][])^ + (listp[i+][3]- listp[i][3])^ ); > S: S + dist; > od: S; # distância via geodésica 6.009 A distância L entre P e P via arco do círculo paralelo z, pode ser calculado pela fórmula L (v - v ) r, onde r 3 L 3 x 3π /4 7.0685. Ou seja, L < L Estes resultados ilustram uma propriedade fundamental de uma geodésica, que é o fato de que localmente, ela minimiza o comprimento de arco entre dois pontos.

54 A proposição que não iremos demonstrar ( [M] pag. 35 ) é que dados os pontos P e P suficientemente próximos, o arco da geodésica por estes pontos tem comprimento menor ou igual que qualquer outra curva regular da superfície, que ligue P e P. 5. O Pêndulo de Foucault 5.. Campo de vetores Paralelo Neste trabalho, vamos nos restringir aos campos de vetores tangentes. Um campo de vetores tangentes à superfície S, é uma aplicação w que associa a cada ponto p da superfície, um vetor w(p) a X u + b X v no plano tangente. Primeiramente vamos escolher as bases em que vamos trabalhar. Seja a esfera S π π x(u,v) ( R cos u cos v, R sen u cos v, R sen v ), onde 0 u π e - v. As curvas coordenadas β(v) x(u 0, v) e α(u) x(u, v 0 ) são respectivamente os meridianos ( longitudes) e paralelos ( latitudes). Os vetores tangentes a estas curvas são α ( -R sen u cos v 0, R cos u cos v 0, 0 ) e β ( -R cos u 0 sen v, -R sen u 0 sen v, R cos v 0 ). Como < α, β > 0, os vetores E α ' ( - sen u, cos u, 0 ), E α' β ' ( - cos β ' u 0 sen v, - sen u 0 sen v, cos v ) e N α' x β ' α' x β ' ( cos u cos v, sen u sen v, sen v ) formam uma base ortonormal em R 3 e { E, E } formam uma base ortonormal no plano tangente T P S.

55 Um vetor w de R 3 pode ser escrito como w a E + b E + c N, mas um residente na esfera ( restrita a duas dimensões), verá o vetor w apenas pela sua projeção no plano tangente, ou seja, a E + b E. Figura 5. Base ortonormal { E, E, N } Um campo de vetores V(u) tangentes à esfera S, é dito Paralelo ao longo da curva α(u), se c(u)n(u). d V(u) não tem componentes em E (u) ou E (u), ou seja, se du d V(u) du Obs. Uma definição de geodésica em termos de campo de vetores Paralelo é a seguinte: Uma curva a(t) é uma geodésica, se o seu campo de vetores a (t) é um d campo de vetores Paralelo ao longo de a(t), ou seja, se a (t) a (t), não tem dt componentes em X u ou X v. Veja que esta definição está de acordo com a equação 4.VI de a (t), obtida no capítulo anterior. Vamos achar as condições necessárias para que um campo de vetores tangentes à esfera, seja Paralelo ao longo do círculo de latitude v 0.

56 Figura 5. Campo de vetores tangentes à esfera, Paralelo ao longo do círculo de latitude v 0 Lema: Um campo de vetores Paralelo V(u) tem módulo constante. Demonstração: Como V(u) é um campo Paralelo, d < V(u), V(u) > du d V(u), V(u) du < c(u)n(u), V(u) > 0 pois N(u) e V(u) são perpendiculares. < V(u), V(u) > constante V(u) constante. Como V(u) é um vetor tangente à esfera, V(u) T P S, e podemos escrever V(u) A(u) E (u) + B(u) E (u). Sendo V(u) const. V(u) A(u) + B(u) L A(u) L cos θ(u) e B(u) L sen θ(u) onde θ(u) é o ângulo de V(u) até E (u). Supondo L para maior simplicidade, temos a expressão para o campo de vetores Paralelo. V(u) cos θ(u) E (u) + sen θ(u) E (u) d dθ d dθ d V(u) - sen θ E + cos θ E + cos θ E + sen θ E du du du du du Mas du d E ( - cos u, sen u, 0 ) sen v 0 E - sen v 0 N d E ( sen u sen v 0, - cos u sen v 0, 0 ) - sen v 0 E du

57 Obs: Veja que E e E não são campos Paralelos, pois suas derivadas têm componentes em E ou E. Substituindo as derivadas acima, a expressão final para du d V(u) fica, d V(u) - sen θ ( dθ sen v 0 + du du dθ )E + cos θ ( sen v 0 + )E - cos θ sen v 0 N du Para que V(u) seja um campo Paralelo, du d V(u) não pode ter componentes em E (u) ou E (u). Considerando também que sen θ e cos θ não podem ser simultaneamente zero, temos que ter dθ - sen v 0. Integrando de 0 a u du θ(u) θ(0) u sen ( v0 ) du θ(u) θ(0) u sen v 0 0 Concluímos portanto que num campo de vetores tangentes a S, Paralelo ao longo do círculo de latitude v 0, o ângulo de rotação (θ), de V(u) em relação a E (u), varia de -π sen v 0 quando u varia de 0 a π, ou seja, quando damos uma volta completa no círculo de latitude v 0. Este ângulo de rotação é chamado de holonomia. Obs: Sendo V(u) um campo Paralelo, para os residentes na esfera não deveria haver esta rotação de V(u) em relação a E (u). Mas lembramos que o campo de vetores E (u) ao longo do círculo paralelo v 0 não é um campo Paralelo. Assim, toda mudança de ângulo de V(u), deve ser atribuída à mudança de direção de E (u). 5.. O pêndulo de Foucault x campo Paralelo Uma aplicação prática dos conceitos vistos no parágrafo anterior, é a explicação para o movimento de precessão ( giro do plano de oscilação ) observado no pêndulo de Foucault [F]. Em 85, Jean Foucault construiu um pêndulo consistindo de uma pesada bola de ferro suspensa por um longo cabo de 67m, com o objetivo de demonstrar a rotação da Terra. Foucault observou que o plano de oscilação do

58 pêndulo gira ( precessão) com um período de T 4/ sen v 0 horas, sendo v 0 a latitude (paralelo) onde o experimento é realizado. Ele concluiu que isto se deve à rotação da Terra. Figura 5.3 movimento de precessão Pêndulo de Foucault com Para modelarmos o comportamento do pêndulo de Foucault à teoria de campo Paralelo, vamos considerar a Terra sem rotação e o pêndulo se deslocando com velocidade constante sobre o círculo de latitude v 0, durante 4 horas. Isto é equivalente à situação real, com a Terra girando e o pêndulo fixo na Terra. Vamos considerar ainda que : - O longo cabo provoca uma pequena oscilação do pêndulo, podendo ser considerada como reta e portanto um vetor tangente à Terra. Em cada momento t, temos um vetor oscilação V(t) e todos estes vetores podem ser colocados ao longo do círculo paralelo v 0, x( u, v 0 ) α(u), associando cada t, a um único vetor sobre α(u). Temos então um campo de vetores V(u) para as oscilações do pêndulo. - Como nos movemos lentamente ao longo do círculo de latitude v 0, a força centrípeta no pêndulo é desprezível ( /90) comparada com a força mg. Assim, a única força sentida pelo pêndulo é na direção normal N, ou seja, o