Espaços com Produto Interno

CAPÍTULO 2 Espaços com Produto Interno Espaços com produto interno foram introduzidos em um curso de Álgebra Linear. 1 Algumas propriedades de um espaço com produto interno independem de sua dimensão ser finita. Isso acontece, por exemplo, com a desigualdade de Cauchy- Schwarz e a identidade do paralelogramo. Neste capítulo estudamos as propriedades básicas dos espaços com produto interno. Em seguida, estudamos bases ortonormais (uma generalização do conceito em dimensão finita) e caracterizamos os espaços de Hilbert. 2.1 Produto Interno A primeira seção deste capítulo relembra conceitos e propriedades elementares de um espaço com produto interno. Se você estiver bem familiarizado com esse conteúdo, detenha sua atenção apenas nos exemplos que apresentaremos. (Um tratamento alternativo e mais aprofundado de alguns tópicos desta seção pode ser encontrado no Apêndice??.) Definição 2.1 Seja E um espaço vetorial sobre o corpo K. Um produto interno em E é uma função, : E E K satisfazendo as seguintes propriedades: (i) u, v = v, u ; (ii) u + λv, w = u, w + λ v, w ; (iii) u, u 0 e u, u = 0 se, e somente se, u = 0. Se E for um espaço vetorial sobre os complexos, o espaço E e o produto interno também são chamados, respectivamente, de espaço hermitiano ou unitário e produto hermitiano. Assim, um produto interno é linear na primeira variável. Decorre da propriedade (i) que um produto interno é anti-linear na segunda variável: 2 u, v + λw = u, v + λ u, w. 1 Veja, por exemplo, [AL], Capítulo 8. 2 Em geral, autores fortemente ligados à Física preferem colocar a linearidade na segunda variável. 1

2 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Exemplo 2.2 Os espaços R n e C n são espaços com produto interno, definindo-se x, y = n x i y i = (y 1... y n ) x 1. x n = ȳ t x, em que ȳ é a matriz obtida ao se tomar o conjugado em cada coordenada de y. Esse é o produto interno canônico no espaço K n. ) ) Exemplo 2.3 Consideramos o espaço C L 2( [a, b], K no Capítulo??. Em CL 2( [a, b], K, definimos f, g = b a f (x)g(x)dx. É imediato verificar que, é um produto interno. Na verdade, esse é um produto interno em L 2( [a, b], K ). Exemplo 2.4 Introduzimos no Capítulo?? o espaço l 2, das sequências em K de quadrado somável: { } l 2 = x = (x n ) n N : x n 2 <. n=1 Em l 2, definimos o produto interno x, y = (x n ), (y n ) = n=0 x n y n. (A desigualdade x n y n (1/2) [ x n 2 + y n 2] garante que a série é absolutamente convergente.) A verificação que, é um produto interno é simples. Exemplo 2.5 O Teorema?? do Apêndice?? garante que todo espaço vetorial V = {0} possui uma base de Hamel. Se B = {x γ : γ Γ} for uma base de Hamel de V, definimos, para α, γ Γ, { 1, se γ = α, x γ, x α = 0, se γ = α. Se x = k α ix δi e y = l β ix ɛi, estendendo a definição de, linearmente, obtemos um produto interno no espaço V. (Observe que a extensão ocorre ao considerarmos combinações lineares de elementos da base de Hamel.) Notamos, contudo, que a existência de uma base em X não significa que podemos explicitar seus elementos. Assim, geralmente, não há como calcular o produto interno de quaisquer elementos do espaço e a definição dada acima para o produto interno torna-se meramente teórica. Definição 2.6 Sejam u, v vetores do espaço com produto interno E. Dizemos que esses vetores são ortogonais (ou perpendiculares), se u, v = 0. Nesse caso, escrevemos u v. Vamos mostrar que u = u, u 1/2 0 define uma norma. Para isso, notamos inicialmente que, com essa definição, temos (i) 0 = u = u, u 1/2 u = 0; (ii) λu = λu, λu 1/2 = ( λ λ ) 1/2 u, u 1/2 = λ u ;

2.1. PRODUTO INTERNO 3 Teorema 2.7 (Pitágoras) Seja E um espaço com produto interno e u = u, u 1/2. Então, se u v, temos u + v 2 = u 2 + v 2. Demonstração: Basta desenvolver u + v 2 : u + v 2 = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v = u 2 + v 2, pois u e v são ortogonais. Suponhamos agora que E seja um espaço real. Então u + v, u + v = u 2 + 2 u, v + v 2. Se valer o Teorema de Pitágoras, então u v. (Veja o Exercício 2.) Se u, v E forem dois vetores linearmente independentes (com u = λv para todo λ K), então podemos escrever o vetor v como a soma de dois vetores: v = αu + w, em que w é ortogonal a u. De fato, como devemos ter w = v αu, basta mostrar que existe α K tal que v αu, u = 0. Essa equação pode ser resolvida facilmente: v αu, u = 0 α = v, u u 2. (Note que u = 0 implica u = 0v e os vetores u e v são linearmente dependentes.) O vetor αu = v,u u 2 u é a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u. u w proj v u Figura 2.1: O vetor proj v u = ( u, v / v 2 )v é a projeção ortogonal do vetor u no vetor não nulo v. Proposição 2.8 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Seja E um espaço com produto interno. Então, se u = u, u 1/2, para todos u, v E vale: u, v u v. A igualdade apenas ocorre se u = λv. Demonstração: A prova que apresentaremos é bem geométrica. 3 Se u = λv, então u, v = λ v, v = λ v 2 = u v. Se u = λv, já vimos que existe α K tal que v αu, u = 0 para α = v, u / u 2. Pelo Teorema de Pitágoras, temos αu 2 < v 2. Substituindo o valor de α, obtemos v, u 2 u 4 u 2 < v 2, e a desigualdade (estrita) de Cauchy-Schwarz segue-se imediatamente daí, pois v, u = u, v. v 3 Outra demonstração é sugerida no Exercício 3.

4 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Todo espaço com produto interno é um espaço normado: Proposição 2.9 Todo espaço com produto interno E tem uma norma definida por u = u, u 1/2. Dizemos que essa norma é gerada pelo produto interno. Demonstração: Para completar a demonstração de que u = u, u 1/2 define uma norma, basta provar a desigualdade triangular. Denotando por Re z a parte real de z C, temos que u + v 2 = u + v, u + v = u 2 + u, v + v, u + v 2 = u 2 + 2 Re u, v + v 2 (2.1) u 2 + 2 Re u, v + v 2 u 2 + 2 u v + v 2 = ( u + v ) 2 Se um espaço com produto interno (com a topologia gerada por sua norma) for completo, dizemos que ele é um espaço de Hilbert. Os espaços K n e l 2 são espaços de Hilbert. O espaço C L 2( [a, b], K ) não é um espaço de Hilbert, de acordo com o Exercício?? do Capítulo??. (Note que a desigualdade de Hölder??, no caso dos espaços l 2 e C L 2( [a, b], K ), é a desigualdade de Cauchy-Schwarz.) Lema 2.10 Seja E um espaço com produto interno. polarização: (i) se E for um espaço real, Então são válidas as identidades de (ii) se E for um espaço complexo, u, v = 1 4 u + v 2 1 4 u v 2. u, v = 1 4 u + v 2 1 4 u v 2 + i 4 u + iv 2 i 4 u iv 2. Demonstração: Basta desenvolver o lado direito de cada uma das igualdades. A relação entre espaços normados e espaços com produto interno é esclarecida no próximo resultado. Proposição 2.11 Seja (X, ) um espaço normado. Então é uma norma gerada por um produto interno se, e somente se, ela satisfizer a identidade do paralelogramo: x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2), x, y X. (2.2) Demonstração: Se for uma norma gerada por um produto interno, a identidade do paralelogramo é obtida ao se desenvolver o lado esquerdo de (2.2). Se X for um espaço complexo, definimos B : X X C por B(x, y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2) + i 4 ( x + iy 2 x iy 2), expressão decorrente da identidade de polarização. 4 produto interno em X que gera a norma. Vamos mostrar que B é um 4 Se X for um espaço real, utilizamos a identidade de polarização correspondente. A demonstração é um caso particular dessa que apresentaremos.

2.1. PRODUTO INTERNO 5 Uma vez que α x = αx, temos i ( x + iy 2 x iy 2) 4 = i ( i(x + iy) 2 i(x iy) 2) 4 = i ( y ix 2 y + ix 2) 4 = i ( y + ix 2 y ix 2). 4 Concluímos daí que B(x, y) = B(y, x). Além disso, x + ix = i(x + ix) = x ix, de onde segue-se facilmente que B(x, x) = x 2. Mostramos, assim, que B satisfaz as propriedades (i) e (iii) da Definição 2.1. Para mostrarmos a propriedade (ii), fazemos uso da identidade do paralelogramo: B(x, y) + B(z, y) = 1 ( x + y 2 + z + y 2) 1 ( x y 2 + z y 2) 4 4 + i ( x + iy 2 + z + iy 2) i ( x iy 2 + z iy 2) 4 4 = 1 ( x + z + 2y 2 + x z 2) 1 ( x + z 2y 2 + x z 2) 8 8 + i ( x + z + 2iy 2 + x z 2) i ( x + z + 2iy 2 + x z 2) 8 8 = 1 ( x + z + 2y 2 x + z 2y 2) 8 + i ( x + z + 2iy 2 x + z 2iy 2) 8 = 1 B(x + z, 2y). (2.3) 2 Notamos agora que, por definição, B(x, 0) = 0 para todo x X. Assim, fazendo z = 0 em (2.3), obtemos 2B(x, y) = B(x, 2y). Substituindo essa igualdade em (2.3), verificamos que B(x, y) + B(z, y) = B(x + z, y) x, y, z X. (2.4) Agora provamos por indução que nb(x, y) = B(nx, y), para todo n N, ao fazermos z = (n 1)x em (2.4). Por outro lado, tomando z = x nessa mesma igualdade, verificamos que B( x, y) = B(x, y) e daí segue-se que pb(x, y) = B(px, y) para todo p Z. Se 0 = q Z, então vale ( ) ( ) p x B q x, y = pb q, y = pq ( ) xq qb, y = pq (q B xq ), y = p B(x, y). q Observamos também que a definição de B e a continuidade da aplicação : X R garantem que, se x n x e y n y em X, então lim B(x n, y n ) = B(x, y). n Consideremos então α R arbitrário e provemos que B(αx, y) = αb(x, y). Para isso, consideremos uma seqüência (α n ) de racionais, com α n α. Então B(αx, y) = lim n B(α n x, y) = lim n [α n B(x, y)] = αb(x, y).

6 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Decorre da definição de B que B(ix, y) = ib(x, y). Assim, dos casos já verificados decorre que B ( (α + iβ)x, y ) = B(αx, y) + B(βix, y) = αb(x, y) + βb(ix, y) = (α + iβ)b(x, y), o que conclui a prova de que B é um produto interno em X. 2.2 Sistemas Ortonormais Nesta seção, estamos assumindo que o leitor tenha familiaridade com as séries trigonométricas de Fourier, motivação básica dos conceitos aqui introduzidos. Se esse não for o caso, a leitura prévia do Apêndice??, que trata de séries de Fourier e sua convergência, é sugerida, mas não indispensável. Denotaremos por A um conjunto de índices (que não precisa ser enumerável), por E um espaço com produto interno e por H um espaço de Hilbert. Definição 2.12 Seja E um espaço com produto interno. Dizemos que uma família {e α } α A = {e α : α A} é ortogonal se, para α = β A, tivermos e α e β. Nesse caso, dizemos que {e α } α A é um sistema ortogonal. Se os elementos do conjunto {e α } α A forem unitários, isto é, e α = 1 para todo α A, dizemos que a família é ortonormal e que {e α } α A é um sistema ortonormal. Denotaremos um sistema ortonormal {e α } α A por S. Toda combinação linear de elementos não nulos de um sistema ortogonal é linearmente independente (veja o Exercício 11). Assim, em particular, toda combinação linear de elementos de um sistema ortonormal é linearmente independente. Exemplo 2.13 No espaço K n (veja o Exemplo 2.2), a base canônica S = {e 1,..., e n } é um sistema ortonormal, mas também é ortonormal o sistema S = {e 1 }. Exemplo 2.14 No espaço l 2 (veja o Exemplo 2.4), um sistema ortonormal é o conjunto S = {e 1,..., e n,...}, em que e i denota a seqüência com todos os termos iguais a 0, exceto o i-ésimo, que é igual a 1. Como no exemplo anterior, subconjuntos desse sistema também são sistemas ortonormais. Definição 2.15 Sejam E um espaço com produto interno e x E. Fixado um sistema ortonormal S = {e α } α A em E, o escalar x α = x, e α K é a componente ou coeficiente de Fourier de x na direção de e α. O vetor x α e α é a projeção de x na direção e α. Observe que o vetor x α e α é um caso particular da projeção de um vetor u sobre o vetor v = 0: u, v proj v u = v 2 v. (Veja a Figura 2.1 na p. 3.) Exemplo 2.16 Com respeito ao Exemplo 2.13, notamos que, dado x = (x 1,..., x n ) K n, x i = x, e i é a componente de x na direção e i. No Exemplo 2.14, se x = (x n ) l 2, o coeficiente de Fourier x i = x, e i é o i-ésimo termo da seqüência (x n ).

2.2. SISTEMAS ORTONORMAIS 7 ) Exemplo 2.17 No espaço E = C L 2( [ π, π], C (veja o Exemplo 2.3), as funções hk (t) = e ikt / 2π = (cos kt + isen kt)/ 2π, em que k Z, formam um sistema ortonormal, o que decorre de h j, h k = e ijt, e ikt = 1 π e i(j k)t dt = δ 2π jk. π (Estamos empregando a notação de Kronecker δ jj = 1, δ jk = 0, se j = k.) A componente de f na direção h k é dada por f, h k = f, e ikt = 1 2π π π f (t)e ikt dt, que é justamente o k-ésimo coeficiente de Fourier (complexo) de f. (Este exemplo justifica a denominação de coeficiente de Fourier dada ao escalar x, e α.) Podemos obter de S ) = {h k : k Z} um sistema ortonormal para C L 2( [ π, π], R, isto é, um sistema composto por funções reais. De fato, se definirmos e 0 = h 0 = 1 2π, f k = cos kt π, g k = sen kt π, k N, então f k = h k + h k e g k = h k h k 2 i, k N. (2.5) 2 Como as funções h k formam um sistema ortonormal e C L 2( [ π, π], R ) é um subespaço de C L 2( [ π, π], C ), as igualdades em (2.5) nos permitem concluir que S = {e 0, f k, g k : k N} é um sistema ortonormal em C L 2( [ π, π], R ). (Veja o Exercício 13.) Seja B = um subconjunto arbitrário do espaço com produto interno E. Generalizando a noção de perpendicularidade já introduzida, definimos B = {x E : x, y = 0 para todo y B}. Notamos que B sempre é um subespaço fechado de E e também que E = {0}. (Veja o Exercício 15.) Dado um sistema ortonormal S em E, nosso objetivo é estudar < S >, o espaço gerado pelos vetores de S. Começamos estudando algumas propriedades de sistemas ortonormais finitos S = {e 1,..., e n } de um espaço com produto interno E. (Não estamos assumindo que E tenha dimensão finita!) Considere um elemento x E. Então vale: x = x, e 1 e 1 + ( x x, e 1 e 1 ) < e1 > < e 1 >. (É imediata a verificação de que ( ) x x, e 1 e 1 < e1 >, fato ilustrado na Figura 2.1 da p. 3.) Mais geralmente, se denotarmos por F o espaço gerado por S, então ( x = x F + (x x F ) = n x, e i e i + x como podemos verificar facilmente. (Veja a Figura 2.2.) n x, e i e i ) F F,

8 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO x 0 x F F Figura 2.2: O vetor x E escreve-se como x F + (x x F ) F F, em que F = < S > e x F = n x, e i e i. Do Teorema de Pitágoras decorre que x 2 = x F 2 + x x F 2, igualdade que garante que x x F 2 = x 2 x F 2, isto é, e também que ou seja, n 2 x x i e i = x 2 x F 2 x 2, n 2 x i e i, (2.6) n x i 2 x 2, (2.7) expressão conhecida como (forma finita da) desigualdade de Bessel. Exemplo 2.18 Em R 3 com o produto interno canônico, considere o sistema ortonormal S = {e 1, e 2 }. Se x < S >, então x 2 = x, e 1 2 + x, e 2 2, como verificamos ao escrever x = x 1 e 1 + x 2 e 2 ; por outro lado, se x < S >, então x 2 > x, e 1 2 + x, e 2 2 = x 1 2 + x 2 2. 2.3 Sistemas Ortonormais Enumeráveis Para tratarmos de sistemas ortonormais com infinitos elementos (o que implica que a dimensão do espaço é infinita), começamos abordando o caso em que o conjunto de índices A do sistema ortonormal {e α : α A} é um conjunto enumerável. (É possível uma abordagem direta do caso de um conjunto de índices qualquer; nesse caso, o professor pode seguir o roteiro apresentado na Seção 2.5.)

2.3. SISTEMAS ORTONORMAIS ENUMERÁVEIS 9 Seja S = {e i : i N} um sistema ortonormal no espaço com produto interno E e x E. Nesse caso, como a seqüência de termos não negativos s n = n x i 2 é limitada por x 2, passando ao limite com n tendendo a infinito em (2.7), chegamos à (expressão enumerável da) desigualdade de Bessel: x i 2 x 2. (2.8) Essa desigualdade garante que, para todo x E, a seqüência (x i ) é um elemento de l 2. A série x i e i (que pode não convergir 5 ) é chamada série de Fourier generalizada de x E com respeito ao sistema ortonormal S. Se a série de Fourier generalizada de x (com respeito ao sistema S) convergir, ela pode convergir para um elemento diferente de x. Essa situação já foi apresentada no Exemplo 2.18. Vejamos uma variação ligeiramente mais elaborada daquele exemplo: Exemplo 2.19 ) Consideremos o sistema ortonormal S = { f k, g k : k N} em C L 2( [ π, π], R. O sistema S é um subconjunto próprio do sistema ortonormal {e 0, f k, g k : k N}, apresentado no Exemplo 2.17. Assim, e 0 é uma função ortogonal a todos os elementos de S. Isso quer dizer que e 0, f k = 0 e e 0, g k = 0 para todo k N. Logo, a série de Fourier de e 0 com respeito ao sistema S é identicamente nula e, portanto, não converge para e 0, mas sim para 0. Passando ao limite quando n na igualdade (2.6), obtemos um critério que garante a convergência da série de Fourier generalizada de x: Lema 2.20 Sejam S = {e i : i N} um sistema ortonormal em E e x E. Então Reciprocamente, temos u = x i e i x i 2 = u 2. x i 2 = x 2 x = x i e i. Demonstração: Suponhamos que u = x i e i. De acordo com o Teorema de Pitágoras, temos u n x i e i 2 = u 2 n x i e i 2. Passando ao limite com n, obtemos 2 u x i e i = u 2 x i 2. (2.9) Assim, a convergência da série em E garante a convergência da série numérica x i 2 para u 2. Reciprocamente, se x i 2 = x 2, então a equação (2.9) garante que x i e i = x. 5 Em espaços de Hilbert, essa série sempre converge: veja o Teorema 2.24. Se o espaço E não for completo, a série pode divergir. Veja o Exercício XXXX do Capítulo XXXX.

10 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Observação 2.21 Dividimos o enunciado em duas afirmações independentes. Por um lado, sempre ocorre a convergência do desenvolvimento x i 2, de acordo com a desigualdade de Bessel. Mas, por outro lado, a convergência de x i 2 não caracteriza a existência de um elemento u E para o qual x i e i converge. Se x i 2 = x 2, garantimos que a série de Fourier generalizada de x converge para o próprio x. Se a série de Fourier de x E (com respeito ao sistema ortonormal S) convergir para u, podemos relacionar os coeficientes de Fourier de x e u: Lema 2.22 Sejam S = {e i u = ξ i e i, então (i) u i = ξ i. Se v = ζ i e i, com ζ i K (i N), então vale a (ii) identidade de Parseval: u, v = : i N} um sistema ortonormal em E e ξ i K (i N). Se ξ i e i, ζ i e i = ξ i ζ i = u i v i. Demonstração: Se u = ξ i e i, dado j N, tome n j e considere u n ξ i e i. Uma vez que u n ξ i e i, e j = u j ξ j, tomando o limite com n no lado esquerdo dessa igualdade, concluímos que u j = ξ j, provando (i). Uma vez que e i, e j = δ ij, temos n ξ i e i, n ζ j e i = n n ξ i ζ i = u i v i, de acordo com (i). Tomando o limite com n tendendo a infinito nessa igualdade, obtemos (ii). (A série numérica ξ i ζ i = u i v i é (absolutamente) convergente, como resulta da aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz a (u i ), (v i ) l 2.) Observação 2.23 Combinando os Lemas 2.20 e 2.22 (i), concluímos que, se ξ i e i convergir para u E, então ξ i e i = u i e i e u 2 = u i 2 = ξ i 2. Em espaços de Hilbert, fixado um sistema ortonormal enumerável, a cada seqüência em l 2 está associada uma série de Fourier convergente: Teorema 2.24 (Teorema de Riesz-Fischer) Seja S = {e i : i N} um sistema ortonormal no espaço de Hilbert H. Dada uma seqüência (ξ i ) em K, a série ξ i e i converge se, e somente se, ξ i 2 <.

2.3. SISTEMAS ORTONORMAIS ENUMERÁVEIS 11 Demonstração: Dado m N, decorre do Teorema de Pitágoras que m+p 2 m+p ξ i e i = ξ i 2. (2.10) i=m i=m O somatório no lado esquerdo da igualdade é uma seqüência em H, enquanto o lado direito é uma seqüência em R. A convergência de uma dessas seqüências implica que a outra é uma seqüência de Cauchy em um espaço completo (veja o Exercício?? do Capítulo??). Assim, em um espaço de Hilbert, ξ i e i converge ξ i 2 converge. Exemplo 2.25 De acordo com o Exemplo 2.17, { 1 S =, cos t, sen t } cos 2t sen 2t,,,... 2π π π π π é um sistema ortonormal no espaço de Hilbert L 2( [ π, π], R ). De acordo com o Teorema de Riesz-Fischer 2.24, escolhidas constantes a 0, a 1,... e b 1, b 2,... tais que a 2 0 2 + ( a 2 k + b 2 ) k <, k=1 então existe f L 2( [ π, π], R ) cujos coeficientes de Fourier são a k e b k, isto é, e a k = 1 π π π b k = 1 π π f (t) cos kt dt, k {0, 1, 2,...} (2.11) π f (t)sen kt dt, k N. (2.12) Se retirarmos um elemento de S (por exemplo, 1/ 2π), obtemos uma função g que tem as mesmas constantes como coeficientes de Fourier. As relações entre os coeficientes de Fourier de g e as constantes a k e b k será diferente de (2.11) e (2.12), já que a 0 estará associado ao elemento cos t/ π e assim por diante. Mostraremos, na Seção 2.4, que a série de Fourier de f L 2( [ π, π], R ) convergirá para f. Note que as considerações desse exemplo são válidas porque L 2( [ π, π], R ) é ) um espaço de Hilbert. No espaço C L 2( [ π, π], R, por exemplo, às constantes ak e b k não está necessariamente associada uma função f que tem essas constantes como coeficientes de Fourier. Corolário 2.26 Se S = {e i : i N} for um sistema ortonormal no espaço de Hilbert H, então a série de Fourier de x (com respeito a S) converge para um elemento u H e x x i e i, x i e i = (x u) S.

12 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Demonstração: A desigualdade de Bessel garante que x i 2 converge. segue-se do Teorema 2.24 que x i e i = u H. Para verificar que (x u) S, basta notar que, de acordo com o Lema 2.22, x Isso completa a demonstração. x i e i, e j = x j x j = 0, j N. Assim, Observação 2.27 Se S = {e j : j N} for um sistema ortonormal em um espaço com produto interno arbitrário E, o que podemos dizer sobre a convergência de x i e i? Seja H o completamento de E. De acordo com o Exercício 10, temos que H é um espaço de Hilbert. Pelo Teorema 2.24, x i e i u H. Mas pode ocorrer que u H \ E, isso é, a série x i e i não converge em E. Fixado um sistema ortonormal S no espaço de Hilbert H, denotemos por F o conjunto de séries de Fourier (com respeito a S) de elementos de H. O Teorema de Riesz-Fischer estabelece uma bijeção entre F e l 2, do seguinte modo: a cada x H está associado a sua série de Fourier (com respeito ao sistema ortonormal S), que converge para um ponto u H, de modo que x u S. Por outro lado, a cada seqüência (x i ) l 2, está associada uma série de Fourier convergente. Se considerarmos um sistema ortonormal S = S, estabelecemos uma outra bijeção entre o conjunto das séries de Fourier (com respeito a S ) e l 2. Gostaríamos de estabelecer uma bijeção entre x H e a série de Fourier de x. De acordo com o Corolário 2.26, isso exige que S = {0}. Definição 2.28 Um sistema ortonormal S no espaço com produto interno E é maximal (ou completo), se S = {0}. O resultado fundamental à respeito da convergência de séries de Fourier em sistemas ortonormais maximais é dado pelo Teorema 2.29 (da Base Ortonormal) Seja S = {e i : i N} um sistema ortonormal em um espaço com produto interno E. Denotemos por F = < S > o espaço gerado por S e por x i o coeficiente de Fourier x, e i. As seguintes propriedades são equivalentes: (i) para todo x E, temos x = x i e i ; (ii) para quaisquer x, y E, vale a identidade de Parseval x, y = x i y i ; (iii) para todo x E temos x 2 = x i 2 ;

2.3. SISTEMAS ORTONORMAIS ENUMERÁVEIS 13 (iv) dado ɛ > 0, para todo x E existe n N tal que Em particular, F é denso em E; n x x i e i < ɛ. (v) Todo funcional linear contínuo f : E K que se anula em S é identicamente nulo; Qualquer uma dessas propriedades implica: (vi) o sistema {e i : i N} é maximal, isto é, não existe elemento 0 = e E tal que e S. Se E for um espaço de Hilbert, então as propriedades (i) (vi) são equivalentes. Demonstração: A implicação (i) (ii) foi mostrada no Lema 2.22. Ao tomarmos y = x, vemos que (ii) (iii). Dado ɛ > 0, (iii) garante a existência de n N tal que x 2 n x i 2 < ɛ. Como o Teorema de Pitágoras garante que x n x i e i 2 = x 2 n x i 2, provamos que (iii) (iv). Suponhamos (iv). Para todo x E temos f (x) f ( n ) ( x i e i + f x n x i e i ) f ɛ, pois f se anula em F. Como ɛ é arbitrário, concluímos que f 0, provando (v). Para mostrar que (v) (i), suponhamos a existência de x E tal que x = x i e i. (Estamos admitindo a possibilidade de x i e i não ser convergente.) Definimos, então, f : E K por f (y) = y, x y i x i. (A desigualdade de Cauchy-Schwarz em l 2 garante que y i x i está bem definido.) O funcional f é contínuo (verifique!) e, de acordo com o Lema 2.22, temos f (e i ) = x i x i = 0 para todo i N. Por outro lado, o Lema 2.20 e a desigualdade de Bessel implicam que f (x) = x 2 x i 2 > 0, o que contradiz (v). Provamos, assim, a equivalência das propriedades (i) (v). Se existisse e S, com e = 0, então f (y) := y, e se anularia na família S, mas não seria identicamente nulo, pois f (e) = e = 0. Logo, temos que (v) (vi). Em espaços de Hilbert, o Corolário 2.26 garante a convergência de x i e i. Defina então e = x x i e i. Para todo e i S, temos e, e i = e i e i = 0, ou seja, e S. A condição (vi) implica e = 0, isto é, x = x i e i. Assim, verificamos que (vi) (i). Definição 2.30 Seja E um espaço com produto interno. Uma base ortonormal é um sistema ortonormal S satisfazendo qualquer das propriedades equivalentes listadas no Teorema 2.29.

14 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Observação 2.31 A denominação utilizada causa uma certa dubiedade: ao lidar com uma base ortonormal, estamos nos referindo a uma base no sentido da Definição 2.30 ou a uma base no sentido da Definição??? Para evitar qualquer mal entendido, entenderemos sempre base ortonormal no sentido da Definição 2.30 e vamos nos referir a uma base de Hamel no outro caso. Em espaços de Hilbert de dimensão infinita, a dubiedade não existe: uma base de Hamel não pode ser um conjunto ortonormal! (Veja o Exercício 27.) Por outro lado, se o espaço com produto interno não for completo, uma base de Hamel pode ser um conjunto ortonormal, de acordo com o Exemplo 2.5. Existem espaços com produto interno que não são completos, mas possuem base ortonormal. (Veja a Seção 2.4.) Mas uma base ortonormal de um espaço com produto interno sempre é uma base ortonormal de seu completamento. (Veja o Exercício 26.) Como veremos (veja o Teorema 2.48), todo espaço de Hilbert possui uma base ortonormal. Assim, bases ortonormais em espaços que não são completos são obtidas, essencialmente, ao se considerar um subespaço (incompleto) de um espaço de Hilbert. Existe uma caracterização simples dos espaços com produto interno que possuem base ortonormal contável: 6 Teorema 2.32 Seja E um espaço com produto interno. Então E possui uma base ortonormal contável S se, e somente se, E for separável. Para mostrarmos esse resultado, recordamos o processo de ortogonalização de Gram- Schmidt: Lema 2.33 (Gram-Schmidt) Sejam A N um conjunto contável e {x n : n A} um conjunto linearmente independente. Denotemos por < z 1,..., z k > o espaço gerado pelos vetores z 1,..., z k. Então existe um conjunto ortonormal {e n : n A}, com < e 1,..., e k > = < x 1,..., x k > para todo k A. Demonstração: Utilizaremos indução em A, o caso em que A possui apenas um elemento sendo trivial. Suponhamos obtidos os vetores e 1,..., e k 1. Consideramos então ( ) e k = 1 k 1 x c k c i e i, em que c e c 1,..., c k 1 são constante que serão determinadas. Para obtermos e k ortogonal a todos os e i já escolhidos, basta definir c i = x k, e i para i = 1,..., k 1. Escolhemos então c como a norma do vetor e k k 1 c ix i. (Note que c > 0.) A definição de e k garante que < e 1,..., e k > = < x 1,..., x k >. Demonstração do teorema: Suponhamos que E seja separável e (z n ) uma seqüência densa em E. Seja z n0 o primeiro termo não nulo da seqüência (z n ). Definimos então x 1 = z n0 e x 2 = z j, em que j é o primeiro índice tal que x 1 e z j sejam linearmente independentes. Procedemos, então, indutivamente. Chegaremos a um conjunto linearmente independente {x i : i A}, em que A = N (no caso da seqüência (z n ) possuir infinitos elementos linearmente independentes), ou então A é um conjunto finito {1,..., n}. 6 Estamos utilizando a palavra contável para significar um conjunto finito ou enumerável.

2.4. SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS DE FOURIER 15 Aplicando Gram-Schmidt, desse conjunto {x i : i A} obtemos um sistema ortonormal S = {e i : i A}. Afirmamos que S é uma base ortonormal do espaço E. (Note que, se A for finito, S é uma base de Hamel.) Dados x E e ɛ > 0, existe z n tal que x z n < ɛ. Examinando a construção feita, notamos que cada vetor z n é uma combinação linear dos vetores x 1,..., x n. Como o espaço gerado por e 1,..., e n é o mesmo que o espaço gerado por x 1,..., x n, vemos que z n é uma combinação linear dos vetores e 1,..., e n. Assim, z n uma combinação linear de vetores de S que está arbitrariamente próxima do ponto x E. Isso mostra que S satisfaz a condição (iv) do Teorema da Base 2.29. Portanto, S é uma base ortonormal do espaço E. Reciprocamente, suponhamos que S = {e i : i N} seja uma base ortonormal do espaço com produto interno E. Considere, no caso K = C, o conjunto enumerável (veja o Exercício 20) C = { (α 1 + iβ 1 ) e 1 +... + (α n + iβ n ) e n : n N, α k, β k Q, 1 k n }. Uma vez que, para todo x E n x x i e i 0 quando n, e n x i e i pode ser aproximado por um elemento de C, esse conjunto é denso em E. Corolário 2.34 Seja S = {e 1,..., e n } um sistema ortonormal em um espaço separável E com produto interno. Então existe uma base ortonormal de E que contém S. Demonstração: Se (z n ) for uma seqüência densa em E, considere o conjunto denso {e 1,..., e n, z 1, z 2,...} e aplique o processo desenvolvido na demonstração do Teorema. 2.4 Séries Trigonométricas de Fourier Nesta seção, seguindo a abordagem de Rudin [29], mostraremos que S = { } e ikt : k Z 2π é uma base ortonormal de L 2( [ π, π], C ). Como consequência do Exemplo 2.17, isso significa que { 1 S =, cos t, sen t } cos 2t sen 2t,,,..., 2π π π π π é uma base ortonormal de L 2( [ π, π], R ) (veja também o Exemplo 2.25). Assim, toda função f L 2( [ π, π], R ) pode ser representada por sua série de Fourier: f (t) = a 0 2 + a n cos nt + b n sen nt, t [ π, π], (2.13) n=1

16 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO em que os coeficientes de Fourier a n e b n foram explicitados no Exemplo 2.25. Notamos que (2.13) é uma igualdade entre funções em L 2 ; assim, existe um conjunto de pontos t R, de medida nula, no qual a série de Fourier de f pode diferir da função f. Além disso, como o lado direito da igualdade está definido para todo t R e tem período 2π, é natural considerar a extensão periódica de período 2π de f. Pode-se mostrar que, se a (extensão da) função f for contínua para todo t R, então f e sua série de Fourier serão idênticas em todo ponto t R. Essa questão não será tratada nesta seção: um tratamento alternativo, que também abordará a questão da convergência pontual da série de Fourier de f para a função f, pode ser visto no Apêndice??. Um polinômio trigonométrico p N é uma soma da forma p N (t) = a N 0 2 + (a k cos kt + b k sen kt), k=1 em que a 0,..., a N e b 1,..., b N são números complexos. É claro que todo polinômio trigonométrico p N satisfaz p N (t + 2π) = p N (t). Utilizando a identidade de Euler e iωt = cos ωt + isen ωt, é usual escrever um polinômio trigonométrico na forma p N (t) = N c k e ikt. k= N De acordo com o Teorema 2.29 (iv), para provarmos que S é uma base ortonormal em L 2( [ π, π], C ), é suficiente verificar que o conjunto dos polinômios trigonométricos é denso nesse espaço. Mas faremos mais: denotaremos por C(S 1, R) o conjunto das funções f : [ π, π] C cuja extensão periódica de período 2π é contínua em R. Quer dizer, C(S 1, C) = { f : R C : f é contínua e f (t + 2π) = f (t), t R}. Uma vez que C ( S 1, C ) é denso em L 2( [ π, π], C ), basta então mostrarmos que o conjunto dos polinômios trigonométricos é denso em C ( S 1, C ). Em particular, isso significa que S é uma base ortonormal em C L 2( [ π, π], C ) ; ou, o que é equivalente, que S é uma base ortonormal no espaço espaço C L 2( [ π, π], R ). Lembramos que esses espaços de funções contínuas não são completos. Assim, dados ɛ > 0 e f C ( S 1, C ), mostraremos a existência de um polinômio trigonométrico p N tal que f p N < ɛ. Lema 2.35 Existem polinômios trigonométricos q n, n N, tais que (i) q n (t) 0 para todo t R; (ii) 1 π q n (t)dt = 1; 2π π (iii) para todo δ > 0, q n (t) 0 uniformemente em [ π, δ] [δ, π].

2.4. SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS DE FOURIER 17 Demonstração: Definimos os polinômios trigonométricos (veja o Exercício 14) ( ) 1 + cos t n q n (t) = d n, n N, 2 em que d n R é escolhido para satisfazer (ii). Claramente vale (i), de modo que o resultado estará provado se verificarmos (iii). Começamos estimando a constante d n. Para isso, notamos que q n é uma função par e 1 = 2 d π ( ) n 1 + cos t n dt > d π ( ) n 1 + cos t n sen t dt = 2d n 2π 0 2 π 0 2 π(n + 1), a última constante sendo obtida ao se resolver a integral que lhe antecede. Isso mostra que π(n + 1) d n <. 2 Uma vez que q n é decrescente em [0, π], para δ > 0 e t [δ, π] temos ( ) 1 + cos δ n π(n + 1) q n (t) q n (δ) = d n < 2 2 ( ) 1 + cos δ n. 2 Uma vez que 1 + cos δ < 2 para 0 < δ π, a convergência uniforme (iii) decorre da desigualdade anterior. Teorema 2.36 Dados f C ( S 1, C ) e ɛ > 0, existe um polinômio trigonométrico p tal que Demonstração: Definimos, para n N, f (t) p(t) < ɛ para todo t R. p n (t) = 1 π f (t s)q n (s)ds, 2π π em que q n é o polinômio trigonométrico definido na prova do Lema 2.35. Afirmamos que p n é um polinômio trigonométrico para todo n N. De fato, π π f (t s)q n (s)ds = = π π π π f (t + v)q n ( v)( dv) = f (s)q n (t s)ds, t+π t π f (s)q n (t s)dt em que fizemos as mudanças de variável s = v e v = t s. A última igualdade decorre da periodicidade de f e q n. Uma vez que q n é um polinômio trigonométrico, podemos escrever q n (t s) = k=n n k= N n c k e ik(t s) = k=n n k= N n c k e ikt e iks. É fácil então notar que π π f (s)q n (t s)ds é um polinômio trigonométrico. (Note que verificamos que p n é um polinômio trigonométrico, qualquer que seja o polinômio trigonométrico q n.)

18 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Dado ɛ > 0, como f é uniformemente contínua no compacto [ π, π], existe δ > 0 tal que f (t) f (s) < ɛ, sempre que t s < δ. Uma vez que q n satisfaz a propriedade (ii) do Lema 2.35, temos que p n (t) f (t) = 1 π [ f (t s) f (t)] q n (s)ds. 2π π Como os polinômios trigonométricos q n são não negativos, temos que p n (t) f (t) 1 π f (t s) f (t) q n (s)ds. 2π π Para estimarmos essa integral, consideramos inicialmente s [ δ, δ]. Para esse valores de s, o integrando é menor do que ɛq n (s), de modo que 1 δ f (t s) f (t) q n (s)ds < ɛ π q n (s)ds = ɛ. 2π δ 2π π Agora consideremos s [ π, π] \ [ δ, δ]. Para esses valores de s temos que f (t s) f (t) q n (s) 2 f sup q n (s), s [δ,π] de forma que decorre da propriedade (iii) de q n que 1 δ f (t s) f (t) q n (s)ds + 1 π f (t s) f (t) q n (s)ds 2π π 2π δ é menor do que ɛ (independentemente de t), desde que tomemos n suficientemente grande. Provamos assim que p n f < ɛ, para n suficientemente grande. Observação 2.37 Uma bela demonstração alternativa do Teorema 2.36 pode ser encontrada em Körner (Teorema 2.5). 2.5 Sistemas Ortonormais Não Enumeráveis (Esta seção é mais avançada e pode ser suprimida, a critério do professor.) Nosso objetivo é mostrar que o Teorema da Base 2.29 também é válido se considerarmos um sistema ortonormal não enumerável S = {e α : α A}. (Estamos supondo que o conjunto A seja não enumerável. Exemplificaremos, posteriormente, um espaço de Hilbert que possui um sistema ortonormal não enumerável. Contudo, ressaltamos que espaços de Hilbert que não são separáveis 7 são, basicamente, uma construção teórica.) Para generalizar a desigualdade de Bessel, enfrentamos um obstáculo: dar significado à expressão 7 Veja o Teorema 2.32. x, e α 2 = x α 2. α A α A

2.5. SISTEMAS ORTONORMAIS NÃO ENUMERÁVEIS 19 Lema 2.38 Seja S = {e α } α A um sistema ortonormal no espaço com produto interno E. Então, dado x E, apenas uma quantidade enumerável de coeficientes de Fourier x α = x, e α pode ser não-nula. Além disso, se {e 1,..., e n,...} for um ordenamento arbitrário dos elementos de S tais que x, e α = 0, está bem definido x α 2 = x, e α 2 = α A α A Mais ainda, para todo x E, vale a desigualdade de Bessel x, e i 2 = x i 2. x α 2 x 2. (2.14) α A Demonstração: Dado ɛ > 0, defina S ɛ = {e α S : x, e α > ɛ}. Tome e 1,..., e n S ɛ distintos. De acordo com a (forma finita da) desigualdade de Bessel 2.7, temos x 2 n x, e α 2 nɛ 2. Portanto, n ( x /ɛ) 2, provando que S ɛ é finito para todo ɛ > 0. Uma vez que {e α S : x, e α = 0} = S 1/n, n=1 mostramos que apenas uma quantidade enumerável de coeficientes de Fourier pode ser não-nula. 8 Escolha arbitrariamente uma enumeração para esses coeficientes não nulos. Passando ao limite com n tendendo a infinito na forma finita da desigualdade de Bessel (2.7), obtemos, para essa enumeração, x, e i 2 = x i 2 x 2 <. Como a série x i 2 é absolutamente convergente, 9 ela também é comutativamente convergente, isto é, sua soma independe do ordenamento escolhido para os coeficientes de Fourier não nulos. (Veja, por exemplo, [25], Teorema 22 do Capítulo IV.) Isso quer dizer que α A x α 2 está bem definido e vale a desigualdade de Bessel. Observação 2.39 Fixado x E, apenas uma quantidade enumerável de coeficientes de Fourier x α = x, e α pode ser não-nula. Mas esses coeficientes não nulos variam com o elemento x E. Assim, isso não implica que um sistema ortonormal em E possua no máximo uma quantidade enumerável de elementos. A desigualdade de Bessel (2.14) garante, como antes, que os coeficientes de Fourier não nulos de x E formam uma seqüência que pertence ao espaço l 2. Agora estamos em condições de refazer o percurso da Seção 2.3. Apresentaremos apenas as modificações necessárias em cada um dos resultados daquela Seção. Seja S = {e α } α A um sistema ortonormal não enumerável no espaço com produto interno E. Dado x E, precisamos dar sentido para a expressão x α e α. α A Aqui, como antes, enfrentamos a questão de ordenar os elementos não nulos do somatório. Para isso, aplicamos o Lema 2.38 e consideramos um ordenamento arbitrário {e 1,..., e n,...} dos elementos de S correspondentes aos coeficientes de Fourier x α = x, e α não nulos. Se n x, e i e i convergir para u E quando n, definimos x α e α = x i e i = u. α A 8 Lembre-se que uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável. 9 Veja a Definição??.

20 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Como na prova do Lema 2.20, a convergência da série de Fourier x i e i implica a convergência da série numérica x i 2, a qual é comutativamente convergente. Isso mostra que α A x α e α independe do ordenamento dos coeficientes de Fourier x α = 0. Obtemos assim a versão não enumerável do Lema 2.20. O Lema 2.22 é obtido do mesmo modo: basta escolher um ordenamento dos coeficientes x α e y α não nulos. O Corolário 2.26 garante a convergência de α A x α e α em um espaço de Hilbert: basta escolher um ordenamento dos coeficientes de Fourier x α = 0. Agora, sempre escolhendo um ordenamento arbitrário dos coeficientes de Fourier x α = 0, obtemos o Teorema da Base Ortonormal 2.29, mostrando que ele vale mesmo se o sistema ortonormal S = {e α : α A} for não enumerável. 2.6 Isometrias e Espaços de Hilbert Definição 2.40 Seja E um espaço com produto interno. M : E E tal que, para quaisquer x, y E, Uma isometria é uma bijeção x y = M(x) M(y). É claro que uma translação é uma isometria. Dada uma isometria qualquer, podemos compô-la com uma translação e obter uma isometria M tal que M(0) = 0. O próximo resultado mostra que isometrias são aplicações muito bem comportadas: Proposição 2.41 Seja M : E E uma isometria, com M(0) = 0. Então Se E for um espaço real, então M é linear. M(x + y) = M(x) + M(y). Demonstração: Denotando M(x) = x, temos x 2 = x 2, y 2 = y 2 (2.15) e Uma vez que x y 2 = x y 2. (2.16) x y, x y = x, x x, y y, x + y, y, e que expressão análoga vale para x y, x y, ao substituirmos (2.15) em (2.16) obtemos x, y + y, x = x, y + y, x. (2.17) Do mesmo modo, z x y 2 = z 2 + y 2 + x 2 z, x x, z z, y y, z + x, y + y, x. Segue-se de (2.15), (2.16) e (2.17) que z x y 2 = z x y 2. Escolhemos então z = x + y. O lado direito dessa igualdade é, então, nulo. Assim, temos z x y = 0. Mas isso mostra que M(x + y) = M(x) + M(y).

2.6. ISOMETRIAS E ESPAÇOS DE HILBERT 21 Suponhamos agora que E, F sejam espaços reais. Então, (2.17) implica que M(x), M(y) = x, y. Agora completamos a prova da linearidade de M: M(λx), My = λx, y = λ x, y = λ M(x), M(y) = λm(x), M(y). Por conseguinte, M(λx) λm(x), M(y) = 0. Escolhendo sucessivamente y = λx e y = x, obtemos M(λx) λm(x), M(λx) = 0 e M(λx) λm(x), λm(x) = λ M(λx) λm(x), M(x) = 0. Logo, M(λx) λm(x), M(λx) λm(x) = 0, mostrando a linearidade de M no caso real. Um teorema de Mazur e Ulam estabelece que resultado análogo à Proposição 2.41 é válido para isometrias M : E F entre espaços normados. Veja [23]. Proposição 2.42 Sejam E, F espaços com produto interno e M : E F uma aplicação linear. Então M é uma isometria se, e somente se, preservar o produto interno, isto é, Mx, My = x, y. Demonstração: A identidade de polarização (Lema 2.10) adequada ao caso mostra que uma isometria linear preserva produto interno. Se M preservar o produto interno, então claramente é uma isometria. Teorema 2.43 Seja H um espaço de Hilbert separável. Se H tiver dimensão n, então é isométrico a K n ; se tiver dimensão infinita, é isométrico a l 2. Demonstração: Suponhamos que H tenha dimensão finita. Seja {x 1,..., x n } uma base ortonormal de H. Dado x, y H, temos x = α 1 x 1 +... + α n x n. Defina T : H K n por Tx = (α 1,..., α n ). Claramente T é um isomorfismo e, se y = β 1 x 1 +... + β n x n, então x, y = n α i β i = Tx, Ty. Se H tiver dimensão infinita, já vimos que H possui uma base ortonormal enumerável S = {e i : i N}. Assim, podemos aplicar o Teorema da Base 2.29 e concluir que x = x i e i, em que x i = x, e i. Definimos T : H l 2 por Tx = (x i ) i N. A identidade de Parseval mostra que (x i ) é uma seqüência em l 2. Claramente T é linear e, ainda pelo Teorema da Base 2.29, temos que x, y = x i ȳ i = (x i ), (y i ).

22 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Observação 2.44 Vemos assim que, no caso de um espaço de Hilbert separável de dimensão infinita, o Teorema 2.43 complementa o Teorema de Riesz-Fischer 2.24: esse identifica as séries de Fourier de elementos x H com elementos de l 2, enquanto aquele identifica os elementos de x diretamente com os elementos de l 2. Assim, l 2 é o protótipo de um espaço de Hilbert separável. (Note que l 2 é separável, de acordo com o Teorema 2.32.) O que pode ser dito no caso em que E for um espaço com produto interno com base enumerável? A demonstração apresentada nos mostra que E é isométrico a um subespaço l E (que não pode ser fechado!) do espaço de Hilbert l 2. (O restante desta seção depende de resultados da Seção 2.5 e sua exposição pode ser suprimida, a critério do professor.) Nosso objetivo nesta Seção é caracterizar os espaços de Hilbert que possuem base ortonormal não enumerável. Vamos mostrar que eles são isométricos a uma extensão do espaço l 2, denotada por l 2 (A). A apresentação desse espaço será feita sem a utilização de medida. Para aqueles que dominam esse conceito, uma abordagem mais simples de l 2 (A) pode ser encontrada em [29]. Introduzimos o espaço l 2 (A): Definição 2.45 Seja A um conjunto não vazio e x : A K uma função tal que I x = {t A : x(t) = 0} é um conjunto enumerável. Se (t i ) for uma enumeração dos elementos de I x, suponhamos adicionalmente que x(t i) 2 <. Definimos l 2 (A) como o conjunto de funções que satisfazem essas duas hipóteses e definimos x(t) 2 = x(t i ) 2. t A Note que, como {t A : x(t) = 0} é enumerável, a coleção { x(t) 2 } t A é descrita por meio da série x(t i) 2. Como essa série converge absolutamente, ela também é comutativamente convergente, o que garante que t A x(t) 2 está bem definido. A demonstração do próximo resultado é uma simples coleta de argumentações já apresentadas. Teorema 2.46 O conjunto l 2 (A) é um espaço vetorial com as definições habituais de soma x + y e multiplicação por escalar λx, com λ K. Em l 2 (A) definimos o produto interno n x, y = x(t) y(t) = x(t i )y(t i ), t A em que {t 1,..., t n,...} é uma enumeração dos pontos em que x(t)y(t) = 0. Esse produto interno faz de l 2 (A) um espaço de Hilbert com base ortonormal S = {e t : t A}, sendo { 1 se t = τ e t (τ) = 0 se t = τ, para todo τ A. Demonstração: Dados x, y l 2 (A), seja t k uma enumeração de todos os elementos t A tais que x(t) = 0 ou y(t) = 0. Como 10 x(t k ) + y(t k ) 2 2 2 max{ x(t k ) 2, y(t k ) 2 } 4( x(t k ) 2 + y(t k ) 2 ), obtemos x(t) + y(t) 2 = t A 4 k=1 <. k=1 x(t k ) + y(t k ) 2 ( x(t k ) 2 + y(t k ) 2) = 4 ( x(t) 2 + y(t) 2) t A 10 Essa é a estimativa (??) no caso p = 2.

2.6. ISOMETRIAS E ESPAÇOS DE HILBERT 23 Assim, x + y l 2 (A). Do mesmo modo, αx l 2 (A), para todo α K. Isso mostra que l 2 (A) é um espaço vetorial. Como na demonstração da Proposição 2.22, temos que x, y está bem definido. É claro que esse é um produto interno em l 2 (A). Seja agora (x n ) l 2 (A) uma seqüência de Cauchy. Dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que, para quaisquer m, n n 0, ( ) 1/2 x m x n = x m (t) x n (t) 2 < ɛ. (2.18) t A Assim, para cada t A, temos x m (t) x n (t) 2 ɛ, o que garante que (x n (t)) é uma seqüência de Cauchy em K para todo t A fixo. Como K é completo, existe x(t) = lim n x n (t). Está assim definida uma função x : A K. Vamos mostrar que x l 2 (A). Como x n l 2 (A), o conjunto I n = {t A : x n (t) = 0} é enumerável. Assim, também é enumerável. Afirmamos que I = I n n=1 I x = {t A : x(t) = 0} I, de onde decorre imediatamente que I x é enumerável. Para provar a nossa afirmação, basta notar que se t I, então x n (t) = 0 para todo n e, como consequência, x(t) = 0. Escrevendo o conjunto I como uma seqüência (t j ), a desigualdade (2.18) nos mostra que, para todo k N, vale k x m (t j ) x n (t j ) 2 ɛ 2, j=1 se m, n n 0. Tomando o limite quando m, obtemos e, quando k, Daí segue-se que k x(t j ) x n (t j ) 2 ɛ 2 j=1 x(t) x n (t) 2 ɛ 2. t I x(t) x n (t) 2 ɛ 2, t A pois x n (t) e x(t) são ambas nulas quando t A \ I. Isso mostra que x x n l 2 (A) e x x n ɛ. (2.19) Logo, x = x n + (x x n ) l 2 (A). Da desigualdade (2.19) segue que x n x em l 2 (A), o que mostra que l 2 (A) é um espaço de Hilbert. Uma vez que x, e τ = x(τ) e x = τ A xe τ (igualdade verificada em todo ponto t A), vemos que S é uma base ortonormal com cardinalidade A. Na demonstração do Teorema 2.46 não supomos que o conjunto A seja não enumerável. Se esse for o caso, é fácil verificar que l 2 (A) coincide com o espaço l 2, definido no Capítulo?? (veja o Exercício 29). Assim, o próximo resultado é uma generalização do Teorema 2.43. Teorema 2.47 (Riesz-Fischer generalizado) Seja S = { f α : α A} uma base ortonormal do espaço de Hilbert H. Então H é isométrico a l 2 (A). Demonstração: Seja S = { f α : α A} uma base ortonormal para H. (Essa base existe, de acordo com o Teorema 2.48.) Para x H arbitrário, a identidade de Parseval garante que x 2 = α A x α 2 = α A x, f α 2 <. Considere o espaço l 2 (A) e a base ortonormal S = {e α : α A} dada pelo Teorema 2.46.

24 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO De acordo com o Teorema da Riesz-Fischer 2.24, existe Definimos x, f α e α l 2 (A). α A φ : H l 2 (A) x x, f α e α. α A (A imagem de φ no ponto x é a função g : A K que assume o valor α A x, f α e α (t) = x, f t no ponto t A.) O Teorema da Base 2.29 nos garante que φ(x) = α A x α 2 = x 2. Isso garante que φ é uma isometria e, portanto, injetora. (Veja o exercício 24.) Para verificarmos que φ é sobrejetora, tome g l 2 (A). A identidade de Parseval garante que g 2 = β A g β 2 = β A g, e β 2. Considere y = β g β f β. Como antes, temos que y H. É claro que φ(y) = g. 2.7 Sistemas Ortonormais Maximais (Esta seção depende de resultados da Seção 2.5 e pode ser omitida, a critério do professor.) Seja E um espaço com produto interno. Já vimos que, se E for um espaço separável, então ele sempre possui uma base ortonormal. Mas e se E não for separável? Podemos garantir que E possui uma base ortonormal não enumerável? Essa é uma questão importante, pois a aplicabilidade do Teorema da Base 2.29 depende de sua existência. Em um espaço de Hilbert, essa questão é respondida afirmativamente: Teorema 2.48 Seja S um sistema ortonormal em um espaço com produto interno. ortonormal maximal que contém S. Em particular, todo espaço de Hilbert H = {0} possui uma base ortonormal. Então existe um sistema A demonstração desse resultado será apresentada no Apêndice??. Observação 2.49 Note que, se E for um espaço com produto interno (ou um espaço de Hilbert) que possui base ortonormal não enumerável, então conjunto das combinações lineares finitas de elementos da base ortonormal não pode ser enumerável. (Se ele fosse enumerável, E possuiria um conjunto enumerável denso e teria, portanto, base ortonormal enumerável.) Existem espaços com produto interno que possuem um sistema ortonormal maximal que não é uma base ortonormal. Posteriormente exemplificaremos tal situação. (Veja o Exemplo??, mas também o Exercício 28.) Mais geralmente, existem espaços com produto interno que não possuem base ortonormal, isto é, neles qualquer sistema ortonormal maximal não é uma base ortonormal. (Exemplos ilustrando essa última situação estão além do escopo deste texto.) Teorema 2.50 Sejam S 1 e S 2 duas bases ortonormais de um espaço com produto interno E. Então existe uma bijeção entre S 1 e S 2. Em outras palavras, duas bases ortonormais S 1 e S 2 do espaço E têm a mesma cardinalidade. Omitiremos a prova desse resultado, que depende do Teorema de Cantor-Bernstein. 11 Contudo, notamos que ele nos permite definir a dimensão de um espaço de Hilbert com respeito ao conceito de base ortonormal: a dimensão de um espaço de Hilbert H é a cardinalidade de sua base ortonormal S. 2.8 Exercícios 1. Sejam E um espaço com produto interno e a norma gerada por seu produto interno. Mostre que 2 é uma função convexa. 11 Para leitores interessados, nos referimos a [19].

2.8. EXERCÍCIOS 25 2. Seja E um espaço euclidiano complexo. Dê um exemplo mostrando que a validade do Teorema de Pitágoras para x, y E não implica que x y. 3. Seja E um espaço com o produto interno,. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz da seguinte maneira: para x, y E, desenvolva a expressão 0 x αty, x αty. Escolhendo α = x, y, obtenha um trinômio do segundo grau com coeficientes reais. Analise esse trinômio e obtenha a desigualdade de Cauchy-Schwarz. 4. Seja E um espaço com produto interno. Mostre que x, y = x y se, e somente se, os vetores x, y forem linearmente dependentes. 5. Considere um espaço com produto interno E e vetores u, v E, com u = 0. Interprete geometricamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz em termos das normas dos vetores proj u v e u. 6. Sejam E 1, E 2 espaços com produto interno. Considere o produto cartesiano E 1 E 2. Verifique que E 1 E 2 é um espaço com produto interno, se definirmos (x1, y 1 ), (x 2, y 2 ) = x 1, x 2 + y 1, y 2. 7. Seja X o espaço das funções f : [a, b] C de classe C 1. Defina, para f, g X, f, g := (a), é um produto interno? b a f (x)g (x)dx. (b) Considere F = { f X : f (a) = 0}. Em F,, é um produto interno? 8. Demonstre o Lema 2.10 e a Proposição 2.11. 9. Mostre que a norma sup em C ( [a, b], K ) não é gerada por um produto interno. 10. Seja E um espaço com produto interno que não seja completo. O completamento de E foi definido na Seção??. Mostre que o completamento de E é um espaço de Hilbert. 11. Mostre que, se S = {e α } α A for uma família ortogonal de vetores não nulos no espaço com produto interno E, então {e α } α A é linearmente independente. 12. Seja S uma família ortonormal no espaço com produto interno E. (a) Mostre que, se u, v S, então u v = 2. (b) Mostre que, para x E fixo, o conjunto M x = {u S : x, u = 0} é, no máximo, enumerável. 13. Com respeito ao Exemplo 2.17, mostre: (a) h j, h k = δ jk ; (b) S = { e 0, f k, g k : k N } é um sistema ortonormal em C L 2( [0, 1], R ). 14. Utilizando as igualdades (2.5), mostre que as funções q n do Lema 2.35 são polinômios trigonométricos.