INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SÃO PAULO CAMPUS PRESIDENTE EPITÁCIO GABRIEL OLIVEIRA DE MELLO MÉTODOS PARA DETERMINAR A RETA TANGENTE Presidente Epitácio SP 2017
GABRIEL OLIVEIRA DE MELLO MÉTODOS PARA DETERMINAR A RETA TANGENTE Trabalho apresentado à disciplina Comunicação e Expressão, vinculada ao curso de graduação Bacharel em Engenharia Elétrica. Prof. Me. Cleber Luiz Cunha Presidente Epitácio - SP 2017
SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 4 HISTÓRIA... 4 EVOLUÇÃO DAS FUNÇÕES E DAS CURVAS... 4 CONCEITO DA TANGENTE... 5 MÉTODO FERMAT... 6 MÉTODO DE BARROW... 7 APLICANDO OS MÉTODOS... 8 ANALOGIA DOS MÉTODOS... 9 CONCLUSÃO... 9 REFERÊNCIAS... 10
INTRODUÇÃO Optamos por uma sequência histórica com fundamentos para mostrar o aprimoramento e conceito de derivada e compara-las com os métodos modernos. Para isso, inicialmente, iremos fazer uma analogia sobre os métodos de Isaac Barrow e Pierre de Fermat e demonstrar como que estes estudiosos faziam para solucionar, por exemplo, uma equação da reta tangente à curva y. Iremos também discutir um pouco sobre os métodos destes cálculos e seu aprimoramento. HISTÓRIA Por trás do conceito de derivadas há diversos os filósofos e matemáticos, que já realizaram estudos sobre o assunto. O desenvolvimento e estudo do conceito atual de derivas que temos, foram construídos sequencialmente e trás uma abordagem historicamente rica. No início da Antiguidade os Pitagóricos e os Babilônicos já realizavam estudos sobre as funções, logo após também os gregos antigos com pesquisas interligadas as tangentes e mais tarde com Apolônio e Arquimedes nos desenvolvimentos dos conceitos geométricos. Os gregos foram responsáveis pelos estudos e desenvolvimento de diferentes métodos para encontrar a tangente a curva em figuras geométrica. No entanto somente no século XVII que houve uma grande evolução matemática devido aos matemáticos Fermat e Descartes no desenvolvimento dos estudos das coordenadas cartesianas. Com a introdução desses conceitos permitiu a visualização da geometria de forma algébrica, surgindo outras curvas e dinamizando o estudo das já difundidas. EVOLUÇÃO DAS FUNÇÕES E DAS CURVAS Nas suas diversas pesquisas Fermat elaborou métodos para determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função através da álgebra e analisando os gráficos das funções ele determinava os pontos onde à inclinação da reta tangente sobre um ponto
ordenado era zero. Devido a essa evolução que está interligado de forma implícita ao método de derivação que muitos consideram Fermat o idealizador do cálculo. Para esclarecer a questão das tangentes Fermat aplica a seguinte princípio: Para determinar uma tangente a uma curva num ponto A considerou outro ponto B sobre a curva; considerou a reta AB secante à curva. Seguidamente deslizou-se ao ponto B ao longo da curva em direção a A, obtendo desta formam retas AB que se aproximavam duma reta C a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto A. Tivemos também contribuições importantes para os casos das retas tangentes com René Descartes (1596-1650), este em seu livro discurso do método (1637) propõe classificação para curvas e uma forma de formar retas tangentes a curvas. E essas aplicações das retas tangentes foram à apoio das ideias de Newton e de Barrow para conseguirem desenvolver e de forma direta contribuírem para os estudos do cálculo e o ação dos planetas. Também podemos citar vários outros matemáticos anteriores como Fermat, que realizou pesquisas importantíssimas com analogia ao estudo das retas tangentes. O que facilitou o estudo futuro de Newton/Leibniz para conceituar as derivadas. CONCEITO DA TANGENTE Muitos cientistas afirmam que Fermat foi o criador do cálculo devido aos seus inúmeros trabalhos com as retas tangentes e a solução para o problema das tangentes. Na demonstração de seu método é interessante que apesar de desconhecer as noções de limites, aplicações semelhantes ao que usamos hoje no cálculo. Temos ainda entre os inúmeros matemáticos que contribuíram para o cálculo e noções de derivada o inglês Isaac Barrow nascido em 1630, vivendo 47 anos dedicados aos estudos matemáticos. Isaac Barrow em seus métodos para as tangentes teve uma abordagem semelhante aos dias atuais, idealizando conceitos e construindo sua metodologia de ainda nunca visto. Em seu livro Lectures on Optics and Geometry publicadas em 1669, foram importantíssimas para a evolução do cálculo e estudos de Isaac Newton que melhorou e generalizou o cálculo.
MÉTODO FERMAT Em notação moderna, seja T = (x0, y0) um ponto genérico da curva pelo qual se pretende passar uma tangente, t. Na figura abaixo observa-se que tg α = Se y = f (x) for a equação da curva e se denotarmos a subtange por b, teremos 17 tg α =. A ideia de Fermat fundamenta-se em achar b. Seja então T 1 = (x0 + E, f(x0 + E)) outro ponto desta curva com T 1 muito próximo de T (Fermat dizia que o E deveria ser sabiamente escolhido ). Então, devido à proximidade de T e T 1 Fermat considerava o ponto T 1 também pertencente à reta tangente e então haveria semelhança entre os triângulos TMS e T 1 MS 1. De modo que : Levando a expressão encontrada para a subtangente b em tg α = tg α =., encontramos
Fermat não havia o conceito de limite, mas ao dizer que E deveria ser sabiamente escolhido ele queria dizer que E deveria tender a zero. Em notação moderna e precisa, Esta expressão equivale, como sabemos à derivada de f(x) no ponto T (x0, y0). Fermat não costumava publicar seus resultados ele simplesmente os passava a Mersene que cuidava da sua divulgação entre outros matemáticos que também mantinham correspondência com ele. MÉTODO DE BARROW Este método é também conhecido como Método dos Pontos Coincidentes. Foi publicado em 1665 no livro Geometical Lectures. Barrow representava a função y = f(x) na forma implícita f(x,y) = 0. O coeficiente da reta t considerada como tangente é dado a grosso modo por: Segundo Barrow o adjetivo grosseiro pode ser retirado se P 2 = P 1. Se isto acontece, então A = 0. É importante destacar que o A não foi interpretado como um incremento infinitesimal como fazemos hoje. Com essas considerações tem-se: P 1 (x, y) = P 2 (x + A, y + B).
APLICANDO OS MÉTODOS Para encontrar a equação da reta tangente à curva y = x 3 + 2x, no ponto (1,3) e mostraremos conforme Fermat ou Barrow teriam esclarecido o mesmo problema. Primeiramente iremos analisar através dos estudos aprendidos em sala de aula e sequencialmente iremos empregar os métodos de Fermat e Barrow. Método atual: A equação da reta que é tangente à curva abaixo, no ponto em que, x = - 1: y = x³ +2x-1 Vamos derivar a função "y": y 1 =3x2+2 e entrar o coeficiente angular da reta, para x = -1. Y 1 (-1)=3*(-1)²+2 Y 1 (-1)=3*1+2 Y 1 (-1)=3+2 Y 1 (-1) = 5 O coeficiente angular da reta acima é CA = 5 A equação original é y = x³ + 2x - 1 e substituiremos o "x" por (-1), para saber qual é a ordenada de "y para encontrar o ponto (x; y) em que a reta passa: Y = x³+2x-1 substituindo "x" por (-1), temos: Y = (-1)³+2*(-1)-1 Y = -1-2-1 Y = -4 Assim, a reta vai passar no ponto (-1;-4). Agora, que já temos que o coeficiente angular é CA = 5 e que o ponto por onde a reta passa é P(-1; -4), vamos encontrar a equação da reta, que é dada por: y - y 1 = CA* (x - x 1 ), substituindo "y 1 " por (-4), "x 1 " por (-1) e CA por "5", temos:
Y-(-4) = 5 * (x- (-1)) Y+4=5* (x+1) Y + 4 = 5x + 5 Y = 5x + 5-4 Y = 5x + 1 Método Fermat: F(a)/d = F (a+ E) /d +E F(x 3 + 0) / 2x = F (x 3 1 + 2x) + (x 3 + 2) / (x 3 + 2x) F(x3 + 2x) + (x 3 + 2x) / (x 3 + 2x) = 3x 2 + 2x ANALOGIA DOS MÉTODOS A expressão utilizada por Fermat, equivale à derivada de f(x) no ponto Z (X 0, Y 0 ). Não se sabe se a técnica de Fermat, não havia fundamento, pois E se tornava 0 sempre que necessário, sem ao menos ter fundamentos. É possível analisar que Newton ao utilizar dos métodos de Barrow, que eram muito semelhantes ao de Fermat, deu continuidade ao pensamento para o desenvolvimento da teoria, na qual utilizamos em sala de aula. CONCLUSÃO Este trabalho teve como intuito de desenvolver e demonstrar as antigas teorias corelacionando com a teoria aprendida em sala de aula. Observamos que ao longo da história da criação da Deriva, os matemáticos da época possuíam dificuldades para tentar resolver problemas de tangencias. Estes estudos foram desenvolvidos por anos e por diversos matemáticos que influenciaram Newton a desenvolver uma teoria e ferramenta para o estudo e analise das funções.
REFERÊNCIAS http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_anderso_marcolino.pdf http://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/produtos_2011/daniel%20de%20oliveira.pdf http://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/dissertacoes_2011/diss_daniel_gustavo_oliv eira.pdf BOYER, Carl; História de Matemática p. 389, 432 S.G. Carvalho, A teoria das tangentes antes da invenção do cálculo diferencial, Imprensa da Universidade, Coimbra, 1919. Euclides, Os Elementos, Editora UNESP, Sãoo Paulo, 2009. J.A.L. Pires, Cálculo diferencial - Estudo histórico sobre a evolução do Cálculo Diferencial no século VXII, Vila Real, 2004.