Guia do Professor Matemática Comercial e Financeira Simuladores
Coordenação Geral Elizabete dos Santos Autores Alexandre Direne Andrey Pimentel Fabiano Silva Laura Garcia Luis Bona Marcos Castilho Marcos Sunye Danilo Picolotto Derik da Silva Diego Marczal Felipe Moreschi Fernando Coelho Gabriel Ramos Grazielle Vernize Jonatas Teixeira Luan dos Santos Raphael Andrade Juliana Bueno Jorge Luis Salvi Lourdes Almeida Márcia Cyrino Rodolfo Vertuan Bárbara Palharini Revisão Textual Elizabeth Sanfelice Coordenação de Produção Eziquiel Menta Projeto Gráfico Juliana Gomes de Souza Dias Diagramação e Capa Aline Sentone Juliana Gomes de Souza Dias Realização Secretaria de Estado da Educação do Paraná DISTRIBUIÇÃO GRATUITA IMPRESSO NO BRASIL 2
Simulador: Matemática Comercial e Financeira 1 Introdução O simulador Matemática Comercial e Financeira é constituído por seis situações que, para serem resolvidas, utilizam conceitos de juros simples e compostos, descontos e amortizações. Neste último caso, mais especificamente, a ideia de sistema de amortizações constantes (SAC). Trata-se de mais um recurso que, aliado ao áudio e ao experimento de ensino referente à Matemática Comercial e Financeira, possibilita aos alunos aplicarem conhecimentos já construídos bem como revisarem conceitos e procedimentos presentes em situações do cotidiano situações relacionadas à compra e venda, a empréstimos e a outras transações comerciais. Este simulador funciona como um jogo, no qual progredir para uma segunda situação implica resolver corretamente a primeira. Como o sistema permite três tentativas de respostas para cada situação, é importante que os alunos utilizem as ferramentas do simulador ou papel e lápis para buscar as respostas antes de verificar sua validade. Neste contexto, o trabalho em duplas ou em trios é fundamental. No simulador, encontram-se, numa mesma linha, três ícones: o primeiro fornece um glossário de termos para acesso rápido às definições resumidas, o segundo, um bloco de anotações, e o terceiro, uma calculadora. Quando, numa mesma situação, as três tentativas forem incorretas, o jogo termina e uma nova rodada é iniciada. Nesta nova rodada, as situações são as mesmas, mas os números do enunciado e, consequentemente, as respostas, mudam. O professor pode aproveitar o simulador para estabelecer uma disputa entre as diferentes duplas formadas pelos alunos já que se trata de um jogo de modo que a primeira dupla a concluir as atividades vence!!!. Embora a rapidez na realização das tarefas possa denotar certa facilidade de lidar com as situações, bem como a compreensão dos conceitos envolvidos, mais importante que terminar rapidamente as atividades é discutilas, uma a uma, de modo a sanar as dúvidas e a compreender os conceitos. 1.1 Aplicando o conceito de desconto A ideia de desconto está associada ao abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Por exemplo, no comércio é bastante comum o vendedor oferecer um desconto sobre o preço do produto quando o comprador opta por efetuá-lo à vista. De modo geral, nestas situações, o desconto costuma ser expresso por um percentual aplicado sobre o preço. É o que acontece na primeira atividade do simulador, que tem por objetivo levar os alunos tanto a discutir este conceito quanto a resolver uma situação em que seu uso se faz necessário para, a partir dos resultados encontrados, optar pelo estabelecimento que oferece melhor preço quando se paga certo produto à vista. 1.2. Aplicando o conceito de juros simples Quando não podemos realizar compras e pagar o valor total do produto adquirido, optamos, geralmente, pelo pagamento a prazo. Neste caso, para haver certa compensação financeira a quem vende o produto nestas condições, costuma-se somar ao valor da dívida os denominados juros. Na segunda situação do jogo, o objetivo é discutir este conceito, mais especificamente, o conceito de juros simples. Quando em cada período de tempo, o juro gerado é constante e igual ao produto do capital inicial empregado em uma operação financeira pela taxa, ou seja, o juro a ser cobrado incide apenas sobre o capital inicial, temos a aplicação de juros simples. 3
Na atividade é possível, ainda, discutir algumas jogadas de mercado, por exemplo, o estabelecimento que oferece melhor preço à vista nem sempre é o que oferece melhor preço quando o pagamento é realizado a prazo. 1.3 Aplicando o conceito de juros compostos Na terceira atividade do simulador, assim como na anterior, os alunos discutirão o conceito de juros, no entanto, nesta atividade, resolverão um problema de juros compostos. Os juros compostos (também denominados juros sobre juros ) são aqueles que surgem quando, após cada período de tempo, os juros gerados são incorporados ao capital do início do período, a partir do qual incidirão novos juros no período seguinte. Nesta situação, faz-se conveniente discutir as diferenças entre os dois tipos de juros simples e compostos tanto no que tange à expressão algébrica, quanto em relação ao comportamento do montante e dos juros gerados. É interessante conversar sobre qual dos dois tipos de juros é o mais frequente no mercado e em quais situações encontramos um ou outro (neste sentido, o programa de áudio referente à Matemática Comercial e Financeira será bastante útil). Nas duas próximas situações do jogo, os alunos terão de decidir, a partir de cálculos envolvendo juros simples e compostos, em que opção, dentre as oferecidas, terão maior vantagem do ponto de vista econômico. Aqui, poderão utilizar fórmulas para realizar os cálculos. Fórmulas que, aconselhamos, devem ser construídas pelos alunos enquanto estudam o assunto por meio do experimento de ensino Matemática Comercial e Financeira ou enquanto realizam as duas primeiras atividades deste jogo. 1.4 Aplicando o conceito de amortização e aplicando o SAC Na última situação do jogo, os alunos utilizarão o conceito de amortização e, dentre os diferentes sistemas de amortização existentes, aplicarão o Sistema de Amortizações Constantes SAC. Frequentemente, em operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento de juros e à devolução propriamente dita do capital empregado (HAZZAN e POMPEO, 2001). Para tal, o valor total do capital empregado na operação é separado em parcelas que podem ou não ter o mesmo valor, as quais são chamadas amortizações, que correspondem a um dos elementos utilizados no cálculo de cada prestação a ser paga para liquidar o empréstimo. As prestações a serem pagas por quem empresta o capital são obtidas, por sua vez, acrescentando-se a cada uma das amortizações, juros referentes ao saldo devedor que ainda resta a ser pago para a liquidação total da dívida. O saldo devedor de cada período é obtido retirando-se do saldo devedor anterior a amortização correspondente a este período. No caso específico do SAC, como o próprio nome diz, as amortizações devem ser constantes, ou seja, terem o mesmo valor. Deste modo, para obter o valor de cada uma delas, basta dividir o valor total do capital empregado na operação financeira pela quantidade de períodos que levará para a quitação do empréstimo. Por exemplo, se emprestarmos 300 reais para serem pagos em 3 meses, inicialmente dividimos 300 por 3, obtendo 100 reais que é o valor de cada amortização e não o de cada prestação. Para obter o valor da prestação, calculam-se também os juros que incidirão sobre cada parcela. Os juros são calculados sempre sobre o saldo devedor. No exemplo, tomando uma taxa de juros de 10% ao mês, temos: No primeiro mês: como se devem os 300 reais emprestados, calculam-se 10% destes 300 reais, isto é, 30 reais, que correspondem aos juros pagos na primeira parcela. Logo, a primeira parcela será de 100 reais (a primeira amortização) + 30 reais (juros da primeira parcela) 130 reais. 4
No segundo mês: como já foram pagos 100 reais da dívida inicial (amortização presente na primeira parcela), o saldo devedor, neste momento, é de 200 reais. Assim, calculamse 10% destes 200 reais, isto é, 20 reais, que correspondem aos juros pagos na segundo parcela. Logo, a segunda parcela será de 100 reais (a segunda amortização) + 20 reais (juros da segunda parcela) 120 reais. No terceiro e último mês: como já foram pagos 200 reais da dívida inicial (amortização presente nas duas primeiras parcelas), o saldo devedor, agora, é de 100 reais. Calculamse 10% destes 100 reais, obtendo 10 reais. Como antes, a terceira parcela será composta da amortização final de 100 reais (fim da dívida) e dos 10 reais correspondentes ao saldo devedor (juros da terceira parcela) 110 reais. Finalmente, o valor final pago pelo empréstimo será de 130+120+110 reais = 360 reais. Percebe-se que no SAC as amortizações são constantes e os juros e as parcelas são decrescentes. 2 Objetivos Utilizar conceitos de Matemática Comercial e Financeira na resolução de problemas. Diferenciar juros simples de juros compostos e investigar em quais situações um tornase mais vantajoso que o outro. Analisar situações de compra, venda e financiamento, de modo a descobrir, dentre algumas opções qual é a mais vantajosa quando se pretende ter menor custo possível. Calcular o quanto pagar em um financiamento utilizando o sistema de amortização constante - SAC. Tempo previsto para a atividade O tempo previsto para a atividade com o software no laboratório é de aproximadamente uma hora e meia. No entanto, esse tempo pode variar de acordo com o potencial de intervenção do professor antes da execução da atividade ou mesmo durante a atividade. Recomenda-se que o professor utilize a oportunidade dos momentos no ambiente laboratorial para explorar as possíveis sugestões de desenvolvimento da atividade vindas dos próprios alunos. Na sala de aula Como preparação para a aplicação do simulador, o professor pode utilizar, em suas aulas, o áudio Matemática Comercial e Financeira, a partir do qual pode convidar seus alunos a investigarem os conceitos deste ramo da Matemática, e o experimento de ensino Matemática Comercial e Financeira, por meio do qual os alunos podem construir conceitos e obter generalizações. Considera-se importante, ainda, que o professor utilize o simulador e explore suas possibilidades antes de submetê-lo aos alunos, de modo a potencializar sua intervenção no decorrer das atividades. No laboratório de computadores 5.1 Material necessário A rigor, não é necessário material adicional ao equipamento técnico (ver hardware e software descritos a seguir). No entanto, alguns alunos podem preferir fazer anotações 5
com lápis em papel durante o trabalho com o simulador. Adicionalmente, o professor pode solicitar a entrega de algum trabalho após o uso da ferramenta, o que também pode exigir o uso de instrumentos tradicionais de escrita, se não houver uma impressora disponível. 5.2 Requisitos técnicos É necessário que os computadores do laboratório tenham: CD com o software ou uma conexão com a Internet (qualquer velocidade); qualquer Sistema Operacional (exemplos: Ubuntu Linux, Kurumin Linux, Debian Linux, Windows 98, Windows XP, Windows Vista, etc) instalado; qualquer Navegador Web (Web browser) que suporte Java (exemplos: Mozilla Firefox, Epiphany, Opera, Internet Explorer, etc) instalado; e o Java JRE 1.6 instalado. 6 Sugestão de atividade Outras atividades podem ser propostas aos alunos de modo a levá-los a refletir, questionar e aprofundar conhecimentos sobre os conteúdos abordados no simulador. A seguir apresentamos uma sugestão, a partir da qual podem ser estabelecidas claramente relações dos conteúdos abordados em Matemática Comercial e Financeira com os conteúdos função polinomial do primeiro grau e função exponencial, atentando para as características de cada tipo de função. Atividade Considerando medidas de tempo t iguais (mês, ano, trimestres,...) e um mesmo capital sobre o qual tenha sido aplicado juros simples e compostos, pergunta-se: para que intervalo de tempo t juros simples rendem mais que juros compostos? Comentário: Nesta atividade, espera-se que os alunos relacionem os registros algébrico, tabular e gráfico das funções que expressam os montantes obtidos em cada tipo de aplicação de juros simples e compostos. Logo, ao relacionarem M = C. (1 + i.t) a uma função polinomial do primeiro grau, assim como M = C. (1 + i) t a uma função do tipo exponencial, de variáveis dependente M (montante) e independente t (tempo), podem representar as duas funções em um mesmo plano cartesiano (Figura 1). Figura 1: Gráfico da situação quando juros simples rendem mais que juros compostos? 6
A partir da análise conjunta de tabelas, gráficos e expressões algébricas é possível concluir que: os montantes obtidos nos dois sistemas de juros apresentam o mesmo capital inicial C e, portanto, o montante no tempo zero só pode ser o mesmo para os dois tipos de aplicação; o montante também será o mesmo nos dois tipos de aplicação decorrida uma unidade de período de tempo (aquele sobre o qual são calculados os juros: t=1); o gráfico da função exponencial representativa do montante no sistema de juros compostos fica abaixo do gráfico da função do primeiro grau representativa do montante no sistema de juros simples, até se completar o período de uma unidade de tempo (seja ela 1 mês, 1 ano ou 1 trimestre, o que depende da situação). Tal comportamento denota que neste intervalo de tempo, 0 t 1, o sistema de juros simples rende um montante maior que o sistema de juros compostos. para t>1, o gráfico do montante para o sistema de juros compostos fica acima do gráfico referente ao sistema de juros simples, o que implica em maior montante para o sistema de juros compostos. 7 Avaliação A avaliação pode ser realizada durante o desenvolvimento das atividades. O professor pode aproveitar as discussões e respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias. 8 Sugestões de sítios www.brasilescola.com/matematica/matematica-financeira.htm http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/curso/curso.htm 9 Indicações de leituras HAZZAN, S. e POMPEO, J. N. Matemática Financeira, 5 a ed. São Paulo: Saraiva, 2001. PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para as Séries Finais do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio. Curitiba, 2008 7
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