Fisica I IO Dinâmica do Movimento Rotacional Oliveira Ed. Basilio Jafet sala 202 crislpo@if.usp.br Dinâmica do Movimento rotacional Para que o qualquer tipo de movimento ocorra é necessário a aplicação de uma força. No movimento de rotação, é necessário a aplicação de uma força que faça o corpo girar. Como veremos, podemos associar movimentos de rotação à uma nova quantidade física, o torque. Além da conservação da energia, para sistemas isolados, definiremos a conservação do momento angular do sistema. Este principio de conservação é extremamente util na descrição e compreensão do movimento de rotação de corpos. Veremos diversas aplicações como descrição dinâmica de um giroscópio ou de um pião. 1
Torque Como vimos anteriormente, forças agindo sobre um corpo podem afetar seu movimento translacional. Nesta descrição não nos importava a forma do corpo uma vez que tratávamos tudo como pontos materiais. Para que ocorram movimentos rotacionais a magnitude e direção da força são importantes, mas tão importante quanto é o ponto de aplicação desta força, uma vez que isso acabará ocasionando diferentes tipos de rotação. Na figura ao lado a chave de boca está sendo usada para soltar um parafuso. E três forças de igual magnitude são indicadas. A força F b aplicada próxima ao final da chave é mais efetiva do que uma força F a, aplicada próxima ao parafuso. Além disso, a força F, c não fornece nenhum tipo de contribuição, apesar de ser aplicada no mesmo ponto de F, mas está dirigida ao b longo do comprimento da chave. A quantidade que indica a tendência que uma força tem de causar ou mudar o movimento de rotação de um corpo é chamado de torque. Torque Vamos tomar o corpo abaixo, que pode girar em torno do eixo O. Três forças agem no corpo no plano da figura. Para a força F 1, a tendência para causar a rotação no ponto O depende da intensidade da força F. 1 Além disso, depende da distancia perpendicular l 1, entre o ponto O e a linha de ação, da força, isto é, a linha na qual o vetor força está. l 1 Chamamos a distancia como braço de alavanca (ou braço de momento) da força F 1 com relação a O. O esforço de torção é diretamente proporcional tanto a F quando a l 1 1. Sendo assim definimos torque (ou momento) da força F com respeito a O pelo simples produto F l 1 1 1. Usa se a letra grega tau para torque. Para uma força com intensidade F cuja linha de ação é uma distancia perpendicular l a partir de O, definimos torque como, Os termos torque e momento são usualmente utizados, assim como braço da alavanca ou braço do momento. 2
Para diferenciar os torques da força F 1 e F 2 podemos definir o torque como positivo, quando causa rotação em sentido antihorário. Assim, torques que causam rotação em sentido horário, serão negativos. Com essa definição, No SI, a unidade de torque é Newtonmetro. Apesar de ter a mesma unidade, torque não é trabalho ou energia! (como veremos, torque é um vetor, ao passo que trabalho e energia são escalares!) Sendo assim a unidade que devemos utilizar para o torque é N.m enãoj(joules)! Como devemos proceder quando a linha de ação da Força atuante não é perpendicular ao braço da alavanca? O torque sempre corresponde à ação de uma força e braço com direções perpendiculares. Sendo assim, podemos pegar a componente da força perpendicular ao braço, ou a componente do braço de alavanca que é perpendicular à força aplicada. Matematicamente, Note que tanto a força F e o braço de alavanca r são vetores. Desta forma podemos escrever o torque como um produto destes dois vetores. Como o torque também é um vetor, qual tipo de produto seria?? 3
Torque como um vetor Como vimos anteriormente, tanto a velocidade angular quanto a aceleração angular podem ser representados por vetores. O mesmo é aplicado para o torque. Na realidade, a quantidade nada mais é do que a magnitude do produto vetorial. Logo, podemos generalizar o torque como: quando uma força F age em um ponto com posição r com respeito a uma origem O, o torque desta força com respeito a O é a quantidade vetorial, A direção do torque segue as regras do produto vetorial. Na verdade, os vetores r e F definem um plano e assim, o torque será um vetor perpendicular a este plano. Em termos práticos, pode se utilizar a regra da mão direita com F fechando sobre F. Como indicado na figura ao lado, esta definição indicará o sentido de rotação induzido pelo torque. Rotações em sentido anti horario, fornecem torques positivos ( para cima ) e rotações no sentido horario fornecem torques negativos ( para baixo ). Sendo assim o vetor torque, velocidade angular e aceleração angular possuem compreensões similares! 4
Torque e aceleração angular para um corpo rígido Lembremos do movimento linear: O movimento linear era descrito pela cinemática: posição, velocidade, aceleração, etc. Omovimentoera causadoporumaforça, com módulo, direção e sentido. Podemos agora definir a mesma sistemática para o movimento rotacional: O movimento de rotação era descrito pela cinemática: posição angular, velocidade angular, aceleração angular, etc. Omovimentode rotação é causadopor um torque, com módulo, direção e sentido. Torque e aceleração angular para um corpo rígido Vamos assumir um corpo rígido composto de várias partículas. Escolhemos como eixo z como eixo de rotação. A força resultante agindo sobre esta partícula pode ser descrita em termos de três componentes. Uma radial, F 1,rad, na mesma direção de r 1, outra tangencial, F 1,tan, tangente ao circulo de raio r 1 no qual esta partícula se move e outra ao longo do eixo de rotação, F 1z. Definidas as forças, podemos aplicar a Segunda Lei de Newton. A segunda lei de Newton para a componente tangencial fornece, Como vimos antes, podemos expressar esta componente tangencial em termos da aceleração angular z : a 1,tan =r 1 z. usando esta expressão para a aceleração tangencial e multiplicando ambos lados por r 1, 5
Torque e aceleração angular para um corpo rígido F 1,tan r 1 nada mais é do que o torque da força resultante com respeito ao eixo de rotação, ou seja a componente 1z. Nenhuma das outras forças, F 1,rad e F 1z, contribuem para o torque sob o eixo de rotação z, uma vez que não alteram a rotação da partícula com relação a este eixo. Agora, é o momento de inércia I 1 da partícula com massa m 1 com relação ao eixo de rotação, assim, Podemos obter uma equação similar para cada partícula que compõe o corpo. Assim, podemos somar todas as equações, No lado esquerdo temos a soma de todos os torques que age sobre o corpo rígido. No lado direito temos, o momento de inércia total do corpo rígido, multiplicado pela aceleração angular, que é a mesma para todo o corpo, pois ele é rigido. Assim, podemos finalmente escreve o análogo da Segunda lei de Newton para o movimento rotacional: Torque e aceleração angular para um corpo rígido Assim como a segunda Lei de Newton define a força resultante sobre uma partícula como sendo massa vezes aceleração, este resultado nos fala que o torque resultante em um corpo rígido é igual ao momento de inércia do corpo em relação a um dado eixo, multiplicado por sua aceleração angular. O torque em cada partícula do corpo é devido à força resultante nesta partícula, ou seja, a soma da ação das forças internas e externas. No entanto, pela terceira lei de Newton sabemos que as forças internas para qualquer par de partícula exercem forças iguais e opostas. Sendo assim, estas forças gerarão torques iguais e opostos, e deste modo, se somam a zero. Com isso, todos os torques internos são zero e só nos importa os torques feitos por forças externas. 6
7
Rotação em torno de um eixo em movimento Podemos estender as analises da dinâmica do movimento de rotação para casos onde o eixo de rotação se move. Quando isso acontece, o corpo terá um movimento de rotação e translação combinado. A chave para descrever estas situações consiste de entender que : Qualquer movimento possível do corpo rígido pode ser representado como uma combinação do movimento de translação do centro de massa e a rotação ao redor de um eixo passando pelo centro de massa. Esta afirmação é verdadeira mesmo que o centro de massa acelere, ou seja, para referenciais não inerciais. Exemplos são um bastonete em movimento balístico, um corpo em rolamento em um plano, um ioiô, etc. Translação e rotação combinadas: Relações energéticas Está além da abordagem deste curso demonstrar que o movimento de corpos rigidos podem sempre ser divididos entre o movimento de translação do centro de massa e o de rotação em torno do centro de massa. No entanto podemos demonstrar que isso é verdadeiro para a energia cinética de um corpo rígido que possui tanto movimento translacional e rotacional. Nestecasoaenergiacinéticadocorpoéasomadeumaparte associadacomo movimentodocentrodemassaedeoutraparte associadacomarotaçãoem torno de um eixo passando pelo centro de massa: Ou seja, podemos desacoplar as duas formas de energia para o movimento de um corpo rígido. 8
Demonstração: Vamos imaginar um corpo rígido feito por partículas. Como mostrado na figura ao lado, uma partícula com massa possui velocidade relativa a um referencial inercial. Esta velocidade é a soma vetorial da velocidade do centro de massa e a velocidade da partícula relativa ao centro de massa: A energia cinética K i desta partícula no referencial inercial é. Esta energia pode ser escrita como, Logo, Demonstração: A energia cinética total é a soma para todas as partículas que compõem o corpo. Utilizando esta definição na expressão anterior, temos O primeiro e segundo termos possuem fatores comuns que podem ser tirados fora da soma, Agora basta uma análise dos termos acima. O primeiro termo, é a massa total M. O segundo termo é zero pois é M multiplicado pela velocidade do centro de massa relativo ao centro de massa, que é zero por definição. O ultimo termo é a soma das energias cinéticas das partículas calculadas utilizando suas velocidades escalares com relação ao centro de massa. Este termo nada mais é do que a energia cinética de rotação em torno do centro de massa,. Logo, 9
Rolamento sem derrapagem Um caso muito importante de rotação e translação combinadas é o rolamento sem derrapagem. A roda é simétrica, logo o centro de massa está no centro geométrico. Vamos assumir o movimento em um referencial inercial de referencia no qual a superfície na qual arodarolaestáparada. Neste referencial, o ponto no qual a roda está em contato com a superfície está instantaneamente em repouso de como que não derrapa. Assim a velocidade e um ponto de contato relativo ao centro de massa deve ter a mesma magnitude mas direção oposta à velocidade do centro de massa Se o raio da roda é R e sua velocidade angular é, a magnitude de Fotografia instantânea de uma roda de bicicleta em rolamento é R, assim, 10
11
Translação e rotação combinadas: Dinâmica Podemos fazer a analise da translação e rotação em termos da dinâmica. Para um corpo de massa M, a aceleração do centro de massa é a mesma que teria uma massa M sob a ação de todas as forças externas agindo no corpo, O movimento de rotação em torno do centro de massa é descrito pelo análogo da Segunda Lei de Newton, Sendo I cm o momento de inercia com respeito a um eixo passando pelo centro de massa, e a soma inclui todos os torques com respeito a este eixo. Pode se demonstrar que esta equação para os torques é válida mesmo que o eixo de rotação se mova, desde que duas condições sejam válidas: 1. O eixo passando pelo centro de massa deve ser um eixo de simetria. 2. O eixo não muda sua direção. 12
Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional Ao andar de bicicleta a força que você aplica nos pedais (um corpo em rotação) faz um trabalho neles. Um motor girando também realiza trabalho. Podemos descrever este trabalho em termos do torque e de deslocamentos angulares. Suponha uma força tangencial agindo sobre um disco pivotado. O disco roda um angulo infinitesimal d em torno do eixo fixo, durante um tempo infinitesimal dt. OtrabalhodW feito pala força quando o ponto no disco se move a uma distancia ds é Se d é medido em radianos, então, ds =Rd,logo, Agora, é o torque feito pela força, logo O trabalho total W feito pelo torque durante um deslocamento angular de 1 para 2 será, 13
Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional Se o torque é constante durante a mudança angular, então, Se o torque é dado em N.m eoângulo em radianos,otrabalho será em Joules. Note a completa analogia com o movimento unidimensional, Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional Quando o torque realiza trabalho em um corpo em rotação, a energia cinética muda por uma quantidade igual ao trabalho feito. Seja o torque total agindo sobre o corpo, de modo que. O corpo é rígido, de modo que o momento de inercia I é constante. Neste caso temos, Como é o torque total agindo sobre o corpo, a integral deste torque fornecerá o trabalho total agindo sobre o corpo, logo, A mudança na energia cinética rotacional em um corpo rígido é igual ao trabalho feito pelas forças externas ao corpo. Esta equação é análoga ao teorema trabalho energia para uma partícula. 14
Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional Para obter a potencia associada ao torque, dividimos a equação do trabalho infinitesimal por dt: Mas dw/dt é a taxa de realização do trabalho, ou potencia P, ed /dt é a velocidade angular, logo, Veja que esta equação é análoga ao caso do movimento translacional, 15
Momento Angular Como mostrado anteriormente, todas as quantidades rotacionais possuem um análogo translacional. O análogo do momento de uma partícula é o momento angular, o qual denotaremos por L. Sua relação para com o momento p (momento linear) é a mesma relação do torque para com a força, Par uma partícula de massa m, velocidadev, momentop=m v, evetorposiçãor relativa a uma origem O de um referencial inercial, o momento angular L é definido como, O valor de L depende da origem escolhida, pois envolve o vetor posição relativo a O. As unidades de momento angular são kg.m 2 /s Na figura ao lado a partícula se move no plano xy. Sua posição r e seu momento p =mv são mostrados. O vetor momento angular L é perpendicular ao plano xy. A regra da mão direita mostra que sua direção será ao longo do eixo z positivo e seu modulo, onde l é a distancia perpendicular da reta suporte de v para com O. Esta distancia funciona como o braço da alavanca para o vetor momento. Quando a força F age na partícula, sua velocidade e momento mudam. Logo, seu momento angular também pode mudar. Para ver esta variação temporal no momento angular podemos tirar a derivada da equação do momento, dl d L r mv dr dv r mv mv r m dt dt dt dt O primeiro termo nos parênteses é zero pois dr/dt = v e v x v = 0. No segundo termo, podemos substituir ma pela força F. Assim, A taxa de mudança no momento angular de uma partícula é igual ao torque da força resultante agindo sobre ele. dp Análogo linear : F dt 16
Momento Angular de um corpo rígido Podemos agora obter o momento angular total de um corpo rígido girando ao redor do eixo z com velocidade angular. Primeiro consideramos uma fina fatia do corpo caindo no plano xy. Cada partícula nesta fatia se move em um circulo centralizado na origem e a cada instante sua velocidade v i é perpendicular ao vetor posição r i. Assim, = 90º para cada partícula. A partícula com massa m i na distancia r i a partir de O, tem a velocidade v i igual a r i. Assim, A direção do momento angular para cada partícula é dado pela regra da mão direita, na direção +z. O momento angular total desta fatia do corpo caindo no plano xy é a soma de todos os momentos angulares das partículas. Assim, sendo I o momento de inércia da fatia para com o eixo z. Momento Angular de um corpo rígido Podemos fazer o mesmo cálculo para as outras fatias do corpo, todas paralelas ao plano xy. Para pontos que não caiam no plano xy pode se ter uma complicação pois os respectivos vetores posição r possuirão componentes nas direções x, y e z. Com isso o momento angular de cada partícula terá componentes perpendiculares ao eixo z. Podemos fazer o mesmo cálculo para as outras fatias do corpo, todas paralelas ao plano xy. Para pontos que não caiam no plano xy pode se ter uma complicação pois os respectivos vetores posição r possuirão componentes nas direções x, y e z. Com isso o momento angular de cada partícula terá componentes perpendiculares ao eixo z. Noentanto,seoeixozforumeixodesimetria,as componentes perpendiculares das partículas em lados opostos se cancelarão e se somarão a zero. Assim quando o corpo gira em torno do eixo de simetria, seu momento angular L está alinhado ao eixo de simetria e possui modulo L=I 17
O vetor velocidade angular também está alinhado ao eixo de rotação, como visto antes. Sendo assim, para um corpo rígido girandoemtornodoeixodesimetria,l e estão na mesma direção. Desta maneira temos a forma vetorial, Como vimos antes, a taxa de mudança do momento angular de uma partícula é igual ao torque da força resultante agindo na partícula. Para qualquer sistema de partícula, a taxa de mudança do momento angular é igual à soma dos torques de todas as forças agindo em todas as partículas. Os torques das forças internas se cancelam e sendo assim a soma de todos os torques corresponde apenas às forças externas. Se o momento angular total L do sistema de partículas é a soma de todos os torques, Se o sistema de partículas é um corpo rígido girando em torno de um eixo de simetria, eixo z por exemplo, então, L z =I z eiéconstante.seesteeixoestáemumadireçãofixanoespaço então os vetores L e mudam apenas em magnitude, mas não em direção. Neste caso, dl z /dt =Id z /dt = I z : O que repete a equação da dinâmica de rotação de corpo rígido que obtivemos anteriormente. Note que se um corpo não é rígido esta equação não é valida pois I pode variar. No entanto a relação entre o torque resultante e a variação do momento angular é sempre válida! Quando o eixo de rotação não é um eixo de simetria o momento angular em geral não é paralelo ao eixo de rotação. Quando o corpo gira, o vetor momento angular L traça um cone ao redor do eixo de rotação. Como L muda, existe um torque resultante agindo sobre o corpo mesmo que o modulo velocidade angular seja constante. Se o corpo em questão é uma roda desbalanceada de um carro este torque acabará causando danos e desgastes nos rolamentos. Quando se faz o balanceamento de rodas, pela distribuição de massas em torno de um eixo de rotação, faz se com que o vetor L se alinhe ao eixo de rotação, e em conseqüência elimina se este torque resultante quando a roda gira. 18
Conservação do Momento Angular Os resultados anteriores relacionando torque e momento angular podem servir como definições alternativas para o movimento rotacional. Veremos agora o principio de conservação do momento angular. Assim como a conservação da energia e momento linear, este principio é uma lei universal, válida em todas as escalas de tamanho, desde sistemas atômicos e nucleares ao movimento de galáxias. Este principio vem diretamente da relação entre torque e variação do momento angular: dl Se, 0 dt dl 0 dt L constante Quando o torque resultante externo agindo em um sistema é zero, o momento angular total de um sistema é constante (conservado). 19
Conservação do Momento Angular Este principio de conservação fornece resultados bastante interessantes. Imagine uma acrobata girando em torno do centro de massa com braços e pernas estendidas. Quando ela encolhe os braços e pernas seu momento de inercia I cm com respeito ao centro de massa muda de um valor I 1 par outro valor I 2.Aúnicaforçaexterna agindo sobre ela é o peso, que não possui torque com respeito a um eixo passando pelo centro de massa. Assim, seu momento angular L z =I cm z fica constante e sua velocidade z aumenta quando I cm diminui, ou seja: Quando um esqueitista ou uma bailarina gira com braços estendidos e depois os recolhe, a velocidade angular aumenta pois o momento de inercia diminui. Isto é uma consequência direta da conservação do momento angular no qual a força externa ézero. Um caso interessante ocorre quando um sistema é composto de várias partes. Cada parte exerce força uma em outra de modo que os momentos angulares individuais se alteram. No entanto, o momento angular total não se altera! Imagine um sistema composto de dois corpos, A e B, que interagem somente entre si e com nenhum corpo mais. Se o corpo A exerce uma força em B, F AonB o torque correspondente será AonB. Este torque gera uma alteração no momento angular do corpo B, Aomesmotempo,ocorpoBexerceumaforçaF BonA em A, com torque correspondente, BonA, Da terceira lei de newton, F AonB = F BonA. Além disso se as forças agem ao longo da mesma linha, os braços de alavanca serão os mesmos. Assim os torques serão iguais e opostos. Logo, dla dlb d LA LB dltotal 0 dt dt dt dt Ou seja, o momento angular do sistema é constante. Os torques feitos pelas forças internas podem transferir momento angular de uma parte para outra dentro do corpo mas não podem alterar o momento angular total do sistema! 20
Pr ctu of re.c N ris ot tia es no Le 27/10/2016 21
22
Giroscópio e Precessão Giroscópio e Precessão Para compreender a precessão deve se lembrar que a velocidade angular, momento angular e torque são quantidades vetoriais. Em particular, deve se ter em mente a relação entre o torque resultante que age sobre a variação do momento angular,. Vamos analisar duas situações. Inicialmente vamos assumir que o disco está parado. Tomamos como origemopivôdogiroscópio,oeassumimosqueo disco é simétrico, com massa M e momento de inércia I com relação ao eixo de rotação. O eixo de rotação está inicialmente colocado na direção x. As únicas forças agindo no giroscópio são a força normal n que age no pivô (sem atrito) e o peso w do disco, localizada no seu centro de massa à uma distância r da origem O. A força normal não faz torque pois age no pivô, mas o peso gera um torque na direção y. Inicialmente não temos rotação e o momento inicial L i ézero.comovimos,uma pequena alteração dl no momento angular em um pequeno intervalo de tempo se relaciona com o torque por: 23
Giroscópio e Precessão Esta mudança também está na direção y que é onde está direcionado. A cada intervalo dt o momento angular muda por incrementos adicionais dl na direção y pois o torque é constante. Este aumento do momento angular horizontal significa que o giroscópio gira (cai preso ao pivô) cada vez mais rápido em torno do eixo y. Giroscópio e Precessão Vejamos agora o que acontece quando o disco está inicialmente girando, de modo que o momento angular L i não é zero. Como o disco está girando em torno do eixo, L i está direcionado ao longo deste eixo. No entanto cada uma mudança no momento angular dl é perpendicular a este eixo uma vez que o torque é perpendicular aesteeixo. Isto causa alteração na direção de L, masnãonaseu módulo. As mudanças dl são sempre no plano horizontal xy então o vetor momento angular e o eixo do disco que comelesemoveestãosempreemumplanohorizontal. Em outras palavras, o eixo não cai, apenas sofre precessão. 24
Giroscópio e Precessão Vamos obter a velocidade de precessão. O giroscópio possui momento angular L. um intervalo dt depois, o momento angular será L+dL; a mudança infinitesimal no momento angular é, dl=tdt, o qual é perpendicular à L, conforme indicado no diagrama ao lado. Como o incremento é perpendicular, isso significa que o giroscópio girou um pequeno angulo d dado por dfi=xxxx. A taxa no qual o eixo de move, d /dt é chamada velocidade angular de precessão. Chamando esta unidade de (ômega), temos, A velocidade de precessão angular é inversamente proporcional à velocidade angular de rotação ao redor do eixo. Um giroscópio gira rápido precessão lentamente. Se o atrito nos rolamentos faz com que sua velocidade angular diminua, a velocidade de precessão aumenta! Precessão da Terra Velocidade de precessão da terra: 1 rev / 26000 anos 25
Precessão de um Pião 26
T b R w 27
28