Apostila de Geometria Descritiva. Anderson Mayrink da Cunha GGM - IME - UFF

Apostila de Geometria Descritiva Anderson Mayrink da Cunha GGM - IME - UFF Novembro de 2013

Sumário Sumário i 1 Poliedros e sua Representação 1 1.1 Tipos de Poliedros.............................. 1 1.1.1 Poliedros Regulares ou Sólidos Platónicos.............. 1 1.1.2 Prismas................................ 1 1.1.3 Pirâmides............................... 2 1.1.4 Poliedros Convexos.......................... 3 1.2 Poliedros em Épura.............................. 3 1.2.1 Visibilidade.............................. 4 1.3 Exemplos de Representação de Poliedros.................. 5 1.3.1 Visibilidade de Pirâmides...................... 5 1.3.2 Prisma Reto.............................. 6 1.3.3 Pirâmide Regular Reta........................ 8 1.3.4 Pirâmide Obliqua........................... 10 1.3.5 Prisma Obliquo............................ 12 1.3.6 Cubo apoiado num Plano de Topo................. 14 1.3.7 Tetraedro Regular.......................... 17 1.3.8 Octaedro Regular........................... 20 1.4 Exercícios................................... 22 2 Operações com Poliedros 25 2.1 Prisma Reto.................................. 25 2.1.1 Seção Plana com Plano de Topo................... 25 2.1.2 Desenvolvimento........................... 27 2.1.3 Transformada da Seção........................ 28 2.2 Pirâmide Reta Regular............................ 30 2.2.1 Seção Plana com Plano de Topo................... 30 2.2.2 Desenvolvimento........................... 32 2.2.3 Transformada da Seção........................ 33 2.3 Pirâmide Oblíqua............................... 35 2.3.1 Seção Plana com Plano de Topo................... 35 2.3.2 Desenvolvimento........................... 37 i

SUMÁRIO ii 2.3.3 Transformada da Seção........................ 39 2.3.4 Seção Plana com Plano Qualquer.................. 41 2.4 Prisma Oblíquo................................ 44 2.4.1 Seção Reta.............................. 44 2.4.2 Desenvolvimento........................... 44 2.5 Pertinência de Pontos em Poliedros..................... 47 2.5.1 Prisma Reto.............................. 47 2.5.2 Prisma Oblíquo............................ 48 2.5.3 Pirâmide................................ 49 2.6 Exercícios................................... 52 2.7 Soluções e Sugestões............................. 56 3 Cilindro, Cone e Esfera 57 3.1 O Cilindro................................... 57 3.1.1 Representação Mongeana....................... 58 3.1.2 Pertinência de um Ponto....................... 59 3.1.3 Seção Plana.............................. 61 3.1.4 Desenvolvimento e Transformada da Seção............. 63 3.1.5 Hélice Cilíndrica........................... 64 3.2 O Cone.................................... 66 3.2.1 Representação Mongeana....................... 66 3.2.2 Pertinência de um Ponto....................... 68 3.2.3 Seção Plana.............................. 69 3.2.4 Desenvolvimento e Transformada da Seção............. 71 3.3 Cônicas e Teorema de Apolônio....................... 72 3.3.1 Cônicas................................ 72 3.3.2 O Teorema de Apolônio....................... 72 3.3.3 Focos da Seção Plana do Cone.................... 74 3.4 A Esfera.................................... 76 3.4.1 Representação da Esfera....................... 76 3.4.2 Pertinência do Ponto na Superfície Esférica............. 76 3.4.3 Seção Plana da Esfera........................ 78 3.5 Exercícios................................... 80 3.6 Soluções e Sugestões............................. 84 4 Perspectiva 92 4.1 Tipos de Perspectiva............................. 92 4.1.1 Projeção Cônica............................ 92 4.1.2 Projeção Cilíndrica.......................... 92 4.2 Isometria................................... 96 4.3 Axonometria................................. 101 4.3.1 Graduação dos Eixos de Projeção.................. 102 4.4 Perspectiva Cavaleira............................. 108

SUMÁRIO iii 4.5 Exercícios................................... 111

Capítulo 1 Poliedros e sua Representação Um Poliedro é a reunião de um número finito de polígonos onde cada lado de um polígono é também lado de um, e apenas um, outro polígono. Os elementos de um poliedro podem ser classificados como primários ou secundários. Os elementos primários são: as Faces (são os polígonos, que são as superfícies do sólido), Arestas (interseção de duas faces) e Vértices (interseção de duas ou mais arestas). Exemplos de elementos secundários são: a Altura, as Diagonais e o Ângulo Diedral (ângulo entre duas faces que compartilham uma aresta). São exemplos de poliedros: Tetraedro, Hexaedro Regular (cubo), Pirâmides, Prismas. 1.1 Tipos de Poliedros 1.1.1 Poliedros Regulares ou Sólidos Platónicos Poliedros regulares são aqueles em que todas as faces são polígonos regulares iguais e todos os ângulos diedrais são iguais. São apenas cinco os poliedros regulares convexos (ou sólidos Platônicos): o Tetraedro (composto de 4 faces, que são triângulos equiláteros), o Hexaedro (6 quadrados), o Octaedro (8 triângulos equiláteros), o Dodecaedro (12 pentágonos regulares) e o Icosaedro (20 triângulos equiláteros). Dos cinco poliedros regulares vamos representar apenas o Tetraedro, o Hexaedro e o Octaedro. 1.1.2 Prismas Os Prismas são constituidos por dois polígonos paralelos (e não coplanares) chamados de bases e uma série de faces laterais que são paralelogramos (ou retângulos, se o prisma é reto). Um prisma é dito reto se o ângulo entre as arestas laterais e a base é de 90 0, caso contrário o prisma é chamado de oblíquo. A base dá o nome ao prisma. Por exemplo, um prisma reto pentagonal é composto de duas bases que são pentágonos e de 5 faces laterais retangulares. Na figura 1.1.2 temos exemplos de prismas triângulares. 1

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 2 1. Prisma Reto 2. Prisma Oblíquo 1.1.3 Pirâmides Figura 1.1.2: Exemplos de um Prisma Triângular Uma pirâmide é composta de uma base que é um polígono planar e de um ponto fora do plano da base, chamado de Vértice da Pirâmide. As faces laterais da pirâmide são vários triângulos que compartilham o Vértice da pirâmide e uma aresta da base da pirâmide. Uma pirâmide é dita reta se a projeção (ortogonal) do vértice no plano da base cai no baricentro (é o encontro das medianas num triângulo ou o encontro das diagonais num quadrilátero) da base. Uma pirâmide é dita regular se a sua base é um polígono regular. A base dá o nome à pirâmide. Por exemplo, uma pirâmide pentagonal é composta de uma base que é um pentágono e de 5 faces laterais triangulares. Na figura 1.1.3 temos exemplos de pirâmides triângulares.

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 3 1. Pirâmide Reta 2. Pitâmide Oblíqua Figura 1.1.3: Exemplos de uma Pirâmide Triângular 1.1.4 Poliedros Convexos Um poliedro é convexo se o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer do interior do poliedro está toda contida no interior do poliedro. Uma aresta é toda visível ou toda oclusa num poliedro convexo. Isso pode não acontecer num poliedro não convexo, onde uma aresta pode ter partes visíveis e partes oclusas. Num poliedro convexo vale a fórmula de Euler: V + F = A + 2 onde V é o número de vértices, F o número de faces e A o número de arestas do poliedro. 1.2 Poliedros em Épura Estamos principalmente interessados na representação de prismas, pirâmides e poliedros regulares. Todos esses poliedros são convexos, o que facilita a sua representação e visibilidade. Um poliedro é representado em épura pelas projeções de todos os seus vértices e arestas. As arestas seguem um critério de marcação: Traço pontilhado ou linha tracejada: Arestas Invisíveis ou Oclusas. Traço contínuo: Arestas Visíveis.

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 4 1.2.1 Visibilidade As arestas (ou vértices) oclusas de um poliedro são aquelas em que há uma face do poliedro entre o observador e a aresta (ou vértice), impedindo a sua visualização. Em épura devemos calcular a visibilidade de um poliedro nos dois planos de projeção. Um observador olhando de cima o poliedro identifica quais as arestas são visíveis em (π). Um observador situado numa posição de alto afastamento e olhando o plano (π ) identifica quais as arestas são visíveis em (π ). Focaremos o nosso estudo de visibilidade em poliedros convexos, onde uma aresta é toda visível ou toda oclusa, o que facilita o cálculo de visibilidade. Além disso, num poliedro convexo, o observador sempre pode identificar uma parte conexa (conectada) visível e uma outra parte conexa oclusa separadas pelo contorno aparente (silhueta). Para calcular a visibilidade de uma aresta muitas vezes é conveniente calcular a visibilidade dos vértices que a definem. As regras abaixo são úteis na determinacão de visibilidade de arestas: 1. O contorno aparente (silhueta) é sempre visível. 2. Em projeção vertical o ponto de maior afastamento é visível. 3. Em projeção horizontal o ponto de maior cota é visível. 4. Todas as arestas que partem de um vértice ocluso são oclusas (pois se uma aresta é visível os seus vértices também o são). Note que pode acontecer de uma aresta ser visível e seus vértices oclusos. 5. Todas as arestas que partem de um vértice visível interior (fora do contorno aparente) são visíveis. 6. Se duas arestas se cruzam em projeção fora de um vértice, essa não é uma interseção no espaço, o que indica que uma aresta está na frente (segundo o observador) da outra, logo uma aresta é invisível e a outra é visível.

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 5 1.3 Exemplos de Representação de Poliedros 1.3.1 Visibilidade de Pirâmides Exemplo 1.3.1 Desenhe todas (e somente) as arestas das pirâmides das figuras 1.3.1.1 e 1.3.1.2, respeitando a visibilidade. 1. Vértices Pirâmide 1 2. Vértices Pirâmide 2 3. Solução Pirâmide 1 4. Solução Pirâmide 2 Figura 1.3.1: Visibilidade de Pirâmides.

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 6 1.3.2 Prisma Reto Exemplo 1.3.2 Representar as projeções mongeanas de um prisma reto no primeiro diedro sabendo que: (a) A base inferior (A)(B)(C)(D) é quadrada e está apoiada no plano (π). (b) A altura do prisma é de 4cm. (c) As coordenadas de (A) e (B) são (A)[5; 2.5;?] e (B)[2; 1;?]. Devemos executar os seguintes passos: 1. Desenhamos os vértices (A) e (B). As cotas desses pontos são 0 pois eles se encontram em (π). Completamos o quadrado e encontramos os outros pontos (C) e (D) da base inferior. (Figura 1.3.2.1) 2. Marcamos os vértices (E), (F ), (G), (H) da base superior. Como o prisma é reto, as projeções horizontais dos vértices da base superior coincidem com as da base inferior. As projeções verticais dos vértices da base superior estão 4cm acima dos da base inferior. (Figura 1.3.2.2) 3. Desenhamos todas as projeções das arestas do poliedro (em linha tracejada). (1.3.2.3) 4. Iniciamos o cálculo de visibilidade marcando como visíveis as arestas do contorno aparente. (1.3.2.4) 5. Cálculo de visibilidade das arestas de interior: Na projeção horizontal não temos arestas interiores. Na projeção vertical temos duas arestas no interior: B F e D H. A aresta (D)(H) é a aresta de maior afastamento do prisma, logo D H é visível. O vértice B (ou F ) é ocluso, logo B F é oclusa. Com isso terminamos a representação desse prisma. (1.3.2.5)

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 7 1. Base Inferior 2. Base Superior 3. Arestas 4. Contorno Aparente 5. Final Figura 1.3.2: Representação de um Prisma Reto

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 8 1.3.3 Pirâmide Regular Reta Exemplo 1.3.3 Representar as projeções mongeanas de uma pirâmide regular reta contida no 1 0 diedro sabendo que: (a) a base é um triângulo que pertence a um plano horizontal de altura 1u. (b) A altura da pirâmide é 4u. (c) As coordenadas de (A) e (B) são (A)[1; 1;?] e (B)[4; 3;?]. Devemos executar os seguintes passos: 1. Desenhamos os vértices A e B fornecidos e o ponto C, completando o triângulo equilátero da base. (Figura 1.3.3.1) 2. Traçamos duas medianas (a mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto) do triângulo ABC. O ponto de encontro das medianas é o baricentro O do triângulo ABC. A projeção horizontal V do vértice (V ) da pirâmide coincide com O pois a pirâmide é reta. (Figura 1.3.3.2) 3. Utilizamos as informações de altura e marcamos A, B, C, V. (Figura 1.3.3.3) 4. Desenhamos todas as projeções das arestas da pirâmide (em linha tracejada). (Figura 1.3.3.4) 5. Iniciamos o cálculo de visibilidade marcando como visíveis as arestas do contorno aparente. (Figura 1.3.3.5) 6. Cálculo de visibilidade das arestas de interior: Na projeção horizontal temos as arestas interiores V A, V B, V C. Todas elas são visíveis pois V é um vértice visível interior. Na projeção vertical temos a aresta V A oclusa pois A é ocluso. (Figura 1.3.3.6)

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 9 1. Triângulo Equilátero 2. Baricentro do triângulo 3. Projeções Verticais 4. Arestas 5. Contorno Aparente 6. Representação Final Figura 1.3.3: Representação de uma Pirâmide Regular Reta

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 10 1.3.4 Pirâmide Obliqua Exemplo 1.3.4 Representar as projeções mongeanas de uma pirâmide oblíqua contida no primeiro diedro e apoiada pela base triângular (A)(B)(C) em um plano horizontal de cota igual a 1u. São conhecidos: (A)[1; 2;?], (B)[3; 1;?], (C)[4; 4;?], (V )[5; 2; 4]. Devemos executar os seguintes passos: 1. Desenhamos em épura os vértices (A), (B), (C), (V ). (Figura 1.3.4.1) 2. Desenhamos todas as projeções das arestas da pirâmide (em linha tracejada). (Figura 1.3.4.2) 3. Iniciamos o cálculo de visibilidade marcando como visíveis as arestas do contorno aparente. (Figura 1.3.4.3) 4. Cálculo de visibilidade das arestas do interior: Na projeção horizontal temos as arestas interiores V A e BC que se cruzam num ponto fora de um vértice, logo uma aresta é oclusa e a outra visível. Como (V )(A) está acima de (B)(C), V A é visível e BC é oclusa. Na projeção vertical temos a aresta V B no interior, que é oclusa pois o vértice B é ocluso. (Figura 1.3.4.4)

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 11 1. Vértices da Pirâmide 2. Arestas da Pirâmide 3. Contorno Aparente 4. Representação Final Figura 1.3.4: Representação de uma Pirâmide Oblíqua

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 12 1.3.5 Prisma Obliquo Exemplo 1.3.5 Representar um prisma contido no 1 0 diedro sabendo-se que suas arestas laterais são frontais e medem 5 cm e suas bases estão apoiadas em planos horizontais de cota 1 e 4 cm. São conhecidas as projeções A e B de vértices da base inferior, conforme a figura 1.3.5.0 Devemos executar os seguintes passos: 1. Completamos o quadrado (no 1 0 diedro) obtendo C e D. Marcamos A, B, C, D, que têm cota 1cm. (Figura 1.3.5.1) 2. Obtemos os pontos E, F, G, H, que têm cota 4cm e distam 5cm (arestas laterais são frontais, logo se projetam em VG no (π )) de A, B, C, D, respectivamente. 3. Obtemos E, F, G, H usando o fato que eles têm o mesmo afastamento de A, B, C, D, respectivamente, pois as arestas laterais são frontais. (Figura 1.3.5.2) 4. Desenhamos todas as projeções das arestas do prisma. 5. Iniciamos o cálculo de visibilidade marcando como visíveis as arestas do contorno aparente, tanto na projeção horizontal quanto na vertical. 6. Cálculo de visibilidade das arestas interiores. O vértice D é ocluso, logo as arestas DA, DC, DH são oclusas. O vértice F é visível interior, logo as arestas F B, F E, F G são visíveis. Temos ainda que A é ocluso, logo A E é ocluso. Com isso terminamos a representação desse prisma. (Figura 1.3.5.3)

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 13 0. Dados Iniciais 1. Vértices da Base Inferior 2. Vértices da Base Superior 3. Cálculo de Visibilidade Figura 1.3.5: Representação de um Prisma Oblíquo.

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 14 1.3.6 Cubo apoiado num Plano de Topo Exemplo 1.3.6 Representar as projeções mongeanas de um cubo contido no 1 0 diedro e apoiado num plano de topo e sabendo-se que a aresta (A)(B) do cubo pertence ao plano de topo, conforme a figura 1.3.6.0. Devemos executar os seguintes passos: 1. Marcamos A e B, que pertencem à απ (o plano é de topo) e rebatemos o plano de topo e (A), (B) em (π). (Figura 1.3.6.1) 2. Obtemos os pontos (C) 1, (D) 1 completando o quadrado no desenho do rebatimento, respeitando o fato dele ser contido no 1 0 diedro. (Figura 1.3.6.2) 3. Voltamos com os pontos (C) 1, (D) 1 para o desenho original, obtendo os pontos C, D no plano de topo e C, D, que estão na linha de chamada de C, D e têm o mesmo afastamento de (C) 1, (D) 1. (Figura 1.3.6.3) 4. Marcamos os vértices (E), (F ), (G), (H). Como as arestas laterais do cubo são frontais, E, F, G, H se encontram numa perperdicular à απ e sua distância aos pontos A, B, C, D, respectivamente, é o lado do cubo. Obtemos E, F, G, H usando o fato que eles têm o mesmo afastamento de A, B, C, D, respectivamente. (Figura 1.3.6.4) 5. Desenhamos todas as projeções das arestas do cubo (em linha tracejada). (Figura 1.3.6.5) 6. Iniciamos o cálculo de visibilidade marcando como visíveis as arestas do contorno aparente, tanto na projeção horizontal quanto na vertical.. (Figura 1.3.6.6) 7. Cálculo de visibilidade das arestas de interior: Na projeção horizontal temos que D é um vértice ocluso e F é visível e interior, logo todas as arestas que partem de D são oclusas e todas as arestas que partem de F são visíveis. Na projeção vertical temos duas arestas no interior: A E e C G. A aresta C G é a aresta de maior afastamento do cubo, logo C G é visível. Os vértices A e E são oclusos logo A E é oclusa. Com isso terminamos a representação do cubo. (Figura 1.3.6.7)

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 15 0. Dados Iniciais 1. Pontos (A) e (B) e rebatimento 2. Quadrado no rebatimento 3. Base no Plano de Topo Figura 1.3.6(0,1,2,3): Representação de um Cubo num Plano de Topo

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 16 4. Base Superior 5. Arestas do Cubo 6. Contorno Aparente 7. Representação Final Figura 1.3.6(4,5,6,7): Representação de um Cubo num Plano de Topo - continuação

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 17 1.3.7 Tetraedro Regular O Tetraedro Regular é uma pirâmide reta formada por quatro triângulos equiláteros iguais. Já mostramos como representar uma pirâmide reta com base apoiada em um plano horizontal. A única dificuldade surge na obtenção da altura do tetraedro regular conhecido o seu lado. Isto pode ser feito de dois modos: 1. Segundo a rotação indicada na figura 1.3.7.5 do exemplo a seguir. 2. Segundo o rebatimento indicado na figura 1.3.7.1. A construção desse rebatimento é indicado na figura 1.3.7.2. Conhecida a base ABC do tetraedro e seu centro O, traçamos uma perpendicular ao segmento AO e uma circunferência de centro A e raio AB. O ponto (V ) 1 é a interseção da circunferência com a reta perpendicular (qualquer uma das 2 interseções). O segmento O(V ) 1 tem comprimento igual à altura do tetraedro. 1. Rebatimento do Triângulo 2. Construção para obtenção da altura Figura 1.3.7 (1, 2): Obtendo a altura do tetraedro

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 18 Exemplo 1.3.7 Representar em épura mongeana um tetraedro regular contido no primeiro diedro sabendo-se que a face (A)(B)(C) pertence ao plano horizontal de projeção e que são conhecidas as projeções horizontais A e B. Devemos executar os seguintes passos para a sua construção: 1. Completamos o triângulo equilátero ABC da base (o plano (A)(B)(C) está em VG) de forma que C tenha afastamento positivo (o tetraedro regular está contido no primeiro diedro). Como (A), (B), (C) pertencem à (π) temos que A, B, C pertencem à LT. (Figura 1.3.7.3) 2. Traçamos duas medianas (uma mediana é o segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto) do triângulo ABC. O ponto de encontro das medianas é o baricentro O do triângulo ABC. A projeção horizontal V do vértice (V ) do tetraedro coincide com O (pirâmide reta). (Figura 1.3.7.4) 3. A obtenção da altura do tetraedro pode ser feito com o rebatimento indicado na figura 1.3.7.2 ou ainda aplicando o método de rotação ao vértice (A) ao longo de um eixo vertical que passa por (V ). A projeção vertical V se encontra sobre a linha de chamada de V e sua distância ao ponto A é o lado do tetraedro (o segmento está em VG). (Figura 1.3.7.5) 4. Calculamos a visibilidade do poliedro e obtemos todas as arestas visíveis. (Figura 1.3.7.6)

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 19 3. Base do Tetraedro 4. Centro da Base 5. Obtenção de V 6. Representação Final Figura 1.3.7 (3, 4, 5, 6): Representação de um Tetraedro

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 20 1.3.8 Octaedro Regular O Octaedro Regular é composto de oito triângulos equiláteros iguais. O Octaedro Regular pode ser formado juntando pela base duas pirâmides retas de base quadrada. Note que no interior do octaedro são formados 3 quadrados congruentes e que a altura do octaedro é igual ao comprimento da diagonal do quadrado interno horizontal (Figura 1.3.8.0). Exemplo 1.3.8 Representar em épura mongeana um octaedro regular contido no primeiro diedro sabendo-se uma de suas diagonais é vertical e conhecido uma aresta de vértices (A) e (B) conforme a figura Devemos executar os seguintes passos para a sua construção: 1. Completamos o quadrado (A)(B)(C)(D) da base. Os vértices (C) e (D) pertencem ao plano horizontal que contém (A) e (B). (Figura 1.3.8.1) 2. Marcamos O, o centro (encontro das diagonais) do quadrado ABCD. As projeções horizontais dos vértices (E) e (F ) coincide com O. Note que a distância do plano (A)(B)(C)(D) aos vértices (E) e (F ) é igual a meia diagonal do quadrado ABCD. Marcamos esse comprimento acima e abaixo de O, obtendo E e F. (Figura 1.3.8.2) 3. Calculamos a visibilidade do octaedro marcando suas arestas oclusas com linha tracejada. Temos que A é ocluso logo as arestas A E, A F são oclusas.(figura 1.3.8.3)

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 21 0. Dados Iniciais 1. Vértices da Base Horizontal 2. Vértices do Octaedro 3. Representação Final Figura 1.3.8: Representação de um Octaedro Regular

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 22 1.4 Exercícios Exercício 1.1 Desenhe todas (e somente) as arestas das pirâmides das figuras abaixo, respeitando a visibilidade.

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 23 Exercício 1.2 Desenhe um plano de topo que faz 60 0 à direita com a LT. Marque sobre esse plano de topo dois pontos (A) e (B), desenhando suas respectivas projeções A, A, B, B. Faça os seguintes ítens: Desenhe polígonos regulares de 3,4 e 6 lados nesse plano de topo considerando que: (A)(B) é uma aresta do polígono ou que (A) é um vértice e (B) o centro do polígono regular. Represente um cubo apoiado nesse plano de topo considerando que (A)(B) é uma aresta do cubo. Represente um tetraedro regular apoiado nesse plano de topo considerando que (A)(B) é uma aresta do tetraedro. Represente um octaedro regular com 4 vértices contidos nesse plano de topo considerando que (A)(B) é uma aresta do octaedro. Exercício 1.3 Represente, no sistema mongeano, um paralelepípedo rectângulo, situado no espaço do primeiro diedro, identificando as arestas que forem invisíveis com a convenção gráfica adequada, sabendo-se que: os pontos A[ 4; 5; 3] e G[4; 5; 6] são dois vértices opostos do sólido. as faces (A)(B)(C)(D) e (E)(F )(G)(H) estão contidas em planos horizontais. o vértice B tem 2 de abcissa e tem maior afastamento que o ponto A. Exercício 1.4 Represente, no sistema mongeano, uma pirâmide triangular regular reta de vértice (V ) e com a base (A)(B)(C) contida num plano horizontal sabendo-se as coordenadas de (A)[ 3; 5; 6] e (V )[0; 4; 0]. Exercício 1.5 Represente a pirâmide de vértices (A)[0; 0; 0], (B)[0; 3; 0], (C)[3; 3; 0], (D)[0; 3; 3]. Exercício 1.6 Represente um prisma quadrangular oblíquo, situado no 1 0 diedro, sabendose que: as bases do prisma são quadrados contidos em planos horizontais com 2 e 6 de cota. os pontos (A), com 5 de abcissa e 4 de afastamento, e (B), com 3 de abcissa e 1 de afastamento, são vértices consecutivos da base de menor cota. as arestas laterais do prisma são paralelas ao plano frontal de projeção e medem 7 cm. Exercício 1.7 Represente uma pirâmide regular reta de altura 5cm e com base triângular apoiada no plano horizontal de projeção sabendo-se que dois dos vértices da base são (A)[1; 1; 0], (B)[4; 2; 0].

CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 24 Exercício 1.8 Represente, no sistema mongeano, uma pirâmide hexagonal reta situada no primeiro diedro e identifique as arestas invisíveis com a convenção gráfica adequada, sabendo-se que: a base da pirâmide é o hexágono regular (A)(B)(C)(D)(E)(F ) contido num plano horizontal e que está inscrita numa circunferência com centro no ponto (O)[2; 7; 1]; um dos vértices da base é o ponto (A), com 1 de abcissa e 3 de afastamento; o vértice (V ) da pirâmide é um ponto do plano bissector dos diedros ímpares. Exercício 1.9 Represente, no sistema de dupla projeção ortogonal, um prisma quadrangular reto situado no primeiro diedro.e identifique as arestas invisíveis com a convenção gráfica adequada, sabendo-se que: as bases do prisma estão contidas em planos frontais; uma das bases do prisma é o quadrado (A)(B)(C)(D), cujo vértice (A) tem 3 de afastamento e 2 de cota a aresta (A)(B) dessa base mede 5 cm e faz um ângulo de 30 com o Plano Horizontal de Projeção de abertura para a direita; a altura do prisma mede 7 cm. Exercício 1.10 Representar as projeções mongeanas de um octaedro regular(a)(b)(c) (D)(E)(F ) contido no primeiro diedro e de arestas iguais a 5u sabendo-se que uma de suas diagonais é vertical, que a aresta (A)(B) é paralela à reta (M)(N) e que (E) pertence ao plano horizontal de projeção. Dados: (A)[7; 2;?], (M)[0; 1; 2], (N)[3; 3; 2]. Exercício 1.11 Representar as projeções mongeanas de um tetraedro regular (A)(B)(C)(D) contido no primeiro diedro e de arestas iguais a 3u, sabendo-se que ele está apoiado pela face (A)(B)(C) no plano vertical de projeção, que a aresta (A)(B) é perpendicular à LT e que (A)[1; 0; 5] é o vértice de maior cota do poliedro. Exercício 1.12 Representar as projeções mongeanas de um cubo contido no primeiro diedro, com base apoiada em um plano de topo que intercepta a L.T em [1; 0; 0] e cujo traço vertical faz 45 0 à direita com a L.T. São dados dois vértices da base: (A)[2; 2;?], (B)[5; 1;?].

Capítulo 2 Operações com Poliedros Neste capítulo estamos interessados em algumas operações com Poliedros: Seção Plana: É o polígono obtido pela interseção do poliedro com o plano que corta esse poliedro. Para se obter a seção plana devemos inicialmente obter os vértices desse polígono, que são as interseções das arestas do poliedro com o plano que corta o sólido. Também estamos interessados em obter também a Seçao Plana em VG (Verdadeira Grandeza), que é obtida com um rebatimento do plano que corta o sólido. Desenvolvimento ou Planificação: Consiste em desdobrar as faces do poliedro ao longo das arestas e num mesmo plano de forma que ao dobrar (ao longo das arestas) a figura do desenvolvimento obtemos o poliedro original tridimensional. O desenvolvimento é feito num desenho à parte onde marcamos todos os vértices e arestas do poliedro. O primeiro passo no desenvolvimento é obter todas as faces (e suas arestas) em VG. Transformada da Seção: É a representação da seção plana no desenho do desenvolvimento do poliedro. Ela é obtida desenhando os vértices e as arestas da seção plana no desenvolvimento do poliedro. Pertinência de Pontos: Desejamos descobrir se um dado ponto pertence ao poliedro, isto é, se ele pertence a alguma das faces do poliedro. 2.1 Prisma Reto 2.1.1 Seção Plana com Plano de Topo Exemplo 2.1.1 Obter a Seção Plana e a Seção em VG em um Prisma Reto obtida com um Plano de Topo conforme a figura 2.1.1.0. Devemos executar os seguintes passos: 25

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 26 1. Encontramos a interseção do plano de topo com as arestas do prisma. Encontrar essa interseção é fácil, pois o plano de topo é projetante. As projeções verticais 1, 2, 3 dos vértices da seção é a interseção de απ com A D, B E, C F, respectivamente. 2. Encontramos as projeções horizontais 1, 2, 3, que coincidem com A, B, C, respectivamente, pois as arestas laterais do prisma são verticais. Por fim desenhamos as projeções da seção plana ligando os pontos 1, 2, 3 e 1, 2, 3. Note que a projeção vertical da seção plana coincide com απ e a projeção horizontal da seção plana coincide com as arestas da base do prisma. (Figura 2.1.1.1) 3. Obtemos a VG da seção plana rebatendo os pontos (1), (2), (3) situados no plano de topo (α) sobre o plano (π), obtendo os pontos (1) 1, (2) 1, (3) 1. Por fim ligamos os pontos (1) 1, (2) 1, (3) 1 para obter a VG da seção. (Figura 2.1.1.2) Fig 2.1.1.0: Dados Iniciais Fig 2.1.1.1: Seção Plana

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 27 Fig 2.1.1.2: Seção Plana e em VG do Prisma Reto 2.1.2 Desenvolvimento Exemplo 2.1.2 Obter o Desenvolvimento do Prisma Reto da figura 2.1.2.0. Num prisma reto obtemos a VG das arestas diretamente no desenho original (figura 2.1.2.0). Note que no desenvolvimento não é necessário um plano que corte o prisma. Devemos executar os seguintes passos: 1. As faces laterais são retângulos com altura igual a A D e lados AB, BC, CA. Iniciamos o desenvolvimento desenhando um retângulo de base AB + BC + CA e altura A D e marcamos as arestas laterais. Com isso completamos o desenvolvimento das faces laterais, que são os retângulos de altura igual a A D e lados AB, BC, CA. 2. Falta desenhar as bases para completar o desenvolvimento. Os triângulos da base superior e inferior são iguais e se encontram em VG na projeção horizontal da figura 2.1.2.0. Desenhamos esses triângulos completando o desenvolvimento, conforme mostra a figura 2.1.2.1.

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 28 Fig 2.1.2.0: Dados Iniciais Fig 2.1.2.1: Desenvolvimento 2.1.3 Transformada da Seção Exemplo 2.1.3 Obter a Transformada da Seção do Prisma Reto da figura 2.1.3.0. No prisma reto a distância entre os pontos (D) e (1) é D 1 pois as arestas laterais estâo em VG na projeção vertical na figura 2.1.3.1. Transportamos essa distância para o desenho do desenvolvimento. Executamos o mesmo processo para marcar os pontos 2 e 3 no desenho do desenvolvimento. Por fim ligamos os pontos 1, 2, 3, 1, como mostra a figura 2.1.3.2.

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 29 Fig 2.1.3.0: Dados Iniciais Fig 2.1.3.1: Transf. da Seção Fig 2.1.3.2: Transformada da Seção do Prisma Reto

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 30 2.2 Pirâmide Reta Regular 2.2.1 Seção Plana com Plano de Topo Exemplo 2.2.1 Obter a Seção Plana e Seção em VG em uma Pirâmide Reta de base quadrada obtida com um Plano de Topo, conforme a figura 2.2.1.0 Devemos executar os seguintes passos: 1. Encontramos a interseção do plano de topo com as arestas da pirâmide. As projeções verticais 1, 2, 3, 4 dos vértices da seção é a interseção de απ com A V, B V, C V, D V, respectivamente. 2. Encontramos as projeções horizontais 1, 2, 3, 4 dos vértices da seção. Como o ponto (1) pertence à aresta (V )(A), sua projeção horizontal 1 pertence à V A. Além disso o ponto 1 pertence à linha de chamada de 1. Daí temos que o ponto 1 é a interseção de V A com a linha de chamada de 1. Os pontos 2, 3, 4 são determinados de modo análogo. Por fim desenhamos as projeções da seção plana ligando os pontos 1, 2, 3, 4 e 1, 2, 3, 4. (Figura 2.2.1.1) 3. Rebatemos os pontos (1), (2), (3), (4) situados no plano de topo (α) sobre o plano (π), obtendo os pontos (1) 1, (2) 1, (3) 1, (4) 1. Finalmente ligamos os pontos (1) 1, (2) 1, (3) 1, (4) 1 para obter a VG da seção. (2.2.1.2) Fig. 2.2.1.0: Dados Iniciais Fig. 2.2.1.1: Vértices

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 31 Figura 2.2.1.2: Seção Plana e em VG de Pirâmide Reta

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 32 2.2.2 Desenvolvimento Exemplo 2.2.2 Obter o desenvolvimento da Pirâmide Reta Regular da figura 2.2.2.0. Note que a face e as arestas da base estão em VG, porém as arestas laterais não estão em VG. Devemos executar os seguintes passos: 1. Aplicamos o método da rotação ao longo do eixo vertical que passa por (V ) para se obter o comprimento das arestas laterais (todas as arestas laterais têm o mesmo comprimento V A ). (figura 2.2.2.1) 2. Iniciamos o desenvolvimento marcando um ponto V num novo desenho e traçando um círculo de raio igual a V A. Marcamos nesse círculo os comprimentos das arestas da base (todas iguais a AB ) obtendo os pontos A, B, C, D, A no desenvolvimento. 3. Falta desenhar a base para completar o desenvolvimento. O quadrado da base se encontra em VG na projeção horizontal na figura 2.2.2.0. Desenhamos esse quadrado no desenvolvimento, conforme a figura 2.2.2.2. Fig 2.2.2.0: Dados Iniciais Fig 2.2.2.1: Aresta em VG

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 33 Figura 2.2.2.2: Desenvolvimento de Pirâmide Reta 2.2.3 Transformada da Seção Exemplo 2.2.3 Obter a Transformada da Seção da Pirâmide Reta Regular da figura 2.2.3.0. No desenvolvimento da pirâmide já obtido temos que marcar os vértices da seção plana. Devemos executar os seguintes passos: 1. Aplicamos o método da rotação ao longo do eixo vertical que passa por (V ) para se obter a distância entre os pontos (V ) e (1), (V ) e (2), (V ) e (3) e entre (V ) e (4). Essas distâncias são, respectivamente, V 1, V 2, V 3, V 4. (figura 2.2.3.1) 2. Transportamos essas distâncias para o desenho do desenvolvimento, obtendo os pontos 1, 2, 3, 4, 1 e por fim desenhamos segmentos de reta entre esses pontos, completando a transformada da seção, conforme a figura 2.2.3.2.

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 34 Fig 2.2.3.0: Dados Iniciais Figura 2.2.3.1: Distância em VG Figura 2.2.3.2: Transformada da Seção

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 35 2.3 Pirâmide Oblíqua 2.3.1 Seção Plana com Plano de Topo Exemplo 2.3.1 Obter a Seção Plana e Seção em VG em uma Pirâmide Oblíqua obtida com um Plano de Topo, conforme a figura 2.3.1.0. Devemos executar os seguintes passos: 1. Encontramos a interseção do plano de topo com as arestas da pirâmide. As projeções verticais 1, 2, 3 dos vértices da seção é a interseção de απ com A V, B V, C V, respectivamente. 2. Encontramos as projeções horizontais 1, 2, 3 dos vértices da seção. Como o ponto (1) pertence à aresta (V )(A), sua projeção horizontal 1 pertence à V A. Além disso o ponto 1 pertence à linha de chamada de 1. Daí temos que o ponto 1 é a interseção de V A com a linha de chamada de 1. O ponto 2 é determinado de modo análogo. 3. O ponto 3 não pode ser determinado do mesmo modo pois V C e a linha de chamada de 3 coincidem. Esse caso pode ocorrer também com pirâmides retas ou outros poliedros. Para se obter a projeção horizontal 3 devemos aplicar o método de rotação na aresta (V )(C) ao redor do eixo vertical que passa por (V ). Com isso obtemos C e C. 3 tem a mesma cota de 3 e pertence à aresta V C. 3 pertence à linha de chamada de 3 e pertence à aresta V C. A projeção 3 é a interseção de V C com a circunferência de centro V e raio V C. Por fim desenhamos as projeções da seção plana ligando os pontos 1, 2, 3 e 1, 2, 3. Note que 1 é um vértice visível interior, logo as arestas 1 2 e 1 3 são visíveis. Já a aresta 2 3 é oclusa pois pertence à face V BC que é oclusa. (Figura 2.3.1.1) 4. Desenhamos a VG da seção plana rebatendo os pontos (1), (2), (3) situados no plano de topo (α) sobre o plano (π), obtendo os pontos (1) 1, (2) 1, (3) 1. Finalmente ligamos os pontos (1) 1, (2) 1, (3) 1 para obter a VG da seção. (Figura 2.3.1.2)

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 36 Fig 2.3.1.0: Dados Iniciais Figura 2.3.1.1: Seção Plana Figura 2.3.1.2: Seção Plana e em VG da Pirâmide Oblíqua

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 37 2.3.2 Desenvolvimento Exemplo 2.3.2 Obter o desenvolvimento da Pirâmide Obliqua da figura 2.3.2.0. Note que a face e as arestas da base estão em VG, porém as arestas laterais não estão em VG. Devemos executar os seguintes passos: 1. Aplicamos o método da rotação ao longo do eixo vertical que passa por (V ) para se obter o comprimento das arestas laterais, que são V A, V B, V C. (figura 2.3.2.1) 2. Devemos desenhar todas as faces da pirâmide no desenvolvimento. Iniciamos com o triângulo da base (A)(B)(C), cujas arestas estão em VG na projeção horizontal da figura 2.3.2.0. A seguir desenhamos a face lateral (V )(A)(B), cujas arestas (em VG) são V A, V B, AB. Repetimos o processo com as outras faces laterais, conforme a figura 2.3.2.2. Fig 2.3.2.0: Dados Iniciais

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 38 Fig 2.3.2.1: Arestas em VG Fig 2.3.2.2: Desenvolvimento da Pirâmide Oblíqua

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 39 2.3.3 Transformada da Seção Exemplo 2.3.3 Obter a Transformada da Seção da Pirâmide Obliqua da figura 2.3.1.0. No desenvolvimento da pirâmide já obtido devemos marcar os vértices da seção plana. Devemos executar os seguintes passos: 1. Aplicamos o método da rotação ao longo do eixo vertical que passa por (V ) para se obter a distância entre os pontos (V ) e (1), (V ) e (2) e entre (V ) e (3). Essas distâncias são, respectivamente, V 1, V 2, V 3. (figura 2.3.3.1) 2. Transportamos essas distâncias para o desenho do desenvolvimento, obtendo os pontos 1, 2, 3 e por fim desenhamos segmentos de reta entre esses pontos, completando a transformada da seção, conforme a figura 2.3.3.2. Figura 2.3.3.1: Arestas e Distâncias em VG

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 40 Figura 2.3.3.2: Transformada da Seção da Pirâmide Oblíqua

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 41 2.3.4 Seção Plana com Plano Qualquer Exemplo 2.3.4 Obter a Seção Plana e Seção em VG da Pirâmide Oblíqua com um Plano Qualquer, conforme a figura 2.3.4.1. Devemos executar os seguintes passos: 1. Ao contrário dos exemplos anteriores, as projeções verticais 1, 2, 3 dos vértices da seção NÃO são a interseção de απ com A V, B V, C V pois o plano (α) não é de topo. Devemos aplicar uma mudança de plano vertical para transformar o plano qualquer num plano de topo. Para isso escolhemos a nova linha de terra perpendicular à απ. Para se obter o novo traço απ 1 tomamos um ponto auxiliar (D) com D απ e D contido na linha de terra original e obtemos D 1 no novo sistema (lembrando que a cota não muda com a mudança de plano vertical). O novo traço vertical απ 1 passa por D 1 e pela interseção da nova linha de terra com απ. 2. Realizamos a mudança de plano de todos os vértices da pirâmide e traçamos as arestas da pirâmide no novo sistema, respeitando a visibilidade. Como B 1 é ocluso temos que V 1B 1 é ocluso. (Figura 2.3.4.2). 3. Obtemos os pontos 1 1, 2 1, 3 1, interseção de απ 1 com A 1V 1, B 1V 1, C 1V 1, respectivamente. 4. Obtemos os pontos 1, 2, 3, que estão nas linhas de chamadas (no novo sistema) de 1 1, 2 1, 3 1 e nas respectivas arestas correspondentes. Os pontos 1, 2, 3 estão nas linhas de chamadas (no sistema original) de 1, 2, 3 e nas suas respectivas arestas. Por fim desenhamos as projeções da seção plana ligando os pontos 1, 2, 3 e 1, 2, 3 e 1 1, 2 1, 3 1. Note que 1 é visível interior (ele pertence à aresta V A que é visível) logo 12, 13 são visíveis. A aresta 23 pertence à face oclusa V BC logo é oclusa. O vértice 2 é visível interior (ele pertence à aresta V B que é visível) logo 2 1, 2 3 são visíveis. A aresta 1 3 pertence à face oclusa V A C logo é oclusa. (Figura 2.3.4.3). 5. Obtemos a VG da seção plana rebatendo no novo sistema os pontos (1), (2), (3) situados no plano de topo (α) sobre o plano (π), obtendo os pontos (1) 1, (2) 1, (3) 1. Finalmente ligamos os pontos (1) 1, (2) 1, (3) 1 para obter a VG da seção. (Figura 2.3.4.4).

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 42 Fig 2.3.4.1: Dados Iniciais Fig 2.3.4.2: Pirâmide no novo Sistema

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 43 Fig 2.3.4.3: Seção Plana Fig 2.3.4.4: Seção Plana e em VG

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 44 2.4 Prisma Oblíquo 2.4.1 Seção Reta Exemplo 2.4.1 Obter a Seção Reta do Prisma Oblíquo da figura 2.4.1. Uma seção reta num prisma oblíquo é a seção plana obtida quando o plano de seção corta todas as arestas laterais do prisma com um ângulo reto. Desenhamos a seção reta executando os seguintes passos: 1. Desenhamos um plano de topo (α) de forma que o ângulo de απ com as arestas laterais do prisma seja de 90 0. 2. Obtemos os pontos de interseção de (α) com as arestas laterais. 1, 2, 3 são as interseções de απ com as arestas laterais do prisma. 1, 2, 3 estão nas respectivas linhas de chamada de 1, 2, 3 e nas arestas laterais. 3. Obtemos essa seção em VG rebatendo os pontos (1), (2), (3) para encontrarmos os pontos (1) 1, (2) 1, (3) 1. Por fim ligamos os pontos (1) 1, (2) 1, (3) 1 para obter a VG da seção. (Figura 2.4.2) 2.4.2 Desenvolvimento Exemplo 2.4.2 Obter o desenvolvimento do Prisma Oblíquo da figura 2.4.1. Faremos uso da seção reta para obter o desenvolvimento do prisma oblíquo. Devemos executar os seguintes passos: 1. Obtemos a seção reta do prisma (figura 2.4.2) 2. Iniciamos o desenvolvimento abrindo a VG da seção plana ((1) 1, (2) 1, (3) 1 ) em uma reta, marcando os pontos 1, 2, 3, 1. 3. Como as arestas são frontais, transportamos os segmentos em VG 1 D, 2 E, 3 F para perpendiculares ao segmento 1, 2, 3, 1 do desenvolvimento. 4. Transportamos os segmentos 1 A, 2 B, 3 C para perpendiculares ao segmento 1, 2, 3, 1 do desenvolvimento e ligamos os pontos A, B, C, A e D, E, F, D no desenvolvimento. 5. Por fim desenhamos os triângulos da base e do topo do prisma (que estão em VG na projeção horizontal), completando o desenvolvimento. (Figura 2.4.3)

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 45 Fig 2.4.1: Dados Iniciais Fig. 2.4.2: Seção Reta e em VG do Prisma Oblíquo

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 46 Fig.2.4.3: Desenvolvimento do Prisma Oblíquo

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 47 2.5 Pertinência de Pontos em Poliedros Nesta seção estamos interessados em descobrir se um ponto pertence a alguma das faces do poliedro (inclusive às bases horizontais). Vamos analisar prismas ou pirâmides, tanto retas como oblíquas, sempre apoiadas num plano horizontal. 2.5.1 Prisma Reto Um ponto (P ) pertence à superfície lateral do prisma reto se P pertence a uma das arestas em (π) e se a cota de (P ) está entre as cotas das bases do prisma. Se um ponto (P ) pertence a uma das bases do prisma então a cota de (P ) é igual a cota dessa base e P está no interior da projeção do prisma em (π). Exemplo 2.5.1 Dada uma das projeções dos pontos na figura 2.5.1.0, obter todas as possíveis posições da outra projeção do ponto para que ele pertença ao prisma. Na figura 2.5.1.0 são fornecidas as projeções P e Q de dois pontos (P ) e (Q). Como P está entre as bases do prisma, (P ) só pode pertencer às superfícies laterais do prisma. Daí temos que P necessariamente pertence a uma das arestas da projeção horizontal. Como Q pertence a uma aresta da projeção horizontal, qualquer ponto pertencente à linha de chamada de Q e com cota entre as cotas das bases do prisma pertence à superfície do prisma. Na figura 2.5.1.1 temos a solução desse problema. Fig 2.5.1.0: Dados Iniciais Fig 2.5.1.1: Solução Figura 2.5.1: Pertinência de Ponto num Prisma Reto

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 48 2.5.2 Prisma Oblíquo Um ponto (P ) pode pertencer a uma das bases ou a uma das superfícies laterais do prisma oblíquo. Um ponto (P ) pertence a uma das bases do prisma oblíquo se a cota de (P ) é igual a cota dessa base e se P é interior a essa base em (π). Para descobrir se um ponto (P ) pertence à superfície lateral do prisma oblíquo, faremos uso de uma reta auxiliar paralela às arestas laterais e que pertence a uma das faces laterais do prisma e que contém uma das projeções P ou P do ponto (P ) O ponto (P ) pertence à superfície lateral da pirâmide se e somente se o ponto (P ) pertence a essa reta auxiliar. Exemplo 2.5.2 Dada uma das projeções dos pontos nas figuras 2.5.2.0 e 2.5.2.1, obter todas as possíveis posições da outra projeção do ponto para que eles pertençam ao respectivos prismas oblíquos. Desenhamos a reta auxiliar paralela às arestas laterais e que passa por Q na figura 2.5.2.0. Essa reta intercepta as arestas do prisma nos pontos R, S, T, U definindo dois possíveis segmentos que passam por Q: o segmento de extremos R e S (pertencente à face ABF E) e o segmento T U (pertencente à face ADHE), como vemos na figura 2.5.2.1. As projeções verticais desses segmentos são os segmentos de reta R S e T U. As possíveis projeções P pertencem a esses segmentos e à linha de chamada de Q. Fig 2.5.2.0: Dados Iniciais Fig 2.5.2.1: Solução Figura 2.5.2.0 e.1: Pertinência de um Ponto (Q em (π)) num Prisma Oblíquo

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 49 Na figura 2.5.2.2 desenhamos a reta auxiliar paralela às arestas laterais e que passa por P. Essa reta intercepta as arestas do prisma nos pontos R e S (ver figura 2.5.2.3). Há duas possíveis projeções verticais para esses segmentos de reta (na face ABF E e na face BCGF ). As possíveis projeções P pertencem a esses segmentos de extremos R e S e à linha de chamada de P. Fig 2.5.2.2: Dados Iniciais Fig 2.5.2.3: Solução Figura 2.5.2.2 e.3: Pertinência de um Ponto (P em (π )) num Prisma Oblíquo 2.5.3 Pirâmide Numa pirâmide apoiada num plano horizontal, um ponto (P ) pertence à sua base se a cota de (P ) é igual a cota da base da pirâmide e se P é interior à base da pirâmide em (π). Para descobrir se um ponto (P ) pertence à superfície lateral de uma pirâmide, faremos uso de uma reta auxiliar que passa pelo vértice (V ) e que contém uma das projeções P ou P do ponto (P ). O ponto (P ) pertence à superfície lateral da pirâmide se e somente se o ponto (P ) pertence a essa reta auxiliar. Exemplo 2.5.3 Dada uma das projeções dos pontos nas figuras 2.5.3.1, 2.5.3.3 e 2.5.3.5, obter todas as possíveis posições da outra projeção do ponto para que eles pertençam às respectivas pirâmides. Na figura 2.5.3.1 traçamos o segmento V A (que passa por Q) cuja projeção vertical é V A. A projeção Q pertence à linha de chamada de Q e ao segmento V A ou à linha

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 50 de terra. Para se obter P traçamos o segmento V B, que tem duas possíveis projeções horizontais V B. As possíveis projeções P pertencem a um dos segmentos V B e à linha de chamada de P. (ver figura 2.5.3.2). Fig 2.5.3.1: Dados Iniciais Fig 2.5.3.2: Solução (caso 1) Na figura 2.5.3.3 traçamos o segmento V A, que tem duas possíveis projeções horizontais V A. As possíveis projeções P pertencem a um dos segmentos V A e à linha de chamada de P (ver figura 2.5.3.4).

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 51 Fig 2.5.3.3: Dados Iniciais Fig 2.5.3.4: Solução (caso 2) Na figura 2.5.3.5 traçamos a reta que passa por V e Q. Essa reta intercepta uma aresta da base em A ou B, logo temos as arestas V A e V B. As projeções verticais desses segmentos são: V A e V B. As possíveis projeções Q pertencem aos segmentos V A e V B e à linha de chamada de Q. (ver figura 2.5.3.6). Fig 2.5.3.5: Dados Iniciais Fig 2.5.3.6: Solução (caso 3)

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 52 2.6 Exercícios Exercício 2.1 Desenhe em épura e nomeie todos os vértices de um tetraedro, um hexaedro e um octaedro sabendo-se que todos eles são poliedros regulares e têm arestas de 2cm de comprimento. Faça o desenvolvimento desses poliedros. Exercício 2.2 Nas figuras a seguir são fornecidas em épura somente uma das projeções dos pontos. Obtenha todas as possíveis posições da outra projeção dos pontos de forma que eles pertençam aos respectivos poliedros.

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 53 Exercício 2.3 Seja a pirâmide de vértices (A)[0; 0; 0], (B)[0; 3; 0], (C)[3; 3; 0], (D)[0; 3; 3]. (a) Represente essa pirâmide. (b) Represente um plano que passa pelos pontos [4; 4; 0], [0; 0; 2], [4; 0; 0]. (c) Corte essa pirâmide com o plano do ítem (b) e obtenha a seção plana, a seção em VG, a planificação e a transformada da seção. (d) Represente um plano que passa pelos pontos [4; 4; 0], [0; 0; 2], [5; 0; 0]. (e) Corte essa pirâmide com o plano do ítem (d) e obtenha sua seção plana, a seção em VG e a transformada da seção.

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 54 Exercício 2.4 Obtenha a seção plana e em VG nas figuras abaixo:

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 55 Exercício 2.5 Resolva os seguintes ítens 1. Represente uma pirâmide regular reta de altura 5cm e com base triângular apoiada no plano horizontal de projeção sabendo-se que dois dos vértices da base são (A)[1; 1; 0], (B)[4; 2; 0]. 2. Corte essa pirâmide com um plano de topo que passa pelos pontos [5; 5; 0] e [0; 5; 5]. Obtenha sua seção plana, a seção em VG, a planificação e a transformada da seção. 3. Represente um prisma reto com a mesma altura e base da pirâmide do ítem (a). 4. Corte o prisma do ítem (c) com o plano de topo do ítem (b) e obtenha sua seção plana, a seção em VG, a planificação e a transformada da seção. Exercício 2.6 Desenhe uma pirâmide oblíqua qualquer em épura e desenhe também um plano qualquer que corte as arestas laterais. Obtenha a seção plana e em VG, o desenvolvimento e a transformada da seção. Exercício 2.7 Resolva os seguintes ítens: (a) Represente um prisma quadrangular oblíquo, situado no 1 o diedro, sabendo-se que: as bases do prisma são quadrados contidos em planos horizontais com 2 e 6 de cota. os pontos (A), com 5 de abcissa e 4 de afastamento, e (B), com 3 de abcissa e 1 de afastamento, são vértices consecutivos da base de menor cota. as arestas laterais do prisma são paralelas ao plano frontal de projeção e medem 7 cm. (b) Faça a seção reta desse prisma com um plano de topo que passa pelo ponto [8; 0; 0]. Faça também o desenvolvimento do prisma.

CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 56 2.7 Soluções e Sugestões 4. Solução do exercício 4:

Capítulo 3 Cilindro, Cone e Esfera Nesta seção vamos estudar a Representação Mongeana, a Pertinência de Pontos, a Seção Plana e em VG, o Desenvolvimento e a Transformada da Seção de Cilindros, Cones e Esferas. Também apresentamos conceitos básicos de cônicas e o teorema de Apolônio. 3.1 O Cilindro O Cilindro é uma superfície gerada pela rotação de uma reta (a geratriz) ao longo de um eixo de rotação paralelo à geratriz. O cilindro também pode ser visto como um prisma cujas bases são círculos. Um cilindro pode ser reto (quando as geratrizes são perpendiculares à base) ou oblíquo (caso contrário). Na figuras 3.1.0.1 e 3.1.0.2 temos exemplos de um cilindro reto e de um cilindro oblíquo. Fig. 3.1.0.1: Cilindro Reto Fig. 3.1.0.2: Cilindro Oblíquo 57

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 58 3.1.1 Representação Mongeana Representamos um Cilindro Reto de altura h e com base de raio r apoiada em (π) desenhando uma circunferência de raio r em (π) e desenhando um retângulo com base apoiada na LT e de comprimento 2r (diâmetro da circunferência) e altura h (altura do cilindro), conforme a figura 3.1.1.1. Representamos um Cilindro Oblíquo cujas bases são círculos que pertencem a planos horizontais e têm raio R e centros M, N conhecidos seguindo os seguintes passos: 1. Marcamos os pontos M, N, M, N e desenhamos as bases em (π), que são circunferências de raio R e centros M, N. 2. Marcamos os pontos A, B, C, D de mínima e máxima abcissa das circuferências da base. Os pontos A, B, C, D estão nas suas respectivas linhas de chamadas e em paralelas à LT passando por M, N. Desenhamos o contorno aparente em (π ), que é um paralelogramo de vértices A, B, C, D. 3. O contorno aparente em (π) são as tangentes comuns às duas circunferências da base. Para traçar essas tangentes devemos obter os pontos de tangência, que são as interseções dos círculos das bases com as perpendiculares ao segmento M N passando por M e por N. Essas tangentes comuns são paralelas ao segmento MN. 4. A parte da circunferência da base inferior entre as tangentes comuns são oclusas, conforme a figura 3.1.1.2. Fig. 3.1.1.1: Cilindro Reto Fig. 3.1.1.2: Cilindro Oblíquo

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 59 3.1.2 Pertinência de um Ponto O método para se descobrir se um ponto (P ) pertence à superfície de um cilindro é semelhante ao método feito para um prisma, tanto no caso reto como no oblíquo. Sejam (A), (B), (C), (D) pontos pertencentes à superfície do clindro (superfície lateral ou bases). Na figura 3.1.2.1 fornecemos as projeções A, B, C, D dos pontos (A), (B), (C), (D). Na figura 3.1.2.2 obtemos todas as possíveis posições para as projeções A, B, C, D de forma que os pontos (A), (B), (C), (D) pertençam à superfície do clindro. Nas figuras 3.1.2.3 e 3.1.2.4 temos os dados iniciais e a solução do problema de pertinência de pontos num cilindro oblíquo. Fig. 3.1.2.1: Cilindro Reto - Dados Iniciais Fig. 3.1.2.2: Cilindro Reto - Solução

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 60 Fig. 3.1.2.3: Cilindro Oblíquo - Dados Iniciais Fig. 3.1.2.4: Cilindro Oblíquo - Solução

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 61 3.1.3 Seção Plana Na figura 3.1.3.1 temos um cilindro e um plano de topo de traços απ e απ. Para desenhar a seção plana da interseção desse plano de topo com o cilindro fazemos uso de geratrizes auxiliares. Escolhemos oito geratrizes (segmentos de reta verticais pertencentes à superfície lateral do cilindro) que se projetam em (π) nos pontos igualmente espaçados A, B,..., H. Devemos executar os seguintes passos obter a seção plana: 1. Determinar 1, 2,..., 8 : as interseções das geratrizes auxiliares com απ. 2. Determinar as projeções horizontais 1, 2,..., 8 das interseções das geratrizes com o plano de topo (α). Elas coincidem com os pontos A, B,..., H, respectivamente. 3. Note que a seção obtida em (π) (a circunferência que passa pelos pontos 1, 2,..., 8) não está em VG. Para determinar esta seção em VG devemos rebater o plano de topo em (π). Para se obter o ponto rebatido (1) 1 inicialmente devemos traçar uma circunferência de centro T = T (o ponto (T ) é a interseção de (α) com a LT) e raio igual ao comprimento T 1 e obter sua interseção com a LT (o ponto de maior abcissa na figura). Por fim traçamos a reta perpendicular à LT passando por esse ponto e a reta paralela à LT passando pelo ponto A = 1 (o afastamento permanece constante durante o rebatimento). A interseção entre essas duas retas é o ponto (1) 1. Os pontos (2) 1,..., (8) 1 da curva da seção em VG são obtidos de modo análogo. (Ver figura 3.1.3.2) A curva obtida "ligando" os pontos (1) 1, (2) 1,..., (8) 1 é uma elipse (pode ser provado que qualquer seção plana de um cilindro é uma elipse, no caso geral).

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 62 Fig. 3.1.3.1: Dados Iniciais - Cilindro e Plano de Topo Fig. 3.1.3.2: Seção Plana e em VG do Cilindro

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 63 3.1.4 Desenvolvimento e Transformada da Seção A planificação do cilindro nos dá um retângulo de altura h (altura do cilindro) e base de comprimento igual a 2πR (o perímetro da circunferência da base do cilindro). Com régua e compasso não é possível retificar a circunferência de modo exato. Uma opção aproximada é substituir o arco AB da circunferência pela corda AB (segmento de reta AB em (π), de comprimento AB ). Representamos a superfície lateral curva do cilindro entre duas geratrizes auxiliares consecutivas como um retângulo de lados AB e h. Repetimos esse processo com todas as geratrizes obtendo oito retângulos iguais contiguos, o que nos dá um retângulo de lados 8.AB e h. Por fim representamos as bases do sólido (duas circunferências de raio R). Para obter a transformada da seção transportamos a distância dos pontos da seção à base do cilindro (distância dos pontos 1, 2,..., 8 à linha de terra, pois as geratrizes estão em VG em (π )). Por fim desenhamos à mão livre a curva que une os pontos 1 2... 8 1. Na figura 3.1.4.1 temos o Desenvolvimento e Transformada da Seção do cilindro da figura 3.1.3.1. Note que falta desenhar à mão livre a curva suave (a transformada da seção) que une os pontos 1 2... 8 1. Fig. 3.1.4.1: Desenvolvimento e Transformada da Seção de um Cilindro

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 64 3.1.5 Hélice Cilíndrica Uma hélice corta todas as geratrizes da superfície de um sólido com um ângulo constante. A hélice de um cilindro reto (com base apoiada em (π)) é a curva gerada por um ponto que se move sobre o cilindro com velocidade ângular horizontal e velocidade vertical constantes. Para desenhar uma hélice devemos ter os seguintes dados iniciais (que podem ser arbitrados se não são fornecidos): O ponto inicial, que é o ponto da hélice na sua base inferior. O sentido de giro da hélice, que pode ser horário ou anti-horário. O passo da hélice, que é a distância entre dois pontos consecutivos sobre uma mesma geratriz (a distância entre dois pontos de uma volta completa da hélice). A largura da hélice, que é o raio da circunferência da base. Como exemplo vamos obter a representação mongeana de uma hélice no sentido antihorário e com o passo igual à altura do cilindro reto fornecido (com base apoiada em (π)). Executamos os seguintes passos: 1. Dividimos a circunferência da base em (no mínimo) oito partes iguais, determinando os pontos A, B,..., H. 2. Dividimos o comprimento do passo em oito partes iguais e traçamos paralelas à LT pelos pontos de divisão do passo. 3. Como não foi fornecido um ponto inicial, arbitramos o ponto inicial da hélice (0) como sendo o ponto de menor abcissa da base do cilindro ((0) = (A)). 4. Da posição inicial (0), obtemos o próximo ponto (1) da hélice. A projeção horizontal de (1) coincide com B (1 = B). Esse deslocamento ângular é acompanhado por um deslocamento vertical de uma divisão do passo ( 1 8 do passo). Marcamos 1 na interseção da paralela à LT passando pela primeira divisão do passo com a linha de chamada de B. Repetimos esse processo até obtermos todos os pontos (2),..., (8). 5. Por fim devemos desenhar as curvas da projeção horizontal e vertical da hélice. A projeção horizontal da hélice (que passa pelos pontos 0, 1,..., 8) é a circunferência da base. A projeção vertical da hélice (que passa pelos pontos 0, 1, 2,..., 8 ) deve ser desenhada à mão livre. Para desenhar essa curva deve-se notar que a hélice é uma curva suave (sem "pontas") e que as tangentes nos pontos de mínima e máxima abcissa (os pontos 0, 4, 8 ) são verticais. Note que a curva ligando os pontos 0 1 2 3 4 é visível e a curva ligando os pontos 4 5 6 7 8 é oclusa, logo deve ser desenhada com linha tracejada. Como exercício desenhe a curva à mão livre ligando os pontos 0, 1, 2,..., 8 na figura 3.1.5.1.

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 65 O desenvolvimento de uma hélice cilíndrica nos dá uma linha reta, que é a diagonal do retângulo da planificação do cilindro (cujos lados têm o comprimento do passo e o comprimento da circunferência de base). Fig. 3.1.5.1: Hélice Cilíndrica

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 66 3.2 O Cone Seja um círculo e um vértice (V ) não pertencente ao plano do círculo. O Cone é a superfície gerada por um segmento de reta (as geratrizes) cujos extremos são (V ) e um ponto qualquer do círculo, além do círculo da base. O cone também pode ser visto como uma pirâmide cuja base é um círculo. Um cone pode ser reto (quando a projeção de (V ) no plano da base cai no centro do círculo da base) ou oblíquo (caso contrário). Na figura 3.2.0.1 e 3.2.0.2 temos exemplos de um cone reto e de um cone oblíquo. Fig. 3.2.0.1: Cone Reto Fig. 3.2.0.2: Cone Oblíquo 3.2.1 Representação Mongeana Para desenhar em épura mongeana um cone circular reto de altura h e base apoiada em (π) com centro (O) e raio R devemos: 1. Desenhar uma circunferência de centro O e raio R em (π) (a projeção horizontal em VG da base do cone). Marcamos os pontos auxiliares A e B de mínima e máxima abcissas da circunferência. 2. A projeção vertical dessa circunferência da base é o segmento de reta A B situado na linha de terra. 3. Determinar o vértice (V ) do cone. A projeção horizontal V coincide com O (o cone é reto). A projeção vertical V tem cota h (dista h da linha de terra) e está situada na linha de chamada de O = V. 4. Por fim desenhamos em (π ) o triângulo de vértices V, A, B (base igual ao diâmetro 2R da circunferência e altura h), conforme figura 3.2.1.1.

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 67 Para representar um cone oblíquo com base apoiada em (π) e de centro (O), raio R e vértice (V ) conhecidos devemos: 1. Desenhar uma circunferência de centro O e raio R em (π) (a projeção horizontal em VG da base do cone). Marcamos os pontos auxiliares A e B de mínima e máxima abcissas da circunferência. 2. A projeção vertical dessa circunferência é o segmento de reta A B situado na linha de terra. Marcamos as projeções V e V do vértice (V ) do cone. A projeção vertical do cone é o triângulo de vértices V, A, B. 3. Na projeção horizontal devemos traçar tangentes à circunferência passando por V. Para isso devemos determinar os pontos de tangência M e N. Esses pontos de tangência são a interseção da circunferência de base do cone com o círculo cujo diâmetro é OV. O centro do círculo de diâmetro OV é o ponto C (o ponto médio do segmento OV ), que é a interseção do segmento OV com a mediatriz de OV. 4. Traçamos as geratrizes V M e V N em (π). Por fim devemos notar que o arco entre V M e V N é ocluso, logo deve ser desenhado tracejado, conforme a figura 3.2.1.2. Fig. 3.2.1.1: Representação do Cone Reto Fig. 3.2.1.2: Representação do Cone Oblíquo

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 68 3.2.2 Pertinência de um Ponto O método para se descobrir se um ponto (P ) pertence à superfície lateral do cone é semelhante ao método utilizado para uma pirâmide, tanto no caso reto como no caso oblíquo. Nas figuras 3.2.2 temos exemplos de pertinência de pontos no cone. Nessas figuras são fornecidas as projeções P e Q de dois pontos (P ) e (Q). Desejamos obter todas as possíveis projeções P e Q de forma que (P ) e (Q) pertençam à superfície do cone. Fig. 3.2.2.1: Pertinência de Pontos num Cone Reto - Dados Iniciais Fig. 3.2.2.2: Pertinência de Pontos num Cone Reto - Solução

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 69 Fig. 3.2.2.3: Pertinência de Pontos num Cone Oblíquo - Dados Iniciais Fig. 3.2.2.4: Pertinência de Pontos num Cone Oblíquo - Solução 3.2.3 Seção Plana Para desenhar a seção plana executamos os seguintes passos: 1. Marcamos os pontos equidistantes A, B,..., H na circunferência da base e criamos as geratrizes auxiliares (V )(A), (V )(B),..., (V )(H). 2. Determinamos os pontos 1, 2,..., 8 : interseções das geratrizes auxiliares com απ. 3. Determinamos as projeções horizontais 1, 2,..., 8: O ponto 1 é a interseção de V A com a linha de chamada de 1. Os pontos 2, 4, 5, 6, 8 são determinados de modo análogo. 4. Os pontos 3 e 7 não podem ser obtidos do mesmo modo acima pois as retas (V )(C) e (V )(G) são arestas de perfil. Aplicamos o método da rotação para que essas retas tomem a posição de (V )(E), que está em VG. Os pontos rotacionados 3 = 7 são a interseção de V E com a paralela à LT passando pelo ponto 3 = 7 (a cota fica constante durante a rotação). Os pontos 3 = 7 pertencem à V E e à linha de chamada de 3 = 7. Os pontos 3 e 7 pertencem, respectivamente, aos segmentos de reta V C e V G e à circunferência de centro V e que passa por 3 = 7.

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 70 5. Rebatemos o plano da seção em (π) para se obter a seção em VG. Com isso obtemos os pontos (1) 1, (2) 1,..., (8) 1. A curva da seção plana em VG da figura 3.2.3.1 é uma elipse Fig. 3.2.3.1: Seção Plana do Cone Reto

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 71 3.2.4 Desenvolvimento e Transformada da Seção Iniciamos a planificação com um novo ponto V e uma circunferência de centro V e raio de comprimento V A (todas as geratrizes auxiliares do cone tem o comprimento V A, que está em VG). Transportamos as cordas AB, BC,..., HA (todas têm o mesmo comprimento) de (π) para essa circunferência (é o mesmo método aproximado que fizemos com o cilindro) e traçamos as geratrizes auxiliares no desenho da planificação. Por fim traçamos o círculo da base, como mostra a figura 3.2.4.1. Para se desenhar a transformada da seção precisamos obter a distância de V aos pontos 1, 2,..., 8 da seção. Aplicamos o método da rotação para obter os pontos 1, 2,..., 8. Transportamos os comprimentos dos segmentos V 1, V 2,..., V 8 para a planificação, obtendo os pontos 1, 2,..., 8. Por fim esses pontos devem ser conectados à mão livre. Desenhe essa curva suave à mão livre na figura 3.2.4.1. Fig. 3.2.4.1: Desenvolvimento e T. da Seção do Cone Reto

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 72 3.3 Cônicas e Teorema de Apolônio 3.3.1 Cônicas Na figura 3.3.1.1 temos exemplos dos três tipos de cônicas: A elipse, a hipérbole e a parábola. A elipse é a curva planar de pontos P cuja soma das distâncias aos focos (dois pontos fixos F 1 e F 2 ) é constante. A circunferência pode ser considerada um tipo especial de elipse onde F 1 = F 2. Na hipérbole temos que a diferença de distâncias do ponto P aos focos é constante. A parábola é o conjunto de pontos do plano equidistantes do (único) foco e de uma reta (a diretriz). Fig. 3.3.1.1: Cônicas: Hipérbole, Elipse e Parábola 3.3.2 O Teorema de Apolônio Teorema 1 (Apolônio) Seja um Cone Reto cujo ângulo de suas geratrizes com o seu eixo de rotação é γ. Seja β o ângulo que um plano (que corta o cone) faz com o eixo de rotação do cone. A Seção Plana obtida é uma Elipse, se β > γ (ou um Círculo, se β = 90 0 ) ou uma Parábola, se β = γ. ou uma Hipérbole, se β < γ.

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 73 Na figura 3.3.2.1 temos a vista vertical das possíveis seções planas de um cone, dependendo do ângulo do plano de corte e do ângulo das geratrizes do cone com o seu eixo de rotação. Fig. 3.3.2.1: Possíveis Seções num Cone Reto Demonstração (para o caso da Elipse): A figura 3.3.2.2 ilustra essa demonstração. Dada a seção plana, são desenhadas duas esferas de centro O 1 e O 2 que são tangentes ao cone e ao plano da seção plana. Para todo ponto P pertencente à seção temos que P F 1 = P P 1 pois F 1 e P 1 são pontos de tangência à esfera de raio O 1. Também temos que P F 2 = P P 2 pois F 2 e P 2 são pontos de tangência à esfera de raio O 2. Daí temos que a soma das distâncias do ponto P aos pontos F 1 e F 2 é: P F 1 + P F 2 = P P 1 + P P 2 = P 1 P 2 = C 1 C 2 Como C 1 C 2 é constante temos que a soma das distâncias de qualquer ponto P da seção plana aos pontos F 1 e F 2 é constante, o que prova que a seção plana é uma elipse e que F 1 e F 2 são os focos dessa elipse.

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 74 Fig. 3.3.2.2: Teorema de Apolônio 3.3.3 Focos da Seção Plana do Cone A demonstração do teorema de Apolônio mostra como se obter os focos de uma elipse. Basta inscrever na projeção vertical círculos tangentes ao cone e ao traço vertical απ do plano de topo. Os pontos de tangência desses círculos com απ são as projeções verticais dos focos da elipse. Esse corolário da demonstração do teorema de Apolônio também é conhecido como teorema de Dandelin-Quetelet. Na figura 3.3.3.1 temos um cone reto e um plano de topo que corta esse cone. Executamos os seguintes passos para obter os focos da seção plana: 1. Devemos inscrever círculos tangentes a απ, a V A e a V B. Para isso traçamos as

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 75 bissetrizes dos ângulos A V B, T Ĉ V, T Ĉ A. A interseção dessas bissetrizes são as projeções verticais O 1 e O 2 dos centros das esferas inscritas. 2. Obtemos as projeções verticais F 1 e F 2 dos focos, que são a interseção de απ com as perpendiculares à απ passando por O 1 e O 2. 3. As projeções horizontais F 1 e F 2 dos focos são as interseções das linhas de chamada de F 1 e F 2 com a paralela à linha de terra passando por O, conforme a figura 3.3.3.2. Fig. 3.3.3.1: Focos da Seção num Cone Reto - Dados Iniciais Fig. 3.3.3.2: Focos da Seção num Cone Reto - Solução

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 76 3.4 A Esfera A Esfera é o conjunto de pontos do espaço tridimensional cuja distância ao ponto O (centro da esfera) é constante igual a R (raio da esfera). (Figura 3.4.0.1) 3.4.1 Representação da Esfera Representamos uma esfera de centro (O) e raio r por seus círculos máximos (contorno aparente) de raio R e centro em O e O em (π) e (π ). (ver figura 3.4.1.1) Fig. 3.4.0.1: Esfera Fig. 3.4.1.1: Representação da Esfera 3.4.2 Pertinência do Ponto na Superfície Esférica Na figura 3.4.2.1 são fornecidas as projeções P e Q de dois pontos (P ) e (Q). Desejamos obter todas as possíveis projeções P e Q de forma que (P ) e (Q) pertençam à superfície esférica. Faremos uso de um paralelo, que é um plano horizontal que corta a esfera. Vamos obter o paralelo que contém (P ) traçando uma paralela à LT passando por P. Chamamos

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 77 de C a interseção dessa paralela com o círculo máximo da esfera em (π ). A projeção horizontal C é a interseção da linha de chamada de C com a paralela à LT passando por O. A circunferência de centro O e raio OC é a projeção horizontal da interseção desse paralelo com a esfera. O ponto (P ) pertence à superfície esférica se e somente se a projeção P pertence à circunferência de centro O e raio OC. (ver figura 3.4.2.2) Para se descobrir as possíveis projeções Q devemos traçar o paralelo que passa por (Q). Esse paralelo em (π) é a circunferência de centro O e que passa por Q. Chamamos de D a interseção da paralela à LT e que passa por O com a circunferência de centro O e que passa por Q. Temos duas opções para as projeções verticais D, que são obtidas com a interseção da linha de chamada de D e o círculo máximo em (π ). As projeções Q estão na linha de chamada de Q e nas paralelas à LT passando por D, como podemos ver na figura 3.4.2.2. Fig. 3.4.2.1: Pertinência de Pontos na Esfera - Dados Iniciais Fig. 3.4.2.2: Pertinência de Pontos na Esfera - Solução

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 78 3.4.3 Seção Plana da Esfera Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Desejamos obter a Seção Plana e em VG em uma esfera obtida com um plano de topo de traços απ e απ, conforme a figura 3.4.3.1. Uma opção para se obter a seção plana é marcar pontos da seção plana em (π ) e obter suas projeções horizontais conforme o método da seção de pertinência de pontos na esfera. Optamos por determinar a seção plana a partir da seção em VG (que é um círculo), pois assim obtemos mais precisão no desenho. Devemos executar os seguintes passos: 1. Marcamos os pontos (J), (1), (2), que são, respectivamente, o centro da seção plana, e os pontos de mínima e máxima abcissa da seção plana. J é a interseção de απ com a perpendicular à απ passando por O. Os pontos 1 e 2 são a interseção de απ com o círculo máximo em (π ). As projeções J, 1, 2 estão numa paralela à LT passando por O e nas suas respectivas linhas de chamada. 2. Rebatemos a seção plana com esses pontos em (π), obtendo os pontos (J) 1, (1) 1, (2) 1. Traçamos a seção em VG que é um círculo de centro (J) 1 e que passa por (1) 1 e (2) 1. 3. Macamos os pontos (U), (V ), (3), (4). Os pontos (U), (V ) são os pontos da seção plana no plano paralelo do equador. Os pontos (3), (4) são os pontos da seção plana de menor e maior afastamento. U = V são a o a interseção de απ com a paralela à LT passando por O com. U, V estão na linha de chamada de U = V e no círculo máximo em (π). Os pontos 3 = 4 coincidem com J. Rebatemos 3 = 4 e obtemos (3) 1, (4) 1 no círculo da seção em VG no rebatimento. Os pontos 3, 4 estão na linha de chamada de 3 = 4 e em paralelas à LT passando por (3) 1 ou (4) 1. 4. Para melhorar o desenho à mão livre da projeção horizontal da seção plana marcamos os pontos (5) 1, (6) 1, (7) 1, (8) 1 formando um retângulo na seção em VG. Alçamos esses pontos para se obter 5, 6, 7, 8 em απ. Os pontos 5, 6, 7, 8 estão respectivamente nas linhas de chamada de 5, 6, 7, 8 e em paralelas à LT passando por (5) 1, (6) 1, (7) 1, (8) 1. 5. Por fim desenhamos à mão livre uma curva ligando as projeções horizontais de todos os pontos. Note que os pontos de menor e maior abcissa são 1, 2. Os pontos de menor e maior afastamento são 3, 4. Todos os pontos estão no interior do círculo máximo em (π), exceto U, V, que pertencem a este círculo. Os pontos U, V determinam a visibilidade dessa curva pois (U), (V ) estão no plano do equador. Essa curva é uma elipse (a projeção ortogonal de um círculo é sempre uma elipse), como vemos na figura 3.4.3.2.

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 79 Fig. 3.4.3.1: Esfera e Plano de Topo Fig. 3.4.3.2: Seção Plana da Esfera

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 80 3.5 Exercícios Exercício 3.1 Seja um cilindro reto de altura 6 cm e base apoiada em (π), com centro (O)[4; 4; 0] e raio 3 cm. Resolva os seguintes ítens: (a) Represente as projeções mongeanas desse cilindro. (b) Determine os possíveis valores de y para que o ponto (P )[5; y; 2] pertença ao interior do cilindro. (c) Desenhe um plano de topo que passe pelos pontos (T )[8; 0; 0] e (U)[0; 20; 5]. (d) Ache as projeções mongeanas da seção plana e a seção em VG. (e) Planifique e ache a transformada da seção. Exercício 3.2 Faça o exercício 3.1 trocando a palavra cilindro por cone. Exercício 3.3 Desenhe uma hélice no sentido horário e também uma hélice no sentido anti-horário no cilindro do Ex. 3.1 com passo igual à altura do cilindro. Exercício 3.4 Seja um cone de vértice (V ) e base apoiada em (π) e de centro (O) e raio r. Sejam (A) e (B) pontos pertencentes à superfície lateral do cone. Represente esse cone em cada um dos casos a seguir, conhecidos: (a) (O), r, (A) e que o cone é reto (b) (O), (V ), (A) (c) (V ), (A), (B), O Exercício 3.5 Represente um cone oblíquo, levando em conta a visibilidade, de acordo com os seguintes dados: - A base do cone está contida num plano frontal, com centro no ponto (0)[3; 1; 2]; - O ponto (A), com 3 de abcissa e 4 de cota, é um ponto da circunferência da base; - A geratriz (A)(V ) do cone é horizontal; - O vértice (V ) tem 8 de abcissa e pertence ao plano bissetor dos diedros impares Exercício 3.6 Represente um cilindro oblíquo, levando em conta a visibilidade, de acordo com os seguintes dados: - As bases circulares do cilindro estão contidas em planos frontais; - o ponto (0 1 )[3; 1; 5] é o centro de uma das bases; - Os pontos (A)[5; 1; 5] e (B)[10; 3; 3] definem uma das geratrizes do cilindro. Exercício 3.7 Resolva os seguintes ítens: (a) Representar as projeções mongeanas de uma esfera de raio 2 cm e cujo ponto de cota mínima é [2; 2; 1].

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 81 (b) Determine os possíveis valores de y para que o ponto (P )[3; y; 4] pertença ao interior da esfera. (c) Desenhe um plano de topo que passe pelos pontos (T )[4.5; 0; 0] e (X)[1; 60; 6]. (d) Obtenha as projeções da seção plana e a seção em VG. Exercício 3.8 Desenhe diferentes planos de topo cuja seção plana no cone do Ex. 3.2 sejam uma elipse ou uma hipérbole ou ainda uma parábola. Para cada um desses casos, ache as projeções da seção plana, a seção em VG e os focos da seção plana (no caso da elipse) e por fim planifique e ache a transformada da seção. Exercício 3.9 Faça a demonstração do Teorema de Apolônio para o caso de um Cilindro. Ache os focos da seção plana de um cilindro. Exercício 3.10 Na Fig. Ex. 3.10.1 são fornecidas em épura somente uma das projeções dos pontos. Obtenha todas as possíveis posições da outra projeção dos pontos de forma que eles pertençam aos respectivos sólidos.

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 82 Fig. Ex. 3.10.1 (a) Fig. Ex. 3.10.1 (b) Fig. Ex. 3.10.1 (c) Fig. Ex. 3.10.1 (d)

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 83 Fig. Ex. 3.10.1 (e) Fig. Ex. 3.10.1 (f) Fig. Ex. 3.10.1 (g) Fig. Ex. 3.10.1 (h)

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 84 3.6 Soluções e Sugestões 1. Solução do Ex. 3.1: (a)(b) Fig. Ex. 3.1.1. (c)(d) Fig. Ex. 3.1.2. (e) Fig. Ex. 3.1.3. 2. Solução do Ex. 3.2: (a)(b) Fig. Ex. 3.2.1. 5. Solução do Ex. 3.5 na Fig. Ex. 3.5.1. 6. Solução do Ex. 3.6 na Fig. Ex. 3.6.1. 7. Solução do Ex. 3.7: (a)(b) Fig. Ex. 3.7.1. Valores de y para (P ) no interior: 0.59 < y < 3.41. (c) O valor do afastamento de (X) é irrelevante. Fig. Ex. 3.7.2. 9. Faça uma demonstração equivalente à feita para o cone na seção 3.3.2. O método para se achar os focos é muito parecido com 3.3.3. 10. Solução do Ex. 3.10 na Fig. Ex. 3.10.2. Fig. Ex. 3.1.1: Solução do Ex. 3.1 (a)(b) Fig. Ex. 3.2.1: Solução do Ex. 3.2 (a)(b).

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 85 Fig. Ex. 3.1.2: Solução do Ex. 3.1 (c)(d)

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 86 Fig. Ex. 3.1.3: Solução do Ex. 3.1 (e)

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 87 Fig. Ex. 3.5.1: Solução do Ex. 3.5 Fig. Ex. 3.6.1: Solução do Ex. 3.6

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 88 Fig. Ex. 3.7.1: Solução do Ex. 3.7 (a)(b)

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 89 Fig. Ex. 3.7.2: Solução do Ex. 3.7 (c)(d)

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 90 Fig. Ex. 3.10.2 (a): Solução da Fig. Ex. 3.10.1 (a) Fig. Ex. 3.10.2 (b): Solução da Fig. Ex. 3.10.1 (b) Fig. Ex. 3.10.2 (c): Solução da Fig. Ex. 3.10.1 (c) Fig. Ex. 3.10.2 (d): Solução da Fig. Ex. 3.10.1 (d)

CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 91 Fig. Ex. 3.10.2 (e): Solução da Fig. Ex. 3.10.1 (e) Fig. Ex. 3.10.2 (f): Solução da Fig. Ex. 3.10.1 (f) Fig. Ex. 3.10.2 (g): Solução da Fig. Ex. 3.10.1 (g) Fig. Ex. 3.10.2 (h): Solução da Fig. Ex. 3.10.1 (h)

Capítulo 4 Perspectiva A perspectiva é uma representação aproximada no papel (num plano de projeção) de um objeto (ou uma imagem) como se ele fosse visto pelo olho. A projeção perspectiva tenta descrever o objeto utilizando somente um plano de projeção. Duas características básicas numa perspectiva de um objeto são: Quanto mais próximo o observador, maior fica o objeto. O tamanho do objeto ao longo do eixo de visão (profundidade) é relativamente menor que o tamanho num plano perpendicular ao eixo de visão. 4.1 Tipos de Perspectiva Uma perspectiva pode ser classificada de acordo com o tipo de projeção utilizada. 4.1.1 Projeção Cônica A projeção de um ponto (A) no plano de projeção (π) é a interseção de (π) com a reta que passa por (A) e o centro de projeção (O) (Fig. 4.1.1.1). A projeção cônica leva em conta o efeito da distância do objeto ao plano de projeção e deve ser usada se o objeto de interesse têm uma grande profundidade, como estradas. Na Fig. 4.1.1.2 temos um exemplo da perspectiva cônica de uma estrada. Note que retas paralelas no espaço não são paralelas nessa pespectiva. Neste curso não estudaremos perspectiva cônica. 4.1.2 Projeção Cilíndrica Todas as retas de projeção (as projetantes) são paralelas a uma dada direção (δ). A projeção de um ponto (A) no plano de projeção é a interseção do plano de projeção com uma paralela a (δ) passando por (A) (Fig 4.1.2.1). A projeção cilíndrica, ao contrário da projeção cônica, não leva em conta o efeito da distância do objeto ao plano de projeção, porém é mais fácil de ser construída e é uma 92

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 93 boa representação para objetos sem grande profundidade, como peças mecânicas. Neste curso nos limitaremos ao estudo da perspectiva com projeção cilíndrica. A projeção cilindrica possui uma importante propriedade que auxilia na construção da perspectiva: Se duas retas são paralelas no espaço tridimensional, elas também serão paralelas em qualquer plano de projeção. A perspectiva cilíndrica também trata da mesma forma paralelas a um dado eixo. Uma projeção cilíndrica pode ser classificada em: Oblíqua: Todas as retas projetantes são paralelas a uma dada direção (δ) oblíqua ao plano de projeção (Fig. 4.1.2.1). Na seção 4.4 estudaremos um tipo de perspectiva cilíndrica oblíqua, a perspectiva Cavaleira. Ortogonal: A projeção do ponto (A) é a interseção do plano de projeção (π) com uma perpendicular a (π) passando por (A). As retas projetantes são paralelas à direção (δ) perpendicular ao plano de projeção (π) (Fig. 4.1.2.2). Exemplos desse tipo de perspectiva são a Isometria e Axonometria, estudadas nas seções 4.2 e 4.3. Escolha dos Eixos O primeiro passo numa perspectiva cilíndrica é criar no espaço tridimensional um sistema de eixos coordenados (x) (y) (z) perpendiculares entre si e de origem (O). Obtendo a projeção desses eixos facilita em muito construir a perspectiva. Independente do tipo de projeção cilindrica utilizada, queremos fazer perspectivas de objetos fornecidos usualmente em sua representação mongeana, como por exemplo o paralelepípedo retângulo representado na figura 4.1.2.3. Inicialmente devemos posicionar o sistema de eixos coordenados (x) (y) (z) e de origem (O) do espaço tridimensional na representação mongeana do objeto em um ponto qualquer de interesse do objeto e de forma que o objeto fique todo contido no triedro positivo (todas as coordenadas de qualquer ponto do objeto são maiores que zero). O plano de projeção usualmente fica atrás dos eixos, de forma que os eixos são sempre visíveis. Os eixos (x) (y) são perpendiculares entre si e são posicionados num plano horizontal ao longo de direções relevantes do objeto. Se a origem (O) é posicionada num ponto "acima"do objeto, o eixo (z) deve apontar para baixo. Se (O) é posicionado num ponto "abaixo"do objeto, o eixo (z) deve apontar para cima. Nas figuras 4.1.2.4, 4.1.2.5 e 4.1.2.6 temos exemplos de eixos coordenados posicionados no paralelogramo da figura 4.1.2.3.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 94 Fig. 4.1.1.1: Projeção Cônica Fig. 4.1.1.2: Estrada Fig. 4.1.2.1: Projeção Cilíndrica Oblíqua Fig. 4.1.2.2: Projeção Cilíndrica Ortogonal

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 95 Fig. 4.1.2.3: Representação Mongeana do Paralelepípedo. Fig. 4.1.2.4: Paralelepípedo e origem em G Fig. 4.1.2.5: Paralelepípedo e origem em B Fig. 4.1.2.6: Paralelepípedo e origem em F

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 96 4.2 Isometria Na isometria consideramos que o ângulo do plano de projeção com todos os eixos coordenados é igual, daí temos que os eixos projetados têm ângulos de 120 0 graus entre eles. Na construção de uma isometria devemos inicialmente obter todos os vértices (ou pontos relevantes do objeto) transportando as distâncias ao longo dos eixos do objeto em épura. Por fim desenhamos todas as arestas, respeitando a visibilidade (arestas oclusas são desenhadas tracejadas). A seguir temos exemplos de como construir uma isometria. Exemplo 4.2.1 Construir a isometria do objeto e eixos das figuras 4.1.2.4, 4.1.2.5 e 4.1.2.6. 1. Iniciamos a construção da isometria marcando a origem O e desenhando os eixos projetados partindo de O e com ângulos de 120 0 graus entre eles. Podemos construir esses eixos fazento um círculo e obtendo os vértices de um triângulo equilátero. Na figura 4.1.2.4 o eixo z está apontado para baixo logo escolhemos um eixo z vertical e apontado para baixo na perspectiva. Devemos desenhar os eixos x, y da perspectiva de acordo com a posição relativa desses eixos no desenho em épura. Como na figura 4.1.2.4 o eixo y se encontra à direita do eixo x, desenhamos y à direita do eixo x no desenho da perspectiva (Fig. 4.2.1). 2. Marcamos o ponto G na origem dos eixos projetados. O ponto C está CG abaixo de G na figura 4.1.2.4. Transportamos essa distância para o desenho da perspectiva no eixo z vertical, obtendo o ponto C. Obtemos os pontos F, H que pertencem aos eixos x, y, respectivamente, e distam F G = 3 e HG = 2 de G. Com paralelas aos eixos x, y passando pelos pontos H, F, respectivamente, obtemos E. Os pontos B, D, A são obtidos de modo análogo. 3. Desenhamos todas as arestas do paralelepípedo, lembrando que o ponto A está ocluso, logo todas as arestas que partem de A são tracejadas. Na figura 4.2.2 temos a construção completa da isometria. Nas figuras 4.2.3 e 4.2.4 temos as isometrias das figuras 4.1.2.5 e 4.1.2.6. A construção dessas isometrias é semelhante ao feito para a figura 4.1.2.4. Na figura 4.2.3 o eixo z está apontado para cima e o eixo y se encontra à direita do eixo x, de acordo com a figura 4.1.2.5. Note que mesmas dimensões do objeto podem causar arestas coincidentes na isometria, o que pode dificultar a sua visualização perspectiva.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 97 Fig. 4.2.1: Eixos da Isometria Fig. 4.2.2: Isometria da figura 4.1.2.4. Fig. 4.2.3: Isometria da figura 4.1.2.5. Fig. 4.2.4: Isometria da figura 4.1.2.6.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 98 Exemplo 4.2.2 Construir a isometria da escada com os eixos da figura 4.2.5. Fig. 4.2.5: Rep. Mongeana duma Escada. 1. Iniciamos a construção da isometria marcando a origem O e desenhando os eixos projetados partindo de O e com ângulos de 120 0 graus entre eles. Podemos construir esses eixos fazento um círculo e obtendo os vértices de um triângulo equilátero. Como na figura 4.2.5 o eixo z está apontado para baixo e o eixo y está à direita do eixo x, desenhamos o eixo z vertical e apontado para baixo e também o eixo y à direita do eixo x na perspectiva. 2. Os pontos F, B estão abaixo de G respectivamente O F e O B. Transportamos essas distâncias para o desenho da perspectiva no eixo z vertical, obtendo os pontos F, B. Obtemos os pontos J, K que pertencem ao eixo y e distam OJ e OK de O. Com paralelas aos eixos y, z passando pelos pontos F, J, respectivamente, obtemos G. Marcamos o ponto auxiliar P no eixo x e distante AB de O. O ponto E é obtido com paralelas aos eixos x, z passando pelos pontos F, P, respectivamente. Os pontos C, A, H, I, L, D são obtidos de modo análogo. 3. Desenhamos todas as arestas da escada, lembrando que o ponto D está ocluso, logo todas as arestas que partem de D são tracejadas. Na figura 4.2.6 temos a construção completa da isometria.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 99 Fig. 4.2.6: Isometria da Escada da figura 4.2.5. Exemplo 4.2.3 Construir a isometria da pirâmide da figura 4.2.7. 1. Iniciamos a construção da isometria marcando a origem O e desenhando os eixos projetados partindo de O e com ângulos de 120 0 graus entre eles. Como na figura 4.2.7 o eixo z está apontado para baixo e o eixo y está à direita do eixo x, desenhamos o eixo z vertical e apontado para baixo e também o eixo y à direita do eixo x na perspectiva. 2. O ponto C está no eixo z a uma distância O C abaixo de O. Transportamos essa distância para o desenho da perspectiva no eixo z vertical, obtendo o ponto C. Obtemos os pontos B, D, que estão em paralelas partindo de C aos eixos x, y, respectivamente, e distam BC e CD de C. Com paralelas aos eixos x, y passando pelos pontos D, B, respectivamente, obtemos A. Para se obter V, marcamos os pontos auxiliares V x, V y que estão nos eixos x, y e distam OV x e OV y de O. Com paralelas aos eixos x, y passando pelos pontos V y, V x, respectivamente, obtemos V. 3. Desenhamos todas as arestas da pirâmide, lembrando que a aresta AD é oclusa. Na figura 4.2.8 temos a construção completa da isometria.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 100 Fig. 4.2.7: Rep. Mongeana duma Pirâmide. Fig. 4.2.8: Isometria da Pirâmide da figura 4.2.7.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 101 4.3 Axonometria A axonometria pode ser cônica ou cilíndrica (obliqua ou ortogonal). Só estudaremos nesse curso a perspectiva axonométrica cilíndrica ortogonal, que apesar das limitações, é útil em arquitetura e engenharia pois é de fácil execução, permite em geral uma visualização tridimensional de boa qualidade e nas mais variadas posições de eixos e ainda executar medições no desenho da perspectiva (axonometria significa medir ao longo dos eixos). Na figura 4.3.1 temos um esboço da projeção cilindrica ortogonal dos eixos (x), (y), (z) no espaço tridimensional. Podemos destacar os seguintes elementos nessa figura: (O) - Centro do sistema de coordenadas tridimensional. (x), (y), (z) - Eixos (perpendiculares entre si) do sistema de coordenadas 3D. π 0 - Plano de projeção. x, y, z - Projeções dos eixos tridimensionais em π 0. X, Y, Z - São os pontos onde os eixos (x), (y), (z) cruzam o plano de projeção π 0. Triângulo XY Z - Triângulo Axonométrico ou Fundamental. O triângulo axonométrico é sempre acutângulo e ele define completamente a axonometria. Dependendo da forma do triângulo axonométrico temos três diferentes tipos de axonometria: 1. Escaleno - Anisiometria ou perspectiva anisométrica. 2. Isósceles - Dimetria ou perspectiva dimétrica. 3. Equilátero - Isometria ou perspectiva isométrica, estudada na seção 4.2. O - Projeção ortogonal de (O) no plano de projeção π 0. Pode ser provado que O é o ortocentro (encontro das alturas) do triângulo axonométrico XY Z. Fig. 4.3.1: Projeção dos eixos (x), (y), (z)

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 102 4.3.1 Graduação dos Eixos de Projeção Quando projetamos os eixos coordenados (x), (y), (z) e a origem (O) no plano de projeção π 0, obtemos o ponto O e os eixos x, y, z projetados. Os eixos projetados x, y, z sofrem uma redução do tamanho original dos eixos espaciais (x), (y), (z). Em geral os eixos x, y, z sofrem diferentes reduções na projeção pois essas reduções dependem do ângulo que esses eixos fazem com π 0. Todas as dimensões de um objeto paralelas a um dado eixo sofrem na projeção a mesma redução que esse eixo. Graduar os eixos de projeção significa obter graficamente as respectivas reduções de tamanho que os eixos x, y, z projetados (e as medidas sobre esses eixos) sofrem. Uma posição especial do plano de projeção é quando os três eixos coordenados projetados x, y, z distam 120 0 entre si e sofrem a mesma redução. Como a redução é a mesma para todos os eixos podemos ignorar a graduação de eixos nesse caso, que é chamado de Isometria e foi objeto de estudo da seção 4.2. No caso geral os eixos coordenados projetados x, y, z não distam 120 0 entre si e sofrem diferentes contrações. Nesse caso é necessário obter graficamente esses fatores de redução dos eixos para a representação correta do objeto. A graduação dos eixos x e y é feita com o rebatimento do triângulo (O)XY sobre o plano de projeção π 0 (ou o rebatimento do ponto (O) em π 0 com o eixo de rebatimento XY ), como ilustrado na figura 4.3.2. Podemos obter o ponto (O) 1, que é o rebatimento do ponto (O) em π 0 observando que X(O) 1 Y = 90 0 pois X (O)Y = 90 0 e que O(O) 1 é perpendicular à reta XY. Daí temos que (O) 1 pertence à perpendicular a XY passando por O e também pertence ao semicírculo de diâmetro XY (arco capaz de 90 0 sobre XY ). O eixo (O) 1 X é o rebatimento de (O)X, logo possuem o mesmo comprimento. Devemos transportar as distâncias de interesse da representação mongeana do objeto ao longo do eixo x para o eixo (O) 1 X. Obtemos os comprimentos reduzidos da perspectiva traçando paralelas à O(O) 1 e obtendo sua interseção com o eixo projetado x. Fig. 4.3.2: Rebatimento para Graduação dos eixos x, y

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 103 O próximo exemplo ilustra a graduação dos eixos. Em seguida apresentamos outros exemplos ilustrando a construção de uma axonometria. Exemplo 4.3.1 Dado o triângulo axonométrico de vértices X(0; 0), Y (8; 0), Z(6; 6) (coordenadas cartesianas em cm). 1. Obter O (o centro da perspectiva, que é a projeção de (O) no plano de projeção π 0 ) e também os eixos x, y, z da perspectiva 2. Obter os eixos (x) 1, (y) 1, (z) 1, o rebatimento dos eixos (x), (y), (z) em π 0 Solução: Executamos os seguintes passos: 1. Devemos traçar o triângulo axonométrico e obter seu ortocentro (encontro das alturas). (a) Arbitramos um ponto qualquer no papel como sendo o ponto X(0; 0) e marcamos os pontos Y, Z do triângulo axonométrico. (b) Traçamos as alturas do XY Z, que são as perpendiculares a um lado passando pelo vértice oposto, isto é, a reta XY passando por Z, a reta XZ passando por Y e a reta Y Z passando por X. O encontro das alturas é o ponto O. (c) As semirretas OX, OY, OZ são respectivamente os eixos x, y, z da perspectiva, como vemos na figura 4.3.3. 2. Para se obter os eixos (x) 1, (y) 1, (z) 1 rebatemos o ponto (O) ao redor de dois lados quaisquer do XY Z, por exemplo os lados XY e XZ. Explicitamos a seguir os passos do rebatimento de (O) ao longo de XY. (a) Obtemos Z m, o ponto médio de XY, com o auxílio da mediatriz. (b) Traçamos o semicírculo de centro Z m e que passa por X (e que também passará por Y ). (c) O ponto (O) 1 (rebatimento de (O) ao longo de XY ) é o encontro do prolongamento da altura ZZ h com o semicírculo de diâmetro XY. (d) Traçamos as semirretas (O) 1 X e (O) 1 Y, que são respectivamente os eixos (x) 1 e (y) 1. (e) Repetimos os ítens (a), (b) e (c) com o lado XZ, obtendo (O) 2 (rebatimento de (O) ao longo de XZ) e traçamos a semirreta (O) 2 Z, que é o eixo (z) 1. A figura 4.3.4 ilustra a obtenção de (x) 1, (y) 1, (z) 1.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 104 Fig. 4.3.3: Construção do XY Z e dos eixos x, y, z Fig. 4.3.4: Rebatimento e Obtenção dos eixos (x) 1, (y) 1, (z) 1 Exemplo 4.3.2 Construir a axonometria de um cubo de lado 3 cm segundo o segundo o triângulo axonométrico de vértices X(0;0), Y(8;0), Z(6;-6) e também segundo o triângulo axonométrico de vértices X(0;0), Y(8;0), Z(5;-7). Solução: Executamos os seguintes passos: 1. Inicialmente devemos posicionar os eixos 3D no cubo. Como nos triângulos axonométricos fornecidos temos que Y está a direita de X e o vértice Z está abaixo de X, Y, uma solução natural é escolher os eixos (x), (y) no plano horizontal, com (y) à direita de (x) e o eixo (z) vertical e apontando para baixo. Um dos vértices do cubo coincide com o origem (O), isto é, (A) = (O). O cubo é posicionado de forma que os vértices (B), (C), (D) estão respectivamente nos eixos (x), (y), (z) na posição +3cm. 2. Repetimos todos os passos do exemplo 4.3.1 segundo os dois triângulos axonométricos fornecidos. 3. Como os eixos (x) 1, (y) 1, (z) 1 (que têm origem em (O) 1 ou (O) 2 ) são os rebatimentos de (x), (y), (z), devemos marcar os pontos rebatidos (B) 1, (C) 1, (D) 1 respectivamente nos eixos (x) 1, (y) 1, (z) 1 e distantes +3cm de suas respectivas origens.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 105 4. O ponto A (a projeção em π 0 de (A)) coincide com O. O ponto B é a interseção do eixo x com a paralela a O(O) 1 passando por (B) 1. Analogamente o ponto C é a interseção do eixo y com a paralela a O(O) 1 passando por (C) 1 e o ponto D é a interseção do eixo z com a paralela a O(O) 2 passando por (D) 1. 5. Obtemos os vértices E, F, G, H do cubo de modo análogo ao feito para o caso da isometria. O ponto E é a interseção das paralelas a AB passando por C e a AC passando por B. O ponto F é a interseção das paralelas AB passando por D e a AD passando por B. O ponto G é a interseção das paralelas a AC passando por D e a AD passando por C. O ponto H é a interseção das paralelas a DF passando por G e a DG passando por F. 6. Traçamos todas as arestas do cubo. Note que G é ocluso, logo todas as arestas que partem de G são oclusas. Note que cada triângulo axonométrico nos fornece uma perspectiva de um vista diferente do cubo, como podemos observar nas figuras 4.3.5 e 4.3.6. Fig. 4.3.5: Axonometria do Cubo segundo X(0; 0)Y (8; 0)Z(6; 6) Fig. 4.3.6: Axonometria do Cubo segundo X(0; 0)Y (8; 0)Z(5; 7)

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 106 Exemplo 4.3.3 Construir a axonometria do objeto da figura 4.3.7 segundo o segundo o triângulo axonométrico de vértices (0;0), (9;0), (7;-6) Solução: Executamos os seguintes passos: 1. Devemos escolher os eixos de perspectiva de acordo com a posição dos eixos da figura 4.3.7 onde (y) está a direita de (x) e (z) apontando para baixo. Tomamos X = (0; 0), Y = (9; 0), Z = (7; 6). 2. Devemos repetir todos os passos do exemplo 4.3.1 para se obter o triângulo axonométrico e os eixos. 3. Marcamos alguns pontos chaves do objeto (os pontos (B) 1, (F ) 1, (J) 1, (K) 1 e o ponto auxiliar (P ) 1 ) para se obter a projeção desses pontos nos eixos x, y, z da perspectiva. Note que o ponto (K) 1 está fora do segmento (O) 1 Y por isso devemos prolongar o eixo (y) 1 (o eixo é uma semirreta). 4. Obtemos todos os outros vértices da escada de modo análogo ao feito para o caso da isometria. 5. Traçamos todas as arestas da escada. Note que D é ocluso, logo todas as arestas que partem de D são oclusas. Na figura 4.3.8 temos a perspectiva axonométrica da escada. Fig. 4.3.7: Escada com Eixos Fig. 4.3.8: Axonometria da Escada

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 107 Exemplo 4.3.4 Construir a axonometria de um paralelogramo reto de lados 3cm, 3cm, 4.5cm segundo um triângulo axonométrico de lados 7, 8, 9 cm. Solução: Devemos executar os seguintes passos: 1. Esse paralelogramo tem a forma do paralelogramo da figura 4.1.2.3. Escolhemos eixos conforme a figura 4.1.2.4. Escolhemos os vértices X = (0; 0), Y = (9; 0) do triângulo axonométrico. O vértice Z é obtido, por exemplo, com a interseção de baixo de círculos de raio 8 e 7cm com centros em X e Y, respectivamente. 2. Repetimos todos os passos do exemplo 4.3.1 para se obter o triângulo axonométrico e os eixos. Marcamos os pontos (F ) 1, (H) 1, (C) 1 sobre os eixos (x) 1, (y) 1, (z) 1 da axonometria e obtemos a projeção desses pontos nos eixos x, y, z da perspectiva. 3. Obtemos todos os outros vértices do paralelogramo de modo análogo ao feito para o caso da isometria e por fim traçamos todas as arestas do paralelogramo. Note que A é ocluso, logo todas as arestas que partem de A são oclusas. Na figura 4.3.9 temos a perspectiva axonométrica desse paralelogramo. Fig. 4.3.9: Axonometria de um Paralelogramo

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 108 4.4 Perspectiva Cavaleira Na perspectiva cavaleira utilizamos a projeção cilíndrica oblíqua e posicionamos os eixos do triedro (x), (y), (z) de forma que dois dos eixos ((y), (z), em geral) sejam paralelos ao plano de projeção. O eixo (x) é perpendicular ao plano de projeção. Como a projeção utilizada é a cilíndrica oblíqua, o eixo (x) se projeta segundo uma linha inclinada chamada de fugitiva (se a projeção fosse ortogonal, a projeção do eixo (x) seria somente um ponto). O ângulo entre a fugitiva (o eixo (x) projetado) e a horizontal é chamado de ângulo das fugitivas ρ. Elementos ou medidas no eixo (x) sofrem um fator de redução r. Os valores de r e ρ são arbitrados na prática. Valores usuais para r e ρ são: ρ = 60 0 e r = 1 3. ρ = 45 0 e r = 1 2. ρ = 30 0 e r = 2 3. Na figura 4.4.1 temos algumas das possíveis posições dos eixos projetados usados na perspectiva cavaleira. Fig. 4.4.1: Algumas possíveis posições dos eixos projetados Exemplo 4.4.1 Construir a perspectiva cavaleira da figura 4.1.2.6 nos seguintes casos: (a) ρ = 60 0 e r = 1 3. (b) ρ = 300 e r = 2 3. (c) ρ = 450 e r = 1 2. (d) ρ = 450 e r = 1. Construímos essas perspectivas tomando as medidas no plano (y)(z) em VG e usando r e ρ indicados. Seguimos os seguintes passos: 1. Como na figura 4.1.2.6 o eixo z está apontado para baixo e o eixo x está à direita do eixo y, escolhemos para a perspectiva a posição de eixos da figura 4.4.1 à esquerda. Inicialmente construímos a face ABF E que está em VG.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 109 2. Obtemos o ponto G no eixo (x) de acordo com o ângulo da fugitiva e fator de redução específicos. 3. O ponto C é a interseção da fugitiva partindo de B com a paralela ao segmento F B passando por G. Os pontos H, D são determinados de modo análogo. 4. Por fim desenhamos as arestas do paralelogramo, respeitando a visibilidade. As perspectivas completas podem ser vistas nas figuras 4.4.2 a 4.4.5. Fig. 4.4.2: Perspectiva Cavaleira com ρ = 60 0 e r = 1 3. Fig. 4.4.3: Perspectiva Cavaleira com ρ = 30 0 e r = 2 3. Fig. 4.4.4: Perspectiva Cavaleira com ρ = 45 0 e r = 1 2. Fig. 4.4.5: Perspectiva Cavaleira com ρ = 45 0 e r = 1.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 110 Exemplo 4.4.2 Faça uma perspectiva cavaleira dos planos de projeção π e π da geometria descritiva, dos pontos (A), (B) da figura 4.4.6, das projeções de (A) e (B) em (π) e (π ) e do segmento de reta de extremos (A) e (B) e suas projeções. 1. Iniciamos a construção da perspectiva cavaleira marcando a origem O e desenhando os eixos x, y, z fazendo uma correspondência natural com o sistema de coordenadas mongeanas, isto é, desenhamos y horizontal (eixo do afastamento), z vertical (eixo da cota) e a fugitiva x (eixo das abcissas, a LT). Escolhemos arbitrariamente ρ = 60 0 e r = 1 2. Representamos o plano (π ) como um retângulo que contém A, B e apoiado na LT. Representamos o plano (π) como um retângulo que contém A, B e compartilha com o retângulo de (π ) o lado apoiado na LT, conforme figura 4.4.7 2. Marcamos os pontos auxiliares A x, B x na linha de terra (eixo x) e com a mesma abcissa dos pontos (A), (B). As projeções A, A distam de A x o valor do afastamento e da cota de (A) e estão em paralelas partindo de A x aos eixos y, z, respectivamente. Obtemos (A) na interseção das retas paralelas aos eixos y, z partindo de A, A, respectivamente. As projeções B, B e (B) são obtidos de modo análogo. 3. Desenhamos o segmento de reta ligando os pontos (A) e (B) e suas projeções ligando os pontos A, B e A, B respectivamente, conforme a figura 4.4.7. Fig. 4.4.6: Rep. Mongeana de (A), (B). Fig. 4.4.7: Perspectiva Cavaleira de (A), (B).

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 111 4.5 Exercícios Exercício 4.1 Seja um cubo, um tetraedro regular e um octaedro regular, todos de lados iguais a 3cm. Faça os seguintes ítens: 1. Faça a representação mongeana desses poliedros, nomeando todos os seus vértices. 2. Escolha um dos vértices dos poliedros para ser a origem do sistema de coordenadas e desenhe os eixos de projeção na representação mongeana desses poliedros. 3. Faça a sua perspectiva isométrica. 4. Faça a perspectiva axonométrica desses poliedros segundo o triângulo axonométrico de lados 7, 8, 9cm. 5. Faça a perspectiva cavaleira desses poliedros. Exercício 4.2 Faça a perspectiva axonométrica da escada e da pirâmide das figuras 4.2.5 e 4.2.7 segundo o triângulo axonométrico de vértices X(0; 0), Y (8; 0), Z(6; 8) (coordenadas cartesianas em cm). Exercício 4.3 Faça a perspectiva axonométrica das figuras abaixo sob um triângulo axonométrico de sua escolha, considerando que (O) (a origem do sistema de coordenadas 3D) é o ponto (A) dos objetos abaixo indicados.

CAPÍTULO 4. PERSPECTIVA 112 Exercício 4.4 Escolha os eixos dado o ponto (O) indicado nas figuras abaixo e faça a perspectiva axonométrica dos objetos abaixo sob um triângulo axonométrico de sua escolha Exercício 4.5 Faça a perspectiva cavaleira das figuras 4.2.5 e 4.2.7. Exercício 4.6 Faça uma perspectiva cavaleira dos planos de projeção π e π da geometria descritiva, dos pontos A[0; 2; 0] e B[2; 3; 1], da reta que passa por (A) e (B), das projeções de (A) e (B) e da reta nos planos de projeção π e π. Exercício 4.7 Faça a perspectiva cavaleira dos planos de projeção mongeanos e do paralelogramo da figura 4.1.2.3. Exercício 4.8 Escolha um sistema de eixos de visualização para a figura 4.1.2.3 e faça a sua perspectiva cavaleira.