1 Modelagem de Capacitores de Placas Paralelas Utilizando Método de Elementos Finitos em D J. A. Malagoli, UFU, J. R. Camacho, UFU, e M. V. Ferreira da Luz, UFSC. Resumo -- Este trabalho tem como objetivo desenvolver o modelo matemático tridimensional, levando em conta as equações de Maxwell, as leis de comportamento dos materiais e as condições de contorno. Além disso, apresenta a discretização dos campos pelo método de elementos finitos, destinados a análise de problemas de eletromagnetismo, e em particular o problema de eletrostática. Nas simulações apresentam-se os potenciais escalares elétricos tridimensionais de capacitores de placas paralelas com três dielétricos diferentes utilizando os softwares Gmsh/GetDP e o FluxD. Palavras Chave -- Elementos Finitos, Eletrostática, FluxD, Gmsh/GetDP, Métodos Numéricos, Equações de Maxwell. M I. INTRODUÇÃO UITOS problemas físicos são desenvolvidos matematicamente na forma de equações diferenciais parciais e ordinárias. Para geometrias simples é possível obter uma solução analítica exata utilizando métodos algébricos. Todavia, para a maioria das aplicações, com geometrias mais complexas, a obtenção da solução analítica é praticamente impossível. Assim, esses problemas exigem a aplicação de métodos numéricos. O Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste em um método numérico aproximado para análise de diversos fenômenos físicos que ocorrem em meios contínuos, e que são descritos através de equações diferenciais parciais, com determinadas condições de contorno (problemas de valor de contorno), e possivelmente com condições iniciais (para problemas variáveis no tempo). O MEF é bastante genérico, e pode ser aplicado na solução de inúmeros problemas da engenharia. A ideia principal do Método dos Elementos Finitos consiste em se dividir o domínio (meio contínuo) do problema em sub-regiões de geometria simples (formato triangular, quadrilateral, cúbico, etc.). Etapas para aplicação do Método dos Elementos Finitos: A. Pré-Processamento: Definição do problema e do domínio; Juliana Almansa Malagoli pertence ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Uberlândia, MG, Brasil. (e-mail: jmalagoni@doutorado.ufu.br). José Roberto Camacho é professor titular da Faculdade de Engenharia Elétrica da UFU, Uberlândia, MG, Brasil. (e-mail: jrcamacho@ufu.br). Mauricio Valencia Ferreira da Luz é professor adjunto do Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), Florianópolis, SC, Brasil. (e-mail: mauricio@grucad.ufsc.br). Discretização ou divisão do domínio em elementos; B. Processamento: Obter as equações dos elementos; Escolha da função de aproximação; o Método dos Resíduos Ponderados; Método de Galerkin [1]-[]; Método da Colocação; Método do Subdomínio; Método dos Mínimos Quadrados; Montagem ou colocação das equações dos elementos juntas; Acréscimo das condições iniciais e de contorno; Solução do sistema linear (ou não linear); C. Pós-Processamento: Apresentação dos resultados ou visualização gráfica; Determinação de variáveis secundárias. Mesmo que o MEF tenha sido originalmente desenvolvido para a análise de sistemas estruturais, o mesmo tem sido utilizado também nos domínios da mecânica dos sólidos, dos fluidos, eletromagnetismo, transmissão de calor, de massa e na eletrostática, dentre outros. Além de sua adequação à programação em computadores digitais, a sua eficiência e flexibilidade, o MEF tem hoje uma grande difusão tanto no meio acadêmico como no industrial, estando disponível em grande número os softwares existentes no mercado: livres (FEMM e GMSH/GETDP) e comerciais (ANSYS, COMSOL, FLUX D, etc.). Contudo, deve ser lembrado que a utilização destes programas e a visualização dos resultados, requerem os conhecimentos dos fundamentos do MEF, por parte do Engenheiro. II. MODELAGEM ELETROSTÁTICA O modelo eletrostático consiste no estudo da distribuição espacial das linhas equipotenciais, do campo elétrico e da densidade de fluxo elétrico nos materiais dielétricos. Considerando o domínio de estudo, de fronteira, o modelo eletrostático é caracterizado pelas leis de Maxwell, leis de comportamento e condições de contorno, dadas pelas equações [1]-[]: =0 1
2 = 0 = =0 = 0 = 2 4 5 6 Onde E é o campo elétrico (V/m), D é a densidade de fluxo elétrico (C/m 2 ), ε é a permissividade elétrica (F/m) e n é o vetor normal à superfície. As restrições globais definidas são relativas à carga elétrica! " (7) e a diferença de potencial # " (8), cuja relação define a capacitância $ (9). % & =! " ' % )=# " + ' 7 8 $ =! " # " 9 Neste trabalho são apresentadas as utilizações do potencial escalar elétrico. A Formulação Eletrostática em potencial escalar elétrico inicia-se a partir da (1), pode-se introduzir um potencial escalar elétricoυ tal que [1]-[5]: =./ ou = %.) 10 Reagrupando as equações (2) e (), obtém-se a equação:./ = 0 11 que deve ser resolvida em todo o domínio levando em conta as condições de contorno. A condição (4), para o campo elétrico, se escreve para a formulação em potencial escalar: = = constante 12 essa condição é conhecida como condição de contorno de Dirichlet (especifica o valor da função no contorno). Esta condição pode ser diretamente relacionada à relação (8), a qual impõe a circulação do campo elétrico sobre um contorno. Para a densidade de fluxo elétrico, como =./, a relação (5) possui a seguinte forma:./ = 0 1 Examinando a equação (1), conclui-se que o campo elétrico é tangente na fronteira e, então, as linhas equipotenciais são perpendiculares em Γ ;. Esta condição é conhecida como condição de contorno de Neumann (especifica a derivada normal à função no domínio, por exemplo, um fluxo). Como visto anteriormente, uma maneira de resolver o conjunto de equações de Maxwell da eletrostática é usando a definição de um potencial escalar elétrico. Assim, a equação resultante é a relação (11). Esta forma inicial do problema é o que tem sido considerado até agora e constitui sua formulação forte. A forma fraca da (11) é obtida da seguinte maneira. Suponha que a função seja uma função aproximada, de maneira que a (11) se torne: < =./ 14 Onde < é um resíduo, visto que a função não é exata. O objetivo é fazer com que o resíduo tenha a tendência de se anular ou ainda que na média ponderada o resíduo seja zero. Matematicamente isso se escreve da seguinte forma [6], %< = = 0 ou <,=? = 0 15? Onde W é a função de ponderação. Esse método de resolver a (15) é conhecido como Método dos Resíduos Ponderados [1]- []. Substituindo a (14) em (15), tem-se:./,=? = 0 16 Fazendo = = A e aplicando a fórmula de Green do tipo div-grad, tem-se:./,./ A? +<./, A > = 0, Onde G H = I J K ;./ M K, N = 0O, 17 termos./,./ A? e <./, A > representam, respectivamente, as integrais de volume e de superfície de campos escalares ou vetoriais. O segundo termo a esquerda da (17) pode ser dividido como sendo: <./, A > = <./, A > +<./, A > 18 O primeiro termo do lado direito da equação (18) se anula, pois = 0. O segundo termo do lado direito é uma condição de contorno natural, pode ser nula devido P = 0 ou pode se associar à quantidade global do tipo fluxo que está relacionada com a carga elétrica Q R (7). Desse modo, a equação (17) se torna,./,./ A? +<, A > = 0, Outra forma de escrever a equação (19) é dada por: % A +% A =0,? os 19 20 As equações (19) e (20) representam a formulação eletrostática fraca em potencial escalar elétrico. III. QUANTIDADE GLOBAL DISCRETA DO TIPO FLUXO A discretização da formulação fraca (19), usando funções teste, dá equações de sistemas simétricos regulares. Funções
teste & T, U V W, são tratadas classicamente, enquanto funções teste & X, Y $ X precisam de atenção [7]. O termo da integral de superfície em (19) tem, por função teste & X, igual a 1 (um) em X, uma contribuição igual para C,1 D Z e assim, o fluxo através da superfície Y $ X. Esta contribuição é nada mais que o oposto da carga elétrica total! X de Ω X (\Ω X X ). Então, para a integral de superfície sobre X em (19) pode ser substituído o valor da carga total! X, isto é [7], C, A D Z C,1 D Z -! X para A & X ] Ω,Y $ X 21 Para uma região fixa de potencial, (21) também pode ser usado para um cálculo eficiente de cargas na fase do pósprocessamento. Para isso, basta definir também as funções de base do tipo & X para essas regiões. Consequentemente, o cálculo da carga elétrica pode ser realizado, em média, pela integral de volume em (19), em uma camada de transição, ou seja [7],! X./,./ & X Ω, Y $ X 22 Esta abordagem está em perfeita concordância com a formulação fraca discretizada do problema, ou seja, com (19), e, com uma conservação de fluxo satisfeita somente fracamente. Em particular, este método permite um cálculo eficiente de capacitâncias em eletrostática, devido a uma definição coerente, tanto do potencial elétrico quanto da carga. O cálculo da carga baseado na integração de superfície explícita (ou seja, -./ ) seria afetado pela escolha da superfície de integração. Não há razão para a carga assim calculada ser igual à carga dada pela integral de volume na camada de transição, mesmo se a superfície de integração escolhida é a fronteira real do condutor [7]. Área do capacitor: A 0,0012 m K ; Distância entre as placas: d 0,01 m; Distância entre as placas com três dielétricos: dd b Bd c Bd b 0,002B0,006B0,002 0,01 m; Permissividade do vácuo: ε 8,85 10 fgk F m; Permissividade 1 (Porcelana): ε g 5,9 ε ; Permissividade 2 (Vidro): ε K 4,7 ε ; Permissividade (Plástico): ε b ε ; Diferença de potencial entre as placas: V000 V. O objetivo desse estudo é comparar os resultados analíticos com os resultados obtidos nas simulações com o Gmsh/GetDP e com o Flux D. As Fig. 2 e mostram as distribuições do potencial elétrico com três dielétricos nos softwares Gmsh/GetDP e FluxD, respectivamente. IV. SIMULAÇÕES E RESULTADOS Nesta seção é apresentado um capacitor de placas planas e paralelas cuja área é A e estão separadas por uma distância d. Uma bateria carrega as armaduras até que a diferença de potencial entre elas seja V, depois a bateria é desligada. Simula-se o capacitor com três dielétricos, de permissividades ε 1, ε 2 e ε, entre as armaduras do capacitor. A Fig. 1 mostra o capacitor estudado. Fig. 2. Distribuição do Potencial: Placas de capacitores com três dielétricos (Porcelana, Vidro e Plástico) no Gmsh/GetDP em três dimensões. Fig. 1. Modelo com três dielétricos em D. A Fig. 1 mostra o domínio Ω do modelo eletrostático estudado no Gmsh/GetDP e no Flux D. Os valores utilizados na simulação são: Fig.. Distribuição do Potencial: Placas de capacitores com três dielétricos (Porcelana, Vidro e Plástico) no Flux D em três dimensões. As Fig. 4 e 5 mostram as distribuições do campo elétrico no espaço entre as placas.
4 A Tabela I apresenta os resultados analíticos e simulados nos softwares Flux D e Gmsh/GetDP, respectivamente. TABELA I Resultados e Comparações do modelo eletrostático em D com três dielétricos Resultados Analisados Cálculo Analítico Simulação Flux D Simulação Gmsh/GetDP Potencial Elétrico V (V),000*10,000*10,000*10 Campo Elétrico E1 (V/m) 222,781*10 229,126*10 22,000*10 Campo Elétrico E2 (V/m) 279,661*10 279,80*10 280,000*10 Campo Elétrico E (V/m) 48,16*10 41,84*10 48,000*10 Carga Q (C) 1,959*10-9 14,027*10-9 1,966*10-9 Capacitância C (F) 4,65*10-12 4,675*10-12 4,655*10-12 Fig. 4. Distribuição do Campo Elétrico do capacitor com três dielétricos (Porcelana, Vidro e Plástico) no Gmsh/GetDP em três dimensões. Os erros são calculados com as seguintes equações: m1 % s< tttuíw"xy -< z{ }/z~w s < tttuíw"xy 100 27 m2 % < tttuíw"xy -< uh b < tttuíw"xy 100 28 m % s< z{ }/z~w -< uh b s < z{ }/z~w 100 29 A Tabela II apresenta os erros percentuais dos resultados dos cálculos analíticos e simulados no modelo de três dielétricos entre as placas do capacitor em D. TABELA II Erros dos resultados com capacitor D de três dielétricos Fig. 5. Distribuição do Campo Elétrico do capacitor com três dielétricos (Porcelana, Vidro e Plástico) no FluxD em três dimensões. Os resultados analíticos são obtidos das equações (2) a (26). O valor analítico da capacitância é determinado por [5]: $ j 2 Onde $ é a capacitância F); é a permissividade F/m); A é área da placa do capacitor m K ); e d é a distância entre as armaduras e o dielétrico (m), corresponde as distâncias d b e d c da Fig. 1. A carga é dada por:! $ # 24 Onde! é a carga livre nas placas C); e V é o potencial elétrico do capacitor V). O campo elétrico é expresso por: m! 25 j Onde E é o campo elétrico entre as armaduras e o dielétrico V/m). A permissividade do meio é calculada por: o 26 Onde ε é a permissividade no vácuo F/m); e ε p é a permissividade relativa do material, corresponde as permissividades de porcelana, vidro e plástico. Erros Erro1 Nota-se que os resultados analíticos foram próximos aos simulados, devido à simplicidade do modelo estudado. Na maioria dos resultados deste caso, os softwares livres Gmsh/GetDP apresentaram erros percentuais menores do que o software comercial Flux D. Os percentuais dos erros 2 e da tabela II do FluxD são maiores do que o Gmsh/GetDP. Deve-se fazer uma média aritmética na escala dos resultados do FluxD para obter o resultado. Enquanto, o Gmsh/GetDP mostra o resultado direto na tela como mostra a Fig. 4. V. CONCLUSÕES Erro2 Erro Campo Elétrico E1 (V/m) 0,098 2,848 2,747 Campo Elétrico E2 (V/m) 0,121 0,051 0,070 Campo Elétrico E (V/m) 0,01 1,48 1,408 Carga Q (C) 0,050 0,487 0,47 Capacitância C (F) 0,04 0,47 0,40 O estudo realizado no presente trabalho teve como objetivo a modelagem de capacitores de placas paralelas, através de uma metodologia computacional, de modelos matemáticos
5 tridimensionais, levando em conta as equações de Maxwell, as leis de comportamento dos materiais e as condições de contorno. Além da discretização dos campos pelo método de elementos finitos utilizando o método de Galerkin, destinados à análise de problemas de eletromagnetismo. Analisando as simulações, os erros são pequenos e muitas das vezes podem ser considerados desprezíveis. Assim, destaca-se a confiabilidade dos softwares livres Gmsh/GetDP em comparação com o software comercial Flux D, pois deve-se fazer uma média aritmética na escala dos resultados do FluxD para obter o resultado. Enquanto, o Gmsh/GetDP mostra o resultado direto na tela para a determinação de variáveis eletrostáticas. Na maioria das vezes medições reais são de difícil execução e sujeitas a erros de medidas. O MEF permite determinar parâmetros em dispositivos eletromagnéticos ainda na fase do projeto, de forma que, simulações computacionais, tais como as realizadas neste trabalho, contribuem para uma análise antecipada do funcionamento do dispositivo antes da construção do protótipo. Essa vantagem é mais evidente em dispositivos onde não é possível a construção de protótipos, como é o caso de máquinas elétricas e transformadores de potências elevadas. De uma maneira geral, este trabalho contribuiu com alguns estudos e análises que vão dar subsídios a trabalhos futuros, por exemplo, a modelagem e simulação de máquinas elétricas em D. Destaca-se a confiabilidade dos softwares livres Gmsh/GetDP para a determinação de variáveis eletrostáticas. E as formulações foram adequadas para a análise durante todo o processo de simulação do trabalho estudado. AGRADECIMENTOS A autora Juliana Almansa Malagoli agradece à CAPES pelos recursos destinados ao desenvolvimento deste trabalho de pesquisa. REFERÊNCIAS [1] M. V. Ferreira da Luz, Desenvolvimento de um Software para Cálculo de Campos Eletromagnéticos D Utilizando Elementos de Aresta, Levando em Conta o Movimento e o Circuito de Alimentação. Tese de Doutorado, Centro Tecnológico, Universidade Federal de Santa Catarina, 200. [2] P. Dular, Modélisation Du Champ magnétique et dês courants induits dans dês systems tridimensionnels non linéaires. Tese de Doutorado, Universidade de Liège, Bélgica, 1996. [] C. Geuzaine, High order hydrid finite element schemes for Maxwell s equations taking thin structures and global quantities into account. Tese de Doutorado, Universidade de Liège, Bélgica, 2001. [4] E. R. Arend, Estudo de Aterramento em Baixas Frequencias Usando a Formulação Eletrocinética Associada ao Método de Elementos Finitos. Dissertação de Mestrado, Centro Tecnológico, Universidade Federal de Santa Catarina, 2009. [5] G. C. Guimarães, Apostila de Conceitos Teóricos e Exercícios Propostos de Eletromagnetismo. Departamento da Engenharia Elétrica. Universidade Federal de Uberlândia, 2010. [6] A. B. J. Reece, T. W. Preston, Finite Element Methods in Electrical Power Engineering. Oxford University Press, 2000. [7] P. Dular, W. Legros, A. Nicolet, Coupling of Local and Global Quantities in Various Finite Element Formulations and its Application to Electrostatics, Magnetostatics and Magnetodynamics. IEEE Transactions on Magnetics, vol. 4, Nº 5, Setembro 1998.