0 Soluções TEMA : PRBABILIDADES E CMBINATÓRIA. Exeriências aleatórias: A, C e D Exeriência determinista: B....... acontecimento B.. acontecimento D.. Por exemlo, o acontecimento A....... A = {,,,, }, B = {0}, C = {,, }, D = {,,,,,,, 9, 0,, } e E = {}... acontecimento E... acontecimento D... acontecimento B... acontecimento A.. W = {,,,, }.. W = {,,,,, 9,,, }. Pág. Pág. W = {,,,, 9, 0} W = {azul, amarela, vermelha, verde} W = {, 0, 0,, 00, 0,, 0} Pág. Pág. Tarefa.. 9 9 0 9 0 9 0 Pág. Pág. W = {,,,,,,, 9, 0,, } A.. A B = {, }.. A = {,, }.. W \B = {, 9}.. A B = {,, 9,, } B W..... A B = {,,,,,,, 0}... B C = {, }... C = {,,,, 9, 0}... A\C = {, }... C\A = {, } Tarefa. W = {(, 0), (, ), (, ), (, ), (, 9), (, 0), (, ), (, ), (, ), (, 9), (, 0), (, ), (, ), (, ), (, 9)}. A = {(, 0), (, 0), (, ), (, ), (, 0), (, ), (, ), (, )} B = {(, 0), (, ), (, ), (, ), (, 0), (, ), (, ), (, 0)} C = {(, 0), (, ), (, ), (, 9)} A = {(, ), (, ), (, ), (, 9), (, ), (, 9), (, 9)} B = {(, 9), (, ), (, 9), (, ), (, ), (, ), (, 9)} C = {(, ), (, ), (, ), (, 9), (, 0), (, ), (, 9), (, 0), (, ), (, ), (, )}. Pág. Pág.... B e C... A e B.............. s acontecimentos A e B não são contrários orque, embora A B = {}, A B 0 W. Pág. 9 Tarefa.. A afirmação é falsa. s acontecimentos A e B são comatíveis orque A B 0 {}... A afirmação é verdadeira. s acontecimentos A e C são comatíveis orque A C 0 {}... A afirmação é falsa. s acontecimentos B e C não são contrários orque B C 0 W... Em nenhum dos lados da eça há ontos... A soma dos ontos dos dois lados da eça é maior ou igual a mas diferente de... Num dos lados da eça há ontos e a soma dos ontos dos dois lados da eça é maior ou igual a.. E : A soma dos ontos dos dois lados da eça é igual a...... 0. A 9.. A eça II. A eça III.. A eça I B \C = {(, ), (, ), (, ), (, 0), (, ), (, 0)} C 0 B W NEMA-P Porto Editora
0 NEMA-P Porto Editora Pág. 0 9... 0% 9... 0% 9.. 0.. 0... % 0... 9% 0... % Pág.. A máquina B... Falsa... Falsa... Verdadeira... 0,...... 0,... 0, Pág. Tarefa.. 0, A % N.º de exeriências % % 9% % % % %. No saco há bolas vermelhas e bolas retas. Pág.. % de sucesso. À medida que aumenta o número de testes realizados, a frequência relativa do sucesso da vacina tende ara 0,. Pág... W = {,, } ; P ({}) = ; P ({}) = ; P ({}) =.. W = {,, } ; P ({}) = ; P ({}) = ; P ({}) = C Bola vermelha N.º de ocorrências B Freq. relativa f r (V) W Bola reta N.º de ocorrências Freq. relativa f r (P) 0 0, 0, 00 0, 0, 0 0, 0, 00 0, 0, 00 0, 9 0, 0 0 0, 9 0, 000 0, 0,........... P (B) = 0, ; P (C) = 0,.. 0.. 0,.......... Sair bola vermelha... Sair bola reta... Sair bola vermelha ou amarela... Não sair bola amarela. 9.. bolas brancas 9.. ito bolas retas 0. 9.......... Tarefa.. 0,.. 0,.. 0,...... 0...... Tarefa.... *... 9...... *... W = {,,, }... s acontecimentos elementares são equirováveis ois têm a mesma robabilidade de ocorrer.. Pág. Pág. Pág. 9 Pág. 0 Pág.
0 Soluções Pág. Pág... 0 000.. 0 -........... Pág... 0 9.. 0............ Pág. 0 Tarefa.. Falam inglês Não falam inglês Falam ortuguês 0 Não falam ortuguês 00 00......... 00 0 0......... 9 9 9.. A : Estar inscrito nos cursos gerais. e B : Ser raariga. NEMA-P Porto Editora 9.. A e B não odem ser acontecimentos contrários orque P (A) + P (B) 0. 9.. P (A B) 0, 9.. P (A B) 0, 0.. Falsa 0.. Verdadeira 0.. Falsa. P (A) = e P (B) = Pág....... 0 0. 0,. 0, Pág. 0 Tarefa.. 0.. 0,.. 0,.. Por exemlo, A : Sair um ás. e B : Sair uma carta de coas. P (A B) = 0,0 A A B B 0......... Tarefa 9..... Tarefa 0. Há dois casos favoráveis e casos ossíveis. P (B A) =. 9.. Pág. Pág..ª extração.ª extração Pág. 9.............. 0.. Pág. 0.. P (B A) = e P (A B) =.. Azul 9.. A e B são incomatíveis ois P (A B) = 0. 9... 0 9... 0.. B A : Ter erdido o comboio dado que acordou tarde. A B : Ter acordado tarde dado que erdeu o comboio. 0.. 0, P (V A ) = = P (A ) = P (A A ) = = P (V V ) = P (V ) = P (A V ) =...... 0...... 0
09 NEMA-P Porto Editora............ Pág......... 9.... Pág... 0.... 9... 0,.. 0,.. 0, Pág.. 0,0.. A e B são indeendentes... 0, 9. 0, Pág... 0,00.. 0,0.... 0.. A e B não são indeendentes orque P (A B) 0 P (A) * P (B). Pág... 0,999 Pág. 9 Tarefa.. %... P (C) = 0, e P (D) = 0, ou P (C) = 0, e P (D) = 0, Pág. Proosta.. W = {,,, }.. W = {vermelha, amarela, azul}.... W = {,,,,,, } A... B e C... A e B... A e C Proosta.. W = {azul, verde}.. Não. P (Sair azul) 0 P (Sair verde).. W = {,,,,,, }...... NEMA-P Proosta. W = {(E, E), (E, N), (N, E), (N, N)}. Sara Proosta.. A = {,,, }, B = {,,,,,,, }, C = {} e D = {,,,,, } Acontecimento elementar: C.. A e B.. A e D. Falsa Proosta. A e B são comatíveis.. A e C não são comatíveis. Proosta. W = { ;,0 ;,0 ; }.. D.. Não existe.. C. A afirmação é verdadeira. Proosta.. A B : corre número ímar não suerior a... A C : corre número ímar ou número menor que... B C : corre número não suerior a e não inferior a..... 9 9.. Proosta. bolas.. 0 9.. 9 9.. Proosta 9.. 0.. (verde, amarela) ; (vermelha, amarela) ; (reta, amarela) ; (azul, amarela)........ Proosta 0.. A C = { (, ), (, ), (, )}.. B D = {(, ), (, )}.. A C = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}.. A C = {(, ), (, ), (, )}. Pág. Pág. Pág. P (A) = ; P (B) = ; P (C) = ; P (D) = 0 9
0 Soluções Proosta Proosta.. 0%.. %.. %.. 0%.. Proosta. 0, Proosta. 0, Proosta. A e B não são indeendentes... 0,.. 0, Proosta (B) Proosta.. I : W = {amarela, azul} II : W = {,,,, }.. I : {amarela} e {azul} II : {}, {}, {}, {} e {}. Exeriência II Proosta. (D). (A) Proosta 9.,%.,%. 9,0%. 9,%.,% Proosta 0.,%. 0,% Proosta.... Proosta.,%. Pág. Pág. Pág. Pág. 0 9 Pág. 0 Parte Questões de escolha múltila. (B). (D). (A). (C). (B) Pág. Parte Questões de resosta aberta....... roduto ser. e roduto ser.... roduto ser.... 0... Pág.. 0...... 0 Pág... 00............. Pág. 9.. 0 000 9.. 09 9.. 0. 0 Pág. Tarefa.. 00 000... 000..... 000.. 0.. 0 000 Pág... 90.... 9!!....! 0! Pág... 0... 0.. 0!.. 0 NEMA-P Porto Editora Proosta. Pág. 9.. 0.. Pág... 0.. 0.... 0......
Pág. 9 Tarefa............ 0.. 0 0. A resosta correta é a A. Pág. 0 Tarefa.. 0 0.. 0........ 0.... Pág. Tarefa.. 9 0........ 0.. 9........ 0... 0.. Pág. 9 Pág.. 9. 0.. 0 Pág.... 0.. 0 00.. 00.. 0 00.... 0 Pág....... 0 Pág. 0...., e.. 9, e 9. 0.. ; 0.. 0.. ; 0.. ; 9.. NEMA-P Porto Editora.. 9...... 9.. 0 Pág. Tarefa.. 00.... 0.. 0 00.. 000.. 0 Pág. Tarefa... 90 0... 00.. 0........... Pág. Tarefa.. 0... A afirmação é verdadeira. Pág..... 09. e 0.... 9 Pág. Tarefa 9. a =, b = 00 e c = 0..... 9...... Pág............. x + x + 0x + 0x + x + + x + x + x + x y - y + 0y - 0y + 0y - 9y + x - 0x y + 0x y - 0x y + 0xy - y Pág. + 0x + 0x + 0x + 0x + x 0 - x + 9x - x 9
Soluções.. x.. 0.. Não existe 90.. 90.. 0x 9.. 9 9. 9. Tarefa 0............. 9........... 0,0.. 0,0.. 0, Tarefa....... Tarefa.. x Pág. h (x) = x + x + x + x + x + Pág. Pág. Pág. Pág. 9 P (A) =, P (B) =, P (C) = 90 Tarefa............ 0 9. Tarefa. x i 0.. 0,,,,, e.. x i 0.. Antunes.. jogadas..,, e.. x i.. Pág. 9... ) 0,... ) 0,... ) 0, Pág. 9 9.. 0,, e 9... x i 0 9... x i - - 0 P (X = x i ) P (X = x i ) 0 C C P (X = x i ) P (X = x i ) C * C C C * C C C * C C C * C C C * C C P (X = x i ) 0, 0, 0, 0, x i 0 P (X = x i ) C * C C C NEMA-P Porto Editora Pág. 9 9.. % 9.. Grau de satisfação Frequência relativa 0,0 0,0 0, 0, 0, 99. Pág. 9 00. m = e s ), s = 0,9 0. Dois dos vértices têm o número e os outros dois têm os números e. 9.. m = 0, 9... 0, 9... 0, 9... Pág. 9 9.. A variável X ode tomar os valores, e. 9.. Pág. 9 0. jogo não é justo orque o valor médio não é igual a zero. 0.. x i 0 00 00 000 P (X = x i ) 0.. m ), e s ),9 0..
NEMA-P Porto Editora Pág. 00 9 0.. 0.. 0.. 0.. ) 0, 0.. ) 0, 0.. ) 0,0 0.. 0.. Pág. 0 0. A afirmação é falsa. 0. ) % Pág. 0 Tarefa... 0,... 0,09... ) 0,... ) 0,... ) 0,. x i 0.. n C * 0, * 0,9 n-.. Pág. 0 n C k * 0, k * 0,9 n-k Tarefa.. 0,.. x i 0 m = 0, e s ) 0,9..... 0,9 9... 0,... 0,9 9.... ) 0,000 00 ) 0,0.. m = e s ),.. 0 Pág. 0 09.. ),% 09.. ),% 09.. ),9% 09.. ),% Pág. 0 x i 0 P (X = x i ) 0, 0, 0,09 0,00 x i 0 P (X = x i ) 0, 0, 0, P (X = x i ) 0, 0,9 0,0 0,00 0,000 P (X = x i ) 0, 0, 0,09 0,00 Tarefa... ) 0,... ) 0,0... ) 0,.... ) 0,.. ) 0,.. ) 0,9.. ) 0,9.. ) 0,0.. ) 0,09.. ) 0,0 Pág. Tarefa... ) 0,... ) 0,0... ) 0,...... ),%.. ) 0%.. ) 0,00%.. 0...... Pág. Proosta.... 9 00 Proosta..... 9.. Proosta 000 Proosta. 00.. 00 Pág. Proosta jogos Proosta.. Proosta.. 9...... Pág. Proosta 0 Proosta 9 Não Proosta 0 (B) Proosta (B) Pág. Proosta. (B). (A) Proosta. 0.. Proosta. 0.... 9..
Soluções Proosta... 99 Pág. Proosta. 0. 0 0. 0 0 Proosta.... Frente a frente: ; lado a lado:... Proosta........ Pág. Proosta (B) Proosta (A) Proosta 9 (A) Pág. 0 Proosta 0.... 0 0... 0..... Proosta.. 0.. 0.. 0.... NEMA-P Porto Editora Proosta 9.... 000.... 0.... Proosta 0. 0. 0..... Proosta. 0 0.... Proosta (D) Proosta (B) Pág. Proosta. 0 000.. 0.... 0 000.. Pág. 9 Proosta. 00...... 0 Proosta 00 9... - = Proosta.. Proosta.... 0.. 0%.. 0% Proosta........... 0% Proosta. (A). (A) Proosta (B) Proosta (A) Proosta 9 (B) Proosta 0 (C) Pág. Pág. Pág. Pág.
Proosta..... Proosta, e ; soma = Proosta. x Proosta. 0x. 0x Proosta (D) Proosta (A) Pág. Pág. Pág. 9 Proosta...... 9,.... 0% Proosta.. Valores da variável X : 0,,, e.. 9 x i 9 0 P (X = x i ) y i 9 0 P (Y = y i ) Proosta (B) Proosta 0 m =, e s ), Pág. Proosta (D) Proosta x i 0 P (X = x i ) 0, 0, 0, 0, Pág. 0 Proosta (B) Proosta 9 (C) Proosta 0. %. % Proosta. 0,. ) 0,. Pág. ) 0, NEMA-P Porto Editora Proosta Proosta.. Proosta..,%. Pág. x i 0 P (X = x i ) m =, e s ), x i 0 P (X = x i ) x i 0 P (X = x i ) Proosta., * 0 eças..,%..,%.. 9,% Proosta.......... ) 0,9.. Pág. x i 0 0 0 0 P (X = x i ) Parte Questões de escolha múltila. (A). (A). (A). (C). (B). (A) 9 ) 0,0
Soluções Parte Questões de resosta aberta...... 0.. ) %.... ) 0,000.. ) 0,0. Pág... x i - P (X = x i ) 0, 0, 0,.. m = - 0,. No final de 0 jogadas estima-se que haja um rejuízo de. Pág.. y = ( ) x " d; y = x " a; y = e x " c; y = x " b.. 0 -.. -.... -.. -.. ( ) - a a - a - a 0 a. < < < <a, < Pág............. Pág. NEMA-P Porto Editora 0.. x = 0.. x =- 0.. x =- TEMA : INTRDUÇÃ A CÁLCUL DIFERENCIAL II Pág. Tarefa. Nove essoas. D (x) = x, x å N.. f (x) = x +, x år 0... 9... Pág. 9. I h ; II f ; III g ; IV j Pág. 0.. y g f 0.. x = - 0.. x = 0.. x = 0.. x = 0.. x =- x = 0 0.9. x =- x = 0 0.0. x = 0 x = 0.. 0.. x = - x =.. e.. Pág............... x å..... -..... A = [ -, 0[.. D' f = ] -?, ] ; D' g = ]0, e ].. x = - ] -, ] x å [ -, +?[ x å ] -, +?[ x å -?, - x å x å ] -?, 0] x å [0, ], 9 x å [0, ] x å ] -, [ e, +? Pág. gráfico de g é simétrico do gráfico de f em relação ao eixo das ordenadas... f é estritamente crescente e g é estritamente decrescente... a =.. y =.. ; ; assíntota horizontal: y =-.. D g = R ; D' g = ]-?, [ ; assíntota horizontal: y =.. ; ; assíntota horizontal: y = D f = R D' f = ]-, +?[ D h = R D' h = ], +?[ x Tarefa...... cm B,... x = -... x = -.., cm.. D f =R; D' f = ]-?, [ ; assíntota do gráfico de f : y = D g =R; D' g = ]0, +?[ ; assíntota do gráfico de f : y = 0... x å [, +?[... x å ]-?, 0[... x å ]-?, [.. k = Pág. Tarefa.. A = 0 cm e P = cm
NEMA-P Porto Editora... A razão entre as áreas é.... A razão entre os erímetros é... - D' f... a ),... b ) - 0,........ Falsa.. Verdadeira.. Verdadeira.. Verdadeira.... +?.. +?.. 0.. 0.. +?.. +?.. -?.. -? 9.. 9.. 9.. 9.. - 9.. - 9.. - 9.. - 9.. - 0.. 0.. x å ]-?, - ] [, +?[ x å ]-, 0[ x å ]-, 0[, +? Pág. Pág. Pág. 9 Pág. 0 x a log a x 0 9 0,00 0-00 000 0. e x a y = a x log a y - 0, - A, 9 B (log, ).. x = ln.. x = - + log.. x = 0 x = ln.. x = log.. x = 0 x = ln.. x = log.. x =.. x = 0,.. x =.. x = e.. Pág.. A (0, ) ; B (log, ) ; C (, log ) ; D (, 0).... -.. k = Pág... e D' g = R.. e.. e D' g = R.. ] -, +?[.. ]0, +?[\{9}........ 9. log 0, < log < log < ln < ln 0.. 0.. [, +?[. b < a < c.... 0...... f - : ] -, +?[ "R x + In (x + ).. h - : R"R + x e x-.. h - : R"], +?[ x + e - x.. h - : ], +?[\{} "R\{0} x log (x - ).. h - : R\{0} "R + \{} x e x Tarefa.. a x y log a A P = log a x + log a y 9 9 0 0 0 e e e 0 0.. D g = ]-, +?[ D g = ]0, +?[ D' g = R 0 + Pág. Pág. Pág. D g = ]0, +?[ ] -?, - [ ], +?[ [, +?[ 0, [ -, [ ] -?, 0[ log a (xy) = log a x + log a y
Soluções.... Pág. log a x n = n log a x.. ln e =.. log = 0.. log ( - ) =-.. log ( ) =.. = log.. log =.. e In b = b, (b år + ).. = ln (e ).. = log.. = log.. log,.. log.. log.. ln (, e ).. log 9.. - 9.. 9.. Pág....... - Pág. 9 Tarefa.. - 9..,.. 0..,..,... -.. D f = ]0, +?[ e D g = R\{0}.... f (x) = ln (x ) f () = g () = ln () ; não existe f ( ) e g (- ) = ln ().. Não, orque D f 0 D g... h.. ]-, [ Pág. 0.. x = 9.. x =.. x =.. x =.. x = e x = e.. x = - x =.. x =.. x =-. a =., Pág. n x l = log x P = n log x log x n 0 0 = j = - log.. ], [.... ], +?[.. ]0, [.. ], [.. ], e - [.. e, +?.. ], +?[.... ]0, e[ ] -?, - e[ -, 0, + Pág. 9.. 9... 9... D f = -?, 0, +? x å -?, -, +? x å -, 0, 0.. x å ], [ 0.... D' g = ]0, ].. Pág. Tarefa.. 0.. 00....,.. ), anos.. acréscimo de reço, de um ano ara o outro, é dado or log + 9. 9t +.. litro.. A afirmação é falsa... 9 horas Pág. Tarefa.. H vai diminuindo, tornando-se mais ácida a bebida.... ), * 0 - mol/l... A concentração de iões hidrogénio na água mineral é aroximadamente vezes maior que a concentração de iões hidrogénio existente na água ura... H sofre um aumento de uma unidade. Pág... 0. 99 Pág. x å 0, e D' h = ]-?, ].. +?.. +?.. 0.. +?.. 0.. 0.. 0 Pág. Tarefa.., bar.. horas, minutos e 0 segundos.., mg/l.. 0. Com o assar do temo a concentração de fármaco tende a desaarecer... a ), e b ), Pág. Tarefa 9.. Q e a = 0 = 0.. ), mg.. 9 horas e 0 minutos...,0 m..., m NEMA-P Porto Editora
9 NEMA-P Porto Editora Pág. 9 Tarefa 0.... 0 - W/m.. nível de intensidade sonora sofre um acréscimo de db.... n = log,0, +... 0 Pág. Tarefa. a = 000. k ) 0,.. 90.. 000, orque lim N (t) = 000. t " +?.. Seis dias.. Há ossibilidade de 0% dos animais serem afetados, mas não 0%. Pág. Tarefa.. 0.. Aroximadamente.. A afirmação é verdadeira, orque a reta de equação y = 90 é uma assíntota horizontal do gráfico da função P... 00.... 0.. Não. número de ninhos tende ara 9000. Pág. Proosta (B) A Proosta. {- }. {}. {}. {}. {-, 0}. {}. {}. {9} -, 9. 0. {} Intensidade (watt or metro quadrado, W/m ) Nível da intensidade sonora (decibéis, db) Limiar da audibilidade 0-0 Sussurros * 0-0 Trânsito intenso numa cidade * 0-9 Martelo neumático * 0-9 Música forte 0, 0 Limiar da dor 0 Reator 9 9 Proosta. f III ; g II ; h I. ; ;.. Não existe.. (0, - ).. (, ).. A = ]0, +?[.. Proosta... Proosta.. -... A = [-, 0] Proosta. ; B (0, ). Pág. Proosta D' f = ]0, +?[ k = - D' f = -, +? A, A -, -?, - -?, D' g = ]-, +?[..... ; assíntota horizontal: y = Pág. D' h = ], +?[ Proosta.. f (x) = + x + ; a = ; b = f (x) = * -x + ; a =- ; b =-.. f (x) = - x+ ; a = - ; b = f (x) = + -x+ ; a = ; b = -.. f (x) = - 0 * x+ ; a = - 0 ; b = f (x) = - * x+ ; a = - ; b =.. f (x) = - * -x+ ; a = - ; b = - f (x) = - * -x+ ; a = - ; b = -.. f (x) = + 0 * x+ ; a = 0 ; b = f (x) = + 0 * x+ ; a = 0 ; b =.. f (x) = - * -x+ ; a = - ; b = - f (x) = - x+ ; a = - ; b =.. f (x) = - * -x+ ; a = - ; b = - f (x) = + * -x+ ; a = ; b = -.. f (x) = + * x+ ; a = ; b = f (x) = - * x+ ; a = - ; b =. f (x) = - * -0,x+ ; a = - ; b = - 0, Proosta 9. 0 minutos e segundos D' h = ]0, +?[ B = ], +?[,
0 Soluções Proosta 0.. D f = R e D' f = R + ; D g = R e D' g = R + ; D h = R e. ; assíntota: y =- Proosta.. [-, +?[. +? Proosta. f é não injetiva. Por exemlo, 0 0 e f (0) = f... g ç f : Proosta. 000 eixes. Aroximadamente, 9 eixes.. Seis. Com o assar do temo, o número de eixes tende ara 000. Proosta.. 900 eças Proosta.,0 ml. As condições (A) e (C) são satisfeitas e a condição (B) não é satisfeita. fármaco teve sucesso. Proosta. -.., cm 9 Proosta. e. D' h = ]-?, [ j (x) = x+ - ; D' j = ]-, +?[ y = x " y = x - " y = x+ - Pág. Pág. D' f = ]-?, [ D' f = ]0, e] y - - - - 0, " R x e x-x - D' f = ]-?, ] D' g = ]0, e ] x å ]-, [ g f x h y - - - - - - - - f x Proosta.., cm Proosta 9. 0 Proosta 0. -. 9. -... Proosta (D) Proosta (A) Proosta (A) Proosta (A) Proosta. (A). (D). (B) Proosta.,. - 0., Proosta. x =-. x = - e. x =. x = ln. x =. Pág. 9 Pág. 0 Pág. x å ]-?, - [ ], +?[ x = - x = - x = x =. x = 0 x = e -. 9. x = 0. x = x = Pág. Proosta. D e D' ; e D' g = R + f = D g = R 9, +? f = R. x = - e x =. s gráficos intersetam-se nos ontos de coordenadas (-, ) e., -. A função f não é invertível dado que não é injetiva. A função g admite como inversa a função g - definida or: g - : R + "R Proosta 9 (B) x - log (x) x = e - x = e NEMA-P Porto Editora
NEMA-P Porto Editora Proosta. ], + e ]. ], ]. ], 0[. ], [ ]e -, +?[ Proosta... A ( + log, 0).. A( + log, 0). ]-, [. Proosta. Por exemlo, k =. Por exemlo, k =-. Por exemlo, k =- Proosta., cm Proosta.. Proosta. ln. D g ç f = ]-, +?[.. Proosta.... A (, 0). Pág. Pág. Pág. h - : -?, D' g = -?, D h = ], +?[ x = e + e. a ) 0, " R x - In ( - x) x -? - In +? h (x) - 0 + g - : R ", +? x + ex D f = ], +?[ a = - Proosta. 00. N (t) = 00 * t. 000. 9 horas e 0 minutos Pág. Proosta 9. 00 eixes. 0. Com o assar dos dias, o número de eixes mortos nas margens da ribeira tende a desaarecer.. dias Proosta 0,M +,. E = 0. ), * 0 ergs. M =, Pág. Proosta.. ) anos.. 00 anos.. ) mg.. ) 00 anos Pág. Parte Questões de escolha múltila. (A). (D). (B). (C). (C) Pág. 9 Parte Questões de resosta aberta.. 900 m.. Aroximadamente, 0 m... h.. Aroximadamente, h min... f e g não são iguais orque D f 0 D g... x =. k = 0,.. g (x) = x 9 - x ; x å ]0, [.. P (, ;,)
Soluções TEMA INTRDUÇÃ A CÁLCUL DIFERENCIAL II (CNT.) Pág. 9............ - + - 0 +.... -.. 9.. 9.. 9.. Pág. 0 +? -? NEMA-P Porto Editora... Por exemlo, a n = +. n... Por exemlo, a n =. n... Por exemlo, a n = -. n... Por exemlo, a n = - -. n 0.. - 0.. - 0.. 0 Pág. Pág. 0 Tarefa.. lim (v n ) = -? e lim (f (v n )) = -... lim (w n ) = + e lim (f (w n )) = +?... lim (t ) e lim (f )) n = - (tn = -?... Existe. lim g (x) = x ".. Não existe orque lim g (x) 0 lim g (x). - x " x " +........ +?.. -?.... 0 Pág........ I: Verdadeira; II: Falsa; III: Verdadeira Pág....... -? 0.... (C).. -? Pág............. 0.. a = -.. a = Tarefa........ lim f (x) = x " Pág..... -.. -.......... +?.. -?.. +?.. -?.. 0 Pág....... +?.. 0 se x >.. g (x) = - se x <.. +?.. +?.. +? lim g(x) = x " lim f (x) + lim g(x) = + = x " x " lim f (x) * lim g(x) = * = x " x " lim f (x) - lim g(x) = - = x " x " lim f (x) : lim g(x) = : = x " x " lim (f + g)(x) = x " lim (f * g)(x) = x " lim (f - g)(x) = x " lim (f : g)(x) = x "
Pág..... -?.. +?.. 0 Pág. 9.... Não orque lim f (x) = +? e lim. g g f (x) = -? 9.. 0.. 0...... +? - - x " - x " + Pág. 0.. 0.. 0 0.. -? 0.. 0.. - 0.. +? 0.. -?.. n = e a =... n = e a å R \{0}... n > e a > 0... Por exemlo, f (x) = x - e g(x) = x... Por exemlo, f (x) = - x + x - e g(x) = x -... Por exemlo, f (x) = x - x + e g(x) = x -. Pág. NEMA-P Porto Editora Pág. 0.. -.. -.... -.. +?.. R 0 + \{9}.... [-, +? [ \{}...... - Pág... +?.. +?.. +? Pág... +?.. -?.. -?.. -?.... -? Pág... +?.. 0.. 0 9.. -? 9.. 0.. 0.. -.. 0.. -? Tarefa.. Por exemlo, g(x) = x... Por exemlo, g(x) = x - x +... Por exemlo, g(x) = x + x -... Por exemlo, g(x) = x... R \{0}...... -...... -..... 0... 0... +?... +?.. R + \{e}... 0... -?... +?... 0.... Pág. ]-?, 0[, +? ln x + e se x > 0 f (x) = se x 0 x - k = e
Soluções Pág. Tarefa.. eradora A... 0,0... 0,0... 0,0... 0,0... 0,... 0,0.. lim x " -.. f () = lim x " +.. lim x " -.. h () = lim x " + Pág.. A função é descontínua ara x = - e ara x =... É contínua... É descontínua... É contínua. Pág. 9........ a = - e b =. lim g (x) = x " - g () = lim g (x) = x " + lim j (x) = x " - j () = lim j (x) = x " +... - a - se x å [-, - [ d d - se x å [-, 0[ d 0 se x å [0, [... f (x) = b d se x å [, [ d se x å [, [ d c se x =... x = - ; x = 0 ; x = ; x = e x =... D h = R \{0}.. Sim Pág. Tarefa.. A(0,) e B(e, )... a = - e b =. e..., m... Houve aragens dos trabalhos nos. e. dias aós o início dos mesmos. Esses dias coincidiram com uma. a feira e uma. a feira.... 0 m. A reta y = 0 é assíntota horizontal do gráfico da função. Pág. Tarefa. Em qualquer uma das modalidades oderia ter ago or uma encomenda. Quanto à que custou,0 foi necessariamente na modalidade A.. Entre 00 km e 00 km.. Não. Por exemlo, na modalidade B a quantia de,0 não corresonde a qualquer distância. NEMA-P Porto Editora Pág. 0 9. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Falsa 0... Verdadeira 0... Falsa Pág... Pág. k =.. As funções f e g não são contínuas em x = orque f (x) 0 f () e lim g(x) 0 g(). lim x ".. II e III. Pág... D f = R. Descontínua em x = 0.... Descontínua em x = 0... D f = ]-, +? [ \{}. Descontínua em x = -. Pág....... D f = R \{} x ". I: Verdadeira; II: Falsa; III: Verdadeira 0.. Não 0.. Não 0.. Sim. Pág. Pág. 9 Pág. 0 k å ]-?, 0[ ], +?[ Tarefa.. Por exemlo, t å [, ;,], isto é, entre h min e h min.. I: Falsa; II: Falsa; III: Falsa; IV: Falsa... Não, orque f não é contínua ara x = 0. Pág. Tarefa. asseio da Rita demorou cerca de minutos e o do Pedro minutos.. Aroximadamente, m.
Pág. Tarefa 9... +?......... -?.. y = e x = 0... R \{- }... +?... -?.. Não... +?... -?.. Sim (x = - ) Pág. Tarefa 0. Exeriência A : C ; exeriência B : C. lim f (x) = +? e lim g (x) = +?. Significa que, se a x " +? x " +? exeriência se rolongasse no temo, as temeraturas aumentariam semre tendendo ara +?.. x (em minutos) Com o decorrer do temo, as temeraturas tendem a aroximar-se. Pág... A reta x = não é assíntota e a reta x = - é assíntota... A reta y = 0 é assíntota horizontal... y = -... +?...... 0 f (x) = x + x + x + g(x) = x + f (x) - g (x) 0, 0, 0,09 0,09 00 0,090 0 0,090 00 0,0099 0 0,0099 00 0,00 0 0,00 Pág... x = -.. y = x - 9.. É descontínua. A reta x = - é assíntota vertical do gráfico de f. 9.. (, - ) Pág. 0.. R \{- } 0.. As retas x = - e x = são ssíntotas do gráfico de h. 0.. y = e y = x.. x = ; y = x + e y = - x -... y = x.. y = x e y = x... y = - e y = - x -... y = - e y = x +... y = e y = x. Pág.. x = 0 ; y = 0 e y = x.. x = e ; y = 0.. x = 0.. y = 0...... x = 0 ; y = 0 e y = - x +. Pág. 9.. A função que está associada a k =... y = e y = x +. 9.. R \{} 9.. x = e y = -. Pág. 0 R \{0} Proosta (B) g (x) = 0 se x = 0 f (x) se x 0 Proosta.... -.. -?.... 0 NEMA-P Porto Editora Pág... +?.. -?.... -?.. 0.... 0.. Por exemlo, k =... Por exemlo, k =. Proosta (C) Pág. Proosta. Não, orque lim g(x) 0 lim g (x). - x " x " +
Soluções Proosta. (A). (C) Proosta (C) Proosta (D) Proosta 9. 0.. 0.. Pág.. 0 +? -?.. 9. Proosta.. Verdadeira.. Verdadeira.. Verdadeira. Por exemlo, Proosta. D f = R \ {0}. +? - 0 Pág. Pág. k = - k = h(x) = se x 0 x 0 - - se x = - se x = NEMA-P Porto Editora Proosta 0.. 0. -?... Proosta.. - +? -? Pág. m = - 0 m = 00 9 Proosta. 0 Proosta. Não, orque lim f (x) 0 lim. - x " x " +. Não é contínua. Proosta. A função g orque é descontínua ara t =. Proosta... k = - log.. Proosta 9 (D) Pág. Proosta 0. I. y II. k = 0 y.... +? x x Proosta.. +? III. y. x. -. -?. -. I. e III.
Proosta. ]0, ; 0,[ Pág. Proosta (B) Pág. Proosta (D) Proosta x = 0 ; y = 0 Proosta (B) Proosta 9. Não. A função é contínua e tem domínio R.. 0. gráfico de f tem elo menos uma assíntota oblíqua (y = x). Pág. 9 Pág. Tarefa.. I: 0 h ; II: h 0 min.. km/h.. Não, orque d() = 00... Nas duas rimeiras horas de viagem, o Ricardo ercorreu, em média, km or hora.. A afirmação á falsa. A velocidade média nas duas últimas horas é de km/h e de todo o ercurso é de 0 km/h.. 0 km/h. ;. No instante em que tinha decorrido h a velocidade era de km/h e no instante em que tinham decorrido h a velocidade era de km/h.. Não. No instante em que se comletaram duas horas de viagem a velocidade era de km/h. Pág. 0.. - 0,0 or mês. Nos rimeiros quatro meses as ações desvalorizaram, em média, 0,0 or mês. 0.. A afirmação é falsa. Aenas se ode afirmar que a cotação das ações no final do. e do. mês é a mesma. Proosta 0. Por exemlo:. P (, ). - y Proosta. D f = ]-?, - [ ]0, +?[. - Proosta - x. B, -. a ) 0,9 Pág. NEMA-P Porto Editora. (D).. (A).. (B). (A). (C). (B).. Não, orque não existe lim. x ".. Por exemlo, g(x) =. x........ x = e ; y = 0.. Pág. 0 Pág. y = x R + \ e x ),. I: Falsa; II: Verdadeira; III: Verdadeira...... y = x -...... -.. y = x - Pág. Tarefa. 9 db. 0, db/00 rotações. ),0 db/00 rotações. Nível de ruído Rotações/min Moderado 00-000 Alto 000- Muito alto -0 000. 0 rotações/minuto
Soluções Pág. Tarefa... Quando o raio aumenta de ara, o volume aumenta, em média, unidades de volume or unidade de comrimento.... Para um acréscimo de uma unidade no raio, naquele instante corresonderia um aumento de unidades no volume... Sim.. Não.... g'() = y = - x -.. C.. Durante a. a hora... t.m.v. [0, ] =-, C/h.. T '() =-, C/h.. C......... D = [-, [ \{-,}...... - Pág. f ' : R \{0} " R x - x f ' : R \{} " R x x se x se x > f ' : R \{} " R se x > x - se x < NEMA-P Porto Editora Pág. 9.. g'( + ) = e g'( - ) = -. Não existe derivada em x =.... -..... Não orque f '( - ) 0 f '( + )... Sim. Toda a função derivável num onto do seu domínio é contínua nesse onto..... f ' : R \{} " R se x > x x - x + se x < f ' : R \{0} " R x - se x > 0 x (x - ) se x < 0 Pág. 0.... y = x -.. Pág. 9.. Sim, orque não existe lim f (x). x " 9.. +? 9.. São diferentes. 0... +? 0... +? 0... +? 0... -? 0... Negativo 0... Negativo Pág......... - - Pág. Tarefa. (B). (A) Pág....................... f '(x) = f '(x) = - x + x f '(x) = - x + 0x - f '(x) = 9 x - + y = x - y = - - a = Pág. f '(x) = - x + g'(x) = x - h'(x) = - x + x + x.. i'(x) = - x + 0 x + x
9 9. 90.. 90.. 9. 9.. - 0 - Pág. f '(x) = x Pág. 0 0. (h + j)'(x) = - x x 0.. f '(x) = (x - ) 0.. f '(x) = ( - x) - x 0. 9.. f '(x) = x Pág. NEMA-P Porto Editora 9.. 9.. 9.. 9.. 9.. 9.. Pág. 9. 9.. 9.. 9.. 9.. 9.. 9. 9.. 9.. 9.. 9.. g(x) = x + e f (x) = x. 9.. g(x) = x - e f (x) = + x. 9.. g(x) = x - e f (x) = e x. 99.. 99.. 00.. 00.. f '(x) = - 0 ( - x) f '(x) = ( - x)(x - x ) f '(x) = x - x f '(x) = (x + ) f '(x) = x + x + f '(x) = (x - ) y ' = - x y ' = Pág. 9 (x - ) y ' = x + x (x + ) y ' = - x - (x - ) y ' = - x - x x g + f : ]-?, - ] [, +? [ " R x x - 9 h + f : R \ {- 0, 0} " R x x - 0 f + h : R\{} " R x (x - ) - 9 g + f : [, +? [ " R x ln x f + g : R + " R x ln ( x) 0. e 0.. 0.. 0.. Pág. 0.. f ' : R \{0} " R x ex se x < 0 - e x se x > 0 0.. f ' : R \{0} " R 0. Pág. 09.. 09.. 09.. 09.. 09.. 0.. 0.. 0.. 0.. P (ln, ) f '(x) = - x e x f '(x) = x - x e x ln. j '() =. N '(t) = N 0 * 0, * e 0,t ; Pág. Tarefa.. P(ln, - + e).. x = + ln.. f '(0) = -.. - ln.. x =.. x A = - ln.. y A ), xe x - e x + se x < 0 x x x + se x > 0 f '(x) = ln * ln * x ln - - f '(x) = -x - x -x ln + -x ln N '(t) N (t) = 0,
0 Soluções Pág... Pág... 0.... 0.... Pág.. f ' : R + \{} " R 0...... a d ln ( + x) x se - < x < 0 d g(x) = b - x se 0 x d ln x d c - x se x > -...... f '(x) = ln x +.. f '(x) = x +.. f '(x) = x ln - log x x.. f '(x) = e x ln x ln x + x f '(x) = x ln x D g = ]-?, [ x x = e D g = ], +? [ y = 0 ; x = se x > x - x se 0 < x <..... Se o gráfico II fosse o de f então f '() seria ositiva, o que não corresonde aos valores obtidos em....... gráfico IV corresonde a uma função ímar e a função g' é uma função ar.... f : I ; g : IV ; f' : III ; g' : II. Por exemlo, h(x) = x + e j(x) = x ; h' é ímar e j' é ar. Pág. 9....... Em I. A função f é a derivada da função g. Pág. 90... h... g... f f ' : R " R x - x x + ]-?, - [ {-,, } ]-, - [ ], [ ]-, [ ], +? [ \{} Pág. 9. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Falsa; IV: Verdadeira.. g é estritamente decrescente em ]-?, 0[ e em ], +? [ e é estritamente crescente em ]0, [. 0 Mínimo relativo: ; máximo relativo:.. g é estritamente decrescente em ]-?, 0[ e em ]0, [ e é estritamente crescente em ], +? [. Mínimo relativo: e.. g é estritamente decrescente em e é estritamente crescente em. Mínimo absoluto: - e g' : R " R e, +? x ln (x + ) + x x + 0, e NEMA-P Porto Editora Pág. Tarefa.. D f = D g = R... f '() = - ; ; f '(- ) = g'() = + ln ; g'(- ) = + ln... f '() = - ; f '(- ) = ; 9 9 g'() = + ln ; g'(- ) = + ln a a... f '(a) = - ; f '(- a) = ; a + a + g'(a) = ln (a + ) + a ; g'(- a) = ln (a + ) + a a + a +.... Pág. 9.. h'(t) < 0, A t å [0, ] - 0, m/min f ' : R " R x se x 0 x - x se x < 0 9. g é estritamente decrescente em ]-?, 0[ e em e é estritamente crescente em ], +? [. Mínimo relativo: ; máximo relativo: e 0. João excedeu a velocidade ermitida.. Passadas horas. ]0, [
.. f é estritamente crescente em ]-?, [ e é estritamente decrescente em ], +? [. Máximo absoluto: e.. g é estritamente crescente em ]-?, [ e é estritamente decrescente em ], +? [. Máximo absoluto: e -.. y = 0 ; y = -.. D g' = R +.. - ln Tarefa.., cm.. Aós hora a área infetada estava a aumentar e ao fim de horas estava a diminuir... 0. Com o decorrer do temo a área infetada tende a desaarecer... Se 0 t < então a área infetada aumentou e se t >,.... Pág. 9 Pág. 9 Pág. 9 então a área diminuiu. valor máximo da área infetada foi de horas aós a icada. cm ;, cm x ) 9 Tarefa. Aroximadamente,, m.. d : [0, ] " R x + e -x ( - x) e cm e ocorreu Pág. 99.. Não. Se f fosse reresentada elo gráfico II, teria a concavidade voltada ara baixo o que imlicaria que f '' fosse semre negativa, o que não acontece... Não. Se assim fosse, f'' teria de ser negativa em todo o seu domínio atendendo que f' é decrescente... I: f'' ; II: f' ; III: f Pág. 00 9.. gráfico de f tem a concavidade voltada ara cima em ]-?, 0[ e em ], +? [ e voltada ara baixo em ]0, [. Pontos de inflexão: (0, - ) e (, - ). 9.. gráfico de f tem a concavidade voltada ara cima em ]-, +? [ e voltada ara baixo em ]-?, - [. Ponto de inflexão: -, - e 9.. gráfico de f tem a concavidade voltada ara baixo em ]-?, - [ e em ], +? [ e voltada ara cima em ]-, [. Pontos de inflexão: (-, ln ) e (, ln ). 0.. gráfico de f tem a concavidade voltada ara cima em - e em e voltada ara baixo em, 0, +? -?, - e em 0,. Pontos de inflexão: -, (0, 0) e., - e, e e e. - ln Pág. 0 NEMA-P Porto Editora Pág. 9 Tarefa 9.. 09,0.. Custo mínimo: 00 eças; custo máximo: 00 eças... Aroximadamente, 0, Æ... 0 eças.. PT = 9 m ; custo: 9 Æ Pág. 9.. f ''(x) = (x - ).. f ''(x) =.... f ''(x) = -x ln m/ s...... - m / s - m / s Pág. 9.. Negativo.. Positivo.. Negativo.. Negativo ( - ln x) x Tarefa 0.. Aroxidamente, mm... horas e 9 minutos... D''(t) = - 0,0 * - 0,00t (0,00t + ) ; t ),9h.. 0 toneladas... Não. P() <.., dias... lim P(t) = 00. Com o decorrer do temo, o stock em t " +? armazém tenderia ara 00 toneladas. Pág. 0 Tarefa.. No fim. P(9) > P (0).. 9 horas.. ), e q ),. Entre as h min e as h min, aroximadamente, a ercentagem de estudantes que ouviu o rograma foi não inferior a %... Aroximadamente, h.. a ),0 ; b = 0, ; c = 0. P (t) =,0te -0,t + 0
Soluções Pág. 0.. f é ar... g é ímar... h não é ar nem ímar... j é ímar.. A função ar é a g... x -? - +? f' + 0-0 + f -.. -V y 0, V f - -0, V - V x NEMA-P Porto Editora.. f é contínua orque admite derivada finita em todos os ontos do seu domínio... y =.. f y.. y x - x - y = -x - -.. D' f = ]-, ] Pág. 0.. y Pág. 0.. y x f.. y - - - - x.. y x f - - x.. y x. II 9. A, B - e C (0, - )., 0, 0 Pág. 0 0.. n =
NEMA-P Porto Editora...... Pág. 0...... Pág. 0.. Pág. 0 k = k = k = - Proosta. 0,9 kg. 0,. No rimeiro semestre de vida o eso do animal aumentou à razão de 0, kg/mês.. P '() = 0,. No instante t = o eso está a aumentar à razão de 0, kg/mês. Proosta. C. t.m.v. [0, ] = -. Nas duas rimeiras horas, a temeratura do sumo baixou, em média, C or hora.. - C or hora.. A solução é. Se a Ana deixar o sumo muito temo no frigorífico, este ficará a C de temeratura. Proosta.... 0 y x = ln y y f f f - - - e x x x. Por exemlo, [-, - ].. A afirmação é falsa. Só odemos afirmar que f (b) < f (a). Proosta.. Por exemlo, [b, c]... Por exemlo, [a, b]... Por exemlo, [b, d]... Por exemlo, [a, d]... 0.. f '(c) < f '(b) < f '(a) Proosta. km. h 0 min. 0, km. t.m.v. ; t.m.v. [0, ; ] = - 0 [0 ; 0,] = -. Não. Em intervalos de temo iguais, os esaços ercorridos são diferentes, como se ode observar a artir dos valores obtidos na alínea anterior. Proosta. d () - d () =. A distância ercorrida durante a segunda hora de viagem foi de km.. t.m.v. [0, ] =. A velocidade média durante a viagem foi de km/h.. d'() =. No instante t =, a velocidade instantânea era igual a km/h. Proosta..... Proosta.. Proosta 9.. Proosta 0.. Pág. Pág. y = x + - Pág. a = - (0, ) ;, - 9
Soluções Proosta... f '() = - 9 ois o declive da reta tangente ao gráfico de f no onto de abcissa é negativo. y = - 9 x + Proosta. Sim. g'() = Pág. D g = ]-, [ ], +? [ f '() < f '(,) < f '(- ).... f ' : R \{} " R x - (x - ) f ' : R " R x x - f ' : R " R x ( - x)(x - x ) f ' : R \, +? " R x x - NEMA-P Porto Editora Proosta 9. f ' : R \{0} " R. x x.... +? -? Proosta (D) 0.. f ' : R \{} " R x - x + x (x - ) f ' : R \{-, } " R x + x (x - ) Proosta (A) Pág.. f ' : R \{} " R x se x > - se x < Proosta (A) Proosta. f ' : R \ " R x (x - ).. y = - x -. f ' : R \{-, } " R...... Pág. y = - x + - Proosta y = x -. f ' : R \{} " R - se x > (x + ) x se x < x 0 - (x + ) x - se x > (x - ) se x < Proosta 9... f ' : R " R x - x + x - f ' : R " R x x + x - x - f ' : R " R x x - 9 x - x +. f ' : R \{0, } " R Proosta 0 a = e b =. Pág. x - se x < 0 0 < x < se x >. f ' : R \{0} " R x - x Proosta.... -
NEMA-P Porto Editora. Não é contínua em x =, ortanto, não é derivável em x =... Proosta........ 9. 0... Proosta...... f ' : R \{} " R x - x - x x - x - x - y = x - f '(x) = x + x (x + ) f '(x) = e x - se x > se x < f '(x) = ( - ex )(x + ) - x (x - e x ) (x + ) f '(x) = e x + x f '(x) = x - f '(x) = ex (x - x - ) (x + x) f '(x) = - x f '(x) = x - ln (x - x + ) f '(x) = e x -x (x - x + ) f '(x) = x + x + x f '(x) = ex x - ln (e x + )(e x + ) (e x + ) x f '(x) = Pág. - x ln Proosta. f é estritamente decrescente em ]-?, - [ e em ], +? [ ; f é estritamente crescente em ]-, [. Mínimo absoluto: - ; máximo absoluto:. f é contínua em R orque admite derivada finita em todos os ontos do seu domínio.. gráfico de f tem a concavidade voltada ara baixo em ]-?, - [ e em ]0, [. gráfico de f tem a concavidade voltada ara cima em ]-, 0[ e em ], +?[ ; Pontos de inflexão: -, - e,. Proosta. f é estritamente decrescente em R - e estritamente crescente em R +. Mínimo absoluto igual a (ara x = 0)... +? f + g : R + " R Proosta (B) Proosta (C) Proosta 9 (B) Proosta 0.... D f = ]-?, - [ ], +?[ y = ex -. f é estritamente decrescente em ]-?, - [ e estritamente crescente em ], +?[.. D h+g = R + ; Zeros: Proosta. y =-x + e. Maximizante: - ; minimizante:. gráfico de g tem a concavidade voltada ara cima em. Pág. 9 Pág. 0 Pág. -, ], +? [. x ln x + + x Proosta., e e. Máximo absoluto: Pág. P(e, - e) e ; e e voltada ara baixo em e -?, - e em Proosta. g é estritamente crescente em ]-?, [ e estritamente decrescente em ], +?[. máximo absoluto é - (ara x = ). e
Soluções Proosta. Aroximadamente, m.. horas.. Proosta. Aroximadamente, 0,00 mg.. Aroximadamente,, mg.. 0 minutos. Pág. 0 0, e Proosta 9. Aroximadamente,,9 Æ.. Custo médio de 000 litros de fertilizante, em milhares de euros... Quando a rodução tende ara zero o custo de milhar de litros de fertilizante tende ara 000 Æ.. litros.. lucro máximo é de quando a rodução é de litros. TEMA TRIGNMETRIA E NÚMERS CMPLEXS Pág. 9 Tarefa........ q =.. A (q) = sin q... q = q =... q ) 0, rad q ), rad.... Pág. 0.... a ) 0, rad 0 cm P(cos a, sin a) d = 0 + NEMA-P Porto Editora Pág.. (A). (C). (D). (B). (A). (D) Pág.... +?... 0.. horas e minutos... Ponto de inflexão: (, ;,9).. f é estritamente crescente em ]-?, - [ e em ] +, +?[ e estritamente decrescente em ] -, + [. - Máximo relativo igual a (ara x = - ) e.... e - (ara x = + ) - - mínimo relativo igual a. a = ; b = 0 ; c = 0 k = e + Pág...... [0, ]... - ;... x = + k, k å Z........ h é ímar... h é ar... h não é ar nem ímar......... Tarefa.......... D f = R Pág. [-, ] [, ], x = + k x = + k, k å Z x = - + k x = + k, k å Z x = + k x = - + k, k å Z x = + k x = - + k x = + k, k å Z q = 0 A(q) = cos q
NEMA-P Porto Editora... q =... q ) 0,0 rad... +... +... Pág....... Pág... 9.. A afirmação é verdadeira orque 0 D' f. 9.. 0.. 0.. -.. Pág. Tarefa........ Não.. A(q) = tg q... q =... q ), rad.... a = Pág..... Pág....... P(cos a, sin a) d = 0 - x = + k, k å Z,, d = NEMA-P- sin a = D = x å R : x 0 + k, k å Z D = x å R : x 0 k, k å Z D = 0,,.. R.. ]-?, ].. [, +? [.... R.. x = - ; x =......... Tarefa.... f : II ; g : I....,, e......... Pág. 9.. 9.. a = - 0... k = 0... k = 0.. -................ D = x å R : x 0 + k, k å Z 0 0 Pág. 9 Pág. 0 x = 0 + k, k å Z x = - + k, k å Z x å 0,,,, A -, 0 ; B -, 0 ; C, 0 ; D, 0 A, ; B, 0 ; C, - x å 0,, A cos a, 0 B cos a, sin a 0 Pág. e b = a =, b = e c = a = a = - a =
Soluções..................... f : III ; g : II ; h : IV ; j : I Tarefa... Simetria em relação a x.... Translação horizontal associada ao vetor.... Pág. Pág., 0 -, 0 -, 0, 0 a = e b = -, 0.. 0.... -?.... 0 Pág. 9 9.. 9.. 9.. - 9.. 0 9.. 9.. - 9.. Pág. 0...... -.. -...... -? -? e NEMA-P Porto Editora.... c = e d = Pág. Tarefa.. Por exemlo, d(t) = 0 + sin (0,t)... cm e cm.. Três vezes... Aroximadamente, s... Aroximadamente, s... = Pág.. Pág... -.. 0.... (0, ) Pág. Pág. Tarefa.... w = rad / s,.. s. De em segundos, o onto P encontra-se na mesma osição........... f '(x) = - cos x f '(x) = cos (x) f '(x) = - x cos x f '(x) = x sin - x + - x cos - x + - cos ( x) f '(x) = - sin ( x) Pág.. Basta ensar que é uma função eriódica, tomando valores entre - e.. a =. e b = 9.. 9
9 Pág. 0.. 0.. f '(x) = - sin x f '(x) = x sin x.. B, 0 e D, 0.. Zeros de f' : ; ; 0.. 0.. 0.... f '(x) = x cos (x) - x sin (x) f '(x) = e cos x ( - x sin x) f '(x) = - tg (x - ) A (, ) x 0 f' + + 0 + 0-0 + + f - 0 - - Pág............. f '(x) = + f '(x) = tg x + f '(x) = - cos (x) x tg x cos x x cos x f '(x) = - + tg x cos x f '(x) = + x cos x.. Pág. C, e E, - Tarefa 0....... D f = R \{x å R : x = k, k å Z} x = 0 ; x = x = k, k å Z.. x 0 g' + 0 - g ln NEMA-P Porto Editora.. Por observação da tabela conclui-se que h é decrescente em e em. gráfico de h tem a concavidade voltada ara cima em 0, e voltada ara baixo em. Não tem ontos, de inflexão... A função tem um máximo relativo igual a - ara x = - e um mínimo relativo igual a - + ara x =. Pág. Tarefa 9... 0... x 0 h' s. s. - s. s. - s. s. h s. s. 0, x 0, +? 0 + s. s. 0 - -? s. s. h'' s. s. + s. s. - s. s. h s. s. s. s. { s. s... f é estritamente crescente em ]0 + k, + k[ e é estritamente decrescente em ] + k, + k[, k å Z. Máximo absoluto: ln gráfico de g tem a concavidade voltada ara baixo e não tem ontos de inflexão... +...... Em ambos os casos, os limites reresentam a área do triângulo [ABD].... q = Pág. 9 x 0 g'' - g { Tarefa. Altura das colunas de reforço: m Distância entre duas colunas consecutivas: aroximadamente,, m. Altura da arte mais baixa do muro: aroximadamente,, m. Número de colunas de reforço: Altura do muro no fim do mesmo:, m
0 Soluções Pág. 0 Tarefa. 90 m., s ;, s ;, s. 0. Com o assar do temo a altura tende a estabilizar e o concorrente ficará a 0 m do solo.. m Pág. Tarefa... Volume máximo:, l ; volume mínimo:, l..., l e, l.. Insiração.. V '() = e V '() = - ) 0,9 l / s ) - 0,9 l / s... ( ;,) e ( ;,)... 00 Pág... vezes.. x A ), e x B ) 9, Pág. Tarefa.. 0..... a = P, Proosta.. Proosta 9... h ; 0 m.. De em horas... t ), e t ), Proosta 0. D f = R.... Proosta. Pág. Pág... t = t = d(t) = - cos t x = 9 + k 0 ; ; ; y = - x + 0 + + x = 9 + k, k å Z D f = x å R : x 0 + k, k å Z NEMA-P Porto Editora.. Proosta (A) Proosta (C) Proosta (B) Proosta (A) Proosta (B) Proosta. f : II ; g : I. Pág. Pág. y = x - a = - ; b = - ; c = ; d =.. Proosta (D) Proosta (C) Proosta.. Pág. Pág. 9 Proosta.... y = x - + + A (, ) e B 9, y = x - + P, ; R 0, ; Q +,
...... e Proosta (D) Proosta (B) Proosta (A) Proosta 9. (C). (B) Proosta 0........ 9. 0... Proosta. 0. a = a = Pág. 0 Pág. Proosta...... Proosta..... Proosta.. Proosta 0.. f '(x) = sin x cos x - sin x f '(x) = - x sin (x )( + cos x) + sin x cos (x ) ( + cos x) f '(x) = cos x + x sin x f '(x) = sin (x) - x cos (x ) f '(x) = e sin x (cos x - sin x) f '(x) = Pág. y A = + sin (x) k = ; x B = k = 9 Pág. Pág. B, + e C, -,, ;, ;, ;,, 0 ;, - ;, Proosta. A função f é crescente em 0, e decrescente em. Tem máximo absoluto igual a ara x =.,. Não. A função f'' é negativa em ]0, [. Pág. NEMA-P Porto Editora. Proosta...... - x = k, k å Z - a = Proosta. P., e Q, +. y + sin (x) y - cos x x.., + e Q, -
Soluções Proosta... ; ; q ), rad q ), rad...... 9. x = e y = - x å R e y = - x = e y 0 - k = - NEMA-P Porto Editora Pág.. (B). (A). (D). (B). (A) Pág... cm.. 0, s.......... II.. k = - - M, e R, 0 x = x = Pág. 0.. 0.. 0 0.. 0.. 0.. Pág... z A = + i ; z B = + i ; z C = - + i ; z D = - ; z E = - i ; z F = - i........... Bissetriz dos quadrantes ímares... Bissetriz dos quadrantes ares... Eixo imaginário... Reta aralela ao eixo real e que assa elo afixo do número i... Circunferência centrada na origem do referencial e raio. Pág. 0.. x å {- i, i}.. x å {0, - i, i}.. x å { - i, + i}.. x å { - i, + i} Pág................. a = e b = - a = e b = 0 a = - e b å R a = 0 e b = - - - i + i - i -. z Re (z) + i - i 0-0 - + i - i 0 i 0 - - i - - Pág... A.. B.. C.. z B = + i.. Pág. Tarefa... P = +... A =
..... a = - e b =... a å R e b =... a = 0 e b = +... + i e - + i...... - + i e - - i Pág... + i.. - i.. - i.. 9.. x = e y = - 9.. x = e y = - 9.. x = - e y = 0 Pág. 0.. 0... Simetria em relação à origem. 0... Simetria em relação ao eixo real....... Pág... Semieixo real negativo.. Semieixo imaginário negativo.. Eixo real... Q... Q........ z B = - i 0 - + i z C = + i - - i i 9 - i - i - - i - i - + 0i + 0 i e - 0-0 i.... Pág. 90.... Por exemlo, n =........... + i - + i v = i z Pág. 9 9.. - i 9.. - i 9.. - - i 0.. k = 0.. k = 0.. k =.. -.. + i.. - + i.. - - i Pág. 9 Pág. 9 z å {0, - i} z = - + i z = - z å {0, - i, i} z å - i, + i.. Por exemlo, z = + i ; z = - - i ; z = + i Re (z) Pág. 9.... - - i.. Por exemlo, z = - i ; z = - i ; z = - - i.. - - i NEMA-P Porto Editora...... - + i i + i - Re (z)
Soluções. 9. Tarefa.. a = -. Pág. 9 x å {, - i, i} P(z) = (z - i)(z + i)(z - i)(z + i) Imagem geométrica Número comlexo Pág. 9 Tarefa 9.... tg q =........ + k, k å Z z = cis z = cis - NEMA-P Porto Editora A B - w w C w + D E w w + i... z = - i Número comlexo Módulo + i Argumento ositivo mínimo Argumento rincial...... a = - e b = - a = - e b = - a = e b = - - + i + i............ z å { + i, - i} z å, - i z å {- i, i} z å - i z å {0, - i, i} z å {, - i, i} 0 + i - 0 i - - i - i - - - Pág. 9 Tarefa.. y = - x.. k = k = -.. z = - i z = - + i Pág. 9 Tarefa.. z = + i e w = + i P( cos q, sin q) e Q( cos q, sin q).. q =.. q =.. q å,.. q = q =... Q orque a imagem geométrica de u é o onto (-, )... A imagem geométrica de u ertence à circunferência C........ 0.. 0. Pág. 99 Número comlexo Módulo Argumento em [0, [ z 0 z z z z A = cis ; z B = cis ; z C = cis ; z D = cis
NEMA-P Porto Editora...................... Tarefa 0.................................... Pág. 00 z A = ; z B = - + i ; z C = - - i z B = cis ; z D = cis ; z E = cis ; z F = cis Pág. 0 z = cis z = 0 cis z = cis z = cis z = cis z = cis (0) z = cis w = cis z + w = cis z - w = cis 0 w = cis a å {,, } a å,, a å,,,, z = cis ( + a) z = cis (- a) z = cis - a z = cis (. Q) ; - z = cis (. Q) z = cis 9 (. Q) ; - z = cis (. Q) 9 z = cis - (. Q) ; - z = cis z = cis (. Q) ; - z = cis (. Q) (. Q).............. 0 radianos. 9.. 9... 9... cis 90... Q 90... Q 90... Q 90... Q 9. onto D. 9. z C = cis ; ; z 9 D = cis 0 9. 9.. 9.. 9.. 9.. 9.. a = Pág. 0 Pág. 0 Pág. 0 a å -, a = - cis cis 9 0 cis cis z = cis ; t = + i - + + i z E = cis - ; z F = cis - 0 z Pág. 0 cis - cis 9 cis + - + i cis 9.. sin - = e cos. + =
Soluções Pág. 0 Tarefa.. z = cis ;............ Pág. 0 Tarefa.. z.. z.. z.. z....... Pág. 09 Tarefa..... z = cis () ; z = cis Módulos: r= ; argumentos: r= n = n = n = n = (z = w) z a = ; b = z A = cis ; z B = cis ; z 9 C = cis z A' = cis ; z B' = cis ; z C' = cis z A'' = cis () ; z B'' = cis ; z C'' = cis z = cis ; z = cis ; z = cis z = + i z ; z = cis w n = cis n w = cis w w w w w w n Módulo Um argumento z z 0 Re (z) n n.. Não Pág. 0 99.. n = 99.. cis 00. (w ) = (w ) ; z = i Pág. 0.. 0.. z 0 = cis ; ; z = cis 0.. 0.. 0.. Pág. 0.. cis 0... 0... 0... 0.. 0.. n = Pág. 0... Q 0.. 0.. 0.. 0.. 0.. 0.. 0.. w = cis z = cis 9 ; z = cis z = cis cis z 0 = cis ; z = cis cis 0 cis 0 cis - 9 0 cis cis ; cis () ; cis cis ; cis ; cis 9 ; cis cis ; cis ; cis ; cis 9 z å cis ; cis ; cis ; cis z å cis ; cis z å 0 ; cis ; cis ; cis 0.. z å - ; 0 ; + i ; - i 0.. z å cis ; cis ; cis ; cis 9 NEMA-P Porto Editora
NEMA_P_F_009_P_009_TXTP_P_ /0/0 :00 Page.... Ponto A 09.. A'(-, - ) ; B'(, 0) ; C'(-, ).... \z = = 0.. n =.. \z = 0 arg (z).. arg (z - za).. \z - zc = \z - zb Pág. 09.. A (-, 0) ; B (, - ) ; C (, ) 0.. z = cis z = cis ; z = cis ; z ; = cis Ponto F Pág... Pág. Tarefa. w = cis... E'(, 0) ; F'(0, - ) ; A'(-, ) Re (z) Re (z)... E' (0, ) ; F' (-, 0) ; A' (, - )... E'(, ) ; F'(-, ) ; A'( -, + )... E' (, ) ; F' (0, ) ; A' (-, - )..... (za) (zf) (ze) - Re (z)..... za - -0, zf Re (z) - ze 0, Re (z).. Pág. NEMA-P Porto Editora Tarefa.. Ponto D.. Ponto A.. Ponto D.. Ponto C. AB = \za - zb = -.. \z =.. \z - + i = Re (z)
Soluções Pág... \z - - i <.. \z - i \z - i >.. \z - < \z + <.. Re (z) NEMA-P Porto Editora Pág. 9 -.. Coroa circular centrada na imagem geométrica de e de raios e. - + i.. Mediatriz do segmento de reta de extremos (0, 0) e (, 0)..... Mediatriz do segmento de reta de extremos (0, ) e (, 0)... Mediatriz do segmento de reta de extremos (0, - ) e (0, )... Mediatriz do segmento de reta de extremos (, - ) e (-, 0). - Re (z).. Pág. 0.. \z \z - - i.. - - Re (z) - - Re (z).. \z \z - - i \z \z + - i 0 Pág..... Semieixo real negativo... Eixo imaginário... Bissetriz do. quadrante.... quadrante..... arg (z) arg (z) - Re (z) 9. \z - - i < < arg (z - - i) < Pág... Proosta (C) Proosta (D) - Re (z) Proosta (B) Pág. - Proosta (C)
9 Proosta (A) Proosta.. - + i.. + i.. - i... Q... Q Proosta. A imagem geométrica do comlexo z é o vértice C e a imagem geométrica do comlexo w é o vértice H. Proosta 9.. Pág. z = - - i z = + i....... 9. 0. z = cis () z = cis z = cis z = cis z = cis z = cis z = cis z = cis z = cis..... z = i z = + i z å {- + i, - - i} z å 0, - i, - + i z å 0, - 0, i, - i Pág. Proosta. \z = ; \z = ; \z = z. 9. z å { + i, - i} z å {i, i, - i} z z Proosta 0. a = - ; b = ; c = - Re (z). z å {i, - i, + i, - i} Proosta. k =. k = -. k = -. z " Simetria em relação ao eixo real - z " Simetria em relação à origem do referencial iz " Rotação de 90 centrada na origem z Pág. z z Proosta iz. Re (z) Proosta -z - z NEMA-P Porto Editora. Proosta. z B = + i e z C = - + i z = cis Proosta (C)
0 Soluções Proosta (A) Proosta (C) Proosta 9 (C) Proosta 0... Proosta.. Proosta. Proosta. Proosta. Pág. 9 n = Pág. 0 cis ; - - i cis cis z = - + i ; w = cis z å cis ; cis ; cis tg q = - Proosta B -, + - + + + i ; cis. sin + - = e cos. + = Proosta........ Proosta 9..... z å 0 ; 0 cis ; 0 ; 0 9 cis 0. z å cis ; ; 9 cis Proosta 0. Proosta... Proosta. z C = - - i ; z D = - i. Pág. - - i cis - - i cis z å cis ; cis ; cis ; cis z å cis ; cis ; cis z å 0, cis -, cis, cis, cis 0 cis 0 ; 0 cis ; 0 cis 0 cis ; cis - + i Pág. z å 0, cis 0, cis, cis (), cis - i z = cis ; z = cis P = 9 NEMA-P Porto Editora Proosta. z = - + i ; z = - - i ; z = - i B A. w = - + + i Re (z) Proosta.. n = n = C D
Proosta (C). Proosta (A) Proosta (C) Re (z) Pág. Proosta \z - + i - \z \z - + i Re (z) + 0 Proosta.. z M = cis q +.. arg (z) arg (z - z ) A Re (z) Proosta. = Re (z) -. Pág. \z arg (z) =. Proosta 9. Re (z) - Re (z).. NEMA-P Porto Editora - Re (z) Re (z)
Soluções... \z - arg (z) \z - - i arg (z - ) < \z - - i 0 arg (z - ) NEMA-P Porto Editora Re (z) Pág.. (B). (A) Proosta 0. \z + - i \z - - i \z - - i. Pertence Proosta. z C = - i e z A = + i. \z Re (z). (C). (D). (B) Pág..... a = a å {-, } Proosta.... Pág. \z \Re (z) \ \z - - i Re (z) \z arg (z) \z arg (z) [\z 0]........... n = z = - + i z = cis cis -