TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

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1 8 NEMA-P Porto Editora TEMA GEMETRIA N PLAN E N ESPAÇ II Pág. Tarefa sin q = ; cos q = ; tg q = sin a = ; cos a = ; tg a = Pág. BC. Não. Apenas se sabe que. Pode ter -se, por eemplo, e. AC = BC = 8 AC = 0. sin a = ; tg a =. Não. Como, não se verifica a fórmula fundamental da trigonometria sin q + cos q = Sim, pois verifica-se que + tg q =. cos q. CD =. tg a =. Pág.. A ; B(0, ) ; Pág , , 7. 7, Pág sin 8. 6,66 8.,0 Pág. 8 Tarefa. BA W C =. Atendendo a que CM é um eio de simetria da fachada do monumento, conclui-se que AC = BC. Logo, o triângulo [ABC] é isósceles.. DF ),89 m.. a fase telhados laterais,76 Æ. a fase telhado superior 909,90 Æ Pág. 9, C -, Tarefa. ) 6 m. ). Sim.. menor valor inteiro que é admissível é sin a = Pág. 0 Tarefa.. a ) 0,8. ' ) 0 cm. BP ) 6 cm. Quatro voltas completas. Pág. Tarefa. 9,0 cm. 7, cm Pág. Tarefa 6. 6,8 cm. 7,0 cm. 0,0 m Pág. Tarefa 7. h = 8 6. A ; ; 7 W =,0 B W ), C W ) 0,6. Tópicos de resposta:. caso quando se encontra um ponto de cada lado da reta, basta traçar o segmento de reta que os une e determinar o ponto de interseção deste com a reta.. caso quando os pontos se encontram do mesmo lado da reta, considera-se o simétrico de um dos pontos relativamente à reta dada. Em seguida, considerando a imagem obtida e o outro ponto, procede-se como no. caso.. ) 08 m Pág. 9. B W = 69 ' 0'' 0. AD ), Pág.. 8 ' 7''. 09,. 9 6' '' Pág. 6. ) , m Pág. 8. B W =. SR W T = p rad. US W T = p rad p 6. ; rad Pág. 9 Tarefa 8 p p. rad. 6p m. rad. P. P. P 0. P p 9p..,. 0, ; rad 8 8

2 8 Soluções Pág Sentido positivo. 7. Sentido negativo. Pág C C C ou C Pág. 9. ȮB 9. ȮC 9. ȮE 9. ȮF 9. ȮB 9.6 ȮF 9.7 ȮF 0. ȮD 0. ȮA 0. ȮB 0. ȮB Pág. Tarefa 9. p Por eemplo, 780 ; rad.. 9p Por eemplo, 870 ; rad. 6. Por eemplo, - 70 ; - p rad. 6. Por eemplo, ; - 9p Æ (jogada neutra) ; 00 Æ ; a jogada deve ser repetida; + 00 Æ.. Por eemplo, - p rad.. Por eemplo, 70. Pág. Tarefa 0. 8 horas. horas. hora. 0 horas. 9 horas ; - p rad. - 0 ; - p rad. - 0 ; - 8p rad.. h 0 min.. h min.. h 0 min. p rad Pág... Q.. Q.. Q.. Q.. Q.6 Q.7. Q.8. Q 7p. " ȮR ; - 00 " ȮS ; Pág. 6 Pág A (, - ) ; B ;, - 7p " ȮT. cos q =. sin b =. cos a =. tg b = -. tg a = - 7. cos a = - ; sin a = - 7 ; tg a = 7 C -, Pág A - ; ; Pág sin a = ; cos a = - 6 ; tg a = sin a = 0 ; cos a = 0 ; tg a = sin a = - ; cos a = - ; tg a = 0. A (, ) ; B - ;, Pág.. cos a = ; tg a = ; B ;. cos b = - ; tg b = - ; ; Pág... Q.. Q.. Q.. Q.. Q p p p.. Como å. Q, tem-se sin < 0 e cos > 0 p Então, verifica a condição. 8 p p p.. Como å. Q, tem-se sin > 0 e cos. > 0 p Então, verifica a condição... Q ou. Q Pág. Tarefa.. negativo.. positivo.. negativo.. negativo.. cos b < cos q < cos a.. sin a < sin q < sin b.. tg a < tg q < tg b.. negativo.. negativo.. positivo.. positivo.. sin a - tg b > 0.. tg a < tg b.. cos a > cos b.. tg a cos b > 0. positivo. negativo. negativo. positivo. negativo. sin a < sin b. cos a < cos b. tg a < tg b. sin a > tg a. cos b - cos a > 0 Pág., - B, C, C, -, F, C -, E, -. b < a < q. sin b < sin a < sin q. 0,7 6. V 6. V 6. F 6. V NEMA-P Porto Editora

3 8 Pág k å [0, + [ Pág B (,), C (-, - ), D (-, - ).. Quadrante... cos a = -.. tg a = 6. Verdadeira.. Falsa. Pág. 7 k å [ -, - ] [, ]. tg a =. sin b = 0,8. tg (- b) = - k å -, - k å 0,. cos q =.. tg (- a) =... a + b = p ; são ângulos suplementares... tg a = Pág. cos (p + a) = sin (p + a) = - 7 sin a = p cos + q = p cos + a = - 7 Tarefa..,,.. -., -, - -, Pág sin a = - 6. tg a = - 7. Pág [ -, ] f () = sin () g () = cos ().. ;. pção. Na posição inicial de P, a sua abcissa é 0, correspondendo a um ângulo de 0 rad de amplitude. Assim, o gráfico de f deveria passar pela origem, o que não acontece na opção. 9.. quadrante Pág Pág. Tarefa Pág.. D' f = [-, ]. 0 e p. - p p e. p A (0, ) ; B ;, p C, p p. 0,, p, e p. 0 p p p 7p p h() sin cos tg sin cos tg 0 n. d. Pág D' h = [0, ] ; zeros: - p p e 6. D' h = [ -, ] ; zeros: - p 6. D' h = [ -, ] ; zeros: - p p, e 7. f " II ; g " III ; h " I. p p p 7. Zeros de f : ; zeros de g : e ; zeros de h : p ; p sin cos tg sin cos tg Pág. 7 NEMA-P Porto Editora n. d A função não tem zeros. 8.. f (- a) = 8.. f (a + 6p) = 9. Ao gráfico de f aplica-se uma translação associada ao vetor (- p, 0), obtendo-se o gráfico de g g a + p = tg a = 0

4 8 Soluções Tarefa. B e D. A e C. V () =,. volume de ar nos pulmões, um segundo após uma epiração, é de, litros de ar.. D' V = [, ;,7]. volume de ar nos pulmões varia entre, e litros.. A (0 ;,) ; B ( ;,7) ; C ( ;,) ; D (0 ;,7) 6., litros. Inspiração Pág A (cos q ; sin q) ; B ( ; sin q) ; C ( ; tg q) 6. Triângulo isósceles. Tarefa. 0 cm. 69, cm., cm. [0, 60]. p f = Não. p p Máimo: 60 ; maimizantes: e. 6 6 p Mínimo: 0 ; minimizante:. Tarefa 6 p. A (p, 8) ; B ;. Pág. 8 Pág. 9 Pág. 6 Pág. 6 p. P. ;, 6p M (0,7 ; 0) Q (, ; 0) Pág Uma solução; 6. duas soluções; 6. duas soluções; 6. nenhuma solução. 6. = p t = 0,7 t =, D f = å R : 0 p + kp, k å Z D g = å R : 0 p + kp, k å Z a p 6 sin p + = - p, C p å - 9p, - 6p, p, p, 6 å p, p 6. Por eemplo, t = 0,. 6. Por eemplo, t =-0,. p 6 f(a) Pág = = k 60 = 0 + k 60, k å Z 67. = p = p 67. t = p t = p t = p 67. = p = p = 9p Pág. 67 Tarefa 7. min.. A (0, ). A temperatura da substância no início da eperiência era de C.. 0 min.. B (, - ). Ao fim de min, a substância atingiu a temperatura mínima de - C.. Aproimadamente,,7 min.. Sugestão de tópicos a incluir na composição: A eperiência não teve sucesso. A substância permaneceu com temperatura negativa durante cerca de, min. Este valor foi obtido calculando a diferença entre as abcissas dos zeros da função. a ),8 b - a ),. tempo durante o qual a substância permaneceu com temperatura negativa ultrapassou os min correspondentes à terça parte da duração da eperiência. Pág Uma solução. 70. Duas soluções. 70. Três soluções. 7. = p 7 7. p 7. å 7. t = 7p = p 8 = p 7 + kp = 6p 7 + kp, k å Z = - p 8 + kp = 9p 8 + kp, k å Z = p + kp, k å Z = p 8 + kp å 0, p 7p, p = p 8 + kp, k å Z å - p, - p - p, p b ) 7,677 å 0, p 6 p 6, a b = - p 7, p å - p 6, 0 = - p 7 NEMA-P Porto Editora

5 8 Pág = - 0 = 0 7. = 0 + k 60, k å Z 7. = p 7. + kp, k å Z 7. = kp, k å Z Pág. 70 Tarefa 8. ) 8, cm. 6 cm. cm. 0 cm. = p + kp, k å Z. A =,7 ; B =,0 ; C = 7, Pág q ) 7, ; q ), rad 77. = - 00 = - 0 = = 0 Pág = - 6p kp, k å Z Três soluções. 79. Por eemplo, a + p e a - p = p - kp = - p + kp, k å Z = p p + kp = kp, k å Z = p 8 - kp = p - kp, k å Z Pág. 7 å - p 8, p 8, 7p 8, p 8, p 8 = - p 8 + kp, k å Z = p + kp = - p + kp, k å Z å 0, p p, p p, p Tarefa 9. a =,07. Sim.. 0,8. 8 unidades de área.. ) 0,6 å 0, p, p, p å - p 6, - p å - p, - p - p 6, p p 6, p å p, p 7p, p = kp, k å Z p 7 å ]0 ;,07[ p. q å., p, 7p q ),7. I. A representação gráfica II não pode representar a distância de C a M uma vez que esta não toma valores negativos.. Pág. 7. (C). (B). (C). (B) Pág. 76. (D) 6. (A) 7. (A) 8. (B) 9. (A) 0. (B) Pág. 77. (B). (D). (D). (C). (D) Pág (A) 7. (B) 8. (D) 9. (D) 0. (B). (A) Pág. 79 Proposta. a = 0 ; a = p rad ; b = 0 ; b = p rad ; q = 0 ; q = p rad 6. 9 cm Proposta. 8, cm. q = p rad. q = p rad Proposta. B (7, ;, ). W = B W = p ; A W = C W = p Pág. 80 Proposta. ) 7 m. ),87 m. ) 66 8' Proposta. ),7 dm. ) Proposta 6 AB ) 7, km Proposta 7. a = 7 e b = 08.,0 cm. 7 cm Pág. 8 q å p 6, p 6, 7p 6, p 6 NEMA-P Porto Editora Pág. 7 Tarefa 0. q = kp, k å Z.. q = kp, k å Z. q = p + kp, k å Z q = p + kp, k å Z Proposta 8. 9 cm. ) 6,6º Proposta 9 Não. A porta não poderia eceder, aproimadamente, cm.

6 86 Soluções Proposta min., m Pág. 8 Proposta. a ) 8,8 cm ; b ) 6,76 cm. q = 7p rad Proposta. 6 voltas. ), km Proposta 6. ) 7,9 cm. cm Pág. 8 Proposta. 0 cm. Não. Aumentaria para cerca de,8 cm.. 0 tg a Proposta ) 790 cm Proposta 6. B (, ).. = p. Pág. 8 Proposta 7. cm. ( + 8 ) cm. b = p. 9,6 cm Proposta 8. A (a) = + tg a. V (a) = 88 tg a Proposta 9. A(0) =. Quando a = 0, o quadrado [EFGH] coincide com o quadrado [ABCD] e a sua área é igual a cm.. A área de [ABCD] é o dobro da de [EFGH]. Pág. 8 Proposta 0 A (a) = p - 0 tg a Proposta.. quadrante.. quadrante.. quadrante.. quadrante Proposta A () = tg A (a) = a å p, p A W = p ; B ;. Triângulo isósceles e obtusângulo. W = p C 6 W = p 6 Proposta. cos a - sin a.. cos a. - sin a Proposta Proposta 6.. quadrante.. quadrante Proposta 7 Proposta 8 Proposta 9 + Proposta 0,6 cm Proposta Não. Proposta... k å ]-, +?[. Proposta D e F Proposta. = 0 + k 60 ; k å Z. = 0 + k 60 ; k å Z. ) 7,6 + k 80 ; k å Z. ) 9,7 + k 60 ; k å Z Proposta. = - p. + kp ; k å Z Pág. 86 Pág. 87 Pág sin a k å [0, ] k å [0, ] = kp = p + kp ; k å Z = kp ; k å Z = - p 8 + kp = p + kp ; k å Z k å 0, = 9p 8 + kp ; k å Z - + = p + kp ; k å Z NEMA-P Porto Editora

7 87 7. = p 8. = kp ; k å Z Pág = p 0. + kp ; k å Z = p 6 Proposta 6... å 0, p p, p å 0, p p, p å p, p Proposta = p = p Proposta g (q) = 8 sin q ( - cos q) - 8q Pág. 9 Tarefa. AC = (6, ). u» = (, ) ; v» = (-, - ). k =. Sim, porque [AB]//[DC], dado que os vetores AB e DC são colineares..... P 0, 7 0. = 6p. = 9p Pág. 89 Proposta 8 7p.. 6 Proposta 9. Mínimo: ; máimo:. Mínimo: ; máimo:. Mínimo: 0 ; máimo:. Mínimo: 0 ; máimo: não tem. Mínimo: 0 ; máimo: Proposta 0. 0,79 rad - = 6, = 9,7 0 0 Pág Pág. 96 Tarefa Pág Pág. 99 NEMA-P Porto Editora Proposta p -.. Pág. 90 Proposta.. Proposta... 0, rad e, rad Pág. 9 Proposta. sin a. sin b. cos a - cos b ; 0, Proposta. ( sin a, - cos a). a = 0,7 rad p - 6 A (a) = sin a + tg a.,7 s. s. ),9 s 8. btusângulo em C. 8. Retângulo em C. 8. btusângulo em B. 8. Não. 8. Sim. 8. Sim , 86., , Pág Pág , 9. AC = AB + AD ; DB = - AD + AB 9. DA W B = DC W B ) 7,7 ; CD W A = AB W C ) 06, Pág. 0 P - 8, k = k =-0 9. k å ]-?, - 0[ ], +?[ 9. k = 9. k å ]-, [ (Nota que, se k =, o ângulo é nulo.)

8 88 Soluções 9. k = 9. k = - k = 9. GA = (, -, - ) ; GB = (, 0, - ) 9. 7,97 Pág. 0 Tarefa a. A ; ; ;...,8.. 6, Pág B (,, - ) ; C (-,, - ) ; D (-, -, - ) E (-, -, 0) ; F (, -, 0) ; G (,, 0) , 9.. 6, 9.. 0, , Pág , , Pág , , 98. btusângulo. Pág. 08 Tarefa. E - a ;, - a, a a F, - a, a. 70,. BE = (- a, - a, a) ; BH = (- a, 0, a)., Pág Pág , , 00. 6, , 00., =-- 0. = + 0. (0, ) Pág. 0. m AB = m DE = 0 ; m BC = m EF = ; m AF = m CD = - 0. Por eemplo, e 0. k = Pág., - a, 0 a B, a, 0 C - a, a, 0 D - a, - a, 0 V (0, 0, a) a» = (,7) b»= -, - 7 Tarefa 6. Por eemplo, v» = (0,, ). v» Y u» porque v».u» = 0. Pág. 0. Por eemplo, w» = (, 0, - ). 0. m = Por eemplo, t»= (0,, ). 06. Não. 06. Por eemplo, (-, 0, ) e (6, 0, - ). Pág. Tarefa 7.. AB = (, ).. m AB =.. m r =.. (-, ).. m s = -.. m AB = m r.. m r = - m s. Por eemplo, t»= (-, ). = + Pág. 07. = = A (-, 0) ; C (0, ) 08. = B (, - ) Pág = = Pág. 7. = - 9. Reta perpendicular a [AB] e que passa por C z - = z - = 0. Não pertence. Pág = 0. Circunferência de diâmetro [AC]. Pág z z - 6 = 0. Superfície esférica de diâmetro [AC]. Pág Reta tangente à circunferência de centro C no ponto S. 6. = + Pág. Tarefa 8. u» = (cos b, sin b) ; v» = (cos a, sin a). u». v» = cos b cos a + sin b sin a ;. BE = sin (a + b). BE = sin b cos a + cos b sin a NEMA-P Porto Editora

9 89 NEMA-P Porto Editora Pág. Tarefa Æ. ( 7 9, 6) Pág. 7. Não. 7. Não. 7. Sim. Pág. Tarefa 0. 0 ; Sim.. - 8; Não z - = 0 a, b e c correspondem, respetivamente, à. a,. a e. a coordenadas do vetor n». Pág. 8. k = - 9. n» = (, -, ) ; P (0, -, 0) 9. n» = (, 0, ) ; P (0, 0, - 7) 9. n» = (0, 0, ) ; P (, -, 6) Pág. 6 Tarefa. - 0 ; Não z - = 0. Reta perpendicular a a e que passa em T... (,, z) = (-,, - ) + k (,, - ), k å R Sim z - = 0 Pág = 0.. z = = = z - 8 = 0 ; (0, 0, ) 0. Por eemplo, n» = (,, - ) Pág z - = z + = z + 9 = z = 0 Pág.. Por eemplo, ABC e DHE.. Por eemplo, ABC, AHG e AHE.. Por eemplo, DBC, BDF e DBA.. Por eemplo, ABC, AHE e ABD. Pág. Tarefa. (,, z) = (0,, 0) + k (, -, ), k å R.. (k, - k +, k) = (0,, 0) + k (, -, ), k å R. (,, z) = (0, 0, 0) + k (-,, 7), k å R.. Sistema impossível. s três planos são paralelos, sendo dois deles coincidentes. 6. Ponto de interseção (-,, 6). 7. ponto de coordenadas (,, ). 7. A reta de equação. (,, z) = (-,, 0) + k (,, ), k å R Tarefa.... Pág.. (,, z) = (, 0, 0) + k (-,, 0), k å R. (,, z) = (, 0, 0) + k (, 0, ), k å R. (,, z) = ( 0,, 0 ) + k ( 0,, ), k å R Pág. Pág (,, z) = (0,, - 8) + k (,, 6), k å R Pág. 7 Tarefa. + + z - = 0. (,, z) = (0,, - ) + k (, -, 0), k å R.. k = -.. (,, - ) Pág Sim, porque são três pontos não colineares. 8. (,, z) = (, 0, - 6) + k (,, ), k å R 9. R (-, 0, ) e r» = (,, ) ; S (, 0, ) e ; e U (, -, 7) e u» = (, 0, 0) Pág (,, z) = (0, -, ) + k (,, - ), k å R (,, z) = (,, 0) + k (,, ), k å R (,, z) = (, 0, ) + k ( 0,, - ), k å R (,, z) = (, 0, ) + k ( 0,, ), k å R (,, z) = ( 0,, + k (, 0, 0), k å R ) C (,, ) (,, z) = (0, 0, ) + k (,, - ), k å R P ( -, -, 7 ) - z - = 0 - = + = z - s» = ( -,, ) T (, 0, ) t»= (0,, ) (,, ) + = - V = = - z +

10 90 Soluções Pág. Tarefa. n» = (-,, ) ; r» = (-,, ). Perpendicular.. n» = (-,, ) ; s» = (,, ). Paralela. Pág. Tarefa 6. u» = (,, - ) ; v» = ;,, - u» = v». Paralelos.. u» = (,, - ) ; w» = (, -, - ). Perpendiculares. Pág. Tarefa 7. R (0,, - ) ; R a. - = - = z. + + z + = 0. k = 6..., Pág = - z + 9 = (,, z) =,, - + k,, -, k å R Pág. 0 Tarefa 8. Conjunto do tipo A Conjunto do tipo B. R (, ) = (0, 0) ; A (, 0) ; B (0, 0) ; C (0, ). Vértice R(, ) (0, 0) 0 A (, 0) 0 B (0, 0) 0 C (0, ) 6. Como o valor máimo da receita corresponde a dois vértices adjacentes do polígono, A e B, todos os pontos (, ) de coordenadas inteiras pertencentes a [AB] são soluções ótimas. Pág. Tarefa 9. N. de fatos de treino 0 N. de pares de sapatilhas função objetivo B 0 Receita 0 Total Conjuntos do tipo A, Conjuntos do tipo B, Receita A NEMA-P Porto Editora Pág. 6. Não. Seriam necessárias raparigas e a turma só tem euros.. F (, ) = Pág. 9. Máimo: 0 ; mínimo: (0, 0), 7, 7, (7, 0) e (, ). (, ).. Uma infinidade. Todos os pontos pertencentes ao segmento de reta [AB], sendo A 7, 7 e B (, )... Dois pontos.. C (7, ). A (, ) e B (, )

11 9 NEMA-P Porto Editora Tarefa 0. É possível. Para tal são necessários 6 kg de amêndoas de licor e 98 kg de amêndoas de chocolate, quantidades inferiores às eistentes em stock.. Quantidade, em quilogramas, de amêndoas de chocolate gasta nas duas misturas.. Quantidade, em quilogramas, de amêndoas de licor gasta nas duas misturas.. Pág.. F(, ) = + 9. (, ) = (0, 0) Pág. Tarefa. presidente da associação de estudantes deve alugar autocarros de lugares e de 0 lugares.. Não... (, 7) Pág.. (C). (D). (B). (B). (B) Pág. 6. (B) 7. (A) 8. (A) 9. (B) 0. (C) Pág. 6. (C). (A). (B). (A). (C) Pág (C) 7. (A) 8. (B) 9. (C) 0. (A) Pág. 8. (A). (D). (A). (A). (B) Pág (D) 7. (D) 8. (A) 9. (C) 0. (B) Pág. 60 Proposta Proposta > 0 > 0 0, + 0,7 00 0, + 0, Proposta a.., - a Proposta. -,9., Proposta 6 Proposta Proposta 7. 0, Proposta 8. = ,6. Circunferência de diâmetro [AB]. Proposta 9.. v» = (-, ) min.. Círculo de diâmetro [A] ; está contido na área regada uma vez que A < m. Proposta 0. = ,6. Proposta. Reta perpendicular a u» e que passa por A.. Por eemplo: Determina as coordenadas do ponto de interseção da reta r com a reta que lhe é perpendicular e que passa pelo ponto A.. Proposta. -. Proposta. Mediatriz de [BC].. Proposta. 7. Pág. 6 Pág. 6 Pág. 6 7 Pág ( - ) = k å ]-, [ (0, - ) ( - )

12 9 Soluções Proposta. Plano z.. Plano mediador de [AB].. Superfície esférica de diâmetro [AB].. Circunferência de centro e raio, contida no plano z.. Ponto (0, 0, ). Proposta z + 7 = Proposta 7. Falsa. A reta r e o plano a são paralelos, podendo a reta estar contida no plano.. A reta r está contida no plano a. Proposta 8. A reta r está contida no plano b... Proposta 9. - = z - = -. k =. Proposta 0. Não. As retas r e s são não complanares (não têm pontos em comum e os vetores diretores não são colineares). Proposta. Não. Proposta.. ;. Não interseta o plano z.. ; ; Proposta.. Sim. ponto. Proposta. Pág. 6 Pág. 66 Pág = - - = z z + = 0 k = - - k = - + 7, -, 6,, (0,, - 7) 7,, 0 (, 0, 0) 0,, 0 0, 0, - (,, z) = -, -, 0 + k (0,, ), k å R -, - 6, - 6 (,, z) =, 0, 8 + k -,, -, k å R. A' (, -, ). T - 9,, 7 Proposta -. = z - = -. p Pág. 68 Proposta 6. Sistema possível e indeterminado.. Sistema possível e determinado.. Sistema impossível.. Sistema impossível.. Sistema impossível. 6. Sistema impossível. Proposta 7. Sistema impossível. s três planos intersetam-se, dois a dois, segundo retas paralelas.. Sistema possível e determinado. s três planos intersetam-se no ponto de coordenadas. 9, 9, 9. Sistema impossível. s três planos intersetam-se, dois a dois, segundo retas paralelas. Proposta 8 Só pode ser o sistema I, porque no sistema II os três planos são estritamente paralelos. Pág. 69 Proposta 9. A: sistema possível, indeterminado. s três planos intersetam-se segundo a reta r definida por: (,, z) = (,, 0) + k (, -, ), k å R B: sistema impossível C: sistema impossível. A " II B " I C " III Proposta 0. A (6, 0) ; B (6, ) ; C (, ) ; D (, ). (, ) = (, ) ; valor mínimo: 9 Pág. 70 Proposta peças do tipo A e peças do tipo B. Proposta Bolos da Avó e 6 Doces da Casa. Proposta toalhas de tamanho médio e toalhas de tamanho grande. Pág. 7 Proposta. 0 de Lavabem e 0 de Fofo.. de Lavabem e 7 de Fofo. Proposta 0 MWh de energia convencional e 0 MWh de energia eólica. NEMA-P Porto Editora

13 Soluções 9 TEMA : INTRDUÇÃ A CÁLCUL DIFERENCIAL I. FUNÇÕES RACINAIS E CM RADICAIS. TAXA DE VARIAÇÃ E DERIVADA Pág. Tarefa.,0 Æ. 70 l.. A (0 ; 6,) ; se o laranás só for produzido com sumo de ananás, o preço de cada litro é 6, Æ... 0 Pág. 7. k = 7.. +? Pág ? = 0 8. = 0 Pág. 8 NEMA-P Porto Editora a = 0. D f = R \{0} ; D' f = R \{0}. R \{} Par.. Ímpar.. Não é par nem ímpar Pág. f () = - 8 D = R \ - D = R \{-, } D = R \ D = R D = R \ {-, } Pág. Pág. f () " -? f () " 0 + f () " -? f () " Tarefa.. Por eemplo, ], [... Por eemplo, ]-, [.. A função é descontínua para = ? ?.. -? = 0 ; =.. = 0 ; =. g Pág =- ; = ; = = 9.. =- 9.. = 0 ; = 9.. = ; = Pág. 0 - ˇ Tarefa. Referencial A : b < 0 Referencial B : b > 0. Função f : referencial B ; cor verde Função g : referencial A ; cor azul. +?. -?. 0. 0

14 60 Soluções. - ˇ?. +? Pág.. NEMA-P Porto Editora = b b 0 0 Pág. b > 0 R \{0} R \{0} b < 0 R \{0} R \{0} Variação Assíntotas Decrescente em R - e em R + Crescente em R - e em R + Ímpar Ímpar Sinal Positiva se > 0 Negativa se < 0 Positiva se < 0 Negativa se > 0 Domínio Contradomínio Paridade = 0 = 0 = 0 = f (D) ; g (A) ; h (C) ; i (B). Pág. Tarefa.. Através de uma translação associada ao vetor (, 0)... Através de uma translação associada ao vetor (0, - )... Através de uma translação associada ao vetor (, - ).. Função Domínio Contradomínio Assíntotas. = R \{0} R \{0} A. V.: = 0 A. H.: = 0 f () =. ; ; A. V.: =- ; A. H.: =. D i = R \{- } ; D' i = R \{8} ; A. V.: =- ; A. H.: = 8. ; ; A. V.: = 0 ; A. H.: = D i = R \{- } D' i = R \{} D i = R \{0} D' i = R \{}. a =- ; b =- ; c = - ; Pág. - g () = - + h () = R \{} R \{0} R \{0} R \{- } R \{} R \{- } p = - 7. I, II e IV. D f = R \{0} ; D' f = R \{} D g = R \{} ; D' g = R \{0} D h = R \{} ; D' h = R \{0}. Função f : A. V.: = 0 ; A. H.: = Função g : A. V.: = ; A. H.: = 0 Função h : A. V.: = ; A. H.: = 0 A. V.: = A. H.: = 0 A. V.: = 0 A. H.: =- A. V.: = A. H.: =-.... = - + = + = - = a =- ; b = ; c =- Pág. Tarefa.. f () = - -. Através de uma simetria em relação ao eio seguida de uma translação associada ao vetor (, ).. a = - ; b =. a = - ; b = -

15 6 Pág. 6 Tarefa 6. A : 0 C ; B : 8 C.,7 C. A : diminuiu ; B : aumentou. Não.. Às h 0 min... Aproimadamente,8 C. Pág. 7 Tarefa 7. A : C ; B : - C. À medida que t aumenta, a diferença entre as temperaturas aproima-se de 0 C.. Reforça.. 0 C Pág = 6. = = Pág ; å R \{-, 0} ; å R \{-, } ; å R \{0, } ( - ) 0. - ; å R \{-, } ; å R \{- }. Pág.. - 0, Pág = - = = a = = = = - = = - = = 0 Pág. f () = - - f () = Pág. ( + ) + = 0 = = - = Tarefa 8. C (-, 0). A (-, ) ; B (, ). -? - 0 +? 7. f() S. S. +. -? - 0 +? NEMA-P Porto Editora - 8. D f = R \{-, }, 8. Retirando o ponto de coordenadas f() = S. S. +

16 6 Soluções.. Pág = 7 9. å ]0, [ Pág Pág. 8.. D =R - e. h : ], +?[ " R + -. Por eemplo, i : R " R.. h : R " R se se = - = Pág. 9 å ]-?, - [ ]0, [ -? - 0 +? å 0, R \{} j : R " R D' = -, - + se 0 - se = - Tarefa 9. 0 C. Aproimadamente min.. a =. C. Sim S. S å ]-?, - [ ]0, [ å ]-?, - [ ], +?[ å ]-?, ] ], +?[ å [-, 0[ [, +?[ å ]-?, 0[ ], +?[ å ]-, - [ ], +?[ å ]-?, - [ {} å ]-, - [ ], +?[ - + se 0 - se = - Tarefa 0.,6 km. horas e minutos.. A (7,) - A (,) = ; Entre as 8 h min e as 0 h 0 min foi contaminada uma área de km.., km. Aproimadamente 0 min.. A Inês abandonou a casa, aproimadamente, horas e 8 minutos antes de o local ser contaminado. Tarefa. Aproimadamente,7 kg.. Aproimadamente 0,9 kg.. Aproimadamente 7 meses.. Pág. 0 Pág... Uma medida ;.. Duas medidas.. Não.. A partir dos 8 meses de idade ( anos e meses). Pág.. (B). (A). (C). (D) Pág.. (D) 6. (C) 7. (A) 8. (D) t å 0, 0 7 Pág (C) 9. (D) 0. (B). (A). (D) Pág. 7. (B). (A). (A). (C) 6. (C) NEMA-P Porto Editora

17 6 Pág. 8 Proposta. a = e b = -. = e = - Proposta. Translação associada ao vetor (, 0) seguida de uma translação associada ao vetor (0, - ).. - Proposta 7. k = -. k =. k = - Proposta 8..,6 Proposta 9... å ]-?, - ] ]-, +?[ - ; å R \ -, + + ; å R \ {-, } - ; å R \{0}. Proposta. a = - ; b = - ; c = ; d = -. g () = 6 - Pág. 9 å, Pág. + - ; å R \ {-, } ; å R \{-, 0} ; å R \ -, - ; å R \ -,, NEMA-P Porto Editora Proposta. Com : ; com :. g () = ?. +? Proposta.. R \{} ponto de abcissa ?.6 -?. = 6 e =.. - e. Pág. 0 -, 0 0, Proposta 6. a = - ; b = e c = -. Falso. Por eemplo, - < - e f (- ) > f (- ).. Falso, porque - D' f.. Verdadeiro.. Verdadeiro.. Falso, porque A å ]-, +?[, f () < 0. Proposta Proposta. (-, - ). (-, - ) e (, ) Proposta. a = e b = - ; g : R + " R -. ], +?[.. ]0, [ ], +?[ ]0, ] ], +?[

18 6 Soluções Proposta... Pág. å ] -?, - ] ], +? [ å ], [ å [-, 0[ Proposta 8. 0, m., m. anos e meio. h 6 NEMA-P Porto Editora. å ]0, [ ], 6] å ]-?, 0[ å ]-?, - [ ]-, 0[ ], +? [ å ]-?, - ] ], [ ], +?[ å ]0, [ \{} 0,. 6 m t Proposta }. D ; = e = f = R \ { Proposta 9. a = - e b =. å ] -, [ ], +?[ Pág. Proposta. a = e b = 9. Translação associada ao vetor (0, ) (quatro unidades para cima) Proposta 6. r : = - ; s : =. e B (-, 0). g : ]-, - ] " R + +. j : R " R { + + se 0 - se = - Proposta 7. Pág. A ( 0, ) f () = - + g () = - + Proposta 0. (-, ). = - e = - +. e. k å ]0, 0[ Z Proposta. D = N 0. À medida que o número de peças produzidas aumentam, o custo de produção tenderá para 60 Æ.. Proposta. 0. de janeiro. 8 de fevereiro. Pág. h 0 h () = i () = - +. Assíntotas de f : = - e = Assíntotas de g : = 0 e = - 0,6 8 t Assíntotas de h : = e = + Pág. 6 Assíntotas de i : = - e = Proposta. r : = ; s : = ;. R (0, ) e S (, )

19 6. Q ( 0, ) Pág. 9. Não. A () = 9 +, logo A () > 9, A > -. å ], [., Æ. 0 Æ.. Se a produção passar de 0 para 80 peças, o custo sofre um aumento de Æ. Proposta.. a hora. t å [0, 7]. Durante as 7 primeiras horas de acompanhamento da situação, por parte da Proteção Civil, a subida do nível das águas, em relação ao nível médio, não foi superior a, m.. início do acompanhamento da situação deu-se quando H ), m. Não foi necessário evacuar a população. Pág. 7 Proposta. 7 euros P () =, sendo P o preço médio por calça e + 0 o número de calças do tipo A... V. hora Pág [8, 9] [, 8] [-, 0] [0, ] [0, ] Pág. 6 t Pág. 8 Tarefa.. a bandeira: 09:00: ;. a bandeira: 09:00:. m/s. m/s. 0 m/s. 8 m/s. Espaço percorrido entre o 8. e o 0. segundo.. Rapidez com que o esquiador se deslocou entre o 8. e o 0. segundo.. Rapidez com que o esquiador se deslocou durante os 7 segundos iniciais m/s. 7, m/s. - h [, + h] Velocidade média no intervalo [, + h] 0, [ ;,], 6. 0,09 [ ;,09],09 0,08 [ ;,08],08 NEMA-P Porto Editora 0,07 [ ;,07],07 0,00 [ ;,00],00 0,00 [ ;,00],00 m/s -

20 66 Soluções 7. I: Verdadeira ; II: Falsa Negativo. = = - Tarefa. Aproimadamente min 8 s. 60 litros. dm. Entre o. e o. minuto, o nível da água subiu dm.., dm/min. Entre o. e o. minuto, o nível da água subiu, em média,, dm por minuto..,. Verdadeira, porque f '() = e f '() =, Pág. 6 Pág. 6 Pág. 6 Pág. 6 h + h h + h t.m.v. [, + h] 0,, 0,0,0 0,00,00 0,000,000 = - +. Decorridos segundos, a bola atinge a altura máima (velocidade nula). Decorridos segundos, a bola está a descer a uma velocidade de m/s = Tarefa.. [a, b].. [0, c].. [b, c]. f '(c) < f '(a) < f '(b).. Pág Pág = f ' : R " R g' : R " R 6 Pág. 70 Tarefa. D = [, 8]. 7p ; cm /cm ; se o raio variar entre cm e cm, o volume da lata aumenta em média 7p cm por cada aumento de cm do raio.. V ' : [, 8] " R pr. 7p ; cm /cm ; quando o raio é igual a cm, o volume da lata aumenta à razão de 7p cm por cada aumento de cm do raio.., Æ. 0, ; Æ/cm ; se o raio variar entre 6 cm e 8 cm, o custo da lata aumenta em média 0, Æ por cada aumento de cm do raio.. 0, ; quando o raio é igual a cm, o custo da lata aumenta à razão de 0, Æ por cada aumento de cm do raio. Pág. 7 Tarefa 6. k = NEMA-P Porto Editora Pág m. m/s. m/s a =

21 67 Pág f '() = Pág = 8 +. P (-, - 6). Não.. Função h Pág. 7. f '() = f '() = p f '() = g () = - g () = - f '() = 6 f '() = - 0 f '() = f '() = - f ' : R " R f '() = f '() = f '() = f '() = A (, 0) ; B e, 0 C (, ) Pág. 77 Tarefa 7 00p.. ; cm ; se a distância do vértice V à superfície do líquido passar de 0 cm para 0 cm, então a área correspondente à superfície do líquido no reservatório aumenta 00p cm. 0p.. ; cm /cm ; quando a distância do vértice V à superfície 9 do líquido varia entre 0 cm e 0 cm, então a área da 0p superfície do líquido aumenta, em média, cm por cm. 9 0p.. ; cm /cm ; quando a distância do vértice V à superfície do líquido é igual a cm, a área da superfície do 9 0p líquido no reservatório está a aumentar cm por cm. 9. D = [0, 60]. - 6p cm /cm 9 Pág f ' : R " R - f ' : R " R - f ' : R " R f '() = - f '() = - f '() = - f '() = - p. B (, ) 6. = - +. = P (-, - ) NEMA-P Porto Editora Pág = = = (, - ) 7. g '() = g '() = - 7. g '() = g '() = - 7. g '() = - Pág f '() = - Pág f '() = - f '() = f '() = - f '() = f '() = f '() = g '() = ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) 8 ( + ) ( + )

22 68 Soluções Pág. 80 Tarefa 8.,6 bar. 0, bar/h Nas primeiras horas após o início da viagem, a pressão dos pneus sem furo aumentava, em média, 0, bar/h.. - 0, bar/h Nas primeiras horas após o início da viagem, a pressão do pneu com furo diminuía, em média, 0, bar/h.. 0,0 ; bar/h Cinco horas após o início da viagem, a pressão dos pneus sem furo aumentava à razão de 0,0 bar/h.. g'(t) = - (t + 0) 6. g'() ) - 0, Três horas após o início da viagem, a pressão do pneu com furo diminuía à razão de 0, bar/h. Pág Positivo. 6.. Positivo. 6. s pontos de abcissas b e d. 66. h' : R \{} " R tal que 66. h' : R \{- } " R tal que se > h'() = - se < h' : R \ tal que " R Tarefa 9. h'() = se > - se < se > h'() = - se < Pág. 8 Intervalo de tempo. 0. T'(t) = t - t + Sinal do declive da reta tangente em pontos de abcissas pertencentes ao intervalo Sinal da derivada Sentido de variação da função no intervalo (monotonia) ]0, a[ + + ]a, b[ - - ]b, c[ + +. Pág , Pág f '() < 0, A å D f ; f é estritamente decrescente em R - e em R f '() > 0, A å D f ; f é estritamente crescente em R - e em R f '() < 0, A å D f ; f é estritamente decrescente em R - e em R +. Pág t 0 T' ? +? f' f f () -? +? f' f f () f é estritamente crescente em ]-?, [ decrescente em ], +?[. 7.. Negativo. 7.. Positivo. Pág. 86 e estritamente 7. g é estritamente decrescente em e estritamente, +? crescente em ; -?, g tem um mínimo absoluto igual a - para =. 7. g é estritamente crescente em R e não tem etremos. 7. g é estritamente decrescente em ] -, 0[ e em ]0, [ ; g é estritamente crescente em ]-?, - [ e em ], +?[ ; g tem um máimo relativo igual a - para = - e um mínimo relativo igual a para =. 7. f tem um mínimo absoluto igual a 0 para = f não tem etremos. 7. f tem um mínimo relativo igual a - para = - e um máimo relativo igual a para =. 9 NEMA-P Porto Editora

23 69 Pág. 87 Tarefa 0. 7,.. P (, 8).. P (, 8) Pág. 88 Tarefa. I: = II: + e ; + IV: Pág. 9 Tarefa. euros ;,60 euros. Quantidade (em kg) Custo (em Æ). C () =. C () = 0 +,6( - ). A (, 0) ; B (7, ; ) ;,, , 0,,8 8 C (0, 8) 0 7 +? A' A A (7) A função A tem um mínimo igual a 6 para = 7. V: A piscina deve ter 7 m de largura e m de comprimento.. 8 C ;,7 C. A temperatura da água diminui entre as 8:00 e as 0:00 e entre as :00 e as 8:00. A temperatura da água aumentou entre as 0:00 e as :00. A água atingiu a temperatura máima de, aproimadamente, 8,8 C às :00 e a temperatura mínima de, aproimadamente, 6,7 C às 0:00.. ],9 ; 8,6[ Pág h é descontínua em = = 0 ; = 0 ; = 76.. R \{0, } 76.. = = NEMA-P Porto Editora Tarefa. Lucro de 0 Æ. Prejuízo de 00 Æ. 6 peças. 68 Æ ou Æ. 0 peças 7. Pág. 89 Pág. 90 C (d) = { + d se 0 < d 0 8 +,d se 0 < d 0 C d 77. Pág f () = { - - se < - + se { + se - f () = - - se < se f () = { - se > - se - f () = { - - se < - f () = { - se å ]-?, - ] [, +?[ - + se å ]-, [ { - se å [ 0, f () = ] - + se å ]-?, 0[ ] f () = { - se < 0 se 0 < se, +? [

24 70 Soluções Pág g () = se > 0 - se < a b c d e +? g' - n. d n. d n. d. + NEMA-P Porto Editora - Tarefa. Pág. 9 P () = + 0,0 se 0 0,9 -,7 se > h () = se > - se <. m. 8, Æ., + 0,0 se 0 0 R () = 7, + 0,9( - 0) se > 0. 6,0 Æ Pág i () = - se < se - < < Tarefa. 9 m. t minutos após a largada Distância do balão do Pedro ao solo (m) f(t) g(t) - -,,7,7 -, 87,7 87, ,,7, f ' : R \{-, } " R + se < - > - - se - < < - -. Dois minutos após a largada, o balão do Pedro encontrava - -se a m do solo.. Não, porque D g.. A função f..6 t å [0, 0] \{} Pág Não. 8. Sim. 8. Não. 8. Não. 8. Não, porque D f 0 D g. 8. São iguais. g' : R \{0} " R se > 0 - se < 0

25 7 Pág. 98 Tarefa 6. m ; 9 m. Quantidade de tecido, em metros, produzida pelas duas máquinas durante as 6 horas de produção. 9. f g : R \ {} " R { + - se > - ( - ) se <. +. a : quantidade de tecido, em metros, produzida pela máquina A durante as seis horas de produção. b : quantidade de tecido, em metros, produzida pela máquina B durante as seis horas de produção. c : quantidade de tecido, em metros, produzida pelas duas máquinas durante as seis horas de produção. c = a + b. horas Pág III 8. Por eemplo, g () = - 8. Por eemplo, g () = - 8. Por eemplo, g () = - Pág B 87. f e h 87. g e h Pág (B) 89. R \{-, } [, [ Pág R \{0} 90.. R \{0, } Pág R Pág. 0 R \{} R \{0, } [-, ] {-, } Tarefa 7. Baleia-de-bossa: min ; Baleia-austral: 60 min. Baleia-de-bossa: 0, metros; Baleia-austral: 06 metros. 9, metros. g - f : [0, ] " R t - 0,06t -,t. - 6 ; a diferença entre as profundidades atingidas pelos dois tipos de baleias, 0 minutos após o início de um mergulho, é de 6 metros.. minutos e 6 segundos Pág. 06 Tarefa 8. f () = ; g () =. Tempo (em min) N. de tijoleiras colocadas = f() Área revestida (em m ) g(f()) f () = g (f ()) = g () = = 0, f () = g (f ()) = g () = 6 0 7, NEMA-P Porto Editora f + g : R " R se - { + + se < - f * g : R " R { - - se - se <. 7, m. 7 m f () g (f ()) = h () =

26 7 Soluções Pág f (t) = t 96.. g (r) = p r , cm 96. a (t) = p t 96. g + f : [0, ] " R t pt min 8 s Pág Por eemplo, g () = + e h () = 98. Por eemplo, g () = e h () = Por eemplo, g () = - e h () = 98. Por eemplo, g () = + e h () = Por eemplo, g () = - e h () = 98.6 Por eemplo, g () = e h () = + Pág f + h : R " R 99.. h + f : R " R ( + ) Pág. 0 Tarefa 9. = +. = -. g + f : R \ - " R Largura + Perímetro 8, 8 0 = +. Perímetro. R +. Sim, porque a cada valor de faz corresponder um e um só valor de. Pág. 0. P () =,0 0. litros 0. = P,0 0. [-, ] Pág A função a admite inversa porque é injetiva. 0. A função b não admite inversa porque é não injetiva. 0. A função c admite inversa porque é injetiva. 0. Por eemplo, f () =. 0. f () = 0 Pág. 07. f - : R " R g - : R \{0} " R \{- } h - : R \{} " R \{} Largura 8 8, 0 = - NEMA-P Porto Editora

27 7 NEMA-P Porto Editora 09. As funções f e h não têm inversa porque não são injetivas. A função g tem inversa porque é injetiva. g - : R \{0} " R \{- } f : R + " R + Pág. Tarefa 0. r () = ; s () = ; t () = -. = b e = a.. gráfico da função inversa da função h é uma hipérbole que tem como assíntotas as retas de equações = e = -. Logo, pode ser definida por uma epressão algébrica do tipo c c - +, em que c å R, isto é, h - () = ponto de coordenadas (6, ) pertence ao gráfico da função h -, ou seja, h - (6) =, logo é possível determinar o valor de c. Pág. Tarefa. Pág cm p. m Pág. 7. f é uma função irracional.. g não é uma função irracional.. h não é uma função irracional.. i é uma função irracional... R - 0. ]-, +?[. h - : ], +?[ " R + Volume da peça P, v -?, [ -, ] - Aresta do cubo Área da face [ABEF], a,6 9,9,6,6 6,9 0,0 97,7 7, R.7. {- 7, 7 }. {}. {- }. {-, }. { 0}.6 {-, } Pág. 8.. t = E g. r = S p Pág ]-?, 0[ ], +?[ ]-?, - ] [, +?[ r = V p 6-6 Pág.. 6 ; 6 6 = 6 Pág.. D ; ; ; D' h = R + g = R D' g = R D h = R 0.. =.. = - = Pág.. ; D g = R. D f = [-, +?[ f - : R + 0 " [-, +?[ - g - : R " R NEMA-P-8

28 7 Soluções.. f é uma função par.. Não. f não é injetiva.. g () = + e h () = 8 -. Pág. 6. g - : " R + 6. Não. f não é injetiva g e h são iguais. 7. A função f. 8. ; 8. D = R + 0 ; g - () = - 8. D = R + 0 ; h - () = + Pág. Tarefa. Sim.. Não. a = b ou a = - b.. Por eemplo, - e.. Mínimo: m ; máimo: 8 m.. =,.. f (,6) = 6,8 ; se o ponto C estiver a,6 m do ponto D, então, o comprimento do fio é 6,8 m... f () = = = + ± ± ( + 9) = ( + ) + 9 = + + = Pág Através de uma translação associada ao vetor de coordenadas (, 0), seguida de uma translação associada ao vetor (0, ). 9. D f = [, +?[ ; D' f = [, +?[ ; 0. Zeros de f : 0 e ; zero de g : D f = [-, ] f - : ]-, +?[ " R f - : [7, +?[ " [, +?[ f - : R " R D = ]-?, ] f - () = - D f = R + 0 D g = [-, ] å D' f = ), Pág g - : R \{} " R \{} - f - : ]-?, ] " ]-?, ] f + g : [-, [ " R = +.. =. = 0. =. = - 0. Impossível.. = 0 =.6 = Pág. 9.,9. A (, ) e B (8, 6). (, ). (, ) e (,6 ;,), aproimadamente. Pág. 0. (B). (C). (A). (C) Pág.. (A) 6. (B) 6. (B) 7. (C) Pág. 8. (C) 9. (B) 0. (D). (A). (B) Pág.. (C). (B). (C) 6. (C) Pág. 7. (B) 8. (C) 8. (D) 9. (A) 9. (B) Pág. 0. (B). (B). (B). (B). (A) NEMA-P Porto Editora

29 7 Proposta Verdadeira. Falsa. Falsa Proposta h -. - Proposta. m/s. 8 m/s. t =, s Proposta Proposta p.. 6p Proposta 6... Pág. 6-8 Pág. 7 = - - = - = - + Proposta 7. f ' : R " R Proposta 8 A (, ) Proposta 9.. Pág. 8 Proposta 0. Ponto de abcissa.. Pontos de abcissas 0 e.. Ponto de abcissa 0. Proposta. a = e b = -. Estritamente crescente nos intervalos ]-?, - [ e ], +? [ Estritamente decrescente no intervalo ]-, [ Máimo relativo igual a para Mínimo relativo igual a - para = Proposta. 7 euros. 0, Æ/ano. 0,0 Æ/ano. preço de lançamento do produto mantém-se durante o primeiro ano. A partir do primeiro ano, o preço começa a subir, aproimando-se de 9 euros com o decorrer do tempo. Proposta. A (, ). Não, porque f '() < 0, A å D f. Pág. 9, - (, - ) Proposta. = - -? - +? f' f - NEMA-P Porto Editora... f ' : R " R - f ' : R " R f ' : R \{0} " R. f é estritamente decrescente nos intervalos ]-?, - [ e ], +?[ f é estritamente crescente nos intervalos ]-, [. Mínimo relativo igual a - para = - Máimo relativo igual a para =. = - e =

30 76 Soluções.. Proposta. Estritamente decrescente nos intervalos ]-?, - [ e ], +?[ Estritamente crescente no intervalo ]-, [ Mínimo relativo igual a 0 para = - Máimo relativo igual a para =. Estritamente decrescente nos intervalos ]-?, - [ e ]0, [ Estritamente crescente nos intervalos ]-, 0[ e ], +?[ Mínimo absoluto igual a 0 para = - e = Máimo relativo igual a 9 para = 0. Estritamente decrescente nos intervalos ]-, 0[ e ]0, [ Estritamente crescente nos intervalos ]-?, - [ e ], +?[ Mínimo relativo igual a para = Máimo relativo igual a - para = - Proposta 6. ]-?, 9[. {-, } Proposta 7. = 8 +. Sim Pág. 0 D' f = ]-, ] ]-?, - [ ], +?[ ]-, [ ]7, +?[ Proposta 8. 7 m. Aproimadamente 77,7 metros; minutos e 0 segun - dos.. m/min. m/min Proposta 9 Cada um dos catetos tem cm de comprimento. f bactérias/hora bactérias no início da. a hora. Proposta. 6,9 m. Comprimento: 6,7 m ; largura:, m Proposta. A produção deve ser superior a 8 peças e inferior ou igual a 88 peças.. 8 peças Proposta. Horizontal: m ; vertical: m ; 0 euros Proposta. RS = 0 m e SP = 6, m ; 00 euros. 0 m da rede mais cara e 70 m da rede mais económica. Proposta.. Proposta 6. Forma de círculo de raio Proposta 7 0 euros Proposta 8. Largura:, m ; altura: m Proposta 9 0 cm * 0 cm Proposta 0 7,8 cm Proposta. ),7 cm ; h ), cm Proposta. euros. Pág. Pág. Pág. Pág. C, 00 p P (0,8 ; ) NEMA-P Porto Editora Proposta bactérias/hora. 0 t

31 77. 0, Æ/ano. No momento em que a revista completa um ano após o seu lançamento, o seu custo varia à razão de 0, Æ por ano. Proposta. R \{-, }. R - \{-, - }. Proposta.. {-, } Proposta. f * h : R \{0, } " R +. f + g : R \{-, } " R - -. g + f : R \{} " R 6-9 ( - ). t 0 0 C' + n. d. - C, Mínimo relativo ]-?, - ] ]-, [ ]-?, - ] [, +?[ Máimo absoluto f g : R \ {-,, } " R ( - )( - ) Mínimo absoluto.. j : R " R Pág se 0-6 se = - Proposta 9. f + g : R \{-, 0, } " R +. h + f : ]0, [ " R - Proposta 0.. ]-?, - [ {0} ], +?[ Proposta. [- 6, ]. f admite inversa, porque é uma função injetiva. domínio da função inversa é [-, 7].. [-, 9]. Não é possível calcular (f + f)() porque f () D f.. 7 f = f - NEMA-P Porto Editora Proposta Pág.. ]-?, - ] ], +?[ Proposta 7.. R + 0 g + f : R 0 + " R se = 0 se > 0 f + g : R \{} " R - Proposta 8. R \{0} Proposta. f - : R " R - +. f - : R \{} " R \{- } Pág f - : R \ - " R \ f - : R " R

32 78 Soluções Proposta. Proposta. h é não injetiva, porque há objetos diferentes que têm a mesma imagem. Por eemplo, h (- ) = h ().. j : [, +?[ " R ( - ) Proposta. = - ; = D' f = R \{}. -. Proposta 6. å ]0, 0[. d å [7,07 ; 0[ (aproimação às milésimas). cm. É um quadrado. Proposta 7... R \{-, }.. A, área (em cm ) L, largura (em cm) C, comprimento (em cm) Pág. 8 j - : R + 0 " [, +?[ + - f - : R \{} " R \{- } - - Proposta 8. Não são iguais.. Não são iguais.. São iguais.. Não são iguais.. São iguais. f [-, +?[ ], +?[ R 8 8 6, , 8 -?, 0, +? Proposta a. a - 6 Proposta. = 8. Impossível.. = Proposta. f - : R \{0} " R \... Proposta. D f = R \{} ; {0}.. Proposta... A = - 9 ; Proposta. D f = ]-?, ] [, +?[ ; D g = R \{- }. = 7-7 = I: Verdadeira, porque f e g são funções não injetivas. II: Falsa, porque D g 0 D i. Proposta 6. R \{}.. Pág. 9 a Pág. 0. ;. Não. å, +? D g = [-, ] + D g = ]-?, ] f - : R \{0} " R \{} + g + f : ]-?, [ [, +?[ " R = + 6 [-, - ] [, +?[ å ]-, 0[ ]6, +?[ Pág. = 0, - 6, B = + 9 -?, -?, -, NEMA-P Porto Editora

33 79 NEMA-P Porto Editora TEMA : SUCESSÕES REAIS Pág. 8 Tarefa. rdem da figura n N. de fósforos n +.. Não, porque não é termo da sucessão.. 8. Na figura de ordem há cubos e na figura de ordem 9 há 90 cubos.. 7 Pág. 60 Tarefa n-ésimo u u u u u u n v n = n 8 w n = n -. a 6 = e b 7 = 8. a n = (n - ) e. 8. Pág. 6. u = 6 ; u = 0 ; u = ; u =. Não é termo.. n = 8 (inclusive). a ; a = = 0.. n = 9 Não é termo.. n = 9 (inclusive) Pág. 6 Tarefa. p 6 = ; p 7 = 70 ; p 8 = 9 b = b n = 8(n - ) ; n t n = n 8 6 s n = n n = (- )n n n z n = sin np.. p n = n - n Utilizaria esta definição, pois para calcular um termo basta conhecer a sua ordem. n = 8. a = ; a = ; a = 7. É termo. n = 6. a = a n+ = a n +, A n å N. u = - ; u = - ; u =. u = 09 Pág. 6 Tarefa. t n = n. s termos da sucessão aumentam.. aumento do caudal de água correspondente à utilização de mais uma torneira; t n+ - t n > litros. h n = 80. s termos da sucessão diminuem. n. tempo que se economiza a encher o depósito se se utilizar n + torneiras em vez de n torneiras. h n+ - h n < 0 6. (t n ) é crescente e (h n ) é decrescente. Pág. 6.. a.. a n- = n - n+ = n + n + n -.. a 6 - a < 0.. a 7 - a 6 < 0.. a n+ - a n < 0. l ; a n = n = n- n-.. l n+ - l n < 0.. a n+ - a n < 0. São monótonas (ambas decrescentes).. (v n ) e (w n ) são monótonas decrescentes (em sentido estrito). (t n ) é monótona crescente (em sentido lato). Pág (a n ) é monótona crescente (em sentido lato). (b n ) não é monótona. (c n ) é monótona decrescente (em sentido estrito). 7. (v n ) não é monótona. 7. p = 9. (w n ) é monótona decrescente (em sentido lato). 9. n = 6, n = 7 e n = 8 Pág. 66 Tarefa. Por eemplo, m a = 6.. Por eemplo, m i = 0.. [, +?[. ]-?, ]

34 80 Soluções. Conjunto Conjunto dos minorantes Conjunto dos majorantes B ]-?, - ] [7, +?[ C Não tem [, +?[ D ]-?, ] Não tem E Não tem [ -, +? [ F ]-?, - ] [6, +?[ Pág (u n ) é uma progressão aritmética decrescente. 9. (v n ) não é uma progressão aritmética, porque a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos não é constante. 0. w = 8 0. w 6 = 7. r = e b n = n -. r = - e b n = - n + 0. r = e b n = n -.. t 00 - t 80 = 0 NEMA-P Porto Editora. B e F.. t n+ - t n- =. É limitado. < u n, A n å N ( é minorante e é majorante do conjunto dos termos da sucessão). Pág (u n ) e (w n ) são sucessões limitadas. Minorante de (u n ) : 0 ; majorante de (u n ) : Minorante de (w n ) : - ; majorante de (w n ) :. Minorante: - ; majorante:. (C) Pág. 68. (u n ) é monótona decrescente (em sentido estrito) e é limitada. 6. Por eemplo, u n = n 6. Por eemplo, u n = - n 6. Por eemplo, u n = + n 6. Por eemplo, u n = n Pág. 70 Tarefa 6. d n = n km. Dia do mês de junho Distância (em km). São iguais ( km). 70 km km ; 0 km, atendendo a que (d + d 0 ) * = 0 Pág a = e p = 8 8. a n = n - e p n = 6n - 8. (a n ) é uma progressão aritmética de razão e (p n ) é uma progressão aritmética de razão Pág. 7.. u 0 = 7.. u 7 = -. 9 é termo da sucessão ( u = 9) e 0 não é... 9., e Pág u n = 6n + 6 u n = - n 7. v 0 = - e v = Pág n = 0 9. h 6 min (66 min) 9. 0 dias 9. h 0 min (680 min) Pág. 76 Tarefa a torre: ;. a torre: 9 ;. a torre: 6 ;. a torre:.. a n = 7n + ; (a n ) é uma progressão aritmética de razão 7. A razão representa a soma dos pontos de duas faces opostas e invisíveis de um dado e que correspondem à diferença de pontos entre duas torres consecutivas... n = dados k =

35 8 Tarefa 8.. objetivo foi atingido pois realizaram-se 6 Æ com a venda dos jornais ; 88 Æ. Pág ; 0. ; o número de novos fósforos usados numa fase é o dobro do número de novos fósforos usados na fase anterior. 0. f = f n+ = f n, A n å N. ; ; 6. ; - 8 ; 6. ; ; 6. É uma progressão geométrica.. Não é uma progressão geométrica.. É uma progressão geométrica.. É uma progressão geométrica.. É uma progressão geométrica.. É termo da sucessão (. termo).... Dias de venda Jornais vendidos nesse dia Total de jornais vendidos Pág. 78 Pág. 79 j n = * n- 8 u n = (- ) n+ u n = - * n- u n = 6 * n (u n ) é estritamente decrescente; (v n ) é estritamente decrescente; (w n ) não é monótona; (t n ) é estritamente decrescente. 8. u n = * n- 8. u n = * (- ) n- Pág Pág Æ.. v n+ =, v n.. 9,99 Æ , Æ Pág. 8 Tarefa 9. ; a = 8 a = 8 a n+ = a n, A n å N.,87 cm.. c n = p * n- Pág. 8 Tarefa 0. Quadro A Quadro B NEMA-P Porto Editora. u n = 9 * n-6. (w n ) é uma progressão geométrica de razão.. Não é termo da sucessão. Pág Por eemplo, 6. Por eemplo, 6. Por eemplo, 6. Por eemplo, Pág. 8 u n = * 0, n u n = * (- ) n u n = - * 0, n u n = - * n 7. u = e r = ; v e ; = - r = w = - e r = - ; t = - e r =.. a n+ = a n *,0, A n å N.. b n+ = b n * 0,98, A n å N. Nove anos.. Da venda resultou um lucro global de 9,68 Æ Passado ano 80 Æ 70 Æ Passados anos 96,0 Æ,79 Æ Q - Q = 0, * Q Q = 0,9 * Q Q n+ Q n = 0,9.. Q n = 00 * 0,9 n.. 9,7 ml

36 8 Soluções Pág. 9 Tarefa. 0 Æ Pág. 9.. u = 060. Capital inicial: 000 Æ ; taa de juro anual: % ; número de capitalizações por ano: ; número total de capitalizações:.. capital ao fim de meses, na modalidade C ,67 Æ. 0 86,7 Æ. C 0 capital inicial; j taa de juro anual; n número de capitalizações ao longo do ano. Pág (D) 8. Modalidade A : 6 00 Æ ; Modalidade B : 6 0,0 Æ ,7 Æ Pág u n " 9.. (v n ) é monótona. A função g é estritamente decrescente em N. 9.. v n " -? Pág p = 668 (inclusive) 0.. p = 6668 (inclusive) 0.. p = (inclusive) 0.. p = 0 (inclusive) 0. (b n ) (inclusive) Pág n = (inclusive) Pág Tendem para zero e são limitadas. (u n ) e (v n ) são estritamente decrescentes e (w n ) é estritamente crescente. Pág n = (inclusive) 60.. n = (inclusive) (inclusive) n > n > Pág Por eemplo, v n = ; v n + n " Por eemplo, v n = n + ; w n = n ; t n = n 66. a n = ; b ; n + n = c n n = n Pág Infinitésimos: (v n ), (w n ) e (t n ) ; Infinitamente grande positivo: (u n ) Pág. 08 Pág. 09 Tarefa. p = ; p = ; p ; = p = 8. n = (inclusive). a = 0 ; a = ; a = 0. n = 787 Pág. 0 u n " 0 v n " 0 Tarefa. a ; a ; a ; a = = 7 = = 8 6. Tendem para.. Sim. Representa a área do triângulo inicial.. p ; ; p ; p = = 7 = p =.. Tendem para p cm w n " +? 69. k å ]0, [ 69. k å ], +?[ Pág. Pág. 7. n = (inclusive) 7.. n = 0 (inclusive) 7.. n = 0 (inclusive) 7.. n = 0 00 (inclusive) 7.. n = 0 (inclusive) 7.. n = 66 (inclusive) NEMA-P Porto Editora

37 8 NEMA-P Porto Editora Pág. 7. v ; v ; v = = = Não. Por eemplo, v > v e v < v 7. Três. 7. Não. Nenhum termo de ordem ímpar pertence à vizinhança V 0,0 (0). 7. Não. Para d < 0, não eiste qualquer ordem a partir da qual os termos de ordem ímpar pertençam a V d (0). 7.. n = 6 (inclusive) 7.. n = 0 (inclusive) Pág. Tarefa. a = a = a = a = p. a 0 = p. k = p. u = u = u = 0. u n = 0 ; lim u n = 0 Pág u ; u ; u ; u ; u = 9 = = = = 7. Não. Por eemplo, u > u e u < u. 7. {} 7. Não. A sucessão dos termos de ordem par e a sucessão dos termos de ordem ímpar tendem para valores diferentes. 76. lim v n = A sucessão (v n ) não tem limite. 76. lim v n = 76. lim v n = Pág Por eemplo, 78. Por eemplo, 78. Por eemplo, 78. Por eemplo, Pág Por eemplo, 79. Por eemplo, 79. Por eemplo, 79. Por eemplo, ? 80. +? v n = n v n = n v n = - n v n = - n - 7 v n = n v n = n v n = n v n = - n Pág ? Por eemplo, a n = n e b n = - n 8. Por eemplo, a n = n e b n = n - 8. Por eemplo, a n = n e b n = - n 8. Por eemplo, 8. Por eemplo, 8. Por eemplo, Pág. 0 Tarefa. 0, m. Durante o. ano, a árvore cresceu 0, m.. Não. A equação u n = é impossível.. A altura da árvore tende para m.. a = ; um minuto após ter sido retirado do congelador, o bloco de gelo tinha cm de altura.. - 0, ; entre o. e o 7.º minuto após ter sido retirado do congelador, a altura do bloco de gelo diminui, em média, 0, cm por minuto.. Diminui. A sucessão (a n ) é estritamente decrescente.. Com o decorrer do tempo, a altura do bloco de gelo tende para zero. Pág. 8. (u n ) é estritamente decrescente. 8. Majorante: u = ; minorante: 8. Por eemplo, u n = n v n = n + n + v n = n v n = n 8. Por eemplo, u n = n 8. Por eemplo, u n = (- ) n 8. Por eemplo, u n = - n 8. Por eemplo, u n = + n (- )n 8.6 Por eemplo, u n = + n Pág. 86. (u n ) é estritamente crescente. 87. Por eemplo, u n = - n n se n ímpar 87. Por eemplo, u n = se n par 87. Por eemplo, u n = - n + (- ) n 88. lim v n =, logo (v n ) é convergente. A sucessão (v n ) não é monótona porque, por eemplo, v < v e v > v.

38 8 Soluções Tarefa 6.. Pág. 89. Por eemplo, Tarefa 7. c ; c ; c = = = 0 ; 8. Razão:. Termo geral:... n u n v n u n w n v n w,,7, w,7 00,9,0,9 w 00,0 00,99,0,99 w 00,0 000,99,00,99 w 000,00 000,998,00,998 w 000,00 Pág. Pág. Pág. 6 Tarefa 8. n =. a = Aproimadamente,, km. Pág. 7 lim w n =, S = lim (S n ) = 00 Tarefa 9. u n = 800 * 0,7 n -. v n = 000 * n- u n = + 9 n c = c n = 0 * n-. funcionário A recebeu 80,09 Æ e o funcionário B recebeu 9,0 Æ.. 7,6 Æ. funcionário A, durante o ano 0, recebeu no total 098,6 Æ. E a soma de todos os (infinitos) suplementos que o funcionário B receberia é dada por: lim n = 000 Pág.. (C). (A). (C). (B). (C) Pág.. (C). (A) 6. (B) 7. (B) Pág. 8. (D) 9. (B) 0. (B). (A). (C) Pág.. (D). (C). (C) 6. (A) 7. (B) Pág. 6 Proposta u n = n. v n = n + Proposta. ito semicircunferências. u = v =. É definida por (v n ). número de semicircunferências de uma figura é o dobro do número das eistentes na figura anterior. Pág. 7 Proposta. u n = 7n -... É termo. Situa-se na. a linha... Não é termo... É termo. Situa-se na 7. a linha.. 7. a coluna e 6. a linha.. a coluna e 7. a linha.. a coluna e 7. a linha. É a sequência 68, 69, 70, 7, 7, 7, 7 (corresponde à 8. a linha da tabela). Proposta. Por eemplo, majorante: 8 e minorante:.. Não, porque u = 9. Pág. 8 Proposta. (v n ) é estritamente decrescente, porque v n+ - v n < 0, A n å N e é limitada, porque < v n v, A n å N.. Não, porque (v n ) é estritamente crescente. NEMA-P Porto Editora