1 RELATIVIDADE ESPECIAL AULA N O 4 ( Tensor Eletromagnético Equação de Onda ) Vamos buscar entender o conceito de força, não eatamente sobre a sua origem, mas sim sobre um mais profundo conceito de força. Há muitos tipos de força na natureza, abrangendo o tipo não-relativístico e o tipo relativístico. Por eemplo, as leis do movimento de uma partícula carregada, se nós ignorarmos completamente os efeitos magnéticos {os efeitos magnéticos são eles próprios consequências do princípio da relatividade! Se a velocidade da luz fosse infinita, não haveria efeitos magnéticos sobre uma partícula carregada em movimento, sendo esta a razão pela qual a força magnética é proporcional à velocidade da partícula dividida pela velocidade da luz}, então as forças seriam de caráter puramente elétrico, em acordo com as leis de Newton e de Coulomb, sendo diretamente proporcionais ao produto das massas e ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância. Esta similaridade entre força gravitacional e elétrica na física não-relativística poderia ser esperada também na física relativística, porém isso não acontece! Elas são bastante diferentes, sendo que, na verdade, as leis da gravitação não se estendem naturalmente no campo da física relativística, tendo que ser submetidas a uma completa modificação para se adaptarem às condições relativísticas, o que não foi necessário fazer com as forças de natureza eletromagnética. Veremos então as leis das forças eletromagnéticas atuando em uma partícula carregada em movimento. Sabemos que a força de Lorentz, F ma qe v B, desconsiderando os efeitos relativísticos, é dada, por um lado, pelas equações de Newton:, onde a aceleração é obtida pela derivada da velocidade, sendo a velocidade a derivada da posição (tudo isso em relação ao tempo normal). Vamos nos ocupar com este termo da equação. Neste caso, a massa é um parâmetro identificado com o objeto, independente de sua velocidade e do tempo. Também na teoria da relatividade, a massa não varia com o tempo, pois sua definição é dada pela massa de repouso do objeto. Podemos então, colocando a massa como constante na derivada, escrever a equação da seguinte forma: F d mv dt ; onde, ou seja: F dp dt. Esta é uma definição bastante geral de força, que ultrapassa o conceito simples da física newtoniana, sendo na verdade uma versão dela na relatividade restrita. Esta definição está conectada ao produto da massa pela velocidade, porém, na relatividade, a velocidade não é aquela ordinária da física clássica, mas sim o 4- vetor velocidade, dado pela derivada do 4-vetor posição do espaço-tempo em relação ao tempo próprio. O outro lado da equação da força de Lorentz é dado por: q E, t v B, t, onde é a velocidade ordinária. Vamos ver outra interpretação para o produto vetorial. Vamos considerá-lo como um tensor antissimétrico, que é obtido a partir de dois vetores. Assim, se tivermos dois vetores:, então teremos como tensor correspondente ao produto vetorial : A1 B1 A1 B A1 B3 A1 B1 A B1 A3 B1 A B A B A B A B A B A B A B A B m n n m 1 3 1 3 A3 B1 A3 B A3 B3 A1 B3 A B3 A3 B3 OBS: As letras gregas representam índices que variam de ( ), enquanto letras latinas representam índices que variam de ( ).
Temos então o tensor antissimétrico: A1 B A B1 A1 B3 A3 B1 A B1 A1 B A B3 A3 B A 3B1 A1 B3 A3 B A B3 Este tensor tem, portanto, apenas três componentes independentes, que nós podemos associar às três componentes de um vetor. Isto, porém, não significa que as componentes do tensor se transformam da mesma maneira que as de um vetor. No entanto estas componentes irão se transformar como um vetor, se nós fizermos a correspondência correta. Neste caso, como podemos ver, os elementos do tensor são associados às componentes do produto vetorial. A B A B C 1 1 3 A B A B C 1 3 3 1 (como já vimos, o sinal está associado ao ciclo ) A B3 A3 B C1 Obtemos assim uma correspondência biunívoca entre as componentes do tensor antissimétrico Am Bn An Bm e o produto. Esta ideia pode ser generalizada para dimensões superiores. Porém, em outras dimensões, um tensor antissimétrico não terá o mesmo número de componentes de um vetor, sendo este um caso específico para três dimensões apenas. Em dimensões superiores não eiste algo como o produto de dois vetores, resultando em um vetor. Mas um produto vetorial em dimensões superiores sempre resulta em um tensor antissimétrico. Assim, a generalização do produto vetorial para outras dimensões é dada pelo tensor antissimétrico. Podemos, portanto, sempre representar as componentes de um vetor pelas componentes de um vetor antissimétrico e vice-versa. Qual é a geometria envolvida nisto? O tensor, neste caso, tem dois índices, de modo que cada componente está associada a dois eios. A componente do tensor antissimétrico é correspondente à componente do vetor. Vemos então que um vetor pode ser descrito pelas componentes coplanares do produto vetorial que resulta naquele vetor ou então pelas próprias componentes do vetor em si. Há duas formas de descrever um vetor: uma é pela seta que sai de um plano perpendicular, utilizando as componentes do vetor, e a outra é em termos das componentes deste plano. Pode-se provar que as componentes do tensor antissimétrico se transformam, sob uma rotação do sistema, do mesmo modo que as componentes de um vetor. Vejamos agora o campo magnético. Por razões históricas, as componentes do vetor magnético são relacionadas ao tensor antissimétrico através de uma mudança etra de sinal: B1 B13 B3 B B1 B 3 B3 B 1 B B13 B3 B B1 OBS: Esta ambiguidade para apresentar o vetor, relativa ao sinal, reflete a possibilidade de podermos definir o vetor que sai do plano ou que entra no plano. A força em uma partícula movendo-se em um campo magnético é dada pelo produto vetorial Nós podemos escrever esta equação utilizando o tensor antissimétrico.. = V B VB V3B V 1 B1 V3B31 V1B 11 V B V3B1 V1 B3 V3B3 V1B 1 VB V B V m nb V B V 3 1B VB1 V1B 13 VB3 V3B 33 nm (soma em n=1,,3)
Temos então para a força de Lorentz a seguinte epressão: f qvn Bnm (considerando apenas o campo magnético). Uma partícula carregada, movendo-se em um campo magnético, não altera a magnitude de sua velocidade, uma vez que a força aplicada a ela é sempre perpendicular à sua velocidade (estamos considerando um campo magnético estático ). Assim a energia cinética da partícula permanece constante: d dvm d ( VmV m) Vm amvm ( VmV m) V B V m m (a menos de um fator) dt dt dt d ( V V m m) V n B nm V m dt Uma vez que é um tensor antissimétrico: Vn BnmV m, pois todo termo é somado ao seu elemento d simétrico. Assim: ( VV m m). dt Provamos então que a magnitude da velocidade é constante. Fizemos este tipo de abordagem do problema porque nossa intenção é generalizar o processo para quatro dimensões. Já sabemos que os campos elétricos e magnéticos se misturam diferentemente de acordo com o sistema de referência utilizado, dependendo da velocidade relativa entre os sistemas. Isto deriva do fato de assumirmos que as leis da física são as mesmas em todos os sistemas de referência. É mais ou menos óbvio que, se tivermos um campo magnético puro em um sistema, um outro sistema irá perceber, dependendo de sua velocidade, um campo magnético e um campo elétrico. Vejamos um eemplo disso. Suponhamos um sistema no qual o campo magnético está na direção, com uma partícula carregada que se move na direção. y Estamos considerando movimentos não relativísticos neste caso, considerando também um campo uniforme. Sendo assim, a aceleração é B um invariante (Física Newtoniana). Então todos observadores veem a mesma aceleração. V Vamos supor que o segundo observador esteja se movendo com a mesma velocidade da partícula,. Para este observador, a partícula está em repouso. Porém, neste caso, ele também tem de observar a mesma z aceleração para a partícula, sendo que esta aceleração não pode ser atribuída ao campo magnético, segundo o ponto de vista deste observador. OBS: Neste caso estamos considerando um pequeno intervalo de tempo apenas, de modo que é possível considerar observador e partícula momentaneamente com a mesma velocidade. Dessa forma, este observador deve verificar outra fonte para esta aceleração, que, de acordo com a equação da força de Lorentz, deve vir de um campo elétrico, pois, neste sistema a velocidade da partícula é zero. Vemos assim que os campos elétricos e magnéticos misturam-se nos vários sistemas de referência em movimento relativo entre si. Porém, para obtermos as equações relativisticamente corretas, nós teremos que trabalhar com quadrivetores, ou 4-vetores! Vejamos então, novamente, o que são 4-vetores e como o campo elétrico e o campo magnético são representados por eles. O objetivo é derivarmos equações para o movimento que sejam as mesmas em todos os sistemas de referência. Temos, para os campos elétricos e magnéticos um total de seis componentes. O único objeto, em quatro dimensões, que tem seis componentes é um tensor antissimétrico. É natural então que façamos uma associação entre eles. OBS: Adotamos aqui a notação na qual o índice do tensor varia da seguinte forma:. 3
4 1 3 1 3 3 1 B B E 3 1 B B E F 1 3 B B E 1 3 E E E (Tensor do Campo Eletromagnético) Podemos ver que o tensor contém, como uma sua sub-matriz, o tensor magnético, assinalado pela linha pontilhada. Este é o objeto que deverá definir as forças atuando em uma partícula movendo-se num campo magnético. Vejamos agora qual a lei apropriada para a força, de acordo com a teoria da relatividade. Vamos começar pela ideia de aceleração. Nós já vimos o conceito do 4-vetor velocidade: d u v, vy, vz, d dt onde: 1 1 v (considerando c1) d O momento é definido por: p mu. Com isso obtemos a generalização da força definida por Newton: Força Relativística = dp d. Teremos então para a força de Lorentz a seguinte epressão: dp qf d. Vamos agora provar que f u. Trata-se de uma epressão análoga àquela vista por nós, na qual a força atuando em uma partícula carregada, movendo-se em um campo magnético, é perpendicular à velocidade. Como já vimos: u u 1, portanto: d du du du ( u u) u u u d d d d d( mu ) u f u d Assim, vemos que, neste sentido dado pelo conceito de quadrivetor, a força é perpendicular à velocidade. Para satisfazer esta condição, nós utilizamos um pequeno truque, tal como foi feito com o campo magnético em forma de tensor antissimétrico, de modo que, ao ser multiplicado por e o produto. Da mesma forma fazemos para a força, de modo que: dp qf u f d Isto significa que f u qu F u f u Esta é então uma forma para satisfazer a condição: f u. Vamos verificar que essa forma adotada para a força de Lorentz é adequada para velocidades não relativísticas: y z t 3 3 dp y z t dt dp d qf u q F u F u F u q u B u B qe q v B q E OBS: Usamos aqui a notação de índices ou indiferentemente.
Vejamos agora como tudo funciona para condições relativísticas: dp dp q v B q E (onde =1 1 v ) d dt Cancelando o fator, obtemos eatamente a equação de Lorentz. A única diferença está na definição do momento, o qual contém em si o fator, relacionado aos efeitos relativísticos. d mv Podemos escrever esta equação da seguinte forma: qv B qe. d Com isso, verificamos que a equação relativística para a força eletromagnética sobre uma partícula carregada é dada por: dp qf u d. Vejamos agora como o tensor eletromagnético se transforma com as equações de transformação de Lorentz. A forma mais simples de vermos como isso se passa é considerarmos a transformação do produto de dois vetores. Todos os tensores se transformam da mesma maneira, portanto, se soubermos como se faz uma transformação simples, saberemos tudo que precisamos. Suponhamos que o sistema de referência em movimento (representado por plicas ) está com velocidade. As equações de transformação de Lorentz, obedecida pelos 4-vetores são: 1 1 ' V 1 ' V ' 3 3 ' Façamos agora um tensor composto de dois 4-vetores:, equivalente ao tensor eletromagnético, observando como eles se transformam como produto. Para isso, vamos nos concentrar na transformação da componente do campo elétrico na direção : 1 1 E ' F ' E ' A B ' Aplicando a transformação de 4-vetor a 1 1 1 A B ' A VA B VB e, teremos: 1 1 1 1 1 A B ' A B VA B VA B ( V ) A B Podemos deduzir então qual a epressão para a transformação de : ' 1 1 11 1 F F VF VF V F Mas é antissimétrico, portanto e. Daí temos: 1 F 1V 1 1 1 1 ' 1 ' F F V F F 1V Isto significa que, se tivermos um campo elétrico na direção de, então o observador movendo-se nesta direção verá a mesma componente que o observador em repouso. Este mesmo resultado é válido também para um campo magnético ao longo do qual o observador se movimente. Vejamos agora a transformação para a componente do campo elétrico perpendicular à direção do movimento: ' ' 1 F ' A B VA B 1 F ' F VF 3 E ' E VB 1 F A B A VA B 5
6 Se a velocidade for pequena, então, de modo que o campo visto pelo observador em movimento apresenta também um campo magnético na direção. De modo análogo, nós podemos calcular a transformação para todas as componentes, verificando que as equações permanecem as mesmas em todos os sistemas de referência. Vamos ver um pouco o assunto de ondas em um campo escalar (escalar significa uma só componente). A derivada do campo, da mesma maneira que já vimos, é dada por:,,, y z t Esta derivada do campo constitui as quatro componentes covariantes de um quadrivetor, ou seja, elas se transformam seguindo a mesma regra do 4-vetor d d 1, d, d 3, d, numa forma ligeiramente diferente. Uma vez que tenhamos as equações de transformação entre as coordenadas de dois sistemas, e, nós podemos determinar, a partir das derivadas do campo em relação às coordenadas de um sistema,, as derivadas do campo em relação ao outro sistema,, através da regra da cadeia para as derivadas. ' ' soma no ídice. Então a epressão A,,,, um 4-vetor. 1 3, representa as componentes covariantes de As componentes contravariantes deste vetor são dadas por: A,,,. 1 3 Quando derivamos algum objeto (escalar, vetor ou tensor), nós obtemos um tensor acrescido de um V novo subíndice. Por eemplo: T. Vejamos agora quais são os invariantes da equação de onda. Se a equação de onda tiver uma forma que iguala um escalar a zero, então, uma vez que um escalar é sempre o mesmo em todos os sistemas, esta forma de equação de onda será invariante. As equações de onda, pela sua própria natureza, envolvem derivadas de segunda ordem (acelerações). O típico eemplo de uma equação de onda pode ser dado por:. Na verdade, esta é a única forma envolvendo derivadas de segunda ordem pela qual podemos epressar a equação na forma de um escalar. Vejamos o que esta epressão significa em detalhes: dt d dy dz Com esta equação de onda simples, podemos estudar o fenômeno e compreender a forma invariante das Equações de Mawell.