APLICAÇÃO DE UM ALGORITMO GENÉTICO NO ESTUDO DAS PERDAS E DO CONTROLE DE TENSÃO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

APLICAÇÃO DE UM ALGORITMO GENÉTICO NO ESTUDO DAS PERDAS E DO CONTROLE DE TENSÃO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Frederico Antônio Pinheiro Belo Horizonte 1998

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA CENTRO DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO EM ENGENHARIA ELÉTRICA ESCOLA DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS APLICAÇÃO DE UM ALGORITMO GENÉTICO NO ESTUDO DAS PERDAS E DO CONTROLE DE TENSÃO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Dissertação submetida a Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Concentração: Automática Linha de Pesquisa: Otimização e Projeto Assistidos por Computador Orientador: Prof. João Antônio de Vasconcelos Frederico Antônio Pinheiro Engenheiro Eletricista Belo Horizonte 1998 1

A minha mãe (Heloisa) e à minha noiva (Denise), pelo carinho, incentivo e compreensão nos momentos mais difíceis. 2

AGRADECIMENTOS A todas as pessoas que me ajudaram durante a realização deste trabalho, fica aqui o meu muito obrigado. No entanto, gostaria de agradecer especialmente à todos os meus familiares que sempre me apoiaram; aos meus irmãos Andréa e André, aos amigos do CPDEE; à CAPES; e ao meu orientador Professor João Antônio de Vasconcelos, pela ajuda na escolha do tema de dissertação e também pelo auxílio técnico oferecido durante a execução deste trabalho. 3

RESUMO Este trabalho busca fornecer ao leitor o conhecimento básico necessário para a otimização de sistemas elétricos de potência. A otimização como se sabe é uma ferramenta poderosa que pode ser empregada nas mais diversas áreas do conhecimento humano com os mais variados objetivos. Como exemplo, pode-se citar a otimização aplicada a controle de processos, projetos de estruturas mecânicas, otimização de forma de dispositivos eletromagnéticos e, entre outros, o controle de tensão e a minimização das perdas em sistemas elétricos de potência. O objetivo deste trabalho é utilizar uma técnica de otimização baseada em Algoritmos Genéticos (GAs), acoplado a um Programa de Fluxo de Carga (PFC), na intenção de se conseguir um controle de tensão e a minimização das perdas em um sistema elétrico de potência. Este acoplamento resultou no software para otimização de sistemas elétricos FLUXGEN. O GA usado, chamado de Algoritmo Genético Simples (SGA), foi idealizado por Holland em 1975 [14]. O SGA é baseado na analogia entre otimização e os mecanismos da genética e evolução natural das espécies, combinando os conceitos de adaptação seletiva, troca de material genético, e sobrevivência dos indivíduos mais capazes. O Programa de Fluxo de Carga (PFC), utilizado para cálculo das tensões e perdas, foi desenvolvido no CPDEE - Centro de Pesquisa e Desenvolvimento em Engenharia Elétrica da UFMG. O modelo utilizado no PFC é o método desacoplado rápido, sendo que no momento da resolução dos sistemas lineares foi aplicado o método ICCG (Incomplet Cholesky Conjugated Gradients). O método de otimização proposto foi aplicado aos sistemas testes de 14, 30 e 118 barras do IEEE. Os resultados numéricos mostram que os GAs são técnicas poderosas para solucionarem problemas de controle de tensão e minimização das perdas em sistemas elétricos de potência. 4

ABSTRACT This work provides an essential basic knowledge for the optimization on Electrical Power Systems. The optimization as known is a powerful tool that can be used in many areas of human knowledge with the most several goals. For example, we can mention the application of optimization to a process control, projects of mechanical structures, design optimization of electromagnetic devices and voltage control and minimization of losses in Electrical Power Systems. The aim of this work is to utilize an optimization method based on Genetic Algorithms (GAs), coupled to a Load Flow Program, to control the voltage on the bus and minimize the losses in an Electrical Power System. This coupling resulted in the electric systems optimization software called FLUXGEN. The GA used, called Simple Genetic Algorithm (SGA), was idealized by Holland in 1975 [14]. The SGA is based on the analogy between optimization and the mechanisms of genetic and natural evolution of the species, combining the concepts of selective adaptation, genetic material change and survival of the fittest. The Load Flow Program, used to evaluate voltage and losses, was developed in the CPDEE / UFMG. The model utilized on LFP is the fast uncoupled method, being the ICCG - incomplete cholesky conjugated gradients method applied to solve the linear system of equations. The optimization method proposed was applied to the 14, 30 and 118 IEEE bus test systems. The numerical results show that the GAs are powerful techniques to solve minimization problems of losses and voltage control in Electrical Power Systems. 5

SIMBOLOGIA a km B B B km b km b km sh b k sh C CB CO E k E m f( x ) FF ff( x ) ff i ff max ff med G km GA GAs g i ( x ) g 1 k ( x ) g 2 k ( x ) g km h i ( x ) h 1 k ( x ) h 2 k ( x ) h 2 I k I km I k sh I mk Tap do transformador existente entre a barra k e a barra m; Matriz real, esparsa e simétrica do método Desacoplado Rápido para as barras PQ e PV; Matriz real, esparsa e simétrica do método Desacoplado Rápido para as barras PQ; Elementos da matriz de susceptância das barras; Susceptância série existente entre a barra k e a barra m; Susceptância shunt existente entre a barra k e a barra m; Susceptância shunt ligada à barra k; Matriz utilizada no pré-condicionamento do método ICCG; Caso base gerado através do Programa de Fluxo de Carga; Caso otimizado gerado através do programa FLUXGEN; Tensão na barra k; Tensão na barra m; Função objetivo; Adaptação dinâmica fora da faixa; Função de adaptação ou função aptidão; Desempenho ou aptidão do indivíduo i; Melhor valor de desempenho numa dada geração; Desempenho médio da população numa dada geração; Elementos da matriz de condutância das barras; Algoritmo Genético; Algoritmos Genéticos; i-ésima função de restrição de desigualdade; Função de restrição de desigualdade para tensão na k-ésima barra de carga; Função de restrição de desigualdade para potência reativa na k-ésima barra de tensão controlada; Condutância série existente entre a barra k e a barra m; i-ésima função de restrição de igualdade; Função de restrição de igualdade para equação de fluxo de carga referente a potência ativa; Função de restrição de igualdade para equação de fluxo de carga referente a potência reativa; Forma quadrática da função resíduo, do método ICCG; Injeção de corrente na barra k; Injeção de corrente entre a barra k e a barra m; Injeção de corrente proveniente do elemento shunt ligado à barra k; Injeção de corrente entre a barra m e a barra k; 6

j k k c k m m m dg NB NBPQ NBPV NL n pop NT p c PFC p i p 0 P k P k esp P km P loss p m P mk PQ PV Q k Q k esp Q km Q k max Q k min Q k sh Q loss Q mk r km r i r 0 Posição de corte em uma cadeia de caracteres; Barra k do sistema; Fator de multiplicação da probabilidade de cruzamento para diversidade genética; Fator de multiplicação da probabilidade de mutação para diversidade genética; Barra m do sistema; Medida da diversidade genética; Número de barras do sistema; Número de barras de carga; Número de barras de tensão controlada; Número de linhas de transmissão; Número de indivíduos da população; Número de transformadores em-fase; Probabilidade de cruzamento; Programa de Fluxo de Carga; Direção para procura da solução utilizada no método ICCG; Direção inicial para procura da solução utilizada no método ICCG; Injeção líquida de potência ativa na barra k; Potência líquida ativa especificada para a barra k; Fluxo de potência ativa da barra k para a barra m; Perda de potência ativa entre as barras k e m; Probabilidade de mutação; Fluxo de potência ativa da barra m para a barra k; Barra de carga; Barra de tensão controlada; Injeção líquida de potência reativa na barra k; Potência líquida reativa especificada para a barra k; Fluxo de potência reativa da barra k para a barra m; Limite máximo de potência reativa na k-ésima barra de tensão controlada; Limite mínimo de potência reativa na k-ésima barra de tensão controlada; Injeção de potência reativa proveniente do elemento shunt ligado à barra k; Perda de potência reativa entre a barras k e m; Fluxo de potência reativa da barra m para a barra k; Resistência série existente entre a barra k e a barra m; Resíduo ou estimativa da solução utilizado no método ICCG; Resíduo inicial ou estimativa inicial da solução utilizado no método ICCG; 7

r 1 0 r 2 0 S * k S * km S * mk SGA T t ij Vθ V dg max V dg min V k V k esp V k max V k min Resíduo inicial ou estimativa inicial da solução para potência ativa utilizado no método ICCG; Resíduo inicial ou estimativa inicial da solução para potência reativa utilizado no método ICCG; Injeção líquida de potência na barra k; Fluxo de potência entre a barra k e a barra m; Fluxo de potência entre a barra m e a barra k; Algoritmo Genético Simples; Matriz de fatorização incompleta de Cholesky; Elementos da matriz de fatorização incompleta de Cholesky; Barra de referência; Limite máximo de diversidade genética; Limite mínimo de diversidade genética; Módulo da tensão na barra k; Módulo da tensão especificada na k-ésima barra de carga; Limite máximo do módulo da tensão na k-ésima barra de carga; Limite mínimo do módulo da tensão na k-ésima barra de carga; V m Módulo da tensão na barra m; x km x max Reatância série existente entre a barra k e a barra m; Vetor de limite máximo para as variáveis de otimização; x x i x 0 x min Y kk y km Y km z km Vetor de variáveis de otimização; Vetor de incógnitas para o problema de fluxo de carga; Vetor de incógnitas inicial para o problema de fluxo de carga; Vetor de limite mínimo para as variáveis de otimização; Elementos da diagonal da matriz de admitância das barras; Admitância série existente entre a barra k e a barra m; Elementos fora da diagonal da matriz de admitância das barras; Impedância série existente entre a barra k e a barra m; z Vetor solução utilizado no pré-condicionamento de Cholesky; φ( x ) σ Função pseudo-ojetivo; Parâmetro de ponderação para o perfil de tensão do sistema; µ Parâmetro de ponderação para as perdas ativas totais do sistema; λ ρ Parâmetro de penalidade que multiplica a função de restrição de desigualdade para violação dos limites de potência reativa nas barras de tensão controlada; Parâmetro de penalidade que multiplica a função de restrição de desigualdade para violação dos limites de tensão nas barras de carga; " Comprimento do cromossomo; Ω k Conjunto que representa todas as barras ligadas à barra k; 8

Ω L Conjunto que representa todas as barras ligadas à barra k, incluindo a própria barra k; θ k Ângulo da tensão na barra k; θ km Ângulo da tensão entre a barra k e a barra m; θ m Ângulo da tensão na barra m; ε p ε q ε ff Erro máximo admissível para convergência de potência ativa; Erro máximo admissível para convergência de potência reativa; Constante utilizada na função aptidão para evitar uma divisão por zero ou um valor negativo; i P i Vetor de potência ativa a ser resolvido no problema de fluxo de carga a cada iteração i; Q i Vetor de potência reativa a ser resolvido no problema de fluxo de carga a cada iteração i; V i Vetor de correção do módulo das tensões nas barras na iteração i; θ i Vetor de correção dos ângulos nas barras na iteração i; x i+1 e o resíduo r I no método ICCG; α Valor escalar na iteração i utilizado para determinar a solução β i Valor escalar na iteração i utilizado para determinar a direção de procura da solução p i+1 no método ICCG. 9

ÍNDICE 1 INTRODUÇÃO... 1 2 ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA... 2 2.1 INTRODUÇÃO... 2 2.2 FORMULAÇÃO BÁSICA DO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA... 4 2.2.1 Fluxo de Carga pelo Método Desacoplado Rápido...7 2.3 RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES...9 2.3.1 Método ICCG Incomplet Cholesky Conjugated Gradients...10 2.4 VARIÁVEIS DE OTIMIZAÇÃO PARA O PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA...13 2.5 ALGORITMOS GENÉTICOS (GAS)...16 2.5.1 Estágios dos Algoritmos Genéticos...16 2.5.2 Sistema de Representação...17 2.5.3 Esquemas de Seleção...19 2.5.4 Operadores Genéticos...20 2.5.5 Parâmetros Genéticos...21 2.5.6 Estratégias Elitistas e Adaptação Dinâmica...22 2.6 PROGRAMA FLUXGEN...24 2.7 CONCLUSÃO...26 3 APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS...28 3.1 INTRODUÇÃO...28 3.2 SISTEMA DE 14 BARRAS IEEE...29 3.3 SISTEMA DE 30 BARRAS IEEE...31 3.4 SISTEMA DE 118 BARRAS IEEE...33 3.5 ANÁLISE COMPARATIVA DE RESULTADOS...38 3.6 CONCLUSÃO...43 4 CONCLUSÃO...44 APÊNDICE A - VISÃO GERAL DO SOFTWARE FLUXGEN...46 APÊNDICE B - ARQUIVOS DE DADOS DOS SISTEMAS TESTES DO IEEE... 47 APÊNDICE C - CÁLCULOS APLICADOS À FORMULAÇÃO BÁSICA DO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA... 60 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 65

1. INTRODUÇÃO Um trabalho de otimização aplicado a sistemas elétricos de potência, mais especificamente à minimização das perdas e controle de tensão, se justifica no fato de que é altamente vantajoso para as concessionárias de energia elétrica operarem o sistema de uma maneira ótima. Operação ótima significa, por exemplo, a operação com mínimas perdas e tensões nas barras dentro de limites rigorosamente fixados [32]. O objetivo deste trabalho é utilizar um método de otimização baseado em um Algoritmo Genético Simples (SGA), acoplado a um Programa de Fluxo de Carga (PFC), visando essencialmente conseguir um controle de tensão dos barramentos e a minimização das perdas em um Sistema Elétrico de Potência. Este acoplamento resultou no software para otimização de sistemas elétricos FLUXGEN. O trabalho consiste basicamente de 4 capítulos descritos a seguir: O primeiro capítulo apresenta os objetivos, as justificativas e nele se introduz o tema. O capítulo 2 faz uma breve revisão do problema de Fluxo de Carga Ótimo, discute a solução do sistema de equações de Fluxo de Carga e o modelo computacional adotado, e apresenta o SGA - Algoritmo Genético Simples, método de otimização utilizado no FLUXGEN. O capítulo 3 refere-se à validação do programa FLUXGEN, através da apresentação dos resultados na resolução de problemas testes do IEEE. O capítulo 4 apresenta as principais conclusões obtidas com o trabalho em termos de otimização de sistemas elétricos de potência. São apresentados ainda referências bibliográficas utilizadas na realização deste trabalho e alguns apêndices, que vieram complementar o texto. O apêndice A contém uma visão geral do software FLUXGEN, desenvolvido em C++. O apêndice B mostra os arquivos de dados dos sistemas testes de 14, 30 e 118 barras do IEEE. E finalmente, no apêndice C é mostrado o desenvolvimento de algumas equações decorrentes da formulação básica do cálculo de fluxo de carga. 1

2. ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 2.1. INTRODUÇÃO O problema de otimização de controle de tensão e minimização das perdas, em Sistemas Elétricos de Potência, é formulado como um caso particular do problema de Fluxo de Carga Ótimo [33]. O Fluxo de Carga Ótimo (FCO) é um problema de otimização não-linear e nãoconvexo, utilizado, principalmente, no planejamento da operação de Sistemas Elétricos de Potência (SEP). A operação de SEP requer o atendimento da carga, a economia dos recursos disponíveis e a observação dos limites operacionais dos equipamentos. O FCO procura estados de operação que cumpram estes três requisitos simultaneamente, através da minimização de uma função objetivo sujeita a restrições funcionais não-lineares [32]. Na literatura, existem diversos métodos para a solução do problema de Fluxo de Carga Ótimo, e a escolha do método mais adequado para uma dada aplicação é um compromisso entre as vantagens relativas dos métodos existentes para aquela aplicação em particular. O desempenho da cada método pode ser influenciado pelo tipo e tamanho do problema a ser resolvido, pelo sistema computacional disponível e pelos detalhes da implementação [39]. Dentre os métodos de otimização utilizados na solução do problema de Fluxo de Carga Ótimo, duas grandes famílias se destacam: determinísticos e estocásticos [19]. Os métodos determinísticos são constituídos por algoritmos que normalmente fazem uso do cálculo de derivadas da função objetivo para a determinação da direção de busca para a pesquisa do ponto solução. A procura pelo ponto ótimo usa o ponto corrente como ponto de partida para a próxima iteração. O fato da direção de busca ser geralmente função de derivadas da função objetivo, faz com que o ponto solução encontrado seja quase sempre um ponto de ótimo local. As desvantagens dos algoritmos determinísticos são, então, a necessidade de cálculo de derivadas e a não garantia do ótimo global. Por outro lado, eles possuem grande rapidez e precisão na procura do ponto solução [25]. 2

Dentre os métodos de otimização determinísticos, encontram-se, por exemplo: algoritmos quasi - Newton como BFGS e DFP [20]; algoritmos que se baseiam na transformação do problema original como ALM - Método de Lagrangeano Aumentado [6], e métodos de penalidades. Os métodos de otimização de Newton e ALM são muito utilizados na solução do problema de Fluxo da Carga Ótimo. Os métodos estocásticos buscam o ponto solução a partir de regras de probabilidade. Dessa forma, a busca não é feita somente na vizinhança e, com isso, aumenta-se a chance de se encontrar um ponto de ótimo global. As vantagens destes métodos são a não necessidade de cálculos de derivadas e a capacidade de encontrar a solução global. Porém, o número de avaliações da função objetivo, necessárias para se chegar à solução ótima, é normalmente superior ao número requerido pelos métodos determinísticos [25]. Dentre os métodos de otimização estocásticos, encontra-se os Algoritmos Genéticos (GAs). Os GAs consistem na analogia entre otimização e os mecanismos da genética e evolução natural das espécies, combinando os conceitos de adaptação seletiva, troca de material genético e sobrevivência dos indivíduos mais capazes [14]. A utilização de GAs para solucionar problemas de otimização em sistemas elétricos de potência, tem como grande vantagem a robustez do método e a não necessidade de cálculo de derivadas em relação aos métodos determinísticos [8]. Este trabalho descreve um método de otimização baseado em um Algoritmo Genético Simples (SGA), acoplado a um Programa de Fluxo de Carga (PFC), na intenção de se conseguir um controle de tensão nos barramentos e a minimização das perdas em um Sistema Elétrico de Potência. O método proposto foi aplicado aos sistemas testes de 14, 30 e 118 barras do IEEE, e os resultados são apresentados no próximo capítulo. Toda a teoria a respeito da formulação básica do problema de fluxo de carga e do modelo computacional adotado na sua resolução podem ser facilmente encontrados na literatura [17]. Neste trabalho, o método utilizado no Programa de Fluxo de Carga é o método Desacoplado Rápido, sendo que no momento da resolução dos sistemas lineares foi aplicado o método ICCG (Incomplet Cholesky Conjugated Gradients) [16]. 3

Em geral os métodos computacionais para cálculo do fluxo de carga consistem na resolução conjunta de um sistema de equações algébricas não-lineares através de métodos iterativos e do problema que considera a atuação dos dispositivos de controle e a representação dos limites de operação do sistema [17]. Em todo sistema elétrico existe uma série de equipamentos que controlam determinadas variáveis, automaticamente ou não, e cujos efeitos não foram considerados no modelo apresentado. Como exemplo, pode-se citar: controle de magnitude de tensão por ajuste de taps; controle de fluxo de potência ativa por transformador defasador; controle de fluxo de potência reativa por banco de capacitores / indutores e controle de intercâmbio em sistemas interligados [19]. Os limites operacionais mais comuns e considerados no modelo são: limites de injeção de potência reativa em barras de tensão controlada e limites de tensão em barras de carga. 2.2. FORMULAÇÃO BÁSICA DO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA O objetivo básico do Programa de Fluxo de Carga (PFC) consiste em determinar os módulos e ângulos das tensões das barras do sistema [17]. Após calculadas as magnitudes das tensões nodais V k e os ângulos θ k de todas as barras k do sistema, pode-se calcular qualquer outra variável de interesse como, por exemplo, a potência ativa e reativa de qualquer barra, os fluxos de potências nas linhas de transmissão e transformadores, as perdas ativas totais na transmissão, etc. Para calcular os valores de θ k e V k de todas as barras k do sistema, utiliza-se um procedimento iterativo, onde as diferenças entre as potências ativa e reativa especificadas e calculadas para a k-ésima barra devem ser reduzidas a valores inferiores aos erros especificados. Para isto, monta-se um sistema de equações algébricas não-lineares definido através das expressões [17]: P = P P ( V, θ ) 0 para as barras PQ e PV k esp k esp k k k k Q = Q Q ( V, θ ) 0 para as barras PQ k k k k (2.1) esp esp onde P k e Q k são respectivamente as potências líquidas ativa e reativa especificadas para a k-ésima barra sob consideração; P k e Q k são respectivamente as potências líquidas ativa e reativa calculadas para a k-ésima barra sob consideração. 4

As barras do tipo PQ são aquelas associadas às barras de carga do sistema. As barras do tipo PV são utilizadas para representar as barras de geração ou barras de tensão controlada, onde estão ligados condensadores e compensadores síncronos ou estáticos. A barra Vθ, também denominada na literatura como barra de referência ou de balanço, fornece a referência angular do sistema e serve para fechar o balanço de potências ativa e reativa ao final do processo de resolução do fluxo. Neste trabalho, foi considerado apenas as barras do tipo PQ, PV e Vθ apresentadas na Tabela 2.1. Tabela 2.1 - Tipos de Barras do Sistema. Tipo Dados Incógnitas PQ P k e Q k V k e θ k PV P k e V k Q k e θ k Vθ V k e θ k P k e Q k Após a resolução do sistema de equações obtido com a aplicação da equação (2.1) às barras do sistema, tem-se os valores das magnitudes de tensão V k e dos ângulos θ k para todas as barras. As barras PQ passam a ter todos os valores P k, Q k, V k e θ k conhecidos. Para as barras PV fica faltando Q k e para a barra Vθ fica faltando P k e Q k. Estes valores desconhecidos são calculados através da aplicação direta das equações de potências ativa e reativa em uma barra k definidas matematicamente como demonstrado no Apêndice C. P = V V ( G cosθ + B sen θ ) k k m km km m Ω L Q = V V ( G senθ B cos θ ) k k m km km m Ω L km km km km (2.2) onde Ω L é o conjunto que representa todas as barras ligadas à barra k incluindo a própria barra k; V m representa o módulo da tensão na barra m; θ km representa o ângulo da tensão entre a barra k e a barra m, definido pela expressão θkm = θk θm ; G km e B km são os elementos da matriz admitância das barras, definida pela expressão Ykm = Gkm + jbkm. Neste trabalho, os elementos da matriz admitância das barras são determinados através do modelo π equivalente tanto para modelagem das linhas de transmissão quanto para transformadores em-fase. A matriz admitância das barras é uma matriz esparsa que tem suas linhas e colunas associadas às barras do sistema, como por exemplo: Y 33 representa o elemento que corresponde à barra 3. Y 23 representa o elemento que corresponde à ligação da barra 2 com a barra 3. 5

Sempre que entre os nós k e m não existirem linhas ou transformadores tem-se Y km = 0. Os elementos da matriz admitância das barras são definidos matematicamente como demonstrado no Apêndice C. sh 2 sh Ykk = jbk + ( akmykm + jbkm) m Ω k (2.3) Y = a y km km km onde Ω k é o conjunto que representa todas as barras ligadas à barra k; b k sh é a susceptância shunt ligada a barra k; y km é a admitância série existente entre a barra k e a barra m; a km sh representa o Tap do transformador existente entre a barra k e a barra m; e b km susceptância shunt existente entre a barra k e a barra m. Note que, se o elemento existente entre as barras k e m for uma linha de transmissão tem-se a km = 1 e se for um transformador sh tem-se b km = 0. A admitância série y km existente entre a barra k e a barra m é definida como: é a rkm xkm ykm = gkm + jbkm = j 2 2 2 2 (2.4) r + x r + x onde g km e b km são respectivamente a condutância série e a susceptância série existentes entre a barra k e a barra m; r km e x km são respectivamente a resistência série e a reatância série existentes entre a barra k e a barra m. As perdas de potências ativa e reativa entre as barras k e m podem ser calculadas, respectivamente, por: km km P = P + P Q = Q + Q loss km mk loss km mk onde P km, Q km, P mk e Q mk são respectivamente os fluxos de potências ativa e reativa da barra k para a barra m e da barra m para a barra k, definidos matematicamente como demonstrado no Apêndice C. km km (2.5) 2 Pkm = ( akmvk ) gkm ( akmvk ) Vmgkm cos θkm ( akmvk ) Vmbkm senθkm 2 2 sh km k km km km km k m km km km k m km km Q = V ( a b + b ) + ( a V ) V b cos θ ( a V ) V g senθ 2 Pmk = Vm gkm ( akmvk) Vmgkmcos θkm + ( akmvk) Vmbkmsenθkm 2 sh mk m km km km k m km km km k m km km Q = V ( b + b ) + ( a V ) V b cos θ + ( a V ) V g senθ (2.6) (2.7) sendo que, para linhas de transmissão tem-se a km = 1 e para transformadores em fase tem-se b sh km = 0. 6

Conforme dito anteriormente, o método utilizado no Programa de Fluxo de Carga (PFC) para se resolver o sistema de equações (2.1) é o método Desacoplado Rápido. Este método foi o escolhido por apresentar-se eficiente e rápido na resolução dos sistemas testes do IEEE. 2.2.1. Fluxo de Carga pelo Método Desacoplado Rápido Em 1974, Stott e Alsac [27] apresentaram o primeiro algoritmo utilizando o método Desacoplado Rápido. Este método é derivado do método de Newton-Raphson e Newton- Raphson Desacoplado [26]. Este método reduz o problema de fluxo de carga não-linear (2.1), considerando algumas aproximações das submatrizes da matriz jacobiana do método de Newton-Raphson Desacoplado, em um sistema de equações lineares, que deve ser resolvido a cada passo do processo iterativo [17]. 1 V P = B' θ 1 V Q = B" V para as barras PQ e PV para as barras PQ (2.8) onde V -1 é uma matriz diagonal cujo os elementos não nulos são as magnitudes das tensões das barras; θ e V são respectivamente o vetor de correção dos ângulos das tensões nas barras PQ e PV e o vetor de correção das magnitudes das tensões nas barras PQ; e B e B são aproximações das submatrizes da matriz jacobiana cujos elementos são dados abaixo: 1 sh 2 1 sh km km km kk k km km km m Ω k B = a x ; B = b + ( a x b ) para as barras PQ e PV sh km km km kk k 2 sh km km km m Ω k B" = a b ; B" = b ( a b + b ) para as barras PQ (2.9) sh sendo que, para linhas de transmissão tem-se a km = 1 e para transformador tem-se b km = 0. Na matriz B não aparece as linhas e colunas referentes às barras Vθ e na matriz B não aparece as linhas e colunas referentes às barras Vθ e PV. As matrizes B e B são reais, esparsas e simétricas, e como contêm apenas admitâncias da rede, são constantes e só precisam ser montadas uma vez. O fluxograma do método Desacoplado Rápido é apresentado na Figura 2.1. As variáveis p e q, apresentadas no fluxograma, representam os contadores de iteração utilizados na resolução independente das equações de potências ativa e reativa, respectivamente; k p e k q são utilizadas para indicar a convergência de potências ativa e reativa (convergiu k p e k q = 0, 7

não convergiu k p e/ou k q = 1); e ε p e ε q são os erros máximos admissíveis para se considerar a convergência das potências ativa e reativa, respectivamente. k p = k q = 1 p = q = 0 Calcular P Convergiu? P k max ε p K p = 0 Resolver a equação (2.8) para P Atualizar [θ] θ p+1 = θ p + θ p Incrementar p p = p +1 K q = 0? K p = 1 Calcular Q SOLUÇÃO Convergiu? Q k max ε q K q = 0 Resolver a equação (2.8) para Q Atualizar [V] V q+1 = V q + V q K p = 0? Incrementar q q = q +1 K q = 1 Figura 2.1 - Fluxograma do Método Desacoplado Rápido. 8

2.3. RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Como foi visto anteriormente, o problema do fluxo de carga, utilizando o método desacoplado rápido, depende a cada iteração da resolução do sistema de equações (2.8). O sistema de equações para se obter os valores de V e θ, incógnitas escrito da seguinte forma: x do problema, pode ser Ax = b (2.10) Dentre os métodos utilizados para resolver o sistemas de equações lineares provenientes do método Desacoplado Rápido, duas grandes famílias se destacam: diretos e iterativos [4]. Os métodos diretos, tais como Fatoração LDU [17] e Bifatoração [4], são muito utilizados na resolução do problema de fluxo de carga e em outras aplicações na análise de sistemas de potência, devido a sua confiabilidade e rapidez [4]. Dentre os métodos iterativos utilizados na resolução do problema de fluxo de carga, pode-se citar: método dos Gradientes Conjugados [16] e o método ICCG - Incomplet Cholesky Conjugated Gradients [16]. Estes métodos apresentam boa confiabilidade e desempenho. Uma vantagem dos métodos iterativos sobre os diretos é a possibilidade de interromper o processo após atingir-se uma precisão adequada, sem necessariamente terem sido executadas todas as iterações, porém, estes métodos apresentam-se mais lentos que os métodos diretos [4]. Como a matriz A do sistema de equações (2.10) é uma matriz real, simétrica, esparsa e constante, os métodos diretos são bem mais indicados para se resolver este tipo de problema, pois a inversão da matriz A só precisa ser feita uma única vez. Porém, escolheu-se um método iterativo, de comprovada eficiência, tendo em vista o desenvolvimento futuro do software FLUXGEN para a resolução de problemas em que a matriz A não é constante. O método utilizado no Programa de Fluxo de Carga foi o método ICCG (Incomplet Cholesky Conjugated Gradients), que ainda não é facilmente encontrado na literatura, mas que se mostrou eficiente e rápido na resolução do sistema de equações relativas ao problema de fluxo de carga. 9

O método ICCG é um método iterativo, aplicável a sistemas com matriz A real, simétrica e positiva definida. Tais requisitos são prontamente fornecidos pelos sistemas de equações decorrentes do método Desacoplado Rápido. O método ICCG utiliza-se do método dos gradientes conjugados com précondicionamento por decomposição incompleta de Cholesky, daí o nome ICCG - Incomplet Cholesky Conjugated Gradients. O pré-condicionamento é efetuado por uma matriz C -1 próxima da matriz A -1. Assim, a matriz do sistema, após as pré-multiplicações por C -1 de ambos os lados, aproxima-se da matriz identidade, para cujo sistema o método de gradientes conjugados converge em uma única iteração [16]. 2.3.1. Método ICCG - Incomplet Cholesky Conjugated Gradients O pré-condicionamento consiste na substituição do sistema (2.10) pela expressão abaixo, em que C -1 é próximo de A -1 [16]. 1 1 C Ax= C b (2.11) O método dos gradientes conjugados não pode ser aplicado diretamente sobre o sistema (2.11), pois mesmo C -1 sendo simétrica, a multiplicação das matrizes C -1 A pode resultar em uma matriz não simétrica. Para contornar este problema, supondo-se que C -1 seja positiva definida, pode-se definir uma matriz C -1/2 simétrica e definida positiva, tal que [16]: / ( C ) 12 2 1 = C (2.12) Substituindo a equação (2.12) na expressão (2.11), o sistema pode ser reescrito como: ( C 12 / AC 12 / 12 / )( C x) = ( C 12 / b) (2.13) O sistema (2.13) pode ainda ser escrito de forma aproximada ao sistema original, como: A x = b (2.14) iccg iccg iccg 10

Após o pré-condicionamento, o método dos Gradientes Conjugados é aplicado ao sistema (2.14). O algoritmo do método ICCG pode ser obtido como apresentado abaixo: Passo 1 Definir um resíduo inicial 0 0 r = b Ax a partir de uma estimativa inicial da solução. Deseja-se obter um novo valor x i+1 para o qual r i+ 1 = 0. Para isso, minimiza-se a forma quadrática da função resíduo 2 T 1 h = r A r. Passo 2 Passo 3 Passo 4 0 0 Calcular z 0 a partir do sistema Cz = r. Para isso, aplica-se a fatorização incompleta de Cholesky. Definir uma direção inicial p 0 0 = z no espaço R n (n é a dimensão do problema). Determinar o passo α i de tal forma a minimizar a medida de erro h 2 ao longo da direção direção de p i. Para tanto, define-se uma reta i i i x +α p, que passa por p i. Procura-se um ponto sobre esta reta para o qual mínimo. Isto ocorre para h i i i r = b A( x + α p) na expressão de em: α i i ( r ) = ( p) i T T i z i. Ap 2 i x i e tem a h 2 atinge um / α = 0. Desenvolvendo esta equação, para h 2, pode-se determinar o ponto de mínimo Passo 5 Determinar a próxima solução corrente e o próximo resíduo como: i 1 i i i x + = x + α p, i 1 i i i r + = r α Ap T i Passo 6 Testar a convergência: Se ( r + 1) i r + 1 < i dentro da faixa de tolerância ±ε; se ( r ) prosseguir. i+ 1 i+ 1. Passo 7 Determinar Cz = r ε, então T 1 i 1 x i será a solução procurada + r + > ε, o algoritmo deverá Passo 8 Passo 9 Determinar Determinar β i = i ( r ) i ( r ) T + 1 i + 1 T z z i+ 1 i+ 1 i i p = z + β p. i. Passo 10 Fazer i = i +1 e retornar ao passo 2. 11

Conforme pode ser verificado no método ICCG é necessário determinar a matriz C o mais próximo de A. Na realidade, além das operações habituais do método do gradiente conjugado, no método ICCG é necessário resolver um sistema da forma: Cz = r ou z= C 1 r (2.15) Para que a resolução do sistema seja a mais simples possível, aplica-se a fatorização incompleta de Cholesky sobre a matriz C. A matriz C é então decomposta no produto de uma matriz triangular inferior por sua transposta, isto é: C = T T T (2.16) A vantagem deste método se deve ao fato de que os únicos elementos que serão calculados na matriz T são os que ocupam posições em que existem elementos não nulos na matriz A original, isto é: Os elementos da matriz T podem ser definidos como [16]: t ij = 0 se a ij = 0 (2.17) t ij j 1 a t t k = = 1 t ij ik jk jj para j i (2.18) Note que, o método ICCG aplicado ao problema de fluxo de carga consiste na resolução do sistema de equação (2.14), onde: x 0 = θ V 0 0 0 r1 0 r =, r2 0 (2.19) sendo: θ 0 T 0 = [ 0 0... 0] V = [ 1 1... 1] 1 0 0 P 0 Q r = B' θ r = B V 0 0 V V 2 0 0 0 T (2.20) Após definido os métodos utilizados no PFC - Programa de Fluxo de Carga (método Desacoplado Rápido e ICCG), deve-se partir para a solução do problema de Fluxo de Carga Ótimo (FCO). O FCO, conforme dito anteriormente, é um problema de otimização não-linear e nãoconvexo, empregado principalmente no planejamento da operação de Sistemas Elétricos de 12

Potência. O Fluxo de Carga Ótimo procura estados de operação que cumpram os requisitos de atendimento da carga, economia dos recursos disponíveis e observação dos limites operacionais dos equipamentos, ao mesmo tempo, minimizando uma função objetivo sujeita a restrições funcionais não-lineares [32]. O método de otimização adotado neste trabalho é baseado em Algoritmos Genéticos (GAs). O primeiro passo no processo de otimização utilizando GAs é escolher o tipo de codificação dos parâmetros ou variáveis de otimização. 2.4. VARIÁVEIS DE OTIMIZAÇÃO PARA O PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA ÓTIMO Um problema de otimização não-linear de Fluxo de Carga Ótimo pode ser formulado matematicamente como um problema do tipo [6]: minimize sujeito a: fx ( ) gi( x) 0, i = 1, 2,, l hi( x) = 0, i = l +1,, m min max x x x (2.21) onde máximo em x ; fx ( ) x é o vetor de variáveis de otimização; é a função objetivo; gi( x) x min e e hi( x) é a i-ésima função de restrição de igualdade [6]. x max são os vetores dos limites mínimo e é a i-ésima função de restrição de desigualdade; Adequando o problema de otimização não-linear de Fluxo de Carga Ótimo (2.21) ao problema de controle de tensão e minimização das perdas em sistemas elétricos de potência, considerando as restrições operacionais de limites de tensão nas barras de carga e limites de reativos nas barras de tensão controlada, e as restrições de igualdade provenientes das equações de fluxo de carga, pode-se definir matematicamente o problema original como escrito na equação (2.22). Esta expressão representa a combinação dos termos representando o perfil de tensão desejado e as perdas ativas totais na transmissão, sujeito a restrições operacionais de desigualdade (limites de tensão nas barras de carga e limites de reativos nas barras de tensão controlada) e a restrições de igualdade (equações de fluxo de carga, que correspondem ao atendimento da carga do sistema elétrico) [8]. NB esp minimize ( ) = ( k k ) fx σ V V + µ P k = 1 2 loss (2.22) 13

1 k sujeito a: g ( x) 0, k = 1, 2,..., NBPQ gk 2 ( x) 0, k = 1, 2,..., NBPV 1 h ( x) = 0, k = 1, 2,..., NBPQ+NBPV k hk 2 ( x) = 0, k = 1, 2,..., NBPQ onde NB é o número de barras do sistema; NBPQ é o número de barras de carga; NBPV é o esp número de barras de tensão controlada; V k e V k são respectivamente os módulos das tensões calculada e especificada na k-ésima barra do sistema; P loss representa as perdas ativas totais do sistema; σ e µ são respectivamente parâmetros de ponderação utilizados para enfatizar mais ou menos o perfil de tensão e as perdas ativas totais do sistema; g 1 ( x ) k e gk 2 ( x) são respectivamente as restrições operacionais para limites de tensão nas barras de carga e limites de reativos nas barras de tensão controlada; e h 1 k ( x ) e hk 2 ( x) são as equações de fluxo de carga, que correspondem ao atendimento da carga do sistema elétrico [8]. Conforme visto na equação (2.22), para uma resolução eficiente do problema de minimização de perdas e controle de tensão aplicado ao planejamento da operação, foi utilizado parâmetros de ponderação associados aos termos correspondentes na função objetivo. O valor do parâmetro associado à cada função deve ser estipulado de modo a encontrar uma solução de compromisso que forneça uma perfil de tensão próximo do valor nominal com perdas reduzidas [32]. De um modo geral, há um conflito entre os dois termos da função objetivo, ou seja, a tendência é aumentar as perdas com a melhoria do perfil de tensão, porém a nãoconvexidade do problema faz com que em alguns pontos de operação esta relação se inverta [32]. Usando uma transformação como nos métodos de penalidade, o problema multiobjetivo original (2.22), pode ser reescrito como um problema de minimização irrestrita [36]. Neste caso, a função objetivo pode ser definida como a combinação dos termos representando o perfil de tensão desejado, as perdas ativas totais na transmissão e as penalidades relativas à violação das restrições operacionais (limites de tensão nas barras de carga e limites de reativos nas barras de tensão controlada), sujeito a restrições de igualdade (equações de fluxo de carga). Assim, o problema original se transforma em [8]: NB esp 2 NBPQ NBPV 1 2 2 minimize φ( x) = σ ( Vk Vk ) + µ Ploss + ρ ( gk ( x) ) + λ ( gk ( x) ) k= 1 k= 1 + k= 1 + 2 (2.23) 14

1 k sujeito a: h ( x) = 0, k = 1, 2,..., NBPQ+NBPV hk 2 ( x) = 0, k = 1, 2,..., NBPQ sendo: g 1 min max ( x) = ( V V )( V V ) k k k g 2 min max ( x) = ( Q Q )( Q Q ) k k k k k k k onde a notação ( ) +, representada na equação (2.23), significa que somente restrições min max violadas são consideradas; V k e V k são os módulos das tensões limites na k-ésima barra min max de carga; Q k e Q k são os valores de reativos limites na k-ésima barra de tensão controlada; ρ e λ são parâmetros de penalidade associados às restrições operacionais quando violadas. Conforme dito anteriormente, as restrições de igualdade são as equações de fluxo de carga, que correspondem ao atendimento da carga do sistema elétrico. Estas equações são resolvidas através dos métodos Desacoplado Rápido e ICCG, implementados no Programa de Fluxo de Carga. Sabe-se que os GAs trabalham tentando propiciar o desenvolvimento de indivíduos com desempenho acima da média, até se chegar ao de mais alta performance [25]. Portanto, é fácil perceber que os GAs trabalham em termos de maximização, com uma função não negativa em todo o domínio de definição do problema. Assim, a equação descrita em (2.23) pode agora ser transformada em uma forma adequada aos Algoritmos Genéticos. A essa nova função, dá-se o nome de função de adaptação ou função aptidão [38]. maximize ff() x = 1 φ() x + ε ff (2.24) 1 k sujeito a: h ( x) = 0, k = 1, 2,..., NBPQ+NBPV hk 2 ( x) = 0, k = 1, 2,..., NBPQ 15

onde ε ff é simplesmente uma constante que deve ser ligeiramente superior ao módulo do valor mínimo de fx ( ) mínimo de fx ( ) se fx ( ) se fx ( ) é inferior ou igual a zero e ligeiramente superior ao negativo do é maior que zero. A análise de alguns resultados com essa função aptidão tem mostrado que se acelera a convergência do algoritmo [37]. 2.5. ALGORITMOS GENÉTICOS (GAS) Os Algoritmos Genéticos (GAs) surgiram da analogia entre otimização e os mecanismos da genética e evolução natural das espécies, combinando os conceitos de adaptação seletiva, troca de material genético e sobrevivência dos indivíduos mais capazes. Eles baseiam-se na representação cromossômica das variáveis de otimização, no processo de reprodução e em operadores genéticos como cruzamento e mutação [14]. Em outras palavras, os GAs trabalham com um conjunto de indivíduos (população) e com operadores genéticos que atuam sobre a população. De acordo com a teoria da evolução, os indivíduos mais capazes de uma população possuem maior probabilidade de sobrevivência. O material genético dos sobreviventes é transmitido para os seus descendentes. Analogamente, os GAs analisam um conjunto de soluções potenciais devidamente codificado (codificação binária), que constitui a população. Os GAs então manipulam os indivíduos, utilizando-se dos operadores genéticos para a obtenção de uma nova população [14]. 2.5.1. Estágios dos Algoritmos Genéticos Um ciclo dos GAs consiste dos seguintes estágios: (a) geração aleatória de uma população de soluções potenciais codificadas (indivíduos); (b) avaliação dos indivíduos; (c) seleção dos indivíduos mais capazes; (d) geração da nova população através de manipulações genéticas. A princípio, os GAs utilizam uma população de soluções potenciais criada por um gerador aleatório de valores lógicos verdadeiro ou falso (codificação binária [10]). No estágio (b) os indivíduos são avaliados para, em (c), se fazer a seleção daqueles que vão participar das próximas etapas. O desempenho de cada indivíduo é determinado pelo valor da função aptidão, relacionada com a função objetivo do problema, conforme descrito anteriormente na equação (2.24). Esta seleção visa determinar os indivíduos genitores para serem utilizados no estágio (d). Finalmente, no último estágio, pode-se realçar o papel dos operadores genéticos como fundamental para a obtenção de novos pontos, em busca da 16

solução ótima. Os novos indivíduos criados, substituem os anteriores, terminando assim, um ciclo dos GAs [10]. Os algoritmos então prosseguem ciclicamente a partir dessa nova população e só terminam quando algum critério de convergência é alcançado. Nos GAs geralmente mantemse o tamanho da população com o mesmo número n pop de indivíduos. O esquema de reposição populacional em um GA pode ser visto na Figura 2.2. Figura 2.2 - Esquema de Reposição Populacional em um GA. 2.5.2. Sistema de Representação O problema de controle de tensão e minimização das perdas é modelado através de variáveis reais. Então, deve-se fazer o mapeamento das variáveis reais para um código com o qual os GAs trabalham. Neste trabalho, a representação cromossômica das variáveis de otimização, utilizadas no Algoritmo Genético implementado no FLUXGEN, são modeladas através do código binário [10]. 17

A relação existente entre o código binário, supondo que o cromossomo tenha comprimento "=5, e as variáveis reais limitadas por x min e x max é representada na Tabela 2.2. Tabela 2.2 - Mapeamento de Variáveis Reais para Código Binário. Variável Real Código Binário x min 0 0 0 0 0 x max 1 1 1 1 1 O mapeamento das variáveis reais entre o intervalo limitado por [ x min, x max ] é feito linearmente, ou seja, um valor real intermediário entre x min e x max, é calculado através da relação: valor binario valor real = x + " 2 1 ( x x ) min max min (2.25) Nos GAs cada cromossomo (ou cadeia de caracteres) representa uma variável. Em problemas multi-variáveis, deve-se avaliar a ação conjunta do grupo de cromossomos que constituem o indivíduo. Por exemplo, seja um problema multi-variável, cuja solução é um vetor X = [ x1 x2 x3 ]. Cada x i é um cromossomo e seu agrupamento representa um indivíduo. Para ilustrá-lo, suponha que cada cromossomo tenha comprimento "=5. Dessa forma, um possível indivíduo para um problema de 3 variáveis poderia ser visto na Tabela 2.3: Tabela 2.3 - Representação de um Indivíduo para um Problema de Três Variáveis. X 1 x 2 x 3 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 Conforme dito anteriormente, os GAs trabalham com grupos de indivíduos (população). Então uma típica população com quatro indivíduos, todos com comprimento "=5, pode ser vista na Tabela 2.4. Tabela 2.4 - Representação de uma População com Quatro Indivíduos. N o do Indivíduo Indivíduo 1 1 1 0 0 0 2 1 0 0 1 0 3 0 1 1 0 1 4 0 0 1 0 1 18

2.5.3. Esquemas de Seleção O Algoritmo Genético Simples trabalha com um número fixo de indivíduos na população ao longo das gerações. Então, a cada geração, deve-se selecionar quais indivíduos terão cópias e quais desaparecerão. Este processo é denominado de reprodução. Há diversas possibilidades de implementação deste processo de seleção, como amplamente discutidas em [25]. Neste trabalho, optou-se pelo método da roleta, no qual um indivíduo com valor de aptidão ff i tem uma probabilidade de seleção dada pela expressão: onde ff / ff (2.26) ff i é a soma dos valores da função de adaptação da população. i i Na implementação, pelo método da roleta, cada indivíduo corresponde a um setor circular de ângulo 2π ff / ff. Um número gerado aleatoriamente entre 0 e 2π determina i qual o setor escolhido e o indivíduo correspondente. i Suponha que os quatro indivíduos apresentados na Tabela 2.4 possuam respectivamente probabilidades de seleção iguais a 40, 30, 20 e 10%, conforme apresentado na Figura 2.3. Girando a roleta quatro vezes, pode-se ter, por exemplo, a escolha representada na Tabela 2.5, onde o indivíduo 1 obteve duas cópias, os indivíduos 2 e 3 uma, enquanto que o indivíduo 4 não obteve nenhuma cópia. Figura 2.3 - Exemplificação do Método da Roleta. Tabela 2.5 - Representação do Processo de Seleção. Número do Sorteio Probabilidade de Seleção Indivíduo Escolhido 1 40% 1 2 30% 2 3 40% 1 4 20% 3 19

2.5.4. Operadores Genéticos Entre os principais operadores genéticos existentes, pode-se citar três: cruzamento, mutação e inversão. Dos três operadores, o cruzamento e a mutação têm uma importância significativa na evolução dos GAs [14]. A inversão, por sua vez, é considerada como secundária para os GAs [10]. Neste item, é descrito apenas os operadores genéticos cruzamento e mutação, por terem sido implementados no Programa FLUXGEN. a) Cruzamento: Mantendo a analogia com sistemas naturais, entre os indivíduos que foram selecionados no processo de reprodução, dois são escolhidos para se cruzarem. O cruzamento nada mais é do que um processo que possibilita a troca de material genético entre os indivíduos participantes, dessa forma, fica fácil entender que ele é uma importante operação para gerar novos pontos, que são possíveis soluções. Entre os diversos tipos possíveis, pode-se citar o cruzamento com um único ponto de corte, com múltiplos pontos de corte [38], cruzamento uniforme, cruzamento entre vários indivíduos simultaneamente, cruzamento por variável, dentre outros. Em [25] discute-se todas estas modalidades de cruzamento. Para efeito de ilustração, neste trabalho é descrito somente o cruzamento com um único ponto de corte, por ter sido o tipo implementado no Programa FLUXGEN. O cruzamento só se efetiva com uma probabilidade p c. A decisão para executá-lo, é tomada usando um gerador de números aleatórios para gerar um número entre 0 e 1. Se o número gerado é inferior a p c, a decisão é positiva. Escolhe-se então, o parceiro para o indivíduo em questão gerando um número aleatório entre 1 e n pop. Um terceiro número aleatório j (1 j l-1), no caso do cruzamento com um único ponto de corte, é necessário para determinar a posição de corte na cadeia de bits. Finalmente, o material genético do lado direito dessa posição de corte é permutada entre eles. 20

Esse processo é ilustrado na Tabela 2.6 para dois indivíduos apresentados em código binário com comprimento "=5 e posição de corte j=2. O resultado do processo são dois novos indivíduos, gerando-se duas novas possíveis soluções. Este é o principal mecanismo na produção de novos pontos a serem testados. Tabela 2.6 - Representação do Cruzamento. Indivíduo Indivíduo após Cruzamento 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 b) Mutação: A mutação altera bits numa cadeia de caracteres com a probabilidade de mutação p m. Esta operação protege o processo de busca da solução contra perdas de valiosas características genéticas, que possam ter ocorrido durante as operações de reprodução e cruzamento. A mutação, introduz novas informações, no âmbito da população, permitindo que novos pontos sejam testados, aumentado assim, a probalidade de se encontrar o ótimo global. A implementação da mutação consiste apenas na mudança do valor do bit escolhido. Considere o indivíduo apresentado na Tabela 2.7. Supondo que o quarto bit (j=4) esteja sob consideração, gera-se um número aleatório entre 0 e 1. Se esse número é inferior à probabilidade p m, a operação é executada e o valor do bit é modificado para se obter o novo indivíduo. Tabela 2.7 - Representação da Mutação. Indivíduo Indivíduo após Mutação 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 2.5.5. Parâmetros Genéticos Os parâmetros genéticos são as entidades que determinam o desempenho dos GAs, que, geração após geração, tentam encontrar indivíduos com melhor capacidade que os anteriores. a) Tamanho da População : O tamanho da população afeta a eficiência do algoritmo. Uma população pequena acarreta um fraco desempenho, podendo conduzir o algoritmo na direção de um mínimo local. Em contrapartida, uma população grande desencoraja a convergência prematura para soluções locais, porém, pode resultar em um tempo computacional inaceitável, tendo em vista que a mesma exige um maior número de avaliações da função objetivo. Os GAs usam tipicamente um tamanho de população entre 10 e 200 [34]. 21