II - FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA

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1 A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN ALOCAÇÃO ÓTIMA DE TRANFORMADORES DEFASADORES ATRAVÉS DE UM ALGORITMO GENÉTICO NO PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO DE UM SISTEMA DE ENERGIA ELÉTRICA Celso T. Miasai Departamento de Engenharia Elétrica, FEIS- UNESP Av. Brasil Norte, 364 Caixa Postal 31

2 A complexidade da operação e planejamento de um sistema de potência se deve, em grande parte, a problemas relacionados com o sistema de transmissão, que tem como função, a responsabilidade de fazer com que a potência gerada chegue aos centros de consumo, bem como prover a interligação entre áreas de maneira eficiente e flexível. As linhas de transmissão estão sujeitas a limites (térmicos e/ou de estabilidade) que restringem o nível de potência que pode ser transmitido com segurança. Tais limites criam pontos de estreitamento na rede de transmissão [1]. Uma estratégia para resolver este problema seria superdimensionar o sistema de potência, mas atualmente, torna-se impraticável devido ao custo elevado e as rígidas restrições impostas pela legislação ambiental. Na forma tradicional, havendo necessidade de se redirecionar o fluxo de potência, a metodologia mais comum é a mudança do padrão de geração. Uma outra alternativa seria utilizar os novos equipamentos baseados na eletrônica de potência, os chamados controladores FACTS (Flexible Alternating Current Transmission Systems), que são controladores flexíveis e vêm de encontro a este novo cenário que se apresenta para o setor elétrico. O conceito de FACTS foi concebido por Hingorani [2] na década de 80, esses controladores possuem diversas aplicações dentre as quais podem ser destacadas: o despacho econômico, o fluxo de potência ótimo AC/DC e o gerenciamento do congestionamento da transmissão. São equipamentos estáticos desenvolvidos da eletrônica de potência que podem ser utilizados no controle de potência ativa, potência reativa ou controle da tensão. Estes equipamentos alteram a impedância aparente, as amplitudes e os ângulos de defasagem entre as tensões terminais das redes de transmissão. Em [3], Lie e Deng desenvolvem um modelo matemático que utiliza controladores FACTS com o objetivo de encontrar a alocação ótima desses equipamentos para melhorar o despacho econômico de carga, sendo testados em sistemas de pequeno porte utilizando um método de decomposiçãocoordenação e técnicas de compensação. O trabalho de Paterni [4], simula a inserção de um conjunto de transformadores defasadores na rede francesa. Isto é feito através de um algoritmo genético que busca encontrar a melhor alocação desses controladores com o objetivo de reduzir o custo de geração e aumentar o carregamento da rede. Gerbex em [5] também busca através de um algoritmo genético a ótima alocação, só que de múltiplos controladores FACTS com o objetivo de maximizar o carregamento no sistema de potência. Fazer o planejamento a curto prazo de um sistema de potência implica em avaliar economicamente as opções de investimento. É com este enfoque que este trabalho foi desenvolvido. A proposta deste trabalho é tentar resolver um problema de planejamento da operação através de um modelo matemático que incorpora controladores FACTS na sua formulação, neste caso, transformadores defasadores. A inclusão desses controladores na rede tem como objetivo redirecionar os fluxos de potência ativa na tentativa de minimizar os custos de geração, portanto, o padrão de geração mais econômico deve ser encontrado. Com a adição de transformadores defasadores em uma linha longa pode-se forçar o fluxo nessa linha e balancear os fluxos nos ramos. Este artigo propõe a utilização de um algoritmo genético para solucionar este problema através de simulações no sistema Sul brasileiro modificado. As simulações são feitas com o intuito de avaliar a efetividade do algoritmo proposto, isto é, minimizar o custo de operação e aumentar o desempenho do sistema. II - FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA Nesta seção é apresentada uma proposta de formulação para o problema de planejamento da operação do sistema de energia elétrica. A diferença básica entre os diversos tipos de formulação apresentada na literatura e a proposta está na inclusão de transformadores defasadores no modelo proposto. Utiliza-se uma modelagem aproximada para analisar a capacidade do sistema em relação ao transporte de potência ativa. Representando por ng o conjunto de todos os geradores, nl o conjunto de todos os ramos existentes, nc o conjunto de todas as barras onde existe demanda e por nb o conjunto de todas as barras da rede, o problema de planejamento da operação pode ser formulado da seguinte forma: 1159

3 Minimizar s.a ng = 1 nl v = e. t g + d n y + α r (1a) ( i, j) nc = 1 Sf + g + r = d, nb (1b) f γ n ( θ θ y ϕ ) = 0, nl (1c) i j f n f, nl (1d) 0 g, ng (1e) g 0 r d, nc (1f) θ j irrestrito (1g) f irrestrito (1h) ϕ irrestrito (1i) g 0 (1j) As variáveis do problema foram representadas por v: custo anual de operação do sistema elétrico; g : quantidade de potência ativa gerada na barra ; y : presença ou não de transformadores defasadores no circuito i j (variável binária); r : geração fictícia na barra ; f : fluxo total no caminho i j; θ i : ângulo de fase da barra i; ϕ : ângulo do transformador defasador no caminho i j. Os demais símbolos representam os dados de entrada do problema cuja nomenclatura é e: custo da energia; t: tempo (anual); d : custo unitário anual do transformador defasador; n : número de circuitos existentes no caminho i j; α : parâmetro de penalidade elevado; S: matriz de incidência nó-ramo do sistema elétrico; f: vetor de fluxos; g: vetor de geração; r: vetor de geração artificial; d: vetor de demanda; γ : susceptância de um circuito no caminho i j; f : fluxo máximo permitido para um circuito no caminho i j; g : vetor de máxima capacidade de geração nas barras de geração; d : representa a demanda na barra de carga. A função objetivo (1a) corresponde aos custos de investimento, sendo que o primeiro e terceiro termos representam respectivamente, os custos de operação da geração existente e artificial. Já o termo intermediário representa o custo da inclusão de transformadores defasadores no sistema. As restrições (1b) representam as equações de balanço de potência (1ª lei de Kirchhoff), uma para cada barra do sistema; as restrições (1c) representam as equações utilizadas para expressar os fluxos de potência nos componentes internos como funções das tensões de seus nós terminais (2ª lei de Kirchhoff), uma equação por ramo com circuito [6]; e as restrições (1d) correspondem aos limites de capacidade de transmissão dos circuitos (linhas e/ou transformadores) e o valor absoluto é necessário pois o fluxo pode fluir nos dois sentidos. As restrições (1e) e (1f) se referem aos limites operacionais do sistema e as demais são restrições próprias das características das variáveis. Na equação (1c) aparece a função do defasador cuja inclusão no sistema permite modificar as relações da segunda lei de Kirchhoff produzindo um reordenamento dos fluxos de potência ativa e, portanto, diminuindo os custos de operação da geração. O problema (1) é um problema de programação não-linear (0-1) misto devido ao produto das variáveis y e ϕ na restrição (1c). Tentar resolvê-lo por meio de um método de otimização combinatorial, por exemplo, branch-and-bound é uma tarefa bastante árdua. Além disso, praticamente não existem algoritmos branch-and-bound para problemas mistos e não lineares. Assim, deve-se usar uma técnica de otimização para problemas não lineares inteiro misto. Propõe-se a utilização de uma técnica de busca através de configurações, no caso, um algoritmo genético para construir um vetor solução y que contorna a não linearidade. Ao incluir esta solução parcial em (1), o problema proposto se transforma em um simples problema de programação linear. 1160

4 III - ALGORITMO GENÉTICO Os algoritmos genéticos tiveram sua origem em meados dos anos 70, na Universidade de Michigan, através do então, professor Holland, alicerçados no mecanismo de seleção natural e na sobrevivência dos melhores indivíduos. No algoritmo genético é necessário escolher a forma de representar cada indivíduo ou solução candidata da população de acordo com a natureza de cada problema (codificação). Cada indivíduo é representado por uma cadeia cromossômica também chamada de configuração ou strings. O algoritmo genético é um processo iterativo que gerencia uma população de indivíduos por meio de um mecanismo de transição adequado. Passa de uma solução para outra através de três operadores genéticos (seleção, recombinação e mutação) na tentativa de encontrar os melhores resultados a cada iteração. Durante o processo sempre existe uma solução corrente armazenada, representando a melhor solução encontrada (incumbente) até o momento. O processo termina quando a população converge (estabiliza), indicando não ser possível encontrar indivíduos melhores. Desta forma, é encontrada uma solução sub-ótima para o problema. No algoritmo genético, o tamanho da população, a taxa de recombinação e a taxa de mutação constituem um conjunto de parâmetros que controlam de forma adequada, o comportamento do algoritmo genético. IV - ALGORITMO GENÉTICO PROPOSTO A alocação de transformadores defasadores é um problema de análise combinatorial. Este trabalho propõe a utilização de um algoritmo genético para resolver o problema de alocação ótima destes dispositivos em um sistema de potência. Um algoritmo genético trabalha com uma população de indivíduos, que nos problemas combinatórios significam um conjunto de soluções candidatas, sendo normalmente usado para resolver problemas complexos. Inicialmente, deve-se representar adequadamente uma solução candidata do problema, em outras palavras, deve-se codificar o problema. a) CODIFICAÇÃO DO PROBLEMA Devido a natureza das variáveis de decisão foi proposto uma codificação binária para representar as soluções candidatas no problema de alocação dos transformadores defasadores. A estrutura de codificação é representada por um único cromossomo, isto é, possui somente um parâmetro, a localização dos transformadores defasadores, sendo mostrada na figura 1. y P = n nl Figura 1. Codificação da localização dos transformadores defasadores Nesta codificação binária, a cadeia de caracteres possui comprimento nl, que indica o número de circuitos no sistema que podem alocar os transformadores defasadores. A variável y pode assumir o valor 0 ou 1, e indica a presença ou não de transformador defasador no circuito i j. A seqüência de circuitos que aparecem no cromossomo está relacionada com a ordem desses elementos no banco de dados do sistema. 1161

5 b) POPULAÇÃO INICIAL Existem diferentes maneiras para gerar uma população inicial. Em um algoritmo genético a qualidade da solução final sofre influência do tamanho da população e da forma como ela é construída. Neste trabalho a população inicial foi gerada aleatoriamente com o auxilio de um processo de controle. O controle consiste em fixar em seis unidades, a quantidade máxima de possíveis locais para os transformadores defasadores na população inicial. c) FUNÇÃO DE APTIDÃO A necessidade de medir a qualidade de cada indivíduo na população corrente impõe o cálculo de uma função objetivo, ou seu equivalente, chamada de função de aptidão. Isto é feito com o objetivo de encontrar o melhor indivíduo e indicar o valor de seu custo. No problema proposto não foi necessária uma função de adaptação para fazer uma comparação quantitativa das configurações de uma população, sendo utilizado o valor verdadeiro da função objetivo. A função objetivo é dada por uma equação linear que representa e quantifica um indivíduo da população. Deve-se minimizar a função que se apresenta da seguinte forma: ng = 1 nl v = e. t g + d n y + α r (2) ( i, j) nc = 1 A constante e indica o custo de energia, e para as simulações no sistema testado foi fixado entre US$ 40,00 e 60,00 o MWh. As outras constantes: t (tempo), d (custo unitário dos transformadores defasadores) para todas as linhas do sistema e α (custo unitário do corte de carga) para todas as barras do sistema foram fixadas respectivamente em 8760 horas, US$ 20x10 6 e US$ 1x10 6. O parâmetro α é utilizado para penalizar o uso de geração artificial. As incógnitas desta função são as gerações g e r. CICLO GERACIONAL É uma iteração do algoritmo genético que permite encontrar as configurações da nova população a partir da população corrente. Engloba os processos de seleção, recombinação e mutação. a) SELEÇÃO A seleção é o operador genético que permite selecionar as configurações da população corrente que devem participar da formação da nova população. Nesta proposta utilizou-se a seleção por torneio, que consiste em realizar sorteios para escolha dos descendentes. Em cada sorteio são escolhidas aleatoriamente duas ou três configurações e, seleciona-se aquela configuração com função objetivo de melhor qualidade. Geralmente a seleção é implementada simultaneamente com a recombinação, isto é, seleciona-se duas configurações e procede-se a implementar a recombinação dessas configurações após verificar a taxa de recombinação, caso o número sorteado seja menor que a taxa, realiza-se a recombinação. Embora muito simples, este método é muito rápido e eficiente. b) RECOMBINAÇÃO A recombinação é o principal operador genético, pois tenta simular o processo de diversidade genética. Existem diversos tipos de recombinação e a diferença entre eles está no número de pontos a recombinar. Foi implementada neste trabalho a recombinação em um único ponto e fixou-se uma taxa de recombinação ρ R = 0, 8. Como dito anteriormente, logo após serem escolhidas as duas configurações no processo de seleção, elas devem ser submetidas ao operador de recombinação. 1162

6 c) MUTAÇÃO Devido ao fato da codificação ser binária, no algoritmo genético proposto, o operador de mutação faz uma simples troca de valor da variável, de 0 para 1 ou vice-versa. A mutação é feita em um único ponto. Utilizou-se uma taxa de mutação ρ M = 0, 004, isto é, se o número aleatório for menor que esta taxa, aplica-se o operador de mutação. CRITÉRIO DE PARADA Uma nova população é obtida através dos operadores genéticos: seleção, recombinação e mutação. O critério de parada proposto depende da evolução do processo, isto é, os operadores devem ser repetidos até que não haja melhora da incumbente durante 10 iterações. A figura 2 mostra o diagrama de blocos da estratégia de planejamento. INÍCIO LEITURA DOS DADOS DAS BARRAS E DAS LINHAS REORDENAMENTO DA ENTRADA DAS LINHAS GERAÇÃO DA POPULAÇÃO INICIAL RESOLUÇÃO DOS PL S (MINOS) OBTER A INCUMBENTE HOUVE ALTERAÇÃO DA INCUMBENTE NAS ÚLTIMAS 10 ITERAÇÕES? NÃO IMPRESSÃO DOS RESULTADO SIM SELEÇÃO E RECOMBINAÇÃO MUTAÇÃO FIM NOVA POPULAÇÃO Figura 2. Fluxograma do algoritmo proposto 1163

7 V - TESTES E RESULTADOS A partir da formulação matemática proposta foi implementado um programa computacional em linguagem FORTRAN para solucionar o problema de planejamento da operação utilizando um algoritmo genético. A otimização através da alocação de transformadores defasadores no sistema tem como objetivo melhorar a utilização do sistema existente. Nesta seção são apresentados os resultados obtidos com o algoritmo proposto. Os testes foram aplicados ao sistema Sul brasileiro modificado, e realizados em um computador Pentium III, 833 MHz com 128Mbytes de memória RAM, plataforma Windows NT. Devido ao modelo matemático proposto apresentar a estrutura de um PL e o algoritmo genético trabalhar com um conjunto de soluções, percebe-se a necessidade de se resolver uma quantia considerável de PL s. Neste trabalho todos os PL s foram resolvidos com uma subrotina comercial, que faz parte do software conhecido como MINOS (Modular Incore Nonlinear Optimization Systems), desenvolvido pela Universidade de Stanford. O sistema reduzido e modificado da região Sul brasileira é composto de 41 barras e 55 caminhos onde existem circuitos, possui capacidade total de geração de MW e demanda de MW, e os dados referentes ao sistema se encontram no apêndice. Foram estudados dois casos para ilustrar os resultados da aplicação do algoritmo proposto. O primeiro caso consiste em manter constante o custo de energia e para todas as barras de geração, além de desconsiderar a presença de transformadores defasadores no sistema. Neste caso foram realizadas duas simulações. A primeira fixou um custo de geração e = 40 US$/MWh, e os resultados obtidos indicaram um custo total de geração da ordem de US$ 2.410,752 x Também mostrou que as gerações das barras 16, 28 e 46 não foram utilizadas. Na segunda simulação, o custo de geração foi fixado em 60 US$/MWh, e a solução apresentou um custo total de geração de US$ 3.616,128 x As tabelas 1 e 2, na seqüência, ilustram como ficaram as barras de geração do sistema Sul brasileiro modificado quando é utilizado o modelo proposto mantendo fixo os custos de energia. Tabela 1. Nível de geração no sistema reduzido Sul brasileiro com e=40 Número da barra Geração (MW) Custo (US$/MWh) Tabela 2.. Nível de geração no sistema reduzido Sul brasileiro com e=60 O segundo caso considerou diversos valores para os custos de geração de energia nas barras. Esses custos variaram dentro do intervalo de U$ 40 a 60 o MWh e como no caso anterior foram realizadas duas simulações. 1164

8 A primeira simulação não considerou a presença de transformadores defasadores no sistema. Ao correr o programa computacional encontra-se um custo total de geração de U$ ,00. A tabela 3 ilustra os valores obtidos pelas unidades geradoras que levaram a esse custo. Para as três simulações realizadas sem a presença de transformadores defasadores, duas com custo fixo e uma com custo variável, foram necessários resolver apenas um PL em cada simulação. A segunda simulação deste caso apresentou uma complexidade muito maior, pois o problema possui valores diferentes para o custo de geração e a possibilidade de alocar transformadores defasadores no sistema. Portanto, para encontrar a melhor alocação dos transformadores defasadores no sistema foram necessários resolver diversos PL s, devido a se trabalhar com um conjunto de soluções candidatas. Para essa simulação, a solução apresentou um custo de investimento de U$ ,00, na qual é alocado 1 transformador defasador no caminho A tabela 4 ilustra os resultados obtidos através desta simulação. Com relação ao algoritmo genético, os parâmetros utilizados foram um tamanho da população N P = 40, uma taxa de recombinação ρ R = 0, 8 e uma taxa de mutação ρ M = 0, 004. Também foi fixado um custo anual de 20 milhões de dólares para cada transformador defasador alocado no sistema. Tabela 3. Tabela com o nível de geração no sistema reduzido Sul brasileiro sem transformadores defasadores Número da barra Geração (MW) Custo (US$/MWh) Tabela 4. Tabela com o nível de geração no sistema reduzido Sul brasileiro com transformadores defasadores Número da barra Geração (MW) Custo (US$/MWh) Ao se comparar os resultados das tabelas 3 e 4 deve-se observar que o algoritmo proposto deixa de gerar potência na barra 39 e diminui a geração na barra 31, ao passo que aumenta a geração na barra 17. Note que as barras 31 e 39 possuem custo elevado, já a barra 17 apresenta baixo custo. Portanto, a alocação de um transformador no circuito de redireciona os fluxos nas linhas diminuindo os custos de geração. A conseqüência da alocação deste controlador no sistema é uma diferença econômica da ordem de US$ ,00. Também pode-se dizer que na tabela 3 são necessários 305,34 MW de geração com custo elevado. Para uma melhor análise do problema que propõe a presença de transformadores defasadores no sistema foi utilizado dois solver do software GAMS (General Algebraic Modeling System), o CPLEX e o SNOPT. A solução encontrada através do GAMS é a mesma obtida pelo algoritmo proposto, o que indica que o algoritmo genético encontrou o ótimo global do problema. A diferença é que o GAMS apresenta soluções ótimas alternativas, isto é, além do circuito o transformador defasador poderia ser alocado nos circuitos 16-17, ou

9 V - CONCLUSÕES Os resultados apresentados demonstram a eficiência do algoritmo genético implementado para resolver o problema de planejamento da operação de sistemas de energia elétrica, que também indicam um melhor rendimento operacional do sistema com o uso de transformadores defasadores. Os transformadores defasadores podem ser usados no planejamento da operação para redirecionar os fluxos de potência ativa melhorando o desempenho da operação do sistema elétrico. Nos testes os custos de operação foram considerados lineares, mas podem ser facilmente introduzidos custos não lineares que podem ser linearizados por partes, e ainda usar técnicas de programação linear para analisar o desempenho dos dispositivos direcionadores de fluxo de potência ativa. A não existência de valores exatos dos custos dos controladores FACTS e a perspectiva que os custos desses equipamentos possam diminuir muito nos próximos anos levaram a utilização de valores aproximados para os custos dos transformadores defasadores. No futuro, pretende-se incluir a análise do sistema elétrico com custos de operação não lineares, assim como a utilização de outros controladores FACTS. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS : [1] PEREIRA, J.L.R., Modelagem de Dispositivos de Controle FACTS em Sistemas de Potência para Análise em Regime Permanente, Minicurso do XIII Congresso Brasileiro de Automática, Florianópolis, SC, Setembro de [2] HINGORANI, N. G., Power Electronics in Electric Utilities: Role of Power electronic in Future Power Systems, proceedings of IEEE, Vol. 76, no.4, abril [3] LIE T. T. AND Deng W. : Optimal Flexible AC Transmission Systems(FACTS) devices allocation, Electrical Power & Energy Systems, Vol. 19, nº 2, pp , 1997 [4] PATERNI, P. & VITET, S. & BENA, M. & YOKOYAMA, A Optimal Location of Phase Shifters in the French Networ by Genetic Algorithm, IEEE Transactions on Power Systems, Vol 14, No 1, fevereiro de [5] GERBEX S. & CHERKAOUI R. & GERMOND J. : Optimal Location of Multi-Type FACTS devices in Power System by Means of Genetic Algoritms, IEEE Transactions on Power Systems, Vol 16, No 3, agosto de [6] MONTICELLI A. : Fluxo de carga em redes deenergia Elétrica, Editora Edgar Blucher Ltda, São Paulo,

10 APENDICE A.1. Configuração do Sistema Sul Brasileiro Modificado Geração Carga 230 KV KV 1167

11 A.2. Dados das Barras Número Geração(MW) Carga(MW) Custo de geração da barra A.3. Dados das linhas Número da linha Barra inicial Barra final Linhas existentes Reatância Capacidade transmissão (MW) Custo US$

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