ALGORITMO GENÉTICO MULTICRITÉRIO PARA ALOCAÇÃO DE DISPOSITIVOS DE CONTROLE EM UMA REDE DE TRANSMISSÃO ELÉTRICA

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1 ALGORITMO GENÉTICO MULTICRITÉRIO PARA ALOCAÇÃO DE DISPOSITIVOS DE CONTROLE EM UMA REDE DE TRANSMISSÃO ELÉTRICA Neida Maria Patias Volpi (UFPR) Kátia Campos de Almeida (UFSC) O objetivo deste trabalho é determinar a melhor localização de dispositivos de controle denominados FACTS (Flexible AC Transmission Systems devices) para melhorar a qualidade do sistema de transmissão de uma rede elétrica, baseado na propoosta de Radú e Bésanger (2006). Uma metodologia multiobjetivo evolucionária foi utilizada para obter a alocação, tipo e taxa de operação ótima dos FACTS instalados. Testes foram realizados num sistema de 14 barras, e uma posterior aplicação no sistema de transmissão da COPEL, Paraná com 291 barras e 404 linhas de transmissão. A instalação destes dispositivos é avaliada em função de aspectos técnicos e econômicos. Dois tipos de FACTS foram considerados: SVC e TCSC. A Fronteira de Eficiência (Função Técnica X Função Econômica) foi gerada indicando algumas soluções não dominadas. Foi observada a influência na Função Técnica e na Econômica quando da variação dos parâmetros do Algoritmo Genético. Palavras-chaves: Dispositivos FACTS, localização ótima, Algoritmo Genético Multicritério.

2 1. Introdução Sistemas de transmissão de energia elétrica têm que ser avaliados periodicamente devido ao crescente aumento da demanda e também por questões operacionais. A tecnologia na área elétrica muda com rapidez e novos dispositivos podem ser utilizados para atender as modificações que ocorrem no sistema devido ao aumento e oscilações da demanda de forma a conferir ao sistema elétrico uma estabilidade sem necessariamente ter de expandi-lo. Uma maneira de tornar a rede mais confiável, sem variações bruscas de tensão, é utilizar dispositivos denominados FACTS (Flexible AC Transmission Systems devices). Estes dispositivos podem ser usados para controlar o fluxo de potência, a tensão nas barras, sobrecargas em circuitos e melhorar a estabilidade dos sistemas de transmissão. Entretanto, para usar dos benefícios que a instalação dos FACTS traz, é necessário escolher convenientemente o tipo de FACTS, o local de instalação, bem como a faixa de operação do mesmo. Este trabalho faz uma proposta metodológica para instalar FACTS em um sistema de transmissão baseado no trabalho de Radú e Bésanger(2006). Entre os vários tipos de dispositivos FACTS existentes serão considerados dois: o SVC (Static Var Compensator) e o TCSC (Thyristor Controlled Series Capacitor) conforme Hingorani e Giugyi(2000). O primeiro é usado para absorver ou injetar potência reativa nas barras de transmissão. O segundo permite alterar a reatância da linha onde ele é instalado, conforme Gerbex (2001). Na modelagem do problema, quando se usa um dispositivo do tipo SVC em uma determinada linha considera-se que o mesmo é instalado no meio do trecho e, para fins de cálculos, um novo trecho é adicionado ao sistema, ambos de comprimento igual à metade da linha anterior. Os valores da resistência r, da reatância x e da susceptância bli da linha são alterados, tanto da linha antiga como da nova, cada um ficando com seus valores reduzidos pela metade do valor da linha antiga. Se o dispositivo instalado é do tipo TCSC apenas o valor da reatância x muda, passando a ser variável. A decisão de escolher o tipo de FACTS a instalar e de onde instalar depende tanto de critérios técnicos como também dos custos envolvidos. Dois objetivos foram então considerados na tomada de decisão e uma metodologia multiobjetivo evolucionária foi utilizada para alocação ótima de FACTS na rede de transmissão elétrica. Algoritmos genéticos têm sido utilizados em aplicações deste gênero, pelo fato de que o número de possíveis combinações de locais para instalar os dispositivos é muito grande em redes reais. Neste caso esta metaheurística é sugerida tal como em Gerbex(2001), Cai(2004) entre outros. Neste problema será utilizado o MOGA (Multi Objective Genetic Algorithm) citado em Ergott, Gandibleux(2004) que considera o rank como o elemento classificatório de cada indivíduo da população. O rank de cada elemento é avaliado pelo número de indivíduos que o dominam, relativo à população atual. Esta técnica tem duas características importantes: explotação e exploração. Explotação é a habilidade de encontrar boas soluções de Pareto rapidamente com procura em profundidade e exploração é a capacidade de se ter um conjunto bem diversificado na população. 2

3 Esta metodologia foi aplicada inicialmente para testes em um sistema de transmissão de 14 barras e posteriormente no sistema de transmissão do Estado do Paraná. Um sistema de transmissão pode ser representado por uma rede com n nós (barras de carga ou de geração) e m linhas de transmissão como na Figura 1. São considerados três tipos de barras: barras de carga, barras de geração onde se conhece a potência ativa gerada e uma barra de geração que não tem a potência ativa especificada, denominada barra de folga ou slack bus (sb). As barras de geração são identificadas na Figura 1 pelos nós 1, 2, 3, 6 e 8. As linhas de transmissão l são identificadas pelos nós i e j que as limitam. Para cada barra, devem ser informados os dados do Quadro 1 e, para cada linha, devem ser fornecidos os dados do Quadro 2. Os dados estão no sistema por-unidade (pu). 1 (3) 2 3 (1) (5) (4) (6) (7) (2) 5 4 (14) 7 (8) (10) 8 (9) (15) (11) 11 (18) (12) (16) (13) 12 (17) (19) (20) Figura 1: Representação de um sistema de transmissão com 14 barras e 20 linhas. Barra de carga Significado Unidades Pd Carga ativa pu Qd Carga reativa pu Cap Capacitor acoplado pu Barra de geração Significado Unidades Pg Geração de potência ativa pu Qgmin, Qgmax Limites mínimo e máximo de geração de potência pu reativa VM Módulo da tensão pu Quadro 1: Informações das barras Informações da linha Significado Unida des ifrom-ito Nós limítrofes R Resistência pu X Reatância pu Bli Susceptância pu A Relação de transformação do transformador Slmax Fluxo máximo na linha pu 3

4 Quadro 2: Informações das linhas Além das informações acima, é necessário fornecer estimativas iniciais para os ângulos das tensões nas barras, para os módulos das tensões nas barras de carga e para as potências reativas geradas. O problema matemático descrito pode ser representado pelo modelo: Min F(x) = [F (x),f (x)] sujeito à 1 t x Ω E(x,f,g) = 0, b B(f ) b e x vetor que indica as posições dos dispositivos FACTS f vetor que representa as variáveis existentes nos modelos dos dispositivos FACTS; g representa o estado da operação do sistema de potência; E representa as equações de balanço de potências ativa e reativa; B equações de limites nas variáveis presentes nos modelos dos dispositivos; b 1 e b 2 vetores com limites mínimos e máximos; F t representa a função técnica; representa a função econômica. F e 2 Na operação dos sistemas algumas restrições têm que ser satisfeitas: equações de balanço de potência ativa e reativa, limites de geração e limites, inferior e superior, de algumas variáveis relativas aos dispositivos instalados. Deve-se observar que as equações de balanço de potência são não-lineares. Esse fato, e a elevada dimensão dos sistemas de transmissão caracterizam o problema a ser resolvido como não linear, inteiro-misto e de grande porte. 2. Desenvolvimento da metodologia Na pesquisa foram desenvolvidos vários programas que são executados através de uma interface. O programa principal chama dois grupos de subprogramas: o primeiro grupo é necessário para gerar e avaliar uma população inicial e o segundo para melhorar a população através de operações genéticas até o número de gerações pré-definido. Em ambos os casos, um algoritmo de fluxo de potência é usado para avaliar as soluções obtidas. A interface usa os seguintes parâmetros de entrada: nfacts número de FACTS que se deseja instalar; nind número de indivíduos da população; n_gen número de gerações do algoritmo; p número de pais usados nos cruzamentos; carregamento parâmetro que altera a carga do sistema; mut índice de mutação usado. 2.1 A metodologia 4

5 A procura da melhor localização dos dispositivos de controle é feita através de um Algoritmo Genético Multicritério.Uma população inicial é gerada randomicamente sendo que cada indivíduo tem tamanho 3*nfacts, onde nfacts é o número de dispositivos FACTS que se pretende instalar no sistema elétrico. Cada indivíduo é representado por um cromossomo com a seguinte codificação: trecho 1... trecho nfacts tipo 1... tipo k r enc1... r enc nfacts Nas primeiras nfacts posições (genes) estão representadas as linhas de transmissão onde serão instalados os dispositivos; nos próximos nfacts genes estão os tipos de FACTS que serão instalados nos trechos previamente escolhidos. Neste caso em particular foram utilizados 2 tipos de FACTS: SVC e TCSC, sendo que no cromossomo eles tomam os valores 1 e 2, respectivamente. Nas últimas nfacts posições são escolhidas randomicamente a faixa de operação de cada dispositivo, valores entre 0 e 1. Esta faixa de operação recebeu a notação r enc. Cada um dos indivíduos da população representa uma possível solução para o problema, ou seja, um ponto no espaço de soluções. As restrições que foram consideradas na geração da população inicial foram que: (i) no máximo um dispositivo pode ser instalado em cada linha e (ii) o indivíduo represente uma solução viável para o problema de fluxo de potência. Caso seja gerado um individuo que não satisfaça tais condições ele é automaticamente descartado. O tamanho ideal da população inicial depende de cada problema abordado e deve ser testado; no nosso caso foram consideradas populações de 50 a 300 indivíduos. O valor de alguns parâmetros tradicionais é sugerido na literatura especializada. Os parâmetros mais importantes são: o tamanho da população, o número de gerações, a probabilidade de crossover e a probabilidade de mutação. A forma de selecionar os indivíduos para a próxima geração também é importante, seja ela por roleta ou torneio, ou mesmo usando algum mecanismo elitista. A influência de cada parâmetro no desempenho do algoritmo depende da classe de problemas que se está tratando. Assim, a determinação de um conjunto de valores otimizado para estes parâmetros dependerá da realização de um grande número de experimentos e testes. Na literatura, os valores encontrados estão na faixa de 60 a 65% para a probabilidade de crossover e entre 0.1 e 5% para a probabilidade de mutação. O tamanho da população e o número de gerações dependem da complexidade do problema de otimização e devem ser determinados experimentalmente. No entanto, deve ser observado que o tamanho da população e o número de gerações definem diretamente o tamanho do espaço de busca a ser coberto. Depois que a população inicial de tamanho nind é gerada, cada individuo é avaliado tecnicamente e economicamente. Para isto é necessário executar o fluxo de potência após fazer algumas mudanças na topografia e nos dados da rede. Essas alterações dependem da forma como o dispositivo é acoplado á rede. - O SVC é um dispositivo conectado em barras do sistema. Ele controla a tensão na barra onde é instalado. Sendo assim, quando o algoritmo determina a instalação de um 5

6 SVC em uma determinada linha, cria-se uma nova barra no meio da linha selecionada e divide-se a linha em duas, conforme Figura 2. Cria-se, assim, uma nova linha. Os valores da resistência r, da reatância x e da susceptância bli da linha antiga e da nova linha são iguais à metade dos valores definidos para a linha original. O fluxo máximo da linha antiga é considerado também na nova linha. Com a inclusão do SVC, m passa a ser uma barra com geração de potência reativa. Sendo assim, devem ser definidos valores máximos e mínimos para Qg nessa barra. A tensão na barra m é especificada usando-se o número randômico, r enc : VM(m)=0,95+0,1*r enc. linha l linha l nova linha barra i barra j barra i barra m barra j Figura 2: Instalação de um SVC - TCSC é um dispositivo instalado em linhas do sistema. Ele é capaz de controlar o valor da reatância da linha onde é instalado. Sendo assim, se o algoritmo determina a instalação de um TCSC, apenas o valor da reatância x da linha onde foi instalado o dispositivo muda, passando a ser variável e calculado da forma: r TCSC = -0.8* x(linha do TCSC)+ x(linha do TCSC)*r enc ; x novo = x(linha do TCSC)+ r TCSC. Isto significa que a reatância vai variar entre 0.2 e 1.2 do valor da reatância da linha onde o TCSC foi instalado já que x novo = x*(0,2+r enc ). Os valores das demais variáveis da rede são calculados e o cromossomo toma o seguinte formato onde cada grupo de informação será apresentado a seguir: Trechos tipos r enc F t F e Rank Fitness_linear Fitness_médio Figura 3: Representação de um indivíduo da população A Função Técnica F t assume um valor adimensional igual à soma de dois índices de desempenho do sistema obtidos a partir da escolha dos locais e tipos dos nfacts operando com as taxas r enc. O primeiro índice fornece informação sobre o carregamento das linhas da rede. O segundo, sobre a variação das tensões das barras em relação aos valores nominais. F t é expressa: S V V F = onde: trechos barras l 2q mref m 2r t w l.( ) + w m.( ) l= 1 Sl max m= 1 Vmref 6

7 w l : peso associado à linha l; w m : peso associado à barra m; S l : potência aparente da linha l; S lmax : taxa de potência aparente máxima da linha l; V m : tensão na barra m; V mref : tensão de referência na barra m; q, r: expoentes de penalidade. Os valores de S l, V m são obtidos após a execução do fluxo de potência para a nova topografia da rede. A Função Econômica F e representa o custo total de instalação em dólares/kvar, caso cada dispositivo esteja trabalhando com uma faixa definida por rresvc ou rretcsc. É calculada pela fórmula: Fe = cinvsvc (rresvc ) + cinvtcsc (rretcsc ) em USS$/KVar. Para o cálculo dos custos de instalação foram utilizadas as informações de um fabricante de dispositivos FACTS descritas no trabalho de Cai e colaboradores (2004), que apresenta um estudo de custos em USS$/kvar e a taxa de operação do FACTS em Mvar: c c invsvc (r invtcsc resvc (r ) retcsc = abs(r ) = abs(r resvc ) retcsc 2 ) abs(r abs(r resvc retcsc ) ) Observar que são utilizados os valores absolutos de r e r. Foram considerados três tipos de faixas de operação para cada tipo de FACTS: r enc, r SVC e r resvc, no caso do SVC, e r enc, r TCSC e r retcsc, no caso do TCSC. Cada uma é descrita a seguir: resvc retcsc 1; r enc (m): faixa de operação do SVC acoplado à barra m, definida randomicamente entre 0 e r SVC (m)= * r enc (m), faixa de operação de tensão do SVC (barra m), variando entre 0.95 e 1.05 p.u. r resvc (m)=qg(m)*100, faixa real de operação do SVC, expressa em termos de potência reativa injetada na barra m, obtida após rodar o fluxo de potência do sistema; depende do valor de Qg(m) que é a potência reativa fornecida pelo dispositivo para manter a tensão no valor r SVC (m); r enc (l): número que define a faixa de operação do TCSC na linha l, definido randomicamente entre 0 e 1; r TCSC (l)=-0.8*x(l)+x(l)* r enc (l); permite que a faixa de operação do TCSC varie entre -0.8 e 0.2 da reatância x da linha l. É a reatância total que será inserida em série na linha l; 7

8 r retcsc (l)= r TCSC *abs(i(l)) 2 *100, faixa real de operação do TCSC instalado na linha l, expressa em termos da corrente que suporta, I(l), obtida após rodar o fluxo de potência do sistema. As três últimas colunas da Figura 3 relativa à representação de cada indivíduo da população referem-se à abordagem multicritério, isto é, como as duas funções objetivo são consideradas na decisão. Uma classificação(rank) é feita na população usando os conceitos de dominância de Pareto. Depois, tal classificação é distribuída linearmente entre os indivíduos, do menor ao maior rank, e finalmente os indivíduos de mesmo rank assumem um mesmo valor para o fitness, valor este que é atribuído através do Fitness médio. A classificação de cada indivíduo x i da população na geração t é obtida pela seguinte fórmula: (t) (t) rank (x i,t) = 1+ p i onde p i representa o número de indivíduos na presente população que dominam o individuo x i. Esta forma de classificar penaliza os indivíduos que estão em regiões mais densas ou mais representadas. Todas as soluções não-dominadas, na geração t, assumem o rank 1. Para obter uma população mais uniforme e diversificada é feita uma linearização dos valores do rank através da função linear fitness linear, de modo que o pior individuo receba o valor 0 e o melhor, o valor MAX (parâmetro a ser definido pelo usuário); os demais indivíduos assumem valores dados por: pos(x ind ) 1 Fitness linear(posição do x ind ) = 2 MAX + 2*(MAX 1)* n ind 1 onde MAX representa uma pressão seletiva entre os indivíduos, depois de feita uma ordenação descendente da população, conforme seu rank. O Fitness médio foi alterado para manter a população mais estável. Indivíduos de mesmo rank assumam o mesmo valor de fitness, conforme Radú (2006); o Fitness médio foi definido através da fórmula: (Fitness linear de indivíduos de mesmo rank) Fitness médio = número de indivíduos de mesmo rank O objetivo de calcular o Fitness médio é reduzir artificialmente o fitness em regiões mais densamente populosas, penalizando soluções localizadas em tais áreas. Depois que a população inicial é avaliada, procura-se, através de operações genéticas, cruzamento e mutação, soluções melhores. Em cada geração são escolhidos os pais, que são cruzados gerando filhos. O cruzamento usado foi o simples. O cruzamento foi feito ao mesmo tempo nos 3 campos: local, tipo e taxa de operação; caso haja apenas 1 FACTS o cruzamento foi feito apenas no local, mantendo-se os outros valores iguais. A Figura 4 mostra o processo seguido, sendo que cada cruzamento pode ou não gerar filho factível. Se o filho gerado não é factível ele é descartado. Após as operações genéticas a população aumenta: população anterior mais os novos filhos. Neste momento, finaliza-se o processo completo de avaliação da população aumentada que, 8

9 além das funções objetivo, requer que sejam calculados o rank, Fitness linear e Fitness médio. PAIS trecho trecho trecho tipo tipo tipo r enc r enc r enc trecho trecho trecho tipo tipo tipo r enc r enc r enc FILHOS trecho trecho trecho tipo tipo tipo r enc r enc r enc trecho trecho trecho tipo tipo tipo r enc r enc r enc Figura 4: Esquema de crossover utilizado Neste ponto é feita uma seleção de quais indivíduos farão parte da nova população e continuar no processo de melhoria da solução. A seleção foi definida da forma: 50% dos mais aptos e torneio entre os demais. A população passa a ser novamente composta por nind indivíduos. Selecionada a nova população volta-se ao processo de operar geneticamente até que n_gen seja alcançado. A Fronteira de Eficiência é representada graficamente. 3. Resultados preliminares Testes foram realizados em dois sistemas com características bastante distintas. O primeiro foi um sistema idealizado composto de 14 barras e 20 linhas e o segundo, um sistema real formado pela rede de transmissão, geradores e cargas do Estado do Paraná, Brasil. Os resultados estão a seguir. 3.1 Sistema de 14 barras Considerou-se o sistema de transmissão representado na Figura 1. Os dados utilizados e os parâmetros usados constam do Quadro 3. Informação/Parâmetro Valor usado em Valor usado na pesquisa Radú(2006) Carregamento Não comenta 1.0 até 1.8 Nfacts 2 De 1 até 6 n_gen: número de gerações 200 De 100 até 500 nind: número de indivíduos da 30 De 10 até 100 população p : número de pais Não comenta 10 a 65% da população wl: peso em Ft Não comenta 0,1 wm: peso em Ft Não comenta Penalização q q=2 q=2 penalização r r=2 r=2 MAX 2 2 sorteio pais Não comenta Proporcional ao fitness médio 9

10 Cruzamento Não comenta Tipo: simples Mutação Não comenta De 0.1 a 10% da população seleção nova população Não comenta 50% elitismo 50% torneio, mantendo tamanho Quadro 3: Dados e parâmetros utilizados Vários testes foram realizados com o objetivo de analisar a metodologia e algumas variáveis após a instalação de FACTS, a saber: - Verificar a influência do número de FACTS instalados na rede de transmissão, aumentando o número de FACTS e verificando os ganhos na Função Técnica; - Verificar o impacto do tamanho do espaço de busca na qualidade da solução, aumentando o tamanho da população inicial e analisando os ganhos na Função Econômica e Função Técnica; - Verificar a robustez do sistema quanto ao aumento no carregamento do sistema elétrico; - Verificar a influência do número de pais na qualidade da solução; - Verificar a influência do número de gerações na qualidade da solução Resultados do sistema de 14 barras Apresenta-se na Figura 5 uma situação para exemplificar uma Fronteira de Eficiência encontrada após 200 gerações. Tem-se uma população inicial de 20 indivíduos, onde foram selecionados 12 pais. Os sinais + estão representando as soluções não dominadas. Figura 5: Fronteira de Eficiência e População Inicial Nos gráficos a seguir estão apresentados alguns dos resultados obtidos. Observa-se na Figura 6 que a Função Técnica Ft melhora com o aumento do número de dispositivos FACTS instalados. Nota-se também que melhores soluções são encontradas com uma população entorno de 60 indivíduos já que, como indicam as Figuras 7 e 8, Ft e Fe 10

11 diminuem quando a população inicial varia de 10 a 50 indivíduos e voltam a aumentar para populações maiores. Analisou-se também o custo médio por FACTS instalado em função do tamanho da população inicial. Cinqüenta indivíduos são uma quantidade boa para este problema. O carregamento do sistema e o número de gerações também influenciam na qualidade das soluções encontradas. Como mostra a Figura 9, quando o carregamento do sistema aumenta a Função Técnica piora. Quanto ao número de gerações do Algoritmo Genético, observou-se que são necessárias mais de 200 gerações para se obterem boas soluções (com Ft menor) nos vários testes realizados (Figura 10). Função técnica X Número de FACTS 0,06 0,05 Função técnica 0,04 0,03 0,02 0, FACTS Figura 6: Função Técnica e número de FACTS instalados Função técnica X População inicial Função técnica 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0, nind Figura 7: Função Técnica e tamanho da população inicial do AG Função econômica x População inicial Função econômica 2 FACTS nind Figura 8: Função Econômica e tamanho da população inicial do AG 11

12 Função técnica X Carregamento 0,35 0,3 Função técnica 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,5 1 1,5 2 Carregamento Figura 9: Função Técnica e fator de multiplicação de carga (carregamento) Função técnica X Número de gerações Função técnica 0,014 0,012 0,01 0,008 0,006 0,004 0, Número de gerações Figura 10: Função Técnica e número de gerações do AG 3.2. SISTEMA DO PARANÁ O sistema de transmissão do Paraná tem 291 barras, sendo que 21 são de geração e 270 de carga e 404 circuitos (transformadores e linhas de transmissão). Todas as informações citadas nos Quadros 1 e 2 têm que ser fornecidas. Para uma determinada topografia da rede, onde o fluxo de carga não converge, elimina-se o individuo da população.vários testes foram realizados: - Alterando o número de indivíduos da população: nind=30, 50 ou 100; - Alterando o número de gerações: n_gen=100 ou 200; - Número de pais: sempre 60% do total de indivíduos; - Número de mutações: 10% da população aumentada Resultados Os resultados apresentados se referem a instalação de um ou dois FACTS considerando-se várias execuções. A coluna freqüência se refere ao número de vezes que determinada solução apareceu como solução final Resultados com 1 FACTS Identificando algumas soluções não-dominadas encontradas para o sistema do Estado do Paraná, relativas ao problema de instalar apenas um FACTS no sistema: Tipo FACTS Linha Freqüência Entre barras Nome 12

13 SVC Cascavel238-Cascavel138 SVC Curitiba230-Curitiba525 TCSC Curitiba230-Curitiba Resultados com 2 FACTS Tipo FACTS Linha Freqüência Entre barras Nome SVC Uberaba- Uberaba SVC Cascavel-Cascavel SVC Andirá-Andirá TCSC LondrinE-Londrina SVC Barigui-Pilarzinho SVC Telêmaco Borba- Telêmaco Borba TCSC CascavOe CascavOe Algumas conclusões relativas aos testes de instalação de 2 tipos de FACTS: (1) Em todos os testes feitos, foi realizada uma comparação da população inicial e das soluções não dominadas finais. Após 200 gerações, as soluções encontradas têm pouca relação com a população inicial. Isto significa que apesar da população inicial ser aleatória, as operações genéticas geram indivíduos melhores, provavelmente ótimos locais. (2) Cerca de 30% das soluções geradas na população inicial foi descartado devido à infactibilidades, ou seja, por não se obter convergência para o fluxo de potência. (3) As melhores soluções saíram dos testes das populações de 50 indivíduos com 200 gerações. (4) Nas regiões de Londrina e Cascavel Oeste foi proposto um dispositivo do tipo TCSC. Nas demais regiões, do tipo SVC. Das regiões sugeridas para instalação de SVC duas são em Curitiba (Uberaba- Uberaba e Barigui-Pilarzinho) e as demais nas regiões de Cascavel, Andirá e Telêmaco Borba. Cascavel é uma região que já tem previsão de ampliamento, Telêmaco Borba é uma região industrial papeleira. (5) Freqüência das soluções (terceira coluna da tabela). Apesar dos testes serem independentes, algumas soluções apareceram mais de uma vez, porque em cada teste parte da fronteira de eficiência aparece na solução, não necessariamente a mesma. Isto se deve provavelmente a algum dos motivos: ou o fluxo de carga está convergindo para as mesmas soluções locais; ou as regiões com maior freqüência são realmente as de maior problema; ou outro motivo ainda não identificado. 4. Conclusões Em relação ao uso da metodologia proposta entende-se que devido à dificuldade de se usar metodologias exatas no modelo elétrico apresentado, esta abordagem se mostra útil e de fácil aplicação. Porém mais testes devem ser realizados para se obter resultados mais conclusivos. Referências 13

14 Cai, L. J.,Erlich,I., Stamtsis(2004), Optimal choice and allocation of FACTS devices in desregulated electricity market using genetic algorithms, IEEE. Ehrgott and Gandibleaux(2004), Approximative solution methods for multiobjective combinatorial optimization, Top, V12, N1, Gerbex, S., Cherkaoui, R. e Germond(2001), Optimal location of multi-type FACTS devices in a power system by means of genetic algorithms, IEEE Transactions on power systems, vol. 16, no. 3. Hingorani, N.G., Gyugyi, L.(2000). Understanding FATCS. IEEE Press. Radu D. and Bésanger Y(2006), A multi-objective genetic algorithm approach to optimal allocation of multi-type FACTS devices for power systems security, IEEE. 14