Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores Investigação Operacional 2012.02.02 Exame de recurso Prova com consulta Duração: 2h30min Jogos Olímpicos de Verão - Londres 2012 A organização de um evento com a dimensão dos jogos olímpicos envolve um enorme esforço. Para auxiliar a organização e assegurar um evento grandioso, em 1894, foi criado o Comité Olímpico Internacional por iniciativa de Pierre de Coubertin. A missão do Comité Olímpico Internacional é desenvolvida através de diversas comissões: Comissão Médica, Solidariedade Olímpica, Mulheres e o Desporto, Educação e Cultura, Desporto e Paz, Desporto e Meio Ambiente. No entanto, para além das questões fundamentais a cargo das diferentes comissões existem outras questões de cariz mais operacional que a organização dos jogos olímpicos deve ter em consideração antecipadamente. Por exemplo, a organização dos jogos olímpicos deste ano disponibilizou no site oficial dos jogos uma funcionalidade Spectator journey planner para os visitantes planearem cuidadosamente as viagens, devido à ausência de parques de estacionamento junto dos locais onde irão decorrer os diferentes jogos. Com esta funcionalidade, a organização pretende garantir que todas as pessoas chegam aos locais dos jogos e de uma forma tranquila. adaptado de http://www.london2012.com/, consultado em 2012.29.01 1
1. (25%) A Comissão Médica do Comité Olímpico Internacional luta ativamente contra o doping e suporta todas as ações que visem a proteção da saúde dos atletas. O objectivo que presidiu à sua fundação em 1967, criar uma estrutura anti-doping, foi rapidamente alargado para abarcar os seguintes três princípios fundamentais: proteção da saúde dos atletas, respeito pelas éticas médica e desportiva, equidade para todos os atletas em competição. No entanto, na conjuntura de crise que se vive, mesmo estruturas como a de combate ao doping têm que otimizar os custos. Nos Jogos Olímpicos de Londres 2012, como em todos os jogos, são feitas análises clínicas aleatórias aos atletas, procurando detetar substâncias proibidas. Estas análises decorrem não só no período dos jogos mas também nos meses anteriores, deslocando-se as equipas médicas aos centros de estágio e países onde os atletas se encontram (a localização exata de cada atleta é de declaração obrigatória e a prestação de falsas declarações implica a irradiação dos atletas dos jogos). O objetivo é planear as saídas de 3 equipas médicas na próxima semana, que estarão no terreno a controlar 10 atletas previamente selecionados, determinando que atletas cada equipa médica vai controlar e porque ordem as deslocações devem ser feitas, de forma a que o tempo total de viagem (para as 3 equipas) seja mínimo. Todas as equipas partem da sede do COI, na margem norte do Lago Geneva em Lausanne, na Suíça, e lá regressam outra vez no fim da viagem. Na figura 1 apresenta-se a localização no mapa da sede do COI (nó 0), dos centros de estágio dos 10 atletas que serão visitados pelas equipas médicas (nós 1 a 10), e ainda uma solução admissível para o problema. 9 10 + 1 + 0 3 + 5 4 2 7 8 6 Figura 1: Localização da sede do COI e dos centros de estágio dos 10 atletas a controlar, e exemplo de uma solução admissível para o problema. O objetivo é formular o modelo de programação matemática que permitiria resolver este problema, tendo ainda em conta os seguintes dados: t i,j tempo de viagem entre o centro de estágio i e o centro de estágio j, em que i = 0 ou j = 0 representam não um centro de estágio mas a sede do COI (i = 0,..., 10; j = 0,..., 10); c i tempo que demora a efetuar o controlo do atleta i (i = 0,..., 10); T Tempo útil disponível na semana para cada equipa médica viajar e fazer os controlos anti-doping; (a) Decisões Considere que as variáveis de decisão para este problema representam se a equipa médica k vai ou não controlar o atleta j depois de ter controlado o atleta i a sede do COI, ponto de partida e chegada das equipas médicas, é representada como o atleta 0: x k i,j = { 1, se a equipa k controlar o atleta j após ter controlado o atleta i 0, caso contrário k = 1,..., 3; i = 0,..., 10; j = 0,..., 10 2
Quantas são as variáveis de decisão? Diga quais são as variáveis de decisão que são iguais a 1 na solução admissível representada na figura 1. (b) Restrições Descreva por palavras os diferentes tipos de restrições para este problema. Quantas são as restrições de cada tipo? Represente matematicamente as restrições para este problema na forma linear. (c) Objetivo Descreva por palavras a função objetivo para este problema. Represente matematicamente essa função objetivo na forma linear. 2. (25%) A comissão organizadora dos Jogos Olímpicos de Londres 2012 disponibilizou uma plataforma online para a pré-reserva de bilhetes. Uma das sessões mais concorridas foi a final das provas de atletismo, a decorrer no estádio Olímpico, com capacidade para 90000 espetadores. Os bilhetes para esta sessão estão divididos em quatro categorias: Categoria 1, Categoria 2, Categoria 3 e VIP. Para cada categoria são conhecidos os preços de venda dos bilhetes e as pré-reservas já efetuadas (ver tabela 1): Tabela 1: Dados por categoria Cat. 1 Cat. 2 Cat. 3 VIP Preço (em libras) 50 65 75 150 Pré-reservas (em núm. de bilhetes) 5000 15000 6000 - (-) não são permitidas pré-reservas A comissão pretende definir o número final de bilhetes a emitir para cada categoria de forma a maximizar a receita de bilheteira. Para tal, a juntar às pré-reservas já efetuadas, deve ainda considerar regras que o número de bilhetes vendidos da Categoria 3 não pode exceder as 15000 unidades, e os bilhetes VIP estão limitados a 2000. A estratégia de marketing definida dita ainda que o número de bilhetes vendidos da Categoria 3 só pode ser no máximo um quarto da soma dos bilhetes das categorias 1 e 2, e que os bilhetes da Categoria 1 devem corresponder a pelo menos duas vezes o número de bilhetes das restantes categorias. Na figura 2 está presente o modelo em Excel para o problema que corresponde à maximização da receita de bilheteira. Nas figuras 3 e 4 são apresentados, respetivamente, os relatórios de resposta e sensibilidade produzidos pelo Solver aquando da resolução do problema. Figura 2: Modelo em Excel 3
Célula de Objetivo (Máx) Célula Nome Valor original Valor final $F$5 2) 0 5250000 Células de Variável Célula Nome Valor original Valor final $B$3 1) Cat. 1 60000 60000 $C$3 1) Cat. 2 15000 15000 $D$3 1) Cat. 3 13000 13000 $E$3 1) VIP 2000 2000 Restrições Célula Nome Valor da célula Fórmula Enlace Margem $F$7 3) 90000 $F$7<=$H$7 Enlace 0 $F$8 4) 60000 $F$8>=$H$8 Sem Enlace 55000 $F$9 5) 15000 $F$9>=$H$9 Enlace 0 $F$10 6) 13000 $F$10>=$H$10 Sem Enlace 7000 $F$11 7) 13000 $F$11<=$H$11 Sem Enlace 2000 $F$12 8) 2000 $F$12<=$H$12 Enlace 0 $F$13 9) -5750 $F$13<=$H$13 Sem Enlace 5750 $F$14 10) -1.45519E-11 $F$14>=$H$14 Enlace 0 Figura 3: Relatório de resposta gerado pelo Solver Células de Variável Final Reduzido Objectivo Permissível Permissível Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Diminuir $B$3 1) Cat. 1 60000 0 50 25 87.5 $C$3 1) Cat. 2 15000 0 65 10 1E+30 $D$3 1) Cat. 3 13000 0 75 75 10 $E$3 1) VIP 2000 0 150 1E+30 75 Restrições Final Sombra Restrição Permissível Permissível Célula Nome Valor Preço Lado direito Aumentar Diminuir $F$7 3) 90000 58.33333333 90000 6000 21000 $F$8 4) 60000 0 5000 55000 1E+30 $F$9 5) 15000-10 15000 7000 2000 $F$10 6) 13000 0 6000 7000 1E+30 $F$11 7) 13000 0 15000 1E+30 2000 $F$12 8) 2000 75 2000 7000 2000 $F$13 9) -5750 0 0 1E+30 5750 $F$14 10) -1.45519E-11-8.333333333 0 21000 6000 Figura 4: Relatório de sensibilidade gerado pelo Solver 4
(a) Considere o modelo de Excel presente na figura 2. Explique a que corresponde cada uma das linhas numeradas de 1) a 10). (b) Recorrendo à informação disponível nos relatórios apresentados nas figuras 3 e 4, preencha as células a sombreado na figura 2. (c) A comissão pretende estudar o efeito do preço dos bilhetes na distribuição dos lugares pelas diferentes categorias. O que aconteceria à solução ótima se o preço de um bilhete da Categoria 1 aumentasse em 20%? E no caso de o mesmo aumento se verificar na Categoria 2? Justifique ambas as respostas. (d) As pré-reservas feitas online representam intenções de compra e não compras efetivas. No entanto, foi já cobrada uma taxa de reserva que corresponde a 10% do preço do bilhete e que deverá ser devolvida caso a comissão não queira emitir os bilhetes reservados. A comissão está a ponderar a não emissão de 2000 bilhetes da Categoria 2. Faz sentido esta opção? Justifique calculando o proveito ou custo associado a esta operação. 3. (25%) A organização dos Jogos Olímpicos está a contratar várias empresas de transportes para garantir as deslocações das pessoas a partir de pontos estratégicos da cidade para os locais onde irão decorrer as diferentes provas. A empresa London Shuttle que opera com mini autocarros foi contratada para fazer viagens desde três praças de Londres (St. James Square, Trafalgar Square, Piccadilly Circus) até três diferentes locais (Basketball Arena, Wembley Stadium, Wimbledon). Com base nos dados recolhidos pela organização, estima-se que o número de pessoas que chega a cada uma das praças por hora é: 150 a St. James Square, 250 a Trafalgar Square, 300 a Piccadilly Circus. A tabela 2 indica o número máximo de pessoas que a London Shuttle consegue transportar por hora entre cada uma das praças e cada um dos locais. Tabela 2: Capacidade de transporte dos autocarros por hora Basketball Arena Wembley Stadium Wimbledon St. James Square 200 100 Trafalgar Square 100 150 Piccadilly Circus 150 300 percurso inviável De acordo com as últimas estimativas da organização, o número de pessoas que pretende deslocarse, por hora, com a London Shuttle para os locais das provas irá ser aproximadamente 1% da capacidade de cada local. As capacidades dos locais, em número de pessoas, são: Basketball Arena - 12 000, Wembley Stadium - 60 000 e Wimbledon - 15 000. (a) Apresente uma rede que permita determinar o número máximo de pessoas que pode chegar a cada um dos locais das provas. Não se esqueça de indicar a capacidade de cada ramo. (b) Determine o número máximo de pessoas que pode chegar a cada um dos locais das provas. Não se esqueça de provar que a solução que encontrou é ótima. (c) Adicionalmente, considere agora que tendo em conta o elevado movimento previsto nas ruas da cidade, a London Shuttle não deverá conseguir transportar um número de pessoas por hora superior a 300 a partir das praças St. James Square e Trafalgar Square, no seu conjunto. Altere a rede que desenhou na alínea anterior de modo a incorporar esta nova restrição. Não determine a solução ótima para esta nova rede. 4. (25%) A organização dos Jogos Olímpicos de Londres 2012 vai fornecer gratuitamente aos espetadores que irão assistir à final de andebol bandeiras luminosas especialmente concebidas para a produção de efeitos visuais de grande impacto. A empresa Bandeirinhas ganhou o concurso para a produção dessas bandeiras, estando assegurada a compra pela Organização dos Jogos da totalidade da capacidade de 5
produção da empresa durante um determinado período antes da cerimónia de abertura. O processo produtivo da empresa, representado na figura seguinte, consiste: no fabrico de componentes, e na colocação dos componentes necessários à montagem de uma bandeira numa caixa; na colocação destas caixas numa tela transportadora para alimentação dos postos de montagem; na montagem das bandeiras nos postos de montagem. Quando é atingida a capacidade da tela transportadora, as caixas que saem do fabrico de componentes são colocadas no chão próximo do início da tela. Logo que haja lugar na tela transportadora, um trabalhador retira as caixas entretanto armazenadas no chão e coloca-as na tela transportadora. Considere que a capacidade de armazenagem de caixas no chão é infinita. Do fabrico de componentes sai, em média, uma caixa de 3,75 em 3,75 minutos. Este tempo é aleatório e segue uma distribuição exponencial negativa. Em cada um dos postos de montagem são montadas, em média, 10 bandeiras por hora, sendo o tempo de montagem de uma bandeira aleatório, seguindo uma distribuição exponencial negativa. (a) Admita que se utilizam 2 postos de montagem e que a capacidade máxima da tela transportadora é de 3 caixas. Qual a probabilidade de uma caixa, quando sai do fabrico de componentes, ter que ser colocada no chão antes da tela transportadora? (b) A Bandeirinhas está a estudar a hipótese de adquirir uma máquina automática que permite fazer a montagem das bandeiras de forma mais rápida. Esta máquina permite montar, em média, 30 bandeiras por hora (considere que o tempo de montagem continua a ser aleatório e que segue uma distribuição exponencial negativa). Caso se venha a adquirir uma destas máquinas automáticas, em substituição dos 2 postos de montagem atuais, qual deverá ser a capacidade da tela transportadora, para que a probabilidade de uma caixa (que saia do fabrico de componentes) ter de ser colocada no chão seja inferior a 1%? 6
1. (a) Decisões Resolução Considerando que cada uma das 3 equipas pode ir de cada um dos 11 atletas (sede do COI incluída) para qualquer um dos 11 atletas (sede do COI incluída), temos um total de 3 11 11 = 363 variáveis. As variáveis de decisão que são iguais a 1 são as seguintes: (b) Restrições x 1 0,1 x 1 1,2 x 1 2,3 x 1 3,0 x 2 0,4 x 2 4,6 x 2 6,7 x 2 7,5 x 2 5,0 x 3 0,8 x 3 8,9 x 3 9,10 x 3 10,0 As restrições para este problema serão as seguintes: i) Cada atleta é controlado por uma e uma só equipa médica. ii) Se uma equipa controla um atleta l, vinda do atleta i ou da sede do COI, tem depois que sair para um outro atleta j ou para a sede do COI (restrição de conservação de fluxos). iii) No máximo podem sair 3 equipas. iv) A duração total das viagens e do tempo de controlo não pode exceder o tempo útil disponível na semana. São ainda necessárias restrições que evitam a formação de sub-ciclos, mas isso será tratado separadamente no fim desta resolução, dado ser uma questão de valorização. i) 10 ii) 30 iii) 1 iv) 3 i) 3 10 x k i,j = 1, j = 1,..., 10 ii) iii) iv) 10 i=0 k=1 i=0 10 x k i,l = 10 10 i=0 j=0 j=0 x k l,j, l = 1,..., 10; k = 1,..., 3 3 10 x k 0,j 3 k=1 j=1 x k i,j(t i,j + c i ) T, k = 1,..., 3 De facto, este conjunto de restrições não impede que soluções como a apresentada na Figura 5, ocorram. Estas soluções não são admissíveis porque contêm sub-ciclos, isto é, existe uma rota fechada que não começa e acaba no ponto de partida, a sede do COI. Uma forma de evitar sub-ciclos é usar as restrições que estudamos para o problema do caixeiro viajante. Vamos aqui propor uma forma alternativa, que se baseia numa variável auxiliar que vai contando o tempo, como se fosse o relógio, a que se está em cada momento da rota. Ao impormos que o tempo não anda para trás, conseguimos evitar os sub-ciclos. Teremos então que definir as seguintes variáveis auxiliares adicionais: yi k = Instante de tempo em que a equipa k chega ao centro de estágio para controlar o atleta i k = 1,..., 3; i = 0,..., 10 Restrições adicionais: 7
9 10 + 1 + 0 3 + 5 4 2 7 8 6 Figura 5: Exemplo de uma solução não admissível, por ter um sub-ciclo. { y k 0 = 0, k = 1,..., 3 Se x k i,j = 1 então yk j = yk i + t i,j + c i, i = 0,..., 10; j = 1,..., 10; k = 1,..., 3 No entanto esta restrição não é linear, tem uma condição se-então. Esta pode ser linearizada da seguinte forma: { y k 0 = 0, k = 1,..., 3 y k j yk i + t i,j + c i + M(x k i,j 1), i = 0,..., 10; j = 1,..., 10; k = 1,..., 3; M (c) Objetivo O objetivo deste problema é minimizar o tempo total gasto pelas equipas médicas em viagens, desde que saem da sede do COI até que lá regressam. Note-se que o tempo gasto no controlo aos atletas é sempre o mesmo porque todos os atletas são controlados uma e uma só vez. 3 10 10 min t i,j x k i,j k=1 i=0 j=0 8
2. (a) A linha 1) contém as variáveis de decisão do problema, isto é, o número de bilhetes a emitir de cada categoria. A linha 2) contém os coeficientes da função objetivo e, na coluna F, o seu valor. A linha 3) limita o número máximo de bilhetes a emitir à capacidade total do estádio. As linhas 4) a 6) garantem a emissão de um número mínimo de bilhetes correspondente ao número de pré-reservas para as categorias 1, 2 e 3, respetivamente. A linha 7) e 8) limitam o número de bilhetes das categoria 3 e VIP, respetivamente, ao máximo permitido. A linha 9) apresenta a restrição relativa à proporção máxima de bilhetes da Categoria 3 face às categorias 1 e 2. A linha 10) modeliza a restrição da proporção mínima de bilhetes da Categoria 1 face às categorias 2, 3 e VIP. (b) Consultando o relatório de resposta do Solver (figura 3) obtém-se: Figura 6: Solução ótima obtida O valor das variáveis de decisão - linha 1) - é retirado da tabela Células de Variável, da coluna Valor final. O valor da função objetivo - linha 2) - é retirado da tabela Célula de Objetivo, da coluna Valor final. O valor do termo do lado esquerdo de cada restrição - linhas 3) a 10) - é retirado da tabela Restrições, da coluna Valor final. (c) Um aumento de 20% no preço do bilhete da Categoria 1 corresponde a um aumento de 10 libras, o que pela pela análise de sensibilidade fornecida (ver figura 4), se encontra dentro do limite permitido para um aumento do coeficiente da Categoria 1 na função objetivo (o aumento máximo é de 25 libras). Assim, neste caso, a solução atual permaneceria ótima. No caso do mesmo se verificar na Categoria 2, este corresponde a um aumento de 13 libras no coeficiente na função objetivo, o que ultrapassa o limite máximo de 10 libras (ver figura 4). Para este cenário a solução atual deixa de ser ótima, tendo o Solver de ser executado novamente para determinar a nova solução ótima. (d) O custo da não emissão de cada bilhete da Categoria 2 com pré-reserva é de 6,5 libras, o que corresponde a 10% do preço do bilhete. Atentando no relatório de sensibilidade da figura 4, verifica-se que o Preço Sombra associado à restrição do número de pré-reservas da Categoria 2 é de -10 libras. Isto significa que reduzindo uma unidade ao número de pré-reservas desta categoria a receita total aumenta em 10 libras. Desta forma, existe um benefício por cada bilhete da Categoria 2 não emitido de 3,5 libras. (10 libras de benefício da não emissão - 6,5 libras do custo de reembolso) 9
Resta saber para que intervalo de redução do número de pré-reservas é o Preço Sombra válido. Analisando novamente o relatório de sensibilidade produzido verifica-se que é possível uma redução de 2000 pré-reservas da Categoria 2, mantendo-se válido o Preço Sombra de -10, precisamente o número de bilhetes que a comissão considera não emitir. O proveito associado a esta operação é então de 2000 (10 6, 5) = 7000 libras, justificando que a comissão avance para a não emissão destes bilhetes. 10
3. (a) Este é um problema de fluxo máximo com três origens e três destinos. Assim, para o resolver considerou-se um nó fictício agregando a oferta (nó de início) e um nó fictício agregando a procura (nó de fim). A procura para cada local foi calculada considerando-se 0.01 capacidade do local. A rede que traduz o problema pode ser representada através do esquema seguinte: (b) Para determinar o número máximo de pessoas que chega aos locais dos jogos, deve-se proceder à maximização do fluxo entre o nó I e o nó F aplicando o algoritmo de fluxo máximo. As iterações correspondentes ao algoritmo estão representadas a seguir. O primeiro caminho não saturado escolhido foi: I-1-5-F. Fluxo= min{50,200,600 }=50 11
O segundo caminho não saturado escolhido foi: I-2-5-F. Fluxo= min{250,150,550 }=150 O terceiro caminho não saturado escolhido foi: I-2-4-F. Fluxo= min{100,100,120 }=100 O quarto caminho não saturado escolhido foi: I-3-6-F. Fluxo= min{300,150,150 }=150 O último caminho não saturado escolhido foi: I-3-5-F. Fluxo= min{150,150,300 }=150 Esta solução é a solução ótima do problema (valor fluxo máximo é igual à capacidade do corte mínimo). Com base na solução obtida podem chegar por hora, no máximo, 100 pessoas a Basketball Arena, 450 pessoas a Wembley Stadium e 150 pessoas a Wimbledon. (c) Para ter em conta a restrição adicional, pode-se colocar um nó fictício a seguir ao nó I, ligado a este por uma arco de capacidade 300 (capacidade máxima), saindo do nó fictício arcos para os nós 1 e 2, com capacidades de 150 e 250, respetivamente. 12
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4. (a) O sistema de espera a considerar será um sistema M/M/S, constituído por uma fila de espera com capacidade infinita e 2 postos de atendimento (S=2). O sistema pode ser conceptualizado da seguinte forma: A Fila de Espera (com capacidade infinita) é assim constituída pelo conjunto formado pelas caixas na tela transportadora e pelas caixas armazenadas no chão. As caixas só serão armazenadas no chão se o número de caixas no sistema de espera for igual ou superior a 5 (duas das caixas a serem montadas nos postos de montagem, e 3 na tela transportadora). Assim, a percentagem das caixas que à saída do fabrico ficarão armazenadas no chão será dada pela probabilidade de P (n 5). Considerando um sistema de espera M/M/2, com: λ = 60 caixas 3.75 = 16 hora µ = 10 caixas(bandeiras) hora S = 2 postos de montagem Teremos: λ µ = 16 10 = 1.6 Das tabelas (sides das aulas teóricas) obtemos o valor de P 0 para um sistema com S=2: P 0 = 0.1111. Do formulário para sistemas M/M/S: P n = ( λ µ )n n! P 0 para n S [1] P n = ( λ µ )n S! S n S P 0 para n S [2] Por [1] calculamos: P 1 = 0.17776 e P 2 = 0.142208 Por [2] calculamos: P 3 = 0.113766 e P 4 = 0.091013 P (n 5) = 1 P (n 4) = 1 (P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 ) = 1 0.636 = 0.364 36.4 %. Assim, a probabilidade de uma caixa ser colocada no chão é de 36,4%. (b) O sistema a considerar tem agora uma configuração M/M/1 com: 14
λ = 60 caixas 3.75 = 16 hora µ = 30 caixas(bandeiras) hora S = 1 máquina automática ρ = λ µ = 16 30 = 0.5333 O que se deseja saber é valor de k, para que P (n > k) < 0, 01 (1%). Como para sistemas M/M/1 (ver formulário): P (n > k) = ρ (k+1) k P (n > k) 2 0.151704 3 0.080909 4 0.043151 5 0.023014 6 0.012274 7 0.006546 Note-se que o valor de k tem de inclui a caixa que está a ser montada na máquina automática. Assim, a capacidade da tela transportadora deverá ser de 7 1 = 6 caixas (a que corresponde k = 7, e P (n > 7) = 0, 6%, logo menor que 1%). 15